Các Lớp Môđun D4.

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành: Phương Pháp Toán Sơ Cấp
Mã số: 8.46.01.13

Đề tài:

CÁC LỚP MÔĐUN D4

Học viên: Phan Phụng Tân
Người HDKH: PGS.TS. TRƯƠNG CÔNG QUỲNH

Đà Nẵng - 2019






MỤC LỤC
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương

1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Một số khái niệm khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Chương

2. MÔĐUN D4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1. Định nghĩa và tính chất mơđun D4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2. Phủ D4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3. Môđun giả rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4. Các định lí về sự phân tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5. Các ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Chương

3. MÔĐUN D4 THÔNG QUA LỚP MÔĐUN ĐẲNG CẤU HẠNG TỬ

TRỰC TIẾP

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.1. Các tính chất mơđun D4 trong điều kiện các phần tử cùng
chung phần bù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2. Vành tự đồng cấu các môđun D4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Tài liệu tham khảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70


NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

A⊆M

A là mơđun con của môđun M .

A ⊆e M

A là môđun con cốt yếu của môđun M .

A≪M

là môđun con đối cốt yếu của môđun M .

A ⊆⊕ M

A là hạng tử trực tiếp của môđun M .

Mod-R

là phạm trù các R môđun phải.

End(M )

Vành các tự đồng cấu của môđun M .

Hom(N, M ) Tập tất cả các đồng cấu môđun từ N đến M .
Kerf
I

Mi

Hạt nhân của đồng cấu f .
Tổng trực tiếp của các môđun {Mi }I .

M/N

Môđun thương của M trên N .

ϕ|A

Thu hẹp của ϕ trên A.

N∼
=M

Môđun N đẳng cấu với M .

E(M )

Bao nội xạ của M .


1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài
Cấu trúc mơđun xuất hiện trong hầu hết các lý thuyết toán học hiện đại,
nó có khả năng thống nhất một cách bản chất các cấu trúc vành, iđêan, nhóm
abel và khơng gian vectơ. Tính linh hoạt và phổ qt của mơđun đã mang lại
những áp dụng trong lý thuyết môđun. Trong những năm gần đây lý thuyết
môđun đã phát triển rất nhiều.
Một đặc trưng quan trọng của vành QF là mọi môđun nội xạ là xạ ảnh và
mọi vành xạ ảnh là nội xạ. Vì vậy, ta xét đến khái niệm đối ngẫu của mơđun
nội xạ, đó là mơđun xạ ảnh. Khái niệm này được H. Cartan và S. Eilenberg

đưa ra vào năm 1956. Sau đó các khái niệm mở rộng của nó cũng đã được
các tác giả khác nghiên cứu, chẳng hạn, môđun tựa xạ ảnh, môđun rời rạc,
môđun tựa rời rạc, môđun thỏa mãn điều kiện D1, D2, D3, D4,...
Đề tài về các môđun thỏa điều kiện D4 đang được quan tâm và nghiên cứu.
Những nghiên cứu, đóng góp của Nangqing Ding, Yasser Ibrahim, Mohamed
Yousif và Yiqiang Zhou,... đã được cơng bố trên các tạp chí uy tín liên quan


2

tới lý thuyết này.
Nhằm tìm hiểu các tính chất của các lớp môđun D4. Tôi chọn đề tài cho
luận văn thạc sĩ của mình là: CÁC LỚP MƠĐUN D4.
2. Mục đích nghiên cứu
Thơng qua luận văn, chúng tơi sẽ tổng quan một số đặc trưng của các lớp
môđun D4, qua đó làm rõ các nghiên cứu đã có trước đây.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là: Môđun D4 và một số vành liên quan.
Phạm vi nghiên cứu của luận văn chỉ đi sâu tìm hiểu các khái niệm, định
nghĩa, đính lý liên quan đến các lớp môđun D4.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Đọc sách, các tài liệu tham khảo liên quan và tổng hợp lại.
- Xêmina với cán bộ hướng dẫn.
5. Bố cục của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được trình bày
trong ba chương:
Chương 1: Trình bày lại các khái niệm cơ sở của lý thuyết vành và môđun
như: môđun nội xạ, giả nội xạ, hạng tử trực tiếp, môđun đơn và nửa đơn,
môđun Artin và nửa Artin... Chương này mục đích trình bày lại các khái

