Chuyên đề khối nón trụ cầu luyện thi THPT quốc gia

Tailieumontoan.com

Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

CHUYÊN ĐỀ

KHỐI NÓN – TRỤ - CẦU

Tài liệu sưu tầm, ngày 8 tháng 12 năm 2020


Website: tailieumontoan.com

DẠNG TỐN 44: KHỐI NĨN -TRỤ- CẦU
PHẦN I:
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Khối nón :
 Các yếu tố cơ bản của hình nón:
+ Chiều cao: h .
+ Bán kính đường tròn đáy: r .
+ Độ dài đường sinh: l .
+ Góc ở đỉnh: 2α ( 0° < α < 90° ) .
 Mối liên hệ giữa chiều cao, đường sinh và bán kính đáy của
2
hình nón: l=
h2 + r 2

 Hình nón trịn xoay tạo thành khi quay tam giác: Cho ∆AIB vng
tại I quay quanh cạnh góc vng AI thì đường gấp khúc ABI tạo
thành một hình, gọi là hình nón trịn xoay (gọi tắt là hình nón).
+ Đường thẳng AI gọi là trục, A là đỉnh, AI gọi là đường cao và AB gọi là đường sinh của hình nón.

+ Hình trịn tâm I , bán kính r = IB là đáy của hình nón.
 Cơng thức diện tích của hình nón và thể tích của khối nón:
Cho hình nón có chiều cao là h , bán kính đáy r và đường sinh là l thì ta có:
+ Diện tích xung quanh: S xq = π .r.l
+ Diện tích đáy (hình trịn): Sð = π .r 2
+ Diện tích tồn phần hình nón: S=
S xq + Sð .
tp
+ Thể tích khối nón:=
Vnon

1
1
=
Sð .h
π .r 2 .h .
3
3

2. Khối trụ :
 Các yếu tố cơ bản của hình trụ:
+ Chiều cao: h .
+ Bán kính đường trịn đáy: r .
+ Độ dài đường sinh: l = h .
 Cơng thức diện tích của hình trụ và thể tích của khối trụ:
-Diện tích đáy khối trụ : Sđ = π r 2 .
- Diện tích xung quanh khối trụ : Sxq = 2π rh .

S xq + 2.S Ðay =
2π rh + 2π r 2

- Diện tích tồn phần của hình trụ: Stp =
- Chu vi một đáy của hình trụ: C = 2π r .
-Thể tích khối trụ : V = π r 2 h
3. Khối cầu:
- Diện tích khối cầu bán kính R : Sđ = 4π R 2 .

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 1


Website: tailieumontoan.com

4
-Thể tích khối cầu bán kính R : V = π R3
3
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
 Lý thuyết mặt nón, mặt trụ, mặt cầu.
 Bài tập tổng hợp về nón- trụ- cầu.
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Cho hình trụ có chiều cao bằng 6a . Biết rằng khi cắt hình trụ
đã cho bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 3a , thiết diện thu được là một
hình vng. Thể tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng:
C. 54π a .
D. 108π a .
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TỐN: Đây là bài tốn ở dạng vận dụng Tính thể tích khối trụ từ các điều kiện cho trước.
2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Cách xác định một mặt phẳng song song với 1 đường thẳng cho trước.
Cách xác định khoảng cách từ 1 đường thẳng đến 1 mặt phẳng song song với nó.

A. 216π a .
3

B. 150π a .
3

3

3

Cơng thức tính thể tích khối trụ: V = π r 2 h , với h là đường cao và r là bán kính đường trịn đáy.
3. HƯỚNG GIẢI:
B1: Xác định mặt phẳng thiết diện song song với trục của hình trụ.
B2: Xác định khoảng cách từ trục của hình trụ đến thiết diện. Từ đó tìm được bán kính của đường trịn đáy.
B3: Tính thể tích của khối trụ cần tìm.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn D

Lấy 2 điểm M, N lần lượt nằm trên đường tròn tâm O sao cho MN = 6a .
Từ M, N lầm lượt kẻ các đường thẳng song song với trục OO ' , cắt đường tròn tâm O ' tại Q, P.
Thiết diện ta thu được là hình vng MNPQ có cạnh bằng 6a .
Gọi H là trung điểm của PQ.
Vì OO '/ / ( MNPQ ) nên ta có d (=
OO ', ( MNPQ ) ) d=
( O ', ( MNPQ ) ) O ' H .
Từ giả thiết, ta có O ' H = 3a . Do đó ∆O ' HP là tam giác vuông cân tại H.
Suy ra bán kính đường trịn đáy của hình trụ là O ' P=

(

O ' H 2 + HP 2= 3a 2 .

)

2

Vậy thể tích của khối trụ cần
tìm là: V 6=
=
a.π . 3a 2
108π a 3 .
Bài tập tương tự và phát triển:
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 2


Website: tailieumontoan.com

 Mức độ 3
Câu 1.

Cho hình trụ có đường kính đáy bằng 6a 2 . Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng
song song với trục và cách trục một khoảng bằng 3a , thiết diện thu được là một hình vng. Thể
tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng
A. 216π a .
3

B. 108π a .

3

C. 54π a .
Lời giải
3

D. 150π a .
3

Chọn B

Theo giả thiết, bán kính hình trụ là: R = 3a 2
Giả sử thiết diện là hình vng MNPQ, ta có, O ' H = 3a ; O ' Q = 3a 2 .
Suy ra QH = O ' Q 2 − O ' H 2 =3a ⇒ PQ =6a .
Thiết diện ta thu được là hình vng MNPQ có cạnh bằng 6a . Suy ra chiều cao hình trụ là
h = 6a

(

)

2

Vậy thể tích của khối trụ cần
tìm là: V 6=
=
a.π . 3a 2
108π a 3 .
Câu 2.

