Đề thi chọn đội tuyển môn Toán dự thi HSGQG THPT chuyên Lam Sơn Thanh Hóa năm 2021 - 2022

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA

KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GỎI TỈNH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN

DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
Mơn thi: TỐN
Ngày thi: 19/8/2021

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
**************
Bài 1. (5,0 điểm)
Cho dãy số  an  xác định bởi a1  4 và 3an1   an  1  5 với mọi n   * .
3

a) Chứng minh an nguyên dương với mọi n   * .
n

b) Đặt u n  
k 1

ak  1
. Tính lim u n .
a  ak  1
2
k

Bài 2. (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD , BE , CF . Gọi  B ,  C lần lượt là các đường tròn nội tiếp các
tam giác BDF , CDE. Gọi M là tiếp điểm của B với DF và N là tiếp điểm của C với DE. Đường thẳng

MN cắt lại  B ,  C lần lượt tại P khác M và tại Q khác N . Chứng minh MP  NQ.
Bài 3. (5,0 điểm)
Tìm tất cả các hàm số f :      , thỏa mãn:
f  x  f  xy   y  f  x  f  y   1 với mọi x, y    .

Bài 4. (5,0 điểm)
a) Cho m, n là các số nguyên dương thỏa mãn n  m 1. Tìm tất cả các cặp  x; y  nguyên dương thỏa mãn:

x 2 m  2 xy  y 2  n  0.
 4a 2  b 1
 khơng thể là số chính phương với mọi bộ số nguyên dương a; b.
b) Chứng minh a 2  


b


-------------------------HẾT-------------------------


LỜI GIẢI CHI TIẾT

Bài 1. (5,0 điểm)
Cho dãy số  an  xác định bởi a1  4 và 3an1   an  1  5 với mọi n   * .
3

a) Chứng minh an nguyên dương với mọi n   * .
n

b) Đặt u n  
k 1

ak  1
. Tính lim u n .
a  ak  1
2
k

Lời giải
a) Ta chứng minh bằng quy nạp an chia 3 dư 1 với mọi số nguyên n  2.
Thật vậy, a2  40 chia 3 dư 1.
Giả sử ak chia 3 dư 1 với mọi số nguyên k  2.

ak 1  1

3

Ta có: 3ak 1  ak  1  5. Suy ra: ak 1 
3

ak 1 1

3

Do ak  1mod 3 nên

3

5

3

5

.

 1 mod 3. Do đó ak 1 chia 3 dư 1.

Vậy an chia 3 dư 1. Dẫn đến  an  1  5 chia hết cho 3. Từ đây suy ra an 1 nguyên dương với mọi n   * .
3

Suy ra điều phải chứng minh.
b) Ta có:
3an1  an  1  5  3 an1  2  an  1  1
3

3

 3 an1  2  an  2 an2  an  1


an  2an 1
an  2
an  1
1



an2  an  1 3 an1  2

an2  an  1
3 an1  2



an  1
an2  an  2

an2  an  1 3  an1  2

Mặt khác 3an1  an  1  5  3an1  2  an  2an2  an 1. Suy ra:
3

an2  an  1 

3 an1  2
an  2

 an2  an  2 

3an1  3an
an  1


Suy ra:

3an1  3an
an 1
an2  an  2
1

1




.
2
an  an  1 3 an1  2 3an1  2an  2 an  2 an1  2
n

Do đó: u n  
k 1

ak  1
1
1
1
1


 
.
a  ak  1 a1  2 an1  2 6 an1  2
2
k

an  1  5
3

Vì an1  an 

3

an 1an  2

2

 an 

.

3

Vì an  1 nên an1  an , do  an  là dãy số tăng.
Nếu  an  có giới hạn hữu hạn thì lim an  L  1, cho n   , ta được:
3 L   L  1  5  L  1, vơ lí.
3

1
Do đó lim an   nên lim un  .
6

Bài 2. (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD , BE , CF . Gọi  B ,  C lần lượt là các đường tròn nội tiếp
các tam giác BDF , CDE. Gọi M là tiếp điểm của B với DF và N là tiếp điểm của C với DE. Đường
thẳng MN cắt lại  B ,  C lần lượt tại P khác M và tại Q khác N . Chứng minh MP  NQ.
Lời giải
A

E

F
Q
H
P
B

M

N

O

I
L

K
D

Gọi K , L lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của  B , C .

C


Gọi H , I lần lượt là trung điểm của MP , NQ. Ta có: KH  MP , LI  NQ.
Gọi O là hình chiếu của D trên MN .
Ta có các tam giác sau đồng dạng với nhau:
HM
KM

.

OD
MD

HKM  OMD 

Từ đây suy ra:

ILN  OND 

IN
LN

.
OD ND

KMD  LND 

KM
LN

.
MD ND

HM
IN

 HM  IN  MP  NQ.
OD OD

Suy ra điều phải chứng minh.

Bài 3. (5,0 điểm)
Tìm tất cả các hàm số f :      , thỏa mãn:
f  x  f  xy   y  f  x  f  y   1 với mọi x, y    .

Lời giải
…….Đang cập nhật…….
Bài 4. (5,0 điểm)
a) Cho m, n là các số nguyên dương thỏa mãn n  m 1.
Tìm tất cả các cặp  x; y  nguyên dương thỏa mãn: x 2 m  2 xy  y 2  n  0.

 4a 2  b 1
 khơng thể là số chính phương với mọi bộ số nguyên dương a; b.
b) Chứng minh a 2  


b



Lời giải
…….Đang cập nhật…….