(SKKN 2022) hướng dẫn cách giải quyết bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối cho học sinh ôn thi học sinh giỏi và ôn thi tốt nghiệp THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LÊ LỢI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI:
HƯỚNG DẪN CÁCH GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ
LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ CHỨA
DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CHO HỌC SINH ÔN THI
HỌC SINH GIỎI VÀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

Người thực hiện:
Đỗ Thị Thủy
Chức vụ:
Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn

THANH
MỤCHĨA
LỤCNĂM 2022

1

1


MỤC LỤC
Nội dung

Trang

1. MỞ ĐẦU …….........................................................................................
1.1. Lý do chọn đề tài …………………………………………………..
1.2. Mục đích nghiên cứu ………………………………………………
1.3. Đối tượng nghiên cứu ……………………………………………..
1.4. Phương pháp nghiên cứu ………………………………………….
1.5. Những điểm mới của SKKN ………………………………………

2
2
2
2
2
3

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM .........................................
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm .........................................
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm .........
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề ................................
2.3.1. Đặt vấn đề ……........................................................................
2.3.2. Cơ sở lý thuyết ……………………………………………….
2.3.3. Bài tốn và một số ví dụ minh họa ………………..................
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường...........................................

3
3
3
4
4

4
5

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ .....................................................................
- Tài liệu tham khảo ...............................................................................
- Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được Hội đồng Cấp Sở
GD&ĐT và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C trở lên ………...

2

21
22
24
25

2


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài :
Bài toán chứa dấu trị tuyệt đối là một trong những mảng kiến thức quan
trọng của chương trình tốn trung học phổ thơng. Nó ln là thách thức khơng chỉ
đối với học sinh, mà còn đối với cả giáo viên. Các bài toán chứa dấu trị tuyệt đối
cũng là một chủ đề thường xuyên được quan tâm trong các kì thi Olympic quốc gia
và quốc tế, trong đề thi học sinh giỏi và trong đề thi Tốt nghiệp trung học phổ
thông quốc gia những năm gần đây của Bộ giáo dục và đâị tạo cũng đã xuất hiện
các dạng tốn mới về trị tuyệt đối như: tìm số cực trị của hàm chứa dấu trị tuyệt
đối, tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số chứa dấu trị tuyệt đối, bài toán tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm chứa dấu trị tuyệt đối...
Đó chính là một trong những lí do khiến tơi chọn đề tài "Hướng dẫn cách

giải quyết bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá
trị tuyệt đối cho học sinh ôn thi học sinh giỏi và ôn thi Tốt nghiệp THPT " với
mục đích trình bày phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm chứa
dấu trị tuyệt đối, cùng một số dạng tốn và bài tập tự luyện liên quan.
1.2. Mục đích nghiên cứu :
Việc tôi lựa chọn đề tài "Hướng dẫn cách giải quyết bài toán về giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối cho học sinh ôn thi
học sinh giỏi và ôn thi Tốt nghiệp THPT " nhằm mục đích giúp giáo viên và học
sinh có cách nhìn tổng qt hơn về bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số chứa dấu trị tuyệt đối. Và giáo viên có thêm tài liệu tham khảo phục vụ
việc ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi, các em học sinh có thêm tài liệu để chinh
phục điểm 9, 10 trong đề thi Tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia.
1.3. Đối tượng nghiên cứu :
Đối tượng nghiên cứu là bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm
số chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Đối tượng mà tôi hướng đến là học sinh đang ôn thi học sinh giỏi và học sinh
lớp 12 đang ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông.
3

3


1.4. Phương pháp nghiên cứu :
Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau :
1.4.1. Nghiên cứu tài liệu :
- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục,… có liên quan đến nội dung đề tài.
- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo.
2. Nghiên cứu thực tế :
- Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp nội dung về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

- Tổng hợp kiến thức, kiểm nghiệm qua thực tế dạy học.
- Tập hợp những vấn đề nảy sinh, những băn khoăn, lúng túng của học sinh trong
q trình giải quyết bài tốn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu
giá trị tuyệt đối. Từ đó đề xuất phương án giải quyết, tổng kết thành bài học kinh
nghiệm.
1.5. Những điểm mới của SKKN :
Đề tài tập trung hướng dẫn học sinh ôn thi học sinh giỏi và học sinh ôn thi tốt
nghiệp THPT biết cách giải quyết bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. Đề tài cũng chú ý rèn luyện cho học sinh kỹ
năng quan sát, phán đoán hướng làm và tư duy sáng tạo để giải quyết bài toán.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm :
Để thực hiện tốt Chương trình mơn Tốn trong Chương trình GDPT 2018
theo hướng phát triển phẩm chất, năng lực học sinh đòi hỏi cả giáo viên và học
sinh đều phải nỗ lực hết sức. Từ đó hình thành và phát triển năng lực toán học bao
gồm các năng lực tư duy và lập luận tốn học, năng lực mơ hình hố toán học,
năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực giao tiếp tốn học, năng lực sử dụng
cơng cụ, phương tiện học tốn. Góp phần hình thành và phát triển ở học sinh các
phẩm chất chủ yếu và năng lực chung theo với các mức độ phù hợp với môn học.
Nhằm phục vụ cho lý luận này tôi dựa theo lý luận rằng : bồi dưỡng cho học sinh
những kiến thức cơ bản nhất của vấn đề rồi sau đó mới tạo cho học sinh khả năng
tự học và độc lập trong suy nghĩ, từ đó học sinh có thể tự mình giải quyết các dạng
4

4


bài tập theo chun đề. Có như thế thì học sinh mới dễ dàng làm tốt bài thi trong
kỳ thi chọn học sinh giỏi và kỳ thi tốt nghiệp THPT.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm :

Dạng toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị
tuyệt đối là dạng tốn tương đối khó, địi hỏi học sinh phải có tư duy linh hoạt, óc
phán đốn tìm ra cách giải quyết hợp lý nhất. Các bài tập liên quan đến chúng
nhiều, phong phú và đa dạng, học sinh các trường THPT nói chung và trường
THPT Lê Lợi nói riêng cịn gặp nhiều lúng túng. Sáng kiến kinh nghiệm của tôi
giúp học sinh biết cách giải quyết bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm chứa dấu trị tuyệt đối.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề :
2.3.1. Đặt vấn đề :
Trong q trình ơn thi học sinh giỏi và ôn thi tốt nghiệp THPT phần giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất nói chung và phần giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm
chứa dấu trị tuyệt đối nói riêng, học sinh chỉ mới giải quyết được một số bài tốn ở
mức độ đơn giản cịn khi gặp một số bài toán yêu cầu cao hơn ở mức độ vận dụng
đa số các em chưa đưa ra được hướng giải quyết ngay, hoặc có em đưa ra được
hướng giải quyết thì giải quyết chậm và chưa triệt để bài tốn.
Vì thế trong thực tiễn giảng dạy và ôn thi học sinh giỏi cũng như ôn thi tốt
nghiệp THPT, tơi tổng hợp cách giải quyết bài tốn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối trong đề thi nhằm giúp học sinh tự tin hơn khi
gặp dạng toán này và đạt kết quả cao trong kỳ thi học sinh giỏi và kỳ thi tốt nghiệp
THPT sắp tới.
2.3.2. Cơ sở lý thuyết :
1. Định nghĩa giá trị lớn nhất- giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D
Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số

f ( x) ≤ M

5

với mọi x thuộc D và tồn tại

x0 ∈ D

sao cho

y = f ( x)

f ( x0 ) = M

trên tập D nếu

5


M = max f ( x )
D

Kí hiệu

Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số

f ( x) ≥ m

với mọi x thuộc D và tồn tại

x0 ∈ D

sao cho

y = f ( x)

f ( x0 ) = m

trên tập D nếu

.

m = min f ( x )
D

Kí hiệu

.

y = f ( x)

b) Cho hàm số
Số

M

xác định trên tập

D

y = f ( x)

là giá trị lớn nhất của hàm số

trên

D

∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = M
⇔
 M ≥ f ( x ) , ∀x ∈ D

M = Max f ( x )
D

Kí hiệu:
Số

m

.

y = f ( x)

là giá trị nhỏ nhất của hàm số

trên

D

∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = m
⇔
 m ≤ f ( x ) , ∀x ∈ D

m = M in f ( x )

Kí hiệu:
2. Một số tính chất
Max { a;b} =

a)

D

.

.

.

a +b+ a−b
2

Chứng minh:
Với

a ≥ b ⇒ Max { a;b} = a

a +b+ a−b

. Khi đó

a ≤ b ⇒ Max { a;b} = b

2

b)

a +b +a −b
=a
2

a +b+ a −b a +b−a+b
=
=b
2
2

Với
. Khi đó
Từ (1) và (2), suy ra điều phải chứng minh.
Min { a;b} =

=

.
.

(1)
(2)

a +b − a −b
2

.

Chứng minh tương tự 2.1.

c) Bất đẳng thức trị tuyệt đối
6

6


a + b ≥ a +b

. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

ab ≥ 0.

a1 + a2 + a3 + ... + an ≥ a1 + a2 + a3 + ... + an

.
a1 ; a2 ; a3 ;...; an

Dấu bằng xấy ra khi và chỉ khi
2.3.3. Bài toán và một số ví dụ minh họa :

cùng dấu hoặc cùng bằng

y = f ( x)

1. Bài toán: Cho hàm số

liên tục trên đoạn

y = f ( x)

[ a; b]

[ a; b ]

. Tìm giá trị lớn nhất,

giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
.
Cách giải
Để giải bài tốn này có rất nhiều cách. Nếu hàm số không chứa tham số thì
chúng ta có thể vẽ đồ thị của hàm số

[ a; b ]

[ a; b]

hoặc lập bảng biến thiên của hàm số

[ a; b]

trên đoạn
rồi từ đó tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
.
Trong bài này chúng ta đưa ra giải pháp cho bài toán chứa tham số nên giải
bài toán theo cách sau:
Bước 1. Tìm max, min của hàm số

f ( x)

trên đoạn

[ a; b]

.

M = Max f ( x ) ; m = Min f ( x )
[ a;b]

Giả sử
Bước 2. Khi đó:

[ a;b ]

.

Maxy = max { M ; m }

+)

[ a ;b ]

.

Miny

+)

[ a ;b ]

phụ thuộc vào dấu của M và m
Nếu
Nếu
Nếu

m≥0
M ≤0

Miny = m

thì

[ a ; b]

.

Miny = − M

thì

m<0
[ a ;b ]

.
x0

thì khi đó tồn tại sao cho

khi m ≥ 0
m

Miny =  − M khi M ≤ 0
.


0
 a;b 
khi m < 0 < M




f ( x0 ) = 0

Miny = 0

. Suy ra

[ a ;b ]

.

Tóm lại
2. Một số ví dụ minh họa
7

7

Ví dụ 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số
y = x − 2x + m
2

trên đoạn

[ −1; 2]

m

sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

bằng 5?

Hàm số trong dấu giá trị tuyệt đối là hàm bậc hai nên có thể sử dụng tính
chất đồ thị hàm bậc hai đã học lớp 10. Tìm hồnh độ đỉnh của đồ thị là x=1 ta
thấy

1∈ [ −1; 2]

nên để tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn

trị hàm số tại
Giải

[ −1; 2]

x = −1; x = 1; x = 2.

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn
Xét hàm số

f ( x ) = x2 − 2x + m

ta xét các giá

[ −1; 2]

là hàm số liên tục trên

[ −1; 2]

f ( 1) = m − 1, f ( −1) = m + 3, f ( 2 ) = m

ta có:
.
Đến đây tùy theo giá trị tham số ta xét tìm giá trị lớn nhất hàm số.
Nếu
Nếu
Nếu

m −1 ≥ 0 ⇔ m ≥ 1
m ≤ −3

thì:

[ −1;2]

(thỏa mãn).

max y = 1 − m = 5 ⇔ m = −4

thì:

−3 < m < 1

Vậy với

max y = m + 3 = 5 ⇔ m = 2

m=2

[ −1;2]

thì:

(thỏa mãn).

 m < −1, m = −4
max y = max { m + 3,1 − m} = 5 ⇔ 
[ −1;2]
 m ≥ −1, m = 2 ⇒ m = 2

thì hàm số đã cho có giá trị lớn nhất trên đoạn

Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số
y = x + 2x + m − 4
2

trên đoạn

[ −2;1]

m

[ −1; 2]

.

bằng 5.

