Algebra y trigonometria con geometria analitica

SWOKOWSKI
•
COLE

La última edición de Swokowski y Cole,
Álgebra y trigonometría con geometría analítica, conserva los elementos que lo han

diso atractivo y ordenado y ricas series
de ejercicios de aplicación. Los excelentes
problemas, probados a lo largo del tiempo,
han sido ampliamente elogiados por su
consistencia y su grado apropiado de dificultad para los estudiantes de precálculo.
El libro también incluye algunos temas
más difíciles, como la Regla de los signos
de Descartes y los Teoremas de límites,
que han sido eliminados de otros textos o
relegados a un apéndice. La décimo tercera edición cuenta con referencias actualizadas sobre tópicos y datos, y sigue siendo
apoyada por recursos tecnológicos extraordinarios. Matemáticamente profundo, este
libro efectivamente prepara a los estudiantes de otros cursos en matemáticas.

Características:

Nuevas pruebas al final de cada capítulo proporcionan
una fuente adicional de preguntas de examen y una buena
práctica para los estudiantes. Los nuevos elementos incluyen
preguntas directas sobre la base de ejercicios de las secciones, así como cuestiones que requieren los estudiantes para
estirar un poco su forma de pensar y ampliar su uso de los
conceptos básicos.
• La notación de flecha se introduce antes (sección 2.2) y es
revisada con más frecuencia en esta edición, reforzando el
contenido de precálculo para preparar más eficazmente a

los estudiantes para temas de cálculo.
• Aproximadamente el 20% de los ejercicios son nuevos o
revisados,incluidos muchos que ofrecen datos actualizados reales y nuevas aplicaciones.
• Nuevos ejemplos ilustran numerosos temas: encontrar
la inversa de una función racional (sección 4.1, con el
método de control presentado en una nota marginal),
predicen una cantidad por medio de la fórmula de decaimiento (sección 4.3), ¿cómo demostrar que una ecuación
no es un identidad (artículo 6.1), el uso de la fórmula
de la resta para el coseno para encontrar un valor exacto
cuando se da un valor trigonométrico exacto y el signo
de otra función trigonométrica (sección 6.3), y cómo
encontrar los valores de ángulo doble de otras funciones
trigonométricas, dado que la tangente de un ángulo es
una constante (sección 6.4).
• Otros nuevos ejemplos: resolver una ecuación polinomial
utilizando el teorema de las n rces (sección 7.6), sustituir
a la ayuda en la solución de un sistema de ecuaciones
(sección 8.2); encontrar términos de una secuencia que
se define de forma recursiva en términos de dos términos
anteriores (sección 9.1); dados dos términos de una
progresión aritmética, encontrar uno nuevo con una
nueva fórmula (artículo 9.2); dados dos términos de una
progresión geométrica, encontrar uno nuevo con una
nueva fórmula (sección 9.3), y las probabilidades de una
escalera real (sección 9.8).

Álgebra y Trigonometría

estudiantes por igual: exposición clara, un

CON GEOMETRÍA ANALÍTICA

hecho tan popular entre los instructores y

Álgebra y Trigonometría
CON GEOMETRÍA ANALÍTICA

13a. edición

EARL W. SWOKOWSKI • JEFFERY A. COLE

13a. edición



Cengage Swokowski Portada.indd 1

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ÁLGEBRA Y
TRIGONOMETRÍA

CON GEOMETRÍA ANALÍTICA

DÉCIMO TERCERA
EDICIĨN

EARL W. SWOKOWSKI
JEFFERY A. COLE
Anoka-Ramsey Community College

Traducción:

Patricia Solorio Gómez
Revisión técnica:

Dr. Ernesto Filio López
Unidad Profesional Interdisciplinaria
en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas
Instituto Politécnico Nacional

M. en C. Manuel Robles Bernal
Escuela Superior de Física y Matemáticas
Instituto Politécnico Nacional

Australia • Brasil • Corea • Espa • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur

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Álgebra y trigonometría
con geometría analítica,
Décimo tercera edición
Swokowski, Earl W./
Jeffery A. Cole
Director de producto y desarrollo
Latinoamérica:
Daniel Oti Yvonnet
Director editorial y de producción
Latinoamérica:
Rẳl D. Zendejas Espejel
Editor:
Sergio R. Cervantes González
Coordinadora de producción
editorial:
Abril Vega Orozco
Editor de producción:
Timoteo Eliosa García
Coordinador de manufactura:
Rafael Pérez González
Ilustrador:
Scientific Illustrators

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© D.R. 2011 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.,

una Compía de Cengage Learning, Inc.
Corporativo Santa Fe
Av. Santa Fe núm. 505, piso 12
Col. Cruz Manca, Santa Fe
C.P. 05349, México, D.F.
Cengage Learning™ es una marca registrada
usada bajo permiso.
DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este
trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de
Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada
o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio,
ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo,
pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado,
reproducción, escaneo, digitalización, grabación en
audio, distribución en Internet, distribución en redes
de información o almacenamiento y recopilación en
sistemas de información a excepción de lo permitido
en el Capítulo III, Artículo 27, de la Ley Federal del
Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito
de la Editorial.
Traducido del libro:
Algebra and Trigonometry with Analytic Geometry, 13th ed.
Earl W. Swokowski/Jeffery A. Cole
Publicado en inglés por Brooks/Cole, Cengage Learning, © 2011
ISBN-13: 978-0-8400-6852-1
ISBN-10: 0-8400-6852-2

Imagen de portada:
David J. Nightingale, Chromasia.com

Datos para catalogación bibliográfica:
Swokowski, Earl W./Jeffery A. Cole
Álgebra y trigonometría con geometría analítica,
Décimo tercera edición
ISBN: 978-607-481-779-9