Cho hình nón có độ dài đường sinh là l = 6a . Biết rằng khi cắt hình nón đã cho bởi một mặt
phẳng qua trục thiết diện thu được là một hình tam giác đều. Thể tích của khối nón được giới hạn
bởi hình nón đã cho bằng
A. 9 3π a 3 .

B.

27 3π a 3
.
2

9 3π a 3
.
2
Lời giải

C.

D.

9π a 3
.
2

Chọn A

Gọi ∆SAB là thiết diện khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng qua trục
Tam giác ∆SAB đều, suy ra AB = SA = 6a ⇒ r = OA = 3a và=
SO 3=
a 3 h.

=
V

1 2
1
2
3a 3 9 3π a 3 .
=
πr h
π ( 3a ) =
3
3

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 3


Website: tailieumontoan.com

Câu 3.

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A′B′C ′ có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính
thể tích V của khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ đã cho.
A.

π a2h
9

.

B.

π a2h
6

.

C.

π a2h
3

D. 3π a 2 h .

.

Lời giải
Chọn C
A'

C'

G'
B'

l

h

A

G

a R
B

M

C

Gọi G là trọng tâm ∆ABC còn M là trung điểm của BC .

∆ABC đều cạnh bằng a nên AM = a 3 .
2
Gọi R là bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆ABC thì=
R AG
= 2 AM
=
3

3 a.
3
2

 3 
π a2h
Vậy thể tích V của khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ =
là V π=
.

R h π 
a=
 h
3
 3 
2

Câu 4.

Cho hình trụ có trục OO ' , thiết diện qua trục là một hình vng cạnh 2a . Mặt phẳng ( P ) song
song với trục và cách trục một khoảng
A. a 2 3 .

a
. Tính diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi ( P ) .
2

B. a 2 .

C. 2a 2 3 .

D. π a 2 .

Lời giải
Chọn C

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 4

Website: tailieumontoan.com

Mặt phẳng ( P ) song song với trục nên cắt hình trụ theo thiết diện là hình chữ nhật có một kích
2

a
thước là 2a . Kích thước cịn lại là 2 r 2 − d 2= 2 a 2 −   = a 3 , trong đó r = a bán kính đáy
2
a
và d = là khoảng cách từ trục đến mặt phẳng ( P ) .
2

Diện tích thiết diện
là S 2=
=
a.a 3 2a 2 3 .
Câu 5.

Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vng cân có diện tích bằng 8.
Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng
A. 16 2π .

B.

8π
.
3
Lời giải

16 2π
.
3

D. 8π .

C.

Chọn B

S

O

A

B

Ta có thiết diện là tam giác SAB vuông cân tại S
1
8 ⇔ .SA.SB =
8 ⇔ SA2 =
16 ⇔ SA =4
Diện tích S ∆SAB =
2

AB = 4 2
Tam giác SAB  vuông cân tại S suy ra  
Đường cao và bán kính của hình nón là h= SO= r=

3
1
1
16 2π
.
.π .r 2 .h
.π . =
2 2
=
3
3
3
Một tấm nhơm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a ( a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn
tấm nhơm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích
của nó bằng

(

Vậy thể tích của khối nón
là: V
=

Câu 6.

1
AB= 2 2 .
2

A.

a3

π

.

)

a3
.
2π
Lời giải

B. π a 3 .

C.

D. 2π a 3 .

Chọn A
Gọi bán kính đáy là R . Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có 2π R = 2a ⇔ R =

a

π

.

Suy ra hình trụ này có đường cao h = a.
2

a3
a
Vậy thể tích khối trụ
(đvtt).
V π=
R2h π  =
a
=

π
π 

Câu 7.

Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có đường chéo BD′ = x 3 . Tính thể tích khối trụ có hai đường
trịn đáy ngoại tiếp hai hình vng ABCD và A′B′C ′D′ .

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 5


Website: tailieumontoan.com

A.

3π x 3
.
2

B.

π x3
3

.

C.

π x3
2

.

D.

2π x 3
.
3

Lời giải
Chọn C

.
Ta có:=
BD′ AB
=
3 x 3 ⇒ AB =
x . Suy ra hình trụ có chiều cao h = x .

Do hình trụ có hai đáy là đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD nên có bán kính

=
R

AB 2 x 2
=
.
2
2
2

x 2
π x3
Vậy thể tích khối trụ cần tìm =
là: V π=
.
R .h π . 
=
 .x
2
 2 
Cho lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a . Một hình trụ trịn xoay có hai đáy là hai hình
trịn ngoại tiếp hai đáy của lăng trụ. Thể tích của khối trụ tròn xoay bằng
2

Câu 8.

A.

π a3
9

.

C. 3π a 3 .

B. π a 3 .

D.

π a3
3

.

Lời giải
Chọn D
A

a

a

O
B

H

C

Gọi O là tâm tam giác đều ABC .

R OA
=
Gọi R là bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆ABC . Khi đó =

2 3
. =
a
3 2

3
a.
3

Chiều cao của hình trụ h = a .
2

 3 
π a3
Thể tích của khối trụ trịn xoay đó là:
(đvtt).
Vtru π=
a  .a
.R .h π . 
=
=
3
 3 

2

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 6


Website: tailieumontoan.com

Câu 9.

Cho hình thang vng ABCD có đường cao AD = a , đáy nhỏ AB = a , đáy lớn CD = 2a . Thể
tích của khối trịn xoay tạo thành khi quay hình thang vng đó quanh cạnh CD là
2
4
1
A. V = π a 3 .
B. V = π a 3 .
C. V = π a 3 .
D. V = 2π a 3 .
3
3
3
Lời giải
Chọn C

Khối tròn xoay tạo thành bao gồm
Khối trụ có chiều cao AB = a , bán kính đáy AD = a =
nên Vtru π=
. ( a ) .a π a 3 .

