Chuyên đề khối nón trụ cầu luyện thi THPT quốc gia

Tailieumontoan.com

Sưu tầm

CHUYÊN ĐỀ
KHỐI NÓI TRỤ CẦU

Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng 11 năm 2020


Website: tailieumontoan.com

DẠNG TỐN 12: KHỐI NĨN-TRỤ-CẦU
(CƠNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH XUNG QUANH HÌNH TRỤ)

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Cầu

Trụ

Nón

Khối trịn
xoay

Diện tích

S = 4π R

Thể tích

4
V = π R3
3

2

Sxq = 2π rh

Sxq = π rl ( l đường sinh, r bkính)

S=
tp Sxq + 2Sđáy

S=
tp Sxq + Sđáy

V = π r2h

1
V = π r2h
3

( h : đường cao)

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
 Lý thuyết về cơng thức tính diện tích xung quanh hình trụ.
 Tính diện tích xung quanh hình trụ khi biết một số yếu tố cho trước.
 Tính diện tích tồn phần hình trụ khi biết một số yếu tố cho trước.
 Tính diện tích xung quanh hình trụ khi quay hình chữ nhật quanh một cạnh của nó.
 Tính diện tích xung quanh hình trụ và diện tích toàn phần liên quan đến thiết diện qua trục của nó.

BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Diện tích xung quanh của một hình trụ có độ dài đường sinh
l , bán kính đáy r bằng

A. 4π rl .

B. π rl .

C.

1
π rl .
3

D. 2π rl .

Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn lý thuyết về cơng thức diện tích xung quanh, diện tích tồn phần của
một hình trụ.
2. HƯỚNG GIẢI:
B1: Xác định các yếu tố đã biết của hình trụ như độ dài đường sinh, bán kính đáy.
B2: Áp dụng cơng thức diện tích xung quanh (diện tích tồn phần) của hình trụ:
S xq = 2π rl ,=
Stp 2π rl + 2π r 2 .

Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Trang 1

Website: tailieumontoan.com

Lời giải
Chọn D
Diện tích xung quanh của một hình trụ có độ dài đường sinh l , bán kính đáy r là: S xq = 2π rl .
Bài tập tương tự và phát triển:
 Mức độ 1
Câu 1.

Tính diện tích xung quanh của một hình trụ có chiều cao 20 m , chu vi đáy bằng 5 m .
C. 100π m 2 .

B. 50π m 2 .

A. 50 m 2 .

D. 100 m 2 .

Lời giải
Chọn D

C 2=
πR 5 .
Ta có chu vi đáy=
Diện tích xung quanh của hình trụ là =
S xq 2π=
Rl 5.20
= 100 m 2 .
Câu 2.

Diện tích xung quanh của mặt trụ có bán kính đáy R chiều cao h là
A. S xq = π Rh .
B. S xq = 3π Rh .
C. S xq = 4π Rh .

D. S xq = 2π Rh .

Lời giải
Chọn D
Diện tích xung quanh của một hình trụ có chiều cao h , bán kính đáy R là: S xq = 2π Rh .
Câu 3.

Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm , chiều cao h = 7cm . Tính diện tích xung quanh của hình
trụ.
70
35
π cm 2 .
A. S = 35π cm 2 .
B. S = 70π cm 2 .
C. S =
D. S = π cm 2 .
3
3

(

)

)

(

(

)

(

)

Lời giải
Chọn B

(

)

S xq 2=
π rh 70π cm 2 .
Theo cơng thức tính diện tích xung quanh ta có=
Câu 4.

Cho hình trụ trịn xoay có độ dài đường cao là h và r là bán kính đáy. Cơng thức diện tích
xung quanh của hình trụ trịn xoay là
A. S xq = π rl .

B. S xq = π r 2 h .

C. S xq = π rh .

D. S xq = 2π rh .

Lời giải
Chọn D
Diện tích xung quanh của một hình trụ có chiều cao h , bán kính đáy r là: S xq = 2π rh .
Câu 5.

Tính diện tích xung quanh S của hình trụ có bán kính bằng 3 và chiều cao bằng 4 .
A. S = 12π .
B. S = 42π .
C. S = 36π .
D. S = 24π .
Lời giải:
Chọn D

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Trang 2


Website: tailieumontoan.com

Diện tích xung quanh của hình trụ
=
S 2=
π rh 24π .
Câu 6.

