Chuyên đề khảo sát hàm số ôn thi THPT Quốc gia môn Toán

Chuyên đề khảo sát hàm số

ÔN TẬP TỐT NGHIỆP 2016
Chủ đề 1: Hàm số và các vấn đề liên quan.
Tiết 1: Hàm số bậc 3 ( khảo sát, vẽ đồ thị và biện luận nghiệm).
KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN & VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
1. Tập xác định của hàm số
2. Sự biến thiên
 Tìm giới hạn  tiệm cận (nếu có)
 Tính đạo hàm y’. Giải phương trình y’ = 0
 Lập bảng biến thiên
 Kết luận về đồng biến - nghịch biến và cực trị.
3. Đồ thị: Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (nếu dễ), tìm thêm vài điểm đặc
biệt rồi vẽ đồ thị
SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐƯỜNG
Cho hai đường cong (C1): y = f (x) và (C2): y = g (x) .
Ph.trình: f (x) = g (x) (*) gọi là ph.trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2).
Số nghiệm ph.trình (*) chính là số giao điểm của (C1 ) và (C2).
BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PH.TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ
Dùng đồ thị ( C ) của hàm số y = f(x), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình F (x,m )
=0
B1)
Biến đổi ph.trình F(x,m ) = 0 Û f (x)=g(m) (*)
B2)
Pt (*) là ph.trình hoành độ giao điểm của (C): y = f (x) và đ.thẳng d: y = g
(m) Þ Số nghiệm ph.trình đã cho chính là số giao điểm của (C) và d.
B3)
Dựa vào đồ thị (C) để biện luận (Lưu ý các giá trị cực trị ( nếu có) của hàm
số).
Ví dụ1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a) y = x 3 + 3x 2 – 4 .(C )

b). Dựa vào đồ thị (C ) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
x3  3x 2  m  0

Giải
3

2

a) y = x + 3x – 4
Tập xác định:

D = ¡

.

2

y ’ = 3x + 6x
éx = 0
Þ y= - 4
y ’ = 0 Û 3x + 6x = 0 Û êê
Þ y= 0
êëx = - 2
Giới hạn: lim y = + ¥ ; lim y = - ¥
2

x® + ¥

x® - ¥

Bảng biến thiên:
Gv Phạm Minh Tứ

0968.469.299


Chuyên đề khảo sát hàm số

Hàm số đồng biến trên (- ¥ ; - 2); (0; + ¥ ), nghịch biến trên (- 2; 0)
Hàm số đạt cực đại tại x = - 2; yCD = 0 , đạt cực tiểu tại x = 0; yCT = - 4
Điểm đặc biệt:
Điểm uốn: y '' = 6x + 6;

(

Þ I - 1; - 2

x
y

-3
-4

-2
0

y '' = 0 Û 6x + 6 = 0 Û x = - 1 Þ y = - 2

)
-1

-2

0
-4

1
0

Đồ thị:

Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn I (- 1; - 2) làm tâm đối xứng.
Xét phương trình: x3  3x 2  m  0  x3  3x 2  4  m  4 (1)
Số nghiệm của pt (1) là số giao điểm của đồ thị ( C) và đường thẳng (d) y = -m
- 4, dựa vào đồ thị ta được.
 -m – 4 > 0  m<-4 => (1) có một nghiệm đơn
 -m - 4 = 0  m =-4 => (1) có nghiệm kép một nghiệm đơn
 -4< - m-4 < 0  -4< m < 0 => (1) có 3 nghiệm đơn.
 -m-4 = -4  m = 0=> (1) có nghiệm kép một nghiệm đơn
 -m-4< -4  m >0 => (1) có một nghiệm đơn.
2) Cho hàm số y = - x3 + 6x2 – 9x + 2 (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).

Gv Phạm Minh Tứ

0968.469.299


Chuyên đề khảo sát hàm số

b. Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình: x3 – 6x2 + 9x + m = 0 có 3 nghiệm phân

biệt.
Giải:
a. Học sinh tự làm.
b. Xét phương trình : x3  6 x 2  9 x  m  0  m  2   x3  6 x 2  9 x  2 (1)
Số nghiệm của pt (1) là số giao điểm của đồ thị ( C) và đường thẳng (d) y = m +2
Để phương trình (1 ) có 3 nghiệm phân biệt  2  m  2  2  4  m  0 .
Tiết 2:

Hàm số bậc 4.

