(SKKN 2022) HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TIỄN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
THỰC TIỄN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM
CỦA HÀM SỐ

Người thực hiện: Trịnh Đình Chiến
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc mơn: Tốn

THANH HỐ NĂM 2022


MỤC LỤC
Nội dung
Trang
Mục
lục ............................................................................................
1.MỞ ĐẦU......................................................................................
1.1 Lý do chọn đề tài..................................................................
1.2. Mục đích nghiên cứu..............................................................
1.3. Đối tượng nghiên cứu.............................................................
1.4. Phương pháp nghiên
cứu.........................................................
2. NỘI DUNG.................................................................................
2.1. Cơ sở lí luận.............................................................................
2.2. Thực trạng …………………...................................................

2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm và biện pháp tiến hành……….....
2.3.1. Các bước của bài toán ứng dụng đạo hàm trong thực tế.......
2.3.2.Một số bài toán về ứng dung đạo hàm để giải bài toán thực
tế.
2.3.2.1. Bài toán 1 .........................................................................
2.3.2.2 Bài toán 2.........................................................................
2.3.2.3 Bài toán 3..........................................................................
2.3.2.4. Bài toán 4 .........................................................................
2.3.2.5 Bài toán 5.........................................................................
2.3.2.6 Bài toán 6..........................................................................
2.4. Hiệu quả của biện pháp đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường………….……….….….……...
2.4.1. Đối với bản thân…………………..……….…….….….…
2.4.2.Đối với học sinh……………………..………….….…..….
2.4.3. Đối với đồng nghiệp và nhà trường……………….….…..
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ………………………………….....
3.1. Kết luận...................................................................................
3.2. Kiến nghị.................................................................................

1
1
2
2
2
3
3
3
3
3
4

4
6
9
11
12
13
16
16
16
16
17
17
18
19


Tài liệu kham khảo...........................................................................
1. MỞ ĐẦU
1.1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Việc đổi mới phương pháp dạy học là vấn đề cấp bách, thiết thực nhằm
đào tạo những con người có năng lực hoạt động trí tuệ tốt. Đổi mới phương pháp
dạy học khơng chỉ trong các bài giảng lí thuyết, mà ngay cả trong q trình
luyện tập. Luyện tập ngồi việc rèn luyện kỹ năng tính tốn, kỹ năng suy luận
mà thơng qua qua đó cịn giúp học sinh biết tổng hợp, khái quát các kiến thức đã
học, sắp xếp các kiến thức một cách hệ thống, giúp học sinh vận dụng các kiến
thức đã học vào giải bài tập một cách năng động sáng tạo.
Về mặt phương pháp, từ các phương pháp dạy truyền thống như phương
pháp dùng lời (thuyết trình, đàm thoại ...), các phương pháp trực quan, các
phương pháp thực hành, luyện tập.... đến các xu hướng dạy học hiện đại như:
dạy học giải quyết vấn đề, lý thuyết tình huống, dạy học phân hóa, dạy học có sự

hỗ trợ của cơng nghệ thơng tin, có sử dụng máy tính đã tạo ra một khơng khí học
tập hoàn toàn mới.
Một trong những vấn đề cơ bản của đổi mới chương trình giáo dục phổ
thơng là đổi mới phương pháp dạy học, trong đó có đổi mới phương pháp
dạy học Tốn ở trường phổ thơng. Việc đổi mới phương pháp dạy học Tốn
hiện nay nhằm phát huy tính tích cực của học sinh, qua đó khai thác tính chủ
động tiếp thu và khám phá tri thức của các em, tạo hứng thú trong học tập.
Với tinh thần đó, tơi cũng đã có những đổi mới về mặt phương pháp để phù
hợp với giáo dục trong giai đoạn hiện nay. Trong quá trình giảng dạy ở trường
THPT Hàm Rồng tôi cũng đã dự nhiều tiết dạy của đồng nghiệp, đã trực tiếp bồi
dưỡng học sinh ôn thi vào Đại học, Cao đẳng trước đây và bây giờ là thi THPT
Quốc Gia, tơi nhận thấy rằng việc phát huy trí lực của học sinh cịn nhiều hạn
chế. Nhiều bài tốn trong các kỳ thi THPT Quốc Gia, thi HSG mặc dù có thể áp
dụng các kiến thức cơ bản và thêm một chút sáng tạo là có thể giải được, thế
nhưng đa số các em gặp khó khăn. Tơi thấy rằng, việc dạy học theo hướng
khuyến khích tư duy sáng tạo và tìm mối liên hệ linh hoạt giữa các phần kiến
thức cần được quan tâm hơn, đặc biệt là trong việc bồi dưỡng HSG, bồi dưỡng
học sinh ôn thi THPT Quốc Gia, thi ĐGNL-ĐGTD trong giai đoạn hiện nay ở
các trường phổ thông là việc làm rất cần thiết hiện nay.
Trong chương trình Tốn THPT học sinh thường gặp nhiều bài toán về
phương pháp tối ưu. Như vậy vấn đề đặt ra là làm thế nào để có thể giải tốt


được loại toán này? Để trả lời được câu hỏi đó bản thân học sinh cần có kiến
thức và nắm vững kỹ năng giải tốn. Song hiểu theo cách nói là một lẽ, nhưng
để giải quyết tốt loại toán này lại là một vấn đề không dễ. Khi làm các bài tập
dạng này đa số học sinh còn gặp nhiều khó khăn, lời giải thường thiếu chặt
chẽ dẫn đến khơng có kết quả tốt, hoặc nếu có thì kết quả cũng không cao.
Với những đặc điểm như vừa nêu, tôi cũng đã nghiên cứu, tìm tịi qua nhiều
tài liệu, suy nghĩ nhiều giải pháp với mong muốn giúp các em học sinh có thể

tiếp cận các bài tốn tối ưu một cách đơn giản, nhẹ nhàng nhưng vẫn đảm bảo
các yêu cầu cần thiết của đối với nội dung này, giúp học sinh có cái nhìn cụ thể,
rõ ràng hơn đối với một trong những vấn đề khó ở trường phổ thông, bởi vậy tôi
chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài toán thực tiễn bằng
phương pháp sử dụng đạo hàm của hàm số”.
1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Trình bày đề tài thơng qua hệ thống bài tập. Hướng dẫn học sinh giải quyết
các bài toán trong một số tình huống cụ thể. Bồi dưỡng cho học sinh kỹ năng
giải toán và khả năng sáng tạo tư duy.
1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Rèn luyện cho học sinh biết cách vận dụng các phương pháp giải phương
trình, bất phương trình vơ tỉ trong trường phổ thơng. Phân loại các dạng tốn
thường gặp trong chương trình theo chuẩn kiến thức kĩ năng cũng như trong các
kì thi THPT, thi HSG, thi ĐGNL-ĐGTD.
1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
Tôi đã sử dụng tổng hợp các phương pháp sau:
Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu Sách giáo khoa, Sách bài tập,
Sách tham khảo, đề thi THPT, đề thi HSG và các tài liệu liên quan.
Phương pháp điều tra thực tiễn: Dự giờ của đồng nghiệp, quan sát việc dạy và
học
phần bài tập này.
Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành trên các tập thể lớp.
Phương pháp thống kê.


2. NỘI DUNG
2.1. CỞ SỞ LÝ LUẬN
Muốn giải một bài toán ta thường thực hiện 2 bước:
Bước 1: Huy động kiến thức: Là một thao tác tư duy nhằm tái hiện các kiến
thức có liên quan với bài tốn, từ lý thuyết, phương pháp giải, các bài toán đã

gặp, do đó người làm tốn phải biết và cần biết ý tưởng kiểu như: ta đã gặp bài
toán nào gần gũi với bài toán này hay chưa?
Bước 2: Tổ chức kiến thức: Là một tổ hợp các hành động, thao tác để sắp xếp
các kiến thức đã biết và các yêu cầu của bài toán lên hệ với nhau như thế nào để
từ đó trình bày bài tốn theo một thể thống nhất. Có nhiều cách lựa chọn cho
việc tổ chức kiến thức mà trong đó phương pháp tương tự hay tổng quát hóa là
những thao tác tư duy cần thiết cho người làm toán.
2.2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
KINH NGHIỆM
Thông qua các lớp tôi đang giảng dạy 12C5, 12C6, 12C12 và các tiết dự giờ
các lớp khác cùng với đánh giá nhận xét từ đồng nghiệp ở trường THPT Hàm
Rồng, tôi thấy rằng học sinh rất ngại học những bài tốn thực tế có liên quan tới
tính tối ưu, học sinh càng sợ những bài tốn mà có sử dụng các bất đẳng thức.
Từ thực trạng này tôi đã tiến hành đưa ra cho học sinh phương pháp dùng đạo
hàm để giải quyết một số bài tốn tối ưu, thơng qua đó thì những học sinh ở mức
độ trung bình cũng có thể giải được.
2.3. CÁC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VÀ BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH
2.3.1. CÁC BƯỚC CỦA BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG
THỰC TẾ
Qua tìm hiểu, tổng hợp và phân tích, tác giả nhận thấy các bài toán thực tế
liên quan đến việc sử dụng đạo hàm có thể chia thành 2 phần lớn:
Một là, các bài toán thực tế đã được mơ hình hóa bằng một hàm số tốn
học. Qua các ví dụ minh họa sau đây, tác giả sẽ chỉ ra cho bạn đọc những dạng
tốn thường gặp là gì? Các lĩnh vực khoa học khác đã ứng dụng đạo hàm như
thế nào trong việc giải quyết bài toán mà họ đã đặt ra?
Hai là, các bài toán thực tế mà mơ hình thực tiễn chưa chuyển về mơ
hình tốn học. Như chúng ta biết, để có thể ứng dụng đạo hàm của hàm số thì
trước tiên ta phải “thiết lập được hàm số”. Như vậy ta có thể mơ tả quy trình mơ
hình hóa dưới đây

Hình sau đây mơ tả q trình của việc mơ hình hóa tốn học cho một hiện
tượng trong thực tế
Bài tốn
thực tế

Đưa vào cơng thức

Mơ hình
tốn học

Giải

Kết luận
tốn học

Giải thích
cho thực tế

Dự đốn
cho vấn đề
thực tế

Kiểm tra lại

Ta có thể cụ thể hóa 3 bước của q trình mơ hình hóa như sau:
Bước 1: Dựa trên các giả thiết và yếu tố của đề bài, ta xây dựng mơ
hình Tốn học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả “dưới dạng ngơn ngữ
Tốn học” cho mơ hình mơ phỏng thực tiễn. Lưu ý là ứng với vấn đề được xem
xét có thể có nhiều mơ hình tốn học khác nhau, tùy theo các yếu tố nào của hệ

