Tính chất của phân phối poisson một chiều

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN
——— * ———

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

TÍNH CHẤT CỦA PHÂN PHỐI
POISSON MỘT CHIỀU

Giảng viên hướng dẫn: TS. Tôn Thất Tú
Sinh viên thực hiện: Trương Thị Ly Na

Đà Nẵng, Tháng 12 năm 2020


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN
——— * ———

TRƯƠNG THỊ LY NA

TÍNH CHẤT CỦA PHÂN PHỐI
POISSON MỘT CHIỀU

KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP

Giảng viên hướng dẫn: TS. Tôn Thất Tú

ĐÀ NẴNG, tháng 12 năm 2020

Lời cảm ơn
Trong suốt q trình viết khóa luận này, tôi đã nhận được nhiều sự hỗ trợ và giúp
đỡ. Trước tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Tôn Thất Tú, người đã trực
tiếp hướng dẫn, tận tình chỉ bảo và tạo mọi điều kiện để tơi tìm hiểu và hồn thành bài
khóa luận. Cảm ơn thầy đã cho tơi những góp ý và phản hồi sâu sắc giúp khóa luận của
tơi hồn thiện hơn.
Tơi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy cơ của khoa Tốn
đã tận tình dạy bảo tôi trong suốt thời gian học tập tại trường Đại học Sư phạm – Đại
học Đà Nẵng. Đồng thời, tôi cũng gửi lời cảm ơn đến các bạn trong lớp 17ST đã nhiệt
tình giúp đỡ tơi trong q trình học tập tại lớp.
Trong q trình làm khóa luận, tơi đã cố gắng hết sức để hoàn thiện qua từng giai
đoạn. Tuy nhiên, do thời gian nghiên cứu và kiến thức cịn hạn chế nên bài khóa luận
của tơi khơng tránh khỏi việc có nhiều thiếu sót. Kính mong nhận được sự góp ý và chỉ
bảo từ q thầy cơ và các bạn để bài khóa luận được hồn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Đà Nẵng, tháng 12 năm 2020
Tác giả

Trương Thị Ly Na


Mục lục
Mở đầu ........................................................................................................................ 1
Chương I: Kiến thức cơ sở ........................................................................................... 3
1

Biến ngẫu nhiên, hàm phân phối ...................................................................... 3
1.1 Biến ngẫu nhiên........................................................................................... 3

1.2 Hàm phân phối ............................................................................................ 3

2

Phân phối rời rạc .............................................................................................. 5
2.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc ............................................................................... 5
2.2 Bảng phân phối xác suất .............................................................................. 5
2.3 Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc ................................................. 6

3

Kì vọng, phương sai ......................................................................................... 7
3.1 Kì vọng ....................................................................................................... 7
3.2 Phương sai................................................................................................... 9

4

Hàm đặc trưng ............................................................................................... 11

5

Một số phân phối ........................................................................................... 11
5.1 Phân phối nhị thức..................................................................................... 11
5.2 Phân phối chuẩn ........................................................................................ 12
5.3 Phân phối Gamma ..................................................................................... 14
5.4 Phân phối Chi - bình phương ..................................................................... 14

6

Định lí giới hạn trung tâm .............................................................................. 15

7

Ước lượng hợp lý cực đại cho tham số của phân phối rời rạc ......................... 17

8

Một số bổ đề .................................................................................................. 17
8.1 Bổ đề 1 (Bất đẳng thức Markov) ............................................................... 17
8.2 Bổ đề 2 (Bất đẳng thức Chernoff) .............................................................. 17

Chương II: Tính chất của phân phối Poisson .............................................................. 18
1

Định nghĩa phân phối Poisson ........................................................................ 18

2

Một số tính chất của phân phối Poisson .......................................................... 18
2.1 Kì vọng và phương sai............................................................................... 18
2.2 Tính chất về tổng các biến ngẫu nhiên độc lập ........................................... 19
2.3 Một số bất đẳng thức về phân phối Poisson ............................................... 21
2.4 Phân phối có điều kiện .............................................................................. 23
2.5 Luật biến cố hiếm ...................................................................................... 24


2.6 Mối quan hệ giữa phân phối Poisson với phân phối  2 ............................. 25
2.7 Tốc độ hội tụ ............................................................................................. 25
2.8 Ước lượng hợp lí cực đại cho tham số của phân phối Poisson.................... 28
2.9 Phân phối đồng thời................................................................................... 29