Composición tipográfica:
Imagen Editorial

Visite nuestro sitio en:


Diseño de portada:
Roger Knox

Impreso en México
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Contenido

Lista de temas para calculadora graficadora
Prefacio

CAPÍTULO 1

Números reales 2
Exponentes y radicales 16
Expresiones algebraicas 28
Expresiones fraccionarias 40
Capítulo 1 Ejercicios de repaso 50
Capítulo 1 Ejercicios de análisis 52
Capítulo 1 Examen de capítulo 53

ECUACIONES Y DESIGUALDADES
2.1
2.2

2.3
2.4
2.5
2.6
2.7

CAPÍTULO 3

xi

CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA
1.1
1.2
1.3
1.4

CAPÍTULO 2

ix

Ecuaciones 56
Problemas de aplicación 64
Ecuaciones cuadráticas 75
Números complejos 87
Otros tipos de ecuaciones 94
Desigualdades 103
Más sobre desigualdades 112
Capítulo 2 Ejercicios de repaso 118
Capítulo 2 Ejercicios de análisis 122
Capítulo 2 Examen de capítulo 123

FUNCIONES Y GRÁFICAS
3.1
3.2
3.3
3.4

55

125

Sistemas de coordenadas rectangulares
Gráficas de ecuaciones 133
Rectas 148
Definición de función 164

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Contenido

3.5
3.6
3.7

CAPÍTULO 4

FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6

CAPÍTULO 5

227

Funciones polinomiales de grado mayor que 2 228
Propiedades de la división 238
Ceros de polinomios 245
Ceros complejos y racionales de polinomios 257
Funciones racionales 265
Variación 280
Capítulo 4 Ejercicios de repaso 288

Capítulo 4 Ejercicios de análisis 290
Capítulo 4 Examen de capítulo 291

FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6

CAPÍTULO 6

Gráficas de funciones 180
Funciones cuadráticas 195
Operaciones con funciones 209
Capítulo 3 Ejercicios de repaso 218
Capítulo 3 Ejercicios de análisis 224
Capítulo 3 Examen de capítulo 225

Funciones inversas 294
Funciones exponenciales 305
La función exponencial natural 318
Funciones logarítmicas 327
Propiedades de los logaritmos 341
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
Capítulo 5 Ejercicios de repaso 360
Capítulo 5 Ejercicios de análisis 363
Capítulo 5 Examen de capítulo 366

LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
6.1
6.2
6.3

349

367

Ángulos 368
Funciones trigonométricas de ángulos 378
Funciones trigonométricas de números reales

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Contenido

6.4
6.5
6.6
6.7

CAPÍTULO 7

TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6

CAPÍTULO 8

459

Verificación de identidades trigonométricas 460
Ecuaciones trigonométricas 466
Fórmulas de suma y resta 480
Fórmulas de ángulos múltiples 490
Fórmulas de producto a suma y suma a producto 499
Funciones trigonométricas inversas 504
Capítulo 7 Ejercicios de repaso 519

Capítulo 7 Ejercicios de análisis 521
Capítulo 7 Examen de capítulo 523

APLICACIONES DE TRIGONOMETRÍA
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6

CAPÍTULO 9

Valores de las funciones trigonométricas 410
Gráficas trigonométricas 417
Gráficas trigonométricas adicionales 430
Problemas de aplicación 437
Capítulo 6 Ejercicios de repaso 449
Capítulo 6 Ejercicios de análisis 455
Capítulo 6 Examen de capítulo 456

525

La ley de los senos 526
La ley de los cosenos 535
Vectores 544
Producto punto 558
Forma trigonométrica para números complejos 568
Teorema de De Moivre y las raíces n-ésimas de números complejos
Capítulo 8 Ejercicios de repaso 579

Capítulo 8 Ejercicios de análisis 582
Capítulo 8 Examen de capítulo 584

SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES
9.1
9.2
9.3

Sistemas de ecuaciones 588
Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables
Sistemas de desigualdades 606

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597

587

574


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Contenido

9.4
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
9.10

C A P Í T U L O 10

SUCESIONES, SERIES Y PROBABILIDAD
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
10.8

C A P Í T U L O 11

Programación lineal 613
Sistemas de ecuaciones lineales con más de dos variables
Álgebra de matrices 636
La inversa de una matriz 645
Determinantes 651
Propiedades de determinantes 657
Fracciones parciales 665

Capítulo 9 Ejercicios de repaso 671
Capítulo 9 Ejercicios de análisis 674
Capítulo 9 Examen de capítulo 676

Sucesiones infinitas y notación de suma 680
Sucesiones aritméticas 693
Sucesiones geométricas 700
Inducción matemática 710
El teorema del binomio 716
Permutaciones 724
Permutaciones y combinaciones distinguibles 731
Probabilidad 738
Capítulo 10 Ejercicios de repaso 753
Capítulo 10 Ejercicios de análisis 755
Capítulo 10 Examen de capítulo 757

TEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
11.6

679

Parábolas 760
Elipses 769
Hipérbolas 782
Curvas planas y ecuaciones paramétricas

Coordenadas polares 806
Ecuaciones polares de cónicas 820
Capítulo 11 Ejercicios de repaso 826
Capítulo 11 Ejercicios de análisis 828
Capítulo 11 Examen de capítulo 830

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Contenido

Apéndices 833

I
II
III
IV

Gráficas comunes y sus ecuaciones 834
Un resumen de transformaciones de gráficas 836
Gráficas de funciones trigonométricas y sus inversas
Valores de las funciones trigonométricas de ángulos
especiales en una circunferencia unitaria 840