thống và mối liên hệ giữa chúng được xem là quan trọng ta đi đến việc biểu
diễn chúng dưới dạng các biến số, tìm các điều kiện tồn tại của chúng cũng
như sự ràng buộc, liên hệ với các giả thiết của đề bài.
Bước 2: Dựa vào các kiến thức liên quan đến vấn đề thực tế như trong
kinh tế, đời sống trong khoa học kỹ thuật như Vật lý, Hóa học, Sinh học, … Ta
thiết lập hoàn chỉnh hàm số phụ thuộc theo một biến hoặc nhiều biến. (Ở đây
trong nội dung đang xét ta chỉ xét với tình huống 1 biến)
Bước 3: Sử dụng công cụ đạo hàm của hàm số để khảo sát và giải quyết
bài tốn hình thành ở bước 2. Lưu ý các điều kiện ràng buộc của biến số và kết
quả thu được có phù hợp với bài toàn thực tế đã cho chưa.
2.3.2. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI BÀI
TOÁN THỰC TẾ.
2.3.2.1. Bài tốn 1. Từ một tấm lớn hình chữ nhật có kích thước là a × b với
a < b . Người ta cắt bỏ 4 hình vng bằng nhau ở 4 góc rồi gị thành một hình
hộp chữ nhật khơng có nắp. Một cạnh của hình vng cắt đi phải bằng bao
nhiêu để hình hộp đó có thể tích lớn nhất?
 Phân tích
• Trước tiên, với câu hỏi của bài tốn thì ta nên
đặt x chính là cạnh của hình vng cắt đi. Như
vậy ta cần tìm điều kiện giới hạn của biến số x.


Do khi đó 1 cạnh của tấm nhơm sau khi bị cắt trở thành a − 2x > 0 ⇒ x <
nên ta có 0 < x <

a
2

a
2

• Và đồng thời ta cũng có được cạnh của tấm nhơm cịn lại là b − 2x > 0 .
Đến đây ta cần thiết lập cơng thức tính thể tích khối hộp
V = x(a − 2x)(b − 2x)

• Bài tốn trở thành tìm

max V(x) = ?

 a
x∈ 0; ÷
 2

. Mời bạn đọc xem lời giải!

Hướng dẫn giải
• Gọi x là cạnh của hình vng cắt đi, ta phải có điều kiện 0 < x <

a
2

Khi đó thể tích hình hộp là V = x(a − 2x)(b − 2x) = 4x 3 − 2(a + b)x 2 + abx = V(x)
• Bài tốn trở thành tìm

max V(x) = ?

 a
x∈ 0; ÷
 2

Đạo hàm V ' = f '(x) = 12x 2 − 4(a + b)x + ab
Ta có ∆ ' = 4(a + b) 2 − 12ab = 4(a 2 − ab + b 2 ) > 0 với mọi a, b
Do đó ∆ ' = 0 lng có hai nghiệm phân biệt.
x1 =

a + b − a 2 − ab + b 2
a + b + a 2 − ab + b 2
< x2 =
6
6

a+b

 x1 + x 2 = 3 > 0
Theo định lý Vi-et, ta có 
 x .x = ab > 0
 1 2 12

Suy ra 0 < x1 < x 2
Hơn nữa, ta có
a
a
a
V '  ÷ = f '  ÷ = a 2 − ab = a(a − b) < 0 . Do đó 0 < x1 < < x 2
2
2
2

Bảng biến thiên
x

V '(x)

x1

0
+

0
Max

V(x)
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy V đạt giá trị lớn nhất khi

a
2
−


x = x1 =

a + b − a 2 − ab + b 2
6

 Bình luận: Qua bài tốn bày ta cần lưu ý:
Một là, khâu tìm điều kiện cho biến cần đặt là cực kì quan trọng. Chúng ta
khơng nên chỉ ghi x > 0 theo cách hiểu số đo đại số là một số dương.
Hai là, nếu không thuộc cơng thức tính thể tích khối hộp xem như bài tốn này
khơng thể giải quyết tiếp được. Điều này đòi hỏi người giải phải biết cách vận
dụng các kiến thức đã học vào bài toán thực tế.
Ba là, việc giải nghiệm từ phương trình V '(x) = 0 cũng như lập bảng biến thiên

của V(x) không hề đơn giản chút nào, địi hỏi ở người giải phải có kỹ năng tốt
trong biến đổi đại số.
2.3.2.2. Bài tốn 2. Tìm chiều dài bé nhất của cái thang để nó có thể tựa vào
tưởng và mặt đất, ngang qua cột đỡ cao 4m, song song và cách tường 0,5m kể
từ gốc của cột đỡ.
A. Xấp xỉ bằng 5, 4902m
B. Xấp xỉ bằng 5, 602m
C. Xấp xỉ bằng 5,5902m
D. Xấp xỉ bằng 6,5902m

 Phân tích

• Trước tiên, ta có thể minh họa mơ hình trên bằng hình vẽ sau. Để xác định
được độ dài ngắn nhất của AC thì ta thử suy nghĩ xem nên phân tích độ
dài AC theo hướng nào? Để từ đó định hướng cách đặt ẩn thích hợp. Đối
với hình vẽ trên và các quan hệ về cạnh, ta nhận thấy có 2 hướng phân


tích tốt là: hướng thứ nhất là phân tích AC = AB2 + AC2 và hướng thứ
hai là AC = AM + MC
• Nếu phân tích theo hướng thứ nhất, ta có thể thử đặt HC = x > 0 , đến đây
chỉ cần tính được AB theo x là đã có thể lập được hàm số f (x) biểu diễn
MH = 4
độ dài AC. Nhưng bằng cách nào đây? 
→ Ta sử dụng đến quan hệ tỉ
HC

