Hàm số luỹ thừa Hàm số mũ và hàm số logarit
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.12 MB, 82 trang )
Phân loi và phng pháp gii toán 12
www.MATHVN.com
www.MATHVN.comwww.MATHVN.com
www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
Chng II. Hàm s m Hàm s ly tha Hàm s Logarit
www.mathvn.com
- 1 -
HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
2
22
2
Chương
Bài 1:
LŨY THỪA – CÁC PHÉP TÍNH VỀ LŨY THỪA VỚI HÀM SỐ THỰC
1. Kiến thức cơ bản
Gọi
a
và
b
là những số thực dương,
x
và
y
là những số thực tùy ý
. .
n
a a a a a
=
x
x
x
a a
b
b
=
.
x y x y
a a a
+
=
x
y
x
y
a a
=
1
x
x y n
y n
a
a a
a a
− −
= ⇒ =
( )
(
)
0
0
1 1 ,
0
u x
u x x
x
∀
= ⇒ =
≠
(
)
(
)
.
y x
x y x y
a a a
= =
.
n n n
a b ab
=
(
)
. .
x
x x
a b a b
=
(
)
m
n
n
m
a a
=
2. Lưu ý
Nếu
0
a
<
thì
x
a
chỉ xác định khi
x
∀ ∈
ℤ
.
Nếu
1
a
>
thì
a a
α β
α β
> ⇔ >
.
Nếu
0 1
a
< <
thì
a a
α β
α β
> ⇔ <
.
( )
n
1
lim 1 2,718281828459045
n
x
e
n
→∞
= + ∈
≃ ℕ
.
Để so sánh
1
s
a
và
2
s
b
. Ta sẽ đưa 2 căn đã cho về cùng bậc n (với n là bội số chung của s
1
và s
2
)
⇒
Hai
số so sánh mới lần lượt là
A
n
và
B
n
. Từ đó so sánh A và B
⇒
kết quả so sánh của
1
s
a
và
2
s
b
.
Công thức lãi kép: Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì
⇒
Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi)
là:
(
)
1
N
C A r
= +
.
3. Bài tập áp dụng
Bài 1. Với
,
a b
là các số thực dương. Hãy rút gọn các biểu thức sau:
1/
9 2
6 4
7 7
5 5
8 : 8 3 .3
A
= −
2/
(
)
(
)
3 1 3 4
0
3 2
2 .2 5 .5
10 : 10 0,25
B
− −
− −
+
=
−
3/
( )
4
2
3
5
4
5 0,2C
−
−
= +
4/
1 3
3 5
0,75
1 1
81
125 32
D
− −
−
= + −
5/
(
)
(
)
1 2 2
2
2
0
3 3 3
0, 001 2 .64 8 9
E
−
−
= − − − +
6/
2 3 5 5
2 .8
F
−
=
n
số
a
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com
www.MATHVN.comwww.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Phân loi và phng pháp gii toán 12
- 2 -
www.mathvn.com
www.mathvn.comwww.mathvn.com
www.mathvn.com
Chng II. Hàm s m Hàm s ly tha Hàm s Logarit
7/
2
3
4
3. 3 : 3
G
=
8/
2 7
2 7 1 7
10
2 .5
H
+
+ +
=
9/
(
)
(
)
2
1,5
3
0, 04 0,125
I
− −
= −
10/
( )
0,75
5
2
1
0,25
16
J
−
−
= +
11/
( ) ( )
4
0,75
2
3
1,5
3
5 4
9 2
6 4 5 3
7 7
5 5 2 4
1 1
. 0,04 0,125
16 8
8 : 8 3 .3 . 5 0,2
K
−
−
− −
− −
−
+ −
=
− +
12/
1 9 1 3
2
1 1
4 4 2 2
2 2
1 5 1 1
4 4 2 2
1 2 : .
b b a a b b
L a b
a a
a a b b
−
−
− −
= − + − −
− −
13/
4 1 1 1 1
3 6 3
3 3 2 3 6
: : . . . :
M a a a a a a a a a
= +
14/
(
)
3 5
3 2 1 2 4 2 2 1 2 2 2 1 2 2
2 5 1 5
6
4 .2 .2 : 25 5 .5
2 .3
N
+
+ − − − + − −
+ +
= + −
15/
2
3
4
3. 3 : 3
O
=
16/
(
)
3 3
2 2
1
6 6 6
3 3 3 3
3
2 2 2 2
2
a b ab a b
P a b a
a ab b a b
−
− +
= − − +
− + −
Bài 2. Hãy so sánh các cặp số sau:
1/
3
4
−
và
2
4
−
2/
3
2
và
1,7
2
3/
2
2
−
và
1
4/
(
)
1
0,013
−
và
1
5/
1,4
1
2
và
2
1
2
6/
1
9
π
và
3,14
1
9
7/
2
1
3
và
3
1
3
8/
3
10
và
5
20
9/
4
5
và
3
7
10/
17
và
3
28
11/
4
13
và
5
23
12/
5
4
và
7
4
13/
(
)
2
0,01
−
và
(
)
2
10
−
14/
2
4
π
và
6
4
π
15/
2 3
5
−
và
3 2
5
−
14/
300
5
và
300
8
15/
(
)
3
0,001
−
và
3
100
16/
2
4
và
(
)
2
0,125
−
17/
(
)
3
2
−
và
(
)
5
2
−
18/
4
4
5
−
và
5
5
4
19/
10
0,02
−
và
11
50
20/
5
2
2
π
và
10
3
2
π
21/
2
3
5
−
và
2
2
2
−
22/
(
)
1
4
3 1
−
và
(
)
2
2
3 1
−
Bài 3. So sánh hai số
,
m n
nếu:
1/
3,2
m
<
3,2
n
2/
(
)
2
m
>
(
)
2
n
3/
1
9
m
và
1
9
n
4/
3
2
m
>
3
2
n
5/
(
)
5 1
m
−
<
(
)
5 1
n
−
6/
(
)
2 1
m
−
<
(
)
2 1
n
−
Bài 4. Có thể kết luận gì về cơ số
a
nếu:
1/
(
)
(
)
2 1
3 3
1 1
a a
− −
− < −
2/
(
)
(
)
3 1
2 1 2 1
a a
− −
+ > +
3/
0,2
2
1
a
a
−
<
Phân loi và phng pháp gii toán 12
www.MATHVN.com
www.MATHVN.comwww.MATHVN.com
www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
Chng II. Hàm s m Hàm s ly tha Hàm s Logarit
www.mathvn.com
- 3 -
4/
(
)
(
)
1 1
3 2
1 1
a a
− −
− > −
5/
(
)
(
)
3
2
4
2 2
a a
− > −
6/
1 1
2 2
1 1
a a
−
>
7/
3 7
a a
<
8/
1
1
17
8
a a
−
−
<
9/
0,25 3
a a
− −
<
Bài 5. Đơn giản các biểu thức sau:
1/
( ) ( )
3 2
3
7 2 7
1 . . . 7 .
8 7 14
A
= − − − − −
2/
(
)
(
)
(
)
(
)
2 6
4
6 4
2
3 . 15 .8
9 . 5 . 6
B
− −
=
− −
3/
3 2
2 3
4 8
C
= +
4/
2
3
5
2
32
D
−
=
5/
(
)
(
)
(
)
(
)
7 3
4
4 5
18 .2 . 50
25 . 4
E
− −
=
− −
6/
(
)
(
)
( )
3 3
6
4
2
3
125 . 16 . 2
25 . 5
F
− −
=
−
7/
(
)
(
)
(
)
2
3 1 3 4
0 3
3 2 2
2 .2 5 .5 0, 01
10 : 10 0,25 10 . 0,01
G
−
− −
−
− − −
+ −
=
− +
8/
1 1 1 1 1
3 3 3 3 3
4 10 25 2 5
H
= − + +
9/
4
3
5 4
3
4. 64. 2
32
I
=
10/
5 5 5
2
3
5
81. 3. 9. 12
3 . 18. 27. 6
J =
Bài 6. Viết các biểu thức sau với dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
1/
(
)
4
3
2
. , 0
A x x x= ≥
2/
( )
5
3
. , , 0
b a
B a b
a b
= ≠
3/
5
3
2. 2 2
C
=
4/
3
3
2 3 2
. .
3 2 3
D =
5/
4
3
8
E a
=
6/
5
2
3
b b
F
b b
=
Bài 7. Đơn giản các biểu thức sau:
1/
1,5 1,5
0,5 0,5
0,5
0,5 0,5
0,5 0,5
.
2.
a b
a b
b
a b
A
a b
a b
+
−
+
= +
−
+
2/
0,5 0,5 0,5
0,5 0,5
2 2 1
.
1
2 1
a a a
B
a
a a a
+ − +
= −
−
+ +
3/
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
2
1 1
2 2
3 3
.
2
x y x y x y
C
x y
x y
+ − −
= +
−
−
4/
1 1 1 1 3 1
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
2
.
x y x y x y y
D
x y x y
xy x y xy x y
− +
= + −
+ −
+ −
5/
1 2 2 1 2 4
3 3 3 3 3 3
.
E a b a a a b
= − + +
6/
1 1 1 1 1 1
4 4 4 4 2 2
. .
F a b a b a b
= − + +
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com
www.MATHVN.comwww.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Phân loi và phng pháp gii toán 12
- 4 -
www.mathvn.com
www.mathvn.comwww.mathvn.com
www.mathvn.com
Chng II. Hàm s m Hàm s ly tha Hàm s Logarit
7/
1 1 1
2 2 2
1 1
2 2
2 2 1
.
1
2
a a a
G
a
a a a
+ − +
= −
−
+
8/
(
)
(
)
( )
1
1
2 2 2
2
1
1
. 1
2
a b c
b c a
H a b c
bc
a b c
−
−
−
−
−
+ +
+ −
= + + +
− +
9/
3 3
6 6
a b
I
a b
−
=
−
10/
4
:
ab ab b
J ab
a b
a ab
−
= −
−
+
11/
4
4
2
2
4
2
a x x a
K a x a x
a x ax
+
= − + +
+
12/
3 3
2 2
3 3 3 3
3
2 2 2 2
6
6 6
2
a x ax a x
a x a ax x
L x
a x
+ −
+
− − +
= −
−
13/
3
4 4
3 3
4 4
1 1
1 1
x x x
M
x x
x x
x x
−
=
− +
− −
− +
14/
3 3 3
3 3
2 2 2 2
3
3 3
3
3
2
2
:
a a a b a b a b ab
N a
a b
a ab
− + −
= +
−
−
15/
5
3 3
2 5
5 2
10
2 27.
3. 32 2 .3
2 3
y
O y
y
−
+
= + −
+
16/
1 1 1 1
3 3 3 3
1 1 2 1 1 2
3 3 3 3 3 3
8 2
6
2 4 2
b a a b a b
P
a b a a b b
− − − − −
− −
= +
− + +
17/
3
2
1 1
2
3
4 4
3
8
3
:
a b a
Q a b
b a
a b
= + +
18/
( ) ( )
1
2
2
1
1
2
1
2 1
4
a b
R a b ab
b a
−
= + + −
Bài 8. Giải các phương trình sau:
1/
5
4 1024
x
=
2/
1
5 2 8
.
2 5 125
x +
=
3/
1 3
1
8
32
x−
=
4/
( )
2
2
1
3 3
9
x
x
−
=
5/
2 8 27
.
9 27 64
x x−
=
6/
2
5 6
3
1
2
x x− +
=
7/
2 8
1 0,25
.32
0,125
8
x
x
−
−
=
8/
0,2 0, 008
x
=
9/
3 7 7 3
9 7
49 3
x x
− −
=
10/
5 .2 0, 001
x x
=
11/
(
)
(
)
1
12 3
6
x x
=
12/
1 1
1
7 .4
28
x x
− −
=
Bài 9. Giải các bất phương trình sau:
1/
0,1 100
x
>
2/
3
1
0, 04
5
x
>
3/
100
0, 3
9
x
>
4/
2
7 . 49
x
+
5/
2
1 1
9
3 27
x +
<
6/
1
3
9 3
x
<
7/
(
)
1
3. 3
27
x
>
8/
1
1
27 .3
3
x x−
<
9/
3
1
2 1
64
x
>
Phân loi và phng pháp gii toán 12
www.MATHVN.com
www.MATHVN.comwww.MATHVN.com
www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
Chng II. Hàm s m Hàm s ly tha Hàm s Logarit
www.mathvn.com
- 5 -
Bài 10
. Giải các phương trình sau:
1/
2
2 2 20
x x +
+ =
2/
1
3 3 12
x x +
+ =
3/
1
5 5 30
x x −
+ =
4/
1 1
4 4 4 84
x x x− +
+ + =
5/
2
4 24.4 128 0
x x
− + =
6/
1 2 1
4 2 48
x x+ +
+ =
7/
3.9 2.9 5 0
x x−
− + =
8/
2
5 6
3 1
x x− +
=
9/
1
4 2 24 0
x x +
+ − =
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com
www.MATHVN.comwww.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Phân loi và phng pháp gii toán 12
- 6 -
www.mathvn.com
www.mathvn.comwww.mathvn.com
www.mathvn.com
Chng II. Hàm s m Hàm s ly tha Hàm s Logarit
Bài 2: LOGARIT
1. Kiến thức cơ bản
a/ Định nghĩa
Với
0, 1, 0
a a b
> ≠ >
ta có:
log
a
b a b
α
α
= ⇔ =
. Chú ý:
log
a
b
có nghĩa khi
0, 1
0
a a
b
> ≠
>
Logarit thập phân:
10
lg log log
b b b
= =
Logarit tự nhiên (logarit Nepe):
ln log
e
b b
=
b/ Tính chất
Cho
0, 1
a a
> ≠
và
, 0
b c
>
. Khi đó:
Nếu
1
a
>
thì
log log
a a
b c b c
> ⇔ >
Nếu
0 1
a
< <
thì
log log
a a
b c b c
> ⇔ <
log 1 0
a
=
log 1
a
a
=
log
b
a
a b
=
log
a
b
a b
=
c/ Các qui tắc tính logarit
Cho
0, 1
a a
> ≠
và
, 0
b c
>
. Ta có:
(
)
log . log log
a a a
b c b c
= +
log log log
a a a
b
b c
c
= −
log .log
a a
b b
β
β
=
2
log 2 log
a a
b b
=
d/ Các công thức đổi cơ số
Cho
, , 0
a b c
>
và
, 1
a b
≠
. Ta có:
log
log log . log log
log
a
b a b a
a
c
c b c c
b
= ⇒ =
1
log
log
a
b
b
a
=
,
ln
log
ln
a
b
b
a
=
( )
1
log .log , 0
a
a
b b
β
β
β
= ≠
1
log log
a
a
b b
= −
1
log
1 1
log log
ab
a b
c
c c
=
+
log log
c a
b b
a c
=
2. Bài tập áp dụng
Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:
1/
2 1
4
log 4. log 2
A
=
2/
5 27
1
log . log 9
25
B =
3/
3
log
a
C a
=
4/
3
2
log 2
log 3
4 9
D
= +
5/
2 2
log 8
E
=
6/
9 8
log 2 log 27
27 4
F
= +
7/
3 4
1
3
7
1
log .log
log
a a
a
a a
G
a
=
8/
3 8 6
log 6.log 9. log 2
H
=
9/
3 81
2 log 2 4 log 5
9
I
+
=
Phân loi và phng pháp gii toán 12
www.MATHVN.com
www.MATHVN.comwww.MATHVN.com
www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
Chng II. Hàm s m Hàm s ly tha Hàm s Logarit
www.mathvn.com
- 7 -
10/
3 9 9
log 5 log 36 4log 7
81 27 3
J
= + +
11/
75
log 8
log 6
25 49
K
= +
12/
5
3 2 log 4
5
L
−
=
13/
6 8
1 1
log 3 log 4
9 4
M
= +
14/
9 2 125
1 log 4 2 log 3 log 27
3 4 5
N
+ −
= + +
15/
(
)
(
)
(
)
0 0 0
lg tan1 lg tan2 lg tan89
P = + + +
16/
(
)
(
)
8 4 2 2 3 4
log log log 16 .log log log 64
Q
=
17/
(
)
3
5 log 2
3
3 log log 28
R = +
18/
3
1 1 1
3 3 3
1
2 log 6 log 400 3 log 45
2
S = − +
Bài 2. Thực hiện phép biến đổi theo yêu cầu bài toán.
1/ Cho
12
log 27
a
=
. Tính
6
log 16
theo
a
.
2/ Cho
2
log 14
a
=
. Tính
49 7
log 32
và
49
log 32
theo
a
.
3/ Cho
2 2
log 5 ; log 3
a b
= =
. Tính
3
log 135
theo
,
a b
.
4/ Cho
15
log 3
a
=
. Tính
25
log 15
theo
a
.
5/ Cho
log 3
a
b =
. Tính
3
log
b
a
b
a
6/ Cho
lg 3 0,477
=
. Tính
( )
81
1
lg 9000; lg 0,000027 ;
log 100
.
7/ Cho
log 5
a
b =
. Tính
log
ab
b
a
8/ Cho
7
log 2
a
=
. Tính
1
2
log 28
theo
a
.
9/ Cho
log 13
a
b =
. Tính
3
2
log
b
a
ab
.
10/ Cho
25 2
log 7 ;log 5
a b
= =
. Tính
3
5
49
log
8
theo
,
a b
.
11/ Cho
lg 3 ; lg 2
a b
= =
. Tính
125
log 30
theo
,
a b
.
12/ Cho
30 30
log 3 ;log 5
a b
= =
. Tính
30
log 1350
theo
,
a b
.
13/ Cho
14 14
log 7 ; log 5
a b
= =
. Tính
35
log 28
theo
,
a b
.
14/ Cho
2 3 7
log 3 ;log 5 ;log 2
a b c
= = =
. Tính
140
log 63
theo
, ,
a b c
.
15/ Cho
log 7
a
b =
. Tính
3
log
a b
a
b
16/ Cho
27 8 2
log 5 ; log 7 ; log 3
a b c
= = =
. Tính
6
log 35
theo
, ,
a b c
.
17/ Cho
49 2
log 11 ; log 7
a b
= =
. Tính
3
7
121
log
8
theo
,
a b
.
Bài 3. Cho
0, 1
a a
> ≠
. Chứng minh rằng:
(
)
( )
(
)
1
log 1 log 2 ( )
a
a
a a
+
+ > + ∗
HD: Xét
( )
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
1 1 1
1 1
log 2 log 2 log
log 2 .log
2
log 1
a a a
a a
a
a a a
A a a
a
+ + +
+ +
+ + +
= = + ≤
+
( )
(
)
( )
(
)
2
1 1
log 2 log 1
1
2 2
a a
a a a
+ +
+ +
= < = ⇒
(Đpcm).
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com
www.MATHVN.comwww.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Phân loi và phng pháp gii toán 12
- 8 -
www.mathvn.com
www.mathvn.comwww.mathvn.com
www.mathvn.com
Chng II. Hàm s m Hàm s ly tha Hàm s Logarit
Bài 4
. So sánh các cặp số sau:
1/
3
log 4
và
4
1
log
3
2/
3
0,1
log 2
và
0,2
log 0, 34
3/
3
4
2
log
5
và
5
2
3
log
4
4/
1
3
1
log
80
và
1
2
1
log
15 2
+
5/
13
log 150
và
17
log 290
6/
6
log 3
2
và
6
1
log
2
3
7/
7
log 10
và
11
log 13
8/
2
log 3
và
3
log 4
9/
9
log 10
và
10
log 11
HD: 4/ CM:
1 1
3 2
1 1
log 4 log
80
15 2
< <
+
5/ CM:
13 17
log 150 2 log 290
< <
7/ Xét
7 7 7
7 11
7
log 10.log 11 log 13
log 10 log 13
log 11
A
−
= − =
7 7 7
7
1 10.11.7 10 11
log log . log 0
log 11 7.7.13 7 7
= + >
8/, 9/ Sử dụng Bất đẳng thức
( )
∗
bài tập 3.
Bài 5. Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết các biểu thức đã cho có nghĩa)
1/
log log
a a
c b
b c
=
2/
( )
log log
log
1 log
a a
ax
a
b x
bx
x
+
=
+
3/
log .log
log log
log
a b
a b
ab
c c
c c
c
+ =
4/
log
1 log
log
a
a
ab
c
b
c
= +
5/
( )
1
log log log ,
3 2
c c c
a b
a b
+
= +
với
2 2
7
a b ab
+ =
6/
( ) ( )
1
log 2 2 log 2 log log ,
2
a a a a
x y x y
+ − = +
với
2 2
4 12
x y xy
+ =
7/
( )
a
3 1
lg lg lg
4 2
b
a b
+
= +
, với
2 2
9 10
a b ab
+ =
8/
( ) ( ) ( ) ( )
log log 2 log .log
b c c b c b c b
a a a a
+ − + −
+ =
với
2 2 2
a b c
+ =
9/
(
)
2 3 4
1
1 1 1 1 1
log log log log log 2 log
k
a a
a a a a
k k
x x x x x x
+
+ + + + + =
10/
log .log .log
log .log log .log log .log
log
a b C
a b b c c a
abc
N N N
N N N N N N
N
+ + =
11/
1
1 lg
10
z
x
−
=
với
1
1 lg
10
x
y
−
=
và
1
1 lg
10
y
z
−
=
12/
2 3 2009 2009!
1 1 1 1
log log log log
N N N N
+ + + =
Phân loi và phng pháp gii toán 12
www.MATHVN.com
www.MATHVN.comwww.MATHVN.com
www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
Chng II. Hàm s m Hàm s ly tha Hàm s Logarit
www.mathvn.com
- 9 -
13/
log log log
log log log
a b a
b c c
N N N
N N N
−
=
−
với
, ,
a b c
lần lượt theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân.
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com
www.MATHVN.comwww.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Phân loi và phng pháp gii toán 12
- 10 -
www.mathvn.com
www.mathvn.comwww.mathvn.com
www.mathvn.com
Chng II. Hàm s m Hàm s ly tha Hàm s Logarit
Bài 3: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT
1. Kiến thức cơ bản
1.1/ Khái niệm
a/ Hàm số lũy thừa
y x
α
=
(
α
là hằng số)
Số mũ α
Hàm số
y x
α
=
Tập xác định D
n
α
=
(
n
nguyên dương)
n
y x
=
D
=
ℝ
n
α
=
(
n
nguyên dương âm hoặc
0
n
=
)
n
y x
=
{
}
\ 0
D
=
ℝ
α
là số thực không nguyên
y x
α
=
(
)
0,D
= +∞
Lưu ý: Hàm số
1
n
y x
=
không đồng nhất với hàm số
(
)
, *
n
y x n= ∈
ℕ
b/ Hàm số mũ
(
)
, 0, 1
x
y a a a
= > ≠
Tập xác định:
D
=
ℝ
Tập giá trị:
(
)
0,T
= +∞
Tính đơn điệu
Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
Dạng đồ thị:
c/ Hàm số logarit
(
)
log , 0, 1
a
y x a a
= > ≠
Tập xác định:
(
)
0,D
= +∞
Tập giá trị:
T
=
ℝ
Tính đơn điệu
Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
Dạng đồ thị:
○ Khi
1
a
>
hàm số đồng biến.
○ Khi
0 1
a
< <
: hàm số nghịch biến.
1
a
>
x
y
x
y
1
1
x
y a
=
x
y a
=
O O
0 1
a
< <
○ Khi
1
a
>
hàm số đồng biến.
○ Khi
0 1
a
< <
: hàm số nghịch biến.
log
a
y x
=
1
a
>
x
y
O
1
log
a
y x
=
x
y
0 1
a
< <
O
1
Phân loi và phng pháp gii toán 12
www.MATHVN.com
www.MATHVN.comwww.MATHVN.com
www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
Chng II. Hàm s m Hàm s ly tha Hàm s Logarit
www.mathvn.com
- 11 -
1.2/ Giới hạn đặc biệt
( )
1
0
1
lim 1 lim 1
x
x
x x
x e
x
→ →±∞
+ = + =
(
)
0
ln 1
lim 1
x
x
x
→
+
=
0
1
lim 1
x
x
e
x
→
−
=
1.3/ Đạo hàm
Đạo hàm hàm số sơ cấp Đạo hàm hàm số hợp
(
)
(
)
'
1
. , 0
x x x
α α
α
−
= >
(
)
.
'
1
. '
u u u
α α
α
−
⇒ =
(
)
'
.ln
x x
a a a
=
(
)
'
.ln . '
u u
a a u u
⇒ =
(
)
'
x x
e e
=
(
)
'
. '
u u
e e u
⇒ =
(
)
'
1
log
ln
a
x
x a
=
(
)
'
'
log
ln
a
u
u
u a
⇒ =
( ) ( )
'
1
ln , 0
x x
x
= >
( )
'
'
ln
u
u
u
⇒ =
Lu
Lu Lu
Lu ý
ýý
ý:
(
)
'
1
1
.
n
n
n
x
n x
−
=
(
)
'
1
'
.
n
n
n
u
u
n u
−
⇒ =
2. Bài tập áp dụng
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
1/
lim
1
x
x
x
x
→+∞
+
2/
1
1
lim 1
x
x
x
x
+
→+∞
+
3/
2 1
1
lim
2
x
x
x
x
−
→+∞
+
−
4/
1
3
3 4
lim
3 2
x
x
x
x
+
→+∞
−
+
5/
1
lim
2 1
x
x
x
x
→+∞
+
−
6/
2 1
lim
1
x
x
x
x
→+∞
+
−
7/
ln 1
lim
x e
x
x e
→
−
−
8/
2
0
1
lim
3
x
x
e
x
→
−
9/
1
lim
1
x
x
e e
x
→
−
−
10/
0
lim
sin
x x
x
e e
x
−
→
−
11/
sin 2 sin
0
lim
x x
x
e e
x
→
−
12/
1
lim 1
x
x
x e
→+∞
−
Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1/
2
4 3 1
y x x
= − −
2/
(
)
1
2
4
4
y x x= + −
3/
(
)
3
2
3 2
y x x= − +
4/
3
y x x x
= + +
5/
3
1 1 1
y
x
x
x
= + +
6/
(
)
(
)
( )
1 . 1
m n
m n
y x x
+
= − +
7/
3
2
1
y x x
= + +
8/
4
1
1
x
y
x
+
=
−
9/
2
5
2
2
1
x x
y
x
+ −
=
+
10/
(
)
3
sin 2 1
y x
= +
11/
3
2
cot 1
y x
= +
12/
3
3
1 2
1 2
x
y
x
−
=
+
Với
0
x
>
nếu
n
chẳn.