Một hình trụ có bán kính đường trịn đáy r = 50cm và có chiều cao h = 50cm . Diện tích xung

quanh của hình trụ bằng
A. 2500π ( cm 2 ) .

B. 5000π ( cm 2 ) .

C. 2500 ( cm 2 ) .

D. 5000 ( cm 2 ) .

Lời giải:
Chọn B
Diện tích xung quanh của hình trụ bằng S xq = 2πrl = 2π.50.50
= 5000π ( cm 2 ) .
Câu 7.

Cho hình trụ có bán kính đáy r = 5 ( cm ) và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7 ( cm ) . Diện tích
xung quanh của hình trụ là
A. 35π ( cm 2 )

B. 70π ( cm 2 )

C. 120π ( cm 2 )

D. 60π ( cm 2 )

Lời giải:
Chọn B

=
= 70π ( cm 2 ) .

Diện tích xung quanh của hình trụ S xq = 2π
rh 2π5.7
Câu 8.

Gọi l , h, R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ (T ) . Diện
tích tồn phần Stp của hình trụ là

Stp 2π Rl + 2π R 2 .
A.=

Stp π Rl + π R 2 .
Stp π Rl + 2π R 2 . C. =
B. =

Stp π Rh + π R 2 .
D. =

Lời giải:
Chọn A

Stp 2π Rl + 2π R 2 .
Diện tích tồn phần Stp của hình trụ là=
Câu 9.

Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm , chiều cao h = 7cm . Tính diện tích xung quanh của hình
trụ.
70
35
π cm 2 .
A. S = 35π cm 2 .

B. S = 70π cm 2 .
C. S =
D. S = π cm 2 .
3
3

(

)

(

)

(

)

(

)

Lời giải:
Chọn B

(

)

S xq 2=

π rh 70π cm 2 .
Theo cơng thức tính diện tích xung quanh ta có=
Câu 10. Một hình trụ có bán kính đường trịn đáy r = 50cm và có chiều cao h = 50cm . Diện tích xung
quanh của hình trụ bằng
A. 2500π ( cm 2 ) .

B. 5000π ( cm 2 ) .

C. 2500 ( cm 2 ) .

D. 5000 ( cm 2 ) .

Lời giải:
Chọn B
Diện tích xung quanh của hình trụ bằng S xq = 2πrl = 2π.50.50
= 5000π ( cm 2 ) .
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Trang 3


Website: tailieumontoan.com

 Mức độ 2
Câu 1.

Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vng có
cạnh bằng 3a . Tính diện tích tồn phần Stp của khối trụ.
A. Stp =

27π a 2
.
2

B. Stp =

13a 2π
.
6

D. Stp =

C. Stp = a 2π 3 .

a 2π 3
.
2

Lời giải
Chọn A
B
O

A

C
O'
D

Theo đề bài ta có ABCD là hình vng cạnh 3a nên ta có r =

3a
và h = 3a .
2

3a
27π a 2
 3a 
+ 2π rh 2π   + 2π 3a =
Stp 2π r=
Diện tích tồn phần của hình trụ là=
.
2
2
 2 
2

2

Câu 2.

Hình trụ có hai đường trịn đáy ngoại tiếp hai mặt của một hình lập phương cạnh a thì có diện
tích xung quanh bằng bao nhiêu?
A. 2π a 2 .

B.

2π a 2 .

D. π a 2 .

C. 2 2π a 2 .
Lời giải:

Chọn B
Gọi r là bán kính đường trịn đáy thì r =

a 2
, l =a.
2

a 2
2=
.a
π
Vậy diện tích xung quanh hình trụ là: S=
xq = 2π rl
2
Câu 3.

2π a 2 .

Cho hình trụ có bán kính đáy 5 cm chiều cao 4 cm . Diện tích tồn phần của hình trụ này là
A. 96π (cm 2 ) .

B. 92π (cm 2 ) .

C. 40π (cm 2 ) .

D. 90π (cm 2 ) .

Lời giải
Chọn D
Hình trụ có bán kính đáy R = 5 ( cm ) và chiều cao h = 4 ( cm ) .
Diện tích tồn phần của hình trụ này là: Stp = 2π R 2 + 2π Rh = 2π .25 + 2π .5.4 = 90π ( cm 2 ) .
Câu 4.

Cho hình lập phương ABCD. A′B ′C ′D ′ có cạnh bằng a . Gọi S là diện tích xung quanh của
hình trụ có hai đường trịn đáy ngoại tiếp hai hình vng ABCD và A′B ′C ′D ′ . Diện tích S là

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Trang 4


Website: tailieumontoan.com

A. π a .
2

B. π 2a .

C. π 3a .

2

2

D.

2π a 2
.
2

Lời giải
Chọn B
Đường kính hình trụ là độ dài đường chéo của hình vng ABCD .
Ta có bán kính hình trụ R =

a 2
a 2
S 2=
a π a2 2 .
=
π Rl 2π =
nên
2
2

Dạng 2 : Câu 4 trùng câu 2.
Câu 5.

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3 và thể tích bằng 18π . Tính diện tích xung quanh S xq của
hình trụ.
A. S xq = 18π .

B. S xq = 36π .

C. S xq = 12π .

D. S xq = 6π .

Lời giải.
Chọn C

h 2.
Ta có V= π r 2 h ⇒ 18π= π 32 h ⇒ =
π rh 12π .
S xq 2=
Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là=
Câu 6.

Cắt một hình trụ bằng một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vng
cạnh 2a . Diện tích xung quanh của hình trụ bằng

A. 2π a 2 .

B. 8π a 2 .

C. 4π a 2 .

D. 16π a 2 .

Lời giải
Chọn C
Dựa vào hình vẽ ta có bán kính và chiều cao của hình trụ lần lượt là a và 2a .
S xq 2=
π Rh 2π .=
a.2a 4π a 2 .
Do đó,=

Câu 7.

Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4 π và có thiết diện qua trục là hình vng. Diện
tích tồn phần của hình trụ bằng
A. 6 π .
B. 10 π .
C. 8 π .
D. 12 π .
Lời giải.
Chọn A
Ta có: thiết diện qua trục của hình trụ là hình vng nên: l = 2 R .
S xq 2π
=
Rl 4π ⇔ 2πR.2 R =
Diện tích xung quanh của hình trụ là=
4π ⇔ R =
1.

S đ π=
R2 π .
Diện tích đáy của hình trụ là =
Vậy diện tích tồn phần của hình trụ là Stp =S xq + 2 S đ =6π .

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Trang 5


Website: tailieumontoan.com

Câu 8.

Trong khơng gian cho hình chữ nhật ABCD có AB = a và AD = 2a . Gọi H , K lần lượt là
trung điểm của AD và BC . Quay hình chữ nhật đó quanh trục HK , ta được một hình trụ.
Diện tích tồn phần của hình trụ là:
A. Stp = 8π .
B. Stp = 8a 2π .
C. Stp = 4a 2π .
D. Stp = 4π .
Lời giải.
Chọn C
H

A

D

a
C
B
K
Quay hình chữ nhật ABCD quanh trục HK ta được hình trụ có đường cao là=
h AB
= a , bán
1
kính đường trịn đáy là=
R BK
=
BC
= a.

2
Vậy diện tích tồn phần của hình trụ là: Stp = 2π Rh + 2π R 2 = 4π a 2 .

Câu 9.

Một hộp sữa có dạng hình trụ và có thể tích bằng 2825cm3 . Biết chiều cao của hộp sữa bằng
25cm . Diện tích tồn phần của hộp sữa đó gần với số nào sau đây nhất?
A. 1168cm 2 .

B. 1172cm 2 .

C. 1164cm 2 .

D. 1182cm 2 .

Lời giải:
Chọn A
Gọi bán kính đáy của hình trụ là R . Khi đó theo bài ra ta có:

113
113
2825 ⇔ R 2 = ⇔ R = .
V = 2825 ⇔ π R 2 .25 =
π
π
Vậy diện tích tồn phần của hộp sữa là:
2

=
2π .

=
Stp 2π Rh
+ 2π R
2

 113 
2
.25 + 2π 
 ≈ 1168cm .
π
 π 

113

Câu 10. Cắt một hình trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vng có
cạnh bằng 3a . Tính diện tích tồn phần của hình trụ đã cho.
A. 9a 2π .

B.

9π a 2
.
2

C.

13π a 2
.
6

D.

27π a 2
.
2

Lời giải:
Chọn D
Do mặt phẳng cắt hình trụ đi qua trục của nó nên ta có:
Đường sinh l = 3a và bán kính đáy r =

3a
.
2

Vậy diện tích tồn phần của hình trụ: S=
2π r ( r +=
l)
tp

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

27π a 2
.
2

Trang 6


Website: tailieumontoan.com

 Mức độ 3
Câu 1.