Hàm số trùng phương: y  ax 4  bx 2  c (a  0) :
 Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.
I. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hàm số y  x 4  2 x 2  3 .
a. Khảo sát và vẽ (C ).
b. Dựa vào (C ) biện luận theo m số nghiệm của pt:  x 4  2 x3  m  0 .
Giải:
Tập xác định:
D = ¡

y’ = 4x 3 - 4x ;

(

)

y’ = 0 Û 4x 3 - 4x = 0 Û x 4x 2 – 4 = 0 Û x = 0; x = 1; x = - 1

Giới hạn: lim y = + ¥ ; lim y = + ¥
x® + ¥

x® - ¥

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số đồng biến trên (- 1; 0); (1; + ¥ ) , nghịch biến trên (- ¥ ; - 1); (0;1)

Gv Phạm Minh Tứ

0968.469.299


Chuyên đề khảo sát hàm số

Hàm số đạt cực đại tại x = 0; yCD = - 3 , đạt cực tiểu tại x = ± 1; yCT = - 4
Điểm đặc biệt:
x
y

Đồ thị

-2
5

-1
-4

0
-3

1
-4

-2
5

Nhận xét: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
b.Xét pt:  x4  2 x2  m  0  m  3  x 4  2 x 2  3 (1)
Số nghiệm của pt (1) là số giao điểm của đồ thị ( C) và đường thẳng (d) y = m -3.
Nếu m  3  4  m  1 (1)vô nghiệm.
 m  3  4

 m  1

Nếu 
pt(1) có 2 nghiệm.

 m  3  3
m  0
Nếu m  3  3  m  0 pt(1)có 3 nghiệm.
Nếu 4  m  3  3  1  m  0 pt (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 2: Cho hàm số (C): y = - x4 + 2x2 – 2.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b. Dựa vào đồ thị (C), tìm m để phương trình – x4 + 2x2 – m2 – 1 = 0 có 4 nghiệm phân
biệt.
Giải:
a. Học sinh tự làm.
b. Xét pt:  x4  2 x2  m2  1  0   x4  2 x 2  2  m2  1 (1) .
Số nghiệm của pt (1) là số giao điểm của đồ thị ( C) và đường thẳng (d) y = m 2  1 .
Dựa vào đồ thị ý a pt (1) có 4 nghiệm phân biệt  2  m2  1  1  1  m2  0 (vl).

Gv Phạm Minh Tứ

0968.469.299


Chuyên đề khảo sát hàm số

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn.
Tiết 3.
Hàm phân thức hữu tỉ: y 
Ví dụ 1: Cho hàm số : y =

ax  b
(c  0, ad  bc  0)
cx  d

-x+ 2
x+1

a. Khảo sát và vẽ (C ).
b. Tìm m để (C ) cắt (d) y = mx + 2m – 1 taị 2 điểm phân biệt A, B.

Giải:
a. Tập xác định D = ¡ \ {- 1}
y’ =

- 3
(x + 1)2

< 0, " x Î D .

Hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng  ; 1 ;(1; )
Giới hạn:
lim y = - ¥ ; lim y = + ¥ Þ x = - 1 là tiệm cận đứng
x ® - 1-

x ® - 1+

lim y = - 1 ; lim y = - 1 Þ y = - 1 là tiệm cận ngang

x® - ¥

Bảng biến thiên:
-∞
-1
-1
-∞

x
y'
y

x
y

x® + ¥

+∞
+∞

Hàm số không có cực trị
Điểm đặc biệt
-3
-2
-1
-5/2
-4
||
Đồ thị:

-1

0
2

1
1/2

Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm hai đường tiệm cận I (- 1; - 1) làm tâm đối xứng.
b. Hoành độ giao điểm của (C ) và d là nghiệm của pt:
Gv Phạm Minh Tứ

