Tài liệu Đồ án: Hệ thống ghép kênh theo tần số pptx

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TAO
TRƯỜNG………………….










Đồ án

Hệ thống ghép kênh theo tần số









3
LờI Mở ĐầU
Chúng ta đều biết rằng việc số hoá các thiết bị điện tử - viễn thông đã và
đang đ-ợc thực hiện rất mạnh mẽ ở trên toàn thế giới cũng nh- ở Việt Nam,
chính vì vậy mà vấn đề xử lý tín hiệu và lọc số đã trở thành một ngành khoa học
và kỹ thuật. Sự phát triển nhanh chóng đó đ-ợc đánh giá bởi sự ra đời của các
mạch vi điện tử cỡ lớn VLSI (Very Large Scale Integration) là nền tảng cho sự

phát triển của các phần cứng số (Digital hardware) chuyên dụng cũng nh- máy
tính số (Digital Computer) với giá thành rẻ hơn, kích th-ớc nhỏ hơn, tốc độ cao
hơn.
Chính vì thế xử lý tín hiệu số ngày càng thu hút đ-ợc sự quan tâm nghiên
cứu và có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của cuộc sống. Sự phát triển của
xử lý tín hiệu số dựa trên nền tảng xử lý tín hiệu số đơn tốc độ. Để cải thiện hiệu
quả của quá trình xử lý, các nhà nghiên cứu đã đ-a ra khái niệm lọc số nhiều
nhịp và nó đ-ợc nghiên cứu ứng dụng trong xử lý tín hiệu số, để tăng tốc độ tính
toán trong các mạch lọc số bằng cách giảm số phép nhân phải thực hiện trong
một giây.
Kĩ thuật lọc số nhiều nhịp hay còn gọi là kĩ thuật xử lý đa tốc độ đ-ợc ứng
dụng nhiều trong xử lý âm thanh, hình ảnh. Và trong kĩ thuật này một kĩ thuật
đ-ợc áp dụng để ghép các luồng số tốc độ thấp gọi là kĩ thuật ghép kênh theo
tần số. Trong kĩ thuật ghép kênh theo tần số các luồng số tốc độ thấp đ-ợc xử lý
ghép lại với nhau thành 1 luồng có tốc độ cao hơn và truyền đi. Nhờ có kĩ thuật
này ta có thể truyền liền lúc nhiều kênh thông tin trên 1 đ-ờng truyền và tận
dụng tối đa hiệu suất của đ-ờng truyền. Do những tính chất -u việt của nó, kỹ
thuật ghép kênh theo tần số đã đ-ợc nghiên cứu rất nhiều trong những năm gần
đây và đã thu đ-ợc những kết quả khả quan về lý thuyết cũng nh- ứng dụng kỹ
thuật.
Trong nội dung đồ án này đ-ợc chia làm 3 ch-ơng với nội dung cơ bản
sau:
Ch-ơng 1. Giới thiệu tổng quan về xử lý tín hiệu số.
Ch-ơng 2. Nghiên cứu bank lọc số QMF với các bộ biến đổi nhịp lấy
mẫu, khai triển đa pha, cấu trúc bank lọc số và khả năng khôi phục tín hiệu hoàn
hảo của bank lọc.
Ch-ơng 3. Thực hiện mô phỏng hệ thống ghép kênh theo tần số bằng Simulink.

Hải Phòng, tháng 10 năm 2010
Sinh viên thực hiện

Lê Tr-ờng Tiến


4

Ch-ơng 1
Lý thuyết chung về xử lý tín hiệu số

1.1. Tín hiệu và hệ thống rời rạc theo thời gian

Trong hầu hết các lĩnh vực có liên quan đến xử lý tin tức hoặc thông tin
đều bắt đầu với việc biểu diễn tín hiệu nh- một dạng mẫu thay đổi liên tục. Sóng
âm tạo ra tiếng nói của con ng-ời cũng tuân theo nguyên tắc này. Từ các mẫu tín
hiệu, để thuận tiện, ng-ời ta dùng các hàm toán học để biểu diễn chúng, nh- các
hàm của sự biến đổi theo thời gian t. ở đây chúng ta sẽ dùng dạng biểu diễn
x
a
(t) để biểu thị các dạng sóng thời gian thay đổi liên tục (tín hiệu analog).
Ngoài ra tín hiệu còn có thể biểu diễn nh- một dãy rời rạc các giá trị và ta dùng
dạng biểu diễn x(n) để biểu thị. Nếu tín hiệu đ-ợc lấy mẫu từ tín hiệu t-ơng tự
với chu kỳ lấy mẫu T, khi đó chúng ta có dạng biểu diễn x
a
(nT).
Trong các hệ thống xử lý số tín hiệu, chúng ta th-ờng dùng đến các dãy
đặc biệt, nh-:
Mẫu đơn vị hoặc dãy xung đơn vị đ-ợc định nghĩa:
lại còn n với 0
0n với 1

n
(1.1.1)
Dãy b-ớc nhảy đơn vị
lại còn n các với 0
0n với 1
nu
(1.1.2)
Dãy hàm mũ
n
anx
(1.1.3)
nếu a là số phức nh-
njnrera
n
nj
00
sincos.
0
(1.1.4)
Nếu
0,1
0
r
, thì x(n) có dạng sin phức; nếu
0
=0, x(n) là thực; và r<1,
0
0, x(n) là một dãy thay đổi, suy giảm theo luật hàm mũ. Dãy kiểu này xuất
hiện đặc biệt trong biểu diễn các hệ thống tuyến tính và trong mô hình dạng
sóng tiếng nói.

Xử lý tín hiệu, trong đó chúng ta phải chuyển đổi tín hiệu về dạng mẫu
mà chúng ta mong muốn. Nh- vậy chúng ta phải quan tâm đến các hệ thống rời
rạc, hoặc t-ơng đ-ơng với sự chuyển đổi của một dãy tín hiệu vào để đ-ợc một
dãy tín hiệu ra. Chúng ta miêu tả sự chuyển đổi này bằng một khối nh- ở hình
1.1.