Cho hình nón có bán kính đáy bằng 5 . Biết rằng khi cắt hình nón đã cho bởi một mặt phẳng đi
qua trục, thiết diện thu được là một tam giác đều. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho
bằng
A. 100π .

B. 50π .

C. 25π .

D. 200π .

Lời giải:
Chọn B
Hình nón có bán kính đáy bằng 5 thì có đường kính đáy bằng 10 .
Vì vậy, khi cắt hình nón đã cho bởi một mặt phẳng đi qua trục thì thiết diện thu được là một
tam giác đều có cạnh bằng 10 .
Suy ra đường sinh của hình nón l = 10 .

π=
rl π .5.10
= 50π .
Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho: S=
xq
Câu 2.

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 4 . Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng đi

qua trục, thiết diện thu được là một hình vng. Diện tích tồn phần của hình trụ đã cho bằng
A. 96π .

B. 64π .

C. 80π .

D. 48π .

Lời giải
Chọn A

Hình trụ có bán kính đáy bằng 4 thì có đường kính đáy bằng 8 .
Vì vậy, khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng đi qua trục thì thiết diện thu được là một
hình vng có cạnh bằng 8 . Suy ra đường sinh của hình trụ l = 8 .
Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho: Stp =S xq + 2 S d =2π rl + 2π r 2 =2π .4.8 + 2π 42 =96π .
Câu 3.

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 5 . Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng đi
qua trục, thiết diện thu được là một hình vng. Thể tích của khối trụ đã cho bằng
A. 250π .

B. 100π .

C.

250π
.
3

D.

100π
.
3

Lời giải
Chọn A

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Trang 7


Website: tailieumontoan.com

Hình trụ có bán kính đáy bằng 5 thì có đường kính đáy bằng 10 .
Vì vậy, khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng đi qua trục thì thiết diện thu được là một
hình vng có cạnh bằng 10 .
Suy ra đường sinh cũng là chiều cao của hình trụ l= h= 10 .
2
V π=
r 2 h π .5=
.10 250π .
=
Thể tích của khối trụ đã cho:

Câu 4.

Một khối cầu có đường kính bằng 10 ( cm ) . Người ta dùng một mặt phẳng cách tâm khối cầu

3 ( cm ) để cắt khối cầu thành hai phần. Diện tích của thiết diện bằng

A. 16 ( cm 2 ) .

C. 16 ( cm3 ) .

B. 16π ( cm ) .

D. 16π ( cm 2 ) .

Lời giải
Chọn D

O
M

H

Theo đề bài ta có: 2 R= 10 ( cm ) ⇒ R= OM= 5 ( cm ) , OH= 3 ( cm )
⇒=
r HM=

2
OM 2 − HM =
4 ( cm ) .

(

)

S π=
r2 π=
.42 16π cm 2 .
⇒ Diện tích thiết diện bằng:=
Câu 5.

Cho hình nón có chiều cao bằng 2 5 . Một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón và cắt hình nón
theo một thiết diện là tam giác vng có diện tích bằng 18 . Thể tích của khối nón được giới
hạn bởi hình nón đã cho bằng
A.

32 5π
.
3

B. 32π .

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

C. 32 5π .

D. 96π
Trang 8


Website: tailieumontoan.com

Lời giải:
Chọn A

Gọi O là đỉnh hình nón, I là tâm đường trịn đáy hình nón, thiết diện là tam giác vuông OAB .
Ta thấy OA = OB nên tam giác OAB chỉ có thể vng tại O .
Ta có: S ∆OAB =

1
OA2 ⇒ OA2 = 2.S ∆OAB = 36 .
2

(

Do đó IA = OA2 − OI 2 = 36 − 2 5

)

2

= 4.

Khối nón cần tìm có bán kính đáy IA = 4 , chiều cao OI = 2 5 nên có thể tích là:

=
V
Câu 6.

1
1
1
32π 5
2
.S d .h

π .IA
.OI
π .16.2
5
=
=
=
.
3
3
3
3

Cho hình nón có chiều cao bằng 2 5 . Một mặt phẳng đi qua đỉnh O của hình nón và cắt hình

AOB= 45° . Thể tích
nón theo một thiết diện là tam giác OAB có diện tích bằng 9 2 và góc 
của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng
A.