Respuestas a ejercicios seleccionados
Índice A87

A1

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Lista de temas sobre la calculadora graficadora

Hay muchos otros sitios en los que se usa calculadora graficadora. A continuación se muestra los que incluyen secuencias específicas de tecleo.
CAPÍTULO 1

CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA
Guardar valores y evaluar expresiones 4
Recíprocos 6
Sustracción y negativos 6
Prueba de desigualdades y la ley de tricotomía 9
Valor absoluto 11
Forma científica 13
Notación exponencial 17
Rz n principal 21
Exponentes racionales 24
Comprobación de un resultado de factorización 35
Para hallar el mcd 42
Sumamos fracciones 42
Cree una tabla 44

CAPÍTULO 2

ECUACIONES Y DESIGUALDADES
Prueba de ecuaciones 58
Operaciones con números complejos
Operaciones con números complejos

90
92

CAPÍTULO 3

FUNCIONES Y GRÁFICAS
Graficación de puntos en una calculadora de gráficas 130
Trazar la gráfica de una ecuación y hallar las intersecciones
con los ejes x y y 137
Estimar puntos de intersección de gráficas 143
Estimar puntos de intersección de gráficas 144
Hallar una recta de mejor ajuste 158
Analizar la gráfica de una función 174
Trazar la gráfica de una función definida por tramos 186
Hallar un valor máximo (o mínimo) 200

CAPÍTULO 5

FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
Graficar la inversa de una función 301

CAPÍTULO 6

LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Conversión de radianes a grados 372
Evaluación de potencias de funciones trigonométricas
(en modo de grados) 382

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List a de te m a s s o b re l a c a l c u l a d o r a g r a f i c a d o r a

CAPÍTULO 7

TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA
Calcular las soluciones de una ecuación trigonométrica 473

CAPÍTULO 8

APLICACIONES DE TRIGONOMETRÍA
Suma de vectores 550
Hallar el producto punto de dos vectores 558
Operaciones con números complejos 570
Hallar una rz de un número complejo 577

CAPÍTULO 9

SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES
Graficar una desigualdad 610
Introducir tamaño y elementos de una matriz 629
Encontrar la forma escalonada reducida de renglón 629

Multiplicar matrices 641
Hallar la inversa de una matriz cuadrada 648
Hallar el determinante de una matriz cuadrada 654

CAPÍTULO 10

SUCESIONES, SERIES Y PROBABILIDAD
Generar una sucesión 681
Graficar una sucesión 682
Generar una sucesión definida en forma recursiva 683
Hallar la suma de una sucesión 685
Hallar los términos de la sucesión de sumas parciales 687
Uso del modo de sucesión de la TI-83/4 689
Factoriales 718
Permutaciones 729
Combinaciones 735

CAPÍTULO 11

TEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
Graficar semielipses 775
Trazar gráficas en modo paramétrico 796
Conversión de polar a rectangular 809
Conversión rectangular a polar 810
Graficar una ecuación polar 812

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Prefacio

La décimo tercera edición de Álgebra y trigonometría con geometría analítica
incluye más de 650 nuevos ejercicios y 11 nuevos ejemplos, muchos de los
cuales resultaron de sugerencias de usuarios y revisores de la undécima edición. Todos se han incorporado sin sacrificar la exactitud matemática que ha
sido de capital importancia para el éxito de este texto.
Una nueva característica del texto son los exámenes de capítulo, que
incluyen preguntas directas que son representativas de las interrogantes previas, así como cuestiones conceptuales únicas en estos exámenes.
La inclusión de ejemplos e insertos para calculadora graficadora, con secuencias específicas de tecleo y pantallas en color para la TI-83/4 Plus, ha
dado valor agregado al texto para los estudiantes, en especial para quienes trabajan por primera vez con una calculadora graficadora. También da a profesores más flexibilidad en términos de la forma en que se aproximan a una
solución. El diso del texto hace que los insertos de tecnología se identifiquen
fácilmente, y se citan en una tabla de contenido especial de tecnología para
que se puedan buscar con más facilidad.
A continuación veremos un breve repaso de los capítulos, seguido por una
breve descripción del curso de Álgebra Universitaria que imparto en el AnokaRamsey Community College y luego una lista de características generales del
texto.

Repaso
CAPÍTULO 1

Este capítulo contiene un resumen de algunos temas de álgebra básica. El estudiante debe estar familiarizado con gran parte de este material, pero también
es un desafío para él por los ejercicios que lo preparan para el cálculo. Se introducen y usan operaciones con calculadora graficadora para verificar operaciones algebraicas.

CAPÍTULO 2

Ecuaciones y desigualdades se resuelven algebraica y numéricamente en este
capítulo con apoyo de tecnología; se resuelven gráficamente en capítulos subsiguientes. El estudiante ampliará sus conocimientos de estos temas; por ejemplo, ha trabajado con la fórmula cuadrática pero se le pedirá que la relacione
con factorización y trabajo con coeficientes que no son números reales (vea
ejemplos 10 y 11 de la sección 2.3).

CAPÍTULO 3

Funciones y gráficas en dos dimensiones se introducen en este capítulo. Se dan
instrucciones específicas para calculadoras graficadora para casi todas las funciones básicas de gráficas, por ejemplo hallar ceros y puntos de intersección,
así como algunos de los temas más difíciles, como es hallar un modelo de
regresión y graficar una función definida por partes. Vea en el ejemplo 10
actualizado de la sección 3.5 una aplicación del tema (impuestos) que relaciona tablas, fórmulas y gráficas. La notación de flecha, previamente presentada en la sección 4.5, se ha trasladado a la sección 3.2 y se refiere más a
menudo.