3

Khoảng tin cậy cho tham số của phân phối Poisson ........................................ 29

Kết luận ..................................................................................................................... 31
Tài liệu tham khảo ..................................................................................................... 32


Mở đầu
Lý thuyết xác suất là bộ mơn có tính ứng dụng rất rộng rãi trong các ngành khoa
học tự nhiên, khoa học xã hội và thực tế cuộc sống. Nó là cơng cụ để giải quyết các vấn
đề chun môn của nhiều lĩnh vực như kinh tế, sinh học, tâm lý – xã hội. Đặc biệt nó
gắn liền với khoa học thống kê, một khoa học về các phương pháp thu thập, tổ chức và
phân tích các dữ liệu, thông tin định lượng.
Trong lý thuyết xác suất, phân phối Poisson là một phân phối rời rạc với tập giá trị
 {0,1,2,...} . Phân phối này thường dùng để mô tả phân phối số lượng các biến cố

xuất hiện trong một khoảng thời gian (chẳng hạn, số cuộc gọi gọi đến tổng đài, số yêu
cầu gửi đến máy chủ, số khách hàng đến giao dịch ở ngân hàng,… trong một khoảng
thời gian nhất định). Phân phối Poisson kết hợp với q trình ngẫu nhiên Poisson mơ tả
dịng các đối tượng đi vào trong mơ hình hệ thống hàng chờ. Vì thế phân phối Poisson
được ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành khác nhau.
Với mong muốn làm rõ hơn các tính chất của phân phối Poisson, chúng tôi đã chọn
đề tài “Tính chất của phân phối Poisson một chiều” làm đề tài khố luận. Với khố luận
tốt nghiệp trên, chúng tơi mong rằng nó sẽ là tài liệu bổ ích cho những ai quan tâm tới
vấn đề này.
Thực hiện đề tài “Tính chất của phân phối Poisson một chiều”, chúng tơi hướng
đến mục đích rèn luyện khả năng tiếp cận, tìm hiểu và nghiên cứu một vấn đề Tốn học.
Từ đó hình thành khả năng trình bày vấn đề Tốn học một cách logic và có hệ thống.
Khóa luận nhằm hệ thống lại các kết quả quan trọng của phân phối Poisson một chiều

và nghiên cứu các tính chất của nó.

Phân phối Poisson và các tính chất của phân phối Poisson một chiều.
Trên cơ sở dịch, đọc và tìm hiểu các kiến thức trong các tài liệu liên quan, từ đó
sắp xếp hệ thống lại kiến thức, chứng minh chi tiết một số tính chất để hồn thành việc
nghiên cứu.

1


Khóa luận được nghiên cứu dựa trên các phương pháp:
- Sưu tầm các tài liệu liên quan đến đề tài bao gồm các sách kinh điển bằng tiếng
Việt cũng như các tài liệu mới bằng tiếng Anh.
- Đọc dịch, tổng hợp, trình bày lại theo chủ đề, bổ sung các chi tiết, các ví dụ minh
họa.
- Trao đổi, thảo luận với cán bộ hướng dẫn.
Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến phân phối
Poisson và các tính chất của phân phối Poisson một chiều, nhằm xây dựng một tài liệu
tham khảo cho những ai muốn nghiên cứu về phân phối Poisson một chiều và các tính
chất của nó.
Khóa luận này được chia thành hai chương:
 Chương I trình bày một số kiến thức cơ bản được sử dụng cho chương sau.
 Chương II trình bày các khái niệm và tính chất liên quan đến phân phối Poisson
một chiều.

2


Chương I: Kiến thức cơ sở

Định nghĩa: Cho không gian xác suất ( , F , P ) . Ánh xạ X :
biến ngẫu nhiên nếu với mọi a
:

X 1 ((

; a))

{

: X( )

được gọi là

a} F

- Tập hợp các giá trị của X được gọi là miền giá trị của X , kí hiệu: X ( ) .
- Ta dùng các chữ cái in hoa ( X , Y , Z ,... ) để kí hiệu đại lượng ngẫu nhiên.
Ví dụ:
+ Tung một con xúc xắc. Gọi X là số chấm suất hiện trên mặt con xúc xắc thì X
là một biến ngẫu nhiên.
+ Gọi Y là nhiệt độ tại một thời điểm nào đó tại Đà Nẵng thì Y là một biến ngẫu
nhiên.
- Căn cứ vào giá trị mà biến ngẫu nhiên nhận được người ta phân chia biến ngẫu
nhiên thành hai loại: biến ngẫu nhiên rời rạc, biến ngẫu nhiên liên tục.
Định nghĩa: Hàm số thực FX ( x)  P( X  x) , x 

được gọi là hàm phân phối

của biến ngẫu nhiên X .

Tính chất:
(i) 0  FX ( x)  1, x  .
(ii) FX ( x) đơn điệu không giảm với mọi x  , tức là FX ( x)  FX ( y) với mọi

x  y.
(iii) FX ( x) liên tục trái với mọi x , tức là: lim FX ( x)  FX ( x0 ), x0  .
x  x0

(iv) lim FX ( x)  1, lim FX ( x)  0 .
x 

x 

Nhận xét:
(i) P( X  a)  1  F (a)
(ii) P(a  X  b)  F (b)  F (a)
Ví dụ 1: Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối
F ( x)  a  b arctan x, x 

3


a) Tìm a và b .
b) Tìm x sao cho: P( X  1  x) 

1
4

Giải:
a) Ta có:

1
b


a

a


1
 lim F ( x)  1


x 
2
2



1
F ( x)  0  b
 xlim

a
 0 b 



2

b)

P( X  1  x)  1  P( x  1  x)  1  F (1  x)
1
1 1
 1 1
 1    arctan(1  x)    arctan(1  x) 
4
2 
 2 
Từ đó: arctan(1  x) 


4

hay x  0 .

Ví dụ 2: Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối

0,

F ( x)  ax 2  b,
1,


x0
0 x2
x2

a) Tìm a và b .

b) Tìm hàm phân phối của Y  2 X  1.
Giải:
a) Vì F ( x ) liên tục trái nên:

1

 lim F ( x)  F (0)
0  b
a 
x 0


4

lim
F
(
x
)

F
(2)
4
a

b

1

 x2

b  0
b) Theo định nghĩa ta có:
y 1 

 y 1 
FY ( y )  P(Y  y )  P (2 X  1  y )  P  X 
 F

2 

 2 

4


y 1
0
2


0,

2
 1  y 1 
FY ( y)   
 ,
4  2 

1,


y 1
2
2
y 1
2
2

0

0,
1

  ( y  1)2 ,
16
1,

y 1
1 y  5
y5

Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên gọi là rời rạc nếu nó chỉ nhận một số hữu hạn hoặc
một số vô hạn đếm được các giá trị.
- Ta có thể liệt kê các giá trị của biến ngẫu nhiên rời rạc x1 , x2 ,..., xn .
- Kí hiệu biến ngẫu nhiên X nhận giá trị xi là X  xi và xác suất để X nhận giá trị

xi là P( X  xi ) .
Ví dụ:
- Trong một gia đình có 3 con. Gọi X là số con gái trong gia đình đó thì X là một
biến ngẫu nhiên rời rạc có tập giá trị là {0;1;2;3} .

- Tung liên tiếp một con xúc xắc cho đến khi nào xuất hiện mặt 6 chấm thì dừng
lại. Gọi X là số lần tung cho đến khi được 6 chấm thì X là một biến ngẫu nhiên rời rạc
có tập giá trị là {1,2,3,...} .
Định nghĩa: Cho X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị X () . Khi đó,
hàm

 P( X  x), x  X ()
p( x)  
x  X ( )
0,
được gọi là hàm khối xác suất.
Định nghĩa: Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là bảng dùng để mô tả
quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc.
- Giả sử biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị x1 , x2 ,..., xn ,... với các xác suất tương
ứng là p1 , p2 ,..., pn ,... thì ta có bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X như sau:
X ( )

x1

x2

...

xn

...

pi

p1

p2

...

pn

...
5


trong đó, pi  P( X  xi )
Nhận xét:
(i) 0  pi  1, i  1,2,..., n,... .
n

(ii)

p
i 1

i

 1 nếu X () hữu hạn.



(iii)

p

i 1

i

 1 nếu X () vơ hạn đếm được.