Với
0
x
<
nếu
n
lẻ.
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com
www.MATHVN.comwww.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Phân loi và phng pháp gii toán 12
- 12 -
www.mathvn.com
www.mathvn.comwww.mathvn.com
www.mathvn.com
Chng II. Hàm s m Hàm s ly tha Hàm s Logarit
13/
3
3
sin
4
x
y
+
=
14/
11
5
9
9 6
y x
= +
15/
2
4
2
1
1
x x
y
x x
+ +
=
− +
Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1/
(
)
2
2 2
x
y x x e
= − +
2/
(
)
2
2
x
y x x e
−
= +
3/
2
sin
x
y e x
−
=
4/
2
2
x x
y e
+
=
5/
1
3
x x
y xe
−
=
6/
2
2
x x
x x
e e
y
e e
+
=
−
7/
cos
2
x x
y e
=
8/
2
3
1
x
y
x x
=
− +
9/
cot
cos .
x
y x e
=
Bài 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1/
(
)
2
ln 2 3
y x x= + +
2/
(
)
2
log cos
y x
=
3/
(
)
.ln cos
x
y e x
=
4/
(
)
(
)
2
2 1 ln 3
y x x x
= − +
5/
(
)
3
1
2
log cos
y x x
= −
6/
(
)
3
log cos
y x
=
7/
(
)
ln 2 1
2 1
x
y
x
+
=
+
8/
(
)
ln 2 1
1
x
y
x
+
=
+
9/
(
)
2
ln 1
y x x
= + +
Bài 5. Chứng minh các hàm số đã cho thỏa mãn các hệ thức được chỉ ra:
1/
(
)
2
2
2
. ; ' 1
x
y x e xy x y
−
= = −
2/
(
)
1 ; '
x x
y x e y y e
= + − =
3/
4
2 ; ''' 2 ' 12 0
x x
y e e y y y
−
= + + − =
4/
2
. . ; '' 3 ' 2 0
x x
y a e b e y y y
− −
= + + + =
5/
sin ; '' 2 ' 2 0
x
y e x y y y
−
= + + =
6/
(
)
4
cos ; 4 0
x
y e x y y
−
= + =
7/
sin
; ' cos sin '' 0
x
y e y x y x y
= − − =
8/
2
sin 5 ; '' 4 29 0
x
y e x y y y
= − + =
9/
2
1
; '' 2 '
2
x x
y x e y y y e
= − + =
10/
4
2 ; ''' 13 12 0
x x
y e e y y y
−
= + − − =
Bài 6. Chứng minh các hàm số đã cho thỏa mãn các hệ thức được chỉ ra:
1/
1
ln ; ' 1
1
y
y xy e
x
= + =
+
2/
( )
1
; ' ln 1
1 ln
y xy y y x
x x
= = −
+ +
3/
(
)
(
)
2
sin ln cos ln ; ' '' 0
y x x y xy x y
= + + + =
4/
(
)
2 2 2
1 ln
; 2 ' 1
1 ln
x
y x y x y
x x
+
= = +
−
5/
2
2 2
1
1 ln 1 ; 2 ' ln '
2 2
x
y x x x x y xy y
= + + + + + = +
6/
(
)
(
)
(
)
2 2
2
2
1 2010 ; ' 1
1
x x
xy
y x e y e x
x
= + + = + +
+
Bài 7. Giải các phương trình và bất phương trình sau với các hàm số được chỉ ra:
1/
(
)
2
'( ) 2 ( ) ; ( ) 3 1
x
f x f x f x e x x
= = + +
2/
3
1
'( ) ( ) 0 ; ( ) ln
f x f x f x x x
x
+ = =
3/
(
)
(
)
'( ) '( ) ; ( ) ln 5 ; ( ) ln 1
f x g x f x x x g x x
> = + − = −
4/
2 1 1 2
'( ) 0 ; ( ) 2 7 5
x x
f x f x e e x
− −
= = + + −
5/
2 1
1
'( ) '( ) ; ( ) .5 ; ( ) 5 4 ln5
2
x x
f x g x f x g x x
+
< = = +
Bài 8. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1/
4
y x
−
=
2/
1
4
y x
=
3/
1
2
y x
−
=
4/
5
y x
=
Phân loi và phng pháp gii toán 12
www.MATHVN.com
www.MATHVN.comwww.MATHVN.com
www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
Chng II. Hàm s m Hàm s ly tha Hàm s Logarit
www.mathvn.com
- 13 -
5/
5
y x
−
=
6/
2
x
y
=
7/
4
x
y
−
=
8/
(
)
1
2
x
y =
9/
2
log
y x
=
10/
1
2
log
y x
=
11/
(
)
ln 1
y x
= +
12/
(
)
ln 1 3
y x
= −
Bài 4: PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Cơ sở lý thuyết
1.1/ Phương trình mũ cơ bản
Với
0, 1
a a
> ≠
thì
0
log
x
a
b
a b
x b
>
= ⇔
=
1.2/ Phương pháp giải một số phương trình mũ thường gặp
Bài giải tham khảo
1/ Giải phương trình:
(
)
(
)
3
0,04 625. 5 1
x
=
( )
( )
1 13
2 4 2
3 3
13 13
1 5 5 .5 5 5 2
3 6
x
x
x x
− −
⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = −
2/ Giải phương trình:
( )
1
8
0,125.16 2
32
x−
=
( )
( )
3
1
2
1
3 4 4 4
2
5
2 1 9
2 2 . 2 2 2 4 4
2 8
2
x
x
x x
−
−
− −
⇔ = ⇔ = ⇔ − = − ⇔ =
3/ Giải phương trình:
(
)
2 2
1
8 8 5
2 .5 0, 001. 10
x
x x
−
− −
=
(
)
3
(
)
(
)
2
2
8
3 5 5 8 2 5 2
3 2.5 10 .10 10 10 8 2 5 1; 6
x
x x x
x x x x
−
− − − −
⇔ = ⇔ = ⇔ − = − ⇔ = − =
ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ & LOGARIT HÓA
Dùng các công thức mũ và lũy thừa đưa về dạng
( ) ( )
f x g x
a a
=
Với
0, 1
a a
> ≠
thì
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x
= ⇔ =
Trường hợp cơ số
a
có chứa ẩn thì:
( )( )
1
1 0
M N
a
a a a M N
M N
=
= ⇔ − − = ⇔
=
Logarit hóa:
(
)
( ) ( )
( ) log . ( )
f x g x
a
a b f x b g x
= ⇔ =
Thí dụ 1. Giải các phương trình mũ sau (đưa về cùng cơ số)
1/
(
)
3
0,04 625. 5
x
=
(
)
1
2/
1
8
0,125.16
32
x
−
=
(
)
2
3/
(
)
2 2
1
8 8 5
2 .5 0, 001. 10
x
x x
−
− −
=
(
)
3
4/
3
2 1 3 3
3 .15 .5 9
x x x− −
=
(
)
4
5/
5.3 3.2 7.2 4.3
x x x x
+ = −
(
)
5
6/
1 2 1 1 2
5 5 5 3 3 3
x x x x x x
− − + − −
+ + = + +
(
)
6
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com
www.MATHVN.comwww.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Phân loi và phng pháp gii toán 12
- 14 -
www.mathvn.com
www.mathvn.comwww.mathvn.com
www.mathvn.com
Chng II. Hàm s m Hàm s ly tha Hàm s Logarit
4/ Giải phương trình:
3
2 1 3 3
3 .15 .5 9
x x x− −
=
(
)
4
( )
( )
2 2
2 1 3 3 3 5 1
3 3
2 1
4 3 .3 . 5 .5 3 3 3 5 1
3 3
x x x x x
x x
− − −
⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ =
5/ Giải phương trình:
5.3 3.2 7.2 4.3
x x x x
+ = −
