Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (chung) trường THPT Chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa năm học 2014 - 2015

www.VNMATH.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HOÁ
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2014 – 2015

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề thi gồm 01 trang
Môn: Toán
(Dành cho tất cả các thí sinh)
Thời gian làm bài: 120 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 17/6/2014

Bài 1: (2,0 điểm): Cho biểu thức:
2 2
16
4 4
a
C
a
a a
  

 

1. Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa và rút gọn C.
2. Tính giá trị của biểu thức C khi a = 9 - 4√5 .
Bài 2: (2,0 điểm):

Cho hệ phương trình:
( 1) 2
1
m x y
mx y m
  


  

(m là tham số)
1.Giải hệ phương trình khi m = 2.
2. Chứng minh rằng với mọi m, hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y)
thỏa mãn : x + 2y ≤ 3
Bài 3
: (2,0 điểm):
1. Trong hệ tọa độ Oxy, tìm m để đường thẳng (d): y= mx – m +2 cắt Parabol (P):
y = 2x
2
tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung.

2. Giải hệ phương trình:
3
3
2 4
2 6 2 2
x y x y
x y

   



  



Bài 4
: (3,0 điểm): Cho đường tròn O đường kính BC và một điểm A nằm bất kì trên
đường tròn (A khác B và C). Gọi AH là đường cao của DABC, đường tròn tâm I đường
kính AH cắt các dây cung AB, AC tương ứng tại D, E.
1. Chứng minh rằng : góc DHE bằng 90
0
và AB. AD = AC . AE
2. Các tiếp tuyến của đường tròn (I) tại D và E cắt BC tương ứng tại G và F. Tính
số đo góc GIF
3. Xác định vị trí điểm A trên đường tròn (O) để tứ giác DEFG có diện tích lớn
nhất
Bài 5
: (1,0 điểm):Cho ba số thực x, y, z.
Tìm giá trị lớn nhất biểu thức


2 2 2
2 2 2
( )( )
xyz x y z x y z
S
x y z xy yz zx
    


   


1
Lêi gi¶i vµ thang ®iÓm to¸n chung Lam S¬n
Ngày thi : 17/062014
Câu Nội dung Điểm

1/ Tìm điều kiện của a để biểu thức C có ngĩa, rút gọn C.
+ Biểu thức C có nghĩa khi
a 0
a 0
a 16 0
a 16
a 0,a 16
a 4 0 a 16
moi a 0
a 4 0






 

 
   
 
  

 
 

 



0.25
+ Rút gọn biểu thức C
  
a 2 2 a 2 2
C
a 16
a 4 a 4 a 4 a 4
a 4 a 4
     

   
 





        
a 2 a 4 2 a 4
a 2 a 8 2 a 8 a 4 a
C
a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4
   

    
  
     

  


    
a a 4
a 4 a a
C
a 4 a 4 a 4 a 4 a 4


  
    

1.25
1
2/ Tính giá trị của C, khi
a 9 4 5
 

Ta có:


2
a 9 4 5 4 4 5 5 2 5
      
=>

 
2
a 2 5 2 5
   

Vậy:
 
a 2 5 2 5
C
2 5 4 6 5
a 4
 
  
  




0.5

Cho hệ phương trình:


m 1 x y 2
mx y m 1
  



  



(m là tham số)
1/ Giải hệ phương trình khi m = 2
Khi m = 2 thay vào ta có hệ phường trình


2 1 x y 2
x y 2 x 1 x 1
2x y 3 x y 2 y 1
2x y 2 1
  
   
  

  
   
    
  

  



0.75

Kết luận: Với m = 2 hệ phường trình có một nghiệm duy nhất
x 1
y 1







0.25

2
2
2/ Chứng minh rằng với mọi m hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất
(x ; y) thỏa mãn
2x y 3
 





 


y 2 m 1 x
m 1 x y 2 y 2 m 1 x
mx 2 m 1 x m 1
mx y m 1 mx 2 mx x m 1
  
      
  
 
  

    
       
 

 


<=>






2
y 2 m 1 x y 2 m 1 m 1
y m 2m 1
x m 1
x m 1 x m 1
       

   
 
 
  
 
   
 

 

Vậy với mọi m hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất:
2
y m 2m 1
x m 1

   

 









0.5



Ta có:


2 2
2x y 3 2 m 1 m 2m 1 3 2m 2 m 2m 1 3
             

 

