Đề Thi Olympic Toán 11 Sở GD&ĐT Quảng Nam 2021 Có Đáp Án

thuvienhoclieu.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM

KỲ THI OLYMPIC 24/3 TỈNH QUẢNG NAM
NĂM 2021
Mơn thi : TỐN LỚP 11
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 20/3/2021

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

Câu 1 (3,0 điểm). Giải các phương trình sau:
4cos 2 x − 4cos 2 x .cos 2 x − 6sin x .cos x + 1 = 0
a)

b)

sin 3 x + cos 4 x = 1

Câu 2 (4,0 điểm).

u1 , u2 , u3

a) Cho dãy số gồm có ba số hạng
theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Nếu ta
trừ số hạng thứ ba cho 4 thì dãy thu được là một cấp số cộng. Nếu trừ số hạng thứ hai và thứ ba
u1 , u2 , u3

của cấp số cộng vừa thu được cho 1 thì dãy thu được là một cấp số nhân. Tìm dãy số
.
(un ),
u0 = 1, u1 = 1
n (n + 1) un +1 = n ( n − 1) un − (n − 2) un −1, ∀n ≥ 1
b) Cho dãy số
biết:
và
.
u
u
u
S = 0 + 1 + ... + 2020
(n + 1). un+1 − un = 0, ∀n ≥ 1
u1 u2
u2021
Chứng tỏ rằng
và tính tổng
.
Câu 3 (6,0 điểm).

n

a) Cho số nguyên dương . Chứng minh rằng:
b) Gọi

X

(C0n ) 2 + (C1n ) 2 + ... + (Cnn ) 2 = C 2n n

là tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số được lập từ các chữ số 0, 1, 2,

X

3, 4, 5. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập
giống nhau.
 3x + 1 − 2

2
f ( x) =  x2 − 1
 a ( x − 2)
 x − 3
c) Cho hàm số
f ( x)
Tìm giá trị của tham số a để hàm số

. Tính xác suất để số được chọn có đúng ba chữ số
khi x > 1
khi x ≤ 1

.
liên tục tại

x =1

.

Câu 4 (3,0 điểm).
a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn
(C ') : x + y − 4 x + 2 y − 11 = 0

2

(C)

và

2

. Biết rằng phép vị tự tâm A(0;1) tỉ số
(C)
(C')
(C)
thành đường trịn
. Viết phương trình đường trịn
.

(C')
k =2

với phương trình
biến đường trịn

b) Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC đều. Tìm tập hợp những điểm M nằm trong tam
MA2 = MB 2 + MC 2
giác ABC sao cho
.
Câu 5 (4,0 điểm).
thuvienhoclieu.com

Trang 1

thuvienhoclieu.com

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có

AB = a , AC = 2a , AA ' = 2a 5

Gọi M là trung điểm cạnh CC’.
a) Chứng minh MB vng góc với MA’.
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BM) theo

a

và góc

·
BAC
= 1200

.

.

–––––––––––– Hết ––––––––––––
Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: …..…………………………………. Số báo danh: ………………
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM

KỲ THI OLYMPIC 24/3 TỈNH QUẢNG NAM
NĂM 2021
Mơn thi: TỐN – Lớp 11
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
(Đáp án – Thang điểm gồm 06 trang)

a

Câu 1 (3,0 điểm)
4cos x − 4cos 2 x.cos x − 6sin x cos x + 1 = 0
2

2

1,5

pt ⇔ 4cos 2 x ( 1 − cos 2 x ) − 3sin 2 x + 1 = 0

0.25

⇔ 2(1 + cos 2 x) ( 1 − cos 2 x ) − 3sin 2 x + 1 = 0

0.25

⇔ 2 ( 1 − cos 2 2 x ) − 3sin 2 x + 1 = 0

0.25

⇔ 2sin 2 2 x − 3sin 2 x + 1 = 0

s in 2x = 1
⇔
sin 2 x = 1
2


b

(0.25)
sin x + cos x = 1
3

π

x
=
+ kπ

4

π
⇔  x = + kπ

12

 x = 5π + kπ

12

0.75

(0.5)
1,5

4

sin 3 x + cos 4 x = 1 ⇔ sin 3 x + cos 4 x = sin 2 x + cos 2 x

0.25

⇔ sin 2 x(1 − sin x) + cos 2 x ( 1 − cos 2 x ) = 0

0.25

⇔ sin 2 x(1 − sin x) + sin 2 x ( 1 − sin 2 x ) = 0

0.25

⇔ sin 2 x(1 − sin x)(2 + sin x) = 0

0.25
thuvienhoclieu.com

Trang 2


thuvienhoclieu.com

sin x = 0 ⇔ x = kπ
⇔

sin x = 1 ⇔ x = π + k 2π
2


(

k ∈¢

0.5
).

