20 Đề Thi Olympic Toán 11 Có Đáp Án

www.thuvienhoclieu.com

SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM
TRƯỜNG THPT THÁI PHIÊN
Đề tham khảo

KỲ THI OLYMPIC LỚP11
MƠN : TỐN
Năm học : 2016- 2017
Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1.(3 điểm) Giải phương trình sau:
2
2
a. cos 2x  3sin2x  sin 2x  1 0


3x
x
(tan2x.cot x  1)sin4x  sin(x  )  2cos .sin
3
2
2
b.

u1  0; u2  1


un 1  un
*
un  2  2 , n  N

Câu 2 .(4 điểm) Cho dãy số(un):
.
1
un 1   un  1
2
a.Chứng minh rằng:
.

B. Xác định công thức un . Tính limun
Câu 3.(4 điểm)
a/ Một thầy giáo có 12 cuốn sách đơi một khác nhau,gồm 5 cuốn sách Tốn,4 cuốn Văn và
3 cuốn Tiếng Anh.Thầy lấy 6 cuốn tặng đều cho 6 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách tặng mà
sau khi tặng xong thì mỗi loại sách cịn ít nhất 1 cuốn.
a/Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số .Lấy ngẫu nhiên một số từ A.Tính xác suất
để số lấy ra có tổng các chữ số của nó là một số chẵn và số đó phải khơng nhỏ hơn 50000.
c/Cho một lục giác đều có 2n cạnh (n>2),Biết số hình chữ nhật tạo bởi 4 đỉnh trong 2n
7
đỉnh của đa giác bằng 52 số tam giác tạo bởi 3 đỉnh của đa giác và có một cạnh là cạnh

của đa giác đó. Tìm n?

www.thuvienhoclieu.com

Trang 1


www.thuvienhoclieu.com

Câu 4.(2 điểm)Cho hàm số y=

 3 x  1 2x  1  1
khi  0

x


4
f  x  m2  m khix  0
3

1 4
 2017
cos +
khi x<0
x
3
x


.

Tìm m để hàm số liên tục tại x =0
Câu 5.(3 điểm) Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) với R  R ' cắt nhau tại hai điểm
phân biệt A và B. Một đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại P và
P’. Gọi Q và Q’ lần lượt là chân đường vng góc hạ từ P và P’ xuống OO’.Các đường
thẳng AQ và AQ’ cắt các đường tròn (O) và (O’)tại M và M’.Chứng minh rằng M, M’, B
thẳng hàng
Câu 6.(3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc
BAD bằng 1200.Hình chiếu vng góc của S lên đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC,
cạnh bên SD tạo với đáy (ABCD) góc 600.

a) Chứng minh tam giác SCD vuông.
b) Gọi M là trung điểm SD. Chứng minh AM .
c) Tính khoảng cách từ A đến (SCD).
Hết

www.thuvienhoclieu.com

Trang 2


www.thuvienhoclieu.com

SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM
TRƯỜNG THPT THÁI PHIÊN

KỲ THI OLYMPIC LỚP11
MÔN : TOÁN
Năm học : 2016- 2017
HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu
1a
1
Điểm

Nội dung

Điểm

cos2 2x  3sin2x  sin2 2x  1 0

 2sin2 2x  3sin2x  2  0
1
 sin2x    sin2x  2(VN)
2

7
 2x    k2  2x 
 k2
6
6

7
 x    k  x 
 k ;k  Z
12
12

0.25
đ
0.25
đ
0.25
đ

1b


3x
x
(tan2x.cot x  1)sin4x  sin(x  )  2cos .sin

3
2
2 (*)
b.

2
Điểm

Điều kiện: sinx sin x  0; cos2x  0 ; khiđó phương trình (*) tương
đương

0.25

si n2x.cosx  cos2xsinx

3x
x
.sin4x  sin(x  )  2cos .sin
cos2xsinx
3
2
2
1
3
 2sin2x  sinx 
cosx  sin2x  sinx
2
2
3
1


 sin2x 
cosx  sinx  sin2x  sin( -x)
2
2
3


 2x  -x+k2  2x    +x+k2
3
3
 k2
2
 x +
 x
+k2 ;k  Z
9 3
3
Kết

hợp

với

điều

kiện,

nghiệm

www.thuvienhoclieu.com

phương

trình

đ

0.25
đ
0.25
đ
0.25
là: đ

Trang 3


www.thuvienhoclieu.com

0.5đ

 k2
2 k2
x +
 x
+
; k Z
9
3

3
3

0.25
đ
0.25
đ
0.25
đ

Câu 2
4điểm

a.(1,5điểm)Chứng minh bằng phương pháp qui nạp
1
u u 1
1
u2  1   u1  1; u3  2 1    u2  1
2
2
2
2
Tacó :
.Cơng thức đúng với n=1,n=2
1
uk 1   uk  1
2
Giả sử công thức đúng với n = k , (k  2) ,tức là :
.