MH

x

lệ trong định lý Thales thuận (MH / /AB) nên ta có: BC = AB = x + 0,5 .
Bài toán trở thành tìm min f (x) = ?
• Nếu phân tích theo hướng thứ hai, nếu ta đặt HC = x > 0 thì khi đó ta sẽ
biểu diễn độ dài AC = P(x) + Q(x) (việc khảo sát hàm này không đơn
giản chút nảo). Do đó ta chuyển hướng sang tìm quan hệ giữa góc và cạnh
tam giác và nhận thấy α = R MCH = R AMK . Đến đây ta thấy hướng phân
tích tiếp là hồn tồn thuận lợi vì khi đó MC = MH sin α và AM = MK cos α .
Khi đó bài tốn trở thành tìm min g(α) = ?
Hướng dẫn giải.
• Đặt HC = x > 0 ⇒ BC = x + 0,5 . Theo định lý Thales ta có
Do đó ta có AB =

HC MH
x
=
=
BC AB x + 0,5

4(x + 0,5)
x

16(x + 0,5) 2
Do ∆ABC vuông tại B ⇒ AC = AB + BC = (x + 0,5) +
x2
2
65
x + 0,5 ) ( x 2 + 16 )
x 4 + x 3 + x 2 + 16x + 4
(

2
• Hay AC =
. Đặt f (x) =
4
(x > 0)
x2
x2
Bài tốn trở thành tìm min f (x) = ? với x > 0
2

2

2

2

65
65 2
 3
 2
 4

2
3
 4x + 3x + x + 16 ÷x − 2x  x + x + x + 16x + 4 ÷
Ta có f '(x) = 
2
4




4
x
4
3
2x + x − 16x − 8
⇔ f '(x) =
x3
x = 2 > 0
2
Cho f '(x) = 0 ⇔ (x − 2)(2x + 1)(x + 2x + 4) = 0 ⇔ 
1
x = − < 0(loai)

2

Lập bảng biến thiên ta có:
x
0
f '(x)

−

2
0

f(x)

f(2)

+∞
+


f (x) = f (2) =
Dựa vào bảng biến thiên ta có min
x >0

Do đó ta có min AC =

125
4

125 5 5
=
≈ 5,5902
4
2

Đáp án C
 π
Cách khác: Đặt x = R ACB ∈  0; ÷


Khi đó ta có AC = AM + MC =
Đặt g(x) =
g '(x) =

2

KM MH
1
4
+
=
+
cos x sin x 2 cos x sin x

1
4
min g(x) = ?
+
. Bài tốn trở thành tìm x∈ 0; π ÷
2 cos x sin x
 2

−8cos3 x + sin 3 x
, g '(x) = 0 ⇔ tan x = 2 ⇔ x o = acr tan(2) ≈ 63o 26 '6 ''
2
2
2sin x cos x

min g(x) = g(x o ) ≈ 5,5902m
Lập bảng biến thiên ta suy ra ACmin ⇔ x∈ 0; π ÷


2

Đáp án C
 Bình luận: Qua bài tốn này ta cần lưu ý:

Một là, quả thật dù giải theo cách nào, ta cũng gặp phải một số khó khăn
nhất định khi giải tìm nghiệm của phương trình f '(x) = 0 hay g '(x) = 0 . Dựa
theo cách thi trắc nghiệm ta có thể thử 4 phương án từ đáp án để tìm nghiệm
(bằng chức năng CALC của máy tính cầm tay) sau đó kiểm tra qua f '(x) = 0
hay g '(x) = 0 .

Hai là, ngoài việc sử dụng “ứng dụng đạo hàm” để tìm GTLN – GTNN của
hàm số này, ta cũng có thể vận dụng bất đẳng thức. Giả sử đặt
1

AB = b, BC = a  b > 0, a > ÷
2

x
a

y
b

Dựng hệ trục Bxy (BC ⊂ Bx, BA ⊂ By) . Ta có AC : + = 1




Khi đó M  ; 4 ÷∈ AC ⇒ + = 1
2a b
2 
1

1

4

2
2
2
Bài tốn trở thành tìm min AC = min ( a + b ) thỏa

1 4
1
+ =1 ,a > ,b > 4
2a b
2

(việc giải tiếp xin dành cho bạn đọc!)
65 2
x + 16x + 4
16  
4  65

4
Ba là, ta có: f (x) =
=  x 2 + ÷+  x + 2 ÷+
2
x
x 
x  4

Cauchy
8 8 x x 4 65

65 125
⇒ f (x) = x 2 + + + + + 2 +
≥ 3.4 + 3 +
=
2 42
2 43
x
4
4
4
1 4 2x 43x 1
x 4 + x3 +

≥ 3 3 82

≥3

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 2
2.3.2.3. Bài toán 3. Cần phải xây dựng một hố ga, dạng hình hộp chữ nhật
có thể tích V ( m3 ) khơng đổi, hệ số k > 0 cho trước (k là tỉ số giữa chiều cao
của hố và chiều rộng của đáy). Hãy xác định các kích thước của đáy để khi
xây tiết kiệm ngun vật liệu nhất?
 Phân tích:
• Với thể tích V cho trước và quan hệ giữa chiều
rộng của đáy và chiều cao của hình hộp ta hồn
tồn có thể biểu diễn được độ dài theo 1 biến.
• Như vậy ta cần hiểu yêu cầu bài toán “tiết kiệm
nguyên vật liệu nhất là gì?” Đó chính là làm sao
cho phần bao phủ bên ngồi hình hộp có diện tích
nhỏ nhất hay diện tích tồn phần của khối hộp nhỏ

nhất.
Hướng dẫn giải
• Gọi x, y (0 < x < y) lần lượt là chiều rộng và chiều dài của đáp hố ga.
Gọi h là chiều cao của hố ga (h > 0)
• Theo đề bài ta có h = kx và V = hxy ⇒ y =

V
V
= 2
hx kx

Để tiết kiệm ngun vật liệu nhất ta cần tìm các kích thước sao cho diện tích
tồn phần của hố ga là nhỏ nhất.
Khi đó ta có: Stp = 2xh + 2yh + 2xy = 2x(kx) + 2(kx).