để giá trị lớn nhất của hàm số

4

bằng ?

Có thể giải ví dụ 2 tương tự ví dụ 1, ngồi ra chúng ta sử dụng cách tìm giá
trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn đã học chương I- giải tích 12.
Giải
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn
f ( x ) = x2 + 2x + m − 4

có

f ′ ( x ) = 2x + 2

,

[ −2;1]

f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = −1

f ( −2 ) = m − 4; f ( −1) = m − 5; f ( 1) = m − 1

.

max x 2 + 2 x + m − 4 = max { m − 1 ; m − 4 ; m − 5 }

Do đó
8

[ −2;1]

.
8


Ta thấy

m − 5 < m − 4 < m −1

với mọi

m∈¡

max y

, suy ra

[ −2;1]

m−5

chỉ có thể là

m −1

hoặc

.
max y = m − 5

Nếu

[ −2;1]

thì

max y = m − 1

Nếu
Vậy

[ −2;1]

m ∈ { 1; 5}

thì

 m − 5 = 4

 m − 5 ≥ m − 1 ⇔ m = 1
 m − 1 = 4

 m − 1 ≥ m − 5 ⇔ m = 5

.

.

.
y = x2 + 2 x + m − 4

Ví dụ 3. Cho hàm số
nhất của hàm số trên đoạn

[ −2;1]

(

m

là tham số ). Tìm

m

để giá trị lớn

đạt giá trị nhỏ nhất?
m

Sử dụng cách giải như ví dụ 1 hoặc ví dụ 2 thì tùy theo giá trị tham số ta
tìm giá trị lớn nhất của hàm số theo tham số m và sau đó tìm giá trị nhỏ nhất của
m.

giá trị lớn nhất hàm số tùy theo
Như vậy cách giải sẽ dài và việc kết hợp các
trường hợp dễ mắc sai lầm. Nếu ta áp dụng tính chất sau việc giải bài toán sẽ đơn
giản hơn nhiều.
Max { a ; b } ≥

a+b
2

a =b

Dấu bằng xảy ra khi

a + b ≥ a+b

.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

.
ab ≥ 0.

Giải

Cách 1: Theo ví dụ 2 ta có:
max y = max { m − 5 ; m − 1 } m −1 + m − 5
≥
x∈ −2;1
2
Áp dụng BĐT trị tuyệt đối ta có:
m −1 + m − 5 = m − 1 + 5 − m ≥ m −1 + 5 − m = 4

Đẳng thức xảy ra khi

 m − 1 = m − 5 = 2
⇔ m=3

( m − 1) ( 5 − m ) ≥ 0

max y

Do đó giá trị nhỏ nhất của
9

[ −2;1]

là

2

khi

m=3

.

.
9


Ta cũng có thể tìm giá trị lớn nhất của hàm số bằng cách đặt ẩn phụ đưa về
hàm số bậc nhất để dùng tính đơn điệu của hàm số bậc nhất.
Cách 2:
y = x 2 + 2 x + m − 4 = ( x + 1) + m − 5

( ∗)

2

Ta có:

t = ( x + 1) , x ∈ [ −2;1] ⇒ t ∈ [ 0; 4]
2

Đặt

Lúc đó hàm số trở thành:

max y = max f ( t ) = max

x∈ −2;1

t∈ 0;4

t∈ 0;4

.

f ( t) = t + m −5

với

t ∈ [ 0; 4]

= max { m − 5 ; m − 1 }

{ f (0); f (4)}

t∈ 0;4

≥

.
m −1 + m − 5
2

Nên
m −1 + m − 5 = m −1 + 5 − m ≥ m −1 + 5 − m = 4

Áp dụng BĐT trị tuyệt đối ta có:

Đẳng thức xảy ra khi



 m −1 = m − 5 = 2
⇔m=3


( m − 1) ( 5 − m ) ≥ 0

max y
[ −2;1]

.

m=3

2

Do đó giá trị nhỏ nhất của
là khi
.
Với hàm số trong dấu giá trị tuyệt đối là hàm bậc hai, có thể sử dụng cách
giải như các ví dụ trên: Tính chất đồ thị hàm số bậc hai, đặt ẩn phụ rồi sử dụng
tính đơn điệu của hàm bậc nhất hoặc cách tìm GTLN- GTNN của hàm số trên một
đoạn.
Tương tự ví dụ 3, có thể áp dụng đặt ẩn phụ đối các hàm số khác. Ta xét
hàm số chứa ẩn dưới dấu căn như sau:
y=

2 x − x 3 − 3m + 4

Ví dụ 4. Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số
đạt giá trị nhỏ

nhất?
Hàm số chứa ẩn dưới dấu căn học sinh không được xét trong chương trình,
bằng việc đặt ẩn phụ ta có thể đưa về hàm số đã học.
Giải
t = 2 x − x 2 ⇒ t = 1 − ( x − 1)

Đặt

2

do đó

0 ≤ t ≤1

y = t − 3m + 4

Khi đó hàm số được viết lại là
A = max t − 3m + 4 = max { −3m + 4 , 5 − 3m } ≥
[ 0;1]

với

t ∈ [ 0;1]

ta suy ra

−3m + 4 + 5 − 3m
2

Áp dụng BĐT trị tuyệt đối ta có:

−3m + 4 + 5 − 3m = 3m − 4 + 5 − 3m ≥ 3m − 4 + 5 − 3m ≥ 1

10

10


A≥

Do đó

1
2

. Đẳng thức xảy ra

 −3m + 4 = 5 − 3m
3
⇔m= .

2
( −3m + 4 ) ( 5 − 3m ) ≥ 0

max y
D

1
2

m=

3
2

Giá trị nhỏ nhất của
là khi
.
Tuy nhiên có những bài tốn khơng dễ dàng sử dụng đặt ẩn phụ được, vẫn
phải tùy theo giá trị tham số để tìm GTLN-NN. Chẳng hạn ví dụ sau:
y = x 2 + ax + b

Ví dụ 5. Cho hàm số
đoạn

[ −1;3]

. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên

. Khi M đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị biểu thức
f ( x ) = x + ax + b

a + 2b

?