0.25
đ

Ta chứng minh cơng thức đúng với n=k+1.
Ta có :

uk  2 

0.5đ

uk 1  uk 1
1
 uk 1  1  uk 1   uk 1  1
2
2
2

0.75
đ

Vậy công thức đúng n  N *
b. .(2,5điểm)
1
2
1
2
un 1   un  1  un 1    (un  ).
2
3
2

3

0.5đ

Ta có:
Đặt :

vn  un 

2
1
1
 vn 1   vn
q
v
3
2 => ( n ) là cấp số nhân với
2

0.5đ

2 1
vn  v1.q n 1   ( )n 1
3 2
2 2 2 1
 un  vn    ( ) n 1
3 3 3 2

0.5đ
0.5đ

2
lim un 
3
Vậy

Câu 3

0.5đ

a/Do tổng 2 loại sách nào cũng lớn hơn 6 nên khi 6 cuốn thì khơng thể hết
www.thuvienhoclieu.com

Trang 4


www.thuvienhoclieu.com

a
1,5điể
m

b
1,5điể
m

2 loại sách.
0.25đ
6
Số cách chọn 6 sách bất kì trong 12 cuốn để cho 6 học sinh là A 12=665280

.
0.25đ
Các trường hợp cho hết 1 loại là:
5 1
0.25đ
+Hết sách Toán có : A6 . A7 =5040 cách
0.25đ
4
2
+ Hết sách Văn có: A6 . A8 =20160 cách
0.25đ
3
3
+ Hết sách Tiếng anh có: A6 . A9 =60480 cách
0.25đ
Vạy số cách cần tặng là:665280-(5040+20160+60480) = 57960 ( cách)
b/Số có 5 chữ số có 9.104=90000 số
n() =90000,Gọi A là biến cố” số lấy ra thỏa YCBT”

0.25đ



Số cần tìm có dạng:

a1a2 a3 a4 a5

;

Trong đó a1 >4 và a1 + a2 + a3+ a4 +a5 là số chẵn.



Trước hết ta tìm số có 4 chứ số:

a1a2 a3a4

0.25đ
0.25đ

có 5x103 số

1.Nếu a1 + a2 + a3+ a4 là số lẻ thì a5 phải là số lẻ.vậy có 5 cách chọn a5.
2. Nếu a1 + a2 + a3+ a4 là số chẵn thì a5 phải là số chẵn.Vậy cũng có 5
C
1 điểm

cách chọn a5

0.25đ
0.25đ
0.25đ

=> có 5x103.5=25000 số.=> n(A)= 25000
P(A)= 5/18
0.25đ
0.25đ
0.25đ

2

+ Số hình chữ nhật là : Cn
+ Số tam giác có 1 cạnh là cạnh của đa giác: 2n(2n  4)
Cn2 

52
.2n(2n  4)
7

0,25đ

n=15 V n=0 (loại)
Câu4
2điểm

x  1( 2x  1  1)  ( 3 x  1  1)
lim f (x)  lim

x0
x0
x
3
3
x  1( 2x  1  1)
x  1 1
1 4
 lim
 lim
 1 
x0
x0

x
x
3 3
3

lim f (x) 

0.25đ
0.5đ
.

x0

0.25đ
www.thuvienhoclieu.com

Trang 5


www.thuvienhoclieu.com

lim f (x)  lim x2017 cos

x0

x0

1
x

0.25đ

1
1
| 1;x  0 |x2017 cos || x201`7 |
x
x
1
2017
2017
lim|
x
|

0

lim|
x
cos
| 0
x0
x0
x
1
4
 lim x2017 cos  0  lim f (x) 
x0
x0
3
x

+
4 4
Hàm số liên tục tại x=0 <=>m2-m+ 3 = 3 <= > m=0,m=1
|cos

Câu 5
3điểm

0.25đ
0.5đ

P'
I
P
A

Q

O

J

Q'

O'

S
B

M

M'

Gọi S là giao điểm của d và OO’, khi đó S là tâm vị tự ngồi của hai
đường
Trịn
R'
R , khi đó ta có.
(O) và (O’). Đặt
V ( S , k ) : (O)  (O '), P  P ', Q  Q '

0.5đ

k

0.5đ

Gọi I, J là giao điểm của AB với PP’ và OO’. Khi đó ta có
2

IP 2  IA.IB  IP '  IP  IP '

MàPQ // IJ // P’Q’ nên JQ = JQ’
Suy ra AB là trung trực của QQ’.
Mà OO’ là trung trực của AB. Vậy tứ giác AQBQ’ là hình thoi
Do đó Q’B //AQ hay Q’M’ // QM.
Giả sử V(S, k) biến M thành B’ khi đó QM // Q’B’
Mà M thuộc (O) suy ra B’ thuộc (O’) do đó B’ trùng với B.
Vậy V(S, k) biến M thành B.
Tương tự ta có V(S, k) biến M’ thành B.