0968.469.299


Chuyên đề khảo sát hàm số

x  2
 mx  2m  1
x 1

x  1  0

 x  2  (mx  2m  1)( x  1) (1)

Xét (1) g ( x)  mx 2  3mx  2m  3  0 .
Để (C ) cắt d tại 2 điểm phân biệt ↔pt (1) có 2 nghiệm phân biệt khác (m  0
a  0


1)    0
 m 2  12m  0 
 g (1)  0


3  0(ld)

Ví dụ 2. Cho hàm số y =

m  0

m  0 
  m  12


m  0
 m  12


2x - 1
có đồ thị là (C).

x- 1

a. Khảo sát và vẽ (C )
b. Tìm m để đường thẳng (d):

cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
Lời giải

y = - x + m

2x - 1
= -x+m
x- 1
Điều kiện: x ¹ 1 . Khi đó: (1) Û 2x - 1 = (- x + m )(x - 1)

Phương trình hoành độ giao điểm:
Û

(1)

x 2 - (m - 1)x + m - 1 = 0

(2)
(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt Û (1) có hai nghiệm phân biệt
2
ìï
ïï D = é- (m - 1)ù - 4 (m - 1) > 0
ê
ú
ë

û
Û (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1 Û í
ïï 1 - (m - 1).1 + m - 1 ¹ 0
ïî

Û m 2 - 6m + 5 > 0 Û m < 1 Ú m > 5
Vậy giá trị m cần tìm là m < 1 Ú m > 5 .

Ví dụ 3 : Cho hàm số y =

mx - 1
có đồ thị là (C m ).
x+ 2

a. Khảo sát và vẽ (C ) với m = -2.
b. Tìm m để đường thẳng (d): y = 2x - 1 cắt đồ thị (C m ) tại hai điểm phân biệt A, B
sao cho A B = 10 .
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm:

mx - 1
= 2x - 1
x+ 2

Điều kiện: x ¹ - 2
Khi đó: (1) Û mx - 1 = (2x - 1)(x + 2) Û

(1)

2x 2 - (m - 3)x - 1 = 0

(2)
(d) cắt (C m )tại hai điểm phân biệt A, B Û (1) có hai nghiệm phân biệt

Gv Phạm Minh Tứ

0968.469.299


Chuyờn kho sỏt hm s
2
ỡù
ùù D = ộ- (m - 3)ự + 8 > 0
ỳ
ởờ
ỷ
(2) cú hai nghim phõn bit khỏc - 2 ớ
ùù 8 + 2m - 6 - 1 ạ 0
ùợ
1
(*)
m ạ 2
t A (x 1;2x 1 - 1); B (x 2 ;2x 2 - 1) vi x 1, x 2 l hai nghim ca phng trỡnh (2).

ỡù
ùù x + x = m - 3
2
ù 1
2
ớ

ùù
1
ùù x 1x 2 = 2
ùợ

Theo nh lý Viet ta cú:

Khi ú:

AB =


(x 1 -

2

2

x 2 ) + 4 (x 1 - x 2 ) =

ổm - 3 ữ
ử2
ỗỗ
ữ + 2= 2 m = 3
ỗố 2 ữ
ữ
ứ

Vy giỏ tr m cn tỡm l

2
ộ
ự
10 5 ờ(x 1 + x 2 ) - 4x 1x 2 ỳ= 10
ờở
ỳ
ỷ

[tha món (*)]

m = 3.

Tit 4. Phng trỡnh tip tuyn .
I. Kin thc c bn:
1. Tip tuyn ca hm s (C) y = f(x) ti im x0 (C).
B1: Vi x0 (C) f(x0)
B2: Tỡm h s gúc tip tuyn ca (C) ti x0 : f ' ( x0 )
B3: Phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti x0 cú dng : y f ' ( x0 )( x x0 ) f ( x0 )
2. Tip tuyn ca hm s (C) y = f(x) khi bit h s gúc k.
B1: Gi im M(x0; y0) (C) H s gúc tip tuyn ca (C) ti x0: f ' ( x0 )
B2: Vỡ tip tuyn cú h s gúc k f ' ( x0 ) = k, gii pt tỡm x0 f(x0)
B3: Phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti x0 cú dng : y f ' ( x0 )( x x0 ) f ( x0 )
Chỳ ý: + Nu tip tuyn song song ng thng: y = kx + m thỡ cú h s gúc f ' ( x0 ) =
k
+ Nu tip tuyn vuụng gúc ng thng: y = kx + m thỡ cú h s gúc f ' ( x0 ) .k = - 1
+ Nu tip tuyn to vi trc 0x mt gúc thỡ cú h s gúc f ' ( x0 ) = | tan | .
Gv Phm Minh T