3

niệm, bổ đề, định lý cần thiết để làm cơ sở cho việc trình bày và nghiên cứu
nội dung luận văn (được trình bày trong Chương 2).
Chương 2: Chương này chủ yếu trình bày các khái niệm, định lí, bổ đề,
kết quả và một số ví dụ liên quan đến các lớp mơđun D4.
Chương 3: Chương này trình bày về các kết quả của lớp môđun D4 thông
qua lớp các hạng tử trực tiếp đẳng cấu và các vành tự đồng cấu D4.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
- Tổng hợp lại một cách có hệ thống về mơđun D4.
- Làm tài liệu cho các nghiên cứu về sau.


4

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng tôi xin trình bày một số khái niệm và kết quả
liên quan để làm cơ sở cho chương sau. Các kết quả mà tơi trình bày dưới
đây được trích dẫn từ các tài liệu [1], [2], [3], [7], [8].
Trong toàn bộ luận văn, nếu khơng nói gì thêm, vành R đã cho ln được
giả thiết là vành kết hợp, có đơn vị 1 = 0.

1.1. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.1.1. Cho R là vành có đơn vị. Nhóm cộng aben (M, +)
được gọi là một môđun phải trên vành R nếu trên M ta đã xác định được
một tác động phải từ R

M ×R→M
(m, r) → mr
thỏa mãn các tiên đề sau:
(1) x.1 = x
(2) x(rs) = (xr)s
(3) (x + y)r = xr + yr
(4) x(r + s) = xr + xs


5

với mọi r, s ∈ R và x, y ∈ M .
Ký hiệu: MR , ta gọi M là R-môđun phải, R là vành cơ sở.
Môđun trái trên vành R được định nghĩa hoàn toàn tương tự nếu trên M
ta đã xác định được một tác động trái từ R.
Định lí 1.1.2. (Định lí về đồng cấu mơđun) Cho ϕ : M → N là một
đồng cấu các R-môđun và π : M → M/Kerf là tồn cấu chính tắc. Khi đó
tồn tại duy nhất một đơn cấu: ϕ¯ : M/Kerϕ → N sao cho biểu đồ sau giao
hoán:

ϕ

M

99
π

// N

ϕ¯

%%

M/Kerϕ
tức là ϕ = ϕ.π
¯ .
Định nghĩa 1.1.3. Môđun con gồm tất cả các phần tử có giá hữu hạn
của

Ai được gọi là tổng trực tiếp (ngoài) của họ (Ai , i ∈ I). Ta kí hiệu là
i∈I

⊕ Ai .

i∈I

Định lí 1.1.4. Giả sử M là một R-môđun phải và (Mi )i∈I là họ các
môđun con của M . Xét ánh xạ: f : ⊕ Mi −→ M với f ((xi )) =
i∈I

điều kiện sau là tương đương:
(1) f là một đẳng cấu.

xi . Các
I


6

(2) Mọi phần tử x ∈ M đều có thể viết được duy nhất dưới dạng x =

xi ,

trong đó (xi ) là phần tử của ⊕Mi , nghĩa là có giá hữu hạn.
(3) M =

Mi và mọi hệ thức có dạng
i∈I

xi = 0 trong đó phần tử (xi )
i∈I

có giá hữu hạn đều suy ra xi = 0 với mọi i ∈ I .
(4) M =

Mj ) = 0 với mọi i ∈ I .