2

nên Vnon
Khối nón có chiều cao EC = a , bán kính đáy BE = a =

4π a 3
.
3
3
Câu 10. Cho khối trụ có đường kính đáy là a , mặt phẳng qua trục của khối trụ cắt khối trụ theo một thiết

Vậy thể tích khối trịn xoay V =π a 3 +

π a3

π a3
1
2
.
=
π (a) a
3
3

=

2
diện có diện tích là 3a . Tính thể tích của khối trụ đã cho.

A.

3π a 3
.
4

B.

π a3
4

.

9π a 3
.
4
Lời giải

C.

D.

3π a 3
.
2

Chọn A

a
Gọi R là bán kính đáy của hình trụ ⇒ R =.
2

Giả sử mặt phẳng qua trục cắt hình trụ theo thiết diện là hình chữ nhật ABB′A′
= 2=
R a , AA′ = h là chiều cao của hình trụ.
Có: AB

S ABB′A′ = AB. AA′ ⇔ 3a 2 = a.h ⇔ h = 3a
3π a 3
a
.
Vtru π=
a
.R 2 .h π .  =
.3
=

4
2
2

Câu 11. Thể tích khối trụ ngoại tiếp khối hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có AB = a 3 , AD = a ,

AA ' = a 6 là (Khối trụ ngoại tiếp khối hộp chữ nhật là khối trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp
hai đáy của khối hộp chữ nhật)
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 7


Website: tailieumontoan.com

A. V = π a 3 6 .

B. V =

π a3 6
3

.

C. V =

π a3 2
2

.

D. V = π a 3 3 .

Lời giải
Chọn A

Gọi O =
AC ∩ BD; O ' =
A ' C '∩ B ' D ' .
Khối trụ ngoại tiếp khối hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có: bán kính đáy =
R OA
=

1
AC

= a và
2

h OO
=' AA
=' a 6 .
chiều cao=
=
V π=
R 2 h π a3 6 .
Thể tích khối trụ:
Câu 12. Cho hình trụ có hai đường trịn đáy là ( O; R ) và ( O′; R ) , OO′ = h . Biết AB là một đường kính
của đường trịn ( O; R ) và tam giác O′AB đều. Thể tích của khối trụ tạo bởi hình trụ trên bằng
A.

π R3 3
6

.

B. π R 3 3 .

C.

π R3 3
4

.

D.

3π R 3 3
.
2

Lời giải
Chọn B

h OO
=′ R 3 .
Ta có tam giác ∆O′AB đều có cạnh bằng 2R suy ra=
=
V π=
R 2 h π R 2 .=
R 3 π R 3 3.
Thể tích của khối trụ
Câu 13. Một hình trụ có bán kính đáy bằng a , chu vi thiết diện qua trục bằng 10a . Thể tích của khối trụ
đã cho bằng
4π a 3
A.
.
B. 3π a 3 .
C. 4π a 3 .
D. π a 3 .
3
Lời giải
Chọn B

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 8


Website: tailieumontoan.com

Gọi ABCD là thiết diện qua trục của hình trụ, ta có ABCD là hình chữ nhật.
Từ giả thiết suy ra AB  2a và 2  AB  BC   10a  BC  3a .
Suy ra hình trụ có chiều cao h = 3a.
Vậy thể tích khối trụ đã cho bằng V  π R 2 .h  π .a 2 .3a  3π a 3 .
Câu 14. Cho hình nón đỉnh S , đáy là hình trịn tâm O , độ dài đường sinh bằng 2a . Một mặt phẳng qua
đỉnh S cắt hình nón theo thiết diện là tam giác SAB có diện tích lớn nhất. Biết khoảng cách từ O
đến đường thẳng AB bằng a . Thể tích của khối nón tạo bởi hình nón trên bằng
4π a 3
.
B. 3π a 3 .
C. 4π a 3 .
D. π a 3 .
A.
3
Lời giải
Chọn D

Ta có độ dài đường sinh l  2a; OH  a
Tam giác SAB cân tại S .
Khi đó diện tích tam giác SSAB 

1
1
l2
SA.SB.sin 

ASB  l 2 .sin 
ASB  .
2
2
2

Nên diện tích tam giác SAB lớn nhất khi sin 
ASB = 1 hay tam giác SAB vuông cân tại

S ⇒ AB =

SA2 + SB 2 =

=
r
Bán kính đáy

2l 2  = 2 2a .

OH 2 + HA2 = OH 2 +

Chiều cao của hình nón h = SO =

=
V
Thể tích khối nón.

AB 2
=
4

a 2 + 2a 2 =
3a 2 ⇒ r =
a 3,

SA2 − r 2 = a .

1 2
=
π r h a 3π .
3

 

Câu 15. Một hình trụ có hai đáy là hai hình trịn O ; r





và O  ; r . Khoảng cách giữa hai đáy là





OO   r 3 . Một hình nón có đỉnh là O và có đáy là hình trịn O  ; r . Gọi S1 là diện tích xung
quanh của hình trụ và S 2 là diện tích xung quanh của hình nón. Tính tỉ số

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

S1
S2

.

Trang 9


Website: tailieumontoan.com

A.

S1
S2



2
3

.

B.

S1
S2

 2 3.

C.

S1
S2

 2.

D.

S1
S2

 3.

Lời giải
Chọn D

Hình trụ có bán kính đáy r , chiều cao h = r 3 .
Hình nón có bán kính đáy r , chiều cao h = r 3 , độ dài đường sinh l = 2r .

=
S1 2=
π rh 2π r.=
r 3 2 3π r 2 .
=
=
S 2 π=
rl π r.2
r 2π r 2 .
S1 2 3π r 2

Vậy
=
=
S2
2π r 2

3.

AD
= a . Quay hình thang và miền
2
trong của nó quanh đường thẳng chứa cạnh BC . Tính thể tích V của khối trịn xoay được tạo
thành.

