Bài toán 24.. Khối nón-trụ-cầu.pdf

TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022

Điện thoại: 0946798489

Bài tốn 24. Khối nón - trụ - cầu
• Phần A. Trắc nghiệm khách quan
• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương
1. Phát triểu câu tương tự
Câu 1. (Đề minh hoạ) Tháp nước Hàng Đậu là một di tích kiến trúc cổ của thủ đô Hà Nội, được xây
dựng vào cuối thế kỉ XIX. Tháp được thiết kế gồm thân tháp có dạng hình trụ và phần mái phía trên dạng
hình nón. Khơng gian bên trong toàn bộ tháp được minh họa theo hình vẽ với đường kính đáy
hình trụ và đường kính đáy của hình nón đều bằng 19 m , chiều cao hình trụ 20 m , chiều cao hình
nón là 5 m .

Tháp nước Hàng Đậu

Câu 2.

Hình minh họa Tháp nước Hàng Đậu
<Ảnh: hanoilavie>
Thể tích của tồn bộ khơng gian bên trong tháp nước Hàng Đậu gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. 5667 m 3 .
B. 3070 m 3 .
C. 6140 m 3 .
D. 7084 m3 .
Có ba khối nón bằng nhau, mỗi khối nón có bán kính đáy bằng 1 và có thiết diện qua trục là tam
giác đều. Người ta đặt cả ba khối đó trên mặt bàn sao cho các đường tròn đáy của chúng tiếp xúc
nhau đơi một. Sau đó đặt quả cầu có bán kính R  2 lên đỉnh 3 khối nón đó. Gọi h là độ cao nhất
từ một điểm trên quả cầu đến mặt bàn. Tính h.
2 6
3

2 6
3
A. h  2 
. B. h 
.


3
2
3
2
C. h  2 

Câu 3.

2 6
 3.
3

65 6
.
3

Một hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB  1, đáy lớn CD  3 , cạnh bên BC  AD  2 . Cho
hình thang ABCD quay quanh AB ta được khối trịn xoay có thể tích là:
A. V  2 .

Câu 4.

D. h 

B. V  3 .

8
3

C. V   .

7
3

D. V   .

Cho hình trụ có bán kính đáy r1 nội tiếp trong hình cầu bán kính r khơng đổi. Xác định bán kính

r1 theo r để hình trụ có thể tích lớn nhất.
6
6
2
6
B. r1 
C. r1 
D. r1 
r.
r.
r.
r.
6
3
3

2
Cho hình thang cân ABCD có AD  2 BC  2 AB  2CD  2a . Tính thể tích khối trịn xoay khi
quay hình thang ABCD quanh đường thẳng AB .
15 a3
7 a3
21 a3
7 a3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
4
8
8
4

A. r1 
Câu 5.

Facebook Nguyễn Vương Trang 1


Blog: Nguyễn Bảo Vương: />
Câu 6.

Cho hình trụ có hai đường tròn đáy là  O  và  O  . Xét hình nón có đỉnh O và đáy là đường tròn

 O . Gọi

V1 , V2 lần lượt là thể tích khối trụ và khối nón đã cho. Tỉ số

V1
bằng.
V2

1
1
.
B. 9 .
C. .
D. 3 .
9
3
Bạn An có một cốc giấy hình nón có đường kính đáy là 10cm và độ dài đường sinh là 8cm . Bạn
dự định đựng một viên kẹo hình cầu sao cho tồn bộ viên kẹo nằm trong cốc (không phần nào của
viên kẹo cao hơn miệng cốc). Hỏi bạn An có thể đựng được viên kẹo có đường kính lớn nhất bằng
bao nhiêu?

A.
Câu 7.

A

B

S

A.
Câu 8.

32
cm
39

B.

10 39
cm
13

C.

64
cm
39

D.