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Pre facio

CAPÍTULO 4

Este capítulo inicia con una exposición de funciones polinomiales y alguna
teoría de polinomios. En la sección 4.5 se da un tratamiento completo de funciones racionales, que es seguida por una sección sobre variaciones que
incluye gráficas de funciones simples racionales y con polinomios.

CAPÍTULO 5

Las funciones inversas es el primer tema de análisis, seguido de varias secciones que se refieren a funciones exponenciales y logarítmicas. El modelado de
una función exponencial recibe atención adicional en este capítulo (vea el
ejemplo 4 de la sección 5.1).

CAPÍTULO 6

El primer tema de este capítulo se refiere a ángulos. A continuación, se introducen funciones trigonométricas usando un método de triángulo rectángulo y
luego se definen en términos de un círculo unitario. Aparecen identidades trigonométricas básicas en todo el capítulo, que concluye con secciones sobre
gráficas trigonométricas y problemas aplicados.

CAPÍTULO 7

Este capítulo contiene principalmente identidades trigonométricas, fórmulas y
ecuaciones. La última sección contiene definiciones, propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas inversas.

CAPÍTULO 8

La ley de los senos y la ley de los cosenos se usan para resolver triángulos oblicuos. A continuación se introducen y se usan vectores en aplicaciones. Las
últimas dos secciones se relacionan con funciones trigonométricas y números

complejos.

CAPÍTULO 9

Los sistemas de desigualdades y programación lineal siguen inmediatamente
a la solución de sistemas por sustitución y eliminación. A continuación, se
introducen matrices que se emplean para resolver sistemas. Este capítulo concluye con una exposición de determinantes y fracciones parciales.

CAPÍTULO 10

Este capítulo se inicia con una exposición de sucesiones y se ha incluido un
importante apoyo tecnológico. Las fórmulas para el n-ésimo término de sucesiones aritméticas y geométricas se han generalizado para encontrar el n-ésimo
término usando cualquier término, no sólo el primero. La inducción matemática y el teorema del binomio aparecen a continuación, seguidos por temas de
conteo. La última sección es acerca de probabilidad e incluye temas como son
las probabilidades y el valor esperado. Mi ejemplo favorito presenta un nuevo
tipo de problema de probabilidad y la solución se puede aplicar a muchos problemas similares (vea el ejemplo 9 de la sección 10.8).

CAPÍTULO 11

Con secciones sobre la parábola, elipse e hipérbola se inicia este capítulo. Dos
formas diferentes de representar funciones se dan en las siguientes secciones
sobre ecuaciones paramétricas y coordenadas polares. Se han añadido cerca de
100 nuevos ejercicios.

Mi curso
En el Anoka-Ramsey Community College en Coon Rapids, Minnesota, Álgebra Universitaria I es un curso de tres créditos que se imparte en un semestre.
Para estudiantes que tratan de tomar cálculo, este curso es seguido por un
curso de cuatro créditos en un semestre, Álgebra Universitaria II y Trigonometría. Este curso también sirve como curso terminal de matemáticas para
numerosos estudiantes.

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Pre facio

xiii

Las secciones cubiertas en Álgebra Universitaria I son
3.1-3.7, 4.1, 4.5 (parte), 4.6, 5.1-5.6, 9.1-9.4, 10.1-10.3 y 10.5-10.8.
Los capítulos 1 y 2 se usan como material de repaso en algunas clases y
las secciones restantes se imparten en el siguiente curso. Se requiere calculadora graficadora en algunas secciones y es opcional en otras.

Características
Una lista separada de temas para calculadora graficadora En las páginas ix y
x, hay una lista de temas para calculadora graficadora para rápida consulta.
Ilustraciones Se dan breves demostraciones del uso de definiciones, leyes y

teoremas en forma de ilustraciones.
Tablas Las tablas dan a estudiantes fácil acceso a resúmenes de propiedades,
leyes, gráficas, relaciones y definiciones. Estas tablas contienen con frecuencia ilustraciones sencillas de los conceptos que se introducen.
Ejemplos Titulados para fácil referencia, todos los ejemplos dan soluciones

detalladas a problemas semejantes a los que aparecen en conjuntos de ejercicios. Muchos ejemplos incluyen gráficas o tablas para ayudar al estudiante a
entender procedimientos y soluciones.
Explicaciones paso a paso Para ayudar a estudiantes a seguirlos con más facilidad, muchas de las soluciones en ejemplos contienen explicaciones paso a paso.
Ejercicios de análisis Cada uno de los capítulos termina con varios ejercicios

que son apropiados para comentarse en grupos pequos. Estos ejercicios van
de fáciles a difíciles y de teóricos a orientados a aplicaciones.
Demostraciones Las soluciones a algunos ejemplos se demuestran de manera

explícita, para recordarles a estudiantes que deben comprobar que sus soluciones satisfagan las condiciones de los problemas.
Ejemplos para calculadora graficadora Siempre que es apropiado, ejemplos

que requieren el uso de una calculadora graficadora se incluyen en el texto.
Estos ejemplos están designados con un icono de calculadora (mostrado a la
izquierda) e ilustrados con una figura reproducida de una pantalla de calculadora graficadora.
Insertos para calculadora graficadora Además de los ejemplos para calculadora graficadora, estos insertos se incluyen para destacar algunas de las
opciones de calculadoras graficadoras y/o ilustrar su uso para realizar las operaciones bajo discusión. Vea, por ejemplo, “Uso del modo de sucesión de la
TI-83/4” en la sección 10.1.
Ejercicios con calculadora graficadora En secciones apropiadas se incluyen

ejercicios específicamente disados para ser resueltos con una calculadora
graficadora. Estos ejercicios también están designados con un icono de calculadora (mostrado a la izquierda).
Aplicaciones Para aumentar el interés del estudiante y ayudarlo a relacionar
los ejercicios con situaciones actuales de la vida real, se han titulado ejercicios

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Pre facio

aplicados. Una mirada al Índice, en la parte final del libro, deja ver la amplia
variedad de temas. Muchos profesores han indicado que las aplicaciones constituyen una de las mejores características del texto.
Ejercicios Los conjuntos de ejercicios empiezan con problemas de práctica de

rutina y de manera gradual aumentan a problemas más difíciles. Un amplio
número de ejercicios contienen gráficas y datos tabulados; otros, requieren que
los estudiantes encuentren un modelo matemático para la información dada.
Muchos de los nuevos ejercicios requieren que el estudiante entienda la relación conceptual de una ecuación y su gráfica.
Los problemas aplicados aparecen por lo general hacia el final de un conjunto de ejercicios, para que el estudiante adquiera confianza al trabajar con las
nuevas ideas que se le han presentado, antes que trate problemas que requieren
mayor análisis y síntesis de estas ideas. Los ejercicios de repaso del final de
cada uno de los capítulos se pueden usar para prepararse para exámenes.
Exámenes de capítulo Esta es una característica nueva en la presente edición.
Estos exámenes contienen preguntas que son representativas de los ejercicios en
las secciones, así como preguntas conceptuales únicas. Espero que los profesores compartan sus preguntas favoritas del examen y, por favor, envíenmelas.
Directrices Las directrices se presentan en recuadros y enumeran los pasos en
un procedimiento o técnica para ayudar al estudiante a resolver problemas
en una forma sistemática.
Advertencias En todo el libro se ven avisos de atención para alertar a estu-

diantes sobre errores comunes.
Figuras Formando un paquete de figuras que no tiene igual, figuras y gráficas
aquí han sido generadas en computadora para máxima precisión, usando para
ello lo último en tecnología. Se emplean colores para distinguir entre partes
diferentes de figuras. Por ejemplo, la gráfica de una función se puede mostrar
en azul y la de una segunda función en rojo. Las leyendas son del mismo color
que las partes de la figura que identifican.
Diseño del texto El texto ha sido diseñado para asegurar que todas las exposiciones sean fáciles de seguir y se han resaltado conceptos importantes. Se
usa color en forma pedagógica para aclarar gráficas complejas y ayudar al
estudiante a visualizar problemas aplicados. Quienes ya antes adoptaron este
texto han confirmado que esto constituye un equilibrio muy atractivo en términos del uso del color.
Anexos Los anexos al final del texto contienen resúmenes muy útiles de álgebra, geometría y trigonometría.
Apéndices El Apéndice I, “Gráficas comunes y sus ecuaciones”, es un resu-

men ilustrado de gráficas y ecuaciones que los estudiantes por lo general
encuentran en matemáticas de precálculo. El Apéndice II, “Un resumen de
transformaciones de gráficas,” es una sinopsis ilustrativa de las transformaciones básicas de gráficas que se examinan en el texto: desplazamiento, estiramiento, compresión y reflexión. El Apéndice III, “Gráficas de funciones
trigonométricas y sus inversas,” contiene gráficas, dominios e imágenes de las
seis funciones trigonométricas y sus inversas. El Apéndice IV, “Valores de las
funciones trigonométricas de ángulos especiales en una circunferencia unita-

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ria,” es una referencia a página entera para los ángulos más comunes en una
circunferencia unitaria, valiosa para estudiantes que están tratando de aprender los valores de funciones trigonométricas básicas.
Sección de respuestas La sección de respuestas al final del texto da respuestas para casi todos los ejercicios de número impar, así como respuestas para
todos los ejercicios de repaso del capítulo. Dedicamos un considerable
esfuerzo para hacer de esta sección un método de aprendizaje para estudiantes
en lugar de sólo verificar respuestas. Por ejemplo, se dan demostraciones para
problemas de inducción matemática. Las respuestas numéricas para gran cantidad de ejercicios están expresadas tanto en forma exacta como aproximada.
Siempre que es posible se incluyen gráficas, demostraciones y sugerencias.
Las soluciones y respuestas elaboradas por el autor aseguran un alto grado de
consistencia entre el texto, los manuales de soluciones y las respuestas.

Herramientas de enseñanza para el profesor
Manual de soluciones para el profesor Por Jeffery A. Cole
(ISBN-10: 1-111-57311-5; ISBN-13: 978-1-111-57311-9)
Este manual elaborado por el autor incluye respuestas a todos los ejercicios del
texto y soluciones detalladas a casi todos los ejercicios. El manual ha sido revisado totalmente para mayor precisión.
Enhanced WebAssign

(ISBN-10: 0-538-73810-3; ISBN-13: 978-0-538-73810-1)
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amplio programa en línea para álgebra y trigonometría para fomentar la práctica que es tan importante para el dominio de los conceptos. La pedagogía
meticulosamente elaborada y ejercicios en los textos ha demostrado ser más
eficaz en Enhanced WebAssign, complementado con apoyo tutorial multimedia y retroalimentación inmediata de cómo los estudiantes completan sus
tareas.