= BC
=
Câu 16. Cho hình thang ABCD vuông tại A và B với AB

A. V =

4π a 3
.
3

B. V =

5π a 3
.
3

C. V = π a 3 .

D. V =

7π a 3
.
3

Lời giải
Chọn B
D

E

2a
C
a

B

a

A

Dựng hình chữ nhật ABED với E nằm trên tia BC .
Thể tích khối trụ sinh bởi hình chữ nhật ABED khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh BC là

=
V1 AD.π=
. AB2 2=

a.π .a 2 2π a 3 .
Thể tích khối nón
1
V2
CE=
.π .ED 2
=
3

sinh bởi tam giác EDC khi xoay quanh đường thẳng chứa cạnh BC là
1
π a3
.
.a.π .a 2
=
3
3

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 10


Website: tailieumontoan.com

Thể tích khối trịn xoay cần tìm là V = V1 − V2 =

5π a 3
.
3

Câu 17. Cho mặt cầu ( S ) có bán kính bằng 4 , hình trụ ( H ) có chiều cao bằng 4 và hai đường tròn đáy
nằm trên ( S ) . Gọi V1 là thể tích của khối trụ ( H ) và V2 là thể tích của khối cầu ( S ) . Tính tỉ số
V1
.
V2

A.

V1
3
=
V2 16

B.

V1
9
=
V2 16

C.

V1 2
=
V2 3

D.

V1 1

=
V2 3

Lời giải
Chọn B

Hai đường trịn đáy của hình trụ nằm trên mặt cầu ( S ) nên tâm mặt cầu ( S ) là trung điểm của
đoạn thẳng nối tâm hai đáy của hình trụ. Khi đó:
2

4
Bán kính đáy của khối trụ ( H ) : r = 4 −   =2 3 .
2
2

πr 2 h =
π.12.4 =π
48 .
Thể tích của khối trụ ( H ) là V1 =
4
4
256 π
.
Thể tích của khối cầu ( S ) là V2 = πR3 = π.4 3 =
3
3
3
Vậy

V1

9
.
=
V2 16

Câu 18. Cho khối nón ( N ) đỉnh S ,có chiều cao là a 3 và độ dài đường sinh là 3a . Mặt phẳng ( P ) đi
qua đỉnh S , cắt và tạo với mặt đáy của khối nón một góc 60° . Tính diện tích thiết diện tạo bởi
mặt phẳng ( P ) và khối nón ( N ) .
A. 2a 2 3 .

B. a 2 5 .

C. 2a 2 5 .

D. a 2 3 .

Lời giải
Chọn C

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 11


Website: tailieumontoan.com

S

l

h

r
O

A

I

B

Khối nón ( N ) có tâm đáy là điểm O , chiều cao SO= h= a 3 và độ dài đường sinh l = 3a .
Giả sử mặt phẳng ( P ) cắt ( N ) theo thiết diện là tam giác SAB .
Do SA
= SB
= l ⇒ tam giác SAB cân tại đỉnh S .
Gọi I là trung điểm của AB .
Ta có OI ⊥ AB , SI ⊥ AB và khi đó góc giữa mặt phẳng

( P)

và mặt đáy của

(N)

là góc

= 60° .
SIO
= 60° .

Trong tam giác SOI vng tại O góc SIO

SO
a 3
= = 2a .

sin SIO sin 60°
Trong tam giác SIA vuông tại I .
Ta =
có SI

2
2
2
2
2
2
Ta có IA = SA − SI = 9a − 4a = 5a ⇒ IA =
a 5 ⇒ AB = 2 IA = 2a 5 .

1
1
SI=
. AB
.2a.2a=
5 2a 2 5 .
2
2
Câu 19. Để làm một chiếc cốc bằng thủy tinh dạng hình trụ với đáy cốc dày 1,5 cm , thành xung quanh cốc
Std S=

Vậy diện tích thiết diện cần tìm là=
∆SAB

dày 0,2 cm và có thể tích thật ( thể tích nó đựng được) là 480π cm3 thì người ta cần ít nhất bao
3
nhiêu cm thủy tinh (lấy gần đúng)?

A. 201 ( cm3 ) .

B. 269 ( cm3 ) .

C. 217 ( cm3 ) .

D. 238 ( cm3 ) .

Lời giải
Chọn D
Gọi h, R ( cm ) lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối trụ bên trong (phần hình trụ dùng để
đựng được).
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 12


Website: tailieumontoan.com

Ta suy ra h + 1,5 ( cm ) và R + 0, 2 ( cm ) lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối trụ bên
ngồi (phần hình trụ của chiếc cốc).
2
Ta có thể tích thật (thể tích cái cốc có thể đựng được) được tính bởi cơng thức π R h = 480π .

Suy ra h =

480
.
R2

Do đó, thể tích phần thủy tinh cần thiết để làm chiếc cốc là

 3R 2 192 3R 96
3 
 480

+
+
+ 2 + .
V = π ( R + 0, 2 )  2 + 1,5  − 480π = π 
R
5 5 R 50 
 R

 2
2

2
192 3 192  π ( 5 R + 1)( R − 4 ) ( 3R + 12 R + 48 )

′ π  3R − 2 + − =
Suy ra V
=

R

R
5 5R3 
5R3

VR′ =0 ⇔ R =4 (nhận vì R > 0 ).

Dễ thấy VR′ đổi dấu từ âm sang dương khi R đi qua 4 nên

=
Vmin

3783π
≈ 238 ( cm3 ) khi R = 4 .
50

Câu 20. Cho mặt cầu ( S ) tâm O , bán kính R = 3 . Mặt phẳng ( P ) cách O một khoảng bằng 1 và cắt ( S )
theo giao tuyến là đường trịn ( C ) có tâm H . Gọi T là giao điểm của tia HO với ( S ) , tính thể
tích V của khối nón có đỉnh T và đáy là hình trịn ( C ) .
A. V =

32π
3

B. V = 16π

C. V =

16π

3

D. V = 32π

Lời giải
Chọn A
T

O

R=3

1
H
(C)

Gọi r là bán kính đường trịn ( C ) thì r là bán kính đáy của hình nón
Ta có: r 2 =
R 2 − OH 2 =
8.
HT = HO + OT =1 + 3 = 4 = h là chiều cao của hình nón.

