Ma trận - Toán học - Nguyễn Đặng Gia Lạc - Thư viện Bài giảng điện tử

BÀI 1

   
   


 ¥   









Mục tiêu bài học

ến T
y
u
T
ố
Đại S

Hiểu được kí hiệu và thuật ngữ của đại số ma
trận
Thực hiện được các phép toán cộng trừ nhân
trên ma trận.
Biến đổi sơ cấp trên ma trận

í nh





Ví dụ ứng dụng

ến T
y
u
T
ố
Đại S

Cơng ty chế biến thực phẩm cần chế biến một
loại thức ăn nhanh chứa đủ 3 loại dưỡng chất
là Protein, Carbohydrate và Fat, mà chúng
được lấy từ 3 loại thực phẩm nguyên liệu: (A),
(B), (C). Bảng sau đây liệt kê số lượng (tính
bằng gam) của 3 dưỡng chất có trong 100g của
mỗi loại thực phẩm nguyên liệu.

í nh




Ví dụ ứng dụng

Dưỡng chất

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh

Hàm lượng dưỡng chất có trong 100g
(A)

(B)

(C)

Protein

36g

51g

Carbohydrate

15g

27g

32g

Fat

12g

0g

11g

13g




ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh




§1: Ma Trận

ến T

y
u
T
ố
Đại S

Định nghĩa: Ma trận là một bảng gồm m.n
số thực được viết thành m hàng và n cột
như sau:
 a11 a12 ... a1n 
a

a
...
a
21
22
2n 

 ... ... ... ... 


 am1 am 2 ... am n 
Ký hiệu: A = [aij]mn

í nh


§1: Ma Trận


 a11
a
 21
 ...

 ai1
 ...

 am1

a12
a22
...
ai 2
...
am 2

... a1 j
... a2 j
... ...
... aij
aij
... ...
... amj

...
...
...
...

...
...

Cột thứ 2 Cột thứ j

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh

Hàng thứ nhất
a1n 
a
a
a
…
gọi
là
đường
11
22
33
a2 n  chéo chính
... 

Hàng thứ i

ain 
... 
 mn: gọi là cấp của ma trận
am n 
aij: Phần tử nằm ở hàng i cột j




§1: Ma Trận

ến T
y
u
T
ố
Đại S

Ví dụ:

1 0
A
 3 1.5
a21

2

5

23

 2 8 6


B  2 9 0 
0 7 2 
33
đường chéo chính

í nh




§1: Ma Trận

Các ma trận đặc biệt:
1. Ma trận khơng: aij  0, i, j.
(tất cả các phần tử đều = 0)
Ví dụ:

0 0 0
O

0 0 0

ến T
y
u
T

ố
Đại S

í nh




ến T
y
u
T
ố
Đại S

§1: Ma Trận

í nh

Các ma trận đặc biệt:
2. Ma trận vuông: m = n. (số hàng = số cột)
Ví dụ:

Ma trận vng cấp 3

0 7 8 
 1 3 

 2 7  ;  4 2 0 


 
 5 0 2 

Ma trận vuông cấp 2




ến T
y
u
T
ố
Đại S

§1: Ma Trận

Các ma trận đặc biệt:
3. Ma trận chéo: là ma trận vng có:

aij  0, i  j.
(các phần tử ngồi đường chéo chính = 0)
Ví dụ:
2 0 0
0 4 0


 0 0 9 

 a11

0

 ...

0

0
a22
...
0

0
... 0 
... ... 

... ann 
...

í nh




ến T
y
u
T
ố
Đại S

§1: Ma Trận

Các ma trận đặc biệt:
4. Ma trận đơn vị: là ma trận chéo có:

aii  1, i  1, 2,..., n.

Ký hiệu: I, In.
Ví dụ:

1
1 0 0 
0
1 0 
0 1 0  , I  
I2  
,
I

 3 
 n ..
0
1


0 0 1 

0

0

1
..
0

...
...
...
...

0
0 
.. 

1

í nh




ến T
y
u
T
ố
Đại S

§1: Ma Trận

Các ma trận đặc biệt:

5. Ma trận tam giác: là ma trận vng có

aij  0, i  j.(tam giác trên)
aij  0, i  j. (tam giác dưới)
Ví dụ: 1 2 5 4 
 2 0 0 0
0 3 1 0 


0 0 2 6 


0 0 0 9 

MT tam giác trên

7 1 0 0


0 8 2 0


 2 9 1 5

MT tam giác dưới

í nh




§1: Ma Trận

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh

Các ma trận đặc biệt:
6. Ma trận hình thang: là ma trân cấp mn có:

aij  0, i  j.
có dạng như sau:
 a11
0

 ..