0968.469.299

Chuyên đề khảo sát hàm số

3. Tiếp tuyến của hàm số (C) y = f(x), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA; yA)  (C)
B1: Gọi điểm M(x0; y0)  (C)  Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại x0: f ' ( x0 )
B2: Phương trình tiếp tuyến của (C) tại x0 có dạng : y  f ' ( x0 )( x  x0 )  f ( x0 )
B3: Tiếp tuyến đi qua điểm A  y A  f ' ( x0 )( x A  x0 )  f ( x0 ) , giải pt tìm x0
B4: Thế x0 vào B2 ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm
II.
CÁC VÍ DỤ
- 2x + 3
có đồ thị là (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C )
x- 1
tại các giao điểm của (C ) và đường thẳng y = x - 3 .

Ví dụ 1: Cho hàm số y =

Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm:
Điều kiện:

- 2x + 3
= x- 3
x- 1

(1)

x ¹ 1

éx = 0

Khi đó: (1) Û - 2x + 3 = (x - 3)(x - 1) Û x 2 - 2x = 0 Û êê
êx = 2
ë

Suy ra tọa độ các giao điểm là A (0; - 3), B (2; - 1)
Ta có: y ' =

- 1
2

(x - 1)

Phương trình tiếp tuyến tại A là y = y '(0)(x - 0) - 3 Û y = - x - 3
Phương trình tiếp tuyến tại B là y = y '(2)(x - 2) - 1 Û y = - x + 1
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là y = - x - 3 và y = - x + 1
Ví dụ 2: Cho hàm số y =

2x + 1
có đồ thị là (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) ,
x- 2

biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng - 5 .
Lời giải
Gọi M (x 0 ; y 0 ) Î (C ) là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)
Ta có: y ' =

- 5
2

(x - 2)

Hệ số góc của tiếp tuyến bằng - 5 Û y '(x 0 ) = - 5 Û

- 5
2

(x 0 - 2)

éx = 1
= - 5 Û êê 0
êëx 0 = 3

Với x 0 = 1 Þ y 0 = - 3 : M 1(1; - 3) Þ pttt: y = - 5x + 2

Gv Phạm Minh Tứ

0968.469.299


Chuyên đề khảo sát hàm số

Với x 0 = 3 Þ y 0 = 7 : M 2 (3;7) Þ pttt: y = - 5x + 22
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là y = - 5x + 2 và y = - 5x + 22 .
Ví dụ 3: Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 + 2 có đồ thị là (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của

(C ) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (D ) : y =

9x + 2 .

Lời giải
2

Ta có: y ' = 3x - 6x
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng (D ) nên hệ số góc của tiếp tuyến là
Gọi M (x 0 ; y 0 ) Î (C ) là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)
Hệ số góc của tiếp tuyến

k = 9

éx = - 1

k = 9

Û y '(x 0 ) = 9 Û 3x 02 - 6x 0 - 9 = 0 Û êê 0
êx 0 = 3

ë

Với x 0 = - 1 Þ y 0 = - 2 : M 1(- 1; - 2) Þ pttt: y = 9 x + 7
Þ y0 = 2

Với x 0 = 3

: M 2 (3;2)

Þ

pttt: (D ) (loại)

Vậy tiếp tuyến thỏa đề bài là y = 9x + 7
x- 2
có đồ thị là (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) ,
x+ 2
biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (D ) : y = - x + 2 .

