Các Lớp Môđun C4

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

NGUYỄN HỒNG THẠCH

CÁC LỚP MƠĐUN C4

Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp
Mã số: 8.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. Trương Công Quỳnh

ĐÀ NẴNG - NĂM 2019






MỤC LỤC
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương

1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1. Các khái niệm cơ sở và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Một số khái niệm khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Chương

2. MÔĐUN VÀ VÀNH C4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

2.1. Môđun với các điều kiện Ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2. Môđun với điều kiện C4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Chương 3. CÁC MÔĐUN C4 THÔNG QUA CÁC HẠNG TỬ TRỰC TIẾP ĐẲNG
CẤU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

3.1. Các tính chất mơđun C4 trong điều kiện các hạng tử cùng
chung phần bù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2. Vành tự đồng cấu của các môđun C4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3. Các vành mở rộng của lớp vành C4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Tài liệu tham khảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66


NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

A⊆M

A là mơđun con của môđun M .

A ⊆e M

A là môđun con cốt yếu của môđun M .

A ⊆⊕ M

A là hạng tử trực tiếp của môđun M .

End(M )

Vành các tự đồng cấu của môđun M .

Hom(N, M ) Tập tất cả các đồng cấu môđun từ N đến M .
Kerf

Hạt nhân của đồng cấu f .

Imf

Ảnh của đồng cấu f .

I

Mi

Tổng trực tiếp của các môđun {Mi }I .

M/N

Môđun thương của M trên N .

ϕ|A

Thu hẹp của ϕ trên A.

N∼
=M

Môđun N đẳng cấu với M .

AR

A là R−môđun phải.


1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài
Cùng với sự phát triển của tốn học hiện đại nói chung, lý thuyết mơđun
đã được các nhà tốn học quan tâm và đã đạt được nhiều kết quả có thành
tựu. Trên cơ sở yếu tố nội xạ người ta đã mở rộng ra nhiều lớp môđun như
là lớp các môđun giả nội xạ, giả nội xạ cốt yếu, lớp các môđun C1, C2, C3...
Khi các lớp mơđun này ra đời thì lý thuyết mơđun đã được phát triển mạnh
mẽ và có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết vành.
Một mơđun được gọi là mơđun C3 nếu nó thỏa điều kiện: Với mọi A, B
là các hạng tử trực tiếp của M với A ∩ B = 0 thì A + B cũng là một hạng tử
trực tiếp của M . Lớp các môđun C3 đã được nghiên cứu và mở rộng ra nhiều
kết quả quan trọng các vành và mơđun. Đặc biệt gần đây, các nhà tốn học
đã đưa ra định nghĩa mở rộng của khái niệm C3, đó là các lớp mơđun C4 và
nghiên cứu và đạt nhiều kết quả đáng kể về lớp môđun C4 này. Một số đặt
trưng của vành và môđun thông qua lớp mơđun này đã được nghiên cứu.
Với các lí do trên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Trương Công Quỳnh,


2

tôi chọn nghiên cứu đề tài: Các lớp môđun C4.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu, nghiên cứu kỹ các tài liệu từ nhiều nguồn khác nhau, cố gắng
lĩnh hội được các kiến thức về định nghĩa, và các tính chất của các lớp mơđun

C4 hay là các tính chất liên quan.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là: Môđun C4 và một số vành liên quan.
Phạm vi nghiên cứu của luận văn chỉ đi sâu tìm hiểu các khái niệm, định
nghĩa, định lý liên quan đến các lớp môđun C4.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Đọc sách, các tài liệu tham khảo liên quan và tổng hợp lại.
- Xêmina với cán bộ hướng dẫn.
5. Bố cục của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được trình bày
trong ba chương:
Chương 1: Trình bày lại các khái niệm cơ sở của Lý thuyết vành và môđun
như: môđun nội xạ, giả nội xạ, hạng tử trực tiếp, môđun đơn và nửa đơn,
môđun Artin và nửa Artin... Chương này mục đích trình bày lại các khái


3

niệm, bổ để, định lý cần thiết để làm cơ sở cho việc trình bày và nghiên cứu
nội dung luận văn (được trình bày trong chương 2 và chương 3).
Chương 2: Chương này chủ yếu trình bày lại các khái niệm, định lý, bổ
đề, kết quả của các môđun thỏa điều kiện Ci, (i = 1, 2, 3) và trình bày khái
niệm, tính chất, một số ví dụ liên quan đến các lớp mơđun C4.
Chương 3: Chương này trình bày về các kết quả của lớp môđun C4 thông

qua lớp các hạng tử trực tiếp cùng chung phần bù và các vành tự đồng cấu

C4.