0
0

 0

a12 ... a1r
a22 ... a2 r
..

...

0
0

..
... ar r
... 0

0

...

0

... a1n 
... a2 n 
... .. 

... ar n 
... 0 

... 0 

Khi: a11a22 a33 ...ar r  0
Ta nói ma trận hình
thang đã chuẩn hóa



§1: Ma Trận
Ví dụ:
1
0

0

0
0

3 2
3 3
0 5
0 0
0 0

0
4
8
0
0

1 4
0 1 
9 1

0 0
0 0 

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh




§1: Ma Trận

Các ma trận đặc biệt:
7. Ma trận cột:là ma trận có n=1.
Ma trận cột có dạng:

 a11 
a 
 21  :  a 
i m
 .. 
 
 am1 

ến T
y
u

T
ố
Đại S

í nh




§1: Ma Trận

Các ma trận đặc biệt:
8. Ma trận hàng: là ma trận có m=1.
Ma trận hàng có dạng:

 a11 a12 ... a1n 

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh




ến T

y
u
T
ố
Đại S

§1: Ma Trận

Các ma trận đặc biệt:
9. Ma trận bằng nhau:

A   aij 

mn

 bij 

mn

 B  aij  bij , i, j.

10. Ma trận chuyển vị: cho ma trận
A=[aij]mn, ma trận chuyển vị của ma trận A
ký hiệu: AT và xác định AT=[bij]nm với
bij=aji với mọi i,j.
(chuyển hàng thành cột)

í nh



ến T
y
u
T
ố
Đại S

§1: Ma Trận

í nh

Dạng của ma trận chuyển vị:
 a11
a
21
A
 ..

 am1

a12
a22
..
am 2

Ví dụ:

a1n 

 a11
a
... a2 n 
12
 AT  
 ..
... .. 


... am n 
a1n


mn
...

a21 ... am1 
a22 ... am 2 
.. ... .. 

a2 n ... an m 
nm

1 6 
1 2 5 
2 7
T
A

A





6
7
9


 5 9 




§1: Ma Trận

ến T
y
u
T
ố
Đại S

Các phép tốn trên ma trận:
1. Phép cộng hai ma trận:

 aij   bij    aij  bij 
mn
mn
mn

(cộng theo từng vị trí tương ứng)
1+ 0=1
Ví dụ:
2+3=5
1 5

 11 22   0 3  

 3 5    2 4   -1 1

 
 

 4 2  1 5   5 3 

í nh




§1: Ma Trận

ến T
y
u
T
ố
Đại S

Bài tập: Tính

 2 3 3  3 4 2   5? 7 -1
1 4 6    1 7 2    ?0 11 8 

 
 

 4 2 0   6 3 2   -2 1 2? 

í nh




ến T
y
u
T
ố
Đại S

§1: Ma Trận

Các tính chất: Giả sử A,B,C,O là các ma
trận cùng cấp, khi đó:
i) A  B  B  A
ii ) A  O  A
iii ) A  ( B  C )  ( A  B )  C
Ví dụ:

1
4

3
2


2 3


7 2
5 1


0  4

5 4


0 6
2  4


7  6

7
7 
7
7 

í nh




§1: Ma Trận

ến T
y
u
T
ố
Đại S

Các phép tốn trên ma trận:
2. Phép nhân một số với một ma trận:

  aij  mn  .aij  mn ,   R.

(các phần tử của ma trận đều được nhân cho  )
2.(-2)=-4
-4
Ví dụ:
2.3=66
2 0 
 3 -2
0 2.0=0





227 4 5   14 8 10
 0 2 1  0 -4 2 

í nh




ến T
y
u
T
ố
Đại S

§1: Ma Trận

Bài tập: Tính

2

3 4
 5

3 6?


0   12
1 15

-9 


0

-3


í nh




§1: Ma Trận

ến T
y
u
T
ố
Đại S

Các tính chất:  ,   R, A, B là hai ma trận
cùng cấp, khi đó

i)  ( A  B)   A   B
ii ) (   ) A   A   A
iii )  (  A)  ( ) A
iv) 1A  A

Sinh viên tự kiểm tra.

í nh