SKKN sáng kiến kinh nghiệm phát triển tư duy thuật giải, tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 11 – THPT thông qua việc giải một số bài toán định lượng trong hình học không gian bằng phương pháp véc tơ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (869.31 KB, 26 trang )
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Hình học không gian (HHKG) là một môn học tƣơng đối khó đối với học
sinh THPT nói chung và học sinh lớp 11 nói riêng, nhất là đối với các học sinh
có học lực trung bình khá trở xuống. Những nội dung các em học sinh lớp 11
thƣờng gặp khó khăn trong khi giải các bài toán HHKG đó là các nội dung liên
quan đến tính toán, chẳng hạn: tính tỉ số đoạn thẳng, tính độ dài đoạn thẳng, tính
góc và khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau,…mà tác giả gọi là “Các
bài toán định lượng trong hình học không gian”.
Sau nhiều năm giảng dạy ở các lớp mũi nhọn ôn thi HSG, ôn thi ĐH-CĐ,
tôi nhận thấy để có đƣợc kết quả tốt trong giảng dạy nội dung HHKG ở trƣờng
THPT thì phải tạo ra tâm lý “thích học hình không gian” của học sinh, nhất là
học sinh lớp 11; phải tìm cách tiếp cận HHKG đơn giản, dễ hiễu và có “thuật
giải” rõ ràng để có thể áp dụng cho nhiều bài tập, tránh trƣờng hợp mỗi bài vận
dụng mỗi cách khác nhau gây tâm lý hoang mang cho học sinh khi mới tiếp cận
HHKG; phƣơng pháp giải phải gần gũi với các nội dung đại số, phƣơng trình,
hệ phƣơng trình – là các nội dung đƣợc học rất nhiều trong chƣơng trình THPT
và có thể nói là nội dung “sở trường”, là điểm mạnh của đại đa số học sinh.
Phƣơng pháp véc tơ đáp ứng đƣợc các yêu cầu nói trên. Tuy nhiên trong
chƣơng trình SGK Hình học lớp 11 NC, phƣơng pháp véc tơ chỉ đƣợc đề cập ở
hai bài đầu tiên của Chƣơng III với thời lƣợng 4 tiết là quá ít so với nội dung đồ
sộ của phần HHKG. Chính vì vậy Phƣơng pháp véc tơ đôi khi bị xem nhẹ, trang
bị không đầy đủ, thiếu tính hệ thống làm cho học sinh không biết vận dụng vào
giải quyết các bài toán hình học.
Vì những lí do trên, tôi đã chọn đề tài SKKN mang tên “Phát triển tƣ duy
thuật giải, tƣ duy sáng tạo cho học sinh lớp 11 – THPT thông qua việc giải
một số bài toán định lƣợng trong hình học không gian bằng phƣơng pháp
véc tơ ” với mục đích trang bị cho học sinh các kiến thức và kỹ năng vận dụng
phƣơng pháp véc tơ vào giải toán HHKG, hình thành cho học sinh phƣơng pháp
tƣ duy thuật giải, tƣ duy sáng tạo, tạo tâm lý hứng thú khi học HHKG, góp phần
nâng cao chất lƣợng dạy và học HHKG ở trƣờng THPT nói chung cũng nhƣ
Trƣờng THPT Triệu Sơn 3 nói riêng. Đồng thời tác giả cũng mong muốn đƣợc
trao đổi ý tƣởng và cách làm tới các đồng nghiệp trong và ngoài đơn vị và hy
vọng cách làm này sẽ đƣợc tiếp tục bổ sung và hoàn thiện hơn.
1
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN
1. Cơ sở lý luận:
Sử dụng phƣơng pháp véc tơ trong dạy học HHKG lớp 11 là cần thiết và
sáng tạo bởi những lý do sau:
Thứ nhất: Phƣơng pháp véc tơ đã đƣợc đề cập trong Chƣơng III- SGK Hình
học lớp 11 NC với thời lƣợng là 4 tiết, tuy nhiên chỉ tập trung chủ yếu vào việc
chứng minh các đẳng thức véc tơ và biễu diễn tuyến tính một véc tơ theo các véc
tơ không đồng phẳng. Rất ít nội dung vận dụng phƣơng pháp véc tơ vào “Các
bài toán định lượng trong hình học không gian”.
Thứ hai: Rất nhiều bài toán về HHKG lớp 11 khi giải bằng phƣơng pháp
hình học tổng hợp thì tƣơng đối phức tạp và gây nhiều khó khăn cho học sinh,
tuy nhiên khi vận dụng phƣơng pháp véc tơ thì có lời giải rất gọn, đẹp, có tính
đại số và thuật giải, gây nhiều hứng thú cho học sinh.
2. Mục tiêu của đề tài:
Trên cơ sở lý luận nhƣ trên, tôi nêu ra một số mục tiêu cần phải đạt nhƣ sau:
a) Đối với tác giả của đề tài
Thứ nhất: Xây dựng đƣợc hệ thống các thuật giải tổng quát cho các bài
toán cơ bản về định lƣợng trong HHKG lớp 11, cụ thể là các bài toán về sử dụng
điều kiện cùng phƣơng của hai véc tơ, điều kiện đồng phẳng của ba véc tơ; tính
góc và khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau.
Thứ hai: Xây dựng đƣợc hệ thống các bài tập minh họa cùng lời giải phù
hợp và thể hiện tính điển hình, tối ƣu của phƣơng pháp véc tơ so với các phƣơng
pháp khác. Các bài tập nêu ra phải đảm bảo yêu cầu bám sát nội dung thi HSG
và thi ĐH-CĐ.
Thứ ba: Xây dựng đƣợc hệ thống bài tập tƣơng tự có chỉ dẫn hoặc đáp số
làm tƣ liệu phục vụ cho quá trình dạy và học HHKG. Các bài tập nêu ra cũng
phải đảm bảo yêu cầu bám sát nội dung thi HSG và thi ĐH-CĐ.
b) Đối với học sinh khi được triển khai áp dụng:
Thứ nhất: Đƣợc trang bị đầy đủ, có tính hệ thống về phƣơng pháp véc tơ và
thuật giải một số dạng toán cơ bản trong HHKG lớp 11.