Hình 1.1. Mô phỏng hệ thống
Những hệ thống nh- trên hoàn toàn có thể đ-ợc xác định bằng đáp ứng
xung của nó đối với mẫu xung đơn vị đ-a vào. Đối với những hệ thống này, đầu
T[]
x(n)
y(n)=T[x(n)]


5
ra có thể đ-ợc tính khi ta đ-a vào dãy x(n) và đáp ứng xung đơn vị h(n), dùng
tổng chập để tính
nhnxknhkxny
k
*
(1.1.5a)
Dấu * ở đây dùng cho tổng chập. T-ơng tự ta cũng có
nxnhknxkhny
k
*
(1.1.5b)
1.2. Biểu diễn sự biến đổi của tín hiệu và hệ thống
Phân tích và thiết kế của các hệ thống tuyến tính sẽ rất đơn giản nếu
chúng ta sử dụng trong miền Z và miền tần số cho cả hệ thống và tín hiệu, khi

đó chúng ta cần thiết phải xét đến sự biểu diễn Fourier, miền Z của hệ thống và
tín hiêu rời rạc theo thời gian.
1.2.1. Biến đổi sang miền Z
Sự biến đổi sang miền Z của một dãy đ-ợc định nghĩa bằng hai ph-ơng
trình sau:
n
n
ZnxZX
(1.2.1a)
C
n
dZZZX
j
nx
1
2
1
(1.2.1b)
Từ một dãy x(n) để biến đổi sang miền Z (biến đổi thuận), ta dùng công
thức (1.2.1a). Ta có thể thấy dãy X(Z) là một dãy luỹ thừa đối với biến Z
-1
, giá
trị của dãy x(n) biểu diễn bộ các hệ số trong dãy luỹ thừa. Một cách chung nhất,
điều kiện đủ để biến đổi sang miền Z là dãy luỹ thừa phải hội tụ tại một giá trị
giới hạn.
n
n
Znx
(1.2.2)
Một bộ các giá trị cho các dãy hội tụ đ-ợc định nghĩa bằng một vùng

trong mặt phẳng Z. Nói chung miền này có dạng:
21
RZR
(1.2.3)
Bảng 1.1. Các tính chất của phép biến đổi Z ng-ợc
Các tính chất
Dãy miền n
Biến đổi Z
1. Tính tuyến tính
ax
1
(n)+bx
2
(n)
aX
1
(Z)+bX
2
(Z)
2. Tính dịch chuyển theo thời gian
x(n+n
0
)
ZXZ
n
0

3. Thay đổi thang tỉ lệ
a
n

x(n)
X(a
-1
Z)
4. Vi phân của X(Z) theo Z
nx(n)
dZ
ZdX
Z

5. Đảo trục thời gian
X(-n)
X(Z
-1
)
6. Tích chập của hai dãy
x(n)*h(n)
X(Z).H(Z)
7. Tích của hai dãy
x(n).w(n)
C
dVVVZWVX
j
1
2
1

6
Phép biến đổi Z ng-ợc đ-ợc đ-a ra bởi tích phân đ-ờng trong ph-ơng
trình (1.2.1b), trong đó C là đ-ờng cong kín bao quanh gốc tọa độ trong mặt
phẳng Z, nằm trong miền hội tụ của X(Z). Trong những tr-ờng hợp đặc biệt của
phép biến đổi, ta có nhiều ph-ơng tiện thuận tiện hơn để tìm biến đổi Z ng-ợc,
nh- sử dụng các tính chất của phép biến đổi Z ng-ợc.
1.2.2. Biến đổi Fourier
Phép biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc theo thời gian đ-ợc biểu diễn
bằng công thức sau:
n
njj
enxeX
(1.2.4a)
deeXnx
njj
2
1
(1.2.4b)
Những ph-ơng trình trên có thể nhận ra dễ dàng nó là tr-ờng hợp đặc biệt
của ph-ơng trình (1.2.1). Ngoài ra biểu diễn Fourier có thể đạt đ-ợc bằng cách
giới hạn phép biến đổi Z vào vòng tròn đơn vị của mặt phẳng Z, nh- thay
j
eZ
, nh- trong hình 1.2, biến số có thể biểu diễn bằng góc trong mặt
phẳng Z. Điều kiện đủ để tồn tại biến đổi Fourier có thể tính bằng cách gán
1Z
trong ph-ơng trình (1.2.2), ta có:
n
nx

(1.2.5)

Hình 1.2. Vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng Z
Một đặc điểm quan trọng của biến đổi Fourier một dãy là X(e
j
) là một
hàm tuần hoàn của , tuần hoàn với chu kỳ là 2 , điều này có thể dễ nhận ra
bằng cách thay thế +2 vào ph-ơng trình (1.2.4a). Một cách khác, bởi vì
X(e
j
) đ-ợc tính bằng X(Z) trên vòng tròn đơn vị, nên chúng ta có thể thấy rằng
X(e
j
) phải lặp lại mỗi lần khi quay hết một vòng quanh vòng tròn đơn vị
(t-ơng ứng với một góc là 2 Radian).
Bằng cách thay Z= e
j
vào mỗi công thức trong bảng (1.1), chúng ta có
thể đạt đ-ợc các công thức cho biến đổi Fourier. Tất nhiên kết quả này chỉ đúng
với biến đổi Fourier khi phép biến đổi đã tồn tại.
1.3. Bộ lọc số
Bộ lọc số là hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian. Thông số vào và
ra của hệ thống quan hệ với nhau bằng tổng chập trong ph-ơng trình (1.1.5),
Re[Z]
Im[Z]



7
quan hệ trong miền Z đ-ợc đ-a ra trong bảng (1.1).

Y(Z)=H(Z).X(Z) (1.3.1)
Chuyển đổi miền Z của đáp ứng xung đơn vị H(Z) đ-ợc gọi là hàm hệ
thống. Biến đổi Fourier của đáp ứng xung đơn vị H(e
j
) là một hàm phức của ,
biểu diễn theo phần thực và phần ảo là
H(e
j
)=Hr(e
j
)+jHi(e
j
) (1.3.2)
Hoặc biểu diễn d-ới dạng góc pha:
j
eHj
jj
eeHeH
arg
.
(1.3.3)
Một hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả là dạng có h(n)=0 với n<0.
Một hệ thống ổn định là dạng với tất cả các thông số đ-a vào hữu hạn tạo ra
thông số ra hữu hạn.
Điều kiện cần và đủ cho một hệ thống tuyến tính bất biến ổn định là:
n
nh
(1.3.4)
Điều kiện này giống với công thức (1.2.5), và nó đủ để tồn tại H(e
j

).
Thêm vào đó, tất cả các hệ thống tuyến tính bất biến đ-ợc quan tâm để thực hiện
nh- các bộ lọc có một thuộc tính là các thông số vào và ra thoả mãn ph-ơng
trình sai phân có dạng:
M
r
r
N
k
k
rnxbknyany
01
(1.3.5)
Chuyển đổi sang miền Z cả hai vế của ph-ơng trình ta đ-ợc:
N
k
k
k
M
r
r
r
Za
Zb
ZX
ZY
ZH
1
0
1

(1.3.6)
So sánh hai ph-ơng trình trên, từ ph-ơng trình sai phân (1.3.3) ta có thể
đạt đ-ợc H(Z) trực tiếp bằng cách đồng nhất các hệ số của phần tử vào trễ trong
(1.3.5) với các luỹ thừa t-ơng ứng Z
-1
.
Hàm hệ thống H(Z) là một hàm hữu tỉ của Z
-1
. Nó có thể đ-ợc biểu diễn
bằng dạng điểm cực và điểm không trong mặt phẳng Z. Nh- vậy H(Z) có thể
viết dạng:
N
k
k
M
r
r
Zd
ZcA
ZH
1
1
1
1
1
1
(1.3.7)
Nh- chúng ta đã xét trong miền Z, hệ thống nhân quả sẽ có miền hội tụ
dạng
1

RZ
. Nếu hệ thống cũng là ổn định thì R
1
phải nhỏ hơn giá trị đơn vị, do
đó miền hội tụ bao gồm là vòng tròn đơn vị. Nh- vậy trong hệ thống bất biến,
nhân quả thì tất cả các điểm cực của H(Z) phải nằn trong vòng tròn đơn vị. Để
thuận tiện, ta phân thành các lớp hệ thống, những lớp này bao gồm hệ thống đáp
ứng xung hữu hạn (Finit duration Impulse Response_FIR), và hệ thống đáp ứng
xung vô hạn (Infinit duration Impulse Response_IIR).