Ví dụ: Một lơ sản phẩm có 12 sản phẩm, trong đó có 8 chính phẩm và 4 phế phẩm.
Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Gọi X là số chính phẩm trong 2 sản phẩm được lấy ra. Lập
bảng phân bố xác suất của X .
Giải:
Ta có X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị 0; 1; 2 với các xác suất tương
ứng:

P( X  0) 

C42 1

C122 11

C41C81 16
P( X  1)  2 
C12
33
P( X  2) 

C82 14

C122 33

Bảng phân bố xác suất của X :

X

0

1

2

P

1
11

16
33

14
33

Định nghĩa: Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị x1 , x2 ,..., xn . Hàm
phân phối của biến ngẫu nhiên X là:

FX ( x)  P( X  x)   P( X  xi )
xi  x

Ví dụ: Một hộp có 10 viên bi, trong đó có 4 bi trắng và 6 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ
trong hộp 2 viên bi. Gọi X là số viên bi đỏ được lấy ra. Tìm phân phối của X , xác định
hàm phân phối và tính xác suất P (1  X  3) .
6

Giải:
Ta có X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị 0, 1, 2 với các xác suất tương
ứng:

C42 2
P( X  0)  2 
C10 15

C41C61 8
P( X  1)  2 
C10 15
P( X  2) 

C62 1

C102 3

Bảng phân phối xác suất của X :

X

0

1

2

P

2
15

8
15

1
3

Hàm phân phối:

FX ( x)  P( X  x)   P( X  xi )
xi  x

x0
0,
x0
0,
2

 , 0  x 1
 2 , 0  x 1
15
15
FX ( x)   2 8
FX ( x)  
15  15 , 1  x  2
2 , 1 x  2


3
 2  8  1,
1,
x2
x2

15 15 3
Ta có:

P(1  X  3)  P( X  1)  P( X  2) 

8 1 13
 
15 3 15

Định nghĩa: Kì vọng tốn của một biến ngẫu nhiên X , kí hiệu E ( X ) , là một số
được xác định như sau:
- Nếu X có phân phối rời rạc với phân phối xác suất P( X  xi )  pi , i  1,2,... thì
n

E ( X )   xi pi
i 1

7


- Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f ( x ) thì


E( X ) 

 xf ( x)dx



Tính chất:
(i) E (c)  c với c là hằng số.
(ii) E (cX )  cE ( x) với c là hằng số.
(iii) E ( X  Y )  E ( X )  E (Y ) với mọi biến ngẫu nhiên X , Y .
(iv) E ( XY )  E ( X ).E (Y ) nếu X , Y độc lập.
Nhận xét:
(i) Kì vọng của biến ngẫu nhiên thể hiện giá trị trung bình của biến ngẫu
nhiên đó, tức là khi thực hiện một số lớn lần các phép thử thì giá trị trung bình thu được
của các kết quả sẽ xấp xỉ với kì vọng.
(ii) Nếu g ( x) là hàm liên tục thì g ( X ) cũng là biến ngẫu nhiên và kì vọng
của nó được tính là:




Eg ( X )   g ( xi ) pi nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc.
i 1





Eg ( X ) 

 g ( x) f

X

( x)dx nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm



mật độ f ( x ) .
Ví dụ 1: Trong hộp bút có 7 bút xanh và 3 bút đỏ. Một sinh viên rút ngẫu nhiên 2
bút để mua. Giá bút xanh và đỏ lần lượt là 2000 và 3000 đồng. Tìm số tiền trung bình
sinh viên này phải trả.
Giải:
Gọi X (ngàn đồng) là số tiền sinh viên này phải trả.

P( X  4) 

C72 7

C102 15

C71C31 7
P( X  5)  2 
C10 15
P( X  6) 

C32 1

C102 15

Bảng phân phối xác suất của X

8


X

0

1

2

p

7
15

7
15

1
15

Số tiền trung bình phải trả:
3

E ( X )   pi xi 
i 1

7
7

1
 4   5   6  4,6 (ngàn đồng)
15
15
15

Ví dụ 2: Thời gian xếp hàng chờ mua hàng của khách hàng là 1 biến ngẫu nhiên

X (phút) có hàm mật độ:
ax3 , x  [0;3]
f ( x)  
x  [0;3]
0,
Tìm a và tính thời gian chờ trung bình của khách hàng.
Giải:
Theo tính chất của hàm mật độ:






3

f ( x)dx  1   at 3dt  1 
0

81a
4
1 a 

4
81

Thời gian chờ trung bình của khách hàng:


E( X ) 

3

4

 xf ( x)dx   x. 81 x dx  2,4 (phút)