Suy ra M, B, M’ thẳng hàng.

0.5đ
0.5đ

0.5đ
0.5đ

www.thuvienhoclieu.com

Trang 6


www.thuvienhoclieu.com

Câu6
4điểm

Hình vẽ
a) +Ta có: ABCD là hình thoi, góc BAD = 1200 đều.
+ G là trọng tâm tam giác ABC (1)
+ Lại có: (SG và (3).
Từ (1), (2), (3)
+Mặt khác: AB // CD vuông.
b) +Gọi I là trung điểm CD. Ta có: ( đường trung tuyến trong tam giác
đều)(*)
+ MI là đường trung bình của tam giác SCD (**)
+.
Từ (*),(**),(***)
c) + Ta có: AB//CD

+ Gọi là trọng tâm tam giác ACD. Khi đó ta có: BG = GG’ = G’D =
Từ đó suy ra: .
+ Gọi H là hình chiếu của G lên SC. Ta có:
Suy ra:
+ SD có hình chiếu lên (ABCD) là GD, SD tạo với đáy góc 600 .
+Trong tam giác SDG ta có:
+ Lại có: GC =. Khi đó trong tam giác SGC tà có:

0,25đ
0.5đ
0.5đ
0.25đ
0.5đ
0.25đ

0.5đ
0.25đ

0.5đ
0.25đ

0.5đ

0.25đ
0.25đ

www.thuvienhoclieu.com

Trang 7

www.thuvienhoclieu.com

TRƯỜNG THPT NÔNG SƠN

ĐỀ ĐỀ NGHỊ THI OLYMPIC LỚP 11
NĂM HỌC : 2017-2018

TỔ TỐN – TIN
*****

MƠN : TỐN
Thời gian làm bài :180 phút (không kể thời gian giao đề)

*************
Câu 1 (3,0 điểm).
Cho phương trình: .
Tìm tất cả các nghiệm của phương trình thuộc khoảng .
Câu 2 (4,0 điểm).
Cho dãy số (un) xác định bởi: Với mọi
a) Tìm số hạng tổng qt của dãy số (un) và tìm lim un .
b)Tính tổng
Câu 3 (4,0 điểm).
a) Trong khai triển , .Tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba là 46. Tìm hạng
tử khơng chứa x trong khai triển trên.
b) Từ các chữ số 0,1,2,3,6,9 có thể lập đượcbao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau
và chia hết cho 3.
Câu 4 (2,0 điểm).
Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm x = 0.
Câu 5 (3,0 điểm).

Cho đường tròn (O;R) và điểm cố định A trên (O;R). Một góc xAy có số đo không đổi, hai
cạnh Ax, Ay thay đổi cắt đường trịn (O) lần lượt tại B và C. Dựng hình bình hành ABDC. Chứng
minh rằng:
a) Trực tâm H của tam giác BCD là điểm cố định.
b) Trực tâm K của tam giác ABC thuộc đường tròn cố định.
Câu 6 (4,0 điểm).
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a 2 , AD = a, SA vuông góc
mp(ABCD) và SA = 2a. Gọi M là trung điểm BC, N là trung điểm AB.
a) Tính góc φ hợp bởi đường thẳng SM và mp(SBD).
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SM và DN.
---------------Hết--------------

Câu
Câu 1 Cho phương trình: (1)

ĐÁP ÁN
Nội dung

www.thuvienhoclieu.com

Điểm
3,0

Trang 8


www.thuvienhoclieu.com

5,0

Tìm tất cả các nghiệm của phương trình thuộc khoảng .
(1)

0,5
0,25
0,25

(vì cosx>0, với mọi x thuộc khoảng )
Vì
Do đó k nhận các giá trị 0,1,2,3,4
Vậy tập nghiệm của PT (1) trên là:
.

0,25
0,25
0,5
0.25
0.5

Câu 2 a) Cho dãy số (un) xác định bởi: Với mọi
4,0 a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) và tìm limun .

0.25
2,5

Với mọi n  N* ta có:
Đặt . Khi đó
Vậy là cấp số nhân co cơng bội và số hạng đầu
Suy ra
Suy ra

Vậy

0,5
0,5
0,5
0.25
0.25
0.5
1,5

b) b)Tính tổng

www.thuvienhoclieu.com

Trang 9


www.thuvienhoclieu.com

0,5
0,5
0,25
0,25

Câu 3 a) Trong khai triển , , tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ
4,0 ba bằng 46. Tìm hạng tử khơng chứa x trong khai triển trên.

Theo đề ta có :

1,5

0,25

Từ khai triển , Tìm được hạng tử khơng chứa x là

0,5
0,25

b) Từ các chữ số 0,1,2,3,6,9 có thể lập đượcbao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3
chữ số khác nhau và chia hết cho 3.
Gọi số cần tìm là
Vì x chia hết cho 3 nên
x là số chẵn nên
a) Với c=0
có 2 khả năng
. Khi đó có cách chọn
. Khi đó có cách chọn
Suy ra số
b) Với c=2
Khi đó a hoặc b phải là chữ số 1, chữ số còn lại thuộc tập
a=1 , có 4 cách chọn b từ
b=1 , có 3 cách chọn b từ
Suy ra 4+3=7 số
c) Với c=6
, có cách chọn
, ,có 2.2 cách chọn
Suy ra số
Vậy 8+7+6 = 21 số thỏa yêu cầu bài toán

0.5

2,5

0,25
0,25
0,25
0,5

0,5

0,5
0,25

www.thuvienhoclieu.com

Trang 10


www.thuvienhoclieu.com

Câu 4 Ta có: f(0) = m - 1
2,0

0,25

0,5
Hàm số f(x) liên tục tại x = 0 khi và chỉ khi:
0,5
0.25

0,25

0,25
3đ

K

Câu 5

A

3 điểm

B
I
C

O
D

H








a)
Gọi H/ là xuyên tâm của A trên (O;R), ta có: BH/  AB  BH/  CD, tương
tự CH/  BD. Vậy H/ trùng H.

A cố định nên H cố định.
b)
Gọi I là tâm hình bình hành ABDC suy ra hai tam giác BCD và CBA cũng đối
uuur
uur
HK  2HI .
xứng nhau qua I. Suy
ra
K
đối
xứng
với
H
qua
I.
Hay:
uuur
uur
H cố định nên từ HK  2HI , suy ra K là ảnh của I qua phép vị tự tâm H, tỉ số
bằng 2.
Số đo góc xAy khơng đổi nên BC có độ dài khơng đổi → OI cũng có độ dài
khơng đổi. Suy ra, I thuộc đường tròn tâm O, bán kính OI.
I thuộc đường trịn (O;OI) nên K thuộc đường tròn ảnh của đường tròn
(O;OI) qua phép vị tự tâm H tỉ số bằng 2.

www.thuvienhoclieu.com

1.0
0.5
0.5

2.0
0,5
0,5
0,5
0,5

Trang 11


www.thuvienhoclieu.com
S

Câu 6

E

4 điểm

P

K
B

N

A

H

O

M

G

C

D

2.0

a)
Gọi G = AM  BD, G là trọng tâm tam giác ABC. Dựng GP//SM, P  SA, ta
có góc φ giữa SM và mp(BCD) cũng là góc giữa PG và mp(BCD) và SP=
1
SA
3
.
Gọi H là hình chiếu của A trên BD, ta có (SAH)  mp(BCD). Gọi K, E lần lượt
là hình chiếu của A và P trên SH, ta có AK và PE đều vng góc mp(BCD).
Như vậy, góc giữa PG và mp(BCD) là góc PGE .
2a
1
2a
a 6
2
5a
AK 
SM 
3 7 và GP = 3

3 .
Ta có: AH = 3 , AK = 7 , PE = 3
2
2
sin  
.
5 7  φ = arcsin 5 7
Trong tam giác vng tại E, ta có:








0,5

0,5

0,5
0,5

0
/
Hay   8 41
b)

S

A1
F3
A

N
B

F2

M
F1

D




N1

F

C

Gọi N1 là trung điểm CD, F là trung điểm CN1, ta có MF//DN và
d(DN;SM) = d(DN;(SMF)).
Gọi F2 và F1 lần lượt là giao điểm của AC với DN và MF, ta có:
1
1
3
1

2
a 6

 2 
DN 
2
2
2a
DF2 2  DF 
3 , mặt khác: DA DC
2
DF2 = 3
AC.
www.thuvienhoclieu.com

0,5
0,5

Trang 12


www.thuvienhoclieu.com
Do đó MF  AC, Suy ra mp(SMF)  mp(SAC).
Gọi A1 và F3 lần lượt là hình chiếu của A và F2 trên SF1, khi đó A1 và F3 cũng
là hình chiếu của A và F2 trên (SMF) và F2F3 = d(DN;(SMF)) =d(DN; SM).
1
1
1
73
10a




2
2
2
2
AA1 SA AF1 100a 
73
Ta có:
AA1 =
3
6a 73
AA1 
.
5
73
và F2F3 =
6a 73
.
Vậy d(DN; SM) = 73





SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

0,5
0,5

KỲ THI OLYMPIC 24/3 QUẢNG NAM NĂM 2018

QUẢNG NAM
THPT NGUYỄN HIỀN
Mơn thi: TỐN – LỚP 11
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (3,0 điểm). Giải các phuong trình sau:
 2017

cos x 1  2 3 sin 2 x  cos 3 x  4 cos 
 2x 
 2

a)





1  cot 2 x
 1  cot 2 2 x
0;10 
b) Tính tổng các nghiệm của phương trình: 1  cos 2 x
thuộc 
.