8
1.3.1. Hệ thống FIR
Nếu các hệ số a
k
trong ph-ơng trình (1.3.5) bằng không, khi đó ph-ơng
trình sai phân sẽ là:
M
r
r
rnxbny
0
(1.3.8)
So sánh (1.3.8) với (1.1.5b) chúng ta thấy rằng:
lại còn n các với 0
Mn0
n
b
nh
(1.3.9)

Hệ thống FIR có rất nhiều thuộc tính quan trọng, tr-ớc tiên chúng ta chú
ý rằng H(Z) chỉ có điểm không là một đa thức của Z
-1
và tất cả các điểm cực của
H(Z) đều bằng không, tức là H(Z) chỉ có điểm không. Thêm nữa, hệ thống FIR
có thể có chính xác pha tuyến tính. Nếu h(n) xác định theo công thức sau
nMhnh
(1.3.10)
thì H(e
j
) có dạng
ZMjjj
eeAeH .
(1.3.11)
H(e
j
) chỉ có phần thực hoặc phần ảo tuỳ thuộc vào ch-ơng trình (1.3.10)
lấy dấu (+) hay dấu (-).
Dạng pha tuyến tính chính xác th-ờng rất hữu ích trong các ứng dụng xử
lý tiếng nói, khi mà xác định thứ tự thời gian là cần thiết. Các thuộc tính này của
bộ lọc FIR cũng có thể đơn giản hoá vấn đề xấp xỉ, nó chỉ xét đến khi đáp ứng
độ lớn cần thiết. Khoảng sai số mà đ-ợc bù để thiết kế các bộ lọc với đáp ứng
xung pha tuyến tính chính xác là phần mà một khoảng thời gian tồn tại đáp ứng
xung phù hợp đ-ợc yêu cầu để xấp xỉ phần nhọn bộ lọc bi cắt đi.
Dựa trên những thuộc tính chung với bộ lọc FIR pha tuyến tính, ng-ời ta
đã phát triển ba ph-ơng pháp thiết kế xấp xỉ. Những ph-ơng pháp này là:
Thiết kế cửa sổ
Thiết kế mẫu tần số
Thiết kế tối -u
Chỉ ph-ơng pháp đầu tiên là ph-ơng pháp phân tích, thiết kế khối khép

kín tạo bởi các ph-ơng trình có thể giải để nhân đ-ợc các hệ số bộ lọc. Ph-ơng
pháp thứ hai và ph-ơng pháp thứ ba là ph-ơng pháp tối -u hoá, nó sử dụng
ph-ơng pháp lặp liên tiếp để đ-ợc thiết kế bộ lọc.

Hình 1.3. Mạng số cho hệ thống FIR
Bộ lọc số th-ờng đ-ợc biểu diễn dạng biểu đồ khối, nh- hình (1.3) ta biểu
diễn ph-ơng trình sai phân (1.3.8). Sơ đồ nh- vậy th-ờng đ-ợc gọi là một cấu
trúc bộ lọc số. Trên sơ đồ, biểu diễn các toán tử yêu cầu tính giá trị mỗi dãy ra
từ giá trị của dãy đ-a vào. Những phần tử cơ bản của sơ đồ biểu diễn ý nghĩa
Z
-1

x(n)
+
Z
-1

x(n-1)
+
Z
-1

x(n-2)
+
x(n-M)
+
x(n-M-1)
b
0

b
1

b
2

b
M-1

b
M



9
phép cộng, nhân các giá trị của dãy với hằng số (các hằng số trên nhánh hàm ý
phép nhân), và chứa các giá trị tr-ớc của dãy vào. Vì vậy biểu đồ khối đ-a ra chỉ
dẫn rõ ràng về tính phức tạp của hệ thống.
1.3.2. Hệ thống IIR
Nếu hàm hệ thống của ph-ơng trình (1.3.7) có các điểm cực cũng nh-
điểm không, thì ph-ơng trình sai phân (1.3.5) có thể viết:
M
r
r
N
k
k
rnxbknyany
01
(1.3.12)

Ph-ơng trình này là công thức truy hồi, nó có thể đ-ợc sử dụng để tính giá
trị của dãy ra từ các giá trị tr-ớc đó của thông số ra và giá trị hiện tại, tr-ớc đó
của dãy đầu vào. Nếu M<N trong ph-ơng trình (1.3.7), thì H(Z) có thể biến đổi
về dạng:
N
k
k
k
Zd
A
ZH
1
1
1
(1.3.13)
Cho hệ thống nhân quả, ta dễ dàng biểu diễn
N
k
n
kk
nudAnh
1
(1.3.14)
Ta có thể thấy rằng dãy h(n) có chiều dài vô hạn. Tuy nhiên, vì công thức
truy hồi (1.3.12) th-ờng dùng để thực hiện bộ lọc IIR, nó sử dụng ít phép tính
hơn là đối với bộ lọc FIR. Điều này đặc biết đúng cho các bộ lọc lựa chọn tần số
cắt nhọn.
Có nhiều ph-ơng pháp thiết kế sẵn có cho bộ lọc IIR. Những ph-ơng pháp
thiết cho bộ lọc lựa chọn tần số (thông thấp, thông dải, ) một cách chung nhất
là dựa trên những biến đổi của thiết kế t-ơng tự.

Các thiết kế Butterword
Các thiết kế Bessel
Các thiết kế Chebyshev
Các thiết kế Elliptic
Tất cả những ph-ơng pháp trên dùng phép phân tích tự nhiên và đ-ợc ứng
dụng rộng rãi để thiết kế các bộ lọc IIR. Thêm vào đó các ph-ơng pháp tối -u
hoá IIR đã đ-ợc phát triển cho thiết kế xấp xỉ liệt kê, điều này không dễ thích
nghi với một trong các ph-ơng pháp xấp xỉ trên.
Sự khác nhau chính giữa FIR và IIR là IIR không thể thiết kế để có pha
tuyến tính chính xác, khi mà FIR có những thuộc tính này, còn bộ lọc IIR hiệu
quả hơn trong thực hiện lọc cắt nhọn hơn là FIR.
Mạng bao hàm ph-ơng trình (1.3.12) đ-ợc biểu diễn trong hình 1.4a cho
tr-ờng hợp N=M=3, nó th-ờng đ-ợc gọi là dạng biểu diễn trực tiếp. Ph-ơng
trình sai phân (1.3.12) có thể đ-ợc chuyển sang dạng t-ơng đ-ơng. Đặc biệt bộ
ph-ơng trình sau th-ơng đ-ợc sử dụng:
M
r
r
N
k
k
rnwbny
nxknwanw
0
1
(1.3.15)


10
bộ ph-ơng trình này có thể biểu diễn nh- trong hình 1.4b, với bộ nhớ để

l-u giữ đ-ợc yêu cầu để chứa các giá trị dãy trễ.
Ph-ơng trình (1.3.7) chỉ ra rằng H(Z) có thể biểu diễn nh- một tích các
điểm cực. Những điểm cực và điểm không này là các cặp liên hiệp phức, vì các
hệ số a
k
và b
k
là thực.
Bằng những nhóm liên hiệp phức điểm cực và điểm không trong cặp liên
hợp phức, nó cũng có thể biểu diễn H(Z) nh- tích của các hàm hệ thống cơ bản
cấp hai dạng:
K
k
kk
kk
ZaZa
ZbZb
AZH
1
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
(1.3.16)

K là phần nguyên của (N+1)/2. Hệ thống cấp hai này đ-ợc biểu diễn nh-
trong hình 1.5a cho tr-ờng hợp N=M=4.



Hình 1.4. (a) Cấu trúc dạng trực tiếp.

Hình 1.4. (b) Cấu trúc dạng trực tiếp tối giản.
Tiếp tục, một cấp độ cao hơn đ-ợc xét đến. Dạng phân số mở rộng của
ph-ơng trình (1.3.13) cho ta h-ớng khác để biểu diễn. Bằng cách kết hợp những
phần liên quan đến cực liên hợp phức, H(Z) có thể viết dạng:
Z
-1

x(n)
+
Z
-1

+
Z
-1

b
0

b
1

b

2

b
3

+
+
Z
-1

+
Z
-1

+
Z
-1

a
1

a
2

a
3

+
+
y(n)

x(n)
+
+
b
0

b
1

b
2

b
3

+
+
Z
-1

+
Z
-1

+
Z
-1

a
1

a
2

a
3

+
+
y(n)
w(n)


11
K
k
kk
kk
ZaZa
Zcc
ZH
1
2
2
1
1
1
10
1
(1.3.17)

Điều này gợi ý một dạng sơ đồ song song biểu diễn nh- hình 1.5b cho
N=4.



Hình 1.5. (a) Dạng tầng



Hình 1.5.(b) Dạng song song
Trong những ứng dụng lọc tuyến tính, dạng song song đ-a ra những đặc
tính cao hơn về ph-ơng diện làm tròn giảm tiếng ồn, các sai số hệ số, và tính ổn
định.
1.4. Lấy mẫu
Để sử dụng các ph-ơng pháp xử lý số tín hiệu đối với tín hiệu t-ơng tự,
chúng ta cần biểu diễn tín hiệu nh- một dãy các giá trị. Để thực hiện biến đổi,
thông th-ờng ng-ời ta dùng ph-ơng pháp lấy mẫu tín hiệu t-ơng tự. Từ x
a
(t), lấy
x(n)
+
+
b
10

b
11

b
12

+
Z
-1

+
Z
-1

+
a
11

a
12

+
y(n)
+
+
b
20

b
21

b
22

+

Z
-1

+
Z
-1

+
a
21

a
22

+
c
10

x(n)
+
+
c
11

+
Z
-1

+
Z

-1

a
11

a
12

y(n)
+
+
+
c
20

c
21

+
Z
-1

+
Z
-1

a
21

a

22



12
các giá trị cách đều nhau ta đ-ợc:
x(n)=x
a
(nT) - <n< (1.4.1)
trong đó n là số nguyên.
Định lý lấy mẫu
Các điều kiện mà dãy các mẫu là biểu diễn duy nhất của tín hiệu t-ơng tự
đ-ợc xác định nh- sau:
Nếu một tín hiệu x
a
(t) có biến đổi Fourier dải giới hạn X
a
(j ), tức là
X
a
(j )=0 với 2 F
N
, thì x
a
(t) có thể tạo lại một cách duy nhất từ các mẫu cách
đều nhau x
a
(nT), - <n< , nếu 1/T>2F
N
.

Định lý trên xuất phát từ thực tế là nếu biến đổi Fourier của x
a
(t) đ-ợc
định nghĩa
dtetxjX
tj
aa
(1.4.2)
và biến đổi Fourier của dãy x(n) đ-ợc định nghĩa nh- trong ph-ơng trình
(1.2.4a) thì nếu X(e
j
) đ-ợc tính cho tần số = T, thì X(e
j T
) quan hệ với X(j )
bằng ph-ơng trình:
k
a
Tj
k
T
jjX
T
eX
21
(1.4.3)
Để thấy đ-ợc mối quan hệ trong ph-ơng trình (1.4.3), ta hãy giả thiết rằng
X
a
(j ) đ-ợc biểu diễn nh- hình 1.6a, nh- vậy X
a

(j )=0 với
NN
F2
, tần
số F
N
gọi là tần số Nyquist. Theo nh- ph-ơng trình (1.4.3), X(e
j T
) là tổng của
một số vô hạn các bản sao của X
a
(j ), với mỗi trung tâm là bội số nguyên của
2 /T. Hình 1.6b biểu diễn tr-ờng hợp 1/T>2F
N
. Hình 1.6c biểu diễn tr-ờng hợp
1/T<2F
N
, trong tr-ờng hợp này trung tâm của ảnh tại 2 /T gối lên dải cơ bản.
Điều kiện này, nơi mà một tần số cao có vẻ đảm nhiệm giống nh- là tần số thấp,
đ-ợc gọi là trùm phổ. Rõ ràng rằng hiện t-ợng trùm phổ chỉ tránh đ-ợc khi biến
đổi Fourier có dải giới hạn và tần số lấy mẫu lớn hơn hoặc bằng hai lần tần số
lấy mẫu (1/T>2F
N
).



13

Hình 1.6. Minh hoạ lấy mẫu tần số

Với điều kiện 1/T>2F
N
, rõ ràng rằng biến đổi Fourier của dãy các mẫu t-ơng
ứng với biến đổi Fourier của tín hiệu t-ơng tự trong dải cơ bản nh-,
T
jX
T
eX
a
Tj
,
1
(1.4.4)
Sử dụng kết quả này chúng ta có thể thiết lập mối quan hệ giữa tín hiệu
t-ơng tự cơ bản và dãy các mẫu theo công thức nội suy:
n
aa
TnTt
TnTt
nTxtx
/sin
(1.4.5)
Nh- vậy với tần số lấy mẫu lớn hơn hoăc bằng hai lần tần số Nyqiust thì ta
có thể khôi phục lại tín hiệu t-ơng tự cơ bản bằng ph-ơng trình (1.4.5).