Mi và Mi ∩ (
i∈I

i=j

Định nghĩa 1.1.5. Cho MR và họ (Mi )i∈I các môđun con của M . M
được gọi là tổng trực tiếp trong của họ các môđun con (Mi )i∈I nếu và chỉ
nếu các điều kiện tương đương của định lí 1.1.4 được thỏa mãn. Lúc đó ta kí
hiệu:

M=

Mi
I

Khi I hữu hạn ta viết M = M1 + ... + Mn .
Định nghĩa 1.1.6. Lớp các R-mơđun phải, kí hiệu là Mod-R cũng lập
thành một phạm trù với các vật là các môđun và các cấu xạ là các đồng cấu
môđun. Ta gọi nó là phạm trù các R-mơđun phải hay đơn giản hơn là phạm
trù các môđun.

1.2. Một số khái niệm khác
Định nghĩa 1.2.1. Một họ các môđun con {Ci }i∈I của môđun C được
gọi là thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng (viết tắt là ACC ) nếu trong họ
không tồn tại một dây chuyền vô hạn, tăng nghiêm ngặt:


7

C i 1 < Ci 2 < . . .
Điều này tương đương với một trong các khẳng định sau:
(1) Mọi dây chuyền tăng Ci1 ⊆ Ci2 ⊆ . . . trong họ đều dừng, nghĩa là tồn tại

n ∈ Z sao cho Cin = Cin+1 = Cin+2 = . . .
(2) Mọi họ con khác rỗng của họ đều có phần tử tối đại.
Định nghĩa 1.2.2. Một họ các môđun con {Ci }i∈I của môđun C được
gọi là thỏa mãn điều kiện dây chuyền giảm (viết tắt là DCC ) nếu trong họ
không tồn tại một dây chuyền vô hạn, giảm nghiêm ngặt:

C i 1 > Ci 2 > . . .
Điều này tương đương với một trong các khẳng định sau:
(1) Mọi dây chuyền tăng Ci1 ⊇ Ci2 ⊇ . . . trong họ đều dừng, nghĩa là tồn
tại n ∈ Z sao cho Cin = Cin+1 = Cin+2 = . . .
(2) Mọi họ con khác rỗng của họ đều có phần tử tối tiểu.

Định nghĩa 1.2.3.
(1). Một môđun con K của M là cốt yếu (lớn) trong M , kí hiệu K ⊆e M ,
trong trường hợp với mọi môđun con L của M ,

K ∩ L = 0 suy ra L = 0.
(2). Đối ngẫu, một môđun con K của M gọi là đối cốt yếu (nhỏ) trong

M , kí hiệu K ≪ M , trong trường hợp với mọi môđun con L của M ,


8

K + L = M suy ra L = M .
Định nghĩa 1.2.4.
(1). Đơn cấu f : K → M được gọi là cốt yếu nếu Im(f ) ⊆e M .
(2). Toàn cấu g : M → N được gọi là đối cốt yếu nếu Ker(g )≪ M .
Hệ quả 1.2.5. Một đơn cấu f : L → M là cốt yếu nếu và chỉ nếu mọi
đồng cấu h nếu hf là đơn cấu thì h là đơn cấu.
Bổ đề 1.2.6. Môđun con K là cốt yếu trong M nếu và chỉ nếu với mỗi

0 = x ∈ M tồn tại r ∈ R sao cho 0 = xr ∈ K .
Mệnh đề 1.2.7. Cho K1 ⊆ M1 ⊆ M, K2 ⊆ M2 ⊆ M và M = M1 ⊕ M2 ,
thì
(1). K1 ⊕ K2 ⊆e M1 ⊕ M2 ⇔ K1 ⊆e M1 và K2 ⊆e M2 .
(2). K1 ⊕ K2 ≪ M1 ⊕ M2 ⇔ K1 ≪ M1 và K2 ≪ M2 .
Định nghĩa 1.2.8. Cho vành R và M là R-mơđun phải (hoặc R-mơđun
trái). Ta nói M là Noether(Artin) nếu họ gồm tất cả các môđun con của M
thỏa mãn ACC(DCC).
Tính chất 1.2.9. R-mơđun phải M là Noether khi và chỉ khi mọi môđun
con của M đều hữu hạn sinh.