Ví dụ 4: Cho hàm số y =

Lời giải
Ta có: y ' =

4
2

(x + 2)

Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (D ) nên hệ số góc của tiếp tuyến là
Gọi M (x 0 ; y 0 ) Î (C ) là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)
Hệ số góc của tiếp tuyến

k = 1 Û

y '(x 0 ) = 1 Û

4
2

= 1 Û

(x 0 + 2)

k = 1

2

(x 0 + 2)

= 4

éx + 2 = 2
éx = 0
Û êê 0
êëx 0 + 2 = - 2
êëx 0 = - 4
Þ y 0 = - 1 : M 1(0; - 1) Þ pttt: y = x + 1
0
Û ê
ê

Với x 0 = 0
Với x 0 = - 4 Þ y 0 = 3 : M 2 (- 4; 3) Þ pttt: y = x + 7
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là y = x + 1 và y = x + 7

Ví dụ 5: Lập phương trình tiếp tuyến của (C): y = f (x ) = x 3 – 3x + 2 biết rằng tiếp tuyến
đi qua A (2; –4)
Lời giải
Gọi M (x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm .
Ta có y 0 = x 03 – 3x 0 + 2

Gv Phạm Minh Tứ

và f ’(x 0 ) = 3x 02 – 3

0968.469.299


Chuyên đề khảo sát hàm số

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại
3

y – (x 0 – 3x 0 + 2) =

(3x 02

M

là:

– 3)(x – x 0 ) Û y = (3x 02 - 3)x - 2x 03 + 2

(1)

Vì tiếp tuyến đi qua A(2;– 4) , nên
– 4 = (3x 02 – 3).2 – 2x 03 + 2 Û x 03 - 3x 02 = 0 Û x 0 = 0; x 0 = 3

Khi x 0 = 0 : Phương trình tiếp tuyến là y = –3x + 2
Khi x 0 = 3 : Phương trình tiếp tuyến là y = 24x – 52 .
Tiết 5. Cực trị.
I.

Kiến thức cơ bản:

1. Xác định tham số để hàm số đạt cực trị tại x = a.
+ Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x = a  f / (a)  0 và chứng minh f // (a)  0
+ Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = a  f / (a)  0 và chứng minh f // (a)  0
 f / ( x0 )  0

+ Hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x0 , y0  

 f ( x0 )  y0

và chứng minh f // ( x0 )  0

2. Xác định tham số để hàm số có cực trị
 Với hàm số bậc ba đạo hàm là một tam thức bậc hai : f ’(x) = Ax2 + Bx + C, (A  0).

+ Hàm số f(x) đạt một cực đại và một cực tiểu khi và chỉ khi phương trình f ’(x) = 0 có
hai
nghiệm phân biệt  A  0,   0
+ Hàm số f(x) không có cực trị khi và chỉ khi phương trình f ’(x) = 0 có nghiệm kép
hoặc vô
nghiệm    0
 Với hàm số trùng phương, ta có y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b) ,

x  0
y/  0  
2
2ax  b  0 (1)

+ Hàm số có ba cực trị  (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0  

Gv Phạm Minh Tứ

b
0
2a

0968.469.299


Chuyên đề khảo sát hàm số

Khi đó hàm số có hai cực tiểu, một cực đại khi a > 0; có hai cực đại, một cực tiểu khi
a < 0.
+ Hàm số có một cực trị  (1) vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm x = 0  

b
0.
2a

II. Các ví dụ:
1 3
x + m 2 - m + 2 x 2 + (3m 2 + 1)x + m - 5 . Tìm
3

(

Ví dụ 1. Cho hàm số y =

)

m để hàm số đạt cực tiểu tại x = - 2 .

Lời giải
Tập xác định:

(

)

. Đạo hàm: y ' = x + 2 m 2 - m + 2 x + 3m 2 + 1
2

D = ¡

Điều kiện cần:
Hàm số đạt cực tiểu tại

y '(- 2) = 0 Û

x = - 2 Þ

ém = 1

- m 2 + 4m - 3 = 0 Û êê
êm = 3

ë

Điều kiện đủ:
Với m = 1 , ta có: y ' = x 2 + 4x + 4 , y ' = 0 Û x = - 2
Bảng biến thiên
x
y'

- ¥

+¥

- 2

0

+

+

y

+¥

- ¥

Từ BBT ta suy ra
Với

m = 3,

m = 1

không thỏa.