Câu 2 (4,0 điểm). Cho dãy số

 un 

u1  2018

un4  2017 2

*
u

 n 1 u 3  u  4034 , n  N
n
n
xác định bởi 

*
a) Chứng minh rằng un  2017, n  N

n

b) Đặt

1
, n  N *
k 1 u  2017
. Tìm limSn .

Sn  

3
k

www.thuvienhoclieu.com

Trang 13


www.thuvienhoclieu.com

Câu 3 (2,0 điểm). Cho hàm số

 3 x  1. 2 x  1  1
khi x  0

x

4

y  f  x   m2  m 
khi x  0
3

1 4
 2017
khi x  0
 x .cos x  3


Tìm m để hàm số liên tục tại x  0
Câu 4 (4,0 điểm)
a) Xếp ngẫu nhiên 14 học sinh của 3 khối gồm 7 học sinh khối 10; 4 học sinh khối 11; 3 học

sinh khối 12 thành một hàng ngang. Tính xác suất để các học sinh cùng một khối khơng đứng
cạnh nhau.
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số chia hết cho 5 và đồng thời thỏa mãn các điều kiện
sau:
+ Tổng các chữ số của nó là số lẻ.
+ Tổng của sáu chữ số đầu của nó (khơng kể chữ số hàng đơn vị) là một số lẻ.
+ Tổng của năm chữ số đầu (không kể hai chữ số hàng đơn vị và hàng chục) là một số lẻ.
Câu 5 (3,0 điểm). Cho tứ giác lồi ABCD khơng phải là hình bình hành, dựng về phía ngồi tứ
giác đó bốn hình vng lần lượt có các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi O 1, O2, O3, O4 lần lượt là tâm
của các hình vng trên theo thứ tự đó. Chứng minh rằng, trung điểm các đường chéo của tứ giác
ABCD và O1O2O3O4 là bốn đỉnh của một hình vng.
Câu 6 (4,0 điểm). Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB  a ,
SA   ABC 

, SA  a 2 .

a) Gọi  là góc giữa (SBC) và (SAC). Tính tan  .
b) Tính khoảng cách giữa AB và SC
---------------------Hết----------------------

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI OLYMPIC LỚP 11 CẤP TỈNH

QUẢNG NAM

Năm học 2017 – 2018
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM

www.thuvienhoclieu.com

Trang 14


www.thuvienhoclieu.com

Mơn thi: TỐN

Câu 1 (3,0 điểm)
a

 2017

cos x 1  2 3 sin 2 x  cos 3 x  4 cos 
 2x 
 2






1,5

 2017

cos x 1  2 3 sin 2 x  cos 3 x  4 cos 
 2x 
 2






 cos x  2 3 sin 2 x.cos x  cos 3 x  4sin 2 x

0.25

  cos 3 x  cos x   2 3 sin 2 x.cos x  4sin 2 x
 2sin 2 x.sin x  2sin 2 x
 2sin 2 x





3 cos x  2





3 cos x  sin x  2  0

0.25
0.25

k


sin 2 x  0  x  2

 k Z
7

 3 cos x  sin x  2  0  x 
 k 2

6

0.25

0.25
 7

k
S 
 k 2 ,
kZ
2
 6

Vậy

b

0.25

1  cot 2 x
 1  cot 2 2 x

Tính tổng các nghiệm của phương trình: 1  cos 2 x
thuộc

 0;10  .
1  cot 2 x
 1  cot 2 2 x
1  cos 2 x

1,5

 1

sin 2 x  0
k
x
 k Z 

2
ĐK: cos 2 x  1

0.25

1  cot 2 x
1  cot 2 x
1
 1  cot 2 2 x 

2
1  cos 2 x
2sin x

sin 2 2 x

www.thuvienhoclieu.com

0.25

Trang 15


www.thuvienhoclieu.com

 cos 2 x  sin x  cos x   0

0.25

 k

cos 2 x  0  x  4  2

sin x  cos x  0  x     k

4
x

 k

4 2

0  x  10  

0.25
1
39
 k  , k  Z  k  0,1, 2,3,...,19
2
2

0.25

Gọi S à tổng các nghiệm của phương trình (1) (gồm 20 số hạng)
Ta có:

S



 19.20
 20   0  1  2  3  ...  18  19   5  .
 100
4
2
2 2

0.25

Câu 2 (4,0 điểm)
a

*
Chứng minh rằng un  2017, n  N

1,0

Bước 1: u1  2018  2017 (đúng)

0.25

Bước 2: Giả sữ mệnh đề đúng với n  k  1 , ta có uk  2017

0.25

Ta cần chứng minh, uk 1  2017

Ta có:

 uk  2017   uk3  2017 
uk4  20172
uk 1  2017  3
 2017 
0
uk  uk  4034
uk  uk2  1  4034

2x0.25

 đpcm
n

b

Đặt

1
, n  N *
k 1 u  2017
. Tìm limSn .