2

Hàm số
a

đồ thị là parabol có hồnh độ đỉnh cịn phụ thuộc

tham số nên khơng giải được theo cách đặt ẩn phụ như ví dụ 3,4. Ta có thể giải
bài tốn bằng cách áp dụng các tính chất bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Giải
Đặt

f ( x ) = x 2 + ax + b

+) Trường hợp 1: Nếu
Khi đó:
M≥

f ' ( x ) = 0 ⇔ 2x + a = 0 ⇔ x = −

.

 a
 − 2 < −1  a > 2
a
− ∉ [ −1;3] ⇔ 
⇔
2
 a < −6
− a > 3
 2

.

.

M = max { f ( −1) , f ( 3) } = max { 1 − a + b , 9 + 3a + b }

1 − a + b + 9 + 3a + b

Nên

a
2

2

=

−1 + a − b + 9 + 3a + b
2

≥

4a + 8
2

⇒ M ≥ 2a + 4 = 2 a + 2 > 4

.
+) Trường hợp 2: Nếu

Khi đó:

a

a
− ∈ [ −1;3] ⇔ −1 ≤ − ≤ 3 ⇔ −6 ≤ a ≤ 2
2
2

.



a2
 a
M = max  f ( −1) , f ( 3) , f  − ÷  = max  1 − a + b , 9 + 3a + b , b −
4
 2



Ta có:
11

(1).





 M ≥ 1 − a + b
⇒ 2M ≥ 1 − a + b + 9 + 3a + b ≥ 10 + 2a + 2b

 M ≥ 9 + 3a + b

11


M ≥ a+b+5

Hay

. Từ đó suy ra:


a2

M ≥ max  a + b + 5 , b −
4



2

1 a 
 1 a2
+ a + 5 =  + 1÷ + 4 ≥ 2
≥
2 2 

 2 4

min M = 2

+) Từ (1) và (2), suy ra

a + 2b = −4.

. Dấu "=" xảy ra

.

(2).

a
 2 = −1

a+b+5 = 2
 2
 a = −2
a
⇔  −b = 2 ⇔ 
b = −1
 4
1− a + b = 2

 9 + 3a + b = 2


.

Vậy
Đối với các hàm số có hàm số trong dấu giá trị tuyệt đối là hàm bậc ba, bậc
bốn chúng ta áp dụng cách giải tương tự.

y = x 4 − 2 x3 + x 2 + m

max y = 3
[ -1;2]

m

Ví dụ 6. Cho hàm số
. Tìm sao cho
?
Sử dụng cách tìm GTLN-GTNN của hàm số không chứa dấu giá trị tuyệt đối
trên đoạn rồi sau đó áp dụng theo bài tốn 1.
Giải
+) Đặt

f ( x ) = x 4 − 2x3 + x 2 + m

min f ( x )

max f ( x )

. Tìm

[ −1;2]

và

[ −1;2]

.


 x = 0 ∈ ( −1;2 )
x
=
0


f ' ( x ) = 0 ⇔ 4 x3 − 6 x2 + 2 x = 0 ⇔  2
⇔  x = 1∈ ( −1;2 )

 2 x − 3x + 1 = 0
 x = 1 ∈ ( −1;2 )

2

.


1 
M = max f ( x ) = max  f ( −1) ; f ( 2 ) ; f ( 0 ) ; f ( 1) ; f  ÷


 2 

 −1;2 



= max  m + 4; m; m +



1
= m+4
16 


 1 
m = min f ( x ) = min  f ( −1) ; f ( 2 ) ; f ( 0 ) ; f ( 1) ; f  ÷


 2 

 −1;2 




= min  m + 4; m; m +


12

1
=m
16 

.
12

Ta có:

Khi đó:





max x 4 − 2 x3 + x 2 + m = max { m + 4 , m }
−1;2

.

max x 4 − 2 x 3 + x 2 + m = 3 ⇔ max { m + 4 , m } = 3
-1;2





  m ≥ −2

  m + 4 ≥ m
   m = −1

   m = −7
  m + 4 = 3
 m = −1


⇔
⇔ 
⇔
  m ≤ −2
  m ≥ m + 4
 m = −3



   m = −3
  m = 3
 m = 3


Vậy với

 m = −1

 m = −3

thì





max y = 3.
-1;2 

Ví dụ 7. Tìm tất cả các giá trị của tham số

y = x3 − 3 x 2 − 9 x + m
trên đoạn
Giải
Xét hàm số

.

m

sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

[ −2; 4]

bằng

f ( x ) = x3 − 3x 2 − 9 x + m

16

.

[ −2; 4]

trên đoạn
.
 x = −1
f ′( x ) = 0 ⇔ 
2
f ′ ( x ) = 3x − 6 x − 9
x = 3

;
(thỏa mãn).
f ( −2 ) = −2 + m; f ( −1) = 5 + m; f ( 3 ) = −27 + m; f ( 4 ) = −20 + m

⇒ min f ( x ) = m − 27; max f ( x ) = m + 5




 −2;4 
 −2;4 




⇒ max f ( x ) = max { m − 27 ; m + 5 }


 −2;4 


Trường hợp 1: Nếu

m − 27 ≤ m + 5 ( *)

.

 m = 11
⇒ max f ( x ) = m + 5 ⇒ m + 5 = 16 ⇔ 



 m = −21
 −2;4 



13

.
13


Đối chiếu điều kiện
Trường hợp 1: Nếu

( *) ⇒ m = 11

m − 27 > m + 5 ( **)

.

 m = 43
⇒ max f ( x ) = m − 27 ⇒ m − 27 = 16 ⇔ 


 m = 11
 −2;4 



Vậy

m = 11

(Không thỏa mãn điều kiện
thỏa mãn điều kiện.
y = x 4 − 2 x3 + x 2 + m

Ví dụ 8. Cho hàm số
max y ≤ 100.