(
)
5
( ) ( ) ( )
2
3 3
5 3 5 4 2 7 3 3 .9 2 .4 2
2 2
x
x x x x
x
−
⇔ + = − ⇔ = ⇔ = ⇔ = −
6/ Giải phương trình:
1 2 1 1 2
5 5 5 3 3 3
x x x x x x
− − + − −
+ + = + +
(
)
6
( )
( ) ( )
2 0
2 2 2 3
5 5
6 5 5 5 1 3 3 3 1 1 2
3 3
x
x x
x
−
− −
⇔ + + = + + ⇔ = = ⇔ =
Bài giải tham khảo
1/ Giải phương trình:
5 3
3 5
x x
=
(
)
1
( )
( ) ( )
( )
5 3
3 3 3 3 3
5
3
5
1 log 3 log 5 5 3 log 5 log 5 log log 5
3
x x
x
x x
x
⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
2/ Giải phương trình:
(
)
3
1 1
x
x
−
+ =
(
)
2
( )
( ) ( )
( ) ( )
5 2
3
3 3 3 3 3
3
5 log 2
2 log 3 log 2 5 2 log 2 1 2 log 2 5 log 2
1 2 log 2
x x
x x x x
−
⇔ = ⇔ = − ⇔ + = ⇔ =
+
3/ Giải phương trình:
(
)
(
)
1 3
2 2
x x
x x
− −
+ = +
(
)
3
Điều kiện:
0 2 1 2 1
1
1 0 1
x x
x
x x
< + ≠ − < ≠ −
⇔ ⇔ ≥
− ≥ ≥
( ) ( ) ( )
(
)
( )
2
1
2 1
3 0
3 2 1 . 1 3 0
1 3
1 3
x L
x
x
x x x
x x
x x
= −
+ =
− ≥
⇔ + − − − − = ⇔ ⇔
− = −
− = −
2
3
3
2
5
7 10 0
5
x
x
x
x
x x
x
≥
≥
=
⇔ ⇔ ⇒ =
− + =
=
4/ Giải phương trình:
(
)
(
)
2
5 4 4
2 2
3 3
x x x
x x
− + +
+ = +
(
)
4
( )
( )
( )
(
)
2
2 2
2
2 0
4 3 1 5 4 4 0
5 4 4 0
x VN
x x x x
x x x
+ =
⇔ + − − + − + = ⇔
− + − − =
Thí dụ 2. Giải các phương trình mũ sau (logarit hóa)
1/
5 3
3 5
x x
=
(
)
1
2/
5 2
3 2
x x
−
=
(
)
2
3/
(
)
(
)
1 3
2 2
x x
x x
− −
+ = +
(
)
3
4/
(
)
(
)
2
5 4 4
2 2
3 3
x x x
x x
− + +
+ = +
(
)
4
Phân loi và phng pháp gii toán 12
www.MATHVN.com
www.MATHVN.comwww.MATHVN.com
www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
Chng II. Hàm s m Hàm s ly tha Hàm s Logarit
www.mathvn.com
- 15 -
(
)
( )
(
)
( )
2
2
1;4
1;4
5 4 4 0
0; 6
;1 4;;1 4;
0; 6
5 4 4 0
x
x
x x x VN
x x
xx
x x
x x x
∈
∈
− + − − − =
⇔ ⇔ ⇔ = =
∈ −∞ ∪ +∞∈ −∞ ∪ +∞
= =
− + − − =
Bài giải tham khảo
1/ Giải phương trình:
9 5.3 6 0
x x
− + =
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
1 3 5.3 6 0 3 5.3 6 0 1'
x
x x x
⇔ − + = ⇔ − + =
Đặt
3 0
x
t
= >
. Khi đó:
( )
(
)
(
)
2
2
1' 5 6 0
3
t N
t t
t N
=
⇔ − + = ⇔
=
Với
3
2 3 2 log 2
x
t x= ⇒ = ⇔ =
.
Với
3
3 3 3 log 3 1
x
t x
= ⇒ = ⇔ = =
.
2/ Giải phương trình:
1 2
2 15.2 8 0
x x
+
+ − =
(
)
2
(
)
(
)
(
)
2
2
2 2.2 15.2 8 0 2. 2 15.2 8 0 2'
x x x x
⇔ + − = ⇔ + − =
Đặt
2 0
x
t
= >
. Khi đó:
( )
( )
(
)
2
1
2' 2 15 8 0
2
8
t N
t t
t L
=
⇔ + − = ⇔
= −
ĐẶT ẨN SỐ PHỤ
Dạng 1:
( )
(
)
( )
( )
, 0
0
0
f x
f x
t a t
P a
P t
= >
= ⇔
=
Dạng 2:
(
)
( )
2 ( ) 2 ( )
. . 0
f x
f x f x
a ab bα β λ
+ . + =
⇒
Chia hai vế cho
2 ( )
f x
b
, rồi đặt ẩn phụ
( )
0
f x
a
t
b
= >
(chia cơ số lớn nhất).
Dạng 3:
( ) ( )f x f x
a b m
+ =
với
. 1
a b
=
. Đặt
( ) ( )
1
f x f x
t a b
t
= ⇒ =
.
Thí dụ 1. Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn số phụ dạng 1, loại đặt ẩn phụ hoàn toàn)
1/
9 5.3 6 0
x x
− + =
(
)
1
2/
1 2
2 15.2 8 0
x x
+
+ − =
(
)
2
3/
1 2
5 5 124
x x
+ −
− =
(
)
3
4/
1
5 5 4 0
x x−
− + =
(
)
4
5/
2 2 2
3 2.3 27 0
x x− −
− − =
(
)
5
6/
1
5 25 6
x x−
+ =
(
)
6
7/
3 3 3 3 4 4 3
3 3 3 3 10
x x x x+ − + −
+ + + =
(
)
7
8/
(
)
(
)
7 4 3 2 3 6
x x
+ + + =
(
)
8
9/
2 2
sin cos
9 9 6
x x
+ =
(
)
9
10/
2 2
1 2sin 2 cos
4 9.4 5
x x
− −
+ =
(
)
10
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com
www.MATHVN.comwww.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Phân loi và phng pháp gii toán 12
- 16 -
www.mathvn.com
www.mathvn.comwww.mathvn.com
www.mathvn.com
Chng II. Hàm s m Hàm s ly tha Hàm s Logarit
Với
2
1 1 1
2 log 1
2 2 2
x
t x x
= ⇒ = ⇔ = ⇔ = −
3/ Giải phương trình:
1 2
5 5 124
x x+ −
− =
(
)
3
( ) ( )
25
3 5.5 124 0 3'
5
x
x
⇔ − − =
Đặt
5 0
x
t
= >
. Khi đó:
( )
(
)
(
)
2
25
25
3' 5 124 0 5 124 25 0
0,2
t N
t t t
t L
t
=
⇔ − − = ⇔ − − = ⇔
= −
Với
5
25 5 25 log 25 2
x
t x
= ⇒ = ⇔ = =
4/ Giải phương trình:
1
5 5 4 0
x x−
− + =
(
)
4
Điều kiện:
0
x
≥
( ) ( )
5
4 5 4 0 4 '
5
x
x
⇔ − + =
Đặt
5 0
x
t
= >
. Khi đó:
( )
(
)
(
)
2
1
5
4 ' 4 0 4 5 0
5
t N
t t t
t L
t
=
⇔ − + = ⇔ + − = ⇔
= −
Với
0
1 5 1 5 5 0 0
x x
t x x
= ⇒ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
5/ Giải phương trình:
2 2 2
3 2.3 27 0
x x− −
− − =
(
)
5
(
)
( )
(
)
(
)
2
2 1
1 1 1
5 3 2.3.3 27 0 3 6.3 27 0 5 '
x
x x x
−
− − −
⇔ − − = ⇔ − − =
Đặt
1
3 0
x
t
−
= >
. Khi đó:
( )
(
)
(
)
2
3
5 ' 6 27 0
9
t L
t t
t N
= −
⇔ − − = ⇔
=
Với
1 1 2
9 3 9 3 3 1 2 1
x x
t x x
− −
= ⇒ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = −
6/ Giải phương trình:
(
)
1
5 25 6 6
x x−
+ =
( )
(
)
(
)
( )
2
2
25 25 25
6 5 6 0 5 6 0 5 6 0 6 '
25
5 5
x x x
x x
x
⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ + − =
Đặt
5 0
x
t
= >
. Khi đó:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
3 2
2
5
25 1 21
6 ' 6 0 6 25 0 5 5 0
2
1 21
2
t N
t t t t t t t N
t
t L
=
+
⇔ + − = ⇔ − + = ⇔ − − − = ⇔ =
−
=
Với
5 5 1 0
x
t x
= ⇒ = ⇔ =
.
Với
5
1 21 1 21 1 21
5 log
2 2 2
x
t x
+ + +
= ⇒ = ⇔ =
.