(a)

(b)





(c)
1
0
X
a
(j )

-
N

N
=2 F
N

X
a
(e
j T
)
1/T
-

N

N
=2 F
N
-2 /T
2 /T
X
a
(e
j T
)

1/T
0
-2 /T
2 /T



14
Ch-ơng 2
Bank lọc số QMF

Kỹ thuật lọc số nhiều nhịp ngày càng đ-ợc ứng dụng nhiều trong lĩnh vực
xử lý số tín hiệu để tăng tốc độ tính toán trong các mạch lọc số bằng cách giảm
số phép nhân phải thực hiện trong một giây.
Và trong quá trình xử lý số tín hiệu bề rộng của dải tần có thể thay đổi nh-
các phép lọc sẽ triệt tiêu các thành phần tần số không mong muốn, do vậy bề rộng
dải tần của tín hiệu xử lý sẽ giảm đi và chúng ta có thể giảm tần số lấy mẫu cho

phù hợp với bề rộng phổ thông của tín hiệu, từ đó sẽ giảm đ-ợc số phép tính trong
mạch lọc số. Do những tính chất -u việt của nó, kỹ thuật lọc số nhiều nhịp đã
đ-ợc nghiên cứu rất nhiều trong những năm gần đây và đã thu đ-ợc những kết
quả khả quan về lý thuyết cũng nh- ứng dụng trong viễn thông, xử lý tiếng nói,
xử lý hình ảnh, các hệ thống antenna, kỹ thuật audio số, đặc biệt hai ứng dụng
chính là mã hoá band con (Subband Coding) dùng trong xử lý tiếng nói và phân
đ-ờng dùng trong viễn thông.
2.1. Các hệ thống lọc số nhiều nhịp
2.1.1. Các bộ lọc biến đổi nhịp lấy mẫu
Trong mạch lọc, tần số (hoặc nhịp) lấy mẫu đ-ợc thay đổi trong quá trình
xử lý gọi là mạch lọc biến đổi nhịp lấy mẫu. ở đây có hai khả năng xảy ra là:
+ Tăng tần số lấy mẫu.
+ Giảm tần số lấy mẫu.
Nếu mạch lọc chỉ để giảm tần số lấy mẫu ta gọi là mạch lọc phân chia,
còn mạch lọc chỉ để tăng tần số lấy mẫu ta gọi là mạch lọc nội suy.
2.1.1.1. Bộ lọc phân chia
Giả sử ta có bộ phân chia hệ số M nh- hình 2.1


Hình 2.1. Bộ phân chia hệ số M
Ta thấy rằng tần số lấy mẫu Fs của tín hiệu rời rạc x(n) sau khi đi qua bộ
phân chia sẽ bị giảm đi M lần, tức là:

MM
F
FF
M
F
F
sx

ssss
s
S
22;2;
'',
(2.1.1)
Điều này có nghĩa là chu kỳ lấy mẫu
s
s
F
T
1
sẽ tăng lên M lần
M

x(n)
)()( nMxn
y
M

Fs

s

Ts
F
S


S

T
S


15
Thực vậy
F
T
S
S
1
và
F
T
S
S
'
'
1

Nên
T
F
T
S
S
S
M

M
'
(2.1.2)
Do tần số lấy mẫu bị giảm đi M lần sau khi tín hiệu đi qua bộ phân chia
theo hệ số M, nên tín hiệu ra y
M
(n) chỉ lấy các giá trị của tín hiệu vào x(n) ở
các mẫu n.M (nM: có giá trị nguyên).
Vậy chiều dài của tín hiệu bị co lại M lần, tức là:
M
nyL
nxL
M
)(
)(

Chúng ta có thể biểu diễn phép nhân chia trong miền Z theo hình 2.2



Hình 2.2. Bộ phân chia trong miền Z
Trong miền biến số độc lập ta có : y
M
(n) = x(n.M )
Vậy
n
nn
n
MM
zMnxznyzY ) ().()(

( 2.1.3 )
Mặt khác ta có :

lại còn m với
với
0
.1
11
)(
1
0
2
1
0
Mnm
MM
mp
M
l
lm
M
j
M
l
lm
M
eW
(2.1.4)
Ta đặt : m = n.M => n = m/M
Thay n = m/M vào Y

M
(z) Ta có:

M
m
M
l
lm
M
j
m
m
M
m
M
zmxe
M
zmPmxzY
).(.
1
).().()(
1
0
2

).(
1
)(
2
1

0
l
M
j
M
l
M
l
M
ezX
M
zY
( 2.1.5 )
Việc biểu diễn phép phân chia trong miền tần số đó chính là việc tìm mối
quan hệ giữa Y
M
(e
j
) = FT [y
M
(n)] và X(e
j
) = FT [x(n)]
Nếu đánh giá Y
M
(z) và X(z) trên vòng tròn đơn vị của mặt phẳng Z thì ta
sẽ tìm đ-ợc quan hệ Y
M
(e
j

) và X(e
j
) tức là :

ee
e
Y
e
Y
jj
j
M
j
M
zZXX
zZ
)()(
)()()(

Qua đó chúng có mối quan hệ nh- sau:
M

X(Z)
)(Z
Y
M



16

)(.
1
)(
1
0
2
M
l
l
M
j
j
M
eX
M
eY
( 2.1.6 )
Cấu trúc bộ lọc phân chia:
ở phần trên ta thấy rằng, qua phép phân chia kết quả cho thấy tín hiệu
x(n) khi đi qua mạch phân chia hệ số M, trong miền tần số sẽ tạo ra M-1 thành
phần h- danh, các thành phần h- danh này sẽ gây hiện t-ợng chồng phổ. Nh-ng
nếu x(n) có dải tần nằm trong khoảng
MM
tức là tần số giới hạn dải
chắn
M
C
thì sẽ không gây hiện t-ợng chồng phổ. Để làm điều này, chúng
ta có thể đặt tr-ớc bộ phân chia M một mạch lọc thông thấp (Low pass filter)
có

M
C
. Mạch lọc thông thấp này có nhiệm vụ loại bỏ các thành phần tần số
M
, chỉ giữ lại thành phần
M
. Nh- vậy sẽ tránh đ-ợc hiện t-ợng
chồng phổ. Sơ đồ tổng quát của mạch lọc phân chia cho trên hình 2.3



Hình 2.3. Mạch lọc phân chia

Trong đó h(n) là đáp ứng xung của mạch lọc thông thấp.

Để ngắn gọn ta có thể dùng cách biểu diễn toán tử nh- sau:
Trong miền biến số n ta có phép lọc phân chia:

ở đây :
)().()(*)()( knhkxnhnxnY
k
H


)().()(*)( knxnhnxnh
k

y
H M
(n)= M [x(n) * h(n)] = M [y

H
(n)]
F
S
M

F
S
M
F
S

h(n)
y
H
(n)
)(n
y
MH

x(n)
Bộ lọc thông thấp
x(n)
MH

)(n
y
MH

x(n)

n
y
H
(n)
M

)(n
y
MH

x(n)
y
H
(n)
y
MH

h(n)
M



17
Ta cần l-u ý là M [x(n)*h(n)] M [x(n)]* M[h(n)]
trong miền Z phép lọc phân chia đ-ợc mô tả nh- sau:

ở đây X(z)=ZT[x(n)] , Y
H
(z) = ZT[y
H

(n)]
H(z) = ZT[h(n)], Y
H M
(Z) = [y
H
(n)] = M[Y
H
(z)]
và Y
H
(z) = X(z).H(z) = H(z).X(z)

).(
1
)(
1
0
1
l
M
M
l
M
MH
wzY
M
zY

)() (
1

1
1
0
1
l
M
M
l
M
M
l
M
WzHWzX
M
Để
đánh giá X(z), H(z), Y
H
(z) Và Y
H

M
(z) trên vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng Z ta có
thể biểu diễn phép lọc phân chia trong miền tần số:

ở đây: Y
H
(e
j
) = X

(e
j
).H(e
j
)

)(
1
)(
2
1
0
M
l
j
M
l
H
j
MH
eY
M
eY


)().(
1
2
1
0

2
M
l
j
M
l
M
l
j
eHeX
M

Nếu Y
H
(e
j
) là đáp ứng tần số của mạch lọc thông thấp lý t-ởng có
M
C
, thì các thành phần h- danh sẽ không gây h- thông tin, tức là không có
hiện t-ợng chồng phổ. Do đó ta có thể tách riêng thành phần đầu tiên (l=0) ra
mà dạng của nó sẽ không bị méo.
)().(
1
0
)(
eee
Y
M
j

M
jj
MH
HX
M
l
với
Và nếu H(e
j
) là mạch lọc thông thấp lý t-ởng, tức là ở dải thông
H(e
j
) = 1, dải chắn H(e
j
)= 0 thì thành phầnh đầu tiên (tại l=1) có dạng nh-
sau:
)(
1
0
)(
ee
Y
M
jj
MH
X
M
l
với
2.1.1.2. Bộ lọc nội suy

Giả sử ta có bộ nội suy nh- hình 2.4

X(z)
Y
H
(z)
)(z
y
MH

H(z)
M

X(e
j
)
Y
H
(e
j
)
H(e
j
)
M

)(
e
y
j

MH



18

Hình 2.4. Bộ nội suy hệ số L
Ta thấy rằng tần số lấy mẫu F
s
của tín hiệu rời rạc x(n) sau khi qua mạch
lọc nội suy với hệ số nội suy là L sẽ tăng lên L lần, tức là :
F'
s
= LF
s
,
s
= 2 F
s
, '
s
= 2 F'
s
= 2 L
S

hay là chu kỳ lấy mẫu T
s
= 1/F
s

sẽ giảm đi L lần T'
s
= T
s
/ L
Vậy nếu tín hiệu vào mạch nội suy là x(nT
s
), và tín hiệu ra sẽ trở thành
x(nT'
s
) = x( n/L.T
s
)
Do tần số lấy mẫu đ-ợc tăng lên L lần, nên khi tín hiệu đi qua mạch nội
suy có hệ số L thì chiều dài của tín hiệu bị giãn ra L lần.
Phép nội suy trong miền Z đ-ợc biểu diễn bằng hình vẽ 2.5.


Hình 2.5. Biểu diễn phép nội suy trong miền z
Trong miền biến số độc lập n ta có:

lại còn n với
với
0
2,,0)(
)(
LLn
L
n
x

n
y
L

Vậy:
n
n
n
n
LL
z
L
n
xznyzY ).().()(
( 2.1.7)
đổi biến m = n/L => n= m.L
Thay vào (2.1.7) ta đ-ợc

mL
m
ml
m
L
zmxzmxzY )).(().()(

Y
L
(z) = X(z
L
) (2.1.8)

)()(
1
zXzY
L
L
(2.1.9)
Ta đánh giá Y
L
(z) và X(z) trên vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng Z ta
thu đ-ợc quan hệ giữa Y
L
(e
j
) và X(e
j
):
L

x(n)
)()( nMxn
y
M

Fs

s

Ts
F

S


S


T
S
L

X(z)
)(z
y
L




19
e
Y
e
Y
j
L
j
L
z
z)()(

e
e
j
j
z
zXX )()(

Vậy Y
L
(e
j
) = X (e
j L
) (2.1.10)
Y
L
(e
j /L
) = X(e
j
) (2.1.11)
Cấu trúc bộ lọc nội suy
Nh- ta đã nghiên cứu ở phần trên, kết quả phép nội suy đã chèn thêm L-1
mẫu biên độ 0 vào giữa hai mẫu của tín hiệu vào x(n) trong miền biến số n, và
t-ơng ứng trong miền tần số sẽ tạo ra L-1 ảnh phụ của phổ cơ bản sau khi đã co
hẹp lại L lần để nh-ờng chỗ cho L-1 ảnh phụ mà không gây hiện t-ợng chồng
phổ. Nh- vậy phép nội suy L không làm h- thông tin. Nh-ng để nội suy ra các
mẫu có biên độ 0 ta phải đặt sau mạch nội suy một mạch lọc có
L
C

. Trong
miền biến số n mạch lọc này làm nhiệm vụ nội suy ra các mẫu biên độ 0, còn
trong miền tần số nó làm nhiệm vụ loại bỏ các ảnh phụ cơ bản.
Sơ đồ tổng quát của mạch lọc nội suy đ-ợc biểu diễn trên hình 2.6.


Hình 2.6. Bộ lọc nội suy
Để biểu diễn mạch lọc nội suy một cách ngắn gọn hơn ta dùng các phần
tử toán tử:

Mạch nội suy trong miền biến số n đ-ợc biểu diễn nh- sau:

Trong đó:
y
L
(n) = L[x(n)]
0
)(
L
n
x
với n=0, L, 2L,
h(n)
L

y
L
(n)
)(n
y

LH

x(n)
Bộ lọc thông thấp có
C
= /L
h(n): đáp ứng xung của bộ lọc
x(n)
LH

)(n
y
LH

x(n)
L

y
L
(n)
H

)(n
y
LH

x(n)
L

y

L
(n)
)(n
y
LH

h(n)
(2.1.12)


20
y
LH
(n) = y
L
(n) * h(n) = h(n) * y
L
(n)

)().( knhky
k
L


)().( knh
L
k
x
k
k= 0 , L , 2L

đổi biến số
rLk
L
k
r

Ta có:
)().()( rLnhrxnY
k
LH
(2.1.13)
Mạch lọc nội suy trong miền z:


với X(z) = ZT [x(n)]; Y
L
(z) = ZT[Y
L
(n)]
H(z) = ZT[h(n)] ; Y
LH
(z) =ZT[Y
LH
(n)]
Mặt khác ta có:
Y
L
(z) = x(z
L
); Y

LH
(z) = Y
L
(z).H(z)
Vậy: Y
LH
(z) = x(z
L
).H(z) (2.1.14)
Từ việc đánh giá X(z), H(z ), Y
L
(z), Y
LH
(z) trên vòng tròn đơn vị trong
mặt phẳng z (z = e
j
) ta có thể biểu diễn mạch lọc nội suy trong miền tần số nh-
sau:

Y
L
(e
j
) = X (e
j
)
Y
LH
(e
j

) = Y
L
(e
j
) . H(e
j
) = X (e
j L
) . H (e
j
) ( 2.1.15)
2.1.1.3. Bộ lọc biến đổi nhịp lấy mẫu với hệ số hữu tỉ
Trong kĩ thuật nhiều khi thực hiện một nhiệm vụ nào đó chúng ta cần phải
thay đổi nhịp lấy mẫu với hệ số hữu tỉ M/L. Để thực hiện nhiệm vụ này chúng ta
sẽ ghép nối tiếp hai bộ nội suy và phân chia với nhau, bộ này gọi là bộ biến đổi
nhịp với hệ số M/L.
X(e
j
)
Y
L
(e
j
)
L
H(e
j
)
)(
e

y
j
LH

X(z)
Y
L
(z)
)(z
y
LH

L
H(e
j
)


21


Hình 2.7. Bộ biến đổi nhịp lấy mẫu
Ta thấy rằng tần số lấy mẫu F
S
của tín hiệu vào x(n) sau khi qua bộ biến đổi
nhịp với hệ số M/L thì tần số lấy mẫu sẽ bị thay đổi L/M lần, tức là:

FF
SS
M

L
"
(2.1.16)
Chúng ta dùng toán tử để biểu diễn phép biến đổi nhịp lấy mẫu hệ số hữu
tỉ:
)()(
/
nnx
L
M
y
LM
hay
)()(
/
/
nnx
y
LM
LM
(2.1.17)
Và
)()(/
/
nnxLM
y
LM
hay
y
LM

LM
nx
/
/
)(
(2.1.18)
Sơ đồ đ-ợc biểu diễn đơn giản lại nh- hình 2.8


Hình 2.8. Bộ biến đổi nhịp lấy mẫu hệ số M/L
Bộ phân chia và bộ nội suy không có tính chất giao hoán nên ta phải phân
biệt thứ tự tr-ớc sau của bộ nội suy và bộ phân chia. Mặt khác bộ phân chia, bộ
nội suy và bộ biến đổi nhịp không phải là những hệ thống bất biến theo biến số
F
S
=LF
S

x(nT
S
)=x(nT
S
/L)
x(n)
F
S
x(nT
S
)
TT

FF
y
SS
SS
LM
L
M
nxnx
M
L
n
)()(
)(
"
"
/

x(n)
F
S

x(nT
S
)
)()(
)(
"
"
/
TT

FF
y
SS
SS
LM
L
M
nxnx
M
L
n

)()(
"
"
TT
F
F
SS
S
S
nMxnx
M

M
L
FT
SS
L
M

"

L
M
M/L
M/L
x(n)
F
S

T
s
TT
FF
yy
SS
SS
LM
L
M
M
L
nn
"
"
/
)()(

x(n)
F

S

T
s

TT
FF
yy
SS
SS
LMLM
L
M
M
L
nn
"
"
//
)()(

Bộ biến đổi nhịp M/L và
bộ biến đổi nhịp M/L


22
n mà là hệ thống thay đổi theo biến số n.
Trong hệ số M/L thì tử số là hệ số của bộ phân chia, mẫu số là hệ số của
bộ nội suy.
Nếu M>L thì bộ thay đổi nhịp làm nhiệm vụ nén tín hiệu theo tỷ lệ M/L

Nếu M<L thì bộ thay đổi nhịp làm nhiệm vụ giãn tín hiệu theo tỷ lệ M/L
Dùng biến đổi Z để nghiên cứu quan hệ vào ra của các bộ biến đổi nhịp và
giải thích tính chất của phép biến đổi nhịp lấy mẫu.
Xét quan hệ vào ra của bộ biến đổi nhịp M/L ta có:
)()(
/
/
nnx
y
LM
LK

Và trong miền Z:
)()()()(
//
/
nZTzzXnxZT
yy
LMLM
LM
(2.1.19)
Với phép phân chia:
)()()( nZTzzX
yy
MM
M

1
0
2

1
)(
1
)(
M
l
l
M
j
M
M
e
zY
X
M
z

Sau khi y
M
(n) đi qua bộ nội L:
1
0
2
1
/
/
/
)(
1
)()(

)()()(
M
l
l
M
j
M
L
MLM
LM
LM
L
M
e
zzYY
y
YY
X
M
z
nZTzz
(2.1.20)

1
0
1
)(
1
M
l

l
M
M
w
z
X
M

Xét quan hệ vào ra của bộ biến đổi nhịp M/L
Phép biến đổi nhịp nh- sau:
)()(
/
/
nnx
y
LM
LM

Trong miền Z:
)()(
/
/
zzX
Y
LM
LM
(2.1.21)
Với phép nội suy L ta có:
)()(
)()()(

/
/
zY
y
Y
l
L
LM
LM
L
Xz
nZTzzX

Sau đó y
L
(n) đi qua bộ phân chia M:
)()()(
/
/
nZTzz
y
YY
LM
LM
M
L

L
l
M

j
M
l
M
j
M
L
M
l
l
M
j
M
LLM
e
z
e
zY
e
zYY
X
M
z
)()(
)(
1
)(
2
1
2

1
1
0
2
1
/



23
Vậy
1
0
1
0
2
/
)(
1
)(
1
)(
M
l
Ll
M
M
L
M
l

Ll
M
j
M
L
LM
W
z
e
zY
X
M
X
M
z
(2.1.22)
Đánh giá X(z), Y
M/L
(z), Y
M/L
trên vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng Z:
e
e
j
j
z
zXX )()(

e
Y

e
Y
j
LM
j
LM
z
z)()(
//


1
0
2
1
M
l
M
lL
j
e
X
M
(2.1.23)
e
Y
e
Y
j
LM

j
LM
z
z)()(
//


1
0
2
1
M
l
M
LlL
j
e
X
M
(2.1.24)
Bộ lọc biến đổi nhịp lấy mẫu với hệ số hữu tỷ:
Chúng ta xây dựng bộ lọc biến đổi nhịp lấy mẫu với hệ số hữu tỷ có thể
đảm bảo biến đổi nhịp với hệ số không nguyên nh-ng không gây hiện t-ợng
chồng phổ tức là không làm h- thông tin của chúng ta.
Bộ lọc này đ-ợc xây dựng bằng cách ghép nối tiếp hai bộ lọc nội suy và
bộ lọc phân chia nh- hình sau:

Hình 2.9. Bộ lọc với hệ số lấy mẫu hữu tỷ
Nh- hình trên ta thấy bộ lọc h
L

(n) đ-ợc ghép nối tiếp với bộ lọc h
M
(n),
vậy ta có thể kết hợp hai bộ lọc này thành một bộ lọc chung có đáp ứng xung
h(n). Bộ lọc h(n) này phải làm cả hai nhiệm vụ đối với phép nội suy và phép
phân chia, do đó ta phải chọn h(n) sao cho cùng một lúc thực hiện đ-ợc cả hai
nhiệm vụ này.
Hai bộ lọc này đ-ợc ghép nối tiếp nên đáp ứng tần số H(e
j
)= FT[h(n)] là:
H(e
j
)= H
L
(e
j
).H
M
(e
j
) (2.1.25)
Với H
L
(e
j
) = FT[ h
L
(n)] và H
M
(e

j
) = FT [h
M
(n)]
Vậy ta có:
L
h
L
(n)
h
M
(n)
x(n)
F
S
F
S
M
L

y(n)
LF
S
LF
S
Bộ lọc nội suy Bộ lọc phân chia
M


24

)()()(
e
H
e
H
e
j
M
j
L
j
H
(2.1.26)
Ta biết rằng H
L
(e
j
) là bộ lọc thông thấp có tần số cắt
L
C
, và H
M
(e
j
)
là bộ lọc thông thấp có
M
C
nên H(e
j

) cần đ-ợc chọn để thỏa mãn điều
kiện:

Kết quả ta đ-ợc bộ lọc biến đổi nhịp hệ số M/L với chỉ một bộ lọc thông
thấp có đáp ứng xung h(n) và đáp ứng tần số H(e
j
). Từ đó ta có sơ đồ khối của
bộ lọc này nh- sau:

Hình 2.10. Sơ đồ bộ lọc biến đổi nhịp lấy mẫu
Chúng ta có thể dùng toán tử để biểu diễn:
)()()()(
/
nnnnx
yyy
LMH
M
LH
H
L
L
(2.1.27)
Hoặc ngắn gọn hơn:
y
LMH
LMH
nx
/
/
)(

(2.1.28)
Mô tả:
)()()()(
/
)(
nnnnx
yyy
LMH
M
LH
nh
L
L
(2.1.29)
Với
)()( nxLn
y
L

Ta có:
k
k
LLLH
kLnhkx
knhknhnn
yyy
)()(
)()()()()(

k

LLMH
kLnhkxM
nhnMn
yy
)()(
)()()(
/

Do đó:
k
LMH
kLnMhkxn
y
)()()(
/
(2.1.30)
Mô tả trong miền Z:
)()()()(
/
)(
zzzzX
YYY
LMH
M
LH
zH
L
L
(2.1.31)
L

h(n)
M
F
S
x(n)
F
S
M
L

y(n)


25
Với:
X(z) = ZT[x(n)] H(z)= ZT[h(n)]
Y
LH
(z)= ZT[y
L
(n)] Y
LH
(z)= ZT[y
LH
(z)]
Y
H M/L
(z)= ZT[y
H M/L
(n)]

Ta có:
Y
L
(z) = X(z
L
)
Y
LH
= X(z
L
) . H(z)
)()(
1
)().()(
1
1
0
/
W
z
W
z
zY
l
M
M
M
l
lL
M

M
L
L
LMH
HX
M
zHXMz
(2.1.32)
Đánh giá X(z), H(z), Y
LH
(z) và Y
H M/L
(z) trên vòng tròn đơn vị trong
mặt phẳng Z ta có:

)()()()(
/
)(
e
Y
e
Y
e
Y
e
j
LMH
M
j
LH

H
j
L
L
j
e
X
j
(2.1.33)
Y
L
(e
j
) = X(e
j L
)
Y
LH
(e
j
) = X(e
j L
) . H(e
j
)
)(
1
)(
2
1

0
/
e
Y
e
Y
M
l
j
M
l
LH
j
LMH
M


)()(
1
2
1
0
2
ee
M
l
j
M
l
M

LlL
j
HX
M
(2.1.34)
2.1.2. Cấu trúc đa pha của bộ lọc biến đổi nhịp lấy mẫu
Khai triển đa pha là một b-ớc tiến quan trọng trong xử lý tín hiệu đa tốc
độ. Biểu diễn này cho phép đơn giản hóa các kết quả lý thuyết và cho phép đơn
giản hóa rất nhiều phép tính toán khi thực hiện các bộ nội suy và phân chia.
Phân hoạch hàm truyền đạt H(z):
Một hệ thống tuyến tính có đáp ứng xung là:
h(n) với n = - ,, +
và có hàm truyền đạt là H(z) với:
n
n
z
nhzH )()(

Bây giờ ta khai triển h(n) thành hai phần ứng với n chẵn và n lẻ, ta có:
h(n) h(2r) và h(2r+1)
Vậy:
r
r
r
r
zz
rhrhzH
)12(2
)12()2()(

r
r
r
r
zzz
rhrhzH
212
)12()2()(

Gọi e
0
(r) = h(2r) và e
1
(r) = h(2r+1)
Và đặt:


26

Cuối cùng ta có:
(2.1.35)
Biểu thức (2.1.35) đ-ợc gọi là khai triển đa pha hai thành phần của H(z).
E
0
(z
2
) và E
1
(z
2

) đ-ợc gọi là các thành phần nhiều pha của H(z).
Bây giờ chúng ta mở rộng cho tr-ờng hợp tổng quát, một số nguyên M.
H(z) đ-ợc khai triển nh- sau:
T-ơng tự nh- trên ta có thể phân h(n) thành M thành phần và hàm truyền
đạt H(z) sẽ có dạng sau:
r r
MMrMr
r
Mr
zzz
MMrhMrhMrhzH
)1()1(
)1()1()()(

r
Mr
M
m
m
zz
mMrhzH )()(
1
0

Đặt e
m
(r) = h(Mr+m) với 0 m M-1
Vậy ta có:
)()(
1

0
zEz
M
m
M
m
m
zH
(2.1.36)
E
m
(z
M
) đ-ợc gọi là các thành phần nhiều pha của H(z).
2.1.2.1. Cấu trúc đa pha của bộ lọc phân chia
* Phân hoạch đa pha và cấu trúc đa pha loại 1:
Trên cơ sở khai triển đa pha M thành phần với hàm truyền đạt là H(z) ta
xây dựng cấu trúc đa pha M thành phần có sơ đồ khối nh- sau:
Hàm truyền đạt:
)()(
1
0
zEZ
M
M
m
m
m
zH

E
m
(z
m
) đ-ợc gọi là thành phần nhiều pha của H(z) với
10)()( Mmrz
z
e
E
r
r
m
m
là phân hoạch nhiều pha M thành phần của
H(z).