3

0

Định nghĩa: Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X , kí hiệu Var ( X ) hay D( X )
, được định nghĩa bằng công thức:
D( X )  E[( X  E ( X ))2 ]

- Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị có thể x1 , x2 ,..., xn với các xác
suất tương ứng p1 , p2 ,..., pn thì
n

D( X )  [ xi  E ( X )]2 pi
i 1

- Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f ( x ) thì:


D( X )   [x  E ( X )]2 f ( x)dx


* Giá trị  ( X )  D( X ) được gọi là độ lệch chuẩn.
Tính chất:
9


(i) D(c)  0 với c là hằng số.
(ii) D(cX )  c 2 D( X ) với c là hằng số.
(iii) D( X )  E ( X 2 )  ( E ( X ))2
(iv) D( X  Y )  D( X )  D(Y ) với X , Y độc lập.
Nhận xét: Ta thường tính phương sai bằng công thức:
D( X )  E ( X 2 )  ( E ( X ))2 ,

trong đó:

 pi xi ,

E ( X 2 )   2
  x f ( x)dx,


nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc
nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục

Ý nghĩa:
- Phương sai cũng như độ lệch chuẩn là đại lượng đặc trưng cho mức độ tập trung
của các giá trị của biến ngẫu nhiên X quanh kì vọng E ( X ) . Phương sai càng nhỏ thì
các giá trị khuếch tán càng gần với kì vọng hơn.
- Trong kĩ thuật phương sai đặc trưng cho sai số của các thiết bị hoặc của các phép
đo. Trong quản lí kinh doanh, nó đặc trưng cho mức độ rủi ro của các quyết định.
Ví dụ 1: Cho biến ngẫu nhiên X rời rạc có bảng phân phối xác suất như sau:

X

1

2

3

p

0,3

0,5

0,2

Tính phương sai của X .
Giải:
Ta có:
E ( X )  1 0,3  2  0,5  3  0,2  1,9
E ( X 2 )  12  0,3  22  0,5  32  0,2  4,1

Do đó: D( X )  4,1  1,92  0,49
Ví dụ 2: Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ

3 2
 x , x  (0;2)
f ( x)   8
0,
x  (0;2)
Tính phương sai của X .
Giải:
10


Ta có:


E( X ) 

2

3

3

 xf ( x)dx   x. 8 x dx  2



0



x

E( X ) 
2

2

2

2



3
12
f ( x)dx   x 2 . x 2 dx 
8
5
0
2

12  3 
3
D( X )  E ( X )  ( E ( X ))     
5  2  20
2

2

Hàm đặc trưng của một biến ngẫu nhiên X là hàm
công thức:
X

E (e isX )

(s )

x

:

X

được cho bởi

e isx dPX

Tính chất:
(i)

X

(0)

1.

(ii)

X

(s)

1 với mọi s

(iii) Nếu Y
(iv)

X

aX

.

b với a, b là các hằng số, thì

liên tục đều trên

Y

(s )

e

1bs
X

(as ) .

.

Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối nhị thức với tham số n
và p , kí hiệu X

B(n, p ) nếu X nhận các giá trị {0,1,2,..., n} với xác suất:

P( X  k )  pn (k )  Cnk p k (1  p) nk , k  0, n
Tính chất:
(i) Nếu X

B(n, p ) thì E ( X )  np, D( X )  np(1  p) .

(ii) Nếu các biến ngẫu nhiên X i , i  1, n độc lập và X i

X  X1  ...  X n

Ber ( p) thì

B(n, p)

Ví dụ: Tỉ lệ phế phẩm trong lô sản phẩm là 3% . Lấy ngẫu nhiên 100 sản phẩm để
kiểm tra. Tìm xác suất để trong đó:
a) Có 3 phế phẩm.
b) Có khơng quá 3 phế phẩm.
11


Giải:
Ta thấy rằng, mỗi lần kiểm tra một sản phẩm là một phép thử. Như thế, ta có

n  100 phép thử.

Gọi A là biến cố sản phẩm lấy ra là phế phẩm. Ta có p  p ( A)  0,03 .
Gọi X là số phế phẩm trong 100 sản phẩm thì X

B(100;0,03) .