7/ Giải phương trình:
3 3 3 3 4 4 3
3 3 3 3 10
x x x x+ − + −
+ + + =
(
)
7
Phân loi và phng pháp gii toán 12
www.MATHVN.com
www.MATHVN.comwww.MATHVN.com
www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
Chng II. Hàm s m Hàm s ly tha Hàm s Logarit
www.mathvn.com
- 17 -
( ) ( )
3 3 3 3
3 3
27 81 1 1
7 27.3 81.3 10 27. 3 81. 3 10 7 '
3 3 3 3
x x x x
x x x x
⇔ + + + = ⇔ + + + =
Đặt
1 1
3 2 3 . 2
3 3
x x
x x
Côsi
t
= + ≥ =
3
3 3 2 3 3
2 3 3
1 1 1 1 1
3 3 3.3 . 3.3 . 3 3
3 3 3 3 3
x x x x x
x x x x x
t t t
⇒ = + = + + + ⇔ + = −
Khi đó:
( )
( )
( )
3
3 3 3
10 10
7 ' 27 3 81 10 2
27 3
t t t t t N
⇔ − + = ⇔ = ⇔ = >
Với
( )
10 1 10
3 7 ''
3 3
3
x
x
t = ⇒ + =
Đặt
3 0
x
y
= >
. Khi đó:
( )
(
)
( )
2
3
1 10
7 '' 3 10 3 0
1
3
3
y N
y y y
y
y N
=
⇔ + = ⇔ − + = ⇔
=
Với
3 3 3 1
x
y x
= ⇒ = ⇔ =
Với
1 1
3 1
3 3
x
y x
= ⇒ = ⇔ = −
8/ Giải phương trình:
(
)
(
)
7 4 3 2 3 6
x x
+ + + =
(
)
8
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
2
2
8 2 3 2 3 6 0 2 3 2 3 6 0 8 '
x
x x x
⇔ + + + − = ⇔ + + + − =
Đặt
(
)
2 3 0
x
t
= + >
. Khi đó:
( )
(
)
(
)
2
2
8 ' 6 0
3
t N
t t
t L
=
⇔ + − = ⇔
= −
Với
(
)
( )
2 3
2 2 3 2 log 2
x
t x
+
= ⇒ + = ⇔ =
9/ Giải phương trình:
2 2
sin cos
9 9 6
x x
+ =
(
)
9
Cách 1: Phương pháp đặt ẩn phụ với 1 ẩn.
( ) ( )
2 2 2
2
1 cos cos cos
cos
9
9 9 9 6 9 6 0 9 '
9
x x x
x
−
⇔ + = ⇔ + − =
Đặt
(
)
2
cos
9 , 1 9
x
t t
= ≤ ≤
. Khi đó:
( )
2
9
9 ' 6 0 6 9 0 3
t t t t
t
⇔ + − = ⇔ − + = ⇔ =
Với
( )
2 2
cos 2 cos 1 2
3 9 3 3 3 2 cos 1 0 cos 2 0 ,
4 2
x x
k
t x x x k
π π
= ⇒ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = + ∈
ℤ
Cách 2: Phương pháp đặt ẩn phụ với 2 ẩn dẫn đến hệ phương trình.
Đặt
( )
2
2
sin
cos
9
, 1 , 9
9
x
x
u
u v
v
=
≤ ≤
=
. Khi đó:
2 2 2 2
sin cos sin cos
6
. 9 .9 9 9
x x x x
u v
u v
+
+ =
= = =
Theo định lí Viét, thì
,
u v
chính là nghiệm của phương trình:
2
0
X SX P
− + =
2 2
0 6 9 0 3
X SX P X X u v
⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ = =
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com
www.MATHVN.comwww.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Phân loi và phng pháp gii toán 12
- 18 -
www.mathvn.com
www.mathvn.comwww.mathvn.com
www.mathvn.com
Chng II. Hàm s m Hàm s ly tha Hàm s Logarit
( )
2 2 2
sin cos cos
9 9 3 9 3 ,
4 2
x x x
k
x k
π π
⇔ = = ⇔ = ⇔ = + ∈
ℤ
Cách 3: Phương pháp ước lượng 2 vế (dùng bất đẳng thức Cauchy).
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:
2 2 2 2
sin cos sin cos
9 9 2 9 .9 2. 9 6
Côsi
x x x x
+ ≥ = =
Dấu “=” xảy ra khi:
( )
2 2
sin cos 2 2
9 9 sin cos cos2 0 ,
4 2
x x
k
x x x x k
π π
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈
ℤ
Phân loi và phng pháp gii toán 12
www.MATHVN.com
www.MATHVN.comwww.MATHVN.com
www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
Chng II. Hàm s m Hàm s ly tha Hàm s Logarit
www.mathvn.com
- 19 -
10/ Giải phương trình:
2 2
1 2sin 2 cos
4 9.4 5
x x− −
+ =
(
)
10
( ) ( )
2
2 2
2
2 cos
1 2 cos 2cos
2 cos
4 9
10 4 9.4 5 0 5 0 10 '
4
4
x
x x
x
− + −
⇔ + − = ⇔ + − =
Đặt
(
)
2
2 cos
4 , : 1 16
x
t ÐK t= ≤ ≤
.
Khi đó:
( )
(
)
(
)
2
18
9
10' 5 0 20 36 0
2
4
t L
t
t t
t N
t
=
⇔ + − = ⇔ − + = ⇔
=
Với
( )
2
1
2 cos 2
2
1 1
2 4 2 4 2cos cos ,
2 2 3
x
t x x x k k
π
π= ⇒ = = ⇔ = ⇔ = ± ⇔ = ± + ∈
ℤ
Bài giải tham khảo
1/ Giải phương trình:
25 15 2.9
x x x
+ =
(
)
1
( ) ( )
2
15 9 3 3
1 1 2. 2. 1 0 1'
5 5
25 25
x x
x x
x x
⇔ + = ⇔ − + =
Đặt:
3
0
5
x
t
= >
. Khi đó:
( )
(
)
( )
2
1
1' 2 1 0
1
2
t N
t t
t L
=
⇔ − − = ⇔
= −
. Với
3
1 1 0
5
x
t x
= ⇒ = ⇔ =
2/ Giải phương trình:
1 1
9 13.6 4 0
x x x+ +
− + =
(
)
2
( ) ( )
2
9 6 3 3
2 9.9 13.6 4.4 0 9. 13. 4 0 9. 13. 4 0 2'
4 4 2 2
x x x x
x x x
⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ − + =
Đặt:
3
0
2
x
t
= >
. Khi đó:
( )
(
)
( )
2
1
2' 9 13 4 0
4
9
t N
t t
t N
=
⇔ − + = ⇔
=
Với
3
1 1 0
2
x
t x
= ⇒ = ⇔ =
Với
4 3 4
2
9 2 9
x
t x
= ⇒ = ⇔ = −
3/ Giải phương trình:
2 1
49 2.35 7.5 0
x x x+
− − =
(
)
3
( ) ( )
2
49 35 7 7
3 49 2.35 35.25 0 2. 35 0 2. 35 0 3 '
25 25 5 5
x x x x
x x x
⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ − − =
Thí dụ 2. Giải phương trình mũ (đặt ẩn phụ dạng 2: Chia hai vế cho cơ số lớn nhất hoặc nhỏ nhất)
1/
25 15 2.9
x x x
+ =
(
)
1
2/
1 1
9 13.6 4 0
x x x+ +
− + =
(
)
2
3/
2 1
49 2.35 7.5 0
x x x+
− − =
(
)
3
4/
1 1 1
2.4 6 9
x x x
+ =
(
)
4
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com
www.MATHVN.comwww.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Phân loi và phng pháp gii toán 12
- 20 -
www.mathvn.com
www.mathvn.comwww.mathvn.com
www.mathvn.com
Chng II. Hàm s m Hàm s ly tha Hàm s Logarit
Đặt:
7
0
5
x
t
= >
. Khi đó:
( )
(
)
(
)
2
7
3' 2 35 0
5
t N
t t
t L
=
⇔ − − = ⇔
= −
Với
7
5
7
7 7 log 7
5
x
t x
= ⇒ = ⇔ =
4/ Giải phương trình:
1 1 1
2.4 6 9
x x x
+ =
(
)
4
Điều kiện:
0
x
≠
( ) ( )
2
1 1 1
4 6 2 2
4 2. 1 0 2. 1 0 4 '
9 9 3 3
x
x x x
⇔ + − = ⇔ + − =
Đặt:
2
0
3
x
t
= >
. Khi đó:
( )
(
)
( )
2
1
4 ' 2 1 0
1
2
t L
t t
t N
= −
⇔ + − = ⇔
=
Với
2
3
1 2 1 1
log
2 3 2 2
x
t x
= ⇒ = ⇔ =
Bài giải tham khảo
1/ Giải phương trình:
(
)
(
)
2 3 2 3 4
x x
+ + − =
(
)
1
Nhận xét:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 3 . 2 3 1 2 3 . 2 3 1 1 2 3 . 2 3 1
x
x x
x
+ − = ⇔ + − = = ⇔ + − =
Đặt:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 1
2 3 0 2 3 0 2 3
2 3 2 3
x x x
x x
t t
t
−
= + > ⇒ − = = > ⇒ = = −
+ −
( )
(
)
(
)
2
2 3 0
1
1 4 4 1 0
2 3 0
t N
t t t
t
t N
= + >
⇔ + = ⇔ − + = ⇔
= − >
Với
(
)
2 3 2 3 2 3 1
x
t x
= + ⇒ + = + ⇔ =
Với
(
)
2 3 2 3 2 3 1
x
t x
−
= − ⇒ − = − ⇔ = −
2/ Giải phương trình:
3 3
5 2 6 5 2 6 10
x x
+ + − =
(
)
2
( )
(
)
(
)
( )
3 3
2 5 2 6 5 2 6 10 0 2'
x x
⇔ + + − − =
Thí dụ 3. Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn phụ dạng 3)
1/
(
)
(
)
2 3 2 3 4
x x
+ + − =
(
)
1
2/
3 3
5 2 6 5 2 6 10
x x
+ + − =
(
)
2
3/
(
)
(
)
3
5 21 7 5 21 2
x x
x
+
− + + =
(
)
3
4/
(
)
(
)
sin sin
8 3 7 8 3 7 16
x x
+ + − =
(
)
4
Phân loi và phng pháp gii toán 12
www.MATHVN.com
www.MATHVN.comwww.MATHVN.com
www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
Chng II. Hàm s m Hàm s ly tha Hàm s Logarit
www.mathvn.com
- 21 -
Nhận xét:
(
)
(
)
(
)
(
)
3 3
3
5 2 6 . 5 2 6 1 5 2 6 . 5 2 6 1 1
x
x x
+ − = ⇔ + − = =
Đặt:
(
)
(
)
(
)
3 3 3
1
5 2 6 0 5 2 6 5 2 6
x x x
t t
t
−
= + > ⇒ − = ⇒ = −
( )
(
)
(
)
2
5 2 6 0
1
2' 10 0 10 1 0
5 2 6 0
t N
t t t
t
t N
= + >
⇔ + − = ⇔ − + = ⇔
= − >
Với
(
)
3
5 2 6 5 2 6 5 2 6 1 3
3
x
x
t x
= + ⇒ + = + ⇔ = ⇔ =
Với
(
)
3
5 2 6 5 2 6 5 2 6 1 3
3
x
x
t x
−
= − ⇒ − = − ⇔ − = ⇔ = −
3/ Giải phương trình:
(
)
(
)
3
5 21 7 5 21 2
x x
x
+
− + + =
(
)
3
Nhận xét:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
4
5 21 . 5 21 4 5 21 . 5 21 4 5 21
5 21
x
x x x
x
x
+ − = ⇔ + − = ⇔ − =
+
Đặt:
(
)
(
)
4
5 21 0 5 21 0
x
x x
t
t
= + > ⇒ − = >
( )
3 2
4
3 7. 2 7 8.2 4 0
x
x x x
t t t
t
+
⇔ + = ⇔ − + =
( )
( )
( )
2
4.2 3.2
2 0
7
' 16.4 7.4 9.4 3.2
2
0
7
x x
x
x x x x
x
t N
t N
+
= = >
∆ = − = = ⇒
= >
Với
( )
2
2 5 21 2 1 0
5 21
x
x
x x
t x
= ⇒ + = ⇔ = ⇔ =
+
Với
( )
2
5 21
2 2 2
5 21 7 log 7
7 7
5 21
x
x x
x
t x
+
= ⇒ + = ⇔ = ⇔ =
+
4/ Giải phương trình:
(
)
(
)
sin sin
8 3 7 8 3 7 16
x x
+ + − =
(
)
4
Nhận xét:
(
)
(
)
(
)
(
)
sin sin
sin
8 3 7 . 8 3 7 1 8 3 7 . 8 3 7 1 1
x x
x
+ − = ⇔ + − = =
Đặt:
(
)
(
)
(
)
sin sin sin
1
8 3 7 0 8 3 7 8 3 7
x x x
t t
t
−
= + > ⇒ − = ⇒ − =
( )
(
)
(
)
2
8 3 7 0
1
4 16 16 1 0
8 3 7 0
t N
t t t
t
t N
= + >
⇔ + = ⇔ − + = ⇔
= − >
Với
(
)
( )
sin
8 3 7 8 3 7 8 3 7 sin 1 2 ,
2
x
t x x k k
π
π
= + ⇒ + = + ⇔ = ⇔ = + ∈
ℤ
Với
(
)
( )
sin
8 3 7 8 3 7 8 3 7 sin 1 ,
2
x
t x x l l
π
π
−
= − ⇒ − = − ⇔ = − ⇔ = − + ∈
ℤ
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com
www.MATHVN.comwww.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Phân loi và phng pháp gii toán 12
- 22 -
www.mathvn.com
www.mathvn.comwww.mathvn.com
www.mathvn.com
Chng II. Hàm s m Hàm s ly tha Hàm s Logarit
Bài giải tham khảo
1/ Giải phương trình:
(
)
3 5 2 1
x
x
= −
Ta có:
1
x
=
là một nghiệm của phương trình
(
)
1
Mà
(
)
3
x
f x
=
đồng biến trên
ℝ
và
(
)
5 2
g x x
= −
đồng biến trên
ℝ
.
⇒
Phương trình
(
)
1
có một nghiệm duy nhất là
1
x
=
.
2/ Giải phương trình:
4 3 5
x x x
+ =
(
)
2
Ta có:
2
x
=
là một nghiệm của phương trình
(
)
2
( ) ( )
4 3
2 1 2'
5 5
x x
⇔ + =
. Xét hàm số:
( )
4 3
5 5
x x
y f x
= = +
,
x
∀ ∈
ℝ
( ) ( )
4 4 3 3
' ' .ln .ln 0,
5 5 5 5
x x
y f x x y f x
= = + < ∀ ∈ ⇒ =
ℝ
nghịch biến trên
ℝ
và
(
)
2 0
f
=
.
Với
(
)
(
)
(
)
2 2 1 2 '
x f x f
> ⇔ < = ⇒
: vô nghiệm.
Với
(
)
(
)
(
)
2 2 1 2 '
x f x f
< ⇔ > = ⇒
: vô nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là:
2
x
=
3/ Giải phương trình:
2 1 2 2 1 1 2
2 3 5 2 3 5
x x x x x x
− + + +
+ + = + +
(
)
3
(
)
2 1 2 2 1 1 2
3 2 3 5 2 3 5
x x x x x x
− + + +
⇔ + + = + +
2
2 2 1 1
2
3 5.5 2 3 5.5
2
x
x x x x x
+ +
⇔ + + = + +
(
)
2 2 2 1 1 1
2 2.3 10.5 2 2.3 10.5 3 '
x x x x x x+ + +
⇔ + + = + +
dạng
(
)
(
)
v
f u f
=
S
Ử DỤ
NG
TÍ
NH ĐƠN ĐI
Ệ
U
CỦ
A
HÀ
M S
Ố
Xét phương trình:
(
)
( ) ( ) 1
f x g x
=
Đoán nhận
o
x
là một nghiệm của phương trình
(
)
1
(thông thường là những số lân cận số 0).
Dựa vào tính đồng biến và nghịch biến của
( )
f x
và
( )
g x
để kết luận
o
x
là nghiệm duy nhất:
o
( )
f x
đồng biến và
( )
g x
nghịch biến (hoặc đồng biến nhưng nghiêm ngặt).
o
( )
f x
đơn điệu và
( )
g x c
=
(hằng số).
Nếu
( )
f x
đồng biến (hoặc nghịch biến) thì
( ) ( )
f u f v u v
= ⇔ =
.
Lưu ý:
Hàm số bậc nhất:
(
)
, 0
y ax b a
= + ≠
+ Đồng biến khi:
0
a
>
+ Nghịch biến khi :
0
a
<
Hàm số mũ:
x
y a
=
+ Đồng biến khi:
1
a
>
+ Nghịch biến khi:
0 1
a
< <
Thí dụ 1. Giải các phương trình mũ sau (sử dụng tính đơn điệu của hàm số)
1/
3 5 2
x
x
= −
2/
4 3 5
x x x
+ =
3/
2 1 2 2 1 1 2
2 3 5 2 3 5
x x x x x x
− + + +
+ + = + +
5/
(
)
3 3
36. 2 3 9.8 4.27
x x x x
+ = +
Phân loi và phng pháp gii toán 12
www.MATHVN.com
www.MATHVN.comwww.MATHVN.com
www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
Chng II. Hàm s m Hàm s ly tha Hàm s Logarit
www.mathvn.com
- 23 -
Xét hàm số:
(
)
2 2.3 10.5 ,
t t t
f t t
= + + ∀ ∈
ℝ
Ta có:
(
)
(
)
' 2 .ln 2 2.3 .ln 3 10.5 .ln 5 0
t t t
f t f t
= + + > ⇒
đồng biến trên
ℝ
.
Phương trình
(
)
3'
có dạng:
(
)
(
)
2 1 2 1 1
f x f x x x x
= + ⇔ = + ⇔ =
4/ Giải phương trình:
(
)
3 3
36. 2 3 9.8 4.27
x x x x
+ = +
(
)
4
( ) ( )
3 3 3 3
3 2 3 2
8 27
4 2 3 2 3 2 3 4'
4 9
x x
x x x x x x− −
⇔ + = + ⇔ + = +
dạng
(
)
(
)
v
f u f
=
Xét hàm số
(
)
2 3 ,
t t
f t t
= + ∀ ∈
ℝ
Ta có:
(
)
(
)
' 2 .ln 2 3 .ln 3 0,
t t
f t t y f x
= + > ∀ ∈ ⇒ =
ℝ
đồng biến trên
ℝ
Phương trình
(
)
4 '
có dạng:
( )
( )
3 3 3
1
3 2 3 2 3 2 0
2
x
f x f x x x x x
x
=
= − ⇔ = − ⇔ − + = ⇔
= −
Bài giải tham khảo
1/ Giải phương trình:
(
)
(
)
4 .9 5 .3 1 0
x x
x x
+ − + + =
(
)
1
Đặt:
3 0
x
t
= >
. Khi đó:
(
)
(
)
(
)
2
1 4 . 5 . 1 0
x t x t
⇔ + − + + =
( ) ( ) ( )
( )
(
)
2 2
2
5 3
1
2 4
5 4 4 6 9 3
5 3 1
4
2 4
x x
t
x
x x x x x
x x
t
x
x
+ + +
= =
+
∆ = + − + = + + = + ⇒
+ − −
= =
+
+
Với
1 3 1 0
x
t x
= ⇒ = ⇔ =
Với
( ) ( )
4 0
4
1
0
1
3 . 4 1 1'
4
3
4
x
x
x
x
t
x
x
x
+ >
> −
= > ⇔ ⇔
+ =
+
=
+
Phương trình
(
)
1'
có một nghiệm là
1
x
= −
.
Xét hàm số:
(
)
(
)
(
)
3 . 4 , 4;
x
f x x x
= + ∀ ∈ − +∞
Ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
' 3 . 4 .ln 3 3 3 . 4 .ln 3 1 0, 4;
x x x
f x x x x
= + + = + + > ∀ ∈ − +∞
(
)
f x
⇒
đồng biến
(
)
4;x
∀ ∈ − +∞
và
(
)
1
g x
=
là hàm không đổi.
1
x
⇒ = −
là nghiệm duy nhất của phương trình
(
)
1'
Vậy phương trình
(
)
1
có hai nghiệm là
0; 1
x x
= = −
2/ Giải phương trình:
(
)
2 2
2 2
4 7 .2 12 4 0
x x
x x
+ − + − =
(
)
2
Đặt:
2
2 0
x
t
= >
. Khi đó:
(
)
(
)
2 2 2
2 7 . 12 4 0
t x t x
⇔ + − + − =
Thí dụ 2. Giải phương trình mũ (đặt ẩn phụ dạng 1, loại không hoàn toàn và kết hợp tính đơn điệu)
1/
(
)
(
)
4 .9 5 .3 1 0
x x
x x
+ − + + =
2/
(
)
2 2
2 2
4 7 .2 12 4 0
x x
x x
+ − + − =
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com
www.MATHVN.comwww.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Phân loi và phng pháp gii toán 12
- 24 -
www.mathvn.com
www.mathvn.comwww.mathvn.com
www.mathvn.com
Chng II. Hàm s m Hàm s ly tha Hàm s Logarit
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
2
7 1
4
2
7 4 12 4 2 1 1
7 1
3
2
x x
t
x x x x x
x x
t x
− + +
= =
∆ = − − − = + + = + ⇒
− − −
= = −
Với
2
2 2
4 2 4 2 2 2
x
t x x
= ⇒ = = ⇔ = ⇔ = ±
Với
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
3 0
3; 3
3 0
2 3
2 3 2 '
x
x
x
x
t x
x
x
− >
∈ −
= − > ⇔ ⇔
= −
+ =
Xét hàm số
(
)
(
)
2
2
2 , 3; 3
x
f x x x= + ∀ ∈ −
(
)
(
)
2 2
' 2 .2 .ln 2 2 2 2 .ln 2 2
x x
f x x x x
= + = +
.
Cho
( )
(
)
2 2
2 0
' 0
2 .ln 2 2 0 : 2 .ln 2 2 0,
x x
x
f x
VN do x
=
= ⇔
+ = + > ∀ ∈
ℝ
0
x
⇔ =
Bảng biến thiên:
x
−∞
3
−
0
3
+∞
(
)
'
f x
–
0
+
(
)
f x
11 11
1
Với
(
)
3;0
x
∈ −
(
)
' 0
f x
⇒ <
:
(
)
f x
nghịch biến.
Nếu
(
)
(
)
(
)
1 1 3 2' :
x f x f
< − ⇔ > − = ⇒
vô nghiệm.
Nếu
(
)
(
)
(
)
1 1 3 2' :
x f x f
> − ⇔ < − = ⇒
vô nghiệm.
⇒
(
)
3;0
x ∈ −
thì phương trình
(
)
2'
có nghiệm duy nhất là
1
x
= −
.
Với
(
)
(
)
0; ' 0 :
x f x
∈ +∞ ⇒ >
(
)
f x
đồng biến.
Nếu
(
)
(
)
(
)
1 1 3 2 ' :
x f x f
< ⇔ < = ⇒
vô nghiệm.
Nếu
(
)
(
)
(
)
1 1 3 2 ' :
x f x f
> ⇔ > = ⇒
vô nghiệm.
⇒
(
)
0;x
∈ +∞
thì phương trình
(
)
2'
có nghiệm duy nhất là
1
x
=
.
Vậy phương trình
(
)
2
có 4 nghiệm là:
1; 2
x x= ± = ±
ĐƯA V
Ề
PHƯƠNG
TRÌ
NH
TÍ
CH
,
T
Ổ
NG HAI S
Ố
KHÔNG ÂM
VÀ
NGHI
Ệ
M PHƯƠNG
TRÌ
NH B
Ậ
C 2
Phương trình tích:
0
. 0
0
A
A B
B
=
= ⇔
=
Tổng hai số không âm:
2 2
0
0
0
A
A B
B
=
+ = ⇔
=
Phương pháp đối lập: Xét phương trình:
(
)
( ) ( ) 1
f x g x
=
Nếu ta chứng minh được
( )
( )
f x M
g x M
≥
≤
thì
( )
( )
1
( )
f x M
g x M
=
⇔
=
Phân loi và phng pháp gii toán 12
www.MATHVN.com
www.MATHVN.comwww.MATHVN.com
www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
Chng II. Hàm s m Hàm s ly tha Hàm s Logarit
www.mathvn.com
- 25 -
Bài giải tham khảo
1/ Giải phương trình:
25.2 10 5 25
x x x
− + =
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 25.2 25 2 .5 5 0 25 2 1 5 2 1 0 2 1 25 5 0
2 1 0 2 1 0
2
25 5 0 5 25
x x x x x x x x x
x x
x x
x
x
⇔ − − + = ⇔ − − − = ⇔ − − =
− = = =
⇔ ⇔ ⇔
=
− = =
2/ Giải phương trình:
1
12.3 3.15 5 20
x x x +
+ − =
(
)
2
(
)
(
)
(
)
( )( )
3
2 12.3 3.3 .5 5.5 20 0 3.3 4 5 5 5 4 0
5 4 0 : 5 4 0,
5 5
5 4 3.3 5 0 3 log
3.3 5 0
3 3
x x x x x x x
x x
x x x
x
VN do x
x
⇔ + − − = ⇔ + − + =
+ = + > ∀ ∈
⇔ + − = ⇔ ⇔ = ⇔ =
− =
ℝ
1/ Giải phương trình:
(
)
(
)
2 1
2 3 3 1 4.3 1
x x
x x
+
− = − −
(
)
1
Cách 1: Nghiệm của phương trình bậc 2 (theo
x
)
(
)
(
)
2
1 2 3 1 4.3 . 6.3 1 0
x x
x x
⇔ − − − + =
(
)
(
)
(
)
2
9 1 8.3 16.9 8 6.3 1 144.9 24.3 1 12.3 1
x x x x x x
∆ = − + − − + = − + = −
( )
3 12.3 12.3 1 1
1
4 2
3 12.3 12.3 1
1
1 6.3
3 1'
4
6 6
x x
x x
x
x
x x
x
x
− + −
= = =
⇒ ⇔
− − +
= = −
= −
Ta có:
1
x
= −
là một nghiệm của phương trình
(
)
1'
Hàm số
(
)
3
x
f x
=
đồng biến
x
∀ ∈
ℝ
Hàm số
1
6 6
x
y
= −
nghịch biến
x
∀ ∈
ℝ
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm:
1
1;
2
x x= − =
Cách 2: Đưa về phương trình tích loại phân tích thành nhân tử
( ) ( ) ( ) ( )
2
1
1 2 3 1 6.3 . 2 1 0 2 1 6.3 . 2 1 0
2
x x
x x x x x x
⇔ − + + − = ⇔ − − + − =
Thí dụ 1. Giải phương trình (đưa về phương trình tích số)
1/
25.2 10 5 25
x x x
− + =
(
)
1
2/
1
12.3 3.15 5 20
x x x
+
+ − =
(
)
2
Thí dụ 2. Giải các phương trình mũ sau (đưa về phương trình tích hoặc nghiệm của phương trình bậc 2)
1/
(
)
(
)
2 1
2 3 3 1 4.3 1
x x
x x
+
− = − −
2/
(
)
2 1 1 1
.5 3 3.5 2.5 3 0
x x x x x
x x
− − −
− − + − =
⇒
1
x
= −
là nghiệm duy nhất của phương trình
(
)
1'