x = kπ , x =

Vậy phương trình có nghiệm là:

a

π
+ k 2π
2

Câu 2 (4,0 điểm)
u1 , u2 , u3
Cho dãy số gồm có ba số hạng
theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.
Nếu ta trừ số hạng thứ ba cho 4 thì dãy thu được là một cấp số cộng. Nếu trừ số
hạng thứ hai và thứ ba của cấp số cộng vừa thu được cho 1 thì dãy thu được lại là
u1 , u2 , u3
một cấp số nhân. Tìm dãy số
.

⇔ u2 2 = u1.u3 (1)
u1 , u2 , u3
theo thứ tự lập thành một cấp số nhân
u1 , u2 , u3 − 4
⇔ 2u2 = u1 + u3 − 4 (2)
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng
⇔ (u2 − 1)2 = u1.(u3 − 5) (3)
u1 , u2 − 1, u3 − 5
theo thứ tự lập thành một cấp số nhân

+ Ta có hệ

Từ (1) và (3) suy ra
Từ (2) và (4) suy ra

0.25

0.5

8u + 21
u3 = 2
(5)
5

Thay (4), (5) vào (1) thu được PT:
1 7 49
; ;
9 9 9

7

9

ta được:

2u2 − u1 = 0

(và

n=2

suy ra

3u3 − u2 = 0

thuvienhoclieu.com

0.5
0,25

Vậy có 2 dãy số thỏa đề bài là 1; 3; 9 hoặc
(un ),
u0 = 1, u1 = 1
n ( n + 1) un +1 = n ( n − 1) un − (n − 2) un −1 , ∀n ≥ 1
Dãy số
biết:
và
.
u u
u
S = 0 + 1 + ... + 2020

(n + 1).un +1 − un = 0, ∀n ≥ 1
u1 u2
u2021
Chứng tỏ rằng
. Tính tổng
Từ cơng thức xác định của dãy ta có:
n[( n + 1)un +1 − un ] = ( n − 2)(n un − un−1 ), ∀n ≥ 1

n =1

0.25

2u2 − 1
(4)
5

9u2 2 − 34u2 + 21 = 0 ⇔ u2 = 3, u2 =

Thay

0.25

u2 2 = u1 . u3 (1)

2u2 = u1 + u3 − 4 (2)

2
(u2 − 1) = u1 .(u3 − 5) (3)
u1 =

b

2,0

)

2,0

0.25
0,25
Trang 3


thuvienhoclieu.com

Giả sử

(k + 1).uk +1 − uk = 0, ∀k > 1
(k + 2).uk + 2 − uk +1 =

0.5

k −1
[(k + 1).uk +1 − uk ] = 0
k +1

Suy ra
(n + 1).un +1 − un = 0, ∀n ≥ 1
Vậy.
u0

u
= 1; 1 = 2
u1
u2
Tính

Từ

(n + 1).un+1 − un = 0, ∀n ≥ 2

Suy ra

suy ra

0.25

un
= n +1
un +1

0,25

u u
u
S = 0 + 1 + ... + 2020 = 1 + 2 + ... + 2021
u1 u2
u 2021

⇔S=

a

0.25

2021.2022
= 2021.1011 (= 2043231)
2

0.25

Câu 3 (6,0 điểm)
(C0n ) 2 + (C1n ) 2 + ... + (C nn ) 2 = C2n n
n
Cho số nguyên dương . Chứng minh rằng:
(1 + x) 2 n = C20n + C21n x + ... + C2nn x n + ... + C22nn x 2 n
Xét khai triển:
(1)
2n
n
n
(1 + x) = (1 + x) .( x + 1)
Mặt khác:
Hệ số của