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• Lea las páginas del libro electrónico, vea los videos, chat y enlaces al respecto.
• ¡Nuevo! Premium EBook con resaltados, toma de notas y funciones de búsqueda, así como enlaces a recursos multimedia.
• ¡Nuevo! Planes de estudio personal (sobre la base de preguntas de diagnóstico), que identifican temas que los estudiantes necesitan dominar para los
capítulos que siguen.
• Problemas algorítmicos, que le permiten asignar una versión única a cada
estudiante.
• Practicar con otra versión característica (activada por el instructor a discreción), permite que los estudiantes intenten las preguntas con nuevos conjuntos de valores hasta que se sientan lo suficientemente seguros como para
trabajar el problema original.
• GraphPad, permite a los estudiantes graficar segmentos de recta, parábolas
y círculos, así como responder a las preguntas.
• MathPad, que simplifica la entrada de los símbolos matemáticos.
Solution Builder www.cengage.com/solutionbuilder

Esta base de datos en línea para el instructor ofrece soluciones completas a
todos los ejercicios en el texto, lo que le permite crear impresiones personalizadas, soluciones seguras (en formato PDF) que coinciden exactamente con
los problemas que se asignan en la clase.

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PowerLecture with ExamView

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también se incluyen en este CD-ROM.
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Herramientas de aprendizaje para el estudiante
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número impar del texto, estrategias para resolver ejercicios adicionales y numerosas sugerencias útiles y advertencias.
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línea. Este sistema probado y fiable utiliza la pedagogía y el contenido que se
encuentra en este texto, y luego lo mejora para ayudarle a aprender álgebra y

trigonometría con mayor eficacia. Las tareas graduadas le permiten automáticamente concentrarse en su aprendizaje y se les brinda ayuda de estudio interactivo fuera de clase.
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texto, desglosado en lecciones de 10 a 20 minutos para la solución de problemas y abarca cada una de las secciones.
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Reconocimientos
Muchos cambios para esta edición se deben a las siguientes personas, que revisaron el manuscrito y/o hicieron sugerencias para aumentar la utilidad del
texto para el estudiante:

Elsie Campbell, Angelo State University
Ronald Dotzel, University of Missouri-St. Louis
Sherry Gale, University of Cincinnati
Sheila Ledford, Coastal Georgia Community College
Chris Parks, Indiana University
Brenda Shryock, University of North Carolina at Chapel Hill
Lisa Townsley, University of Georgia
Stephanie Vance, Adams State College
Loris Zucca, Lone Star College—Kingwood
Además, doy las gracias a Marv Riedesel y Mary Johnson por su revisión precisa de ejemplos nuevos y revisados y de ejercicios.
Estoy agradecido por la excelente cooperación del personal de
Brooks/Cole, en especial al grupo editorial de Gary Whalen Stacy Green,
Cynthia Ashton y Stefanie Beck. Gracias especiales a Lynh Pham por el
manejo de muchos temas de tecnología y a Mia Dreyer por su ayuda en la preparación de los manuscritos. Sally Lifland, Magín Gail, Hoover Jane y
Ostrander Quica, de Lifland et al., Bookmakers, que vio el libro en todas las
etapas de producción, tuvo un cuidado excepcional en ver que no se produjeran inconsistencias y ofreció muchas sugerencias útiles. El fallecido George
Morris, de Scientific Illustrators, creó el paquete de arte matemáticamente preciso y actualizó todo el arte a través de varias ediciones. Esta tradición de
excelencia se sigue llevando a cabo por su hijo Brian.
Además de todas las personas nombradas aquí, me gustaría expresar mi
sincera gratitud a numerosos estudiantes y profesores que han ayudado a dar
forma a mis puntos de vista sobre educación en matemáticas. Por favor siéntanse en entera libertad de escribirme sobre cualquier aspecto de este texto,
que yo valoro sus opiniones.
Jeffery A. Cole

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1
Conceptos
fundamentales
de álgebra
1.1

Números reales

1.2

Exponentes y
radicales

1.3

1.4

Expresiones
algebraicas
Expresiones
fraccionarias

La palabra álgebra proviene de ilm al-jabr w’al muqabala, título de un
libro escrito en el siglo IX por el matemático árabe Al-Juarismi. El título
se ha traducido como la ciencia de restauración y reducción, lo cual
significa trasponer y combinar términos semejantes (de una ecuación). La
transliteración latina de al-jabr llevó al nombre de la rama de las
matemáticas que ahora llamamos álgebra.
En álgebra usamos símbolos o letras, por ejemplo a, b, c, d, x, y, para
denotar números arbitrarios. Esta naturaleza general del álgebra está
ilustrada por las numerosas fórmulas empleadas en ciencia y la industria.
A medida que el lector avance en este texto y pase a cursos más
avanzados en matemáticas, o a campos de actividad donde se utilizan
matemáticas, estará cada vez más consciente de la importancia y poder de
las técnicas algebraicas.

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CAPÍTULO 1

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CO N C E P TOS F U N DA M E N TA L E S D E Á LG E B R A

1.1
Números reales

Los números reales se usan en toda la matemática y el estudiante debe estar
familiarizado con los símbolos que los representan, por ejemplo
1,

73,

49
12 ,

Ϫ5,

3
, 0.33333 . . . , 596.25,
͙2, 0, ͙Ϫ85

y otros. Los enteros positivos, o números naturales, son
1,

2,

3,

4,

....

Los números enteros (o enteros no negativos) son los números naturales combinados con el número 0. Los enteros se escriben como sigue
...,

Ϫ4,

Ϫ3,

Ϫ2,

Ϫ1,

0,

1,

2,

3,

4,

...