V
V
+ 2x 2
2
kx
kx

 k +1 
 k +1 
2
V
2
V
÷
Suy ra S = 2kx 2 +  k  Xét hàm số f (x) = 2kx 2 +  k ÷

tp
x
x


Bài tốn trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) với x > 0
 k +1 
2
(k + 1)V
÷V
2k 2 x 3 − (k + 1)V , cho f '(x) = 0 ⇔ x o = 3
>0
k 

f '(x) = 4kx −
=2
2k 2
2
2
x
kx

Lập bảng biến thiên ta có
x

0

f '(x)

+∞

xo

−

0

+

f(x)
f (x o )
 (k + 1)V 
÷
2k 2 ÷



f (x) = f  3
Dựa vào bảng biến thiên ta có min
x >0

Khi đó y = 3

4kV
k(k + 1)V
3
2 và h =
(k + 1)
2

 Bình luận: Qua bài tốn này ta cần lưu ý:
Một là, ta có thể sử dụng bất đẳng thức để tìm min Stp
 k +1 
 k +1 
 k +1 
2

÷V 
÷V
÷V
2(k + 1)V 2
k 
k 
k 
2


2

= 2kx +
+
≥ 33
Stp = 2kx +
x
x
k
x
 k +1 
V
Khi đó dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2kx 2 =  k ÷ ⇒ x =

x

3

(k + 1)V
2k 2

Hai là, từ ba kích thước cho trước thỏa yêu cầu bài toán trên ta đi đến quan hệ tỉ

(k + 1)V
x = 3
2k 2


4kV
2kx
2h
⇒y=
=
lệ giữa chúng là  y = 3
2
(k + 1)
k +1 k +1


 h = 3 k(k + 1)V

2

Ba là, cũng từ bài toán này nếu giữ nguyên giả thiết V = const và thay thể y = kx

hay h = ky (k là tỉ số giữa các kích thước của hình hộp) thì liệu rằng bài tốn có
thay đổi? Câu trả lời là kết quả vẫn tương tự như khi ta khảo sát với h = kx . Do
đó
 V = const
2kx
2y
x,y,h =?
→
min Stp = ? ⇔ h =
=
k +1 k +1
 y = kx, k > 0

Nếu 


 V = const
2ky
2h
x,y,h =?
→
min Stp = ? ⇔ h =
=
k +1 k +1
 y = ky, k > 0

Nếu 

Bài tập tương tự 1. Cần phải xây dựng một hố ga có dạng hình hộp chữ nhật
có thể tích V ( m3 ) , có chiều cao gấp 3 lần chiều rộng của cạnh đáy. Hãy xác

định các kích thước của đáy để khi xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất?
Hướng dẫn giải
Gọi x, y, h lần lượt là chiều rộng, chiều dài và chiều cao của hình hộp
 V = kxy
6x 2h
x,y,h =?
→
min Stp = ? ⇔ y =
=
4
4
 y = 3x, k > 0

Dựa vào bài toán 3, ta có 

Như vậy khi đó chiều cao sẽ gấp 2 lần chiều dài hình hộp.
2.3.2.4. Bài tốn 4: Giả sử bạn là chủ của một xưởng cơ khí vừa nhận được một
đơn đặt hàng là thiết kế một bồn chứa nước hình trụ có nắp với dung tích 20 lít.
Để tốn ít nguyên vật liệu nhất, bạn sẽ chọn giá trị nào cho độ cao bồn nước
trong các giá trị dưới đây?
A. 0,3 mét
B. 0,4 mét
C. 0,5 mét
D. 0,6 mét
Phân tích :
Ta đặt ra 1 số câu hỏi định hướng như sau :
Một là. Làm sao để tốn ít nguyên vật liệu nhất ?
Hai là, có thể tổng qt bài tốn này lên khơng ?
Ta nhận thấy để ít tốn nguyên liệu nhất thì diện tích xung quanh
của phần vỏ bao bên ngoài bồn chứa nước cùng với diện tích

của đáy và nắp phải nhỏ nhất. Hay chính xác hơn ta cần tìm diện tích xung
quanh nhỏ nhất ứng với thể tích mà đề bài cho.
Mà ta đã biết Stp = S xq + 2Sday = 2π rh + 2π r (với r, h lần lượt bán kính đáy và chiều
cao của bồn nước hình trụ). Ta nhận thấy diện tích phụ thuộc theo 2 biến r và h.
Và đến đây ta hiểu vì sao đề bài lại cho sẵn dung tích V = π r 2 h = const tức là đang
cho mối liên hệ giữa bán kình đáy r và chiều cao h của hình trụ. Từ
2

V = πr 2 h ⇒ h =

V
πr 2

Như vậy ta cso thể tìm min Stp phụ thuộc theo 1 trong 2 biến r hoặc h. Và ta thấy
nên tổng quát bài toán này lên thành V = const thay vì chỉ xét riêng lẻ trường
hợp V = 20 (lít)
Hướng dẫn giải
Gọi r, h (r,h>0) lần lượt bán kính đáy và chiều cao của khối trụ. Khi đó ta có
V = πr 2 h ⇒ h =

V
πr 2

Để ít tốn nguyên vật liệu nhất, ta cần tìm r sao cho diện tích tồn phần của khối
trụ nhỏ nhất