2
Thứ hai: Biết vận dụng thành thạo và có sáng tạo phƣơng pháp véc tơ trong
quá trình học tập môn HHKG, có tâm lý tự tin và hứng thú khi giải các bài tập
về HHKG.
Thứ ba: Hình thành và phát triển tƣ duy thuật giải, tƣ duy sáng tạo.
3. Đối tƣợng nghiên cứu của đề tài:
Để có cơ sở đánh giá về hiệu quả của việc áp dụng đề tài vào thực tế dạy
học, tôi chọn 2 lớp theo ban KHTN của Trƣờng THPT Triệu Sơn 3 năm học
2012-2013, cụ thể: lớp đối chứng: 11G2, lớp thực nghiệm:11G7.
Các lớp đƣợc chọn tham gia nghiên cứu cho đề tài có nhiều điểm tƣơng
đồng nhau về tỉ lệ giới tính, kết quả và ý thức học tập của học sinh,... đặc biệt là
năng lực học tập và kết quả điểm kiểm tra môn Toán trƣớc khi tác động.
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
Thực trạng dạy và học HHKG ở trƣờng THPT nói chung và trƣờng THPT
Triệu Sơn 3 nói riêng thể hiện ở một số điểm sau:
Thứ nhất: Đối với giáo viên, việc dạy HHKG thƣờng mất nhiều thời gian
và công sức, đồng thời nội dung HHKG trong các đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi
đại học, đề thi HSG thƣờng là những nội dung khó, có tính chất phân loại cao và
chỉ chiếm tỉ lệ từ 10%-15% số điểm của toàn bài thi, do đó có tâm lý “xem nhẹ”
nội dung này trong quá trình dạy học, ôn tập.
Thứ hai: Đối với học sinh, để học tốt môn HHKG thì cần phải nắm vững
kiến thức về hình học phẳng ở chƣơng trình THCS, đồng thời phải có tƣ duy
trừu tƣợng, khả năng đoán nhận tốt. Thực tế điều này lại là điểm yếu của không
ít học sinh THPT nói chung và học sinh THPT Triệu Sơn 3 nói riêng, kể cả học
sinh khá giỏi, do đó dẫn đến tâm lý “sợ” học HHKG, “ngại” học HHKG.
Thứ ba: Các tài liệu trình bày về phƣơng pháp véc tơ còn hạn chế, chƣa có
tính hệ thống, chuyên sâu và hệ thống bài tập chƣa đa dạng gây nhiều khó khăn
cho ngƣời dạy và ngƣời học.
III. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
Tƣ tƣởng chủ đạo để xác định các giải pháp là vận dụng quan điểm triết học
trong câu nói của Chủ tịch Hồ Chí Minh : “Dĩ bất biến, ứng vạn biến”.
1. Giải pháp thứ nhất: Xây dựng các thuật giải – các đối tƣợng “bất biến”:
Thực chất là các quy trình, các bƣớc thực hiện cố định để tìm ra đáp số của một
lớp các bài toán có yêu cầu tƣơng tự nhau. Thông qua việc hình thành và xây
3
dựng thuật giải giúp cho học sinh phát triển tƣ duy thuật giải – một loại hình tƣ
duy rất quan trọng không chỉ trong toán học mà cả trong nhiều lĩnh vực khoa
học khác. Tạo tâm lý hứng thú, tự tin cho học sinh khi học môn HHKG.
2. Giải pháp thứ hai: Xây dựng các bài tập minh họa thuật giải – các đối tƣợng
“vạn biến”: Chính là lớp các bài toán cụ thể với giả thiết luôn thay đổi theo từng
đặc trƣng của mỗi bài. Việc áp dụng các thuật giải – tức là cái “bất biến” vào để
giải một lớp các bài toán với các giả thiết khác nhau – tức là cái “vạn biến” giúp
cho học sinh hình thành tƣ duy sáng tạo, linh hoạt trong từng tình huống cụ thể;
tập luyện cho học sinh khả năng ứng biến và vận dụng khéo léo các tính chất,
các định lí cơ bản của véc tơ trong không gian vào để giải quyết các bài toán
hình học.
IV. BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN
1. Thuật giải trong các bài toán liên quan đến điều kiện cùng phƣơng của
hai véc tơ, điều kiện đồng phẳng của ba véc tơ.
a) Thuật giải: Ta có thuật giải tổng quát nhƣ sau:
Bước 1: Chọn một hệ ba véc tơ a , b , c không đồng phẳng
Bước 2: Biểu diễn các véc tơ theo a , b , c
Bước 3: Sử dụng điều kiện cùng phƣơng của hai véc tơ, điều kiện đồng phẳng
của ba véc tơ để lập một hệ phƣơng trình đại số.
b) Một số định lí cơ bản của véc tơ trong không gian:
Định lí 1.1. Cho hai véc tơ a và b ( a 0 ). Khi đó hai véc tơ a và b cùng
phƣơng khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho b k.a .
Định lí 1.2. Trong không gian, cho a và b là hai véc tơ không cùng phƣơng và
véc tơ c . Khi đó ba véc tơ a , b , c đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại các số thực
m, n sao cho c ma nb . Hơn nữa các số m, n là duy nhất.
Định lí 1.3. Trong không gian, cho ba véc tơ a , b , c không đồng phẳng. Khi đó
với véc tơ d tùy ý, tồn tại các số thực m, n, p sao cho d ma nb pc . Hơn
nữa các số m, n, p là duy nhất.
c) Bài tập minh họa:
Bài 1.1. Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1 . Gọi M và N là các điểm lần lƣợt thuộc
các đƣờng thẳng AB1 và A1C1 sao cho MN//BD1. Tính tỉ số
AM
.
AB1
4
Lời giải Bài 1.1.
+) Chọn hệ véc tơ
A
b
a AB,b AD,c AA1
A N yA C y a b
a
+) Đặt AM xAB1 x a c
1
1
c
C
B
1
D
Ta có MN MA AA1 A1N
= y x a yb 1 x c
A1
(1)
D1
M
và BD1 a b c
N
B1
C1
+) Vì MN//BD1 nên tồn tại số thực k sao cho MN kBD1 ka kb kc (2)
y x k
2
1
1
AM 2
x , y ,k . Vậy
So sánh (1) và (2) ta có hệ y k
.
3
3
3
AB
3
1
1 x k
Bài 1.2. Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lƣợt là các điểm thuộc các
cạnh BC, BD, AC sao cho BC 4BM,BD 2BN,AC 3AP . Mặt phẳng (MNP)
AQ
.
AD
Lời giải Bài 1.2.
cắt đƣờng thẳng AD tại Q. Tính tỉ số
+) Chọn hệ véc tơ a AB,b AC,c AD
A
1
1
+) Ta có BM BC b a ,
4
4
1
1
1
1
AP AC b , BN BD c a
2
2
3
3
c
a
b
N
B
+) Đặt AQ xAD xc . Khi đó
1
PQ AQ AP b xc
3
Q
P
(1)
D
M
C
Mặt khác ba véc tơ PQ,PM,PN đồng phẳng nên tồn tại các số thực m, n sao cho
PQ mPM nPN m AP AB BM n AP AB BN
5
1 1
1
1
3
= m n a m n b nc
2 12
3
2
4
(2)
4
1
3
m
m
n
0
4
5
2
AQ 3
1
1
6
1
So sánh (1) và (2) ta có hệ: m n n
. Vậy
.
AD
5
12
3
3
5
3
1
2 n x
x 5
Bài 1.3. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lƣợt là trung
điểm của BD và AC. Trên đƣờng thẳng AB lấy điểm P, trên đƣờng thẳng DN
lấy điểm Q sao cho PQ//CM. Tính độ dài PQ.
Lời giải Bài 1.3.
+) Chọn hệ véc tơ a AB,b AC,c AD
Khi đó: a b c 1 và
A
b
Q
1
a.b b.c c.a
2
a
N
+) Giả sử AP xAB và DQ yDN
c
P
C
D
Khi đó ta có
M
1
1
CM CA AM a b c
2
2
B
1
PQ PA AD DQ xAB AD y DA AC AD
2
1
= xa yb 1 y c
2
k
k
+) Do PQ//CM nên tồn tại số thực k sao cho PQ kCM a kb c
2
2
(1)
(2)
1
k
x
x
3
2
4
1
So sánh (1) và (2) ta có hệ: y k y
3
2
k
2
1 y 2
k 3
6
2
2
1
2
1
2
1
3
1
+) Khi đó PQ a b c PQ PQ a b c
.
3
3
3
3
3
3
3
Bài 1.4. Cho hình lập phƣơng ABCDA1B1C1D1 có cạnh bằng 2. Gọi I là trung
điểm của AB và O là tâm của mặt BCC1B1, M là điểm trên cạnh AD sao cho
AD 5AM , P là trung điểm của BB1 và K là điểm sao cho A1K kA1C .
a) Tìm số k và tỉ số
CK
biết đƣờng thẳng MK song song với mp (PDC1).
CA1
b) Gọi E và F lần lƣợt là các điểm thỏa mãn AE mAP , CF nCI sao cho O, E,
F thẳng hàng. Tìm các số m, n và độ dài EF.
Lời giải Bài 1.4.
+) Chọn hệ véc tơ
F
a BA,b BB1 ,c BC .
Khi đó: a b c 2 và
A
a.b b.c c.a 0
1
cbk cba
5
E
c
b
C
D
1
kc 1 k b k c (1)
5
+) Do MK//(PDC1) nên tồn
tại các số x, y sao cho:
B
M
a) +) Ta có A1C c b a
MK MA AA1 A1K
a
I
P
O
K
B1
A1
D1
C1
MK xPC1 yPD x PB1 B1C1 y PB BC CD
b
b
x y
x b c y c a ya b x y c
2 2
2
2
(2)
7
17
x
k y
25
1
11
So sánh (1) và (2) ta có hệ 1 k x y y
2
25
1
11
k 5 x y
k 25
Với k
11
CK CA1 A1K
14
1 k
25 CA1
CA1
25
b) Ta có OE OB BA AE
OF OC CF
b
1
m 1 1
b c a m a 1 m a
b c
2
2
2
2
(3)
1
n
n
1
1
b c a nc a b n c
2
2
2
2
2
Do O, E, F thẳng hàng nên có số thực k sao cho
OE kOF
nk
k
1
a b k n c
2
2
2
(4)
nk
1 m
n 2
2
k
2
m 1
m
So sánh (3) và (4) ta có hệ
2
3
2
1
1
1
2 k 2 n
k 3
2
2
2
1
1
2 14
2
Khi đó EF OF OE a b c EF= EF a b c
.
3
3
3
3
3
d) Nhận xét: 1.1. Điểm mấu chốt của cả 4 bài toán trên là sử dụng định lí về sự
biểu diễn tuyến tính duy nhất của một véc tơ tùy ý trong không gian theo ba véc
tơ không đồng phẳng (Định lí 1.3), từ đó dẫn đến việc giải một hệ phƣơng trình
3 ẩn. Việc làm này đƣợc lặp lại ở 4 bài với giả thiết và yêu cầu khác nhau đã thể
hiện rõ tính thuật giải, tính ƣu điểm lớn của phƣơng pháp véc tơ.
1.2. Việc chọn hệ ba véc tơ không đồng phẳng (hệ cơ sở) một cách khéo léo để
có thể biễu diễn các véc tơ khác theo chúng một cách thuận lợi nhất đã thể hiện
đƣợc tính sáng tạo trong quá trình vận dụng phƣơng pháp véc tơ vào giải toán
hình học.
8
2. Thuật giải trong các bài toán tính góc và khoảng cách giữa hai đƣờng
thẳng chéo nhau.
Cho hai đƣờng thẳng chéo nhau d1 và d2. Giả sử d1 có véc tơ chỉ phƣơng u1 , đi
qua A; d2 có véc tơ chỉ phƣơng u 2 , đi qua B.
a) Thuật giải:
Bước 1: Chọn một hệ ba véc tơ a , b , c không đồng phẳng. Cần chọn a , b , c
khéo léo để có thể tính các giá trị a , b , c , a.b , b.c , c.a
Bước 2: Biểu diễn các véc tơ u1 và u 2 theo a , b , c
* Để tính góc giữa d1 và d2 ta tiếp tục thực hiện theo hai bước sau:
Bước 3: Tính các giá trị u1 , u 2 ,u1.u 2
Bước 4: Sử dụng công thức tính góc: cos d1 ,d 2 cos u1 , u 2
u1.u 2
u1 . u 2
* Để tính khoảng giữa d1 và d2 ta thực hiện theo hai bước sau:
Bước 5: Gọi EF là đoạn vuông góc chung của d1 và d2 ( E d1,F d2 ). Giả sử
AE x.u1 ,BF y.u 2 . Biểu diễn véc tơ EF theo a , b , c (phụ thuộc vào x, y)
EF.u1 0
Bước 6: Giải hệ phƣơng trình đại số
để tìm nghiệm (x;y)
EF.u
0
2
Suy ra có sự biểu diễn EF .a .b .c (các số , , biết thông qua x,y).
Từ đó tìm đƣợc độ dài: d d1 ,d 2 EF EF
2
.a .b .c
2
.
b) Bài tập minh họa:
Bài 2.1. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thoi tâm O, có độ dài các đƣờng
chéo AC 4a, BD 2a , SO 2 2a và SO (ABCD) . Gọi M là trung điểm
của cạnh SC. Tính góc và khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng SA và BM.
Lời giải Bài 2.1.
9
+) Chọn hệ véc tơ
S
a CA,b DB,c OS .
E
D
a
M
F
c
C và a.b b.c c.a 0
1
+) Ta có SA a c ,
2
O
b
A
BM
Khi đó: a 4a, b 2a, c 2 2a
B
1
1 1
1
1
1
1
BS BC b c a b a b c
2
2 2
4
2
2
4
2
1 2 2
1
+) Tính cos SA,BM : SA SA a c
a c 2 3a ,
4
2
2
2
1
1
1 2 1 2 1 2
1
BM BM a b c
a b c 2a
2
2
16
4
4
4
2
1
1
1 2 1 2
1
1
SA.BM a c . a b c a c 6a 2
2
2
8
2
2
4
Suy ra: cos SA,BM cos SA,BM
SA.BM
SA.BM
3
SA,BM 300
2
+) Tính khoảng cách d SA,BM : Gọi EF là đoạn vuông góc chung của SA và
BM ( E SA,F BM ). Giả sử EA x.SA, BF y.BM . Khi đó ta có:
x y 1 1 y
y
EF EA AB BF a b x c
2 4 2 2 2
2
x y 1 1 y y
1
EF.SA 0 a b x c a c 0 6x 3y 2 (1)
2
2 4 2 2 2 2
x y 1 1 y y 1 1 1
EF.BM 0 a b x c a b c 0 6x 4y 1 (2)
2 4 2 2 2 2 4 2 2
5
Giải hệ phƣơng trình (1) và (2) ta đƣợc x , y 1 . Do đó:
6
10
2
1
1
1
2a 6
1
.
EF a c d SA,BM =EF= a c
3
3
3
3
3
Bài 2.2. Cho lăng trụ ABC.A1B1C1 có tất cả các mặt bên là hình vuông cạnh
bằng 1. Gọi D, E, F lần lƣợt là trung điểm của các cạnh BC, A1C1, B1C1. Tính
côsin của góc giữa hai đƣờng thẳng A1F, DE và khoảng cách giữa chúng.
Lời giải Bài 2.2.
+) Chọn hệ véc tơ
A
C
a A1A,b A1B1 ,c A1C1
D
B
Khi đó: a b c 1 và
1
a.b a.c 0 , b.c .
2
+) Ta có
1
1
1
A1B1 A1C1 b c
2
2
2
1
DE DC CC1 C1E a b
2
A1F
J
a
c
C1
E
A1
I
b
F
B1
2
1
3
1
+) Tính cos A1F,DE : A1F A1F b c
,
2
2
2
2
2
1
1
3
1
5
1
, A1F.DE b c . a b .
DE DE a b
2
2
8
2
2
2
2
Suy ra: cos A1F,DE cos A1F,DE
A1F.DE
A1F.DE
15
.
10
+) Tính khoảng cách d A1F,DE : Gọi IJ là đoạn vuông góc chung của A1F và
DE ( I A1F,J DE ). Giả sử JE x.DE, A1I y.A1F . Khi đó ta có:
y x
y 1
JI JE EA1 A1I x.a b c
2 2
2 2
1
3
3
3
y x y 1 1
JI.A1F 0 x.a b c b c 0 x y (1)
2
8
4
8
2 2 2 2 2
11
1
5
3
1
y x y 1
JI.DE 0 x.a b c a b 0 x y
2
4
8
8
2 2 2 2
Giải hệ phƣơng trình (1) và (2) ta đƣợc x
(2)
1
9
, y . Do đó:
17
17
2
1
4
4
4
4
17
1
.
JI a b c d A1F,DE =JI= a b c
17
17
17
17
17
17
17
Bài 2.3. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB 5, AC 4, AD 3 và các góc
BAC 600 , CAD 900 , DAB 1200 . Gọi M và N là các điểm lần lƣợt trên các
cạnh AB và CD sao cho AM 2MB, DN 2NC. Tính côsin của góc giữa hai
đƣờng thẳng MN và AC và khoảng cách giữa chúng.
Lời giải Bài 2.3.
+) Chọn hệ véc tơ
A
a AB,b AC,c AD
c
a
Khi đó: a 5, b 4, c 3 và
b
M
15
a.b 10, b.c 0, c.a .
2
F
E
+) Ta có MN MA AD DN
B
D
2
2
1
a b c
3
3
3
+) Tính cos MN,AC :
N
2
1
2
MN.AC a b c .b 4
3
3
3
C
2
2
1
123
2
.
MN MN a b c
3
3
3
3
2
Suy ra cos MN,AC cos MN,AC
MN.AC
MN.AC
123
.
41
+) Tính khoảng cách d MN,AC : Gọi EF là đoạn vuông góc chung của MN và
AC ( E MN, F AC ). Giả sử ME x.MN, AF y.AC . Khi đó ta có:
2
2
x
2
EF EM MA AF x a y x b c
3
3
3
3
12
2 2 2 x 2 2 1
41
25
EF.MN 0 x a y x b c a b c 0 x 4y (1)
3
3
3 3 3 3 3 3 3
2
2
2 x
20
EF.AC 0 x a y x b c .b 0 4x 16y
3
3 3
3
3
Giải hệ phƣơng trình (1) và (2) ta đƣợc x
EF
(2)
15
35
. Do đó:
,y
19
57
8
5
5
8
5
5
5 57
a b c d MN,AC =EF= a b c
.
57
57
57
57
57
57
57
Bài 2.4. Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1 có độ dài các cạnh bằng a và các góc
BAD DAA1 A1AB 600 . Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm của AA1 và CD.
Tính côsin của góc giữa hai đƣờng thẳng MN, B1C và khoảng cách giữa chúng.
Lời giải Bài 2.4.
B1
+) Chọn hệ véc tơ
A1
a AA1 ,b AB,c AD .
Khi đó: a b c a và
M
C1
a
D1
F
b
B
C
A
c
E
+) Ta có B1C a c
1
1
và MN a b c
2
2
D
N
a2
a.b b.c c.a
2
1
3
1
+) Tính cos MN,B1C : MN.B1C a b c . a c a 2 ,
2
4
2
2
2
1
a 5
1
, B1C B1C
MN MN a b c
2
2
2
2
Do đó cos MN,B1C cos MN,B1C
MN.B1C
MN.B1C
a c
2
a
3 5
10
+) Tính khoảng cách d MN,B1C : Gọi EF là đoạn vuông góc chung của MN và
B1C ( E MN,F B1C ). Giả sử ME x.MN, B1F y.B1C . Khi đó ta có:
13
1 x
x
EF EM MA1 A1B1 B1F y a 1 b y x c
2 2
2
x
1 x
3
1
EF.B1C 0 y a 1 b y x c a c 0 x y (1)
2 2
4
4
2
x
1 x
1 1
5
3
7
EF.MN 0 y a 1 b y x c a b c 0 x y (2)
2 2
4 4
8
2
2 2
Giải hệ phƣơng trình (1) và (2) ta đƣợc x
17
31
,y
. Do đó:
11
22
2
3
5
3
5
3 a 22
3
.
EF a b c d MN,B1C EF= a b c
22
22
22
22
22
22
22
c) Nhận xét: 2.1. Rất khó có thể sử dụng phƣơng pháp hình học tổng hợp và
phƣơng pháp tọa độ để giải Bài 2.3 và Bài 2.4 bởi giả thiết của bài toán không
còn yếu tố trực giao. Tuy nhiên khi trình bày lời giải theo phƣơng pháp véc tơ
thì chúng ta thấy rõ “thuật giải” không có gì thay đổi so với hai bài trƣớc đó. Rõ
ràng việc sử dụng phƣơng pháp véc tơ để giải Bài 2.3 và Bài 2.4 là sự lựa chọn
tối ƣu và sáng tạo nhất. Trong dạy học, giáo viên có thể thay đổi giả thiết về số
đo góc tam diện đỉnh A và độ dài các cạnh của hình hộp, chẳng hạn đối với Bài
2.4 ta có thể điều chỉnh giả thiết : BAD 600 , DAA1 900 ,A1AB 1200 ,
AB a , AD 2a , AA1 3a để có thêm nhiều nội dung luyện tập cho học sinh.
2.2. Có thể kết luận: với thuật giải nhƣ trên thì có thể tính đƣợc góc và khoảng
cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau tùy ý trong không gian (với điều kiện là có
thể chọn đƣợc một hệ véc tơ cơ sở a , b , c và có thể tính đƣợc các giá trị
a , b , c , a.b , b.c , c.a ). Đây chính là một điểm mạnh nữa của phƣơng pháp véc
tơ so với các phƣơng pháp khác.
3. Các bài tập tƣơng tự
Bài 3.1. Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1 . Gọi I và J là các điểm lần lƣợt thuộc
các đƣờng thẳng B1D và AC sao cho IJ//BC1. Tính tỉ số
ID
1
. (Đáp số : )
2
IB1
14
Bài 3.2. Cho hình lập phƣơng ABCDA1B1C1D1 cạnh bằng 1. Trên đƣờng thẳng
BC1 lấy điểm M sao cho các véc tơ D1M,DA1,AB1 đồng phẳng. Hãy tính tỉ số
BM
và diện tích tam giác MAB1. ( Đáp số: 3 và
MC1
19
)
4
Bài 3.3. Cho hình lập phƣơng ABCDA1B1C1D1 cạnh bằng 1. Trên các cạnh BC
và DD1 lấy các điểm M và N sao cho BM DN x 0 x 1 . Chứng minh rằng
MN vuông góc với AC1. Tìm x để độ dài MN ngắn nhất. (Đáp số: x
MNmin=
1
và
2
6
)
2
Bài 3.4. Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều với AB 4 2a ,
SC (ABC) và SC 2a . Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm của BC, AB. Tính góc
và khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng SM và CN.( Đáp số: 450 và
2 3a
)
3
Bài 3.5. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, cạnh
bên SA vuông góc với đáy và SA a 3,AB a,BC 2a . Biết góc giữa SD và
mặt phẳng (ABCD) bằng 300. Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách
30a
)
10
Bài 3.6. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông với AB 2a , SA a ,
giữa SM và CD. ( Đáp số:
SB a 3 , mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần
lƣợt là trung điểm của AB, BC. Tính góc và khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng
SM và DN. (Hƣớng dẫn:Kẻ đƣờng cao SH của SAB thì SH (ABCD) và
SH
3a
2 3a
. Chọn hệ véc tơ: a AB,b AD,c HS . Đáp số: 450 và
)
2
3
Bài 3.7. Cho hình hộp đứng ABCDA1B1C1D1 có đáy là hình thoi cạnh bằng a,
3
4
góc BAD với cos . Gọi M là điểm thỏa mãn DM kDA và N là trung
điểm của A1B1. Tìm k để C1M D1N. Khi đó hãy tính góc và khoảng cách giữa
2
5
MN và BC. (Đáp số : k , cos
41
112
,d MN, BC a
)
263
8 129
15
V. KIỂM NGHIỆM THỰC TẾ
1. Phƣơng pháp kiểm nghiệm:
Để đánh giá hiệu quả của đề tài, tôi tiến hành kiểm nghiệm theo các bƣớc
sau:
Bước 1: Đánh giá và so sánh năng lực học tập của lớp đối chứng và lớp thực
nghiệm trƣớc khi tác động.
Bước 2: Thực hiện việc tác động đối với lớp đối chứng và lớp thực nghiệm. Cụ
thể nhƣ sau:
* Với lớp đối chứng 11G2: Trong thời gian từ 01/3/2013 đến 15/4/2013, tổ chức
dạy 3 buổi (bằng 9 tiết) về các nội dung: tính tỉ số đoạn thẳng, độ dài đoạn
thẳng, tính góc và khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau trong không
gian theo phƣơng pháp hình học tổng hợp. Trong 3 buổi trên có 2 buổi dạy lý
thuyết và ví dụ minh họa, 1 tiết thảo luận các bài tập (mỗi dạng 2 bài tập)
* Với lớp thực nghiệm 11G7: Cũng trong thời gian từ 01/3/2013 đến 15/4/2013
tôi tiến hành dạy 2 buổi lý thuyết và các ví dụ minh họa bằng phƣơng pháp véc
tơ, 1 buổi thảo luận bài tập với các nội dung: tính tỉ số đoạn thẳng, độ dài đoạn
thẳng, tính góc và khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau trong không
gian. Các ví dụ minh họa là các bài có lời giải chi tiết nêu trong Phần III của
SKKN, còn bài tập thảo luận cũng là các bài tập đƣợc nêu trong SKKN.
Bước 3: Đánh giá và so sánh kết quả giữa lớp đối chứng và lớp thực nghiệm sau
khi tác động.
2. Kết quả kiểm nghiệm:
a) Trước tác động: Tôi lấy kết quả điểm kiểm tra viết môn Toán (90 phút) do tổ
chuyên môn ra đề dùng khảo sát chất lƣợng học kì I, đƣợc tổ chức kiểm tra tập
trung cho toàn khối, tổ chuyên môn chấm bài theo đáp án đã xây dựng:
Bảng 1: Bảng thống kê kết quả bài kiểm tra trước khi tác động
Lớp
Số bài
Lớp đối
chứng
45
Lớp thực
nghiệm
44
Điểm
0–2
3
4
5
6
7
8
9
10
sl
0
1
3
7
10
16
7
1
0
%
0
2.2
6.6
15.6
2.2
0
sl
0
2
2
8
1
0
%
0
4.5
4.5
18.2
2.3
0
22.2 35.6 15.6
8
17
6
18.2 38.7 13.6
16
Bảng 2: Bảng so sánh kết quả bài kiểm tra trước khi tác động
Nội dung so sánh
Lớp đối chứng
Lớp thực nghiệm
Điểm trung bình
6.38
6.32
Chênh lệch điểm trung bình
0.06
Nhƣ thông tin trong các Bảng 1 và Bảng 2 đã chứng minh rằng, sự chênh
lệch điểm trung bình của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng trƣớc tác động là
không đáng kể, hai lớp đƣợc coi là tƣơng đƣơng và không cần thực hiện phép
kiểm chứng T-Test để kiểm chứng sự chênh lệch giữa điểm số trung bình của
các nhóm trƣớc khi tác động.
b) Sau tác động: Tôi lấy kết quả điểm kiểm tra viết môn hình học không gian
(với thời gian làm bài 90 phút), do tổ trƣởng chuyên môn ra đề. Lớp đối chứng
và lớp thực nghiệm đƣợc kiểm tra vào cùng một thời gian, cùng một đề. Để đảm
bảo tính khách quan, việc coi và chấm bài kiểm tra hoàn toàn do giáo viên trong
tổ chuyên môn thực hiện.
Bảng 3: Bảng thống kê kết quả bài kiểm tra sau khi tác động
Lớp
Số bài
Lớp đối
chứng
45
Lớp thực
nghiệm
44
Điểm
0-2
3
4
5
6
7
8
9
10
sl
0
6
7
14
10
6
2
0
0
%
0
4.4
0
0
sl
0
0
2
4
9
5
1
%
0
0
4.5
9.1
13.3 15.6 31.2 22.2 13.3
12
11
27.3 24.9 20.5 11.4
2.3
Bảng 4: Bảng so sánh kết quả bài kiểm tra sau khi tác động
Nội dung so sánh
Lớp đối chứng
Lớp thực nghiệm
Điểm trung bình
5.2
6.9
Độ lệch chuẩn
1.97
2.68
Chênh lệch giá trị trung
0.86
bình chuẩn (SMD)
Từ Bảng 3 và Bảng 4 cho thấy, sau tác động sự chêch lệch giữa điểm trung
bình của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng rất có ý nghĩa, tức là chênh lệch kết
quả điểm trung bình của lớp thực nghiệm cao hơn điểm trung bình của lớp đối
chứng là không phải ngẫu nhiên mà do kết quả của tác động. Kết quả của bài
kiểm tra sau tác động của lớp thực nghiệm 11G7 là điểm trung bình = 6.9 và kết
17
quả bài kiểm tra của lớp đối chứng 11G2 là điểm trung bình = 5.2. Độ chênh
lệch điểm số giữa hai lớp là 1.7. Điều đó cho thấy điểm trung bình của lớp đối
chứng và lớp thực nghiệm đã có sự khác biệt rõ rệt, lớp đƣợc tác động có điểm
trung bình cao hơn lớp đối chứng.
Theo bảng tiêu chí Cohen về tính chênh lệch giá trị trung bình chuẩn
(SMD):
Trung bìnhthực nghiệm - Trung bình
đối chứng
SMD = ------------------------------------------------Độ lệch chuẩnđối chứng
Từ công thức trên ta có: SMD = 0.86. Kết quả về SMD nằm trong khoảng
từ 0.80 đến 1.00 cho thấy mức độ ảnh hƣởng của phƣơng pháp véc tơ đến kết
quả học tập môn HHKG lớp 11 của lớp thực nghiệm tại Trƣờng trung học phổ
thông Triệu Sơn 3 là lớn.
