(SKKN 2022) Hướng dẫn học sinh giải bài toán tính góc trong không gian bằng phương pháp vec tơ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT BA ĐÌNH
*********************

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TỐN TÍNH
GĨC TRONG KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG
PHÁP VECTƠ

Người thực hiện:
Dương Thị Thu
Chức vụ:
Giáo viên
SKKN thuộc mơn: Tốn

THANH HĨA NĂM 2022
0


MỤC LỤC
Nội dung
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2. Nội dung
2.1. Cơ sở lí luận
2.1.1. Kiến thức vectơ.

2.1.2. Kiến thức về hình học khơng gian
2.2. Thực trạng vấn đề
2.3. Giải pháp thực hiện
2.3.1. Góc giữa hai đường thẳng
2.3.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
2.3.3. Góc giữa hai mặt phẳng
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
3. Kết luận, kiến nghị
Tài liệu tham khảo
Danh mục sáng kiến kinh nghiệm đã được hội đồng sáng
kiến kinh nghiệm ngành giáo dục và đào tạo huyện , tỉnh
và các cấp cao hơn xếp loại từ C trở lên.

Trang
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
4
5
10
14
19
20

21
22

1


1. Mở đầu:
1.1. Lí do chọn đề tài:
Hình học khơng gian chiếm một vị trí quan trọng trong chương trình tốn trung
học phổ thơng, vì vậy việc tìm kiếm các con đường tổ chức dạy học cho phần hình
học khơng gian ln được quan tâm, tìm hiểu nghiên cứu. Dạy học các kiến thức
hình học bằng phương pháp khác nhau nhằm tạo ra cho học sinh tính linh hoạt, đa
dạng khi tiếp cận một bài tốn hình học.
Trong chương trình mơn Tốn THPT, phần hình học khơng gian tập trung
nhiều ở lớp 11 và lớp 12. Từ đó hình thành cho học sinh hai phương pháp giải đó là
giải bằng cơng cụ hình học thuần túy hoặc giải bằng phương pháp tọa độ không
gian. Tuy nhiên để giải bằng phương pháp tọa độ học sinh còn phải phụ thuộc vào
yếu tố của bài tốn. Vì vậy, phần nhiều học sinh sử dụng phương pháp hình học
khơng gian thuần túy, phương pháp này địi hỏi học sinh có tư duy nhạy bén và
nắm chắc các yếu tố trong hình học, điều này là một trong những khó khăn đối với
học sinh có học lực ở mức khá trở xuống.
Bài tốn xác định và tính góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt
phẳng, giữa hai mặt phẳng là bài toán mà học sinh lớp 11 thường gặp khó khăn khi
giải quyết chúng vì học sinh lớp 11 chưa sử dụng phương pháp toạ độ để làm.
Vectơ là nội dung được học từ lớp 10 nhưng để áp dụng nó thì học sinh cịn khá
lúng túng, vì kể cả các sách tham khảo cũng ít khi hướng dẫn nội dung này trong
khi đó đây là một cơng cụ rất hữu hiệu trong hình học. Từ những vấn đề trên tơi
thiết nghĩ áp dụng vectơ vào hình học khơng gian là một hướng đi rõ ràng hơn cho
học sinh đặc biệt là học sinh khá trở xuống. Vì vậy tơi chọn đề tài: "Hướng dẫn
học sinh giải bài tốn tính góc trong khơng gian bằng phương pháp vec tơ".

1.2. Mục đích nghiên cứu:
Nội dung sáng kiến nhằm mục đích hướng tới giải quyết các vấn đề sau:
Việc giải tốn hình học khơng gian bằng phương pháp vectơ giúp học sinh rèn
luyện kĩ năng, tư duy sáng tạo và sự lôgic của các phép toán vectơ.
Giúp học sinh đặc biệt là học sinh khá, trung bình có hướng đi rõ ràng hơn trong
việc giải quyết bài tốn tính góc trong khơng gian.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Các bài tốn tính góc trong hình học không gian lớp 11 và lớp 12.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Phương pháp nghiên cứu của đề tài là xây dựng cơ sở lý thuyết, vận dụng vào
bài tập thông qua hệ thống ví dụ.

2


2. Nội dung :
2.1. Cơ sở lí luận:
Để sử dụng tốt phương pháp véc tơ vào việc giải quyết các bài tốn tính góc
học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản của vectơ lớp 10 và kiến thức hình học
khơng gian phần quan hệ vng góc lớp 11. Cụ thể như sau:
2.1.1. Kiến thức vectơ.
Trong chương trình lớp 10 học sinh được học về vectơ. Qua đó, học sinh đã nắm
được các yếu tố sau:
- Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng, hai vectơ bằng nhau, vectơ không.
- Tổng và hiệu của 2 véctơ, tích của một số với một vectơ.
- Tính chất trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác:
uuur uuur
uuu
r
Nếu I là trung điểm của AB, M là điểm bất kỳ : MA  MB  2MI

uuur uuur uuur uuuu
r
Nếu G là trọng tâm tam giác ABC, M là điểm bất kỳ : MA  MB  MC  3MG
uuu
r
uuur
- Điều kiện để A,B,C thẳng hàng : AB  k AC (k ≠ 0).
- Phân tích một vectơ qua hai vectơ khơng cùng phương.
Đến chương trình lớp 11, học sinh được học thêm các tính chất của vectơ và các
mối quan hệ giữa đường thẳng, mặt phẳng, góc trong khơng gian.
rr r r
r r
Tích vơ hướng của 2 véctơ: a.b  a . b .cos a; b
rr
r r
a
Từ đó suy ra cách tính góc giữa hai vectơ : cos a; b  r .br
a.b

 

 

2.1.2. Kiến thức về hình học khơng gian
Học sinh cần nắm chắc các định nghĩa và định lý, nội dung quan trọng của hình
học khơng gian :
- Đường thẳng vng góc đường thẳng, đường thẳng vng góc mặt phẳng, hai mặt
phẳng vng góc.
- Góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt
phẳng.

Như vậy, với các kiến thức vectơ lớp 10 và kiến thức vectơ và hình học khơng
gian lớp 11 giáo viên có đủ cơ sở để hướng dẫn học sinh giải quyết các bài tốn
tính góc trong khơng gian dựa vào phương pháp vectơ.
2.2.Thực trạng của vấn đề:
Trong những năm học trước, trong q trình dạy học sinh tơi đã dùng phương
pháp khảo sát thực tế từ học sinh và quan sát công việc dạy và học của giáo viên và
3


học sinh trong nội dung hình học khơng gian mà cụ thể là bài tốn tính góc. Tơi
thấy nhiều học sinh lúng túng không biết bắt đầu từ đâu để tìm góc giữa hai đường
thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đặc biệt là góc giữa hai mặt phẳng bằng
phương pháp hình học thuần túy. Từ đó dẫn đến học sinh ngại học hình học khơng
gian và thường mất điểm ở những câu hỏi này. Khi đó, tơi đã hướng dẫn học sinh
vận dụng phương pháp vectơ vào giải quyết các bài tốn tính góc, tuy nhiên học
sinh gặp rất nhiều trở ngại sau:
- Một số học sinh còn mơ hồ các kiến thức vectơ.
- Chưa hình thành kỹ năng chọn hệ vectơ cơ sở sao cho phù hợp bài tốn.
- Chưa diễn dịch được ngơn ngữ tổng hợp (hình học thuần túy) thành ngơn ngữ
vectơ.
- Chưa tự giác, tự nghiên cứu và chưa làm nhiều bài tập theo phương pháp vectơ.
Từ những vấn đề trên, khi áp dụng vào dạy học sinh năm học 2021 – 2022 tôi đã có
những biện pháp khắc phục như sau:
- Rèn luyện kiến thức vectơ một cách kĩ càng.
- Rèn luyện các bài tốn hình học khơng gian cơ bản để học sinh nắm vững các
kiến thức về khơng gian từ đó chuyển sang ngơn ngữ vectơ.
- Có hệ thống bài tập đầy đủ, từ đó hướng dẫn học sinh làm bài.
2.3. Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề:
Để hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán tính góc dựa vào phương pháp
vectơ, tơi hướng dẫn học sinh thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Lựa chọn một số vectơ mà ta gọi là “ hệ vectơ cơ sở’’; “phiên dịch” các
giả thiết, kết luận của bài tốn hình học khơng gian đã cho thành “ngơn ngữ”
vectơ.
Đây là một trong những bước rất quan trọng của bài toán, yêu cầu khi chọn vectơ
cơ sở ta phải chọn hệ gồm 3 vectơ không đồng phẳng và một điều thuận lợi trong
phương pháp này đó là 3 vectơ này không cần chung một gốc.
Các vectơ cơ sở khi chọn phải tính được tích vơ hướng, khi chọn ưu tiên chọn các
cặp vectơ khi nhân vô hướng lại bằng 0 nhằm đơn giản bài tốn.
Phiên dịch chính xác ngơn ngữ hình học sang ngơn ngữ vectơ.
Bước 2 Tính tích vơ hướng của các vectơ; độ dài các vectơ theo công thức tính góc
giữa hai vectơ.
Bước 3. Thay vào cơng thức tính góc và rút ra kết luận.
Sau đó tơi đưa ra từng dạng bài tốn tính góc: góc giữa hai đường thẳng; góc
giữa đường thẳng và mặt phẳng; góc giữa hai mặt phẳng. Mỗi dạng tơi đưa ra cơng
thức tính góc thơng qua vectơ; đưa ra ví dụ, phân tích các yếu tố có thể vận dụng
phương pháp vectơ và trình bày lời giải. Cụ thể như sau:

4


2.3.1. Góc giữa hai đường thẳng:
r r
Cho hai đường thẳng a,b. Gọi u; v lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b. Khi đó:
rr
u.v
r r
cos(a;b)= cos(u; v)  r r .
u.v
uuu
r uuur AB 2  AC 2  BC 2

Lưu ý: AB. AC 
.
2
· D  BAC
·
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD  a; BA
 600 . Tính góc
giữa hai đường thẳng AB và CD?
 Phân tích:
uuu
r uuur uuur
Nhận thấy các vectơ AB; AC ; AD ta có thể biết mối liên hệ giữa chúng: độ dài, góc
giữa các vectơ. Có thể nghĩ tới tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD qua góc
uuu
r uuur
giữa hai vectơ AB; CD bằng cách phân tích các vectơ này qua các vectơ cơ sở
uuu
r uuur uuur
AB; AC ; AD .
 Lời giải:
uuur uuur uuur
Ta có: CD  AD  AC
uuu
r uuur uuu
r uuur uuur uuu
r uuur uuu
r uuur
 AB.CD  AB. AD  AC  AB. AD  AB. AC





· D  AB. AC. cos BAC
·
 AB. AD. cos BA
 a.a.cos 600  a.a.cos 600  0
uuu
r uuur
 AB  CD   AB; CD   900 .
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB  2; AC  3; AD  BC  4; BD  2 5; CD  5.
Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AC và BD?
 Phân tích :
Giả thiết bài tốn chỉ cho biết các yếu tố về cạnh gợi cho ta nghĩ tới công thức
uuu
r uuur AB 2  AC 2  BC 2
.
AB. AC 
2
 Lời giải:
Ta có:

5


uuur uuur uuur uuur uuu
r uuur uuur uuur uuu
r
AC.BD  AC. AD  AB  AC. AD  AC. AB





AC 2  AD 2  CD 2 AC 2  AB 2  CB 2


2
2
2
2
2
2
2
2
3  4 5 3 2 4
3



2
2
2
3
uuur uuur
uuur uuur
AC.BD
1
 cos ( AC ; BD) 
 2 

AC.BD 3.2 5 4 5
uuur uuur
1
 cos  AC ; BD   cos( AC ; BD) 
.
4 5
Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác
·
cân biết AB  AC  a; BAC
 1200 ;AA'  a 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB’
và BC?
 Phân tích:
Với giả thiết lăng trụ đứng đáy là tam giác cân, biết AB, AC và góc B ta chọn hệ
uuu
r uuur uuur
vectơ cơ sở AB; AC ; BB ' .
 Lời giải:
uuur uuur uuu
r uuur uuu
r uuur
Ta có: BC  AC  AB; AB '  AB  BB ' .
uuur uuur uuu
r uuur uuu
r 2 uuur uuur uuu
r uuur
 AB '.BC  AB. AC  AB  AC .BB '  AB.BB '
3
 a.a.cos1200  a 2   a 2 .
2
BC 2  a 2  a 2  2.a.a.cos1200  3a 2

Lại có:
 BC  a 3.
AB '  a 2  (a 2) 2  a 3
3
 a2
1
2
cos ( AB '; BC ) 


AB '.BC a 3.a 3 2
 ( AB '; BC )  600.
Ví dụ 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm của AB, BC, C’D’. Tính góc giữa hai đường thẳng MN và AP.
 Phân tích:
uuu
r uuur uuur
Với giả thiết hình lập phương ta chọn hệ vectơ cơ sở là AB; AD; AA ' .
uuur uuur
AB '.BC

6


 Lời giải:
uuuu
r 1 uuur 1 uuu
r uuur
Ta có: MN  AC  ( AB  AD)
2

2
uuu
r uuur uuuuu
r uuuur uuur uuur 1 uuu
r
AP  AA '  A ' D '  D ' P  AA '  AD  AB .
2
uuuu
r uuu
r 1 uuur uuu
r 1 uuur uuur 1 uuur uuu
r 1 uuur 2 1 uuur2 1 uuur uuu
r
 MN . AP  AA '.AB  AA '. AD  AD. AB  AD  AB  AD.AB
2
2
2
2
4
4
1
1
3
 a2  a2  a2
2
4
4
1
a 2
a 2 3a

AC 
; AP  AA '2  A ' P 2  a 2  a 2 

2
2
4
2
uuuu
r uuu
r
3 2
a
MN . AP
1
4
 cos(MN;AP)= uuuu

r uuu
r 
2
MN . AP a 2 3a
.
2 2
0
 ( MN ; AP )  45 .
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a; SA vng góc với
đáy; SA  a . Gọi M là trung điểm của SB. Tính góc giữa AM và BD?
 Phân tích:
Vì hình chóp có đáy là hình vng và có SA vng góc với đáy nên ta có thể chọn
uuu

r uuur uuu
r
hệ vectơ cơ sở: AB; AD; AS .
Lại có: MN 

 Lời giải:
uuuu
r 1 uuu
r uuu
r uuur uuur uuu
r
Ta có: AM  ( AB  AS ); BD  AD  AB
2
uuuu
r uuur 1 uuu
r uuur 1 uuu
r 2 1 uuu
r uuur 1 uuu
r uuu
r
 AM .BD  AB. AD  AB  AS . AD  AS . AB
2
2
2
2
1
  a2
2
1
a 2

Mà BD  a 2; AM  SB 
2
2
7


1 2
uuuu
r uuur

a
AM .BD
1
2
 cos(AM;BD)= uuuu

r uuur 
2
AM . BD a 2
.a 2
2
0
 (AM;BD)  60 .
Ví dụ 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD . Gọi E là điểm đối xứng với D qua
trung điểm của SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BD. Tính góc giữa
hai đường thẳng MN và BD?

 Phân tích:
Với bài tốn này việc xác định và tính góc giữa hai đường thẳng MN và BD bằng
phương pháp hình học khơng gian thuần t sẽ gặp khó khăn.Giả thiết hình chóp tứ

giác đều nên có các yếu tố vng góc như: BD  AC ; BD  SO  BD  SC .
uur uuu
r uuur
uuuu
r
Vì thế ta nghĩ tới phân tích vectơ MN theo các vectơ SA; SC ; AC .
 Lời giải:
uuu
r uuuu
r uuuu
r uuur uuur uuuu
r uuuu
r uuur
Ta có: AB  AM  MN  NB; EC  EM  MN  NC
uuu
r uuur
uuuu
r
 AB  EC  2MN
uuuu
r 1 uuu
r uuur 1 uuu
r uuur uuur
 MN  ( AB  EC )  ( AB  ED  DC )
2
2
r uuu
r uuu
r uuur
1 uuu

 ( AB  ES  SD  DC )
2
r uuur uuu
r uuur 1 uuur uuu
r
1 uuu
 ( AB  AD  SD  DC )  ( AC  SC )
2
2
uuuu
r uuur 1 uuur uuu
r uuur
Do đó: MN .BD  ( AC  SC ).BD  0 (vì AC  BD; SC  BD do BD  ( SAC ) )
2
8


uuuu
r uuur
 MN  BD  ( MN ; BD)  900 .
Ví dụ 7: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB  a;AA '  a 2 . Tính góc
giữa hai đường thẳng AB’ và BC’?
 Phân tích:
Với giả thiết lăng trụ tam giác đều ta có tam giác ABC là tam giác đều và AA’
uuur uuuur uuuur
vng góc với đáy nên ta chọn hệ vectơ cơ sở AA ' ; B ' A ' ; B ' C ' .

 Lời giải:
Ta có: A ' B  BC '  a 2  ( a 2) 2  a 3
uuur uuur uuuur uuuu

r uuur uuuur
Lại có: AB '  AA '  A ' B '; BC '  BB '  B ' C '
uuur uuuu
r uuur uuur uuur uuuur uuuu
r uuur uuuu
r uuuur
 AB '.BC '  AA '.BB '  AA '.B 'C'  A 'B'.BB '  A 'B'.B 'C'
 (a 2) 2  a.a.cos600 

3a 2
2

3 2
uuur uuuu
r
a
AB '.BC '
1
2
 cos(AB';BC')= uuur uuuu

r 
AB ' . BC ' a 3.a 3 2
 (AB';BC')  600 .
Ví dụ 8: Cho hai tia Aj và Bk hợp với nhau một góc 600. Đường thẳng AB vng
góc với cả hai tia Aj và Bk và AB = a. Hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai tia Aj
và Bk sao cho AM = m, BN = n. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng MN và
AB theo a, m ,n.
 Phân tích:
9

Giả thiết có AB vng góc với AM;
AB vng góc với BN nên ta chọn hệ
uuur uuu
r uuur
vectơ cơ sở: MA; AB; BN .
 Lời giải:
uuur r uuu
r r uuur r
Đặt MA  a; AB  b; BN  c thì:
rr
rr
r
r
r
a.b  0; b.c  0; a  m; b  a; c  n.
uuuu
r uuur uuu
r uuur r r r
Ta có : MN  MA  AB  BN  a  b  c
uuuu
r uuu
r r r r r r r r2 r r
 MN . AB  (a  b  c ).b  a.b  b  c.b  a 2
Mà

uuuu
r2 r r r
r 2 r 2 r2

rr
rr
rr
MN 2  MN  (a  b  c )2  a  b  c  2a.b  2a.c  2b.c
 m 2  a 2  n 2  2.m.n.cos1200  m 2  a 2  n 2  m.n

 MN  m 2  a 2  n 2  m.n
Khi đó :
uuuu
r uuu
r
MN . AB
a2
a
cos(AB;MN)= uuuu

r uuu
r 
MN . AB a. m 2  a 2  n 2  m.n
m 2  a 2  n 2  m.n
2.3.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Gọi  là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng    ;
b là đường thẳng vng góc với mặt phẳng   
ta có: sin   cos(a;b) .

Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a; SA vng
góc với đáy; SA  a . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vng góc của A trên SB, SD.
Gọi  là góc giữa SD và mặt phẳng (AHK). Tính tan  ?
 Phân tích:
Với giả thiết của bài toán ta chứng minh được SC  ( AHK ) .

· SC
 sin   cos(SD; SC )  cos D
 Lời giải:

10


Ta có: DC  AD; DC  SA ( vì SA  ( ABCD) )
 DC  ( SAD)  DC  AK
Mà AK  SD  AK  SC
Chứng minh tương tự ta có AH  SC
 SC  ( AHK ) .
· SC .
Khi đó: sin   cos(SD; SC )  cos D
Trong tam giác vuông SDC có SD  a 2; DC  a  SC  a 3 .
· SC  SD  2
 cos D
SC
3
 sin  

2
1
 cos = 1  sin 2  
3
3

 tan   2
Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vng tại A và B;
AB  BC  a; AD  2a . Biết SA vng góc với đáy; SA  a . Gọi M, N lần lượt là

trung điểm của SB và CD. Tính sin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng
(SAC)?
 Phân tích:
Ta có BE vng góc với mặt phẳng (SAC)
(với E là trung điểm của AD). Giả thiết bài
tốn có các yếu tố vng góc :
SA  AB; SA  AD; AC  BE gợi cho ta nghĩ
uuuu
r uuu
r
tới phân tích vectơ MN ; BE theo các vectơ
uuu
r uuu
r uuur uuur
AS ; AB; AD; AE .
 Lời giải:
1
a
Gọi I, E lần lượt là trung điểm của AB và AD  MI PSA; MI  SA  .
2
2
3a
a 10
; BE  a 2
IN   MN  IN 2  MI 2 
2
2
Ta có: BE  AC ; BE  SA  BE  ( SAC )

11

uuu
r uuu
r uuu
r uuuu
r 1 uuur uuu
r
BE  AE  AB; MN  ( BC  SD)
2
uuu
r uuuu
r 1 uuu
r uuur 1 uuu
r uuu
r 1 uuu
r uuur 1 uuu
r uuu
r
 BE.MN  AE.BC  AE.SD  AB.BC  AB.SD
2
2
2
2
r uuur 1 uuu
r uuur 1 uuu
r uuu
r
1 uuu
1

1
3a 2
 AE.BC  AE.AD  AE.AS  a.a  a.2a 
2
2
2
2
2
2
uuu
r uuuu
r
BE.MN
 sin   cos(BE;MN)= uuu
r uuuu
r 
BE . MN

3a 2
3 5
2

.
10
a 10
a 2.
2
Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a; SA vng góc với
đáy; SA  2a . M là trung điểm của SC. Tính sin của góc giữa BM và mặt phẳng
(ABC)?

 Phân tích:
Theo bài ra SA vng góc với mặt phẳng (ABC) nên SA  AB; SA  AC . Lại có
uuu
r uuu
r uuur
tam giác ABC đều nên ta chọn hệ vectơ cơ sở: AS ; AB; AC .
 Lời giải:
uuuu
r uuuu
r uuu
r 1 uuu
r 1 uuur uuu
r
Ta có: BM  AM  AB  AS  AC  AB
2
2
uuuu
r uuu
r 1 uuu
r 2 1 uuu
r uuur uuu
r uuu
r
 BM . AS  AS  AS . AC  AS . AB
2
2
1
 .(2a) 2  2a 2
2
Laị có : SB  SC  a 2  (2a) 2  a 5 .

Trong tam giác SBC có:
SB 2  BC 2 SC 2 5a 2  a 2 5a 2 7a 2
2
BM 




2
4
2
4
4
a 7
 BM 
2

Gọi là góc giữa BM và (ABC) ta có:
uuuu
r uuu
r
BM . AS
2a 2
2
sin   cos(BM;SA)= uuuu

r uuu
r 
7.
BM . AS a 7

.2a
2
12


Ví dụ 12: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có SA  a 5; AB  a . Gọi M, N, P,
Q lần lượt là trung điểm của SA; SB; SC; SD. Tính góc giữa DN và mặt phẳng
(MQP)?
 Phân tích:
Với giả thiết hình chóp tứ giác đều
ta có SO vng góc với đáy; OD  OC .
Dễ thấy mp(MQP) song song với mp(ABCD)
nên SO là đường vng góc với mp(MQP).
uuu
r uuur uuur
Ta chọn hệ vectơ cơ sở: OS ; DB; OC .
 Lời giải:
Gọi O là tâm hình vng ABCD.
Vì hình chóp đều nên SO  ( ABCD) .
Mà ( MQP) P( ABCD)  SO  ( MQP) .
Ta có:
uuur 1 uuu
r uuur 1 uuur uuu
r uuur
DN  ( DS  DB)  ( DO  OS  DB)
2
2
uuur uuu
r 1 uuur uuu
r 1 uuu

r 2 1 uuur uuu
r
 DN .OS  DO.OS  OS  DB.OS
2
2
2
r2 1
1 uuu
1
a2
9a 2
 OS  OS 2  (5a 2  ) 
2
2
2
2
4
9a 2 3 2a
Lại có: SO 
;

2
2
SD 2  BD 2 SB 2 5a 2  2a 2 5a 2 9a 2
2
DN 





2
4
2
4
4
3a
 DN 
2
Gọi  là góc giữa DN và (MQP) ta có:
uuur uuu
r
9a 2
DN .OS
1
4
sin   cos(DN;SO)= uuur uuu

r 
2.
DN . OS 3 2a 3a
.
2
2
0
   45

13


2.3.3. Góc giữa hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Gọi a, b lần lượt là đường thẳng vng góc với (P)
và (Q). Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (P); (Q) ta có:
rr
u.v
r r
cos  cos(a; b)  cos(u; v)  r r .
u .v
r r
( với u; v lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b).
Ví dụ 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp
đường tròn đường kính AB  2a ; SA vng góc với đáy; SA  a 3 . Tính cơsin của
góc  giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)?
 Phân tích:
Từ giả thiết bài tốn ta suy ra các yếu tố
vng góc :
SA  AB; SA  AC ; SA  AD;
BD  AD; AC  BC
·
DAB
 600 .
Dễ dàng chứng minh được:
BD  ( SAD); AH  ( SBC ) .

uuu
r uuu
r uuur
Do đó ta chọn hệ vectơ cơ sở: AS ; AB; AD .
 Lời giải:
Ta có: tam giác ADB vuông tại D BD  a 3 . Tương tự AC  BC và AC  a 3 .
Suy ra tam giác SAC vuông cân tại A. Gọi H là trung điểm SC.

1
a 3. 2 a 6
.
 AH  SC 

2
2
2
Ta lại có: AH  SC ; BC  AC ; BC  SA  BC  AH  AH  ( SBC ) .
BD  AD; BD  SA  BD  ( SAD)
uuur uuur
BD. AH
 cos  =cos(BD; AH )  uuur uuur
BD . AH
uuur uuur uuu
r
Mà BD  AD  AB ;

14


uuur uuu
r uuur uuu
r 1 uuu
r uuu
r 1 uur uuur uuur
AH  AS  SH  AS  SC  AS  ( SA  AD  DC )
2
2
u

u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
1
1
1
 AS  AD  AB
2
2
2
uuur uuur 1 uuu
r uuur 1 uuur 2 1 uuu
r uuur 1 uuu
r uuu
r 1 uuu
r uuur 1 uuu
r2
BD. AH  AS . AD  AD  AB. AD  AS . AB  AB. AD  AB
2
2
4
2

2
4
1
1
1 1
3
 a 2  a.2a.  .4a 2   a 2
4
4
2 4
4
3
 a2
2
4
 cos  

.
4
a 6
a 3.
2
Ví dụ 14: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính số đo góc
giữa 2 mặt phẳng (BA’C) và (DA’C).
 Phân tích:
Với bài tốn này nếu làm cách hình học
thơng thường ta cần dựng mặt phẳng
vng góc với giáo tuyến A’C và tính góc
sẽ phức tạp. Vì hình lập phương có các yếu
tố vng góc ta dễ dàng xác định được hai

đường thẳng lần lượt vng góc với hai mặt
phẳng (BA’C) và (DA’C). Từ đó tính góc
một cách ngắn gọn.
 Lời giải:
Ta có: AB '  A ' B; AB '  BC  AB '  ( BA ' C )
Tương tự ta có: AD'  ( DA ' C ) .
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (BA’C) và (DA’C) ta có:
uuur uuuu
r
· ' AD'
cos   cos( AB '; AD')  cos B
Trong tam giác B’AD’ có AB '  AD'  B ' D '  a 2 nên tam giác B’AD’ đều.
   600
Ví dụ 15: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B; BC=a.
SA vuông góc với đáy; SA  a 3 . Gọi M là trung điểm của AC. Tính cơtang của
góc  giữa hai mặt phẳng (SBM) và (SAB).
 Phân tích:
15


Trong bài tốn này ta có các yếu tố vng góc: SA  BC ; SA  AB; AB  BC .
uuu
r uuu
r uuur
Khi đó ta chọn hệ vectơ cơ sở: AS ; AB; BC .
 Lời giải:
Gọi K là hình chiếu của A trên SM.
Vì BM  AC ; BM  SA  BM  ( SAM )  BM  AK
BC  AB; BC  SA  BC  ( SAB ) .
uuur uuur

BC. AK
 cos  =cos(BC; AK )  uuur uuur
BC . AK
1
a 2
a 14
.
AC 
 SM 
2
2
2
SA. AM
3
a 18
SK 6

a  SK 

 .
Mà AK 
SM
SM 7
7
7
Lại có:
uuur uuu
r uuu
r uuu
r 6 uuur uuu

r 6 uuuu
r 6 uuu
r
AK  AS  SK  AS  SM  AS  AM  AS
7
7
7
r 1 uuu
r 3 uuur 1 uuu
r
6 uuuu
 AM  AS  AC  AS
7
7
7
7
uuur uuur 3 uuur uuur 1 uuu
r uuur 3 uuur uuur uuu
r
 AK .BC  AC.BC  AS .BC  BC .( BC  BA)
7
7
7
r 3
3 uuur2 3 uuur uuu
 BC  BC.BA  a 2
7
7
7
3 2

a
3
2
7
 cos  

 sin   1  cos 2  
3
7
7
a.a
7
Ta có : AM 

 cot  

3
2

Ví dụ 16: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1; SA
vng góc với đáy; SA  a 3 . Gọi ( ) là mặt phẳng song song với các đường
thẳng SB và AC; (  ) là mặt phẳng song song với các đường thẳng SC và AB. Tính
cơsin góc giữa hai mặt phẳng ( ) và (  ) ?
 Phân tích:

16


Mặt phẳng ( ) và (  ) chưa tường minh nên việc xác định góc giữa 2 mặt phẳng
này tương đối khó khăn. Hình chóp với các yếu tố vng góc, cạnh, góc đã cho ta

uuu
r uuu
r uuur
có thể nghĩ tới phương pháp vectơ bằng cách chọn hệ vectơ cơ sở: AS ; AB; AC .
 Lời giải:
uuu
r r uuu
r r uuur r
Đặt AS  a; AB  b; AC  c .
ur r
r
Gọi m; n là các vectơ bất kỳ khác 0 tương ứng
vng góc với hai mặt phẳng ( ) và (  ) .
Gọi  là góc giữa ( ) và (  ) . Khi đó:
ur r
m.n
cos  ur r
m.n
ur
r
r r r r
r r
Đặt m  xa  yb  zc; n  ta  ub  vc .
uur ur
r r r
r r
 SB.m  0
(b  c)( xa  yb  zc )  0 6x  2 y  z  0
ur
 r r


r r
Vì m  ( ) nên  uuur ur
AC
.
m

0
c
.(
xa

yb

zc
)

0
 y  2z  0


ur r
r r
Chọn z  1  x  1; y  4  m  a  4b  2c .
r r r
r r
uuu
rr
 SC.n  0
(a  c)(ta  ub  vc )  0 t   1 u

r
 r r

rr
r r
2
Tương tự vì n  (  ) nên  uuu
b
.(
ta

ub

vc
)

0
AB
.
n

0

v  2u

ur r
r r
Chọn u  2  t  1; v  4  m  a  4b  2c .
Ta có:
ur r r

r r r
r r r 2 r 2 r2
rr
rr
rr
m.n  (a  4b  2c ).(a  2b  4c )  a  8b  8c  2a.b  2a.c  20c.b
 3  8  8  20.1.1.0,5  3
ur 2 r 2
r2
r2
rr
rr
rr
m  a  16b  4c  8a.b  4a.c  16c.b  3  16  4  16.1.1.0,5  15
ur
 m  15
r2 r2
r2
r2
rr rr
rr
n  a  4b  16c  4a.b  8a.c  16c.b  3  16  4  16.1.1.0,5  15
r
 n  15
 cos  

3
15. 15



1
.
5

Nhận xét chung:

17


Qua các ví dụ trên ta thấy được sự thuận lợi và khả năng áp dụng phong phú của
phương pháp vectơ trong việc giải tốn hình học khơng gian. Đây là một phần kiến
thức không thể thiếu của học sinh khi học hình khơng gian. Tuy nhiên cũng khơng
nên q lạm dụng phương pháp này mà quên mất phương pháp tổng hợp cũng là
một phương pháp giải hay và phát triển tư duy rất tốt. Cũng phải chú ý rằng chỉ một
bộ phận các bài tốn hình học khơng gian là giải được bằng phương pháp vectơ.
Trên thực tế có những bài toán giải bằng phương pháp vectơ hay phương pháp tổng
hợp đều như nhau.
Nhìn chung, phương pháp vectơ để giải tốn hình học khơng gian là một phương
pháp hay, nó thể hiện được sự vượt trội trong một số trường hợp, nó là cơng cụ cần
thiết trong hành trang của mỗi học sinh, được trang bị công cụ này, học sinh sẽ dễ
dàng ứng phó với những dạng bài tốn có thể áp dụng.
Bài tập tự luyện:
Bài 1:
Cho tứ diện ABCD
có AB  AC  AD  1 , góc BAC  600 ,
BAD  900 ; DAC  1200. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Tính cơsin góc tạo bởi
AG và CD.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 2a;
SA  a; SB  a 3; mặt phẳng (SAB) vng góc với (ABCD). Gọi M, N lần lượt là

trung điểm của AB và BC. Tính cơsin góc giữa hai đường thẳng SM và DN.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2 2a . SC vuông góc
với đáy; SC=a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AB. Tính góc giữa CN
và SM.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a; SA=a và SA vng
góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SD. Tính góc giữa hai mặt
phẳng (AMN) và (SBD).
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật; AB=2a; BC=a. Hình chiếu
vng góc H của đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm của AB; góc giữa SC và mặt
đáy bằng 600 . Tính cơsin góc giữa SB và AC.
Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB  AC  BB '  a ; góc BAC  1200 .
Gọi I là trung điểm của CC’. Tính cơsin góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và
(AB’I).
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a; SA vng góc với
đáy; SA  2a . Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vng góc của A trên SB;SD. Tính
góc giữa SB và mặt phẳng (AMN).
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục:
18


Để kiểm tra tính hiệu quả của đề tài, tơi tiến hành kiểm tra trên hai đối tượng là hai
lớp có lực học tương đương: lớp 11M và 11B . Lớp 11M đã được hướng dẫn sử
dụng phương pháp vec tơ giải bài tốn hình học khơng gian, lớp 11B chưa được
hướng dẫn. Với hình thức kiểm tra là làm bài tự luận, trong thời gian 1 tiết học (45
phút), với đề bài:
Câu 1. Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với mặt phẳng (BCD) . Tam giác
a 6
; AC  a 2; CD  a . Gọi E là trung điểm của AC.
2
Tính góc giữa hai đường thẳng AB và DE?

BCD vuông tại C, AB 

Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  SC  SD  AB  AC  1; BC  2 .
Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC?
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 2a, SA  a 3
và (SAB)  ( ABCD) . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Tính cosin của
góc giữa hai đường thẳng SM và DN?
Kết quả thu được như sau:

Lớp 11B (40
học sinh)
Lớp 11M (41
học sinh)

Điểm Giỏi
( 8 )
8 ( 20%)
15 (36,6%)

Điểm Khá
(6.5 - <8)
15 (37,5%)
16 ( 39%)

Điểm Trung bình
(5 - < 6.5)
13 (32,5%)
10 (24,4%)

Điểm Yếu

(<5)
4 (10%)
0 (0%)

Từ bảng kết quả nêu trên cho thấy rằng lớp dạy thực nghiệm có kết quả học tập đạt
được cao hơn. Như vây bằng cách sử dụng phương pháp vectơ trong việc giải bài
tốn tính góc trong không gian học sinh giải quyết được các yêu cầu đề ra tốt hơn,
gọn hơn, hiệu quả hơn. Điều đó phản ánh kết quả học tập của học sinh nâng lên rõ
rệt. Đồng thời qua việc rèn luyện cho học sinh sử dụng phương pháp này vào giải
toán, các em có được tư duy tích cực, độc lập và tạo cho các em mạnh dạn, tự tin
hơn , yêu thích, ham mê với mơn tốn.

3. Kết luận, kiến nghị
19


Trong quá trình dạy học , đối với mỗi bài tốn nói chung và bài tốn tính góc
nói riêng, nếu giáo viên biết tìm ra cơ sở lý thuyết , đưa ra phương pháp giải hợp lý
và hướng dẫn học sinh vận dụng một cách linh hoạt thì sẽ tạo được sự hứng thú học
tập của học sinh. Khi dạy học sinh giải các bài tốn tính góc bằng phương pháp
vectơ yêu cầu học sinh tìm mối liên hệ giữa các giả thiết của bài toán. Giáo viên
cần xây dựng một hệ thống bài tập từ dễ đến khó để nâng cao khả năng tư duy và
kỹ năng làm bài của học sinh.
Là một giáo viên tôi xác định cho mình phải ln tạo cho học sinh niềm hứng
thú say mê trong q trình học tập; ln cải tiến phương pháp dạy học, phát triển tư
duy, vận dụng kiến thức phục vụ tốt cho bài dạy của mình.
Bài viết của tôi chỉ là những kinh nghiệm nhỏ mà tôi đã áp dụng trong q
trình giảng dạy nên bài viết khơng tránh khỏi thiếu sót, rất mong nhận được sự góp
ý chân thành của đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
Thanh Hóa ngày 29/5/2022
ĐƠN VỊ:
Tơi xin cam đoan đây là bài viết của
mình khơng sao chép của người khác.
Người viết:

Dương Thị Thu

TÀI LIỆU THAM KHẢO

20


1. Nguyễn Mộng Hy và cộng sự (2011), Hình học lớp 11,lần xuất bản thứ 4, Nhà
xuất bản giáo dục Việt Nam .
2. Vũ Thế Hựu và cộng sự (2012), Bộ đề thi tốt nghiệp THPT, Tuyển sinh đại
học, cao đẳng , lần xuất bản thứ 3, Nhà xuất bản đại học sư phạm , Hà Nội.
3. Nguyễn Hữu Ngọc (2007), Các dạng tốn và phương pháp giải hình học
11 ,Nhà xuất bản giáo dục.
4. Tài liệu tham khảo trên Internet.

21


DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP
CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Dương Thị Thu

Chức vụ và đơn vị cơng tác: Giáo viên - Trường THPT Ba Đình

TT Tên đề tài SKKN
1.

Xác định chân đường vng
góc từ một điểm xuống một

2.

Cấp đánh giá Kết quả
xếp loại
đánh giá Năm học
(Ngành GD cấp xếp loại
đánh giá
huyện/tỉnh;
(A,
B, xếp loại
Tỉnh...)
hoặc C)
Ngành giáo dục
tỉnh Thanh Hóa

C

2011-2012

Ngành giáo dục
tỉnh Thanh Hóa

C

2015-2016

mặt phẳng
Hướng dẫn học sinh khai thác
tính chất hình học để giải bài
tốn về tam giác trong hình
học tọa độ phẳng

22