3
a) P( X  3)  C100
(0,03)3 .(0,97)1003  0,2274 .

b) P(0  X  3)  P0  P1  P2  P3
0
1
2
3
=C100
(0,03)0 .0,97100 +C100
(0,03)1.0,971001 +C100
(0,03) 2 .0,971002  C100
(0,03)3 .0,971003

=0,647
Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn với tham số  và

 2 , kí hiệu X

N (  , 2 ) nếu hàm mật độ của nó có dạng:

1

f ( x) 
e
 2

( x   )2
2 2

,x

- Đồ thị của hàm mật độ của phân bố chuẩn có hình cái chng. Trục đối xứng của
chng chính là đường thẳng x   , và độ cao của chng chính bằng

1
. Nếu 
 2

càng nhỏ thì chng càng cao và càng hẹp, và ngược lại nếu  càng lớn thì chng
càng thấp và càng bè ra.

12


- Khi   0,  1 ta nói X có phân phối chuẩn tắc N (0;1) . Khi đó, hàm mật độ và
hàm phân phối của X tương ứng là:

1 2x
 ( x) 
e ,x
2
2

1
 ( x) 
2

x

e

t 2
2

dt , x 



Nhận xét:
(i) Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc thường được kí hiệu là Z .
(ii)  ( x)  1  ( x), x 
t
1
1
e 2 dt - hàm Laplace.
(iii) ( x)    0 ( x) , trong đó  0 ( x) 

2
2 0
x

2

(iv) Giá trị tới hạn mức  của phân phối chuẩn tắc được kí hiệu z , tức là:

P(Z  z )   hay z   1 (1   )
Tính chất:
(i) Nếu X

N (  , 2 ) thì E ( X )   , D( X )   2 .

(ii) Nếu X

N (  , 2 ) thì Y  aX  b

N (a  b, a 2 2 ), a  0 .

(iii) Nếu X1 ,..., X n là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn

Xi

N ( i , i2 ), i  1, n thì biến ngẫu nhiên
n

X  1 X 1  ...  n X n  C ,  i2  0 ,
i 1

cũng có phân phối chuẩn với
n
n




E
(
X
)

E
(

X

C
)

i i  C ,


i i
 X

i 1
i 1

n
n
 2  D( X )  D(  X  C )   2 2


i i
i

i
 X
i 1
i 1

Hệ quả: Nếu X



N (  , 2 ) thì

X 



N (0;1) . Khi đó,

 X  a 
a 
P( X  a)  P 

  

 
 
  
a X  b 
b 
a
P ( a  X  b)  P 



  
  


 
 
  
  

13


1
trong đó ( x) 
2

x

e

t 2
2

dt - hàm phân phối của phân phối chuẩn tắc.



Ví dụ: Giả sử số đo chiều dài của một sợi dây kim loại do một máy tự động cắt ra

là một biến ngẫu nhiên chuẩn với   10mm, 2  4mm2 .
a) Tính xác suất lấy ra được một sợi dây có chiều dài lớn hơn 13mm .
b) Chọn ngẫu nhiên 10 sợi dây loại này. Tính xác suất có đúng 3 sợi có chiều dài
từ 8,5mm đến 12,5mm .
Giải:
Gọi X là số đo chiều dài sợi dây kim loại. Khi đó: X

N (10,22 ) .

a) Xác suất lấy ra được một sợi dây có chiều dài lớn hơn 13mm là:
 13  10 
P ( X  13)  1  P( X  13)  1   
  0,067
 2 

b) Đây chính là mơ hình Bernoulli với n  10 và p  P(8,5  X  12,5) .
Ta có:
 12,5  10 
 8,5  10 
p  P(8,5  X  12,5)   
  
  0,688
2


 2 

Xác suất cần tìm là:
p10 (3)  C103 .0,6883 (1  0,688)7  0,011

Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Gamma với các tham
số  và  , kí hiệu X   ( ,  ) , nếu hàm mật độ xác suất có dạng:

  e  x ( x) 1
; x0

f ( x)  
( )

0
; x0

Tính chất:
(i) Nếu X   ( ,  ) thì E ( X ) 



và D( X )  2 .



(ii) Nếu X   ( ,  ) và Y   (  ,  ) thì X  Y   (   ,  ) .
Định nghĩa: Giả sử X i (i  1,2,..., n) là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập cùng có
phân phối chuẩn hóa.
14


n

Đại lượng ngẫu nhiên  2   X i2 được gọi là có phân phối Chi - bình phương với

i 1

n bậc tự do. Kí hiệu X

 n2 .