Sn  

3
k

3,0

Rút gọn Sn

 uk  2017   uk3  2017 
uk 1  2017  3
 uk  2017    uk  2017 
Ta có:


1
1
1

 3
uk 1  2017 uk  2017 uk  2017

www.thuvienhoclieu.com

0.25
0.25

Trang 16


www.thuvienhoclieu.com


1
1
1


u  2017 uk  2017 uk 1  2017

0.25

3
k

 Sn 

1
1
1

 1
u1  2017 uk 1  2017

uk 1  2017

Chứng minh

 un  là dãy số tẳng
 un  2017 

un 1  un 

un  u  1  4034

lim un  a

a

Ta có:

2

2
n

Ta xét:
Giả sử:

0.25

 0, n  N *

0.25x2

 a  2018

0.25

a 4  2017 2
2
  a  2017   0  a  2017
3
a  a  4034
(vơ lý)

0.25x3

Nên ta có: lim un  

0.25

Vậy lim S n  1

0.25
Câu 3 (2,0 điểm)

Cho hàm số

 3 x  1. 2 x  1  1
khi x  0

x


4

y  f  x   m2  m 
khi x  0
3

1 4
 2017
khi x  0
 x .cos x  3


Tìm m để hàm số liên tục tại x  0
lim f  x   lim

x 0

3

x 1



 

2x 1 1 

 lim
x 0

x 1



  lim 

2x 1 1
x



x 1 1

0.25

x

x 0

3

3

x 0

3



  1 1  4

x  1 1
x

3

3

0.25x2

1 4

lim f  x   lim  x 2017 .cos  
x 0
x 0 
x 3
cos

1
1
 1, x  0  x 2017 .cos  x 2017
x
x

www.thuvienhoclieu.com

0.25

Trang 17

www.thuvienhoclieu.com
lim x 2017  0  lim x 2017 .cos

x 0

x 0

 lim x 2017 .cos
x 0

1
0
x

0.25

1
4
 0  lim f  x  
x 0
x
3

Vậy hàm số liên tục tại

0.25

x  0  m2  m 

m  1
4 4
 
3 3
m  0

0.25x2

Câu 4 (4,0 điểm)
a

Xếp ngẫu nhiên 14 học sinh của 3 khối gồm 7 học sinh khối 10; 4
học sinh khối 11; 3 học sinh khối 12 thành một hàng ngang. Tính xác
suất để các học sinh cùng một khối không đứng cạnh nhau.
Không gian mẫu là xếp 14 học sinh thành một hàng ngang
 n     14!

2,0

0.25

Gọi A: “ Trong 14 học sinh, khơng có hai học sinh cùng khối đứng
cạnh nhau”.
Ta xếp như sau:
Đầu tiên xếp 7 học sinh khối 12 có 7! Cách. Khi đó giữa 7 học sinh
khối 12 có tất cả 8 chỗ trống (gồm 6 chỗ trống ở giữa và 2 chỗ trống ở
trước và sau).

0.25x2

Ta xét 2 trường hợp sau:
+TH1: Có 1 học sinh khối 10 hoặc khối 11 ở phía ngồi (trước hàng
hoặc sau hàng) còn 6 học sinh còn lại xếp vào chỗ trống ở giữa các bạn
học sinh khối 12 có 2x7! Cách.
+TH2: Có một cặp học sinh (gồm 1 học sinh khối 10 và 1 học sinh
khối 11) xếp vào một chỗ trống, 5 học sinh còn lại xếp vào 5 vị trí cịn

0.25x2

0.25

lại có 4  3  2!C  5! cách.
1
6





 n  A   7! 2  7! 4  3  2  C61  5!

Vậy
b

P  A 

n  A

n  



19
12012

0.25
0.25

Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số chia hết cho 5 và đồng thời
thỏa mãn các điều kiện sau:
+ Tổng các chữ số của nó là số lẻ.

2,0

+ Tổng của sáu chữ số đầu của nó (khơng kể chữ số hàng đơn vị) là
www.thuvienhoclieu.com

Trang 18


www.thuvienhoclieu.com

một số lẻ.
+ Tổng của năm chữ số đầu (không kể hai chữ số hàng đơn vị và
hàng chục) là một số lẻ.

a1a2 a3 a4 a5 a6 a7

, ai   0,1, 2,...,8,9

Số tự nhiên cần tìm có dạng
Do số tự nhiên chia hết cho 5 nên a7  0 hoặc a7  5

0.25

Vì a1  a2  a3  a4  a5  a6  a7 là số lẻ và a1  a2  a3  a4  a5  a6 là
số lẻ và a1  a2  a3  a4  a5 là số lẻ, ta có a7 là số chẵn nên a7  0 có 1
cách chọn và
là số lẻ.