1 2
1
32π
=
.π r h =
.π .8.4
.
3

3
3
Câu 21. Cắt một khối trụ bởi mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có cạnh AB
= 30° . Tính theo a thể tích
và cạnh CD nằm trên hai đáy của khối trụ. Biết BD = a 2 , DCA
khối trụ.
Vno´n
Suy ra:=

A.

3 2 3
πa .
48

B.

3 2 3
πa .
32

3 2 3
πa .
16
Lời giải

C.

D.

3 6 3
πa .
16

Chọn C

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 13


Website: tailieumontoan.com

Ta có AC
= BD
= a 2.
Mặt khác xét tam giác ADC vng tại D , ta có:
o
AD
= AC.sin 30=

2
a ⇒=
h
2

2
a và CD= AC.cos 30o=
2

CD
6
a ⇒ r=
=
2
2

6
a
4

2

 6 
2
3 2 3
Nên
=
V π=
r h π . 
a  . =
a
πa .
16
 4  2
2

Câu 22. Một chiếc bút chì có dạng khối trụ lục giác đều có cạnh đáy 3

( mm )

và chiều cao bằng

200 ( mm ) . Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi được làm bằng than chì. Phần lõi có dạng
khối trụ có chiều cao bằng chiều cao bằng chiều dài của bút và đáy là hình trịn có bán kính 1
( mm ) . Giả định 1 m3 gỗ có giá a triệu đồng, 1 m3 than chì có giá 6a triệu đồng. Khi đó giá
ngun vật liệu làm một chiếc bút chì như trên gần nhất với kết quả nào dưới đây?
A. 84,5.a đồng.
B. 78, 2.a đồng.
C. 8, 45.a đồng.
D. 7,82.a đồng.
Lời giải
Chọn D

1 m3 gỗ có giá a triệu đồng suy ra 1 mm3 gỗ có giá

a
đồng.
1000

1 m3 than chì có giá 6a triệu đồng suy ra 1 mm3 than chì có giá

6a
đồng.
1000

Phần chì của cái bút có thể tích bằng
=
V1 200.
=

π .12 200π ( mm3 ) .
Phần gỗ của của bút chì có thể tích bằng V2= 200.6.
Số tiền làm một chiếc bút chì là

32 3
− 200π= 2700 3 − 200π ( mm3 ) .
4

6a.V1 + a.V2
≈ 7,82a đồng.
1000

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 14


Website: tailieumontoan.com

Câu 23. Từ một tấm tơn hình chữ nhật kích thước 50cm.240cm , người ta làm các thùng đựng nước hình
trụ có chiều cao bằng 50cm , theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây):.
• Cách 1: Gị tấm tơn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
• Cách 2: Cắt tấm tơn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gị mỗi tấm đó thành mặt xung quanh
của một thùng.
Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V2 là tổng thể tích của hai thùng gị được
theo cách 2. Tính tỉ số

A.

V1 1

=
V2 2

V1
.
V2

B.

V1
=1
V2

C.

V1
=2
V2

D.

V1
=4
V2

Lời giải
Chọn C
Theo cách 1 thì thùng đựng nước tạo thành là hình trụ có bán kính đáy là R .
Theo cách 2 thì 2 thùng đựng nước tạo thành đều là hình trụ có bán kính đáy là

R
2

Đường cao của các thùng hình trụ là bằng nhau và bằng h.
2

2

V
R
R
2.h π   =
h π . Vậy tỉ số 1 = 2
Ta có V1 = h πR , V2 =
V2
2
2
2

Câu 24. Cho khối nón trịn xoay có đường cao h = 20cm , bán kính đáy r = 25cm . Mặt phẳng ( P ) đi qua
đỉnh của khối nón và cách tâm O của đáy là 12cm . Khi đó diện tích thiết diện cắt bởi ( P ) với khối
nón bằng
A. 500 cm 2 .

B. 475 cm 2 .

C. 450 cm 2 .
Lời giải

D. 550 cm 2 .

Chọn A

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 15


Website: tailieumontoan.com

Có ( P ) ≡ ( SAB ) . Gọi các điểm như hình vẽ.
Ta có SO= 20= h , OA= OB= r= 25 , gọi M là hình chiếu của O lên AB suy ra M là trung

(

)

= 12 .
điểm AB , gọi K là hình chiếu của O lên SM suy ra d O; ( SAB=
) OK
Ta tính được
OAB

là

1
1
1
1
1

1
=
+
⇒
= 2 − 2 ⇒ OM = 15, SM = 25 .
2
2
2
2
OK
OS OM
OM
12 20
O,
tam giác cân tại
là trung điểm của
M

AB

nên

AB= 2 AM= 2 OA 2 − OM 2 = 2 252 − 152 = 40 .
=
S∆SAB

1
=
SM. AB 500 cm2
2

(

)

Câu 25. Một khối gỗ hình trụ có bán kính đáy r = 10 ( cm ) , chiều cao bằng 20 ( cm ) . Người ta khoét rỗng
khối gỗ bởi hai nửa hình cầu mà đường trịn đáy của khối gỗ là đường trịn lớn của mỗi nửa hình
cầu. Tính tỉ số thể tích phần cịn lại của khối gỗ và cả khối gỗ.
1
1
2
A. .
B. 3 .
C. .
D. .
3
2
3
Lời giải
Chọn A

Thể tích ban đầu của khối gỗ:
=
V π=
r 2 h 2000π
 1 4 3  4000
Thể tích của phần gỗ bị khoét
đi là: V1 2.=
=
π

 . πr 
3
2 3

2000
Thể tích cịn lại của khối gỗ sau khi kht là: V2 = V − V1 =
π
3
V 1
Tỉ số thể tích phần còn lại của khối gỗ và cả khối gỗ: 2 = .
V 3
Câu 26. Cho hình nón có chiều cao bằng 8. Một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón và cắt hình nón theo một
thiết diện là tam giác vng cân có cạnh huyền bằng 10 2 . Tính thể tích của khối nón được giới
hạn bởi hình nón đã cho
A.

32 5π
.
3

B. 32π .

C. 32 3π .

D. 96π .

Lời giải
Chọn D

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 16


Website: tailieumontoan.com

Giả sử thiết diện là tam giác vuông cân SAB có cạnh bên bằng l như hình vẽ

⇒l =
2 10 2 ⇒=
l 10
Ta có: r = OB =

SB 2 − SO 2 =

V
=
⇒ Thể tích khối nón:

l 2 − h2 = 6

1 2
1
.62.8 96π .
=
πr h
π=
3
3

Câu 27. Cho một khối trụ có bán kính đáy r = a và chiều cao h = 2a . Mặt phẳng ( P ) song song với trục
OO ' của khối trụ chia khối trụ thành 2 phần, gọi V1 là thể tích phần khối trụ chứa trục
OO ' , V2 là thể tích phần cịn lại của khối trụ. Tính tỉ số
khoảng bằng
A.

3π + 2
.
π −2

V1
, biết rằng ( P ) cách OO ' một
V2

a 2
.
2

B.

3π − 2
.
π −2

3π + 3
.
π −2
Lời giải

C.

D.

3π − 3
.
π −2

Chọn A

Gọi ( H1 ) là phần khối trụ chứa trục OO ' ; ( H 2 ) là phần còn lại của khối trụ.
Gọi ABB ' A ' là thiết diện do mặt phẳng ( P ) khối trụ
Gọi I là hình chiếu của O lên mặt phẳng ABB ' A ' .
Thể tích khối trụ: V ==
π r 2 h π=
a 2 2a 2π a 3 .
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 17


Website: tailieumontoan.com

Ta có: ( P ) cách OO ' một khoảng bằng

a 2
a 2
⇒ OI = .
2
2
2

a 2
a 2
Ta có: OA
= IA + IO ⇔ IA = OA − OI =
a − 
 =
2
 2 
=
Suy ra tam giác OIA vuông cân tại I ⇒ IOA
AOB =
900
450 ⇒ 
2

2

2

2

2

2

π a 2 .90 π a 2
=
Diện tích hình quạt AOB là
360

4
Diện tích tam giác AOB là

1 2
a
2

Suy ra diện tích hình viên phân ứng với ( H 2 ) là:
Diện tích hình viên phân ứng với ( H1 ) là: π a 2 −
Vì ( H1 )

π a2 1 2 π − 2 2
− a =a .
4
2
4
π − 2 2 3π + 2 2

a =
a
4
4
V 3π + 2 2 π − 2 2 3π + 2
và ( H 2 ) có cùng=
chiều cao nên 1
.
=
a :
a
V2

4
4
π −2

Câu 28. Một cơ sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, có bán kính đáy lần lượt bằng
1m và 1,8m . Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ có cùng chiều cao và có thể tích
bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kết
quả nào dưới đây?
A. 2,8m .
B. 2, 6m .
C. 2,1m .
D. 2,3m .
Lời giải
Chọn C
V1 π=
=
r12 h π h
Bán kính đáy lần lượt bằng 1m và 1,8m nên thể tích của từng bể nước là 
=
r2 2 h 3, 24π h
V2 π=
Thể tích bể nước mới là: V =V1 + V2 = 4, 24π h .

r
= π r 2 h ⇔=
Câu 29. Bán kính của bể nước mới là: V

V
⇔
=

r
πh

4, 24π h
=
πh

4, 24 ≈ 2, 06 . Cho hình

nón ( N ) có đường sinh tạo với đáy một góc 60° . Mặt phẳng qua trục của ( N ) cắt ( N ) được
thiết diện là một tam giác có bán kính đường trịn nội tiếp bằng 1 . Tính thể tích V của khối nón
giới hạn bởi ( N ) .
A. =
V 3 3π

B. =
V 9 3π

C. V = 3π .

D. V = 9 π

Lời giải
Chọn C

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 18

Website: tailieumontoan.com

Giả sử mặt phẳng qua trục cắt hình nón theo thiết diện là tam giác ∆SAB , SA ; SB là đường sinh
của hình nón.
Gọi h là chiều cao của hình nón. Khi đó:
= 60°
Hình nón ( N ) có đường sinh tạo với đáy một góc 60° nên SAH
= 60° nên ∆SAB đều. Do đó tâm I của đường trịn nội tiếp ∆SAB
Ta có ∆SAB cân tại S có A

cũng là trọng tâm của ∆SAB .
= 3=
IH 3.
Theo bài ra IH = 1 suy ra SH
AB 3
Mặt khác SH =
⇒ AB =
2 3 ⇒ R =3 ⇒ SĐáy =
πR2 =π
3 .
2

Do đó V =

1
1
SH .SĐáy =
3.3π = 3π.
3
3

 Mức độ 4
Câu 30. Cho tam giác ABC đều cạnh a , đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) .
Gọi S là điểm thay đổi trên đường thẳng d , H là trực tâm tam giác SBC . Biết rằng khi điểm S
thay đổi trên đường thẳng d thì điểm H nằm trên đường tròn ( C ) . Trong số các mặt cầu chứa
đường trịn ( C ) , bán kính mặt cầu nhỏ nhất là
A.

a 2
.
2

B.

a 3
.
12

a 3
.
6
Lời giải

C.

D. a .

Chọn B

Gọi G là trực tâm của tam giác ABC. Khi đó G cũnglà trọng tâm của tam giác ABC.