4

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong suốt luận văn này, các vành R ln được giả thiết là vành có đơn vị
1. Trong chương này, trình bày tổng quan lại các kiến thức cơ bản về môđun
và vành phục vụ cho quá trình nghiên cứu luận văn. Các kết quả này được
tham khảo từ [1],[9],[15].

1.1. Các khái niệm cơ sở và ví dụ
Đầu tiên chúng ta cần nhắc lại định nghĩa của môđun.
Định nghĩa 1.1.1. Cho R là vành. Một R-môđun phải M là một nhóm
cộng aben cùng với một ánh xạ

M ×R→M
(m, r) → mr
thường được gọi là phép nhân môđun, thỏa các điều kiện sau:
(1). Quy tắc kết hợp: (mr1 ) r2 = m (r1 r2 ).


5

(2). Quy tắc phân phối: (m1 + m2 ) r = m1 r+m2 r và m (r1 + r2 ) = mr1 + mr2 .
(3). Quy tắc unita: m1 = m.

trong đó m, m1 , m2 là các phần tử tùy ý của M , r1 , r2 ∈ R.
Ví dụ 1.1.2. (1). Tập các đa thức R [x] là một R-môđun đối với phép
cộng đa thức và phép nhân các phần tử của vành R với các đa thức.
(2). Mn [R] là tập các ma trận vuông cấp n hệ số trên vành R. Khi đó với
phép cộng ma trận và phép nhân các phần tử của vành R với các ma trận
thì Mn [R] là R-mơđun.
(3). Mỗi nhóm aben là một môđun trên vành Z.
(4). Mỗi không gian vectơ trên một trường K là một môđun trên K và
ngược lại.
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử M là một R- môđun phải. Tập con N ⊂ M
được gọi là một R-mơđun con phải nếu N là một nhóm con của nhóm cộng

M và N khép kín đối với phép nhân với vô hướng, tức là xr ∈ N với mọi
r ∈ R, x ∈ N . Kí hiệu N ⊆ M .
Định nghĩa 1.1.4. Ánh xạ ϕ : M → M ′ được gọi là một đồng cấu Rmođun (hay một ánh xạ R-tuyến tính) nếu


6

ϕ (x + y) = ϕ (x) + ϕ (y) ,
ϕ (xa) = ϕ (x) a,
với mọi x, y ∈ M và mọi a ∈ R.
Ví dụ 1.1.5.
(1). Ánh xạ đồng nhất id : M → M là một đồng cấu môđun, đối với mọi
môđun M .
(2). Đồng cấu Z-môđun chính là đồng cấu nhóm aben.
Định nghĩa 1.1.6. Giả sử M là một R-môđun.
(1). Giả sử S là tập con của R-mơđun phải M . Khi đó, giao của tất cả
các môđun con của M chứa S là môđun con nhỏ nhất của M chứa S . Giao
đó được gọi là mơđun con sinh bởi tập S , ta nói M là R-môđun phải sinh bởi

tập S và S được gọi là hệ sinh của R-môđun phải M .
(2). Tập con khác rỗng S nào đó của M được gọi là một cơ sở của M nếu
mỗi phần tử của M đều có thể biểu diễn tuyến tính duy nhất qua các phần
tử của S .
(3). Môđun M được gọi là tự do nếu nó có một cơ sở, hoặc nó là mơđun 0.
Định nghĩa 1.1.7. Cho mơđun MR :


7

(1). Môđun M được gọi là hữu hạn sinh nếu đối với M tồn tại hệ sinh
gồm hữu hạn phần tử.
(2). Mơđun M được gọi là xyclic nếu nó được sinh bởi một phần tử.

1.2. Một số khái niệm khác
Định nghĩa 1.2.1.
(1). Phần tử (ai ) ∈

Ai được gọi là có giá hữu hạn nếu như tập các chỉ
i∈I

số i ∈ I mà ai = 0 là hữu hạn. Nói cách khác ai = 0 với mọi i trừ một số
hữu hạn.
(2).Cho họ các R-môđun phải (Ai |i ∈ I). Lúc đó R-mơđun phải

Ai
i∈I

được gọi là tích trực tiếp của họ đó.
(3). Mơđun con gồm tất cả các phần tử có giá hữu hạn của

Ai được
i∈I

gọi là tổng trực tiếp ngồi của họ (Ai |i ∈ I). Ta kí hiệu là

Ai .
i∈I

Định nghĩa 1.2.2. Giả sử M là một R-môđun phải và (Mi )i∈I là họ các
môđun con của M . Xét ánh xạ

f:

Mi → M
i∈I

xi .

(xi ) →
I

M được gọi là tổng trực tiếp trong của họ các môđun con (Mi )i∈I nếu và
chỉ nếu M thỏa một trong các điều kiện sau:


8

(1). f là một đẳng cấu.
(2). Mọi phần tử x ∈ M đều có thể viết được duy nhất dưới dạng x =

xi , trong đó (xi ) là phần tử của ⊕Mi , nghĩa là có giá hữu hạn.
(3). M =

Mi và mọi hệ thức có dạng
i∈I

xi = 0 trong đó phần tử (xi )
i∈I

có giá hữu hạn đều suy ra xi = 0 với mọi i ∈ I .
(4). M

Mi và Mi ∩ (
i∈I

Mj ) = 0 với mọi i ∈ I .
i=j

Định nghĩa 1.2.3. Cho A, B là hai R-mơđun. Khi đó, tổng của hai mơđun

A, B được kí hiệu là A + B được xác định A + B = {a + b|a ∈ A, b ∈ B}.
Định nghĩa 1.2.4. Cho MR và N ⊆ M . Khi đó, N được gọi là hạng tử
trực tiếp của M nếu tồn tại môđun con P của M sao cho M = N ⊕ P . Lúc
đó ta nói P là mơđun con bù của N trong M .
Định nghĩa 1.2.5. Hai hạng tử trực tiếp A, B của một môđun M được
gọi là cùng chung phần bù nếu chúng có phần bù tổng trực tiếp chung là C ,
(tức là M = A ⊕ C = B ⊕ C ).
Định nghĩa 1.2.6.

(1). Một môđun M được gọi là có tính chất giao hạng tử (summand
intersection property, viết tắt là SIP ) nếu giao của hai hạng tử trực tiếp bất
kì nào của M đều là một hạng tử trực tiếp.

(2). Một mơđun M được gọi là có tính chất tổng hạng tử (summand sum


9

property, viết tắt SSP ) nếu tổng bất kì hai hạng tử trực tiếp của M là một
hạng tử trực tiếp.
Định lý 1.2.7. [9, Định lý 2.3] Cho M là một R−mơđun.
(1). M có tính chất tổng hạng tử SSP khi và chỉ khi mọi phân tích

M = A ⊕ B và mọi đồng cấu f : A → B thì Imf là một hạng tử trực tiếp
của M .
(2). M có tính chất giao hạng tử SIP khi và chỉ khi mọi phân tích

M = A ⊕ B và mọi đồng cấu f : A → B thì Kerf là một hạng tử trực tiếp
của M .
Định nghĩa 1.2.8.
(1). Một tổng trực tiếp trong

i∈I

Ai của các môđun con của môđun M

được gọi là hạng tử (trực tiếp) địa phương của M nếu cho mọi tập con hữu
hạn F ⊆ I thì tổng trực tiếp

i∈F

Ai là một hạng tử của M .

(2). Một R-môđun M khác 0 được gọi là khơng phân tích được nếu M
khơng thể viết dưới dạng tổng trực tiếp của hai R-môđun con khác 0 của M .
Định lý 1.2.9. Nếu mọi hạng tử địa phương của một mơđun M là một
hạng tử thì M là một tổng trực tiếp của các mơđun khơng phân tích được.
Mệnh đề 1.2.10. Mọi môđun bù của N trong M (nếu có) đều đẳng cấu
với nhau.