32 5π
.
3

B. 32π .

C. 32 5π .

D. 96π .

Lời giải:
Chọn A

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Trang 9


Website: tailieumontoan.com

Gọi I là tâm đường trịn đáy hình nón, thiết diện là tam giác cân OAB .

=
S ∆OAB

1
1 2 2
°⇔9 2
⇔ OA2 36 .
OA.OB.sin 45=
OA . =
2
2
2

(

Do đó IA = OA2 − OI 2 = 36 − 2 5

)

2

= 4.

Khối nón cần tìm có bán kính đáy IA = 4 , chiều cao OI = 2 5 nên có thể tích là:

=
V
Câu 7.

1
1
1
32π 5
2
.S d .h
π .IA
.OI
π .16.2
5
=
=
=
.
3
3
3
3

Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a , góc giữa đường sinh và đáy bằng 60° . Thể tích
khối nón đã cho là
A.

π a3 3
.
3

B.

π a3
3 3

.

C.

π a3 2
3

.

D.

π a3
3

.

Lời giải:

Chọn A
𝑆𝑆
2𝑎𝑎
𝐴𝐴

60°

𝐻𝐻

𝐵𝐵

Góc giữa đường sinh và đáy bằng 60° nên thiết diện qua trục là tam giác đều SAB cạnh 2a .

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Trang 10


Website: tailieumontoan.com

Câu 8.

h SH
=
Chiều cao khối nón là=

2a 3
1
= a 3 , bán kính đáy
r =

AB a .
=
2
2

Thể tích khối nón đã cho=
là V

1 2
π a3 3
πr h
=
.
3
3

Một cái trục lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Đường kính của đường tròn đáy là 5cm , chiều
dài lăn là 23cm . Sau khi lăn trọn 15 vịng thì trục lăn tạo nên sân phẳng một diện tích là

A. 1752π cm 2 .

B. 3450π cm 2 .

D. 862,5π cm 2 .

C. 1725π cm 2 .
Lời giải:

Chọn C
Đường kính của đường trịn đáy là 5cm ⇒ 2 R = 5cm

Diện tích xung quanh của mặt trụ là=
S xq 2=
π Rl π .5.23
= 115π cm 2 .

=
=
π .15 1725π cm 2 .
Sau khi lăn 15 vịng thì diện tích phần sơn được
là: S 115
Câu 9.

Cho

tứ

diện

S . ABC

có

SA = 2a

và

SA ⊥ ( ABC ) .

Tam

giác

ABC

có

=
AB a=
, BC 2a=
, AC a 5. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S . ABC là
A. S = 18π a 2 .

B. S = 36π a 2 .

D. S = 27π a 2 .

C. S = 9π a 2 .
Lời giải:

Chọn C

S

O

A

E

C

B
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Trang 11


Website: tailieumontoan.com

AC 2 nên tam giác ABC vuông tại B .
Tam giác ABC có AB 2 + BC 2 =
Khi đó trục của tam giác ABC là đường thẳng đi qua trung điểm E của cạnh AC  và song
song với SA (vì SA ⊥ ( ABC ) ), đường thẳng này cắt cạnh SC tại điểm O , suy ra O là trung
điểm cạnh SC .
2

a 5
3a
OA =
OB =
OC ==
R
OE + EC =a + 
Ta suy ra: OS =
 =
2
 2 
2

2

2

2

 3a 
2
=
S 4=
π R 4π  =
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S . ABC là:
 9π a .
 2 
2

Câu 10. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 1 và chiều cao h = 3 (hình vẽ). Diện tích mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp là

S

C

A
H

M
B

A.

100π
.
3

B.

25π
.
3

C.

100π
.
27

D. 100π .

Lời giải:
Chọn C
* Gọi D là điểm đối xứng của A qua tâm H khi đó D thuộc mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
* Do ( SAD ) là mặt phẳng đối xứng của hình chóp nên đường tròn ngoại tiếp tam giác SAD là
đường tròn lớn của mặt cầu.

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Trang 12


Website: tailieumontoan.com

S

C

A
H

M

D

B

AD
* Ta có:=

4
10
AM 2 3 , SA =SD = SH 2 + AH 2 = , bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
=
3
3

chóp là:
R
=

SA.SD. AD SA.SD. AD SA2
5

= =
=
4 S ∆SAD
2 AD.SH
2 SH 3 3

100π
.
27

π R2
S 4=
=
Diện tích mặt cầu là:

 Mức độ 4
Câu 1.