18
C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
I. KẾT LUẬN
Việc sử dụng Phƣơng pháp véc tơ vào giải một số bài toán định lƣợng trong
HHKG lớp 11 tại Trƣờng THPT Triệu Sơn 3 đã hình thành và phát triển cho học
sinh lớp 11 khả năng tƣ duy thuật giải, tƣ duy sáng tạo trong quá trình học tập
môn Toán nói chung và môn HHKG nói riêng; đã tạo đƣợc hứng thú và đã nâng
cao đƣợc kết quả học tập môn HHKG; góp phần không nhỏ và việc nâng cao
chất lƣợng thi HSG, thi ĐH-CĐ của nhà trƣờng.
Các bài tập minh họa và bài tập tƣơng tự đƣợc nêu trong đề tài hoàn toàn là
do tác giả “chế biến” từ các bài toán HHKG trong một số đề thi HSG các tỉnh,
đề thi tuyển sinh ĐH-CĐ, đề khảo sát kiến thức thi ĐH-CĐ của các trƣờng
THPT trên toàn quốc trong những năm gần đây. Lời giải và các đáp số đã đƣợc
kiểm nghiệm dạy thực tế tại Trƣờng THPT Triệu Sơn 3 đối với lớp 11E1(năm
học 2010-2011) và lớp thực nghiệm 11G7 trong năm học vừa qua, do đó đảm
bảo tính chính xác, khoa học. Đây chính là các tƣ liệu tốt để phục vụ cho quá
trình dạy và học HHKG ở trƣờng THPT, góp phần làm phong phú thêm kho tƣ
liệu về đổi mới phƣơng pháp dạy học môn Toán ở trƣờng phổ thông.
II. ĐỀ XUẤT
Trên đây là cách tôi đã thực hiện đối với học sinh lớp 11 trƣờng THPT
Triệu Sơn 3 trong năm học vừa qua. Rất mong vấn đề này đƣợc xem xét, mở
rộng hơn nữa để áp dụng cho nhiều đối tƣợng học sinh, giúp các em có thêm tự
tin và hứng thú khi học môn toán nói chung và môn HHKG nói riêng.
XÁC NHẬN
Thanh Hóa, ngày 30 tháng 05 năm 2013
CỦA THỦ TRƢỞNG ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của ngƣời khác.
Ngƣời viết
TRỊNH QUỐC PHƢỢNG
19
PHỤ LỤC
PHỤ LỤC 1: Đề kiểm tra lớp đối chứng và lớp thực nghiệm trƣớc tác động
SỞ GD&ĐT THANH HÓA
TRƢỜNG THPT TRIỆU SƠN 3
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2012 – 2013
Môn: TOÁN - Lớp 11
Thời gian làm bài: 90 phút
MA TRẬN ĐỀ
Nội dung
Nhận biết
Phƣơng trình lƣợng 1
giác
1.5
Tổ hợp và xác suất
1
1.5
Phép dời hình và phép 1
đồng dạng
1.5
Quan hệ song song
trong không gian
Bài toán tổng hợp về
lƣợng giác
Tổng
3
4.5
Thông hiểu
1
1.0
1
1
Vận dụng
Tổng
2
2.5
2
2.5
1
1.5
1
1
1.5
2
1
1
2.5
1
1
3
2
3.5
1
8
2.0
10
PHẦN ĐỀ KIỂM TRA
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC HỌC SINH (7.0 ĐIỂM)
Câu 1 (1.5 đ) Giải phƣơng trình 2sin x 2 sin 2 x 0
Câu 2 (1.5 đ) Một tổ có 12 học sinh trong đó có 7 học sinh nam và 5 học sinh
nữ. Chọn ngẫu nhiên ra 5 học sinh đi tập văn nghệ .Tính xác suất để trong 5 học
sinh đƣợc chọn có 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ.
2
2
Câu 3 (1.5 đ) Cho đƣờng tròn C có phƣơng trình x 1 y 2 9 . Hãy
viết phƣơng trình ảnh của đƣờng tròn C qua phép tịnh tiến theo véc tơ
v 2;1 .
Câu 4 (2.5 đ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 1, các
cạnh bên bằng nhau và cùng bằng 1. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của
các cạnh AB, AD, SC.
a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt của hình chóp.
b) Mặt phẳng (MNP) cắt hình chóp theo một thiết diện. Hãy tính diện tích
của thiết diện đó.
20
II. PHẦN RIÊNG CHO TỪNG ĐỐI TƢỢNG HỌC SINH (3.0 ĐIỂM)
A. Phần chỉ dành cho các lớp học theo Chƣơng trình Nâng cao
Câu 5.a (1.0 đ) Giải phƣơng trình (cos x sin x) 3 3 cos x sin x .
Câu 6.a (1.0 đ) Tìm hệ số của số hạng chứa
x 2 trong khai triển nhị thức Niu-
n
2
2
tơn của x
, biết n là số tự nhiên thỏa mãn:
x
Cn0 Cn1 Cn2 ... Cnn 1024 .
Câu 7.a (1.0 đ) Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn: x 2 y 2 1 . Tìm giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
2 x 2 6 xy
1 2 xy 2 y 2
.
B. Phần chỉ dành cho các lớp học theo Chƣơng trình Chuẩn
Câu 5.b (1.0 đ) Giải phƣơng trình 2sin 2 x 3sin x 1 0 .
Câu 6.b (1.0 đ) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu- tơn
5
2
của x3 2 .
x
Câu 7.b (1.0 đ) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y 2sin x cos 2 x 2
--------------------------------Hết-------------------------------PHỤ LỤC 2: Đề kiểm tra lớp đối chứng và lớp thực nghiệm sau tác động
SỞ GD&ĐT THANH HÓA
TRƢỜNG THPT TRIỆU SƠN 3
ĐỀ KIỂM TRA MÔN HHKG LỚP 11NC
NĂM HỌC 2012 – 2013
Thời gian làm bài: 90 phút
Câu 1 ( 2.0 đ). Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1. Hãy tìm điểm I trên đƣờng chéo
B1D, điểm J trên đƣờng chéo AC sao cho IJ//BC1.