10

Định nghĩa 1.2.11. Một R−môđun M được gọi là ADS nếu với mọi
phân tích M = S ⊕ T và phần bù T ′ của S trong M thì ta có M = S ⊕ T ′ .
Mệnh đề 1.2.12. Một R−môđun M được gọi là ADS khi và chỉ khi với
mọi phân tích M = A ⊕ B thì A, B là nội xạ tương hỗ (tức là A là B -nội xạ
và B là A-nội xạ).
Định nghĩa 1.2.13.
(1). Một môđun K của M là cốt yếu (lớn) trong M , kí hiệu K ⊆e M ,
trong trường hợp với mọi môđun con L ⊆ M ,

K ∩ L = 0 suy ra L = 0.
(2). Đối ngẫu, một môđun con K của M gọi là đối cốt yếu (nhỏ) trong

M , kí hiệu K ≪ M , trong trường hợp với mọi môđun con L ⊆ M ,
K + L = M suy ra L = M .
Định nghĩa 1.2.14.
(1). Đơn cấu f : K → M được gọi là cốt yếu nếu Im(f ) ⊆e M .

(2). Toàn cấu g : M → N được gọi là đối cốt yếu nếu Ker(g )≪ M .
Mệnh đề 1.2.15. Các mệnh đề sau đây tương đương đối với môđun con

K của M :
(1). K ⊆e M .


11

(2). Đồng cấu nhúng i : K → M là đơn cấu cốt yếu.
(3). Với mọi môđun N và mọi h ∈ Hom(M, N )
Ker(h) ∩ K = 0 suy ra Ker(h) = 0.
Hệ quả 1.2.16. Một đơn cấu f : L → M là cốt yếu nếu và chỉ nếu mọi
đồng cấu h nếu hf là đơn cấu thì h là đơn cấu.
Bổ đề 1.2.17. Môđun con K ⊆ M là cốt yếu trong M nếu và chỉ nếu
với mỗi 0 = x ∈ M tồn tại r ∈ R sao cho 0 = xr ∈ K .
Mệnh đề 1.2.18. Cho K1 ⊆ M1 ⊆ M, K2 ⊆ M2 ⊆ M và M = M1 ⊕M2 .
Khi đó
(1). K1 ⊕ K2 ⊆e M1 ⊕ M2 ⇔ K1 ⊆e M1 và K2 ⊆e M2 .
(2). K1 ⊕ K2 ≪ M1 ⊕ M2 ⇔ K1 ≪ M1 và K2 ≪ M2 .
Định nghĩa 1.2.19. Một môđun khác không TR là đơn nếu nó khơng có
mơđun con khơng tầm thường nào.
Mệnh đề 1.2.20. Một R-môđun phải T là đơn nếu và chỉ nếu T ∼
= R/M
với iđêan phải cực đại M nào đó của R.
Định nghĩa 1.2.21.
(1). Cho(Tα )α∈A là một họ các môđun con đơn của M . Nếu M là tổng
trực tiếp các môđun con này , nghĩa là

12

M=

A Tα

(*)

thì (*) được gọi là một phân tích nửa đơn của M .
(2). Một môđun M được gọi là nửa đơn nếu nó có một phân tích nửa đơn.
Định lí 1.2.22. Đối với một R-mơđun M , các điều kiện sau là tương
đương:
(1). M là nửa đơn.
(2). M là tổng của tập nào đó các mơđun con đơn.
(3). M là tổng của tất cả các môđun con đơn của nó.
(4). Mọi mơđun con của M là một hạng tử trực tiếp của M .
(5). Mọi dãy khớp ngắn các R-môđun phải

0→K→M →N →0
chẻ ra.
Định nghĩa 1.2.23. Cho UR là một mơđun. Nếu MR là một mơđun, thì

U được gọi là xạ ảnh theo M (hay U là M − xạ ảnh) trong trường hợp với
mọi toàn cấu g : MR → NR và mỗi đồng cấu v : UR → NR tồn tại một