Cho hình nón có chiều cao bằng 6 . Một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón và cắt hình nón theo
một thiết diện là tam giác vng cân có cạnh huyền bằng 10 2 . Tính thể tích của khối nón
được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng
A.

32 5π
.
3

C. 32 3π .

B. 32π .

D. 128π .

Lời giải
Chọn D

S

O
A

M

B

Giả sử thiết diện là tam giác vng cân SAB có cạnh bằng l như hình vẽ

⇒l =
2 10 2 ⇒=
l 10 .
Ta có: r = OB =

SB 2 − SO 2 =

l 2 − h2 = 8 .

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Trang 13

Website: tailieumontoan.com

1
3

⇒ Thể tích khối nón:
=
V =
π r 2h
Câu 2.

1
π=
.82.6 128π .
3

Cho hình nón có chiều cao bằng 4 . Một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón và cách tâm O của
mặt đáy hình nón một khoảng bằng

12
cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác vng cân.
5

Tính thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng
A.

32 5π
.
3

B. 136 3π .

C.

136π
.
3

D. 96π .

Lời giải
Chọn C

S

H
O

M

A

B

Giả sử thiết diện là tam giác vuông cân SAB có cạnh bằng l như hình vẽ.

1
1
1

SO 2 .OH 2
= +
⇒ OM = 2
=
MB =
3 ⇒ SM =
5.
Ta có:
OH 2 SO 2 OM 2
SO − OH 2
⇒
=
r
Câu 3.

2
=
OM 2 + MB

34=
⇒V

1 2
136π
πr h
=
3
3

Cho hình trụ có chiều cao bằng 6 . Một mặt phẳng song song với trục của hình trụ và cách trục

một khoảng bằng 3 cắt hình trụ theo thiết diện có diện tích bằng 48 . Thể tích của khối trụ giới
hạn bởi hình trụ trên bằng
A. 15π .

B. 150π .

C.

150π
.
3

D. 96π .

Lời giải
Chọn B

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Trang 14


Website: tailieumontoan.com

O'
C

D

O

M

A

B

Thiết diện là hình chữ nhật và giả sử là ABCD như hình vẽ.

AD OO
=' 6
=
⇒ AB =
8
Ta có: 
 AD. AB = 48
Gọi M là trung điểm AB ⇒ MB =
4 ⇒ OB = OM 2 + MB 2 =
5.
2
=
V π=
r 2 h π .5
=
.6 150π
⇒ Thể tích khối trụ bằng:

Câu 4.

Cho hình nón có chiều cao bằng

3 . Một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón và cắt hình nón theo

3 . Thể tích của khối nón được giới hạn bởi

một thiết diện là tam giác đều có diện tích bằng
hình nón đã cho bằng
A.

π 3
.
3

B. π 3 .

C.

π 5
.
3

D. π 5 .

Lời giải
Chọn A

O

A

I
B

Gọi O là đỉnh hình nón, I là tâm đường trịn đáy hình nón, thiết diện là tam giác đều OAB .

S ∆OAB =

4 S ∆OAB 4. 3
OA2 3
⇒ OA2 =
=
= 4.
4
3
3

Do đó IA = OA2 − OI 2 = 4 −

( 3)

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

2

=1 .
Trang 15


Website: tailieumontoan.com

Khối nón cần tìm có bán kính đáy IA = 1 , chiều cao OI = 3 nên có thể tích là:

1
1
1
π 3
2
.S d .h
π .IA
.OI
π=
.1. 3
=
=
.
3
3
3
3

=
V
Câu 5.

Cho hình nón có chiều cao bằng 2 5 . Một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón và cắt hình nón
theo một thiết diện là tam giác đều, mặt phẳng này cách tâm của đường tròn đáy một khoảng

h=

A.

2 35
. Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng
3 3

32 5π
.
3

C. 32 5π .

B. 32π .

D. 96π .

Lời giải:
Chọn A

Gọi O là đỉnh hình nón, I là tâm đường trịn đáy hình nón, thiết diện là tam giác đều OAB .
Gọi K là trung điểm của AB khi đó IK ⊥ AB . Kẻ IH ⊥ OK khi đó khoảng cách từ I đến

( OAB ) chính là

IH hay IH =

2 35
.
3 3

Tam giác OIK vng tại I và IH là đường cao nên:

Xét tam giác OIK : OK =

1
1
1
1
= 2 − 2 = ⇔ IK 2 =
7.
2
IK
IH
OI
7

OI 2 + IK 2 = 3 3 .