Gọi I là trung điểm của BC . D; K lần lượt là hình chiếu của điểm C trên AB và SB .
Dễ chứng minh BC ⊥ ( SAI ) ⇒ BC ⊥ GH (1).

DC ⊥ ( SAB ) ⇒ DC ⊥ SB
SB ⊥ KC 
 ⇒ SB ⊥ ( CDK ) ⇒ SB ⊥ GH (2)
SB ⊥ CD 
 =90o ⇒ H thuộc mặt cầu đường kính GI và thuộc mặt
Từ (1), (2) suy ra GH ⊥ ( SBC ) ⇒ GHI

phẳng cố định ( SAI ) nên H thuộc đường tròn ( C ) là giao của mặt cầu đường kính GI và mặt
phẳng ( SAI ) .
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 19


Website: tailieumontoan.com

Gọi mặt cầu ( S ) chứa đường tròn ( C ) có tâm O và bán kính R .
Khi =
đó R

GI 2
+ d 2 ( O; ( SAI ) ) .
4

Bán kính R nhỏ nhất khi d ( O; ( SAI ) ) nhỏ nhất hay d ( O; ( SAI ) ) = 0 . Khi đó O ∈ ( SAI ) .
Như vậy, trong các mặt cầu chứa đường tròn ( C ) , mặt cầu đường kính GI là mặt cầu có bán
GI 1 1 a 3 a 3

kính nhỏ nhất ⇒ Rmin = = .
.
=
2 2 3 2
12
Câu 31. Cho khối trụ có thiết diện qua trục OO′ là một hình vng cạnh bằng 2 . Mặt phẳng ( P ) qua
trung điểm I của OO′ và tạo với mặt phẳng chứa đáy góc 30ο . Diện tích của thiết diện do ( P )
cắt khối trụ gần số nào sau đây nhất?
A. 3, 7 .
B. 3,8 .

C. 3,5 .

D. 3, 6 .

Lời giải
Chọn D

Do thiết diện qua trục OO′ là một hình vng cạnh bằng 2 nên chiều cao của hình trụ là h = 2 và
bán kính đáy là R = 1 .
Giả sử giao tuyến của mặt phẳng ( P ) và đáy chứa tâm O là đường thẳng d . Gọi E là hình chiếu

 = 30ο .
của O trên d . Khi đó góc giữa ( P ) và mặt phẳng chứa đáy là góc OEI
=
Trong tam giác vng IOE có tan OEI

OI
2
⇒ OE =

= 3 > 1 . Do đó điểm E nằm ngồi
OE
3
3

đường trịn đáy nên thiết diện là Elip.
Gọi AM và CD là trục lớn và trục bé của Elip.
Trong mặt phẳng chứa AM và trục của hình trụ, kẻ đường thẳng song song với đáy

của hình trụ và cắt mặt xung quanh của hình trụ tại H . Khi đó 
AMH
= OEI
= 30ο .
HM
2
4 3
Trong tam giác vng AHM có: cos 
.
AMH =
⇒ AM =
=
AM
3
3
2
4 3
2 3
.
⇔=
a

3
3
Mà CD = 2b = 2 ⇒ b = 1 .

Hay 2=
a

Thiết diện là hình Elip nên diện tích bằng=
π ab

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

2 3π
≈ 3, 62 .
3

Trang 20


Website: tailieumontoan.com

Câu 32. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1 , mặt bên SAB là tam giác đều
và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp
hình chóp đã cho.
A. V =

5 15π
18

B. V =

5 15π
54

C. V =

4 3π
27

D. V =

5π
3

Lời giải
Chọn B

Gọi H là trung điểm của AB ; Vì ∆SAB đều nên SH ⊥ AB .
Mà ( SAB ) ⊥ ( ABC ) ⇒ SH ⊥ ( ABC ) ⇒ SH là đường cao của hình chóp S . ABC
Gọi G là trọng tâm của ∆ABC .
Tam giác ∆ABC đều ⇒ G là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC .
Qua G kẻ đường thẳng d song song với SH ⇒ d ⊥ ( ABC ) và d nằm trong mp (SHC)

∆SAB có độ dài các cạnh bằng 1 suy ra SH = HC
Xét hai tam giác đều ∆ABC =
Gọi K là trung điểm của SC , vì ∆SHC vng cân tại H ⇒ HK là đường trung trực ứng với
SC .
= IB
= IC
 IA

Trong mp (SHC), Gọi I= d ∩ HK ta có 
⇒ IA = IB = IC = IS
 IS = IC
⇒ I là tâm khối cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC

G là trọng tâm ∆ABC ⇒ CG=

2
CH =
3

IG HG
=
Xét ∆HIG vuông tại G ta có =

3
.
3

3
15
⇒ IC = .
6
6
3

4
4  15  5π 15
Vậy thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp
.

=
V =
π IC 3
π=

3
3  6 
54
Câu 33. Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình trụ khơng đáy từ ngun liệu là mảnh tơn hình tam giác
đều ABC có cạnh bằng 90 (cm). Bạn muốn cắt mảnh tơn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn
nguyên liệu ( với M , N thuộc cạnh BC ; P và Q tương ứng thuộc cạnh AC và AB để tạo thành
hình trụ có chiều cao bằng MQ . Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn A có thể làm được là

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 21


Website: tailieumontoan.com

A.

91125
cm3 ) .
(
4π

B.

91125

cm3 ) .
(
2π

C.

108000 3

π

( cm ) .
3

D.