R−đồng cấu v¯ : U → M sao cho biểu đồ sau giao hoán
U
v¯

M

v

~



g

/

N
/

0


13

tức là v = gv .
Định nghĩa 1.2.24. Cho UR là một mơđun. Nếu MR là một mơđun thì

U được gọi là nội xạ theo M (hay U là M −nội xạ) trong trường hợp với mọi
đơn cấu f : KR → MR và mỗi đồng cấu v : KR → UR tồn tại một R−đồng
cấu v¯ : M → U sao cho biểu đồ sau giao hoán

UO a

v¯

v

0

/K

f

/

M

tức là v = vf .
Định nghĩa 1.2.25. Cho M là R-môđun phải. Đơn cấu µ : M → Q
được gọi là bao nội xạ đối với M nếu Q là môđun nội xạ cịn µ là đơn cấu
cốt yếu.
Định nghĩa 1.2.26.
(1). Một môđun M được gọi là giả nội xạ đến một mơđun N khác (hay
cịn gọi là giả N −nội xạ) nếu với mỗi đơn cấu f : K → M , trong đó K ⊆ N ,
có thể mở rộng thành một đồng cấu từ N vào M .
(2). Môđun M được gọi là giả nội xạ nếu M là giả M −nội xạ.
Định nghĩa 1.2.27. Cho M và N là các R-mơđun. Khi đó:


14

(1). M được gọi là N -giả nội xạ cốt yếu nếu với mỗi môđun con cốt yếu

A của N thì mọi đơn cấu f : A → M đều mở rộng được đến đồng cấu
g : N → M.

(2). M được gọi là giả nội xạ cốt yếu nếu M là M -giả nội xạ cốt yếu.
(3). Hai môđun M và N được gọi là giả nội xạ cốt yếu tương hỗ nếu M
là N -giả nội xạ cốt yếu và N là M -giả nội xạ cốt yếu.
(4). Một vành R được gọi là giả nội xạ cốt yếu phải nếu RR là một môđun
giả nội xạ cốt yếu.
Ví dụ 1.2.28. Xét các Z-mơđun Zp2 , Zp3 và Zn trong đó p là số nguyên
tố và 2 ≤ n ∈ N. Khi đó:
(1). Zn là mơđun giả nội xạ cốt yếu.
(2). Zp3 là Zp2 -giả nội xạ cốt yếu.
Bổ đề 1.2.29.[15,20.2] Cho M là một R−môđun phải. Khi đó, các điều
kiện sau đây là tương đương:
(1). M là môđun nửa đơn.
(2). Mọi R-môđun N là giả M −nội xạ.
(3). Mỗi môđun con của M là hạng tử trực tiếp của M .
Định lý 1.2.30. Cho M và N là các mơđun. Khi đó:


15

(1). N là môđun nửa đơn khi và chỉ khi M là N −giả nội xạ cốt yếu với
mọi môđun M .

(2). Giả sử N = A ⊕ B và M = C ⊕ D sao cho B được nhúng trong D.
Nếu M là N −giả nội xạ cốt yếu thì C là A−giả nội xạ cốt yếu.
Định nghĩa 1.2.31. Một môđun con N của M được gọi là bất biến đầy
đủ trong M nếu f (N ) ⊆ N với mọi f ∈ EndR (M ).
Mệnh đề 1.2.32. Cho P là một R−mơđun phải. Lúc đó các điều kiện
sau là tương đương.
(1). P là xạ ảnh.
(2). Mỗi toàn cấu ϕ : B → P đều là chẻ ra, nghĩa là ker(ϕ) là hạng tử

trực tiếp của môđun B .
Mệnh đề 1.2.34. Cho Q là R−mơđun. Lúc đó các điều kiện sau đây là
tương đương.
(1). Q nội xạ.
(2). Mỗi đơn cấu ϕ : Q → B đều là chẻ ra, nghĩa là Im(ϕ) là hạng tử
trực tiếp của môđun B .
Mệnh đề 1.2.35.[4] Cho M, N là hai mơđun thì M là N −nội xạ khi và
chỉ khi M là giả N/L− nội xạ cốt yếu với mọi môđun con L của N .


16

Định nghĩa 1.2.36. Phần tử x của vành R được gọi là phần tử lũy đẳng
nếu x2 = x. Các cặp phần tử lũy đẳng e1 , e2 của vành R được gọi là trực giao
nếu e1 .e2 = e2 .e1 = 0.
Định nghĩa 1.2.37. Nếu lũy đẳng e = 0 của vành R khơng phân tích
được thành tổng của hai lũy đẳng khác 0 trực giao với nhau thì e được gọi
là lũy đẳng nguyên thủy.
Tập {e1 , ..., en , ...} các lũy đẳng của vành R được gọi là trực giao nếu

ei ej = 0 với mọi cặp i = j . Tập {e1 , ..., en } các lũy đẳng nguyên thủy trực
giao của R được gọi là đầy đủ nếu 1 = e1 + ... + en .
Như vậy, e là một lũy đẳng nguyên thủy của R nếu và chỉ nếu eR là
môđun không phân tích được, nói cách khác, nếu và chỉ nếu vành eRe chỉ có
hai lũy đẳng 0 và e.
Định nghĩa 1.2.38. Một phần tử lũy đẳng e của vành R được gọi là lũy
đẳng địa phương nếu eRe là vành địa phương.
Mệnh đề 1.2.39. Cho M = MR . Khi đó:
(1).

A=
A≪M

Ker(ϕ), trong đó B là mơđun con

B =
B≤M

ϕ∈HomR (M,N )

cực đại của M , cịn NR là mơđun nửa đơn tùy ý.
(2).

A =
A≤e M

Im(ϕ), trong đó B là mơđun con

B =
B≤M

ϕ∈HomR (N,M )

đơn của M , cịn NR là mơđun nửa đơn tùy ý.


17

Định nghĩa 1.2.40. (1). Môđun con của M thỏa mãn Mệnh đề 1.2.39
(1) được gọi là căn của M , kí hiệu rad(M ).

(2). Mơđun con của M thỏa mãn Mệnh đề 1.2.39 (2) được gọi là đế của

M , kí hiệu là soc(M ).
Định lý 1.2.41. rad(RR ) = rad(R R), vì vậy ta thường kí hiệu chung là

J(R).
Mệnh đề 1.2.42. Cho e2 = e ∈ R với J = J(R). Các điều kiện sau đây
tương đương.

(1). e là lũy đẳng địa phương.
(2). eR có duy nhất một mơđun con cực đại.
(3). eJ là môđun con cực đại duy nhất của eR.
(4). eR/eJ là môđun đơn.
Mệnh đề 1.2.43. Cho e và f là các lũy đẳng của vành R. Các điều kiện
sau là tương đương
(1). eR ∼
= f R như các R-môđun phải.
(2). Re ∼
= Rf như các R-môđun trái.
(3). e = ab và f = ba với a và b nào đó trong R.
(4). e = ab và f = ba với a ∈ eRf và b ∈ f Re nào đó.


18

(5). eR = aR và Rf = Ra với a nào đó trong R.
Mệnh đề 1.2.44. Iđêan phải I của vành R là một hạng tử trực tiếp của

RR nếu và chỉ nếu tồn tại một lũy đẳng e ∈ R sao cho I = eR.
Hơn nữa, nếu e ∈ R là một lũy đẳng thì 1 − e cũng vậy, và (1 − e)R là

phần bù của eR, nghĩa là

RR = eR ⊕ (1 − e)R.
Và hai lũy đẳng e, f của vành R được gọi là cùng chung phần bù nếu eR
và f R có một phần bù chung.
Định nghĩa 1.2.45.
(1). Một vành R được gọi là vành chính quy (von Neumann) nếu cho mỗi
phần tử r ∈ R, thì tồn tại r′ ∈ R sao cho r = rr′ r.
Định nghĩa 1.2.46. Một môđun MR được gọi là phẳng nếu cho mỗi đơn
cấu f :R A →R B thì 1M ⊗ f : M ⊗R A → M ⊗R B cũng là đơn cấu.
Định lý 1.2.47. Các điều kiện sau là tương đương đối với vành R.
(1). R là vành chính quy.
(2). Mỗi iđêan trái xyclic là hạng tử trực tiếp của R R.
(3). Mỗi iđêan hữu hạn sinh là hạng tử trực tiếp của R R.
(4). Mỗi môđun MR là phẳng.