 -1;2 



. Có bao nhiêu số nguyên

m

( **)

).

sao cho

Giải




max x 4 − 2 x3 + x 2 + m = max { m + 4 ; m }
−1;2 

Tương tự ví dụ 6 ta có:
max x 4 − 2 x 3 + x 2 + m = max { m + 4 ; m } ≤ 100


 −1;2 


Khi đó
 m + 4 ≤ 100
−100 ≤ m + 4 ≤ 100
⇔ 
⇔
−100 ≤ m ≤ 100
 m ≤ 100
-104 ≤ m ≤ 96

⇔

 −100 ≤ m ≤ 100

Mà

m∈¢

m∈{ −100; −99; −98;...;95;96}

.
m

. Suy ra có 197 số ngun .
y = f ( x, m )
Đối với bài toán tìm GTLN của hàm số
trên một đoạn ta tìm
y = f ( x, m )
GTLN, GTNN của hàm số
trên đoạn đó rồi tùy theo điều kiện tham số
y = f ( x, m )
tìm GTLN . Nhưng đối với bài tốn tìm GTNN của hàm số
trên một
y = f ( x, m )
đoạn còn phải tùy theo dấu GTLN, GTNN hàm số
, đây cũng là một sai
lầm học sinh hay mắc phải. Ta xét ví dụ sau:

14

nên

⇔ −100 ≤ m ≤ 96

14


y = x 4 − 2 x3 + x 2 + m

Ví dụ 9. Cho hàm số

min y = 3


 -1;2 


?
Giải

. Có bao nhiêu số ngun

Ta tìm GTLN- GTNN của hàm số
+) Đặt

f ( x ) = x 4 − 2x3 + x 2 + m

f ( x ) = x 4 − 2 x3 + x 2 + m
min f ( x )

max f ( x )

. Tìm

[ −1;2]

và

[ −1;2]

m

sao cho

như ví dụ 6, 7.

.


 x = 0 ∈ ( −1;2 )
x
=
0


f ' ( x ) = 0 ⇔ 4 x3 − 6 x2 + 2 x = 0 ⇔  2
⇔  x = 1∈ ( −1;2 )
 2 x − 3x + 1 = 0

 x = 1 ∈ ( −1;2 )

2

.


1
 1 

M = max f ( x ) = max  f ( −1) ; f ( 2 ) ; f ( 0 ) ; f ( 1) ; f  ÷ = max m + 4; m; m +  = m + 4
[ −1;2]

16 
 2 



m = min f ( x ) = min  f ( −1) ; f ( 2 ) ; f ( 0 ) ; f ( 1) ; f
[ −1;2]


1
 1 

 ÷ = min m + 4; m; m +  = m
16 
 2 


.

Theo bài toán cơ bản , ta phải xét dấu của GTLN, GTNN hàm số
y = f ( x)

tìm GTNN của hàm số
Nếu

f ( x)

để

, cụ thể:

 m < −4
m ( m + 4) > 0 ⇔ 
⇒ Miny = Min { m ; m + 4 }
[ −1;2]
m > 0

  m < −4
 
= −m − 4 = 3
  [Miny
−
1;2
]
 m = −7

⇒
⇔
 m > 0
m = 3
 
=m=3
  Miny
−
1;2
[
]


m ( m + 4 ) ≤ 0 ⇔ −4 ≤ m ≤ 0 ⇒ Miny = 0 ≠ 3 ∀m ∈ [ −4;0 ]

[ −1;2]

Nếu
Vậy có 2 số nguyên

15

m

min y = 3.

để

[ -1;2]

15


y = x 4 − 4 x3 + 4 x 2 + a

Ví dụ 10. Cho hàm số

. Có bao nhiêu số nguyên

Maxy ≤ 2 min y
[ 0;2]

[ 0;2]

?

ví

dụ

3

2

Với

này

chúng

f ( x) = x − 4 x + 4 x + a / [ 0; 2]
4

ta

tìm

GTLN-GTNN

a ∈ [ −4; 4 ]

của

hàm

để

số

theo tham số a, rồi tùy theo giá trị a ta tìm GTLNGTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Giải
+) Đặt

min f ( x )

max f ( x )

f ( x ) = x 4 − 4 x3 + 4 x 2 + a

[ 0;2]

. Tìm Tìm
x = 0
3
2
f ' ( x ) = 0 ⇔ 4 x −12 x + 8 x = 0 ⇔  x = 1
 x = 2

và

[ 0;2]

.

M = max f ( x ) = max { f ( 0 ) , f ( 1) , f ( 2 ) } = max { a; a + 1; a} = a +1



 0;2 


m = min f ( x ) = min { f ( 0 ) , f ( 1) , f ( 2 ) } = min { a; a + 1; a} = a


 −1;3 



+) Nếu

min y = m = a
 [ 0;2]
m≥0⇔ a≥0⇒ 
axy = M = a + 1
m[ 0;2
 ]

.

.

Maxy ≤ 2 min y ⇔ a + 1 ≤ 2a ⇔ a ≥ 1.

Để

[ 0;2]

[ 0;2]

So sánh với

+) Nếu

a≥0

, ta có

a ≥1

thỏa mãn điều kiện đầu bài.

min y = − M = −a − 1
 [ 0;2]
M ≤ 0 ⇔ a + 1 ≤ 0 ⇔ a ≤ −1 ⇒ 
axy = −m = −a
m[ 0;2
 ]

(1)

.

Maxy ≤ 2 min y ⇔ −a ≤ −2a − 2 ⇔ a ≤ −2
[ 0;2]

So sánh với

16

a ≤ −1

[ 0;2]

, ta có

.
a ≤ −2

thỏa mãn điều kiện đầu bài.

(2)

16


 min y = 0
  0;2 


m < 0 < M ⇔ a < 0 < a + 1 ⇔ −1 < a < 0 ⇒ 
 maxy = max a ; a +1
  0;2 



{

+) Nếu

Maxy ≤ 2min y ⇔ Maxy ≤ 0 ⇔






 0;2 
 0;2 
 0;2 






a + a +1 + a − a +1
2

Vậy với

−1 < a < 0

Từ (1), (2) và (3), suy ra
a ∈ [ −4; 4]

Mà
, nên

kiện đầu bài.

≥

a + a +1 + a − a +1
≤0
2
, điều này vô lý vì

a + a +1
2

≥

a + 1 + −a
2

≥

1
2

.

khơng thỏa mãn điều kiện đầu bài.
a ≥ 1
 a ≤ −2


}

(3)

Maxy ≤ 2 min y

thỏa mãn điều kiện

a ∈ { −4; −3; −2;1; 2;3; 4}

[ 0;2]

[ 0;2]

. Suy ra có 7 số nguyên

.
a

thỏa mãn điều

y = 2 x3 − 3 x 2 + a

Ví dụ 11. Cho hàm số
Min y ≤ 3


1;−3


?

Giải
+) Đặt

f ( x ) = 2 x3 − 3x 2 + a

. Có bao nhiêu số ngun

. Tìm

để

min f ( x )

max f ( x )
[ −1;3]

a

và

[ −1;3]

.

 x = 0 ∈ ( −1;3 )
f ' ( x ) = 0 ⇔ 6x2 − 6 x = 0 ⇔ 
 x = 1 ∈ ( −1;3)

.
M = max f ( x ) = max { f ( −1) , f ( 3) , f ( 0 ) , f ( 1) }



 −1;3


= max { a − 5, a + 27; a; a −1} = a + 27

m = min f ( x ) = min { f ( −1) , f ( 3) , f ( 0 ) , f ( 1) }


 −1;3 


= min { a − 5, a + 27, a; a −1} = a − 5

17

.

17


+) TH1:

+) TH2:

m ≥ 0
a − 5 ≥ 0
⇔ 5 ≤ a ≤ 8.
min y = m ≤ 3 ⇔ 

a − 5 ≤ 3
 [ −1;3]

a

, nên có 4 số .

(1)

 M ≤ 0
a + 27 ≤ 0
⇔ −30 ≤ a ≤ −27.
min y = − M ≤ 3 ⇔ 
− a − 27 ≤ 3
 [ −1;3]
a ∈¢

Mà

+) TH3:

Mà

a ∈¢

a

, nên có 4 số .

(2)

m < 0 < M
a − 5 < 0 < a + 27
⇔ −27 < a < 5.
min y = 0 ≤ 3 ⇔ 
0
≤
3

 [ −1;3]

Mà

a ∈¢

a

, nên có 31 số .

4 + 4 + 31 = 39

(3)
a

Từ (1), (2) và (3), suy ra có
số thỏa mãn điều kiện đầu bài.
Trong các bài tốn trắc nghiệm chúng ta có thể khơng cần so sánh từng giá
trị để tìm, ta có thể xét tập giao giữa các điều kiện thỏa mãn của đề bài, chẳng
hạn:
S

Ví dụ 12. Gọi

là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số
y=

nhất của hàm số

1 4 19 2
x − x + 30 x + m − 20
4
2

Tính tổng các phần tử của
A.

210

S

.

trên đoạn

[ 0; 2]

m

sao cho giá trị lớn

khơng vượt q

20

.

?
B.

−195

.

C.

105

.

D.

300

.

Giải
g ( x) =

Xét hàm số

Ta có

1 4 19 2
x − x + 30 x + m − 20
4
2

trên đoạn

[ 0; 2]

 x = −5 ∉ [ 0; 2]

g′ ( x ) = 0 ⇔  x = 2
 x = 3 ∉ [ 0; 2]
g ′ ( x ) = x3 − 19 x + 30


;

Bảng biến thiên

18

18


g ( 0 ) = m − 20 g ( 2 ) = m + 6

;

.
⇒ Max g ( x ) ∈ { m − 20 ; m + 6 }
[ 0;2]
m − 20

m+6

(Ta không so sánh rõ ràng
max g ( x ) ≤ 20

Để
Mà

[ 0;2]

m∈¢

thì
nên

và

)

 g ( 0 ) ≤ 20
 m − 20 ≤ 20
⇔

 g ( 2 ) ≤ 20

 m + 6 ≤ 20 ⇔ 0 ≤ m ≤ 14

m ∈ { 0;1; 2;...;14}

Vậy tổng các phần tử của

S

.

105

là

.

.

Đáp án C

Ví dụ 13. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn
y=

1 4
x −14 x 2 + 48 x + m − 30
4

nhất của hàm số
Tính tổng tất cả các phần tử của S.
A. 108.

B. 120.
Giải

trên đoạn

[ 0; 2]

C. 210.

không vượt quá 30.
D. 136.

1
y = f ( x ) ; f ( x ) = x4 −14 x 2 + 48 x + m − 30
4

Ký hiệu

f ' ( x ) = x3 −12 x + 48 = 0 ⇔ x ∈{ −6;2;4}
⇒ Max f ( x ) ∈{ f ( 0 ) ; f ( 2 ) } = { m − 30 ; m + 14 }
[ 0;2]

m − 30

(Ta không so sánh rõ ràng

m + 14

và

Để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn

[ 0; 2]

{

)
khơng vượt q 30 thì:

 m − 30 ≤ 30
0 ≤ m ≤ 60
⇔
⇒ 0 ≤ m ≤ 16 ⇒ S16 = 0 + 1 + ... + 16 = 136

−44 ≤ m ≤ 16
 m + 14 ≤ 30

Đáp án D

f ( x ) = 8 x + ax 2 + b
4

Ví dụ 14. Cho hàm số
rằng giá trị lớn nhất của hàm số
định đúng?
A.

a<0 b<0

,

.

B.

a>0 b>0

,

f ( x)

a b

, trong đó ,
trên đoạn
C.

[ −1;1]

a<0 b>0

,

là tham số thực. Biết
1

bằng . Hãy chọn khẳng
.

D.

a>0 b<0

,

.

Giải
19

19


Cách 1:
x = 0
⇔ 2
x = − a
4
2
3
g ( x ) = 8 x + ax + b g ′ ( x ) = 32 x + 2ax = 0
16


Xét

,

Ta có

max f ( x ) = 1 ⇒ g ( 0 ) = b ∈ [ −1;1]
[ −1;1]

a>0

TH1.
. Ta có
mãn yêu cầu bài toán.
TH2.

a<0

Nếu

g ( 1) = g ( −1) = 8 + a + b > 1

. Ta có

[ −1;1]

g ( 1) = g ( −1) = 8 + a + b < −1

a > −16

. Khi đó YCBT

 a2
1 − ≥ −1
a 2 ≤ 64
⇔  32

⇔
8 + a + b ≤ 1
a ≤ −8 ⇔ a = −8


(thỏa

)

max f ( x ) = 8 + a + b = 1

. Khi đó, YCBT

b ≤ 1

⇔  a2
b − ≥ −1
 32

 a ≥ −8

 a ≥ −8
⇒  a2
⇔

+
a
+
6
≤

0

 32
 −24 ≤ a ≤ −8 ⇔ a = −8 ⇒ b = 1

20

.