5 39
cm
13

Cho mặt cầu  S  bán kính R . Hình nón  N  thay đổi có đỉnh và đường trịn đáy nằm trên mặt
cầu  S  . Thể tích lớn nhất của khối nón  N  là

32 R3

32 R3
32 R3
32 R 3
B.
.
C.
.
D.
.
81
27
81
27
Câu 9. Cho tam giác đều ABC cạnh 1 và hình vng MNPQ nội tiếp trong tam giác ABC (M thuộc
AB, N thuộc AC , P , Q thuộc BC ). Gọi S là phần mặt phẳng chứa các điểm thuộc tam giác
ABC nhưng khơng chứa các điểm thuộc hình vng MNPQ. Thể tích của vật thể trịn xoay khi
quay S quanh trục là đường thẳng qua A vng góc với BC là
54  31 3
810  467 3
4 3 3
4 3 3
A.
B.
C.
D.
.
.
.
.
12

24
96
96
Câu 10. Một que kem ốc quế gồm hai phần: phần kem có dạng hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón.
Giả sử hình cầu và hình nón có bán kính bằng nhau; biết rằng nếu kem tan chảy hết thì sẽ làm đầy
phần ốc quế. Biết thể tích phần kem sau khi tan chảy chỉ bằng 75% thể tích kem đóng băng ban
h
đầu. Gọi h và r lần lượt là chiều cao và bán kính của phần ốc quế. Tính tỉ số .
r
A.

A.

h 4
 .
r 3

B.

h 16
 .
r 3

C.

h
3.
r

D.

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />
h
2.
r


Điện thoại: 0946798489

Câu 1.

TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022

2. Lời giải tham khảo
(Đề minh hoạ) Tháp nước Hàng Đậu là một di tích kiến trúc cổ của thủ đô Hà Nội, được xây dựng
vào cuối thế kỉ XIX. Tháp được thiết kế gồm thân tháp có dạng hình trụ và phần mái phía trên
dạng hình nón. Khơng gian bên trong toàn bộ tháp được minh họa theo hình vẽ với đường kính
đáy hình trụ và đường kính đáy của hình nón đều bằng 19 m , chiều cao hình trụ 20 m , chiều cao
hình nón là 5 m .

Tháp nước Hàng Đậu

Hình minh họa Tháp nước Hàng Đậu

<Ảnh: hanoilavie>
Thể tích của tồn bộ khơng gian bên trong tháp nước Hàng Đậu gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. 5667 m 3 .
B. 3070 m 3 .
C. 6140 m 3 .
D. 7084 m3 .

Lời giải
Chọn C
2
19
1
1  19 
Theo đề, với khối nón ta có r  ; h  5  Vnoùn   r 2 h     .5  472 m3 .
2
3
3  2
2

19
19
Với khối trụ, ta lại có r  ; h  20  Vtruï   r 2 h     .20  5668 m3 .
2
 2
3
Vậy Vtháp  Vnón  Vtrụ  472  5668  6140 m .

Câu 2.

Có ba khối nón bằng nhau, mỗi khối nón có bán kính đáy bằng 1 và có thiết diện qua trục là tam
giác đều. Người ta đặt cả ba khối đó trên mặt bàn sao cho các đường trịn đáy của chúng tiếp xúc
nhau đơi một. Sau đó đặt quả cầu có bán kính R  2 lên đỉnh 3 khối nón đó. Gọi h là độ cao nhất
từ một điểm trên quả cầu đến mặt bàn. Tính h.
2 6
3
2 6
3

A. h  2 
. B. h 
.


3
2
3
2
C. h  2 

2 6
 3.
3

D. h 

65 6
.
3

Lời giải
Chọn A
3
,
2
Gọi A, B, C là các đỉnh nón, khi đó ABC là tam giác đều cạnh bằng 2 và bán kính đường trịn

Chiều cao của mỗi nón là: m 

ngoại tiếp tam giác là r 

2 3
.
3

Facebook Nguyễn Vương 3


Blog: Nguyễn Bảo Vương: />
Gọi  P  là mặt phẳng đi qua các đỉnh nón và cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường trịn có bán
kính là r 

4 2 6
2 3
, khi đó khoảng cách từ tâm cầu đến  P  là a  R 2  r 2  4  
.
3
3
3
3 2 6

2.
2
3

Vậy h  m  a  R 
Câu 3.