Cho M, N là các R-môđun phải, A là một môđun con của M và các đồng
cấu f : A → N, f : M → N . Khi đó người ta gọi f là một mở rộng của đồng


9

cấu f và f mở rộng được đến đồng cấu f (hoặc f mở rộng được đến M ) nếu

f (x) = f (x) với mọi x ∈ A.
Sau đây, chúng tôi giới thiệu lớp các môđun quan trọng và có nhiều ứng
dụng trong lý thuyết vành kết hợp, đó là môđun nội xạ và môđun xạ ảnh.
Một R-môđun phải M được gọi N -nội xạ nếu với mỗi môđun con A của

N thì mọi đồng cấu f : A → M đều mở rộng được đến đồng cấu g : N → M .
Nếu môđun M là M -nội xạ thì M được gọi là tựa nội xạ. Nếu M là N -nội xạ
với mọi N ∈ Mod-R thì M được gọi là nội xạ. Các môđun M1 , ..., Mn được
gọi là nội xạ tương hỗ nếu Mi là Mj -nội xạ với mọi i = j, 1 ≤ i, j ≤ n. Một
kết quả về môđun nội xạ liên quan đến luận văn là bổ đề sau đây:
Bổ đề 1.2.10. Cho môđun M = ⊕ni=1 Mi . Khi đó:
(1) M là A-nội xạ khi và chỉ khi Mi là A-nội xạ với mọi i = 1, 2, ..., n.
(2) M là tựa nội xạ khi và chỉ khi Mi là Mj -nội xạ với mọi i, j = 1, 2, ..., n.

M n là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là tựa nội xạ với mọi 1 ≤ n ∈ N .
Bao nội xạ của R-môđun phải M là một môđun nội xạ N cùng với một
đơn cấu cốt yếu ι : M → N . Lúc này, người ta vẫn thường gọi N là bao nội
xạ của M và kí hiệu N = E(M ). Hơn nữa, mọi môđun được nhúng cốt yếu
vào một mơđun nội xạ nên mọi mơđun ln có bao nội xạ.
Đối ngẫu với mơđun nội xạ, ta có mơđun P được gọi là N -xạ ảnh nếu với

10

mọi toàn cấu g : N → M và mỗi đồng cấu f : P → M đều tồn tại một đồng
cấu h : P → N sao cho f = gh. Môđun P được gọi là xạ ảnh nếu P là N -xạ
ảnh với mọi môđun N thuộc Mod-R.
Phủ xạ ảnh của một môđun M là một môđun xạ ảnh P cùng với một
toàn cấu đối cốt yếu p : P → M . Khi đó, ta vẫn thường gọi P là phủ xạ ảnh
của M . Mặc dù mọi mơđun là ảnh tồn cấu của một mơđun xạ ảnh nhưng
một mơđun khơng nhất thiết có phủ xạ ảnh. Vành R mà mọi R-mơđun có
phủ xạ ảnh chính là vành hồn chỉnh.
Mơđun P được gọi là giả-N -xạ ảnh nếu với mọi mơđun con X của N , mỗi
tồn cấu f : P → N/X có thể được nâng lên thành đồng cấu g : P → N .
Các R-môđun phải M và N được gọi giả xạ ảnh tương hỗ nếu M là
giả-N -xạ ảnh và N là giả-M -xạ ảnh.
Bổ đề 1.2.11. Nếu M = ⊕ni=1 Mi là một tổng trực tiếp hữu hạn của các
môđun. Khi đó, E(⊕ni=1 Mi ) = ⊕ni=1 E(Mi ).
Theo định nghĩa, để kiểm tra tính nội xạ của một R-mơđun M , ta phải
kiểm tra xem M có là N -nội xạ với mọi R-môđun N hay không. Tuy nhiên
trên thực tế, ta chỉ cần kiểm tra M có R-nội xạ hay không là đủ nhờ tiêu
chuẩn Baer.
Tiêu chuẩn Baer. Một R-môđun phải M là nội xạ nếu với mọi iđêan
phải I của R, mọi đồng cấu f : IR → MR đều mở rộng được đến đồng cấu