Mà OK là đường cao của tam giác đều OAB nên OK=

(

Do đó IA = OA2 − OI 2 = 36 − 2 5

)

2

AB 3
2.3 3
⇔ OA
=

= 6.
2
3

= 4.

Khối nón cần tìm có bán kính đáy IA = 4 , chiều cao OI = 2 5 nên có thể tích là:

=
V

1
1
1
32π 5
2
.S d .h
π .IA
.OI
π .16.2
5
=
=
=
.
3
3
3
3

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Trang 16


Website: tailieumontoan.com

Câu 6.

Người ta cần đổ một ống cống thoát nước hình trụ với chiều cao 2m , độ dày thành ống là

10cm . Đường kính ống tính cả phần thành ống là 50cm . Tính lượng bê tơng cần dùng để làm
ra ống thốt nước đó?

( )

A. 0,18π m3 .

( )

( )

B. 0, 045π m3 .

( )

C. 0,5π m3 .

D. 0, 08π m3 .

Lời giải:
Chọn D

0, 25m và r = 0,15m .
Gọi R, r lần lượt là bán kính đáy của hình trụ lớn và hình trụ nhỏ ⇒ R =
.R 2 .h π ( 0, 25 ) .2 .
Thể tích hình trụ lớn=
là V1 π=
2

.r 2 .h π . ( 0,15 ) .2
Thể tích hình trụ nhỏ =
là V2 π=
2

Lượng bê tông cần dùng là V =V1 − V2 = 2π ( 0, 25 ) − 2π ( 0,15 ) = 0, 08π ( m3 ) .
2

Câu 7.

2

 = 60o
2a , tam giác ABC vuông cân tại B , góc DAC
Cho tứ diện ABCD có AD ⊥ DC , AC =
. Quay tứ diện quanh trục AC được một khối trịn xoay có thể tích V . Chọn đáp án đúng.
A. V =

2π a 3
B. V =

3

π a3
2

( −9 + 8 3 ) π a
C. V =
6

3

(9 + 3 )π a
D. V =

3

12

Lời giải:
Chọn C
A

A

D

D
M

H

N
K

B'

B

C

C

Ta quay tứ diện quanh trục AC và khi B quay đến vị trí B' cùng mặt phẳng với các điểm
A, C , D khi đó ta có hình vẽ bên.
Tam giác ABC vng cân nên AB ′C vng cân có AC =2a ⇒ B ′K =a, AK =a, tam giác

 = 60o ⇒ DH = a 3 , AH = a ;
ADC vuông và góc DAC
2
2
o

Gọi M = AB ′ ∩ CD, B ′AC = 45 ⇒ AN = MN ⇒ NC = MN cot 
ACM = MN 3 .
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Trang 17


Website: tailieumontoan.com

2a
Mà AN + NC =AC ⇒ AN + AN 3 =2a ⇒ AN =
=a
1+ 3

(

)

3 −1

Thể tích khối trịn xoay sinh bởi AB ′ , CB ′ quanh trục AC
đều là: V1
=
Thể tích khối trịn xoay sinh bởi AM quanh trục AC là:
3
π . AN 3 π a 6 3 − 10
1
2
V2
AN .π=
. AN
=
=
3
3
3

(

1
π a3
2
′
=
AK .π ( KB )
3
3

)

Thể tích khối trịn xoay sinh bởi MB ′ quanh trục AC là: V3 = V1 − V2 =

(

π a 3 11 − 6 3

3
1
3π a 3
Thể tích khối trịn xoay sinh bởi CD quanh trục=
AC là: V4 =
CH .π .HD 2
3
8
CM
quanh
trục
Thể
tích

khối
trịn
xoay
sinh
bởi
1
=
V5 =
CM .π .MN 2
3

(

3π a 3 6 3 − 10

)

3

Thể tích khối trịn xoay sinh bởi DM quanh trục AC là: V6 = V4 − V5 =

(

)

AC

π a 3 80 3 − 135

là:

)

24
1
π a3
Thể tích khối trịn xoay sinh bởi AD quanh trục=
AC là: V7 =
. AH .π .HD 2
3
8

Vậy V = V7 + V1 + V3 + V6
Câu 8.