2
2
2x y 3 m 4m 4 m 2 0 2x y 3 0 2x y 3
                

0.5

1/ Trong hệ tọa độ Oxy, tìm m để đường thẳng (d) : y = mx – m + 2 cắt
Parabol (P) y = 2x
2
tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung
Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P) là nghiệm của
phương trình: 2x
2
= mx – m + 2 <=> 2x
2
– mx + m – 2 = 0 (1)
Có:
   
2
2 2
m 4.2. m 2 m 8m 16 m 4
        

Để đường thẳng (d) : y = mx – m + 2 cắt Parabol (P) y = 2x
2
tại hai điểm
phân biệt nằm bên phải trục tung thì
1 2
1 2

0
x x 0
x .x 0
 


 




=>
 
2
m 4 0
m
0
2
m 2
0
2

 












=>
m 4
m 0 m 2,m 4
m 2



   





Kết luận: để đường thẳng (d) : y = mx – m + 2 cắt Parabol (P) y = 2x
2
tại
hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung thì:
m 2,m 4
 


1.0

3
3
2/ Giải hệ phương trình :

3
3 x 2y 4 x 2y (1)
2x 6 2y 2 (2)

   


  



Điều kiện:
x 2y 0 x 2y 0
2y 0 y 0
   
 

 
 
 
(*)
Đặt
x 2y t 0,
  
thay vào phương trình (1) ta có
3t = 4 – t
2
=> t
2
+ 3t – 4 = 0

1 + 3 – 4 = 0, nên phương trình có hai nghiệm t = 1 và t = -4 (loại)
Với t = 1 =>
x 2y 1=>x + 2y = 1 => x = 1 - 2y
 
, thay vào phương trình
(2) ta có


3
2 1 2y 6 2y 2
   
<=>
3
4y 8 2y 2
   
<=>
3
4y 8 2 2y
   

<=>
4y 8 8 12 2y 12y 2y 2y
     
<=>
16y 12 2y 2y 2y 0
  

<=>
8y 6 2y y 2y 0
  

<=>


y 2y 8 y 6 2 0
   

<=>




y y 2 2 y 6 0
   

TH 1 :
y 0 y 0 x 1
    
(thỏa mãn *)
TH2 :
y 2 y 2 x 3
     
(thỏa mãn *)
TH3 :
6
y y 18 x 35
2
     
(thỏa mãn *)
Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm (x, y) = (1 ; 0), (-3, 2), (-35,18)

1.0
4
F
G
I
E
H
D
C
B
A



4
1. Chứng minh

0
DHE 90


Tứ giác ADHE có:




A D E
 
=> ADHE là hình chữ nhật =>

0
DHE 90


Chứng minh AB.AD = AC.AE
Xét hai tam giác vuông HAB và HAC ta có: AB.AD = AH
2
= AC.AE

1.0
2/ Tính góc GIF

0
DHE 90

=> DE là đường kính => I thuộc DE
=>


 
0
1 1 1
GIF DIH HIE DIE 90
2 2 2
   

1.0
3/ Tứ giác DEFG là hình thang vuông có đường cao DE = AH
Hai đáy DG = GH = GB =
1
BH
2
và EF = FC = FH =
1
HC
2

=>diện tích hình tứ giác DEFG là
 
1
HB HC .AH
BC.AH
2
2 4


lớn nhất khi AH lớn nhất vì BC = 2R không đổi
Ta có: AH lớn nhất => AH là đường kính => A là trung điểm cung AB
1.0
5
Cho ba số thực dương x,y, z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức


 

 
2 2 2
2 2 2
xyz x y z x y z
S
x y z xy yz zx
    

   

Theo Bu nhi a :




2
2 2 2
x y z 3 x y z
    
=>
 
2 2 2
x y z 3 x y z
    

=>


 
 

2 2 2 2 2 2
2 2 2
xyz 3. x y z x y z
S
x y z xy yz zx
    

   
=


 
2 2 2
xyz 3 1
x y z xy yz zx

   



2 2 2 2 2 2
6 3
xyz 3 1
3 1
S
3 3
3 x y z 3 x y z


 

=>
3 1
Smax
3 3


khi x = y = z
1.0
Chú ý
1/ Bài hình không vẽ hình hoặc vẽ hình sai không chấm điểm
2/ Làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa