TIM GIA TRI LON NHAT GIA TRI NHO NHAT CUA BIEU THUC CHUA GIA TRI TUYET DOI

CÁC BÀI TOÁN “TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA BIỂU THỨC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI”
TRONG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LỚP 7
1) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số:
Cho hàm số f(x) xác định trên tập hợp (D).
*M được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) trên tập hợp (D) nếu hai điều kiện sau đồng
thời được thỏa mãn:

1


a- f(x) ≤ M với mọi x ∈(D)
b- ∃x0 ∈(D) sao cho f(x0) = M Ký hiệu M = max f(x) x ∈ (D)
*m được gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên tập hợp (D) nếu hai điều kiện sau đồng
thời được thỏa mãn:
a- f(x) ≥ m với mọi x ∈(D)
b- ∃x0 ∈(D) sao cho f(x0) = m Ký hiệu m = min f(x) x ∈ (D)
2) Các kiến thức thường dùng:
2k
a/x2 ≥ 0 một cách tổng quát f ( x) ≥ 0 với mọi x, k ∈ Z

2


2k

2k

M − f ( x) ≤ M
Suy ra f ( x) + m ≥ m
;

b/ x ≥ 0 ; x ≥ x ≥ − x
c/ x + y ≤ x + y Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x, y cùng dấu
d/ x − y ≥ x − y Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x, y cùng dấu
e/ xy = x y

f/

x
x
=
y
y

(y ≠ 0)

3


3) Phương pháp giải:
Một trong các phương pháp được sử dụng đối với dạng toán này là phương pháp
bất đẳng thức. Cụ thể:
Cho hàm số f(x) có tập xác định (D). Ta cần chứng minh:
a/f(x) ≤ M hoặc f(x) ≥ m
b/Chỉ ra trường hợp x = x0 ∈ (D) sao cho BĐT trở thành đẳng thức.
4) Một số ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

4

a/ A = 3 x − 1

b/ B = 4 x − 2 + 1

Giải:
a/ Vì x − 1 ≥ 0 dấu ‘=” xảy ra ⇔ x = 1 suy ra: 3 x − 1 ≥ 0 Vậy minA = 0 ⇔ x = 1
b/ B = 4 x − 2 + 1 ≥ 1 Suy ra min B = 1 ⇔ x = 2
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

5


a/ A = -2 - x − 1
b/ B = − x − 2 + 3
Giải: a/ Vì − x − 1 ≤ 0 dấu “=” xảy ra ⇔ x = 1 Suy ra A = -2 - x − 1 ≤ -2
Vậy max A = -2 ⇔ x = 1.
b/ B = − x − 2 + 3 ≤ 3 suy ra max B = 3 ⇔ x = 2
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của:
a/ A = x + 8 − x
b/ B = x − 3 + x − 5
Giải: a/ Áp dụng bất đẳng thức: x + y ≥ x + y Dấu “=” xảy ra ⇔ x, y cùng dấu

6


A = x + 8 − x ≥ x + 8 − x = 8 ⇔ x(8 – x) ≥ 0
Lập bảng xét dấu:
x
0
x

0
+
8–x
+
+
x(8 – x)
0
+
Vậy: min A = 8 ⇔ 0 ≤ x ≤ 8
b/ B = x − 3 + x − 5 = x − 3 + 5 − x ≥ x − 3 + 5 − x = 2

8
0
0

+
-

7


Dấu “=” xảy ra ⇔ (x – 3)(5 – x) ≥ 0 ⇔ 3 ≤ x ≤ 5 (lập bảng xét dấu như câu a)
Vậy:
min B = 2 ⇔ 3 ≤ x ≤ 5
Chú ý: Ta sử dụng x − 5 = 5 − x hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau để
làm triệt tiêu x.
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a/ M = x − 2 + x − 3 + x − 4 + x − 5
b/ N = x − 1 + x − 2 + x − 3 + ... + x − 1996

8


Giải: a/ Đặt M1 = x − 2 + x − 5 và M2 = x − 3 + x − 4 thì M = M1 + M2 khi đó M có
giá trị nhỏ nhất khi M1; M2 đồng thời có giá trị nhỏ nhất.
Tương tự các ví dụ trên ta có min M 1 = 5 – 2 = 3 ⇔ 2 ≤ x ≤ 5 và min M2 = 4 – 3 =
1⇔ 3≤x≤4
Vậy: min M = 3 + 1 = 4 ⇔ 3 ≤ x ≤ 4
b/ x − 1 + x − 1996 có GTNN bằng 1996 – 1 = 1995 ⇔ 1 ≤ x ≤ 1996
x − 2 + x − 1995 có GTNN bằng 1995 – 2 = 1993 ⇔ 2 ≤ x ≤ 1995

9


x − 3 + x − 1994 có GTNN bằng 1994 – 3 = 1991 ⇔ 3 ≤ x ≤ 1994

...............................................................................
x − 997 + x − 998 có GTNN bằng 998 – 997 = 1 ⇔ 997 ≤ x ≤ 998
Suy ra: min N = 1+3+5+7+...+1995 = 9982 ⇔ 997 ≤ x ≤ 998
Chú ý: 1+3+5+7+...+(2n – 1) = n2
Vậy: min N = 9982 ⇔ 997 ≤ x ≤ 998
Ví dụ 5: a/Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x + 5 + x + 2 + x − 7 + x − 8

10


b/Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = x + 3 + x − 2 + x − 5
c/Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = x + 5 − x − 2
Giải:
a/ Áp dụng bất đẳng thức M ≥ M Ta có:

A = x +5 + x + 2 + x −7 + x −8
= x + 5 + x + 2 + 7 − x + 8 − x ≥ x + 5 + x + 2 + 7 – x + 8 – x = 22
A = 22 khi và chỉ khi:

11


x + 5 ≥ 0
x + 2 ≥ 0


7 − x ≥ 0
8 − x ≥ 0

 x ≥ −5
 x ≥ −2

⇔ 
⇔ −2≤ x ≤7
x ≤ 7
 x ≤ 8
Vậy: GTNN của A là 22 ⇔ − 2 ≤ x ≤ 7
b/ B = x + 3 + x − 2 + x − 5 ≥ ( x + 3 + 5 − x ) + x − 2 ≥ x + 3 + 5 – x+ x − 2 ≥ 8+ x − 2 ≥ 8

B = 8 khi và chỉ khi:

12


x + 3 ≥ 0


x − 2 = 0 ⇔
5 − x ≥ 0


 x ≥ −3

x = 2 ⇔ x = 2
x ≤ 5


Vậy GTNN của B = 8 ⇔ x = 2
c/ Áp dụng bất đẳng thức: x − y ≤ x − y ta có:
C = x + 5 − x − 2 ≤ x + 5 − ( x − 2) = 7
C = 7 ⇔ (x – 2)(x + 5) ≥ 0 ⇔ x ≥ 2

13


Vậy giá trị lớn nhất của C = 7 ⇔ x ≥ 2
5) Bài tập áp dụng:
Bài 1: a/Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: A = 124 − 5 x − 7
1
2

b/Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = x + − x −
Giải:
a/ Ta có:

x − 7 ≥ 0 Suy ra A = 124 − 5 x − 7 ≤ 124

2
3

(1)

14


Mà A = 0 ⇔ 5 x − 7 = 0 ⇔ x = 7
Vậy từ (1) và (2) ta có : max A = 124 ⇔ x = 7

(2)

2
2
2
2
7
thì x − ≥ 0 ⇒ x − = x − thay vào B, ta tính được B =
(1)
3
3
3
3
6
2
2
2
2

1
Với x < thì x − 〈 0 ⇒ x − = − x + thay vào B, ta tính được B = 2 x −
3
3
3
3
6
2
4
1 4 1 7
7
Vì x < nên 2 x < Suy ra 2 x − < − = Vậy B <
(2)
3
3
6 3 6 6
6

b/ Với x ≥

15


Từ (1) và (2) suy ra B ≤

7
7
2
. Do đó: max B =
khi x ≥

6
6
3

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2004
3
− x−
2003
5
2004
3
⇔x=
max M =
2003
5

a/ M =
Giải: a/

b/ N =

− 2003 2000
−
− 2x
2002
2001

16

b/ max N =

− 2003
1000
⇔x=
2002
2001

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a/ A = x − 2012 + 2011 − x
b/ B = x − 456 + x − 789
ĐS:
a/ min A = 1 ⇔ 2011 ≤ x ≤ 2012
b/ min B = 333 ⇔ 456 ≤ x ≤ 789
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

17


a/ A = x − 1 + x − 2 + x − 3

b/ B = x − 1 + x − 2 + x − 3 + x − 4

Giải:
a/ A = x − 1 + x − 2 + x − 3 = ( 1 − x + x − 3 ) + x − 2 ≥ 1 − x + x − 3 + x − 2 = 2 + x − 2 ≥ 2
(1 − x )( x − 3) ≥ 0
1 ≤ x ≤ 3
A=2⇔
⇔

⇔x=2
x = 2
x = 2

Vậy A≥ 2 và A = 2 ⇔ x = 2
Suy ra min A = 2 ⇔ x = 2

18


b/ Ta có B = ( 1 − x + x − 4 ) + ( 2 − x + x − 3 ) ≥ 4
(1 − x )( x − 4) ≥ 0
1 ≤ x ≤ 4
B=4⇔
⇔
⇔2≤ x≤3
(2 − x)( x − 3) ≥ 0
2 ≤ x ≤ 3

Vậy B ≥ 4 và B = 4 ⇔ 2 ≤ x ≤ 3
Suy ra: min B = 4 ⇔ 2 ≤ x ≤ 3

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = x +

1
1
1
+ x+ + x+
2
3

4

19


1
1
1
= − x − ≥ −x −
4
4
4
1
1
1
x+ =0 ; x+ ≥ x+
3
2
2
1
1 1
Do đó: A ≥ x + + 0 − x − =
2
4 4
1
1
Dấu “=” xảy ra ⇔ x + ≤ 0 ; x + 3 = 0 ;
4

Giải: Ta có x +

x+

1
≥0
2

⇔ x=−

1
3

20


Vậy min A =

1
1
⇔ x=−
4
3

Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = x −

2006
+ x −1
2007

2006

2006
≥ x−
và x − 1 = 1 − x ≥ 1 − x
2007
2007
2006
2006
1
+ x −1 ≥ x −
+1− x =
Do đó: M= x −
2007
2007
2007

Giải: Ta có: x −

21


2006
2006
≥ 0 và 1 – x ≥ 0 ⇔
≤ x ≤1
2007
2007
1
2006
≤ x ≤1
Vậy: min M =

⇔
2007
2007

Dấu “=” xảy ra ⇔ x −

Bài 7: Tìm GTLN của các biểu thức sau:
a/ A = − x +

8
141
+
319 272

b/ B = 18,9 − x − 2,5

Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

22


1
4
−x+
5
7
1
1
a/ Ta có: x + ≥ x +
5

5

a/ A = x +

b/ B = x − 2010 + x − 1963
Suy ra: A = x +
1
5

Dấu “=” xảy ra ⇔ x + = 0 ⇔ x = −
Vậy; min A =

27
35

⇔ x=−

1
4
1
4 27
−x+ ≥ x+ −x+ =
5
7
5
7 35

1
5

1
5

23


b/ Ta có: x − 2010 = 2010 − x ≥ 2010 − x và x − 1963 ≥ x − 1963
Do đó: B ≥ 2010 – x + x – 1963 = 47
Dấu “=” xảy ra ⇔ 2010 – x ≥ 0 và x – 1963 ≥ 0 ⇔ 1963 ≤ x ≤ 2010
Vậy: max B = 47 ⇔ 1963 ≤ x ≤ 2010
6) Nhận xét:
Qua các ví dụ minh họa và bài tập nêu trên giúp các thầy cô và các em học
sinh rút ra được phương pháp tìm tòi lời giải cho dạng toán này. Nội dung bài tập
xoay quanh chương trình toán 7 nên có nhiều hạn chế về thể loại. Mong quý thầy cô

24


tìm tòi, sưu tầm, sáng tạo thêm để các dạng bài tập được phong phú, làm kho tàng tư
liệu dạy học ngày càng dồi dào hơn.



25