( −9 + 8 3 ) π a
=
6

3

.

Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B ′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB = a 3 ,
BC = 2a , đường thẳng AC ′ tạo với mặt phẳng ( BCC ′B ′) một góc 30° (tham khảo hình vẽ
bên). Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho bằng:

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Trang 18

Website: tailieumontoan.com
A

B
C

A'

B'

C'

B. 6π a 2 .

A. 24π a 2 .

D. 3π a 2 .

C. 4π a 2 .
Lời giải:

Chọn B
B

A
M

H

C

R

I
B'

A'
M'
C'

Gọi M , M ′ lần lượt là trung điểm của BC , B ′C ′ .
Dễ thấy trung điểm I của MM ′ là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
Kẻ AH vng góc BC ( H ∈ BC ) ⇒ 
AC ′H =
AC ′, ( BCC ′B′) ) =
30° .
(
Ta có: AC =

BC 2 − AB 2 =

( 2a )

2

(

− a 3

)

2

= a.

AB. AC a 3.a a 3
.
= =
BC
2a
2
a 3
AH
2
Trong tam giác vng AHC ′ , có: =
AC ′
= =
a 3.
1
sin 30°
2
AH .BC
= AB. AC ⇒ AH=

Trong tam giác vng ACC ′ , có CC
=′

2
AC ′2 − AC=

(a 3)

2

2
− a=
a 2.

2

2
2
2
6 2
 CC ′   BC   a 2   2a 
Bán kính R =IB =MI + MB =
a
 +   =
 +
 = 
4
 2   2   2   2 
2

2

2

2

6a 2
Diện tích mặt cầu:
S 4=
=
π R 2 4π .= 6π a 2 .
4
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Trang 19


Website: tailieumontoan.com

Câu 9.

= BC
= a 3,
Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại đỉnh B . Biết AB
= SCB
= 90° và khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng a 2 . Tính diện tích mặt
SAB
cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC .
B. 8π a 2 .

A. 3 .

C. 12π a 2 .

D. 2π a 2 .

Lời giải:
Chọn C
S

I

H

D

A

C

B

Gọi D là hình chiếu của S trên ( ABCD ) .
Do SA ⊥ AB ⇒ DA ⊥ AB , và SC ⊥ CB ⇒ DC ⊥ CB . Vậy suy ra ABCD là hình vng.
Trong ( SCD ) kẻ DH ⊥ SC tại H .
Ta có AD // ( SBC ) ⇒ d ( A, ( SBC ) ) = d ( D, ( SBC ) ) = DH .
Ta có

1
1
1
=
+
⇒ SD = a 6 . Suy ra SB = 2a 3 .
2

2
DH
DC
SD 2

R
Gọi I là trung điểm SB suy ra I là tâm mặt cầu và =

SB
= a 3.
2

=
S 4=
π R 2 12π a 2 .
Vậy diện tích mặt cầu bằng
Câu 10. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a , SAD là tam giác đều và nằm trong mặt
phẳng vng góc với đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và CD . Tính bán kính R
của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S .CMN .
A. R =

a 29
.
8

B. R =

a 29
.
8

C. R =

a 37
.
6

D. R =

5a 3
.
12

Lời giải:
Chọn B
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Trang 20


Website: tailieumontoan.com

Gọi:
- H là trung điểm của AD ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) .
- I là trung điểm của MN ⇒ I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN .
- d là đường thẳng qua I và vng góc với mặt đáy.
- E là hình chiếu của I lên AD.
- O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S .CMN .
- K là hình chiếu của O lên SH .
Đặt OI = x .

1
a 2
=
MN
; OC =
2
4

=
CI
Ta có:

IC + IO =
2

2

2

a2
+ x2 ;
8

2

a 10
 3a   a 
KO =HI = IE + EH =   +   =
;

4
 4  4
2

2

2

SO =

SK + KO =
2

2

2

a 3
  a 10 
− x  + 

 =
 2
  4 

x 2 − 3ax +

22a 2
.
16

Vì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S .CMN nên SO = OC
Suy ra:

a2
+ x 2=
8

OC =
Vậy: R =

x 2 − 3ax +

22a 2
5 2
5 3a
⇔ 3ax=
a ⇔ x=
.
16
4
12

a 2 25a 2
93
+
= a.
8
48
12

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

Trang 21