11

f : RR → MR .
Cho R là một vành và M, N là các R-mơđun phải. Khi đó, một môđun

M được gọi là N -giả nội xạ nếu với mỗi mơđun con A của N thì mọi đơn cấu

f : A → M đều mở rộng được đến đồng cấu g : N → M . Môđun M được
gọi là giả nội xạ nếu M là M -giả nội xạ. Hai môđun M và N được gọi là giả
nội xạ tương hỗ nếu M là N -giả nội xạ và N là M -giả nội xạ. Một vành R
được gọi là giả nội xạ phải nếu RR là một môđun giả nội xạ.
Mặt khác, một môđun M được gọi là N -giả nội xạ cốt yếu nếu với mỗi
môđun con cốt yếu A của N thì mọi đơn cấu f : A → M đều mở rộng được
đến đồng cấu g : N → M . Môđun M được gọi là giả nội xạ cốt yếu nếu M
là M -giả nội xạ cốt yếu. Hai môđun M và N được gọi là giả nội xạ cốt yếu
tương hỗ nếu M là N -giả nội xạ cốt yếu và N là M -giả nội xạ cốt yếu. Một
vành R được gọi là giả nội xạ cốt yếu phải nếu RR là một môđun giả nội xạ
cốt yếu.
Bổ đề 1.2.12. Cho M và N là các R-môđun phải và X = N ⊕ M . Khi
đó các điều kiện sau đây là tương đương:
(1). N là M -giả nội xạ cốt yếu.
(2). Với bất kì phần bù giao K của N trong X mà K ∩ M = 0 thì

X = N ⊕ K.
Bổ đề 1.2.13. Nếu N là M -giả nội xạ cốt yếu thì mỗi hạng tử trực tiếp


12

của N là M -giả nội xạ cốt yếu.
Bổ đề 1.2.14. Cho M và N là các mơđun. Khi đó, các điều kiện sau là
tương đương:
(1) N là M -giả nội xạ cốt yếu.
(2) N là

M
-giả nội xạ cốt yếu với mọi môđun con L của M .

L

Bổ đề 1.2.15. Nếu M ⊕ N là M -giả nội xạ cốt yếu thì N là M -nội xạ.
Định nghĩa 1.2.16. Phần tử e của vành R được gọi là phần tử lũy đẳng
nếu e2 = e.
Nhận xét 1.2.17.
(1). Mỗi vành luôn có hai phần tử lũy đẳng là 0 và 1, và chúng được gọi
là hai phần tử lũy đẳng tầm thường.
(2). Vành nguyên chỉ có hai phần tử lũy đẳng là 0 và 1.
Định nghĩa 1.2.18. Hai hạng tử trực tiếp A, B của một R-môđun phải

M được gọi là cùng chung phần bù nếu chúng có phần bù tổng trực tiếp
chung là C , (tức là M = A ⊕ C = B ⊕ C ).
Định nghĩa 1.2.19.

(1) Một R-mơđun phải M được gọi là có tính chất giao hạng tử (summand
intersection property, viết tắt là SIP ) nếu giao của hai hạng tử trực tiếp bất
kì nào của M đều là một hạng tử trực tiếp.


13

(2) Một R-mơđun phải M được gọi là có tính chất tổng hạng tử (summand
sum property, viết tắt SSP ) nếu tổng bất kì hai hạng tử trực tiếp của M là
một hạng tử trực tiếp.
Định lý 1.2.20. Cho M là một R-mơđun. Khi đó:
(1). M có tính chất tổng hạng tử SSP khi và chỉ khi mọi phân tích

M = A ⊕ B và mọi đồng cấu f : A → B thì Imf là một hạng tử trực tiếp
của M .