Một hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB  1, đáy lớn CD  3 , cạnh bên BC  AD  2 . Cho

hình thang ABCD quay quanh AB ta được khối trịn xoay có thể tích là:
A. V  2 .

B. V  3 .

8
3

C. V   .

7
3

D. V   .

Lời giải
Chọn D
E

A

D

B

F

C

Gọi E , F là hai điểm sao cho CDEF là hình chữ nhật và E , A , B , F thẳng hàng.

Ta có EA  AB  BF  1 , AD  BC  2 , CD  3 , DE  CF  1 .
Gọi V là thể tích cần tìm, V1 là thể tích khối trụ có được khi cho hình chữ nhật CDEF quay
quanh EF , V2 là thể tích của khối nón có được khi cho tam giác AED quay quanh AE , V3 là thể
tích của khối nón có được khi cho tam giác BFC quay quanh BF .
1
1
1
1
7
V  V1  V2  V3   DE 2 .CD   DE 2 . AE   CF 2 .BF  3       .
3
3
3
3
3

Câu 4.

Cho hình trụ có bán kính đáy r1 nội tiếp trong hình cầu bán kính r khơng đổi. Xác định bán kính

r1 theo r để hình trụ có thể tích lớn nhất.
A. r1 

6
r.
6

B. r1 

6

r.
3

C. r1 

2
r.
3

D. r1 

Lời giải
Chọn B

.
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />
6
r.
2


Điện thoại: 0946798489

TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022

Chiều cao hình trụ h  2IH  2 r

2

 r12

.

Thể tích khối trụ V  2 r12 r 2  r12 ,  0  r1  r    .
Xét f  r1   r12 r 2  r12

f   r1  

2r1r 2  3r13
1  r12

 0  r1  r  .

 0  r1 

 6
6
r  0  r1  r   Max f  r1   f 
.
 3 
3



(Có thể thử chọn vào    ).
Câu 5.

Cho hình thang cân ABCD có AD  2 BC  2 AB  2CD  2 a . Tính thể tích khối trịn xoay khi
quay hình thang ABCD quanh đường thẳng AB .
15 a3

7 a3
21 a3
7 a3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
8
8
4
4
Lời giải
Chọn C

Gọi S là giao điểm giữa đường thẳng AB và CD .
Gọi V1 là thể tích của khối nón tạo bởi SAD khi quay quanh trục SA .
Gọi V2 là thể tích của khối nón tạo bởi SBC khi quay quanh trục SB .

a 3
, SB  a .
2
2
1

1


V1  2.  .BD 2 .SB   2  . . a 3 .a   2 a 3 (đvtt).
3

3


Ta có BD  a 3 , CH 





 1  a 3 2 a   a3
1
2
V2  2.  .SH .HC   2.  . 
(đvtt).
 . 
 3  2  2 
4
3




Câu 6.

7
Vậy thể tích cần tìm là V  V1  V2   a 3 (đvtt).
4

Cho hình trụ có hai đường trịn đáy là  O  và  O  . Xét hình nón có đỉnh O và đáy là đường trịn

 O . Gọi
A.

1
.
9

V1 , V2 lần lượt là thể tích khối trụ và khối nón đã cho. Tỉ số
B. 9 .

1
.
3
Lời giải

C.

V1
bằng.
V2
D. 3 .

Chọn D
Gọi chiều cao, bán kính đáy của trụ lần lượt là h , R .

Facebook Nguyễn Vương 5

Blog: Nguyễn Bảo Vương: />
Thể tích khối trụ là: V1  R 2 h .
1
Thể tích khối nón là: V2  R 2 h .
3

V1
R 2 h

 3.
V2 1 R 2 h
3
Bạn An có một cốc giấy hình nón có đường kính đáy là 10cm và độ dài đường sinh là 8cm . Bạn
dự định đựng một viên kẹo hình cầu sao cho toàn bộ viên kẹo nằm trong cốc (không phần nào của
viên kẹo cao hơn miệng cốc). Hỏi bạn An có thể đựng được viên kẹo có đường kính lớn nhất bằng
bao nhiêu?