.

max f ( x ) = b = 1
[ −1;1]

không thỏa

không thỏa mãn yêu cầu bài tốn .

a
< 1 ⇔ a > −16
16

Nếu
Ta có BBT

[ −1;1]

. Suy ra

[ −1;1]

max f ( x ) > 1

−

▪

max f ( x ) > 1

.

a
− > 1 ⇔ a < −16
16

Suy ra

▪

.

.

.

20


max f ( x ) = b −
[ −1;1]

a2
=1
32

▪

. Khi đó, YCBT

 a = −8
⇔
b = 1

.

a = −8

Vậy
Cách 2:
Đặt
Vì

t = x2

x ∈ [ −1;1]

b =1

,

thỏa YCBT.

khi đó ta có
nên


a2
b
=
−1

32
 a2

b − 32 = −1
a2


⇔ 6 + a +
≤0
⇔ 8 + a + b ≤ 1
32

b ≤ 1
 a ≥ −8





t ∈ [ 0;1]

g ( t ) = 8t 2 + at + b

.

Theo u cầu bài tốn thì ta có:
xảy ra.

.

0 ≤ g ( t) ≤1

với mọi

t ∈ [ 0;1]

và có dấu bằng

g ( t)

Đồ thị hàm số
là một parabol có bề lõm quay lên trên do đó điều
kiện trên dẫn đến hệ điều kiện sau xảy ra :

 −1 ≤ g ( 0 ) ≤ 1

−1 ≤ b ≤ 1
( 1)
−1 ≤ b ≤ 1

 −1 ≤ g ( 1) ≤ 1


⇔  −1 ≤ 8 + a + b ≤ 1 ( 2 )

⇔  −1 ≤ 8 + a + b ≤ 1
−∆
 −1 ≤

≤1
2
 −32 ≤ 32b − a 2 ≤ 32
32


 −32 ≤ a − 32b ≤ 32 ( 3)

Từ
Từ

( 1) ; ( 3)

( 3) ; ( 2 )

ta có :

−64 ≤ a 2 ≤ 64

ta có :

do đó

−8 ≤ a ≤ 8

.

−64 ≤ a 2 + 32a + 256 ≤ 64

a + 32a + 192 ≤ 0 ⇔ −24 ≤ a ≤ −8
2

Suy ra :

Khi đó ta có

a = −8

và

b =1

0 ≤ t ≤1

Vì

.

g ( t ) = 8t − 8t + 1 = 2 ( 2t − 1) − 1
2

2

Kiểm tra :

.

nên

−1 ≤ 2t − 1 ≤ 1

⇒ 0 ≤ ( 2t − 1) ≤ 1 ⇒ −1 ≤ g ( t ) = 2 ( 2t − 1) − 1 ≤ 1
2

21

2

.
21


max g ( t ) = 1

Vậy

khi

t = 1 ⇒ x = ±1

f ( x ) = x − 3x + a

(t/m).

3

Ví dụ 15. Cho hàm số
mọi bộ ba số thực
nhọn?
A. 30
Giải
+) Đặt

n, k , t ∈ [ −2;1]

. Có bao nhiêu số nguyên

thì

f ( n) , f ( k ) , f ( t )

B. 16

g ( x ) = x3 − 3x + a

. Tìm

[ −2;1]

để

là độ dài ba cạnh một tam giác

C. 28
max g ( x )

a ∈ ( −20; 20 )

D. 12

min g ( x )

và

[ −2;1]

.

g ' ( x ) = 0 ⇔ 3x − 3 = 0 ⇔ x = ±1.
2

M = max g ( x ) = max { g ( -2 ) , g ( 1) , g ( −1) } = max { a − 2; a − 2; a + 2} = a + 2
[ -2;1]

.

m = min g ( x ) = min { g ( -2 ) , g ( 1) , g ( −1) } = min { a − 2; a − 2; a + 2} = a − 2
[ -2;1]

.

n, k , t

Vai trị của
nhau.
Vì

f ( n) , f ( k ) , f ( t )
cosϕ =

cosin ta có:
Để

là như nhau, nên vai trị của

f

2

.

là độ dài ba cạnh một tam giác nhọn khi và chỉ khi:

cosϕ > 0, ∀ n, k , t ∈ [ −2;1] ⇔ f 2 ( n ) + f 2 ( k ) > f 2 ( t ) ∀ n, k , t ∈ [ −2;1]

,

Không mất tính tổng quát, ta giả sử:

 f ( n ) = f ( k ) = min f ( x )
[ −2;1]



ax f ( x )
 f ( t ) = m
[ -2;1]

n, k , t ∈ [ −2;1]

2

2  min f ( x ) ÷ >  max f ( x ) ÷
 [ −2;1]
  [ −2;1]


22

khi và chỉ khi (1)

(2).
2

Thay (2) vào (1), ta được:
ba cạnh của một tam giác nhọn. (3).