= (Cn0 + Cn1 x + ... + Cnn x n )(Cn0 x n + Cn1 x n −1 + ... + Cnn )
x

n

x

n

trong (1) là

C

2,0
0.5

0.75
(2)
0.25

n
2n

0.25

(C0n ) 2 + (C1n ) 2 + ... + (Cnn ) 2

Hệ số của
trong (2) là
0 2
(C n ) + (C1n ) 2 + ... + (C nn ) 2 = C 2n n
Vậy:

b

Gọi

X

0.25

là tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số được lập từ các chữ số 0,

1, 2, 3, 4, 5. Chọn ngẫu nhiên từ
đúng ba chữ số giống nhau.

X

ra một số. Tính xác suất để số được chọn có
n(Ω) = 5.64

2,0

0.5

- Số phần tử của không gian mẫu là
Gọi A là biến cố: “số được chọn có đúng 3 chữ số giống nhau”.

thuvienhoclieu.com

Trang 4


thuvienhoclieu.com

C53

c

- Có
cách chọn 3 vị trí trong 5 vị trí để đặt 3 chữ số giống nhau. Có 6 cách
chọn 1 trong 6 chữ số đặt vào 3 vị trí được chọn( gọi số xuất hiện 3 lần là a); 5
cách chọn b; 5 cách chọn c
C53
Số có 5 chữ số thỏa yêu cầu đề bài ( bao gồm cả số 0 đứng đầu) là:
.6.5.5
* Trường hợp có số 0 đứng đầu, ta xét 4 số còn lại:
C43
Khả năng 1: (Có 3 số giống nhau khác 0) có
vị trí đặt 3 số giống nhau; có 5
cách chọn 3 số giống nhau a; 5 cách chọn b( b khác a)
C43 .5.5
Trường hợp này có
* Khả năng 2: (3 số giống nhau là 3 số 0).
C42
Có
cách chọn 2 vị trí để đặt thêm 2 số 0; có 5 cách chọn b; 5 cách chọn c
C42 .5.5
Trường hợp này là:
3
C43 .5.5 C42 .5.5
n( A) = C5
.6.5.5= 1250
n(A) 1250 125
P(A)=
=

=
n(Ω) 6480 648
Vậy xác suất của biến cố A là
 3x + 1 − 2
khi x > 1

2
x
−
1
f ( x) = 
2
 a ( x − 2)
khi x ≤ 1
 x − 3
Cho hàm số
.
f ( x)
x =1
Tìm giá trị của tham số a để hàm số
liên tục tại
.
1
f (1) = a
2
lim− f ( x) =
x →1

x →1

x →1

= lim+
x →1

Để

f ( x)

Suy ra

0.25

0.25
0.25
0.25

2,0

0,25
0,25

1
a
2

lim+ f ( x) = lim+

0.5

3x + 1 − 2
3( x − 1)
= lim+ 2
2
x →1 ( x − 1).( 3 x + 1 + 2)
x −1
3
3
=
( x + 1)( 3 x + 1 + 2) 8

liên tục tại
3
a=
4

x =1

0,5

lim+ f ( x ) = lim− f ( x) = f (1)
thì

x →1

0,5

x →1

thuvienhoclieu.com

0,25
0,25

Trang 5


thuvienhoclieu.com

Câu 4 (3,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn

(C)

và

(C')

với phương

(C ') : x 2 + y 2 − 4 x + 2 y − 11 = 0

k =2
. Biết rằng phép vị tự tâm A(0;1) tỉ số
(C)
(C')
(C)
biến đường trịn
thành đường trịn
. Viết phương trình đường trịn

.

trình

+ Phép vị tự tâm A tỉ số k = 2 biến

⇔
a

Phép vị tự tâm A tỉ số

+ Đường tròn

(C ')

+ Gọi đường tròn
V 1 
phép vị tự

 A, ÷
 2

+

có tâm

(C )

0.25
biến

(C')

I '(2; −1)

I

(C)

thành

, bán kính

có tâm , bán kính

R

R' = 4

0.25

.

là ảnh của đường trịn

(C ')

0.25

qua

.
0.25

uur 1 uuur
AI = . AI ' = (1; − 1)
2

0.25
. Tính được điểm I (1; 0)
(C )

b

(C')

thành

1
.4 = 2
2

R = k .R ' =
+

1
2

(C)