Câu 7.

A

B

S

A.

32
cm

39

B.

10 39
cm
13

64
cm
39
Lời giải
C.

D.

5 39
cm
13

Chọn B
Gọi  P  là mặt phẳng đi qua đỉnh và vng góc với mặt phẳng đáy của hình nón. Khi đó  P  cắt
hình cầu (viên kẹo) theo thiết diện là đường trịn lớn. Viên kẹo có đường kính lớn nhất khi và chỉ
khi đường tròn lớn là đường tròn nội tiếp tam giác SAB .
Nửa chu vi tam giác SAB là p  13 .
Diện tích tam giác SAB là S 

1
1
AB.d  S , AB   .10. 82  52  5 39 .

2
2

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác SAB : r 
Câu 8.

S 5 39
10 39

, do đó đường kinh 2r 
.
p
13
13

Cho mặt cầu  S  bán kính R . Hình nón  N  thay đổi có đỉnh và đường trịn đáy nằm trên mặt
cầu  S  . Thể tích lớn nhất của khối nón  N  là
A.

32 R3
81

B.

32 R3
.
27

32 R3
.

81
Lời giải
C.

D.

Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />
32 R 3
.
27


Điện thoại: 0946798489

TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022

Gọi r, h  0  h  2 R  lần lượt là bán kính và chiều cao của khối nón.





1
1
1
2
Ta có V N    r 2 h   R 2   h  R  h      h3  2 Rh 2  .
3
3
3

h  0 l 
Xét hàm số f  h    h  2 Rh , có f   h   3h  4 Rh  0  
.
h  4R

3
Ta có bảng biến thiên sau
3

2

2

32 R3
.
81
Cho tam giác đều ABC cạnh 1 và hình vng MNPQ nội tiếp trong tam giác ABC (M thuộc
AB, N thuộc AC , P , Q thuộc BC ). Gọi S là phần mặt phẳng chứa các điểm thuộc tam giác
ABC nhưng không chứa các điểm thuộc hình vng MNPQ. Thể tích của vật thể trịn xoay khi
quay S quanh trục là đường thẳng qua A vuông góc với BC là
54  31 3
810  467 3
4 3 3
4 3 3
A.
B.
C.
D.
.

.
.
.
12
24
96
96
Lời giải
Chọn B
Từ bảng biến thiên ta có, giá trị lớn nhất của thể tích khối nón  N  là

Câu 9.

Thể tích của vật thể trịn xoay khi quay S quanh trục là đường thẳng AH bằng hiệu thể tích khối
nón khi quay tam giác ABC và thể tích khối trụ khi quay hình vng MNPQ quanh trục là
đường thẳng AH .
Facebook Nguyễn Vương 7


Blog: Nguyễn Bảo Vương: />
Gọi độ dài cạnh hình vng là x . Khi đó:

MN AN
CN
NP

1
 1
BC AC
CA

AH

x
x
 1
 x  2 3 3
1
3
2
2
2
1 1
3
810  467 3
x
 V   .  .
    .x 
.
3 2 2
24
2
Câu 10. Một que kem ốc quế gồm hai phần: phần kem có dạng hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón.
Giả sử hình cầu và hình nón có bán kính bằng nhau; biết rằng nếu kem tan chảy hết thì sẽ làm đầy
phần ốc quế. Biết thể tích phần kem sau khi tan chảy chỉ bằng 75% thể tích kem đóng băng ban
h
đầu. Gọi h và r lần lượt là chiều cao và bán kính của phần ốc quế. Tính tỉ số .
r


h 4

 .
r 3
Lời giải
Chọn: A

A.

B.

h 16
 .
r 3

C.

h
3.
r

D.

h
2.
r

4
+ Thể tích khối cầu (thể tích kem ban đầu) Vc   r 3 .
3
1
+ Thể tích khối nón (phần ốc quế) VN   r 2h .

3
3
1
34
h

+ Theo đề: VN  VC   r 2h    r 3    3 .
4
3
43
r


Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  />Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  />Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN) 
/>Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương
 />Tải nhiều tài liệu hơn tại: />
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />