tính chất của môđun giả nội xạ, giả nội xạ cốt yếu, nghiên cứu về lớp môđun nội xạ cốt yếu

MỤC LỤC

Trang
CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN 2
LỜI NÓI ĐẦU 3
Chương I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 5
§1. Môđun nội xạ và môđun con cốt yếu. 5
§2. Chiều Goldie và CS – môđun. 12
Chương II. MÔĐUN NỘI XẠ CỐT YẾU 17
§1. Môđun giả nội xạ. 17
§2. Môđun giả nội xạ cốt yếu. 24
§3. Môđun nội xạ cốt yếu. 28
KẾT LUẬN 34
TÀI LIỆU THAM KHẢO 35

1
CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN
MA ≤
: A là môđun con của môđun M.
MA
e
≤
: A là môđun con cốt yếu của môđun M.
o
≤
: quan hệ thứ tự.
MA ⊆
: A là tập hợp con của tập M.
( )
M,NHom
: tập tất cả các đồng cấu môđun từ N đến M.

⊕
: tổng trực tiếp của các môđun.
MN:f →
: phép tương ứng từ N đến M.
NM
: môđun thương của M trên N.
: phép nhúng.
A
ϕ
: thu hẹp của
ϕ
trên A.
MN ≅
: môđun N đẳng cấu với M.
 : kết thúc một chứng minh.
2
LỜI NÓI ĐẦU
Trong lý thuyết môđun, hai lớp môđun được các nhà toán học quan
tâm nghiên cứu là lớp môđun nội xạ và lớp môđun xạ ảnh. Trên cơ sở tương
tự dựa trên yếu tố nội xạ, người ta đã mở rộng ra nhiều lớp môđun. Các lớp
môđun như: môđun giả nội xạ, môđun giả nội xạ cốt yếu đã được nghiên cứu
bởi S.K.Jain and S.Singh (1967), M.L.Teply (1975), A.A.Tuganbaev (1978),
Đinh Quang Hải … ; các lớp CS – môđun, môđun liên tục cũng được Đinh
Văn Huỳnh, Nguyễn Việt Dũng, P.F.Smith, R. Wisbauer, N. Er, M.Okado,
S.H. Mohamed and B.J.Muller…phát triển, xây dựng mối liên hệ giữa các lớp
môđun mở rộng với nhau và đã đưa ra được nhiều kết quả hữu ích trong việc
phát triển lý thuyết môđun. Ngoài ra, lớp môđun nội xạ cốt yếu cũng được
nghiên cứu và phát triển bởi He Qun. Lần đầu tiên, mối liên hệ giữa môđun
nội xạ cốt yếu và hệ phương trình tuyến tính được thiết lập, tạo nền móng cho
việc nghiên cứu, xây dựng đặc trưng của các lớp môđun mở rộng khác theo

phương trình. Trên cơ sở vấn đề đặc trưng phương trình bởi môđun tựa nội xạ
của A.Laradji: “mọi hệ phương trình tuyến tính tương thích mạnh trên môđun
tựa nội xạ đều giải được”, He Qun đã đưa ra đặc trưng của môđun nội xạ cốt
yếu theo phương trình: “một môđun là nội xạ cốt yếu khi và chỉ khi mọi hệ
phương trình tuyến tính tương thích mạnh trên nó là giải được”.
Tiếp tục nghiên cứu về lớp môđun nội xạ cốt yếu, luận văn đã trình bày
một cách hệ thống một số vấn đề có liên quan về môđun giả nội xạ, giả nội xạ
cốt yếu, môđun nội xạ cốt yếu và chứng minh được: môđun giả nội xạ là nội
xạ cốt yếu, môđun nội xạ cốt yếu là giả nội xạ khi và chỉ khi nó là môđun đều.
Luận văn cũng chứng minh các kết quả như: hệ quả 2.2.8, định lí 2.3.6, mệnh
đề 2.3.7, mệnh đề 2.3.10. Cấu trúc của luận văn được chia thành hai chương:
3
– Chương I. Trình bày một số kiến thức cơ bản chuẩn bị. Các khái
niệm được đề cập chủ yếu trong chương này là môđun nội xạ, môđun con cốt
yếu, CS – môđun, môđun có chiều đều hữu hạn.
– Chương II. Trên cơ sở xem xét trình bày các tính chất của môđun
giả nội xạ, giả nội xạ cốt yếu, nghiên cứu về lớp môđun nội xạ cốt yếu.
Chứng minh một số tính chất và đặc trưng của môđun nội xạ cốt yếu theo
phương trình.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Đồng Tháp,
dưới sự gợi ý và hướng dẫn nhiệt tình của Thầy PGS.TS.Ngô Sỹ Tùng. Tác
giả xin bài tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với Thầy, đồng thời tác giả cũng xin
chân thành cảm ơn Thầy PGS.TS.Lê Quốc Hán, PGS.TS. Nguyễn Thành
Quang, TS.Chu Trọng Thanh cùng quý thầy cô trong bộ môn Toán, khoa Sau
đại học của Đại học Vinh, phòng QLKH&SĐH của ĐHSP Đồng Tháp, các
bạn học viên cao học Toán khoá 13 tại ĐHSP Đồng Tháp đã hỗ trợ giúp đỡ và
tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này.
Đồng Tháp, tháng 4 năm 2008.
Tác giả
4

CHƯƠNG I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
§1. MÔĐUN NỘI XẠ VÀ MÔĐUN CON CỐT YẾU

Trong luận văn này, ta xét vành R là vành kết hợp có phần tử đơn vị, kí
hiệu là 1, và tất cả các môđun xét trên vành R đều là R – môđun trái Unita.
1.1.1 Định nghĩa
– Cho M là R – môđun trái, môđun con A của M được gọi là môđun con
cốt yếu, kí hiệu
MA
e
≤
, nếu với mọi môđun con X của M thoả mãn
0=∩ XA
thì X = 0. Môđun M được gọi là môđun đều nếu mọi môđun khác
0 của M đều cốt yếu trong M. Môđun con K của M được gọi là phần bù của
môđun B trong M nếu K là môđun con tối đại trong số những môđun con của
M có giao với B bằng không, và K được gọi là phần bù trong M nếu K là
phần bù của môđun con nào đó của M. Môđun K được gọi là bao đóng của
môđun B nếu K là mở rộng cốt yếu tối đại của B.
– Môđun con K của M được gọi là môđun con đóng nếu K không có mở
rộng cốt yếu thực sự nào trong M.
1.1.2 Tính chất
(1)
MA
e
≤
khi và chỉ khi
0,,0 ≠∈∀≠∩ xMxxRA
.
(2) Cho

MNA ≤≤
thì
MA
e
≤
khi và chỉ khi
NA
e
≤
và
MN
e
≤
.
(3) Cho
MA
e
≤
và
MK
≤
thì
KKA
e
≤∩
.
(4) Cho
MNA ≤≤
. Nếu
AMAN

e
≤
thì
MN
e
≤
.
Chứng minh. (1) Hiển nhiên. (2) Giả sử A cốt yếu trong M, lấy
môđun con X bất kỳ của N mà
0=∩ XA
. Do
NX ≤
nên
MX
≤
và
MA
e
≤
nên X = 0. Vậy
NA
e
≤
. Tương tự, lấy môđun con Y bất kỳ của M mà
0=∩YN
. Do
NA ≤
nên
0=∩YA
và

MA
e
≤
. Suy ra Y = 0. Vậy,
MN
e
≤
.
5
Ngược lại, nếu
NA
e
≤
và
MN
e
≤
thì với môđun con X bất kì của M mà
0=∩ XA
. Đặt
XNB ∩=
, ta có
0=∩=∩∩=∩ XAXNABA
, do
NA
e
≤
nên B = 0
0=∩⇒ XN
và do

MN
e
≤

0=⇒ X
. Vậy
MA
e
≤
.
(3) Lấy X là môđun con bất kì của K sao cho
0=∩∩ XKA
hay
0=∩ XA
, do
MA
e
≤

0=⇒ X
. Vậy
KA
∩
cốt yếu trong K.
(4) Lấy
MX ≤
sao cho
0=∩ XN
. Khi đó,
( )

AXAN =⊕∩
, từ đây ta
suy ra
( )
0=⊕∩ AXAAN
. Do
AMAN
e
≤
nên
( )
0=⊕ AXA
hay
AXA =⊕
. Vậy X = 0 hay
MN
e
≤
. 
1.1.3 Bổ đề Cho
MN →:
ϕ
là đẳng cấu môđun trên R. Khi đó môđun con L
của N cốt yếu trong N khi và chỉ khi
ϕ
(L) cốt yếu trong M.
Chứng minh. (⇒) Cho
NL
e
≤

, thì
MX ≤∀
sao cho
( )
0=∩ XL
ϕ
.
Suy ra:
( ) ( )( ) ( )
00
111
==∩=∩
−−−
ϕϕϕϕ
XLXL
. Do
NL
e
≤
nên
( )
0
1
=
−
X
ϕ

0=⇒ X
(ϕ là đẳng cấu). Vậy

( )
ML
e
≤
ϕ
.
(⇐) Cho
( )
ML
e
≤
ϕ
, thì
NY ≤∀
sao cho
0=∩YL
. Do ϕ đẳng cấu
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
0
111
=∩=∩=∩⇒
−−−
YLYLYL
ϕϕϕϕϕϕϕ

( ) ( )
0=∩⇒ YL
ϕϕ
.
Do

( )
ML
e
≤
ϕ
nên
( )
0=Y
ϕ

0=⇒Y
. Vậy
NL
e
≤
.
1.1.4 Mệnh đề Với mọi môđun con A của môđun M luôn tồn tại môđun con T
của M sao cho
MTA
e
≤⊕
.
Chứng minh. Đặt
{ }
0: =∩≤= AXMXS
, vì
S∈0
nên
∅≠S
. Ta

sắp thứ tự
S
theo quan hệ bao hàm. Lấy tập con sắp thứ tự tuyến tính của
S

sao cho:

21
≤≤≤≤
n
XXX
Khi đó
i
i
XB
∞
=
∪=
1
là môđun con của M và dễ
thấy B là cận trên của dãy đã cho. Lấy
BAx ∩∈
, suy ra có một số k nào đó
sao cho
k
Xx∈
. Từ đây ta có
k
XAx ∩∈
. Vậy x = 0 hay

0=∩ AB
. Do đó,
theo bổ đề Zorn,
S
có phần tử tối đại là T. Ta chứng minh
MTA
e
≤⊕
.
6
Thật vậy,
MY
≤∀
thỏa mãn
( )
0=∩⊕ YTA
. Ta có
0=∩YA
và
0=∩YT
.
Nếu có
Aa ∈
và
YyTt ∈∈ ,
sao cho
yta +=
thì
TAtay ⊕∈−=
, ta suy ra

0=y
và
0== ta
. Như vậy
( )
0=⊕∩ YTA
, ta suy ra
( )
SYT ∈⊕
. Do tính
tối đại của T nên
0=Y
. Vậy
MTA
e
≤⊕
. 
1.1.5 Bổ đề Nếu K là phần bù của B trong môđun M thì
( )
KMKBK
e
≤⊕
.
Chứng minh. Giả sử
KMKX ≤
sao cho
( )
0=∩⊕ KXKBK
, ta
có

0=∩ BK
và
( )
KXBK =∩⊕
. Khi đó:
( )
BXBXBK ∩=∩∩⊕=0
.
Do tính tối đại của K, nên X = K. Vậy
0=KX
hay
( )
KMKBK
e
≤⊕
. 
1.1.6 Mệnh đề Cho B là môđun con của M, K là phần bù của B trong M, thế
thì:
(1) K đóng trong M.
(2)
BK ⊕
là môđun con cốt yếu của M.
Chứng minh. (1) Giả sử có một môđun con N của M sao cho
NK
e
≤
,
thế thì, nếu
KN ≠
, do

0=∩ BK
, K tối đại nên
0≠∩ BN
. Ta có
( ) ( )
0=∩=∩∩=∩∩ BKBNKBNK
, vì
NK
e
≤
, suy ra
0=∩ BN
.
Điều này vô lý. Vậy, K đóng trong M.
(2) Suy ra từ 1.1.4. 
1.1.7 Định nghĩa Cho M và N là các R – môđun.
– Môđun M được gọi là N – nội xạ nếu với mọi
môđun con X của N, mọi đồng cấu f :
MX →
đều mở
rộng thành đồng cấu
MNg →:
, tức là biểu đồ sau
giao hoán:

fig
o
=
, trong đó i là phép nhúng đồng cấu.
– Môđun M gọi là tựa nội xạ nếu M là M – nội xạ.

– Môđun M gọi là môđun nội xạ nếu M là N – nội xạ, với mọi môđun N.
– Hai môđun M và N được gọi là nội xạ lẫn nhau nếu M là N – nội xạ và
N là M – nội xạ.
7
X
N
M
i
f
g
– Bao nội xạ của môđun M, kí hiệu E(M), là môđun nội xạ bé nhất sao
cho M cốt yếu trong E(M).
1.1.8 Mệnh đề [3, Proposition 18.12] Cho M là R – môđun trái. Khi đó:
(1) M là nội xạ khi và chỉ khi M = E(M).
(2) Nếu
MN
e
≤
thì E(N) = E(M).
(3) Nếu
QM ≤
và Q là môđun nội xạ thì
( )
'EMEQ ⊕=
.
(4) Nếu
( )
α
ME
A

⊕
là nội xạ (đặc biệt, nếu A là hữu hạn) thì
( ) ( )
αα
MEME
AA
⊕=⊕
.
1.1.9 Mệnh đề Giả sử môđun
i
Ii
MM
∈
⊕=
là tổng trực tiếp các môđun
i
M
. Khi
đó các phát biểu sau là tương đương:
(1) M là tựa nội xạ.
(2)
i
M
là tựa nội xạ và
( )
iIM −
là
i
M
– nội xạ với mọi

Ii∈
.
Chứng minh. xem [6, Proposition 1.18].
1.1.10 Mệnh đề Môđun M là nội xạ khi và chỉ khi với mọi ideal trái I của R,
mọi đồng cấu
MIf →:
thì tồn tại
Mm∈
để
( )
Ixxmxf ∈∀= ,
.
Chứng minh. (⇒) Cho M là môđun nội xạ. Lấy I là ideal trái của R,
MI:f →
là đồng cấu môđun. Vì R là R – môđun nên M là R – nội xạ. Do
đó, f mở rộng thành đồng cấu
MR:f
*
→
. Đặt
( )
1
*
fm =
. Khi đó:
,Ix∈∀

thì
( ) ( )
xmxfxfxfxf ==== )1()1.(1.

**
.
(⇐) Giả sử đã có điều kiện đủ, ta chứng minh M là N – nội xạ, với mọi
môđun N. Lấy X là môđun con tuỳ ý của N,
MXg →:
là đồng cấu bất kỳ.
Ta chứng minh tồn tại đồng cấu g
*
là mở rộng của g.
Thật vậy, xét họ
{ }
gMTNTXTS
X
=→≤≤=
ααα
,:,/),(
.
Ta thấy
( )
∅≠⇒∈ SSgX ,
. Sắp thứ tự tập S theo quan hệ như sau:
8

( ) ( )





=

≤
⇔≤
12
21
2211
1
αα
αα
T
o
TT
,T,T
. Ta chứng minh S thoả mãn bổ đề Zorn.
Lấy tập con sắp thứ tự tuyến tính của S sao cho:

( ) ( ) ( )
,T ,T,T
onnooo
≤≤≤≤
ααα
2211
(a)
Đặt
NTTT
i
i
≤⇒∪=
∞
=1
. Lấy

MT →:
α
, với
k
TxkTx ∈∃⇒∈ :
Ta định nghĩa
( ) ( )
xx
k
αα
=
. Dễ dàng kiểm tra được α là đồng cấu. Khi đó
( )
α
,T
là cận trên của dãy (a). Theo bổ đề Zorn, S có phần tử tối đại, kí hiệu
( )
SB ∈
β
,
. Ta chứng minh
NB =
và g* = β.
Thật vậy, nếu
BNaNB \∈∃⇒⊂
. Đặt
RaBH +=
⇒
HB
⊂

(do a∉B), ta
xác định đồng cấu
MHh →:
cho bởi
( ) ( )
rmbrabh +=+
β
, trong đó m được
xác định như sau: Gọi
{ }
BraRrI ∈∈= /
. Ta hoàn toàn kiểm tra được I là
ideal trái của R. Xác định đồng cấu
MIg →:
bởi
( ) ( )
Ir,rarg ∈=
β
. Theo
giả thiết nên
Mm∈∃
để
( )
xmxg =
, ∀x∈I. Như vậy, do
HB ⊂
, và theo cách
xác định của h nên h là mở rộng của β. Điều này mâu thuẫn với tính tối đại
của
( )

β
,B
. Vậy,
NB =
và lấy g* = β. Vậy g* là mở rộng của g. 
1.1.11 Mệnh đề Nếu M là N – nội xạ và
NA ≤
thì M là A – nội xạ và
AN

– nội xạ.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh M là A – nội xạ. Thật vậy, lấy
AX ≤
và
MXf →:
là đồng cấu. Ta cũng có
NX ≤
, do M là N – nội xạ
nên f mở rộng thành đồng cấu
MNg →:
. Khi đó
A
g
là mở rộng của f trên
A hay M là A – nội xạ.
Bây giờ ta chứng minh M là
AN
– nội xạ. Lấy
ANAX ≤
và

MAX: →
α
là đồng cấu. Gọi
ANN: →
π
là đồng cấu tự nhiên.
9
X
N
AX
AN
M
α
π
φ
ϕ
β
Đặt
X
πϕ
=
. Do M là N – nội xạ nên
αϕ
mở
rộng thành đồng cấu
MN →:
φ
. Ta có:
( ) ( ) ( )
00 ===

ααϕφ
AA
. Suy ra
φπ
kerker ≤
.
Do đó, tồn tại đồng cấu
MAN: →
β
sao cho
φβπ
=
. Với mọi
Xx∈
, ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
AxxxxAx +====+
ααϕφβπβ
.
Vậy,
β
là mở rộng của
α
hay M là
AN
– nội xạ. 
1.1.12 Mệnh đề M là N – nội xạ khi và chỉ khi
( )
MN ≤
ϕ

với mọi
( ) ( )( )
MENEHom ,∈
ϕ
.
Chứng minh. Vì E(N) là môđun nội xạ, ta chỉ cần chứng minh với
mọi
( )( )
ME,NHom∈
ϕ
là đủ.
)(⇒
Giả sử M là N – nội xạ, với
( )( )
MENHom ,∈
ϕ
.
Đặt
( ){ }
MnNnX ∈∈=
ϕ
:
. Dễ thấy X là môđun con của N. Vì M là N – nội
xạ,
X
ϕ
mở rộng thành đồng cấu
MN →:
φ
, ta chứng minh

( )( )
0=−∩ NM
ϕφ
. Thật vậy, giả sử có
Mm∈
và
Nn∈
sao cho
( )( )
nm
ϕφ
−=
. Khi đó,
( ) ( )
Mmnn ∈−=
φϕ
nên
Xn∈
.
Như vậy,
( ) ( ) ( ) ( )
0=−=−= nnnnm
ϕϕϕφ
. Vậy,
( )( )
0=−∩ NM
ϕφ
và vì
( )
MEM

e
≤
nên
( ) ( )
MNN ≤=
ϕφ
.
( )
⇐
Giả sử có
( )
MN ≤
ϕ
với mọi
( )( )
MENHom ,∈
ϕ
. Lấy
NX ≤
và
MXf →:
là đồng cấu. Vì E(M) là nội xạ, nên
f
mở rộng thành đồng cấu
( )
MEN →:
ϕ
. Theo giả thuyết
( )
MN ≤

ϕ
. Vậy,
MXf →:
mở rộng thành
đồng cấu
MN →:
ϕ
hay M là N – nội xạ. 
1.1.13 Bổ đề Cho M
1
và M
2
là các môđun và
21
MMM ⊕=
. Thế thì, M
2
là
M
1
– nội xạ khi và chỉ khi với mọi môđun con N của M mà
0
2
=∩ MN
đều
tồn tại môđun con K của M sao cho
2
MKM ⊕=
và
KN ≤

.
10
Chứng minh.
( )
⇒
Giả sử M
2
là M
1
– nội xạ và với mọi môđun con N
của M mà
0
2
=∩ MN
. Gọi
( )
2,1: =→ iMM
ii
π
là các phép chiếu.
Đặt
NN
21
,
πβπα
==
. Vì
0
2
=∩ MN

nên
α
là đơn cấu và do M
2
là M
1
–
nội xạ nên tồn tại đồng cấu
21
: MM →
ϕ
sao cho
βϕα
=
.
Lấy
( ){ }
1111
: MmmmK ∈+=
ϕ
. Với mọi
Nn∈
thì
21
mmn +=
. Ta có
( ) ( )
nn
βϕα
=

hay
( )
21
mm =
ϕ
, từ đây ta suy ra
( )
Kmmn ∈+=
11
ϕ
. Do đó,
KN ≤
. Nếu có
11
Mm ∈
và
22
Mm ∈
sao cho
( )
211
mmm =+
ϕ
thì
( )
2121
Mmmm ∈−=
ϕ
, nên m
1

= 0 và m
2
= 0. Như vậy,
0
2
=∩ MK
. Mặt
khác,
( ) ( )
2121121
, MKmmmmmmmMm ⊕∈−++=+=∈∀
ϕϕ
.
Vậy
2
MKM ⊕=
.

( )
⇐
Giả sử với mọi môđun con N của M mà
0
2
=∩ MN
đều tồn tại môđun
con K của M sao cho
2
MKM ⊕=
và
KN ≤

. Lấy X là môđun con của M
1
và
2
: MXf →
là đồng cấu. Đặt
( ){ }
XxxfxH ∈−= :
. Khi đó H là môđun
con của M và hiển nhiên
0
2
=∩ MH
. Theo giả thiết, tồn tại môđun con H’
của M sao cho
2
' MHM ⊕=
và
'HH
≤
. Lấy
22
': MMHM →⊕=
π
là phép
chiếu. Đặt
1
M
g
π

=
,
Xx∈∀
thì
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
xfxfxfxxxg =+−==
ππ
.
Vậy, g là mở rộng của f, hay M
2
là M
1
– nội xạ. 
11
§2. CHIỀU GOLDIE VÀ CS – MÔĐUN
Cho môđun M, chúng ta định nghĩa các tính chất sau đây của M:
(C
1
) Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M.
(C
2
) Nếu một môđun con A của M đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của
M thì A cũng là một hạng tử trực tiếp của M.
(C
3
) Nếu M
1
và M
2
là hạng tử trực tiếp của M thoả mãn

0
21
=∩ MM
, thì
21
MM ⊕
là một hạng tử trực tiếp của M.
1.2.1 Định nghĩa
– Môđun M được gọi là CS – môđun nếu M thỏa mãn tính chất (C
1
), hay
nói cách khác, M là CS – môđun nếu mọi môđun con đóng của M đều là hạng
tử trực tiếp của M.
– Môđun M được gọi là liên tục nếu M thỏa mãn tính chất (C
1
) và (C
2
).
– Môđun M được gọi là có chiều đều (chiều Goldie) hữu hạn nếu M
không chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không. Ngược lại, ta
nói M có chiều đều vô hạn.
1.2.2 Bổ đề Cho M là R – môđun. Khi đó:
(1) Hạng tử trực tiếp của M là môđun con đóng trong M.
(2) Nếu K đóng trong L và L đóng trong M thì K đóng trong M.
Chứng minh. (1) Giả sử A là hạng tử trực tiếp của M, tức là
BAM ⊕=
, với
MB ≤
. Lấy
MN ≤

sao cho
NA
e
≤
, thế thì ta có
0=∩ BN
. Gọi
ABA →⊕:
π
là phép chiếu. Do
B=
π
ker
nên
0ker =∩
π
N
, suy ra
N
π
là đơn cấu. Vì thế N được nhúng đơn cấu vào A,
mà
NA
e
≤
. Do vậy A = N, hay A là môđun con đóng trong M.
(2) Trước hết ta chứng minh, nếu môđun con A đóng trong M và mọi
MQ
e
≤

sao cho
QA ≤
thì
AMAQ
e
≤
. Thật vậy, lấy
MP ≤
sao cho
PA ≤

và
0=∩ APAQ
. Do
MQ
e
≤
nên
PPQA
e
≤∩=
. Từ đây, ta suy ra
PA =
12
. Do đó
AMAQ
e
≤
. Bây giờ ta chứng minh K đóng trong M. Lấy K’ là
phần bù giao của K trong L, L’ là phần bù giao của L trong M. Theo 1.1.6 thì

M'LL
e
≤⊕
và theo kết quả chứng minh trên thì
( )
LML'LL
e
≤⊕
.
Theo 1.1.2, thì
( )
KMK'LL
e
≤⊕
, ta cũng có
( )
KLK'KK
e
≤⊕
và
( ) ( )( ) ( )
KMK'LKK'KKK'L'KK
e
≤⊕⊕⊕=⊕⊕
. Lấy
MV ≤
sao cho
VK
e
≤

. Khi đó, do
( )
0=⊕∩ 'L'KK
nên
( )
0=⊕∩ 'L'KV
, từ đây suy ra
( ) ( )( )
0=⊕⊕∩ K'L'KKKV
. Do đó
KV =
hay K đóng trong M. 
1.2.3 Hệ quả Hạng tử trực tiếp của CS – môđun là CS – môđun.
Chứng minh. Giả sử M là CS – môđun, P là hạng tử trực tiếp của
M, tức là
QPM ⊕=
, với
MQ ≤
. Ta chứng minh P là CS – môđun.
Lấy A là môđun con đóng trong P, do P đóng trong M, theo 1.2.2, nên A đóng
trong M. Vì M là CS – môđun nên A là hạng tử trực tiếp của M, nghĩa là
BAM ⊕=
, với
MB
≤
.
Theo luật modular, thì
( ) ( )
BPABAPMPP ∩⊕=⊕∩=∩=
.

Vậy, A là hạng tử trực tiếp của P hay P là CS – môđun. 
1.2.4 Bổ đề Mọi môđun khác không có chiều đều hữu hạn luôn chứa một
môđun con đều.
Chứng minh. Giả sử M không chứa môđun con đều nào, nghĩa là tồn
tại các môđun con khác không K
1
, L
1
của M sao cho
0
11
=∩ LK
. Khi đó K
1
không là môđun con đều, nên tồn tại các môđun khác không K
2
, L
2
của K
1
sao
cho
0
22
=∩ LK
. Tiếp tục lí luận tương tự đối với K
2
, dẫn đến M chứa một
tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không

21
⊕⊕ LL
. Điều này mâu
thuẫn với tính chiều đều hữu hạn của M. Vậy M có chứa môđun con đều. 
1.2.5 Mệnh đề M là CS – môđun và có chiều đều hữu hạn. Khi đó M phân
tích thành tổng trực tiếp hữu hạn các môđun con đều.
Chứng minh. Bởi M có chiều đều hữu hạn, theo 1.2.4, nên trong M
tồn tại môđun con đều U
1
. Gọi X
1
là bao đóng của U
1
trong M. Giả sử X
1
13
không là môđun con đều, suy ra tồn tại
XBA ≤,
mà
0, ≠BA
sao cho
0=∩ BA
. Do
XU
e
≤
1
nên
0,0
11

≠∩≠∩ BUAU
. Từ đây, ta có
( ) ( ) ( )
0
111
=∩∩=∩∩∩ BAUBUAU
. Điều này mâu thuẩn với tính đều
của U
1
. Vậy X
1
là môđun đều. Bởi M là CS – môđun và X
1
là bao đóng của U
1
nên X
1
là hạng tử trực tiếp của M, tức là
11
MXM ⊕=
. Vì M là CS – môđun
và có chiều đều hữu hạn, theo 1.2.3, nên M
1
cũng là CS – môđun và có chiều
đều hữu hạn. Lí luận tương tự như trên đối với M
1
, ta có
221
MXM ⊕=
,

trong đó X
2
là môđun con đều và M
2
là CS – môđun có chiều đều hữu hạn.
Tiếp tục lí luận như trên, ta được
nn
MXXXM ⊕⊕⊕⊕=
21
, trong đó
các
( )
niX
i
, ,2,1, =
là các môđun con đều và M
n
là CS – môđun có chiều đều
hữư hạn. Do M có chiều đều hữu hạn, nên quá trình trên dừng lại sau một số
hữu hạn bước, tức là tồn tại n để M
n
= 0. Khi đó
n
XXXM ⊕⊕⊕=
21
với
( )
niX
i
, ,2,1, =

là các môđun con đều. 
1.2.6 Định nghĩa và kí hiệu Cho R là vành có đơn vị, và hai tập khác rỗng J
và K. Một
KJ ×
– ma trận trên R là hàm
RKJA →×:
. Kí hiệu A là một
KJ ×
– ma trận trên R. Với mỗi
( )
KJkj ×∈,
, đặt
( )
RakjA
jk
∈=,
. Ta gọi
jk
a
là phần tử trên A với chỉ số
( )
kj,
, ta viết
[ ]
KJ
jk
aA
×
=
. Nếu không có gì

nhầm lẫn giữa J và K, thì ta viết
[ ]
jk
aA =
. Ma trận chuyển vị của A, kí hiệu
A
t
, là ma trận dạng
[ ]
JK
kj
b
×
, trong đó
jkkj
ab =
. Nếu
KKJJ ⊆⊆ ','
là các tập
con khác rỗng, thì thu hẹp của A trên
'' KJ ×
là một ma trận con của A và kí
hiệu:
[ ]
'' KJ
jk
a
×
. Lấy
KkJj ∈∈ ,

thì
[ ]
{ }
Kj
jk
a
×
và
[ ]
{ }
kJ
jk
a
×
theo thứ tự là dòng
thứ j và cột thứ k của ma trận A. Tập hợp tất cả các
KJ ×
– ma trận trên vành
R, ta kí hiệu
( )
RM
KJ ×
. Ma trận A được gọi là dòng hữu hạn (cột hữu hạn)
nếu mỗi dòng của A ( mỗi cột của A) có hầu hết các phần tử bằng 0 trừ một
14
số hữu hạn. Nếu J = K thì ta gọi A là
JJ ×
– ma trận vuông hay
J
– vuông.

Đường chéo của ma trận
J
– vuông A là tập các phần tử có dạng
( )
Jj
jj
a
∈
.
Giả sử J, K, F là các tập khác rỗng.
[ ]
( )
RMaA
KJjk ×
∈=
,

[ ]
( )
RMbB
FKkf ×
∈=
. Với mỗi
FfJj ∈∈ ,
, xét chuỗi
∑
∈Kk
kfjk
ba
. Nếu A có

dòng hữu hạn hoặc B có cột hữu hạn thì chuỗi trên là tổng hữu hạn và
Rcba
jf
Kk
kfjk
∈=
∑
∈
. Khi đó
FJ ×
– ma trận
FJ
Kk
kfjk
baAB
×
∈






=
∑
gọi là tích
của hai ma trận A và B. Nếu A và B có cột hữu hạn (dòng hữu hạn) thì AB có
cột (dòng) hữu hạn.
Cho J là tập khác rỗng, M là R – môđun trái. Kí hiệu
∏

∈
=
Jj
j
J
MM
và
j
Jj
J
MM
∈
⊕=
)(
. Ta quy ước các phần tử của
J
M
,
)(J
M
được viết dưới dạng
các vectơ cột.
– Hệ phương trình tuyến tính trên M dạng AX = B, trong đó: A là ma trận
có dòng hữu hạng
KJ ×
trên R, tức là
[ ]
( )
)K(
J

jk
RrA ∈=
và
[ ]
J
j
MbB ∈=
.
Nếu tồn tại
[ ]
K
k
McC ∈=
thỏa mãn AC = B thì ta gọi
[ ]
k
cC =
là một nghiệm
của hệ phương trình AX = B. Hệ phương trình AX = B gọi là giải được nếu
nó có nghiệm trên M. Với mỗi
J
MC ∈
, tập
( )
{ }
0/
)(
=∈= CpRpCR
tJ
gọi là

linh hoá tử của C. Dễ dàng kiểm tra được
( )
)(J
RCR ≤
.
– Hệ phương trình tuyến tính AX = B được gọi là tương thích mạnh trên
M nếu tồn tại phần tử
K
Ma∈
sao cho
( ) ( )
BRAaR ≤
.
– Hệ phương trình tuyến tính AX = B được gọi là tương thích cốt yếu trên
M nếu tồn tại phần tử
K
Ma∈
sao cho
( ) ( )
BRAaR ≤
và
15
( ) ( )
( )
( )
AaRRAaRBR
J
e
≤
. Hiển nhiên, nếu hệ AX = B tương thích cốt yếu

thì cũng tương thích mạnh.
1.2.7 Bổ đề Cho
[ ]
J
j
McC ∈=
. Kí hiệu
C
là môđun con của M sinh bởi
tập
{ }
Jjc
j
∈/
. Khi đó
( )
( )
CCRR:
J
→
ϕ
xác định bởi
( )( )
CpCRp
t
=+
ϕ
,
là một đẳng cấu.
Chứng minh. Ta có

( ) ( )
CRqCRp +=+
với
)(
,
J
Rqp ∈

( )
CRqp ∈−⇔

( )
0=−⇔ Cqp
t

CqCp
tt
=⇔
⇒ ϕ là ánh xạ và với mọi
( )
( )
CRRy,x
J
∈
,
( )
CRpx +=
,
( )
CRqy +=

trong đó
( )
J
Rq,p ∈
thì:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
yxCqCpCqpCRqpyx
tt
t
ϕϕϕϕ
+=+=+=++=+

( ) ( )( ) ( ) ( )
xrCrpCrpCRrprx
t
t
ϕϕϕ
===+=
, với
Rr
∈
.
nên ϕ là đồng cấu môđun. Dễ thấy ϕ là đơn cấu, đồng thời theo cách xác định
của ϕ nên ϕ cũng là toàn cấu. Vậy ϕ là đẳng cấu. 
16
CHƯƠNG II. MÔĐUN NỘI XẠ CỐT YẾU
§1. MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ
2.1.1 Định nghĩa Cho M, N là các R – môđun trái.

M được gọi là N – giả nội xạ nếu với mọi môđun con
A của N, với mọi đơn cấu
MAf →:
đều mở rộng
thành đồng cấu
MNg →:
. M được gọi là giả nội xạ
nếu M là M – giả nội xạ.
2.1.2 Mệnh đề Cho
NA ≤
. Nếu M là N – giả nội xạ thì M là A – giả nội xạ.
Chứng minh. Lấy
AX
≤
và
MX:f →
là đơn cấu. Khi đó, X
cũng là môđun con của N và do M là N – giả nội xạ nên f mở rộng thành đồng
cấu
MN:g →
. Hiển nhiên
MA:g
A
→
là mở rộng cần tìm. Vậy M là A –
giả nội xạ. 
2.1.3 Mệnh đề Cho M, N là các môđun và
NMX ⊕=
. Các điều kiện sau là
tương đương:

(1) M là N – giả nội xạ.
(2) Với bất kỳ môđun con A của X thỏa mãn
0=∩=∩ NAMA
, tồn tại
môđun con T của X chứa A sao cho
XTM =⊕
.
Chứng minh.
( ) ( )
21 ⇒
Giả sử có (1) và A là môđun thỏa mãn giả
thiết (2). Gọi
NNMMNM
NM
→⊕→⊕ :,:
ππ
là các phép chiếu. Ta xác
định đồng cấu
( ) ( )
AA
MN
ππθ
→:
như sau:
Với mỗi
( )( ) ( )
aaAa
MN
ππθ
=∈ ,

. Do
0=∩ NA
, nên θ là đơn cấu. Theo
giả thiết,
θ
mở rộng thành đồng cấu
MNg →:
. Đặt
( ){ }
NnngnT ∈+= :
.
Từ đây, ta thấy
XTM =⊕
và
Aa∈∀
,
( ) ( )
ngnnnnma +=+=+=
θ
, với
MmNn ∈∈ ,
, do đó
TA ⊆
, thỏa mãn (2).
17
A
N
M
i
f

g

( ) ( )
12 ⇒
Giả sử có (2). Gọi B là môđun con của N và
MBf →:
là đơn
cấu. Đặt
( ){ }
BbbfbA ∈−= :
, thế thì
0=∩=∩ NAMA
. Theo giả thiết, tồn
tại môđun con T của X chứa A sao cho
XTM =⊕
. Lấy
MTM →⊕:
π
là
phép chiếu. Khi đó,
( ) ( )
bfbbfbBb −+=∈∀ ,
, ta có:
( ) ( ) ( )( ) ( )
bfbfbbfb
NN
=−+=
ππ
. Vậy,
N

π
là mở rộng của f cần tìm. 
2.1.4 Định nghĩa
– Một dãy các đồng cấu R – môđun:


11
1
→→→→
+−
+
n
f
n
f
n
AAA
nn
được gọi là khớp tại A
n
nếu
1
kerIm
+
=
nn
ff
. Ta nói dãy này là khớp nếu nó khớp tại A
n
với mọi n.

– Một dãy khớp dạng
00 →→→→ KNM
gf
được gọi là
dãy khớp ngắn nếu f là đơn cấu, g là toàn cấu và Imf = Kerg.
– Một toàn cấu của các R – môđun
0→→ NM
f
được gọi là chẻ ra
nếu tồn tại một đồng cấu
MNg →:
sao cho
N
fg 1=
.
– Một đơn cấu của các R – môđun
NM
f
→→0
được gọi là chẻ ra
nếu tồn tại một đồng cấu
MNg →:
sao cho
M
gf 1=
– Dãy khớp ngắn
00 →→→→ KNM
gf
được gọi là chẻ ra
nếu

fIm
(hoặc
gker
) là hạng tử trực tiếp của N.
2.1.5 Mệnh đề Nếu M là N – giả nội xạ thì mọi đơn cấu
NMf →:
là chẻ
ra, và khi đó
XfN ⊕= Im
, với X là môđun con nào đó của N.
Chứng minh. Vì
NMf →:
là đơn cấu nên có thể xem M như là một
môđun con của N. Do M là N – giả nội xạ nên
M
1
có thể mở rộng thành đồng
cấu
MNg →:
sao cho
M
gf 1=
. Ta chứng minh
gfN kerIm ⊕=
.
Với mọi
Nn∈
, thì
( )
Mng ∈

. Ta có
( )( ) ( )( )
ngfnngfn −+=
. Hiển nhiên,
( )( )
fngf Im∈
, ta chứng minh
( )( )
gngfn ker∈−
.
18
X
N
P

f
g
M
φ
ϕ
-1
ϕ
Thật vậy,
( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )
0=−=−=− ngngngfgngngfng
. Như vậy,
ta có
KergfN += Im
. Mặt khác, nếu có
gfx kerIm ∩∈

, thế thì tồn tại
Mm∈
sao cho
( )
mfx =
và
( )
0=xg
.
Từ đây, ta suy ra
( )( ) ( )
0=== xgmfgm
hay
0=x
. Vậy,
0kerIm =∩ gf
.
Do đó,
gfN kerIm ⊕=
. 
2.1.6 Mệnh đề Nếu M là N – giả nội xạ và A là hạng tử trực tiếp của M thì A
là N – giả nội xạ.
Chứng minh. Giả sử M là N – giả nội xạ, đặt
NMX ⊕=
và
BAM ⊕=
, với
MB ≤
. Lấy K là môđun con của
NA ⊕

sao cho
0=∩=∩ NKAK
. Lấy
MKx ∩∈
, khi đó,
namx +==
, với
NnAaMm ∈∈∈ ,,
. Ta có
Mamn ∈−=
, suy ra n = 0 hay
KxAax ∈∈= ,
.
Vậy x = 0 hay
0=∩ MK
. Do M là N – giả nội xạ, theo 2.1.3, thì tồn tại
môđun con T của X chứa K sao cho
XTM =⊕
. Vậy thì,
NATA ⊕=⊕
.
Theo 2.1.3, thì A là N – giả nội xạ. 
2.1.7 Mệnh đề Nếu M là N – giả nội xạ và
PM ≅
thì P là N – giả nội xạ.
Chứng minh. Lấy
NX ≤
và
PXf →:
là

đơn cấu. Do
PM ≅
nên tồn tại đẳng cấu
MP →:
ϕ
. Khi đó
MX:f →
ϕ
là đơn cấu, do M là N – giả nội
xạ nên
f
ϕ
mở rộng thành đồng cấu
MN →:
φ
sao
cho
fi
X
ϕφ
=
, trong đó
NXi
X
→:
là phép bao
hàm. Đặt
PNg →=
−
:

1
φϕ
, thế thì ta có
( )
ffiig
XX
===
−−
ϕϕφϕ
11
. Vậy, g là mở rộng của
f cần tìm hay P là N – giả nội xạ. 
2.1.8 Định lí Mọi môđun giả nội xạ đều thỏa mãn tính chất (C
2
).
Chứng minh. Giả sử M là môđun giả nội xạ và B là môđun con của
M đẳng cấu với hạng tử trực tiếp A của M. Ta chứng minh B là hạng tử trực
19
tiếp của M. Thật vậy, lấy
BA:f →
là đẳng cấu. Khi đó, f cũng là đơn cấu từ
A vào M. Vì M là M – giả nội xạ, theo 2.1.6 thì A là M – giả nội xạ. Theo
2.1.5, đơn cấu f là chẻ ra. Vậy B là hạng tử trực tiếp của M hay M có tính
chất (C
2
). 
2.1.9 Định lí Hạng tử trực tiếp của môđun giả nội xạ là môđun giả nội xạ.
Chứng minh. Giả sử M là môđun giả nội xạ và A là hạng tử trực tiếp
của M, tức là
BAM ⊕=

, với
MB
≤
. Ta chứng minh A là môđun giả nội xạ.
Lấy
AX ≤
và
AXf →:
là đơn cấu. Khi đó
MXfi
A
→:
cũng là đơn cấu,
trong đó
MAi
A
→:
là phép nhúng. Do M là giả nội xạ, nên
fi
A
mở rộng
thành đồng cấu
MM →:
ϕ
. Đặt
A
ϕφ
=
và
ABAM →⊕=:

π
là phép
chiếu. Lấy
AAg →= :
πφ
, thế thì ta có
ffiigi
AXX
===
ππφ
, trong đó
AXi
X
→:
là phép nhúng. Vậy g là mở rộng của f cần tìm hay A là môđun
giả nội xạ. 
2.1.10 Bổ đề (Jain and Singh) Nếu M là môđun giả nội xạ thì môđun con của
M đẳng cấu với phần bù trong M cũng là phần bù trong M.
Chứng minh. Cho K là phần bù trong M và A là môđun con của M
sao cho
KA
≅
. Lấy
KAf →:
là đẳng cấu môđun. Theo giả thiết, thì f mở
rộng thành đồng cấu
MMg →:
. Theo bổ đề Zorn, tồn tại phần bù A’ trong
M sao cho
'AA

e
≤
. Hiển nhiên
A
g
là đơn cấu. Vậy
( ) ( )
'AgAgK
e
≤=
. Vì K
là môđun con bù nên K = g(A’). Do đó, A = A’. 
Nhận xét Theo định lí 2.1.8 và định nghĩa 1.2.1, ta thấy một môđun giả nội
xạ, CS – môđun là môđun liên tục. Trong [6] trình bày một số định nghĩa sau:
20
X
A
A

f
g
M

M




môđun M được gọi là có tính biến đổi (hữu hạn) nếu với mọi tập I (hữu hạn)
sao cho

i
Ii
ANM
∈
⊕=⊕
với N và A
i
là các môđun thì
(
)
i
Ii
BMNM
∈
⊕⊕=⊕

với
ii
AB ≤
. Môđun M gọi là có tính triệt tiêu nếu
YMXM ⊕≅⊕
thì
YX
≅
. M gọi là có tính triệt tiêu trong nếu
2211
BABAM ⊕=⊕=
mà
21
AA ≅

thì
21
BB ≅
. Môđun M gọi là hữu hạn trực tiếp nếu M không đẳng
cấu với một hạng tử trực tiếp thực sự nào của M. Đồng thời [6] đã chứng
minh được một số kết quả: Môđun nội xạ M có tính triệt tiêu trong khi và chỉ
khi M là hữu hạn trực tiếp [Theorem 1.29]. Hạng tử trực tiếp của môđun liên
tục là môđun liên tục [Proposition 2.7] và mọi môđun liên tục đều có tính
biến đổi [Theorem 3.24]. Từ những kết quả trên, ta chứng minh một số định lí
sau:
2.1.11 Định lí M là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là giả nội xạ và M
2
là CS –
môđun.
Chứng minh. Giả sử M là giả nội xạ và M
2
là CS – môđun. Lấy
)2,1( =≅ iMM
i
và
21
MMX ⊕=
. Theo nhận xét trên, thì M là môđun liên
tục. Gọi A là phần bù trong X sao cho
0
1
=∩ MA
và
AMA
e

≤∩
2
. Do

M
2
CS – môđun nên tồn tại môđun con V và V’ của M
2
sao cho
2
' MVV =⊕
và
VMA
e
≤∩
2
. Mặt khác,
2
M
là CS – môđun nên ta cũng có
XAA =⊕ '
, với
XA ≤'
. Do V là hạng tử trực tiếp của môđun liên tục nên V là môđun liên tục
hay V có tính biến đổi. Vì
AAV
e
≤∩
, ta có
0'=∩ AV

. Vậy,
XAV =⊕ '
.
Do đó A đẳng cấu với hạng tử trực tiếp V của M
2
.
Gọi C là môđun con của X sao cho
0
1
=∩ MC
. Theo bổ đề Zorn, tồn
tại một phần bù K trong X của M
1
chứa C. Cũng theo bổ đề Zorn, tồn tại phần
bù K
1
trong K của
2
MK ∩
và phần bù K
2
trong K của K
1
chứa
2
MK ∩
. Ta
thấy
22
KMK

e
≤∩
và theo 1.2.2 thì K
1
và K
2
là phần bù trong X. Theo
2.1.3, tồn tại môđun con T của X chứa K
1
thỏa mãn
XTM =⊕
1
. Thế thì
21
2
MT ≅
và K
1
là phần bù trong T. Từ đây, suy ra K
1
đẳng cấu với một phần
bù trong M
2
. Theo chứng minh trên, ta cũng có K
2
đẳng cấu với một phần bù
của M
2
. Lấy
221

: MMM →⊕
π
là phép chiếu thông thường. Ta có
( ) ( ) ( )( )
211211
KKMKKM
ππ
⊕⊕=⊕⊕
, trong đó
( )
ii
KK ≅
π
. Do tính liên
tục của M
2
và điều kiện ở trên, nên
( ) ( )
21
KK
ππ
⊕
là hạng tử trực tiếp của
M
2
. Vì K là phần bù của M
1
,
( )
XKMKM

e
≤⊕=⊕
π
11
nên
( )
2
MK
e
≤
π
.
Theo cách chọn K
1
, K
2
và
KKK
e
≤⊕
21
, thế thì
( ) ( ) ( )
KKK
e
πππ
≤⊕
21
. Do
đó,

( ) ( )
221
MKK
e
≤⊕
ππ
. Từ đây suy ra
( ) ( ) ( )
KKKM
πππ
=⊕=
212
. Vậy,
XKM =⊕
1
. Theo 1.1.13, M
1
là M
2
– nội xạ. 
2.1.12 Mệnh đề Nếu
NM ⊕
là giả nội xạ thì M và N là nội xạ lẫn nhau.
Chứng minh. Giả sử
NM ⊕
là giả nội xạ, ta chứng minh M là N –
nội xạ, N là M – nội xạ chứng minh tương tự. Thật vậy, đặt
NMX ⊕=
và
X

≤
A
sao cho
0=∩ MA
. Gọi K là phần bù của M trong X chứa A,
NNM →⊕:
π
là phép chiếu. Ta có
( )
XKMKM
e
≤⊕=⊕
π
, từ đây ta
suy ra
( )
NK
e
≤
π
, trong đó
( )
KK
π
≅
. Gọi
( )
KKf →
π
:

là đẳng cấu. Vì X
là giả nội xạ nên theo 2.1.2, X là N – giả nội xạ. Do đó
f
mở rộng thành
đồng cấu
XNg →:
. Ta có
( )( ) ( )
NgKgK
e
≤=
π
, do K là môđun con bù
trong X nên
( )
NgK =
và
( )
NK =
π
. Vậy
XKM =⊕
. Theo 1.1.13, M là N
– nội xạ. 
2.1.13 Bổ đề
(1) Nếu môđun đều M là giả nội xạ thì M là tựa nội xạ.
(2) Cho
iIi
MM
∈

⊕=
là tổng trực tiếp các môđun đều M
i
. M là tựa nội xạ
khi và chỉ khi M là giả nội xạ.
Chứng minh. (1) Lấy A là môđun con của M và
MAf →:
là đồng
cấu. Nếu Kerf = 0, theo giả thiết, thì f mở rộng thành đồng cấu
MMg →:
.
Nếu
0ker ≠f
, đặt
fi
A
−=
δ
, trong đó
MAi
A
→:
là phép bao hàm. Lấy
22
δ
kerker ∩∈ fx
, ta có
( )
0=xf
và

( )
0=− xfx
hay
0=x
. Vậy,
0kerker =∩
δ
f
. Vì M đều,
0ker ≠f
, nên
Mf
e
≤ker
. Từ đây, ta suy ra
0ker =
δ
. Do M là giả nội xạ nên
δ
mở rộng thành đồng cấu
MMg →:
.
Hiển nhiên, 1 – g là mở rộng của f.

23
(2) Cho M là giả nội xạ, thế thì theo 2.1.12, M(I – i) là M
i
– nội xạ, với
mọi
Ii∈

. Theo (1) và hạng tử trực tiếp của môđun giả nội xạ là môđun giả
nội xạ, nên mỗi M
i
là tựa nội xạ. Theo 1.1.9, M là tựa nội xạ. 
2.1.14 Định lí Môđun M có chiều đều hữu hạn là tựa nội xạ khi và chỉ khi M
là giả nội xạ và là CS – môđun.
Chứng minh. Cho M là giả nội xạ, CS – môđun. Theo 1.2.5, M là
tổng trực tiếp của các môđun đều. Theo 2.1.13, ta suy ra điều phải chứng
minh. 
24
§2. MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ CỐT YẾU
2.2.1 Định nghĩa Cho M, N là các môđun. M được gọi là N – giả nội xạ cốt
yếu nếu với mọi môđun con A cốt yếu của N, với mọi đơn cấu
MAf →:
đều
mở rộng thành đồng cấu
MNg →:
. M được gọi là môđun giả nội xạ cốt yếu
nếu M là M – giả nội xạ cốt yếu.
2.2.2 Hệ quả M là N – giả nội xạ thì M là N – giả nội xạ cốt yếu.
2.2.3 Mệnh đề Cho M, N là các môđun và
NMX ⊕=
. Các phát biểu sau
là tương đương:
(1) M là N – giả nội xạ cốt yếu.
(2) Với bất kỳ phần bù K của M trong X sao cho
0=∩ NK
thì
XKM =⊕
Chứng minh.

)2()1( ⇒
Gọi K là phần bù của M trong X sao cho
0=∩ NK
và
NNMMNM
NM
→⊕→⊕ :,:
ππ
là các phép chiếu. Dễ
thấy,
( )
KMKM
N
π
⊕=⊕
, do K là phần bù trong X nên
XKM
e
≤⊕
( )
NK
eN
≤⇒
π
. Ta xác định đồng cấu
( ) ( )
KK
MN
ππθ
→:

như sau: với mỗi
Kk ∈
thì
)Nn,Mm(nmk ∈∈+=
,
( )
mn =
θ
. Do
0=∩ NK
nên
0ker =
θ
.
Vậy
θ
là đơn cấu và vì M là N – giả nội xạ cốt yếu nên
θ
mở rộng thành
đồng cấu
MNg →:
. Đặt
( ){ }
NnngnT ∈+= :
. Với
Xx∈
thì
( ) ( )
TMngnngmnmx +∈++−=+=
TMX +=⇒

. Với
TMy ∩∈
thì
( )
ngnmy +==
( )
Mngmn ∈−=⇒
, do
0=∩ NM
nên n = 0
0=⇒ y
hay
0=∩TM
. Vậy
TMX ⊕=
. Mặt khác, theo luật modular, thì
TK
e
≤
. Vì K
là môđun con bù nên T = K.

)1()2( ⇒
. Giả sử đã có (2). Cho A là môđun con cốt yếu của N và
MAf →:
là đơn cấu. Đặt
( ){ }
AaafaH ∈−= :
. Hiển nhiên
0=∩ NH

. Ta
cũng có
( )
AMHMHM
N
⊕=⊕=⊕
π
. Do
XAMNA
ee
≤⊕⇒≤
25