(2). M có tính chất giao hạng tử SIP khi và chỉ khi mọi phân tích

M = A ⊕ B và mọi đồng cấu f : A → B thì kerf là một hạng tử trực tiếp
của M .
Định nghĩa 1.2.21. Một tổng trực tiếp trong

i∈I

Ai của các môđun

con của R-môđun phải M được gọi là hạng tử (trực tiếp) địa phương của M
nếu cho mọi tập con hữu hạn F ⊆ I thì tổng trực tiếp

i∈F

Ai là một hạng

tử của M .
Định nghĩa 1.2.22. Một R-môđun phải M được gọi là khơng phân tích
được nếu M là môđun khác không và M không là tổng trực tiếp của các
môđun con khác không.
Định lý 1.2.23. Nếu mọi hạng tử địa phương của một R-môđun phải M
là một hạng tử thì M là một tổng trực tiếp của các mơđun khơng phân tích
được.


14

Định nghĩa 1.2.24. Một môđun khác không TR là đơn nếu nó khơng có
mơđun con khơng tầm thường nào.

Mệnh đề 1.2.24. Một R-môđun phải T là đơn nếu và chỉ nếu T ≃ R/M
với iđêan phải cực đại M nào đó của R.
Định nghĩa 1.2.26.
(1). Cho(Tα )α∈A là một tập các môđun con đơn của M . Nếu M là tổng
trực tiếp các mơđun con này , nghĩa là

M=

A Tα

(*)

thì (*) được gọi là một phân tích nửa đơn của M .
(2). Một môđun M được gọi là nửa đơn nếu nó có một phân tích nửa đơn.
Định lí 1.2.27. Đối với một R-môđun M , các điều kiện sau là tương đương:
(1). M là nửa đơn.
(2). M là tổng của tập nào đó các mơđun con đơn.
(3). M là tổng của tất cả các mơđun con đơn của nó.
(4). Mọi môđun con của M là một hạng tử trực tiếp của M .
(5). Mọi dãy khớp ngắn các R-môđun phải.

0→K→M →N →0
chẻ ra.


15

Định nghĩa 1.2.28. Cho M là R-mơđun. Khi đó:

(C1). M được gọi là thỏa mãn điều kiện C1 nếu mọi môđun con của M

là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M .

(C2). M được gọi là thỏa mãn điều kiện C2 nếu với mọi A và B là các
môđun con của M sao cho A ∼
= B và B là một hạng tử trực tiếp của M thì

A cũng là một hạng tử trực tiếp của M .
(C3). M được gọi là thỏa mãn điều kiện C3 nếu với mọi A, B là các hạng
tử trực tiếp của M với A ∩ B = 0 thì A ⊕ B là một hạng tử trực tiếp của M .

(C4). M được gọi là thỏa mãn điều kiện C4 nếu M = A1 ⊕ A2 và
f : A1 → A2 là một đơn cấu thì Imf ⊆⊕ A2 .
Định nghĩa 1.2.29. Cho B là R-môđun phải. Môđun con A của B được
gọi là môđun con tinh nếu với bất kì R-mơđun phải X , đồng cấu X ⊗ A →

X ⊗ B là đơn ánh.
Định nghĩa 1.2.30. Cho M là R-môđun phải. M được gọi là nội xạ tinh
nếu với bất kì mơđun B và mơđun con tinh A của B , mỗi đồng cấu từ A đến

M đều mở rộng được đến B .
Định nghĩa 1.2.31. Một R-môđun phải M được gọi là hữu hạn trực tiếp
nếu M khơng đẳng cấu với hạng tử thực sự của chính nó.
Định nghĩa 1.2.32. R là một vành Bass phải nếu mỗi R-môđun khác