2
2
Do đó Stp = 2πr + 2πrh = 2πr + 2πr

Xét hàm số f ( t ) = r 2 +
Ta có: f ' ( r ) = 2r −

V
f ( r) = ?
. Bài tốn trở thành tìm min
r >0
πr

V
V
4V
, f '( r) = 0 ⇔ r = 3
⇒h= 3
2
πr
2π
π

Lập bảng biến thiên, ta có
0
R
f’(r)

V
V

= 2π  r 2 + ÷
2

πr
πr 


-

f(r)

3

V
2π

0

+∞

+

 V 
f  3
÷
÷
 2π 


V 
÷
÷
 2π 

f ( r ) = f  3
Dựa vào bảng biến thiên, ta có min
r →0

 4V   4.20 
3
÷
÷ =  π ÷
÷ ≈ 2,94 ( dm ) = 0, 29m. Đáp án A
π

 


Khi đó h = f  3

Bình luận: ngồi cách sử dụng đạo hàm, ta có thể sử dụng bất đẳng thức
Cauchy
V 
V2
V
4V
 2 V
 2 V
3
Stp = 2π  r + ÷ = 2π  r +
+
⇒r= 3
⇒h= 3

÷ ≥ 2π3
2
πr 
2πr 2πr 
4π
2π
π



Thay V = 20 vào ta được h ≈ 2,94 ( dm ) = 0, 29 ( m ) . Ta chọn đáp án A.
Đồng thời với việc tổng quát bài toán trên, ta nhận thấy,

h
=
r

3

3

4V
π = 2 ⇒ h = 2r
4V
2π

2.3.2.5. Bài toán 5. Một chất điểm chuyển động theo quy luật
s(t) = 6t 2 − t 3 − 9t + 1,s tính theo mét, t tính theo giây. Trong 5 giây đầu tiên, thời

điểm t mà tại đó vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là:

A. t = 3
B. t = 1
C. t = 2
D. t = 4
 Phân tích:
•

Với kiến thức vật lý đã học, ta biết v(t) = s '(t) . Do đó để tìm giá trị lớn
nhất trong 5 giây đầu tiên t ∈ [ 0;5] thì ta chỉ cần vận dụng kiến thức đạo
hàm đã học


Hướng dẫn giải
v(t) = s '(t) = 12t − 3t − 9, v '(t) = −6t + 12, v '(t) = 0 ⇔ t = 2
2

Lập bảng biến thiên ta có:
t
0
v '(t)

+

2
0
3

−

5

v(t)
v(t) = v(2) = 3
Dựa vào bảng biến thiên ta có max
t∈[ 0;5]



Bình luận: Ứng dụng của đạo hàm trong Vật lý rất đa dạng nhưng đặc

biệt thể hiện rõ nét nhất chính là qua các bài tốn chuyển động khi liên quan đến
các đại lượng quãng đường, vận tốc và thời gian. Không chỉ riêng ở các bài tốn
chuyển động như vậy, ta cịn bắt gặp các ứng dụng đạo hàm trong Vật lý ở các
bài toán khác. Mời bạn đọc tiếp tục theo dõi các bài toán tiếp theo sau để hiểu rõ
hơn.
Bài tập tương tự 1: Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường đi
được là s(t) (km) là hàm phụ thuộc theo biến t(giây) tuần theo biểu thức sau:
s(t) = e t

2

+3

+ 2te3t +1 (km) . Hỏi vận tốc của tên lửa sau 1 giây là bao nhiêu (biết

hàm biểu thị vận tốc là đạo hàm cấp một của hàm biểu thị quãng đường theo
thời gian)?
A. 10e 4 (km / s) B. 5e 4 (km / s)
C. 3e4 (km / s)
D. 9e 4 (km / s)

Hướng dẫn giải
v(t) = s '(t) = 2te t

2

+3

+ 2e3t +1 + 6te3t +1 ⇒ v(1) = 2e 4 + 2e 4 + 6e 4 = 10e 4 (km / s)

Bài tập tương tự 2: Cho phương trình chuyển động của một chất điểm
s = f (t) = t 3 − 6t 2 + 9t , với đơn vị đo của t là giây, của s là mét. Khi nào chất

điểm đứng yên biết rằng biểu thức của phương trình v(t) tại điểm t biết rằng
v(t) = f '(t) ?

Hướng dẫn giải
Theo đề bài ta có: v(t) = f '(t) = 3t 2 − 12t + 9
t = 1
t = 3

2
Chất điểm đứng yên khi v(t) = 0 ⇔ 3t − 12t + 9 = 0 ⇔ 

2.3.2.6. Bài toán 6. Khi cá hồi bơi với tốc độ v (km/h) ngược dịng nước,
năng lượng sản ra của nó trên một đơn vị thời gian là v3 (J) , đơn vị là Jun.
Người ta thấy rằng khi cá di cư cố gắng cực tiểu hóa năng lượng tổng thể để


bơi một cách nhất định. Nếu vận tốc dòng nước là a (km/h) thì thời gian cần
bơi được khoảng cách L là

L
L
và năng lượng sản ra là E(v) = qv3
v−a
v−a

trong đó q là hằng số dương. Để giảm thiểu tối đa năng lượng khi bơi quãng
đường L thì tốc độ v cần thỏa mãn
A. v =

a
2

B. v =

3a
2

C. v =

5a
2

 Phân tích: Do bài tốn đã cho ta sẵn hàm E(v) = qv3

D. v =

7a
2

L
nên ta có thể ứng
v−a

dụng đạo hàm tìm min của E. (lưu ý v > a)
Hướng dẫn giải
L
3v 2 (v − a) − v3
v 2 (2v − 3a)
E(v) = qv
⇒ E '(v) = q
=q
, ∀v > a
v−a
(v − a) 2
(v − a) 2
3