En todo este texto, las letras minúsculas a, b, c, x, y,… representan números reales arbitrarios (también llamados variables). Si a y b denotan el mismo
número real, escribimos a ϭ b, que se lee “a es igual a b” y se denomina
igualdad. La notación a b se lee “a no es igual a b”.
Si a, b y c son enteros y c ϭ ab, entonces a y b son factores, o divisores,
de c. Por ejemplo, como
6 ϭ 2 и 3 ϭ ͑Ϫ2͒͑Ϫ3͒ ϭ 1 и 6 ϭ ͑Ϫ1͒͑Ϫ6͒,
Sabemos que 1, Ϫ1, 2, Ϫ2, 3, Ϫ3, 6 y Ϫ6 son factores de 6.
Un entero positivo p diferente de 1 es primo si sus únicos factores positivos son 1 y p. Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y 19. El
teorema fundamental de la aritmética expresa que todo entero positivo diferente de 1 se puede expresar como el producto de números primos en una
forma y sólo una (excepto por el orden de los factores). Algunos ejemplos son
12 ϭ 2 и 2 и 3,

126 ϭ 2 и 3 и 3 и 7,

540 ϭ 2 и 2 и 3 и 3 и 3 и 5.

Un número racional es un número real que se puede expresar en la forma
a͞b, donde a y b son enteros y b 0. Note que todo entero a es un número
racional, dado que se puede expresar en la forma a͞1. Todo número real se
puede expresar como decimal, y las representaciones decimales para números
racionales son finitas o no finitas y periódicas. Por ejemplo, podemos demostrar, con el uso del proceso aritmético de la división, que
5
4

ϭ 1.25

y

177
55

ϭ 3.2181818 . . . ,
177

En escritura técnica, el uso del símbolo Џ es aproximadamente igual a
es conveniente.

donde los dígitos 1 y 8 en la representación de 55 se repiten indefinidamente
(a veces se escribe como 3.218).
Los números reales que no son racionales son números irracionales. Las
representaciones decimales para números irracionales son siempre no finitas y
no periódicas. Un número irracional común, denotado por p, es la razón entre
la circunferencia de un círculo y su diámetro. A veces usamos la notación
p ഠ 3.1416 para indicar que p es aproximadamente igual a 3.1416.
No hay número racional b tal que b2 ϭ 2, donde b2 denota b × b, pero hay
un número irracional denotado por ͙2 (la raíz cuadrada de 2), tal que
͑ ͙2 ͒2 ϭ 2.
El sistema de números reales está formado por todos los números racionales e irracionales. Las relaciones entre los tipos de números empleados en
álgebra están ilustradas en el diagrama de la figura 1, donde una línea que
enlaza dos rectángulos significa que los números mencionados en el rectángulo más alto incluyen los del rectángulo más bajo. Los números complejos,
que se estudian en la sección 2.4, contienen a todos los números reales.

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1.1

Números reales

3

FIGURA 1 Tipos de números empleados en álgebra

Números complejos

Números reales

Números racionales

Números irracionales

Enteros

Enteros negativos

0

Enteros positivos

Los números reales son cerrados con respecto a la operación de adición

(denotada por ϩ); esto es, a todo par a, b de números reales le corresponde
exactamente un número real a ϩ b llamado suma de a y b. Los números reales son también cerrados con respecto a la multiplicación (denotada por × );
esto es, a todo par a, b de números reales le corresponde exactamente un
número real a × b (también denotado por ab) llamado producto de a y b.
Importantes propiedades de la adición y multiplicación de números reales
aparecen en la tabla siguiente.
Propiedades de los números reales

Terminología

Caso general

(1) La adición es conmutativa.

aϩbϭbϩa

(2) La adición es asociativa.

a ϩ ͑b ϩ c͒ ϭ ͑a ϩ b͒ ϩ c

(3) 0 es la identidad aditiva.

aϩ0ϭa

(4) –a es el inverso aditivo,
o negativo, de a.
(5) La multiplicación es
conmutativa.
(6) La multiplicación es
asociativa.

(7) 1 es la identidad
multiplicativa.
1
(8) Si a 0, es el
a
inverso multiplicativo, o
recíproco, de a.

a ϩ ͑Ϫa͒ ϭ 0

(9) La multiplicación es
distributiva sobre la adición.

ab ϭ ba
a͑bc͒ ϭ ͑ab͒c
aи1ϭa
a

ͩͪ

1
ϭ1
a

a͑b ϩ c͒ ϭ ab ϩ ac y
͑a ϩ b͒c ϭ ac ϩ bc

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Significado

El orden es indiferente cuando se suman dos
números.
La agrupación es indiferente cuando se
suman tres números.
La suma de 0 con cualquier número da el
mismo número.
La suma de un número y su negativo da 0.
El orden es indiferente cuando se multiplican
dos números.
La agrupación es indiferente cuando se
multiplican tres números.
La multiplicación de cualquier número por
1 da el mismo número.
La multiplicación de un número diferente
de cero por su recíproco da 1.
La multiplicación de un número y una suma de
dos números es equivalente a multiplicar cada
uno de los dos números por el número y luego
sumar los productos.


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CAPÍTULO 1

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CO N C E P TOS F U N DA M E N TA L E S D E Á LG E B R A

Como a ϩ (b ϩ c) y (a ϩ b) ϩ c son siempre iguales, podemos usar a ϩ
b ϩ c para denotar este número real. Usamos abc por a(bc) o (ab)c. Del mismo
modo, si cuatro o más números reales a, b, c, d se suman o multiplican, podemos escribir a ϩ b ϩ c ϩ d para su suma y abad para su producto, cualquiera
que sea la forma en que los números se agrupen o intercambien.
Las propiedades distributivas son útiles para hallar productos de muchos
tipos de expresiones que comprendan sumas. El siguiente ejemplo da una ilustración.
EJEMPLO 1