- Hàm mật độ xác suất của  2 có dạng:
n
x
1

1
2
x e 2 , x0
 n

n
f ( x)   2 2   
2

0,
x0



trong đó hàm gamma: (a) 

x

a 1  x

e dx, a  0 .

0

- Giá trị tới hạn mức  của phân phối  n2 được kí hiệu  n2; .

Tính chất: Nếu X

 n2 thì E ( X )  n và D( X )  2n .

Định lí: Nếu {X n , n  1} là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối xác suất
với biến X có kì vọng E ( X )   và phương sai D( X )   2 hữu hạn, thì:

 S  n

lim P  n
 x   ( x) ,
n
  n

trong đó Sn  X1  X 2  ...  X n .
Ứng dụng: Nếu {X n , n  1} là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối xác
suất với biến X có kì vọng E ( X )   và phương sai D( X )   2 hữu hạn, thì khi n lớn

Sn  X1  X 2  ...  X n có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn N (n , n 2 ) .

15

Ví dụ: Tuổi thọ của một loại bóng đèn là một biến ngẫu nhiên X có E ( X )  250h
và độ lệch chuẩn  ( X )  50h .
a) Một cửa hàng mua 30 bóng đèn để khi hỏng có thể thay thế. Tính xấp xỉ xác
suất cửa hàng có thể duy trì ánh sáng liên tục ít nhất 8750h .
b) Chủ cửa hàng phải mua dự trữ ít nhất bao nhiêu bóng đèn để duy trì ánh sáng
liên tục ít nhất 8750h với xác suất lớn hơn 0,9772 . Cho biết  (2)  0,9772 .
Giải:
a) Gọi X i là tuổi thọ của bóng đèn thứ i, i  1 . Ta có các biến ngẫu nhiên X i độc
lập và có cùng phân phối với X . Do đó, áp dụng định lí giới hạn trung tâm:

T  X1  X 2  ...  X 30
có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn N (30  250;30  502 )  N (7500;75000) .
Xác suất cần tìm:

 8750  7500 
P(T  8750)  1  P(T  8750)  1   
0
75000 

b) Gọi n là số bóng đèn cần mua dự trữ. Tương tự, áp dụng định lí giới hạn trung
tâm:

Tn  X1  X 2  ...  X n
có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn N (250n;502 n) .
Từ giả thiết, ta có:

P(Tn  8750)  0,9772
 1  P(Tn  8750)  0,9772
 8750  250n 
 1 

  0,9772
 50 n

 8750  250n 
  
  (2)
50 n





8750  250n
2
50 n

 250n  100 n  8750  0

 n  37,44
Vậy n  38 .
16


Định nghĩa: Cho {k1 , k2 ,..., kn } là mẫu ngẫu nhiên kích thước n của phân phối rời
rạc X có hàm xác suất p ( k , ) với  là tham số chưa biết. Hàm hợp lí L( ) là hàm
được định nghĩa như sau:
n

L( )   p( ki , )
i 1

Nhận xét: Hàm hợp lí L( ) chính là xác suất đồng thời của mẫu ngẫu nhiên.
Định nghĩa: Cho hàm hợp lí L( ) với tham số  chưa biết. Nếu  ML là giá trị
tham số thỏa mãn L( ML )  L( ) với mọi  thì  ML được gọi là ước lượng hợp lí cực
đại của tham số  .
Nhận xét:
(i) Trong thực hành để tìm ước lượng hợp lí cực đại ta giải phương trình:
L( )  0 hoặc  ln( L( ))   0

(ii) Trường hợp  là một vectơ các tham số, tức là   1 , 2 ,..., m  , để tìm
hợp lí cực đại ta giải hệ phương trình sau:

  ln L( )
 L( )

 0,
0,
 
 
1
1


hoặc ...
...
 L( )
  ln L( )


 0.

 0.
  m
  m

Cho X là biến ngẫu nhiên khơng âm. Khi đó, với a  0 ta có:

P( X  a) 

E( X )
a

Cho biến ngẫu nhiên X . Khi đó, với mọi số thực a :

P( X  a)  inf eta .E (etX )
t 0

P( X  a)  inf eta .E (etX )
t 0

17


Chương II: Tính chất của phân phối Poisson
Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson với tham số

  0 , kí hiệu X

Pois ( ) nếu X nhận giá trị trong tập

 {0, 1, 2, 3,...} với xác

suất:

P( X  k ) 

 k e 
k!