a6

là số chẵn nên

a6

có 5 cách chọn và

a1  a2  a3  a4  a5

0.25x2

Xét a1  a2  a3  a4  a5 là số lẻ
+ Nếu a1  a2  a3  a4 là số lẻ thì a5 là số chẵn  a5 có 5 cách

0.25

+ Nếu a1  a2  a3  a4 là số chẵn thì a5 là số lẻ  a5 có 5 cách

 số cách chọn a1a2 a3a4 a5 là 9 103  5

3
Vậy có 5  9 10  5  225000 số

0.25x3
0.25

Câu 5 (3,0 điểm)
Cho tứ giác lồi ABCD khơng phải là hình bình hành, dựng về phía ngồi tứ giác đó bốn hình
vng lần lượt có các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi O1, O2, O3, O4 lần lượt là tâm của các hình
vng trên theo thứ tự đó. Chứng minh rằng, trung điểm các đường chéo của tứ giác ABCD
và O1O2O3O4 là bốn đỉnh của một hình vuông.

www.thuvienhoclieu.com

Trang 19


www.thuvienhoclieu.com

Ta cần chứng minh tứ giác ILKJ là hình vng
Q B ,90  E   A
Xét  

0.25

Q B ,900  C   H

0.25

 EH  AC ; EC  AH

0.25

0





KO1 , KO2 là đường trung bình của AEC , CAH
 KO1 / / 

1
1
EC ; KO2 / /  AH
2
2

0.25

 KO1  KO2 ; KO1  KO2

0.25

Chứng minh tương tự ta có  KO3  KO4 ; KO3  KO4

0.25

Q K,90  O2   O1 ; Q K,90  O4   O3



Như vậy,  
0

0

 KO2O4  KO1O3

0.25x2
0.25

Mà KJ, KL lần lượt là hai đường trung tuyến của hai tam giác
KO2O4 , KO1O3
 KJ  KL; KJ  KL

0.25

www.thuvienhoclieu.com

Trang 20


www.thuvienhoclieu.com

Chứng minh tương tự, ta có:  IJ  IL; I J  IL

0.25

Vậy tứ giác IJLK là hình vng

0.25

Câu 6 (4,0 điểm)
SA   ABC 
Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại B, AB  a ,
,

SA  a 2 .

a) Gọi  là góc giữa (SBC) và (SAC). Tính tan  .
b) Tính khoảng cách giữa AB và SC

(hình vẽ phục vụ câu a – điểm)

a

Gọi  là góc giữa (SBC) và (SAC). Tính tan  .

2,0

Từ B hạ BH  AC trong (ABC)

0.25

Từ B hạ BK  SC trong (SBC)

0.25

  BHK    SCB 

0.25

Mà

và

 BHK    SAC 

 BHK    SAC   HK ;  BHK    SBC   BK

·
Nên góc giữa (SBC) và (SAC) là   HKB

www.thuvienhoclieu.com

0.25

Trang 21


www.thuvienhoclieu.com

Ta có:

HB 

1
1
a 2
AC  a 2 

2
2
2

CHK đồng dạng CSA



0.25

HK CH

SA CS

0.25

a 2
.a 2
SA.CH
a
 HK 
 2

CS
2
a 2. 2
 tan  

b

0.25

HB a 2

 2
HK 2. a
2

0.25

Tính khoảng cách giữa AB và SC

2,0

Từ C kẻ Cx / / AB ; Từ A kẻ AI  IC

0.25

Lúc đó,

AB / /  SIC   d  AB, SC   d  A,  SIC  

0.25

 IC   SAI    ICS    SAI 
Mà IC  AI , IC  SA, AI  SA trên (SAI)

Do

 AIS    SIC   SI

Nên

d  A,  SIC    d  A, SI 

0.25

Xét SAI vng tại A có SA  a 2; AI  a (do AICB là hình chữ nhật)


1
1
1
1
 2 2 
2
AJ
SA
AI
a 2

Vậy



d  AB, SC  

0.25



2



1
3
a 6
 2  AI 
2
a
2a
3

a 6
3

SỞ GD VÀ ĐT QUẢNG NAM
TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI BÌNH

0.25
0.25x2

0.25

KÌ THI OLYMPIC
MƠN: TỐN 11- NĂM HỌC 2016-2017
Thời gian: 150’ (khơng kể thời gian phát đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

www.thuvienhoclieu.com

Trang 22


www.thuvienhoclieu.com

9

cos 2 x  3sin 2 x  5 2 sin  x 
4

Câu 1 (3,0 điểm). Giải phương trình :


 3

;

Câu 2 (4,0 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC vuông tại A, BC = a, AB = c, AC = b thì với mọi số
n
n
n
tự nhiên n  2 thì b  c  a .

b) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số

 un 

biết

u1  3

2un 1  un  4, khi n  1

Câu 3 (4,0 điểm)
1) Tìm hệ số của x10 trong khai triển thành đa thức của

 3  2x

n

biết rằng

3n Cn0 - 3n- 1 Cn1 + 3n- 2 Cn2 + ... + (- 1) n Cnn = 2048, n Ỵ ¥ .
2) Xếp 24 thí sinh ngồi vào một phịng thi gồm 12 bàn, mỗi bàn đủ 2 thí sinh. Tính xác suất
để hai thí sinh A và B ngồi cùng một bàn.