E '(v) = 0 ⇔ v =

3a
. Lập bảng biến thiên ta thấy
2
3a
v
0
2
−
E '(v)

+
0

E(v)

+∞

27 3
a
4


Dựa vào bảng biến thiên ta có: min E(v) = E 

3a  27 3
a
÷=
 2 4

 Bình luận: Trong thực tế, khi khảo sát việc bơi ngược dòng của những
chú cá này, ta thấy tốc độ của chúng gấp gấn 1,5 lần tốc độ của dòng
nước.
Bài tập tương tự 1: Lưu lượng xe ô tô vào đường hầm được cho bởi công
290, 4v

thức f (v) = 0,36v 2 + 13, 2v + 264 (xe/giây), trong đó v(km / h) là vận tốc trung
bình của các xe khi vào đường hầm. Tính vận tốc trung bình của các xe khi
vào đường hầm sao cho lưu lượng xe là lớn nhất?
Hướng dẫn giải
f (v) =

290, 4v
−0,36v 2 + 264
⇒
f
'(v)
=
290,
4
,v > 0
0,36v 2 + 13, 2v + 264
(0,36v 2 + 13, 2v + 264) 2

f '(v) = 0 ⇔ v =

264 10 66
=
≈ 27, 08(km / h)
0, 6
3


Lập bảng biến thiên ta có:
v
f '(v)

10 66
3

0

+

f(v)

0
max

+∞
−

Bài tập tương tự 2: Một ngọn hải đăng được đặt tại vị trí A cách bờ biển một
khoảng AB bằng 1km và một kho hàng được đặt tại vị
trí C cách B một khoảng 1km. Người canh giữ hải đăng
có thể chèo thuyền từ vị trí A đến vị trí M trên bờ biển
nằm giữa B và C với vận tốc 3 km/h, sau đó đi bộ đến
vị trí C với vận tốc 5 km/h. M cần cách B một khoảng
ngắn nhất bằng bao nhiêu để thời gian người đó đi đến
kho hàng nhanh nhất?
Hướng dẫn giải
Đặt x = BM(km) . Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 2
Suy ra quãng đường AM = 1 + x 2 và quãng đường MC = 2 − x
Thời gian người canh hải đăng chèo đò đi từ A đến M là t AM =
Thời gian người canh hải đăng đi bộ từ M đến C là t MC =

1+ x2
3

2−x
5

Thời gian người canh hải đăng đi từ A đến C là t = t AM + t MC =

1+ x2 2 − x
+
3
5

1+ x2 2 − x
trên đoạn [ 0; 2]
+
3
5
Bài tốn trở thành tìm min f (x) = ?

Xét hàm số f (x) =

x∈[ 0;2]

Ta có

f '(x) =

1
3 1+ x2 −

1
5

, f '(x) = 0 ⇔ 1 + x 2 =

5
4
⇔ x = ∈ [ 0; 2 ]
3
3

11
5
 4  31
≈ 0, 73;f  ÷ =
≈ 0, 68, f (2) =
≈ 0, 75
15
3
 3  45
4
Vậy yêu cầu bài toán ⇔ x = BM = km
3

Ta có f ( 0 ) =

2.4. Hiệu quả của biện pháp đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng
nghiệp và nhà trường.
2.4.1. Đối với bản thân


- Trong quá trình giảng dạy áp dụng các biện pháp trên, bản thân tơi thấy mình
càng ngày tích lũy được thêm nhiều kinh nghiệm, hiểu và gần gửi với học sinh
hơn. Tôi cũng nhận ra rằng khi xã hội càng phát triển mạnh, chương trình giáo
dục thay đổi thì tôi cũng cần phải thay đổi phương pháp giảng dạy để đáp ứng

được chương trình giáo dục. Tơi ln ln cố gắng tự học hỏi, trao dồi kiến thức
chuyên môn…để ngày một nâng cao được chất lượng dạy học.
2.4.2. Đối với học sinh
Sau khi thực hiện biện pháp nâng cao chất lượng với lớp 12C5, 12C6, 12C12
năm học 2021-2022, tôi nhận thấy học sinh học học tập rất tích cực, sôi nổi và
hứng thú hơn. Các em tự tin hơn khi trình bày mơn tốn, tập trung hơn, kỹ năng
thuyết trình tốt hơn, kỹ năng làm việc tập thể tốt hơn, kỹ năng giao tiếp và ứng
xử tốt hơn, kỹ năng đánh giá người khác được nâng cao hơn.
2.4.3. Đối với đồng nghiệp và nhà trường
Sau một quá trình áp dụng biện pháp tôi thấy chất lượng của học sinh ngày càng
tốt hơn. Trong họp tổ chun mơn, khi nói về nâng cao chất lượng dạy học tơi
cũng đã trình bày các biện pháp này để các thành viên trong tổ phân tích bổ
sung, cùng nhau đúc kết học hỏi kinh nghiệm.
Tổ chuyên môn kết luận: Những biện pháp trên là cần thiết đối với giáo viên và
học sinh, phù hợp với việc dạy và học ngày nay.
Biện pháp đã đem lại được kết quả tốt trong cả một quá trình dạy học từ
đó góp phần hồn thành các nhiệm vụ chỉ tiêu của tổ, góp một phần quan trọng
trong phát triển chung của nhà trường.