Uso de propiedades distributivas

Si p, q, r y s denotan números reales, demuestre que
͑ p ϩ q͒͑r ϩ s͒ ϭ pr ϩ ps ϩ qr ϩ qs.
Usamos las dos propiedades distributivas que aparecen en (9)
de la tabla precedente:

SOLUCIÓN

͑ p ϩ q͒͑r ϩ s͒
ϭ p͑r ϩ s͒ ϩ q͑r ϩ
ϭ ͑ pr ϩ ps͒ ϩ ͑qr ϩ qs͒
ϭ pr ϩ ps ϩ qr ϩ qs

EJEMPLO 2

segunda propiedad distributiva, con c ϭ r ϩ s
primera propiedad distributiva
elimine paréntesis

■

Guardar valores y evaluar expresiones

Evalúe el lado izquierdo y el lado derecho de la igualdad del ejemplo 1 para
p ϭ 5,

q ϭ 3,

r ϭ Ϫ6

y

s ϭ 7.

SOLUCIÓN

SECUENCIA DE TECLEO PARA LA TI-83/4 PLUS
Guarda valores en P, Q,
R y S.
Evalúa el lado izquierdo
(LI).
Evalúa el lado derecho
(LD).

5 STO ᭟

ALPHA

(Ϫ) 6 STO ᭟

P
ALPHA

(

ALPHA

P

ϩ

(

ALPHA

R

ϩ

:

ALPHA
R

3 STO ᭟

ALPHA

ALPHA
ALPHA

:

Q

)

S

)

ALPHA

7 STO ᭟

Q

ALPHA

ALPHA

S

:
ENTER

ENTER

ALPHA

P

ALPHA

R

ϩ

ALPHA

P

ALPHA

S

ϩ

ALPHA

Q

ALPHA

R

ϩ

ALPHA

Q

ALPHA

S

ENTER

Ambos lados son iguales a 8, lo cual presta credibilidad a nuestro resultado pero no demuestra que sea correcto.
■

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1.1

Números reales

5

Las siguientes son propiedades básicas de la igualdad.

Propiedades de la igualdad

Si a ϭ b y c es cualquier número real, entonces
(1) a ϩ c ϭ b ϩ c
(2) ac ϭ bc

Las propiedades 1 y 2 expresan que el mismo número puede sumarse a
ambos lados de una igualdad, y ambos lados de una igualdad pueden multiplicarse por el mismo número. Haremos amplio uso de estas propiedades en
todo el texto para ayudar a hallar soluciones de ecuaciones.
El siguiente resultado se puede demostrar.

Productos que involucran el cero

(1) a и 0 ϭ 0 para todo número real a.
(2) Si ab ϭ 0, entonces a ϭ 0 o b ϭ 0.

Cuando usamos la palabra o como hicimos en (2), queremos decir que al
menos uno de los factores a y b es 0. Nos referiremos a (2) como el teorema
del factor cero en un trabajo futuro.
Algunas propiedades de los negativos aparecen en la tabla siguiente.
Propiedades de los negativos

Propiedad

Ilustración

(1) Ϫ͑Ϫa͒ ϭ a

Ϫ͑Ϫ3͒ ϭ 3

(2) ͑Ϫa͒b ϭ Ϫ͑ab͒ ϭ a͑Ϫb͒

͑Ϫ2͒3 ϭ Ϫ͑2 и 3͒ ϭ 2͑Ϫ3͒

(3) ͑Ϫa͒͑Ϫb͒ ϭ ab

͑Ϫ2͒͑Ϫ3͒ ϭ 2 и 3

(4) ͑Ϫ1͒a ϭ Ϫa

͑Ϫ1͒3 ϭ Ϫ3

1
de un número real a diferente de cero a veces se denota como
a
Ϫ1
a , como en la tabla siguiente.
El recíproco

Notación para recíprocos

Definición
Si a

0, entonces aϪ1 ϭ

Ilustraciones
1
.
a

2Ϫ1 ϭ

ͩͪ
3
4

Note que si a

0, entonces

ͩͪ

a и aϪ1 ϭ a

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1
a

ϭ 1.

1
2

Ϫ1

ϭ

4
1
ϭ
3͞4
3


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CAPÍTULO 1

Recíprocos

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2 STO ᭟
x Ϫ1

ALPHA

A

ENTER

ENTER
A

ALPHA

x Ϫ1

ENTER

En la figura, vemos dos formas de calcular el recíproco: (1) Con sólo presionar x Ϫ1 obtenemos el recíproco de la última respuesta, que se guarda en ANS . (2) Podemos introducir una
variable (o sólo un número) y luego hallar su recíproco.

Las operaciones de sustracción ͑Ϫ͒ y división ͑Ϭ͒ se definen como
sigue.
Sustracción y división

Definición
a Ϫ b ϭ a ϩ ͑Ϫb͒

ͩͪ

1
b
Ϫ1

ϭaиb ;b

aϬbϭaи

Sustracción y
negativos

5

Ϫ

5

ϩ

3

Ilustración

Para restar un
número de otro,
sume el negativo.

3 Ϫ 7 ϭ 3 ϩ ͑Ϫ7͒

Para dividir un
número entre un
número diferente
de cero, multiplique
por el recíproco.

3Ϭ7ϭ3и

ͩͪ
1
7

ϭ 3 и 7Ϫ1

ENTER

(Ϫ) 3

5 (Ϫ) 3

0

Significado

ENTER

ENTER

La ejecución del último enunciado produce un error SYNTAX en la TI-83/4 Plus. Use la tecla
de signo menos Ϫ para la operación de sustracción y la tecla (Ϫ) (negación) para números
negativos. Con frecuencia omitiremos la tecla de negación de aq en adelante y simplemente
escribiremos Ϫ3.

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