16

khơng có một mơđun con tối đại.
Định nghĩa 1.2.33. Một R-mơđun phải M được gọi là thỏa mãn tính
chất biến đổi hữu hạn đầy đủ nếu với mỗi sự phân tích M = ⊕i∈I Mi và

mỗi hạng tử trực tiếp N của M , tồn tại các môđun con Mi ⊆ Mi , i ∈ I mà
′

M = (⊕i∈I Mi ) ⊕ N . Nếu (|I| < ∞) thì M được gọi là thỏa mãn tính chất
′

biến đổi hữu hạn.
Định nghĩa 1.2.34. Một R-môđun phải M được gọi là biểu diễn hữu
hạn nếu tồn tại một dãy khớp 0 → K → F → M → 0 các R-môđun với F
là môđun tự do và cả F và K là R-môđun sinh đếm được.
Định nghĩa 1.2.35. Một R- mô đun phải M được gọi là giả liên tục nếu

M thỏa điều kiện C1 và C4.
Định nghĩa 1.2.36. Một vành R được gọi là vành phải C4 nếu RR là
một môđun phải C4.
Định nghĩa 1.2.37. Một tổng trực tiếp trong ⊕i∈I Ai của các môđun con
của mô đun M được gọi là một hạng tử địa phương của M nếu với bất kì
tập con đếm được F ⊆ I , tổng trực tiếp ⊕i∈I Ai là một hạng tử của M .


17

CHƯƠNG 2
MƠĐUN D4

Chương này tơi xin trình bày nội dung chính của luận văn, trình bày về
mơđun D4, phủ D4, môđun giả rời rạc và các ứng dụng liên quan. Các kết
quả được tôi tổng hợp từ các tài liệu [5], [10], [21], [23].

2.1. Định nghĩa và tính chất mơđun D4

Trước tiên ta cần nhắc lại các định nghĩa về môđun với các điều kiện Di.
Định nghĩa 2.1.1. Cho M là R-mơđun phải. Khi đó:

(D1). M được gọi là thỏa mãn điều kiện D1 nếu mỗi môđun con A của
M , tồn tại sự phân tích M = M1 ⊕ M2 sao cho M1 ⊆ A và A ∩ M2 ≪ M .
(D2). M được gọi là thỏa mãn điều kiện D2 nếu mỗi môđun con A của
M , M/A đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của M thì A cũng là một hạng tử
trực tiếp của M .

(D3). M được gọi là thỏa mãn điều kiện D3 nếu với A, B là hai hạng tử
trực tiếp của M , A + B = M thì A ∩ B là hạng tử trực tiếp của M .


18

Môđun M được gọi là rời rạc nếu M thỏa mãn điều kiện D1 và D2.
Môđun M được gọi là tựa rời rạc nếu M thỏa mãn điều kiện D1 và D3.
Mệnh đề 2.1.2. Cho M là một môđun D3, M = A1 ⊕ A2 với A1 , A2 là
các môđun con. Nếu f : A1 → A2 là một R-đồng cấu với Imf ⊆⊕ A2 thì
Kerf ⊆⊕ A1 .
Chứng minh
Đầu tiên ta cần chứng minh rằng nếu f : A1 → A2 là một R-tồn cấu thì

Kerf ⊆⊕ A1 .
Đặt T = {a + f (a) : a ∈ A1 } là môđun con của M . Rõ ràng, T là một

R-môđun phải và ta cần chứng minh M = T ⊕ A2 .
Giả sử x ∈ M , và x = a + b với a ∈ A1 và b ∈ A2 . Khi đó, x =

a + f (a) − f (a) + b ∈ T + A2 nên M = T + A2 .

Nếu x ∈ T ∩ A2 thì x = a + f (a) với a ∈ A1 . Do đó, a = x − f (a) ∈

A1 ∩ A2 = 0. Vì vậy f (a) = 0 nên x = 0 và M = T ⊕ A2 .
Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng M = T + A1 . Nếu x ∈ M = A1 ⊕ A2
thì x = a + b với a ∈ A1 và b ∈ A2 . Vì f là một toàn cấu nên tồn tại c ∈ A1
mà b = f (c). Do đó x = a + f (c) = a − c + c + f (c) ∈ A1 + T . Vì M là một
môđun D3 nên T ∩ A1 ⊆⊕ M .
Cuối cùng, ta chỉ cần chứng minh rằng T ∩ A1 = Kerf . Nếu x ∈ T ∩ A1