Câu 4 (2,0 điểm). Tìm giới hạn

lim
x 1

5  x3  3 x 2  7
x2  1

Câu 5 (3,0 điểm)
Cho điểm M thay đổi trên nửa đường trịn (C) tâm O, đường kính AB ( M khác A và B). Về
phía ngồi tam giác AMB dựng hình vng BMDC. Tìm tập hợp điểm C và xác định vị trí

của M để độ dài AC nhỏ nhất.

Câu 6 (4,0 điểm)


Cho hình lăng trụ đáy tứ giác ABCD. A1B1C1D1 . Một mặt phẳng   thay đổi song song với
hai đáy lăng trụ cắt các đường thẳng AB1 , BC1 , CD1 , DA1 lần lượt tại M, N, P, Q. Hãy xác định
vị trí của mặt phẳng



sao cho tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất.

------------HẾT------------

www.thuvienhoclieu.com

Trang 23


www.thuvienhoclieu.com

ĐÁP ÁN ĐỀ THI OLIMPIC TOÁN 11 NĂM 2016 – 2017

Câu
Câu 1

Nội dung

9 


cos 2 x  3sin 2 x  5 2 sin  x 
 3
4


Giải phương trình
  cos x  sin x   cos x  sin x   3(sin x  cos x) 2  5  sin x  cos x   0
Pt

  sin x  cos x   4sin x  2cos x  5  0



x    k
sin x  cos x  0



4

 4sin x  2cos x  5  0
 vn
Câu 2

0,5
1,
1,5

a) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC vuông tại A, BC = a, AB = c, AC = b thì với

mọi số tự nhiên

Điểm
3,0

2,0

n  2 thì b n  c n  a n .
0,5

a 2  b 2  c 2 nên đẳng thức đúng
k
k
k
Giả sử b  c  a (k  2) , khi đó ta thấy
b k 1  c k 1  b k .b  c k .c  b k .a  c k .a   b k  c k  a  a k 1
Với n = 2 thì

1,5

Vậy bđt đúng với n = k + 1, suy ra đccm

u 

b) Tìm số hạng tổng quát của n biết
Thay n = 1, 2, 3, 4 vào (1)ta được

u1  3

2un 1  un  4, khi n  1

2,0
(1)
0,5

www.thuvienhoclieu.com

Trang 24


www.thuvienhoclieu.com

3
1
 4 1
2
2
1
1
1
u3  2   4    4  2
2
2
2
1
u4  ...  4  3
2
1
un  ...  4  n 1
2

Đoán
u2  2 

0,5
1,0

Chứng minh quy nạp và kết luận
Câu 3
1) Tìm hệ số của x10 trong khai triển thành đa thức của
n 1

n2

3 C 3 C 3
n

Theo đề

0
n

1
n

 3  2x 

n

2,0

biết

C  ...  (1) C  2048, n  ¥ .
2
n

n

n
n

3n Cn0  3n1 Cn1  3n 2 Cn2  ...  (1) n Cnn  2048, n  ¥

  3  1  2048  n  11
n

C10 31.  2 x 

10

1,0

 3.210.C10 x10

11
Số hạng cần tìm 11
2) Xếp 24 thí sinh ngồi vào một phịng thi gồm 12 bàn, mỗi bàn đủ 2 thí sinh. Tính xác
suất để hai thí sinh A và B ngồi cùng một bàn.

n     24!

Gọi B là biến cố theo đề, ta có

lim
Tìm giới hạn

Ta có

x 1

2,0
0,75
0,75

1
n( B )  C24
.1.22!

0,5

1
P( B) 
23
Câu 4

1,0

2,0

5  x  3 x2  7

x2  1

 5  x3  2 3 x 2  7  2 
5  x3  3 x 2  7
lim
 lim 


2
2
x 1
x 1 

x2  1
x

1
x

1



0,5
0,5

5  x3  2
3
lim
 ...  

2
x 1
8
x 1
 3 x2  7  2 
1
lim 
  ... 
2
x 1 

12
 x 1 
11

Đáp số 24

0,5
0,5

Câu 5
Hình vẽ

Q


 B , 
2.


Giả sử ABM có hướng dương. Khi đó C là ảnh của M qua phép quay
Mặt khác M thuộc nửa đường trịn (C) tâm O, đường kính AB nên tập hợp C là nửa

www.thuvienhoclieu.com

1,0

Trang 25