, k  0,1,2,...

Ví dụ: Một gara cho thuê ô tô thấy rằng số đơn đặt hàng thuê ô tơ vào ngày thứ 7
là một biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số   2 . Giả sử gara có 4 chiếc
ơ tơ. Tìm xác suất để:
a) Có đúng 2 ơ tơ được th.
b) Tất cả 4 ô tô đều được thuê.
c) Gara không đáp ứng được yêu cầu.
Giải:
Gọi X là số đơn đặt hàng ô tơ vào ngày thứ 7. Theo đề ta có: X

Pois (  2) .

22
 2e 2  0,271 .
a) P( X  2)  e
2!
2

b)

P( X  4)  1  P( X  4)  1  [ P( X  0)  P( X  1)  P( X  2)  P( X  3)]

 20 21 22 23 
19
 1  e2       1  e2  0,143
3
 0! 1! 2! 3! 
c)

P( X  4)  1  P( X  4)  1  [ P( X  0)  P( X  1)  P( X  2)  P( X  3)  P( X  4)]
 20 21 22 23 24 
 1  e        1  7e2  0,053
 0! 1! 2! 3! 4! 
2

Kì vọng:
Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số  . Khi đó, kì vọng
của X là:
E( X )  

18


Chứng minh:
 {0, 1, 2, 3,...} nên

Vì X là biến ngẫu nhiên rời rạc và nhận giá trị trong tập
ta có:


 k e

k 0

k!



E ( X )   k .P( X  k )   k .
k 0

 e





 k 1

 (k  1)!  e  e  


(đpcm)

k 1

Phương sai:
Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số  . Khi đó, phương
sai của X là:
D( X )  

Chứng minh:

Ta có:
D( X )  E ( X 2 )  ( E ( X ))2

Mà
E ( X 2 )  E ( X ( X  1)  X )  E ( X ( X  1))  E ( X )

Do đó
D( X )  E ( X ( X  1))  E ( X )  ( E ( X ))2

Ta đã chứng minh được E ( X )   . Bây giờ ta chỉ cần tính E ( X ( X  1)) .


E ( X ( X  1))   k (k  1) p(k )
k 0

  k ( k  1)

e  k
k!

  k ( k  1)

e  k
e  k 
e  k
  k ( k  1)
  k ( k  1)
k!
k!
k!

k 1
k 2



k 0

k 0

2 

 e

 k 2



 (k  2)!
k 2

2  

  e e  2
Do đó:

D( X )  E ( X ( X  1))  E ( X )  ( E ( X )) 2   2     2   (đpcm)

Cho X i ( i  1,2,..., n ) là các biến ngẫu nhiên độc lập. Khi đó, nếu X i

Pois(i )

thì
n

X
i 1

i

 n 
Pois   i  , i  1,2,..., n .
 i 1 
19


Chứng minh:
- Với n  1, hiển nhiên đúng.
- Với n  2 :
Giả sử X1 , X 2 là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân với Poisson với tham số lần
lượt là 1 , 2 .
Ta cần chứng minh: X1  X 2

Pois(1  2 ) .

Ta có:
k

P( X 1  X 2  k )   P( X 1  k1 , X 2  k  k1 )
k1 0

k

  P( X 1  k1 ) P( X 2  k  k1 ) (Vì X1 , X 2 độc lập)
k1 0

e 1 1k1 e 2 2k k1

.
k1 ! (k  k1 )!
k1 0
k

e ( 1 2 )
k!

.
.1k1 2k k1
k ! k1 !(k  k1 )!
k1 0
k



e ( 1 2 ) k k1 k1 k k1
 Ck 1 2
k ! k1 0



e ( 1 2 )

(1  2 )k
k!

Suy ra

X1  X 2

Pois(1  2 )

- Với n  3 ,
Giả sử X1 , X 2 , X 3 là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối Poisson với tham
số lần lượt là 1 , 2 , 3 .
Sử dụng kết quả ở trường hợp n  2 , ta có:

Pois(1  2 ) và X 3

X1  X 2
Do đó: X1  X 2  X 3

Pois(1  2  3 )

- Hồn tồn tương tự, nếu X i
n

lập thì

 Xi
i 1

Pois(3 )

Pois(i ) , i  1,2,..., n và các biến ngẫu nhiên X i độc

 n 
Pois   i  .
 i 1 
20