éx = - 14
ta có: y ' = x 2 + 16x + 28 , y ' = 0 Û êê
êëx = - 2

Bảng biến thiên
x

- ¥

- 2

- 14

+¥

y'

+

0

-

0

+

CĐ

y

+¥

CT
- ¥

Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại
Vậy giá trị m cần tìm là m = 3 .

Gv Phạm Minh Tứ

x = - 2.

0968.469.299


Chuyên đề khảo sát hàm số

Ví dụ 2: Cho hàm số y =

1 2
(m - 1)x 3 + (m + 1)x 2 + 3x + 5 . Tìm m để hàm số có hai
3

điểm cực trị.
Tập xác định:

D = ¡

Lời giải
. Đạo hàm: y ' = (m 2 - 1)x 2 + 2(m + 1)x + 3

2

y ' = 0 Û (m - 1)x 2 + 2(m + 1)x + 3 = 0

Hàm số có hai điểm cực trị Û y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt Û
ìï m 2 - 1 ¹ 0
ïï
í
ïï D ' = (m + 1)2 - 3(m 2 - 1) > 0
ïî
ìï m ¹ ± 1
ìï m ¹ ± 1
ìï m ¹ 1
ï
ï
Û ïí
Û í
Û í
2
ïï - 2m + 2m + 4 > 0
ïï - 1 < m < 2
ïï - 1 < m < 2
î
î
ïî

ìï m ¹ 1
Vậy giá trị m cần tìm là ïí
.
ïï - 1 < m < 2
î
4
Ví dụ 3. Cho hàm số y = mx + (m 2 - 9)x 2 + 10 . Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị.

Lời giải
Tập xác định:

D = ¡

. Đạo hàm: y ' = 4mx 3 + 2(m 2 - 9)x = 2x .(2mx 2 + m 2 - 9)

éx = 0

y ' = 0 Û êê

2
2
êë2mx + m - 9 = 0

(1)

Hàm số có ba điểm cực trị Û y ' = 0 có ba nghiệm phân biệt Û (1) có hai nghiệm
phân biệt khác 0
ìï m ¹ 0
ïï
ìï m ¹ 0

ïï
ïï ém < - 3
ém < - 3
ï
2
ê
Û í D ' = - 2m (m - 9) > 0 Û ïí ê
Û
ê0 < m < 3
ïï êê0 < m < 3
ïï
êë
ïï ë
ïï m 2 - 9 ¹ 0
ïî
ïïî m ¹ 3
ém < - 3
Vậy giá trị m cần tìm là êê
.
êë0 < m < 3

Tiết 6. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến.
I. Kiến thức cơ bản.
Định lí : Cho hàm số y = f (x ) xác định trên khoảng K .
 f (x ) đồng biến trên K Û f '(x ) ³ 0, " x Î K .
 f (x ) nghịch biến trên K Û f ' (x ) £ 0, " x Î K .
(chỉ xét trường hợp f '(x ) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên khoảng

Gv Phạm Minh Tứ

K

)

0968.469.299


Chuyên đề khảo sát hàm số

II. Các ví dụ:
Ví dụ 1:
Cho hàm số y =
¡

1 2
(m - m )x 3 + 2mx 2 + 3x - 1 . Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên
3

.
Lời giải
Tập xác định: D = ¡ . Đạo hàm: y ' = (m 2 - m )x 2 + 4mx + 3
Hàm số luôn đồng biến trên ¡ Û y ' ³ 0 " x Î ¡
ém = 0
Trường hợp 1: Xét m 2 - m = 0 Û êê

êëm = 1
+ Với m = 0 , ta có y ' = 3 > 0, " x Î ¡ , suy ra m = 0 thỏa.