(1).

f ( n ) ≤ f ( k ) ≤ f ( t ) , ∀n, k , t ∈ [ −2;1]

Để (1) đúng với mọi bộ ba số thực

đúng với

cũng như

là độ dài ba cạnh một tam giác, nên theo định lý hàm số

( n) + f 2 ( k ) − f 2 ( t )
2 f ( n) . f ( k )

f ( n) , f ( k ) , f ( t )

f ( n) , f ( k ) , f ( t )

thì

f ( n) , f ( k ) , f ( t )

là

22


 min f ( x ) = a − 2
 [ −2;1]
m≥0⇔ a−2≥0⇔ a ≥ 2⇒ 
ax f ( x ) = a + 2
 m
[ -2;1]

Nếu
Thay (4) vào điều kiện (3), ta được:

(4).

a ≥ 2
a − 2 ≥ 0
a
≥
2



 
⇔
⇔


 a < 6 − 4 2 ⇔ a > 6 + 4 2.
2
2
2
 2 ( a − 2 ) > ( a + 2 )

 a − 12a + 4 > 0
  a > 6 + 4 2
min f ( x ) = − ( a + 2 )
 [ −2;1]
M ≤ 0 ⇔ a + 2 ≤ 0 ⇔ a ≤ −2 ⇒ 
ax f ( x ) = − ( a − 2 )

m
[ -2;1]

Nếu
(5).
Thay (5) vào điều kiện (3), ta được:
a + 2 ≤ 0

a ≤ −2

2
2⇔ 2
2  − ( a + 2 )  > − ( a − 2 ) 
a + 12a + 4 > 0
 a ≤ −2

⇔   a < −6 − 4 2 ⇔ a < −6 − 4 2.

  a > −6 + 4 2

Nếu

m < 0 < M ⇔ a − 2 < 0 < a + 2 ⇔ −2 < a < 2
2

Khi đó:

min f ( x ) = 0 ⇒ 2.02 >  max f ( x ) ÷
[ −2;1]
 [ −2;1]



Vậy để mọi bộ ba số thực

tam giác nhọn
Theo giả thiết
a

thỏa mãn.

a > 6 + 4 2
⇔
 a < −6 − 4 2

thì

f ( n) , f ( k ) , f ( t )

là độ dài ba cạnh một

.

a ∈ ( −20; 20 ) , a ∈ ¢ ⇒ a ∈ { −19; −18;...; −12;12;13;...19}

. Có 16 số nguyên

Đáp án B.

Ví dụ 16. Gọi

S

là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
y=

lớn nhất của hàm số
Giải
Điều kiện:
23

n, k , t ∈ [ −2;1]

(Vô lý).

x + mx + m
x +1

sao cho giá trị

2

trên
x ≠ −1

m

[ 1; 2]

2

bằng . Tìm số phần tử của tập

S

?

.
23


f ( x) =

Ta có

x2 + mx + m
x2 + 2x
⇒ f '( x ) =
= 0 ⇔  x = 0 ∉ 1;2
2
x +1

 
( x + 1)
 x = −2

⇒ y ( 1) = f ( 1) =

TH1:

1 + 2m

4 + 3m
; y ( 2) = f ( 2) =
2
3

.
1 + 2m 4 + 3m
11
y ( 1) > y ( 2 ) ⇒ 2 > 3 ⇔ m < − 12

.

.

3

m = 2 ( L )
1
+
2
m
1 + 2m ⇒
=2⇔ 
⇒ max y =
2
m = − 5
2


1;2 


2



TH1:

.
1 + 2m 4 + 3m
11
⇒
<
⇔m>−
y ( 1) < y ( 2 )
2
3
12

2

m = 3
4
+
3
m
4 + 3m ⇒
=2⇔
⇒ max y =
3
 m = − 10 L

3


( )
1;2 

3



.

.

 −5 2 
⇒S = ; 
 2 3

Vậy tập S có 2 phần tử.
y=

x − m2 + m
x +1

Ví dụ 17. Cho hàm số

[ 1; 2]

. Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số trên

đạt giá trị nhỏ nhất ?

Giải
f ( x) =

x − m2 + m
x +1

f '( x) =

m − m +1

+) Đặt

2

( x + 1)

2

. Tìm

[ 1;2]

24

[ 1;2]

và

.

> 0, ∀m ∈ ¡ , ∀ ∈ [ 1; 2]

.

−m + m + 1
min f ( x ) = f ( 1) =
[ 1;2]
2
2

Khi đó, ta có

min f ( x )

max f ( x )

và

−m 2 + m + 2
max f ( x ) = f ( 2 ) =
[ 1;2]
3

.

24

Vậy

 − m 2 + m + 1 −m 2 + m + 2 
M = max y = max 
;

[ 1;2]
2
3



+) Ta có:


−m 2 + m + 1
M
≥

 2 M ≥ − m 2 + m + 1 = m2 − m − 1
2


⇒

2
2
 M ≥ −m + m + 2
3M ≥ −m + m + 2


3


1
⇔ 5M ≥ m 2 − m − 1 − m 2 + m + 2 = 1 ⇔ M ≥ .
5

Dấu bằng xảy ra khi

( m2 − m − 1)(− m2 + m + 2) ≥ 0 ⇔ −1 ≤ m ≤ 2

max y

Vậy

[ 1;2]

có giá trị nhỏ nhất là

1
khi − 1 ≤ m ≤ 2
5

.
y =  f ( x )  , n ∈ ¥ *
2n

Khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = f ( x)

ta cũng làm tương tư như đối với hàm số
Ví dụ 18. Cho hàm số
Giải
+) Đặt

f ( x ) = x2 + x + a

y = ( x2 + x + a )

. Tìm

f '( x) = 0 ⇔ 2x +1 = 0 ⇔ x =

−1
2


M = max f ( x ) = max  f ( −2 ) ,
[ −2;2]


m = min f ( x ) = min  f ( −2 ) ,
[ −2;2]


.
min y = 4

2

. Tính tổng các giá trị của

a

để

[ −2;2]

.

min f ( x )

max f ( x )
[ −2;2]

thì

và

[ −2;2]

.

.


1
 −1 



f  ÷, f ( 2 )  = max  a + 2; a − ; a + 6 = a + 6
4
 2





1
1
 −1 


f  ÷, f ( 2 )  = min a + 2; a − ; a + 6  = a −
4
4
 2 




9

a = (TM )

1
1
1

4

m ≥ 0 ⇔ a − ≥ 0 ⇔ a ≥ ⇒ min y =  a − ÷ = 4 ⇔ 
[ −2;2]
4
4
4

 a = −7 ( L )

4

.

2

+) Nếu

+) Nếu
25

.

 a = −8 (TM )
2
M ≤ 0 ⇔ a + 6 ≤ 0 ⇔ a ≤ −6 ⇒ min y = ( a + 6 ) = 4 ⇔ 
[ −2;2]
 a = −4 ( L )

(1)

(2)

25