1,5

( x − 1) 2 + y 2 = 4

Phương trình đường trịn
là :
.
Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC đều. Tìm tập hợp những điểm M nằm trong
MA2 = MB 2 + MC 2
tam giác ABC sao cho

0.25
1,5

Trong hình vẽ bên, xét phép quay tâm A, góc
600
quay
. Ta có :
Q( A,600 ) : B a C
C a D
M a M'

0,25

Suy ra các tam giác AMM’, ACD đều
Giả thiết :
MA2 = MB 2 + MC 2

⇔ M ' M 2 = M ' C 2 + MC 2

0,25
0,25

⇔ ∠MCM ' = 900

thuvienhoclieu.com

Trang 6


thuvienhoclieu.com

Mặt khác có
∠MBC + ∠MCB = ∠M ' CD + ∠MCB
0.25
0.25

= ∠DCB − ∠M ' CM = 1200 − 900 = 300

Suy ra

∠BMC = 1500

Vậy tập hợp những điểm M là phần nằm trong tam giác của cung chứa góc
chắn trên đoạn BC

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có

Câu 5 (4,0 điểm)
AB = a , AC = 2a , AA ' = 2a 5

M là trung điểm cạnh CC’.
a) Chứng minh MB vng góc với MA’.
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BM) theo

a

và góc

1500

0.25

∠BAC = 1200

. Gọi

.

(Hình vẽ phục vụ câu a - 0,25 điểm)
a

Chứng minh MB vng góc với MA’.
+ Xét tam giác ABC, theo định lí hàm số Cosin ta có:
BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AC.cos A

= a 2 + (2a) 2 − 2.a.(2a).cos1200 = 7 a 2
+ Xét tam giác vng BCM có:

BM 2 = BC 2 + CM 2 = 7a 2 + 5a 2 = 12a 2

+ Xét tam giác vng A’C’M có:

A 'M 2 = A ' C '2 + C ' M 2 = 4a 2 + 5a 2 = 9a 2
thuvienhoclieu.com

1,75

0,5

0,25
0,25
Trang 7


thuvienhoclieu.com

+ Xét tam giác vng A’AB có:
Suy ra
b

A ' B 2 = A ' A2 + AB 2 = 20a 2 + a 2 = 21a 2

A ' M 2 + MB 2 = 21a 2 = A ' B 2

hay

MB ⊥ A ' M

Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BM) theo

a

0,25
0,5
2,0

.

0,25

Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng (A’BM).Gọi E, F lần lượt là hình chiếu
của H trên MA’ và BM. Suy ra AH là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BM).

0,25

Ta có
AH 2 = MA2 − A ' H 2 = A ' A2 − ( HE 2 + HF 2 ) = MA2 − ( AE 2 − AH 2 + AF 2 − AH 2 )

0,25

Suy ra:

AH 2 = AE 2 + AF 2 − MA2

0,25

AE = 2d (C , A ' M ) = 2
Tính AE: có

2. A 'C'.C ' M 2.2a.a 5 4a 5
=
=
A'M
3a
3

BM = 2a 3
Tính AF: Xét tam giác ABM , có
, AB=a, AM=A’M=3a
2
2
2
a + 9a − 12a
1
cos ∠BAM =
=−
2a.3a
3

sin ∠BAM = 1 − cos 2 ∠BAM = 1 −
Suy ra :

S ABM =

1
1
2 2
AB. AM .sin ∠BAM = .a.3a.
= a2 2

2
2
3
AF =

Suy ra :

1 2 2
=
9
3

0,25
0,25

và
0,25

2S ABM 2.a 2 2
2
=
=a
BM
2a 3
3

thuvienhoclieu.com

Trang 8

thuvienhoclieu.com

AH 2 = AE 2 + AF 2 − MA2 = (

d ( A, mp( A ' BM ) =
Vậy

4a 5 2 a 2 2
a 5 2
) +(
) − (3a) 2 = (
)
3
3
3

0,25

a 5
3

Ghi chú: Nếu học sinh có cách giải khác đúng thì Ban Giám khảo thảo luận và thống nhất
thang điểm cho phù hợp với Hướng dẫn chấm.

thuvienhoclieu.com

Trang 9