+ Với

m = 1,

ta có y ' = 4x + 3 > 0 Û x > -

3
, suy ra m = 1 không thỏa.
4

ìï m ¹ 0
Trường hợp 2: Xét m 2 - m ¹ 0 Û ïí
, khi đó:

ïï m ¹ 1
î
ìï D ' = m 2 + 3m £ 0
ìï D ' £ 0
ï
ï
y ' ³ 0 "x Î ¡ Û í
Û ïí 2
ïï a > 0
ïm - m > 0
î
ïîï
ìï - 3 £ m £ 0
Û ïí
Û - 3£ m < 0
ïï m < 0 Ú m > 1
î

Từ hai trường hợp trên, ta có giá trị m cần tìm là
Ví dụ 2:
Cho hàm số y =

- 3 £ m £ 0.

mx + 7m - 8
. Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
x- m

của nó.
Lời giải
Tập xác định: D = ¡ \ {m }
Đạo hàm: y ' =

- m 2 - 7m + 8
2

. Dấu của y ' là dấu của biểu thức - m 2 - 7m + 8 .

(x - m )

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định Û y ' ³ 0 , " x Î D
ra tại hữu hạn điểm )  y '  0 Û - m 2 - 7m + 8 > 0 Û - 8 < m < 1
Vậy giá trị m cần tìm là - 8 < m < 1 .
Ví dụ3. Cho hàm số y =

(y’=0 chỉ xảy

mx + 7m - 8

. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
x- m

(3;+ ¥ ) .
Lời giải
Gv Phạm Minh Tứ

0968.469.299


Chuyên đề khảo sát hàm số

Tập xác định: D = ¡ \ {m }
Đạo hàm: y ' =

- m 2 - 7m + 8
2

. Dấu của y ' là dấu của biểu thức - m 2 - 7m + 8 .

(x - m )

Hàm số đồng biến trên khoảng (3;+ ¥

)

Û y ' > 0, "x Î

(3; + ¥ )

ìï - m 2 - 7m + 8 > 0
ìï - 8 < m < 1
ï
Û í
Û ïí
Û - 8< m £ 3
ïï m £ 3
ïï m £ 3
î
ïî

Vậy giá trị m cần tìm là

- 8 < m £ 3.

Tiết 7. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
I.
Kiến thức cơ bản:
1) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f (x ) trên khoảng (a;b):
 Lập bảng biến thiên rồi dựa vào đó để kết luận.
2) Tìm GTLNGTNN của hàm số y = f (x ) trên đoạn [a, b] (ta không cần lập bảng
biến thiên)
 Xét hàm số đã cho liên tục trên đoạn [a, b] .
 Tìm đạo hàm f '(x ) và tìm các điểm tới hạn x 1, x 2, ... của y = f '(x ) trên đoạn
[a, b] .

 Tính các giá trị f (x 1 ), f (x 2 ),..., f (a ), f (b).
 Số lớn nhất trong các số f (x 1 ), f (x 2 ),..., f (a ), f (b) là GTLN cần tìm. Số nhỏ nhất
trong các số f (x 1 ), f (x 2 ),..., f (a ), f (b) là GTNN cần tìm.
Các ví dụ :

II.

Ví dụ1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

x
4 + x2

trên khoảng

(0;+ ¥ )
Lời giải
Tập xác định

D = ¡

. Đạo hàm: y ' =

4 - x2

éx = 2 (n )
.
y ' = 0 Û êê
2

(4 + x )
2

êëx = - 2 (l )

Bảng biến thiên
x
y’
y

0
+
0

Gv Phạm Minh Tứ

2
0
1
4

+¥

0

0968.469.299


Chuyên đề khảo sát hàm số

Vậy max f (x ) =
(0;+ ¥ )

1
khi x = 2

4

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

x+1

trên đoạn

2

x +1
[- 1;2] .

Lời giải.
Hàm số đã cho liên tục trên đoạn [- 1;2] .Ta có y ’ =

1- x
2

(x + 1)

.
3

y ' = 0 Û x = 1 Î [- 1;2]

3 5
5

f (- 1) = 0; f (1) =

2; f (2) =

Từ đó, max y =

2 khi x = 1 và miny = 0 khi x = - 1 .

x Î éêë- 1;2ù
ú
û

Gv Phạm Minh Tứ

x Î éêë- 1;2ù
ú
û

0968.469.299