Câu 2(6.0 đ). Cho hình lập phƣơng ABCDA1B1C1D1 có cạnh bằng a.
a) Chứng minh A1B B1D. Tính khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng A1B và
B1D
b) Gọi M, N, K lần lƣợt là trung điểm của BB1, CD, A1D1. Tính góc và
khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng MK và C1N.
Câu 3 ( 2.0 đ). Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang cân với
AB//CD, AB 2CD 4a, BC a 10 ( a 0 ). Biết hai mặt phẳng (SAC), (SBD)
21
cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (SAB) tạo với mặt phẳng
(ABCD) góc 600. Tính khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng SD, BC theo a .
--------------------------------Hết-------------------------------PHỤ LỤC 3: Bảng điểm lớp đối chứng 11G2
STT
Họ và tên
1 Lê Thị Phƣơng Anh
2 Trịnh Thị Phƣơng Anh
3 Lê Việt Anh
4 Phạm Thị Quỳnh Anh
5 Trịnh Thị Mai Anh
6 Lê Chung Anh
7 Nguyễn Hoàng Ngọc Ánh
8 Nguyễn Thanh Bình
9 Lƣơng Đỗ Tuấn Bình
10 Quách Văn Chƣơng
11 Hoàng Thị Dịu
12 Hà Thị Dung
13 Trần Thị Duyên
14 Hà Nguyễn Phƣơng Giang
15 Lê Xuân Giang
16 Hoàng Thị Hoa
17 Bùi Thị Huê
18 Ngô Thanh Lâm
19 Lê Thị Lê
20 Nguyễn Thị Lệ
21 Phan Ngọc Linh
22 Trịnh Nguyệt Minh
23 Nguyễn Thị Nga
24 Tạ Thị Nga
25 Bùi Đình Ngọc
26 Bùi Xuân Nguyên
27 Nguyễn Đình Nguyên
28 Lê Thị Yến Nhi
29 Lê Thị Nhung
30 Vi Thị Oanh
31 Trịnh Văn Oánh
32 Bùi Minh Phƣơng
Điểm trƣớc tác động
6
3
7
6
7
9
6
7
6
7
4
6
8
7
6
5
4
7
6
5
5
8
6
7
6
7
4
5
7
8
7
5
Điểm sau tác động
5
3
5
7
5
8
5
7
5
7
3
3
6
5
5
3
3
5
5
4
4
7
5
4
6
6
3
4
5
7
6
4
22
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
Trần Văn Phƣơng
Nguyễn Văn Quyền
Bùi Trịnh Thảo
Hà Thị Thảo
Lê MinhThảo
Lê Sỹ Thuỷ
Đỗ Thị Huyền Trang
Nguyễn Thu Trang
Trần Thị Kiều Trang
Nguyễn Thị Trinh
Nguyễn Thị Vân
Trịnh Thị Vân
Lê Bá Yến
7
6
5
7
8
8
8
7
5
7
7
8
7
6
5
4
5
6
5
6
5
4
6
6
8
6
PHỤ LỤC 4: Bảng điểm lớp thực nghiệm 11G7
STT
Họ và tên
1 Ngô Thị Vân Anh
2 Nguyễn Thị Hƣơng Anh
3 Trịnh Quỳnh Anh
4 Nguyễn Hoàng Anh
5 Nguyễn Việt Anh
6 Phùng Đình Anh
7 Lê Thanh Bình
8 Lê Thị Minh Châu
9 Lê Đình Duẩn
10 Hoàng Công Đô
11 Hà Huy Đông
12 Lê Đình Điệp
13 Vũ Văn Đức
14 Hà Văn Giang
15 Nguyễn Nhật Hà
16 Lê Thị Hải
17 Nguyễn Văn Hải
18 Phạm Thanh Hải
19 Vũ Thanh Hiếu
20 Hà Thanh Hƣng
21 Trần Văn Khải
22 Đoàn Văn Kiên
Điểm trƣớc tác động
7
6
5
7
3
4
7
5
7
4
8
7
8
5
7
7
7
7
7
5
8
7
Điểm sau tác động
8
8
6
8
4
5
7
6
8
4
9
7
9
6
7
8
7
7
8
6
9
7
23
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
Lê Thị Lệ
Đặng Thị Linh
Hà Thị Linh
Nguyễn Thị Linh
Lê Thị Hà Mi
Phan Thị Mỹ
Hà Thị Na
Nguyễn Thị Bảo Nhi
Lê Thị Nhung
Hoàng Linh Phƣơng
Hà Đăng Quang
Nguyễn Văn Hoàng Sơn
Lại Thanh Thảo
Lê Thị Thảo
Lê Đình Thế
Hà Văn Tuân
Đinh Ngọc Tùng
Lê Huy Tùng
Lƣơng Sơn Tùng
Lê Văn Trung
Hà Xuân Trung
Nguyễn Anh Văn
5
8
5
6
5
6
7
7
7
6
7
6
7
6
6
6
7
3
9
5
8
8
5
9
6
7
6
6
7
8
7
6
7
6
8
6
6
6
7
5
10
5
8
9
24
MỤC LỤC
Trang
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
1
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN
2
1. Cơ sở lí luận
2
2. Mục tiêu của đề tài
2
3. Đối tƣợng nghiên cứu của đề tài
3
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
3
III. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
3
1. Giải pháp thứ nhất
3
2. Giải pháp thứ hai
4
IV. BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN
1. Thuật giải trong các bài toán liên quan đến điều kiện
cùng phƣơng của hai véc tơ, điều kiện đồng phẳng của
ba véc tơ.
2. Thuật giải trong các bài toán tính góc và khoảng cách
giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau.
3. Các bài tập tƣơng tự
V. KIỂM NGHIỆM THỰC TẾ
4
5
9
14
16
1. Phƣơng pháp kiểm nghiệm
16
2. Kết quả kiểm nghiệm
16
C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
19
I. KẾT LUẬN
19
II. ĐỀ XUẤT
19
PHỤ LỤC
20
25