13500. 3

π

( cm )
3

Lời giải
Chọn D
Gọi I là trung điểm BC. Suy ra I là trung điểm MN
Đặt MN= x ( 0 < x < 90 ) ⇒

MQ BM
3
=

⇒ MQ =
( 90 − x )
AI
BI
2
2

x
3
 x  3
Gọi R là bán kính của trụ ⇒ R = ⇒ VT= π 
− x 3 + 90 x 2 )
( 90 − x )=
(

2π
π
π
2
2
8



( − x3 + 90 x 2 ) với 0 < x < 90 .
8π
Khi đó với 0 < x < 90

Xét f ( x )=

3

x = 0
3
f ' ( x ) = ( −3 x 2 + 180 x ) =0 ⇔ 
8π
 x = 60

Khi đó lập BBT

Dựa vào BBT Khi đó: max f ( x ) =
x∈( 0;90 )

13500. 3

π

khi x = 60.

Câu 34. Cho một hình nón đỉnh S , mặt đáy là hình trịn tâm O , bán kính R = 6 ( cm ) và có thiết diện qua
trục là tam giác đều. Cho một hình trụ có hai đường trịn đáy là ( O; r ) và ( I ; r ) , có thiết diện qua
trục là hình vng, biết đường trịn ( O; r ) nằm trên mặt đáy của hình nón, đường trịn ( I ; r ) tiếp
xúc với mặt xung quanh của hình nón ( I thuộc đoạn SO ). Tính thể tích khối trụ.

)( )

(

A. 432π 26 3 − 45 cm3 .

(

)( )

C. 1296π 7 − 4 3 cm3 .

(

)( )

B. 1296π 26 3 − 45 cm3 .

(

)( )

D. 432π 7 − 4 3 cm3 .
Lời giải

Chọn B

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 22


Website: tailieumontoan.com

Gọi S là đỉnh, O là tâm của đường trịn đáy của hình nón OM là bán kính đáy SM , OM cắt hai
đáy của hình trụ lần lượt tại hai điểm B, A .

Hình nón có bán kính đường tròn đáy R = 6 ( cm ) và có thiết diện qua trục là tam giác đều nên có
SM 3
= 6 3 cm
2
BI
SI
r
x
Đặt SI = x , vì BI / / AO nên ta có:
=
⇒ =
⇒ r=
OM SO
6 6 3

; SO
SM
= 2=
R 12 cm=

x
3

.

Chiều cao của hình trụ là: h = OI = SO − SI = 6 3 − x
Do

đó,

thiết

diện qua trục của hình trụ
2x
18
h = 2r ⇔ 6 3 − x =
⇔x=
= 18 2 − 3
3
2+ 3
h
Khi đó: h = 6 3 − x = 12 2 3 − 3 , r = = 6 2 3 − 3
2

(

(

(

hình

vng

khi

và

chỉ

khi:

)

(

)

là

)

)

(

)

(

)

Khối trụ có thể tích V= π r 2 h= π . 6 2 3 − 3  .12 2 3 − 3= 1296π 26 3 − 45 ( cm3 )


Câu 35. Khi sản xuất hộp mì tơm, các nhà sản xuất luôn để một khoảng trống ở dưới đáy hộp để nước chảy
xuống dưới và ngấm vào vắt mì, giúp mì chín. Hình vẽ dưới mơ tả cấu trúc của một hộp mình tơm
(hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa). Vắt mì tơm có hình một khối trụ, hộp mì tơm có dạng hình
nón cụt được cắt ra bởi hình nón có chiều cao 9 ( cm ) và bán kính đáy 6 ( cm ) . Nhà sản xuất đang
2

tìm cách để sao cho vắt mì tơm có thể tích lớn nhất trong hộp với mục đích thu hút khách hàng.
Tìm thể tích lớn nhất đó?

A. V = 36π .

B. V = 54π .

C. V = 48π .

D. V =

81
π
2

Lời giải
Chọn C
Đây thực chất là bài tốn khối trụ nội tiếp khối nón, ta có kí hiệu các kích thước như sau:
Gọi h; r lần lượt là chiều cao và bán kính của khối trụ.
Ta có thể tích vắt mì tơm được tính bằng =
V B=
.h π r 2 .h
Đây là ứng dụng của bài tốn tìm GTLN, GTNN trên một khoảng (đoạn) xác định:
Ta sẽ đưa thể tích về hàm số một biến theo h hoặc r. Trước tiên ta cần đi tìm mối liên hệ giữa h và
r. Nhìn vào hình vẽ ta thấy các mối quan hệ vng góc và song song, dùng định lí Thales ta sẽ có:
h 6−r
18 − 3r
=
⇔=

h
9
6
2
18 − 3r
3π r 3
Khi đó V =
f (r ) =
π r 2.
=
−
+ 9π r 2 với 0 < r < 6
2
2
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 23


Website: tailieumontoan.com

r = 0
9
− π r 2 + 18π r =
f '(r ) =
0⇔
2
r = 4
Khi đó lập BBT

Ta suy ra được với r = 4 thì V đạt GTLN, khi đó V = 48π .
Câu 36. Cho hình nón đỉnh O , chiều cao là h . Một khối nón khác có đỉnh là tâm của đáy và có đáy là là
một thiết diện song song với đáy của hình nón đỉnh O đã cho (hình vẽ). Tính chiều cao x của
khối nón này để thể tích của nó lớn nhất, biết 0 < x < h .
O

h
x

A. x =

h
.
3

B. x = h 3 .

C. x =

2h
.
3

D. x =

h 3
.
3

Lời giải

Chọn A

JB OJ h − x
R(h − x )
=
=
⇒ JB =
.
IA OI
h
h
1 R2
=
π 2 (h − x )2 x .
Thể tích khối nón cần tìm
là: V
3 h
2
1 R
V ( x)
π 2 (h − x )2 x , 0 < x < h .
Xét hàm số=
3 h
1 R2
h
=
π 2 ( h − x )( h − 3x ) = 0 ⇔ x = h hay x = .
V
'(
x

)
Ta có
3 h
3
Bảng biến thiên:
Từ hình vẽ ta có

Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối nón cần tìm lớn nhất khi chiều cao của khối nón là x =
Và Vmax

h
;
3

4π R 2 h
=
.
81

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 24