3. KẾT LUẬN- KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Sau một thời gian giảng dạy như trên tôi thấy đã thu được những kết quả hết sức
khả quan: Đa số học sinh tiếp thu được kiến thức cơ bản.
Nhiều kĩ năng về giải quyết bài tốn, trình bày bài tốn, cách tiến hành một
số dạng bài tập cơ bản cũng như bài tập vận dụng nâng cao được học sinh thực
hiện thành thạo
Nhiều kĩ năng về giải quyết bài tốn, trình bày bài toán, cách tiến hành một
số dạng bài cơ bản cũng như các bài vận dụng nâng cao được học sinh thực hiện
thành thạo.

Nhiều kĩ năng về giải quyết bài toán, trình bày bài tốn, cách tiến hành một
số dạng bài cơ bản cũng như các bài vận dụng nâng cao được học sinh thực hiện
thành Tinh thần học tập của các em học sinh khi được nghiên cứu phần này tăng
lên đáng kể, các em hứng thú hơn trong việc tìm tịi, khám phá các lời giải, đồng
thời tạo ra một động lực để thúc đẩy trong việc nghiên cứu tiếp thu các phần
kiến thức khác.
Kết quả học phần này được nâng lên rõ rệt. Trong các bài thi kiểm tra định
kỳ, bài thi giữa học kỳ, bài thi thử THPT có nhiều em đạt điểm cao mơn Tốn.
Tơi đã tiến hành thực hiện nội dung chuyên đề nêu trên của mình trên 3 lớp
12C5, 12C6, 12C12 (năm học 2021 - 2022) ở 2 thời điểm khác nhau: Trước và
sau khi dạy phương pháp dùng đạo hàm để giải bài toán thực tế , kết quả thu
được của các lớp với bảng số liệu sau:
Kết quả bài kiểm tra trước khi áp dụng phương pháp
Lớp
(Năm học)
12C5-51HS
(2021-2022)
12C6-55HS
(2021-2022)
12C12-50HS
(2021-2022)

Điểm dưới 5

5đ - 6.5đ

7 – 8.5 đ

9 – 10 đ

4

15

21

1

5

17

30

3

6

23

20

1


Kết quả bài kiểm tra sau khi áp dụng phương pháp
Lớp
(Năm học)
12C5-51HS
(2021-2022)

12C6-55HS
(2021-2022)
12C12-50HS
(2021-2022)

Điểm dưới 5

5đ - 6.5đ

7 – 8.5 đ

9 – 10 đ

2

12

29

8

1

8

35

11

3

11

29

7

Nắm vững chun mơn nghiệp vụ, có kiến thức sâu rộng, khả năng bao quát
kiến thức, có tinh thần trách nhiệm trong công việc.
Trong công tác giảng dạy cần đổi mới phương pháp dạy học, tìm ra phương
pháp phù hợp cho nội dung bài học. Trước khi lên lớp cần có sự nghiên cứu kĩ
nội dung chương trình, đặc biệt là tình hình học sinh để đưa ra bài học sát với
khả năng của học sinh, chọn lọc hệ thống bài tập phù hợp, có sự hướng dẫn hợp
lý, dễ hiểu để học sinh vận dụng được tốt.
3.2. Kiến nghị
Trong thời gian tới, nếu có điều kiện tơi sẽ mở rộng nghiên cứu đề tài này.
Trên đây là một phương pháp giải bài toán thực tiễn bằng phương pháp sử
dụng đạo hàm để bồi dưỡng học sinh ôn luyện thi học sinh giỏi, thi THPTQG,
thi ĐGNL-ĐGTD. Tuy nhiên, đề tài trên khơng tránh khỏi những thiếu sót cần
bổ sung. Tơi rất mong được sự góp ý q đồng nghiệp để SKKN của tơi hồn
thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ
TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 19 tháng 4 năm 2022
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác.

Trịnh Đình Chiến

TÀI LỆU THAM KHẢO
[1]. Chuyên đề hàm số, đồ thi và ứng dụng– Lê Hồ Quý- Nguyễn Tài - Nxb Đại
Học QGHN năm 2020.
[2]. Phương pháp giải các dạng toán THPT về Hàm số, đạo hàm và ứng dụng –
Lê Hồng Đức-Nxb ĐHQG HN năm 2014.
[3]. Chuyên đề khảo sát hàm số và ứng dụng đạo hàm - Lê Hoành Phò - Nxb
ĐHQG HN năm 2015.
[4]. Hàm số và ứng dụng- Huỳnh Công Thái- Nxb ĐHQG HN năm 2014.
[5]. Ứng dụng đạo hàm- Nguyễn Phú Khánh- Nxb ĐHQG HN năm 2016.


DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI
Họ và tên tác giả: Trịnh Đình Chiến
Chức vụ và đơn vị cơng tác: Giáo viên

TT

1

Tên đề tài SKKN

Phát hiện và sửa chữa sai lầm
của học sinh khi giải bài toán tổ

2

hợp

Một số phương pháp giải tốn
hình học khơng gian ở trường

3

THPT
Ứng dụng phương pháp lượng
giác hóa để giải một số bài tốn

4

đại số trong trường THPT
Một số cách giải bài tốn tìm số
phức có mô đun lớn nhất, nhỏ
nhất cho học sinh THPT

Cấp đánh giá
xếp loại
Sở giáo dục và
đào tạo thanh hóa
Sở giáo dục và
đào tạo thanh hóa
Sở giáo dục và
đào tạo thanh hóa
Sở giáo dục và
đào tạo thanh hóa

Kết quả
đánh giá
xếp loại

(A, B, C)

Năm học
đánh giá
xếp loại

C

2013-2014

B

2015-2016

C

2018-2019

C

2019-2020