(SKKN 2022) nâng cao chất lượng môn toán trong kì thi tốt nghiệp THPTQG bằng cách dạy học gợi mở hướng học sinh giải quyết lớp bài tập về ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Mỗi một nội dung trong chương trình Tốn phổ thơng đều có vai trị rất quan
trọng trong việc hình thành và phát triển tư duy của học sinh. Trong dạy học mơn
Tốn, phương pháp tư duy của học sinh phần lớn được hình thành và được rèn luyện
trong q trình giải tốn, thơng qua hoạt động này học sinh hoạt động tích cực để tìm
tịi, khám phá và chiếm lĩnh tri thức mới. Là giáo viên dạy Toán, việc hướng dẫn và
rèn luyện cho học sinh biết cách chuyển từ bài toán mới về những bài tốn quen
thuộc, bài tốn “khó” trở về bài tốn “dễ”, biết cách “xử lí” các tình huống có vấn đề
về các tình huống đơn giản là điều rất cần thiết và thiết thực, nó là yếu tố then chốt để
năng cao chất lượng mơn tốn trong kì thi tốt nghiệp THPTQG của mỗi trường.
Kì thi tốt nghiệp trung học phổ thơng quốc gia hằng năm có ý nghĩa rất quan
trọng với mỗi học sinh lớp 12, bởi kết quả của kì thi khơng những được sử dụng để
xét cơng nhận tốt nghiệp mà kết quả này cịn được sử dụng để xét tuyển vào các
trường đại học. Trong kì thi tốt nghiệp trung học phổ thơng quốc gia mơn tốn gồm
nhiều mảng kiến thức, trải rộng ở nhiều chương. Trong đó , bài tốn về ứng dụng của
tích phân để tính diện tích hình phẳng trong đề thi của các kỳ thi TN THPT của Bộ
giáo dục và Đào tạo đã được đề cập, khai thác ở các mức độ khác nhau, các dạng tiếp
cận khác nhau gây khơng ít khó khăn cho học sinh trong q trình giải quyết bài tốn
này. Đặc biệt là từ khi Bộ GD và ĐT áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho mơn
Tốn, địi hỏi học sinh khơng những phải có kiến thức sâu, rộng mà cịn phải có các
cách tiếp cận, các phương pháp phù hợp để giải bài toán một cách nhanh nhất.
Với những lý do trên cùng với kinh nghiệm giảng dạy tôi đã quyết định chọn đề tài:
“Nâng cao chất lượng mơn tốn trong kì thi tốt nghiệp THPTQG tại trường
THPT Cẩm Thủy 1 bằng cách dạy học gợi mở hướng học sinh giải quyết lớp bài
tập về ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng’’ làm đề tài sáng kiến
kinh nghiệm của bản thân trong năm học 2021– 2022. Rất mong nhận được sự đóng
góp ý kiến, nhận xét và đánh giá của đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là phát triển năng lực tư duy của học sinh , quy
lạ về quen thông qua một lớp các bài tốn về ứng tích phân để tính diện tích hình

phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số của hình vẽ nhằm rèn luyện các kỹ năng toán
học và định hướng phát triển cho học sinh những năng lực sau:
- Năng lực tư duy, năng lực tính tốn, năng lực tự học và năng lực giải quyết các tình
huống thực tiễn. Năng lực sử dụng máy tính cầm tay casio.


- Năng lực sử dụng ngơn ngữ Tốn học. Kỹ năng vận dụng kiến thức về tích phân.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là lớp các bài tốn về ứng dụng tích phân để
tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các hàm số trong chương trình học lớp 12 để
rèn luyện các kỹ năng và phát triển các năng lực Toán học của học sinh, giúp học sinh
quy lạ về quen nhằm nâng cao chất lượng mơn tốn tại trường THPT Cẩm Thủy 1
trong kì thi tốt nghiệp THPTQG.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo khoa Giải
tích 12 - Nâng cao và Cơ bản, sách bài tập giải tích- Nâng cao và Cơ bản, tài liệu
phân phối chương trình, tài liệu về dạy học theo định hướng phát triển năng lực học
sinh, đề thi thử , đề minh họa và đề thi TN THPT của các năm.
- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê và xử lý số liệu trên lớp thực
nghiệm và lớp đối chứng để qua đó thấy được hiệu quả của đề tài.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Dưới sự lãnh đạo của Đảng, đất nước ta ngày một tiến nhanh trên con đường
đổi mới, hội nhập vào xu thế phát triển chung của thế giới. Đảng ta chủ trương phát
triển trên tất cả mọi mặt, trong đó chú trọng vào việc đào tạo con người. Đảng ta xác
định: Cùng với khoa học và công nghệ, giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu
nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài.
Rèn luyện thao tác tư duy cho học sinh trong dạy học giải Tốn có vai trị quan

trọng trong việc phát triển khả năng tư duy của học sinh, để từ đó có khả năng thích
ứng khi đứng trước một vấn đề cần giải quyết.
Giúp học sinh có cái nhìn và phương pháp dễ hiểu, dễ vận dụng vào thực tế giải
tốn, giúp các em có sự tự tin khi gặp dạng toán này đồng thời giúp học sinh phát
triển tư duy để nâng chất lượng mơn tốn trong kì thi tốt nghiệp THPTQG.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trường THPT Cẩm thủy 1 là một trường miền núi, có nhiều học sinh là con em
dân tộc thiểu số nên điểm đầu vào thấp. Tư duy của học sinh chậm, điều kiện kinh tế
2
2


cịn khó khăn, đường đi học cịn xa và khó đi nên ảnh hưởng rất nhiều đến kết quả
học tập của các em.
Trong q trình giảng dạy tơi nhận thấy: Kỹ năng giải tốn của học sinh cịn
chậm; khả năng phát hiện vấn đề nảy sinh trên cơ sở đã có, khả năng quy lạ về quen
cịn nhiều hạn chế. Do đó học sinh gặp nhiều lúng túng, sai lầm khi gặp các bài tốn
có sự thay đổi dạng. Đặc biệt trong các năm dạy các lớp mũi nhọn có học sinh ôn thi
tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia bản thân tôi thấy kể các học sinh giỏi cũng
có thể sai lầm các câu cơ bản nhất, các học sinh tốp sau của lớp thường khó tư duy
định hình các bài tốn vận dụng và vận dụng cao các phần kiến thức trong đó có phần
ứng dụng của tích phân .
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Học sinh cần nắm chắc kiến thức cơ bản về ứng dụng của tích phân trong
việc tính diện tích hình phẳng.
Để học tốt được phần này học sinh cần nắm vững các kiến thức về tính diện
tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong.
A, Diện tích hình phẳng

y = f ( x)

(H )

liên tục trên đoạn

giới hạn bởi

 a; b

(C1 ) : y = f ( x )

(C2 ) : Ox : y = 0
 x = a, x = b ( a < b )


( trong đó hàm số

) được cho bởi cơng thức
b

S = ∫ f ( x) dx .
a

3
3


B, Diện tích hình phẳng

y = f ( x) , y = g( x)

(H )

giới hạn bởi

liên tục trên đoạn

 a; b

(C1 ) : y = f ( x)

(C2 ) : y = g ( x )
 x = a, x = b (a < b)


trong đó hàm số

được cho bởi công thức
b

S = ∫ f ( x) − g ( x) dx .
a

Việc ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng khá rộng, trong sáng kiến này
tơi chỉ tập trung hướng dẫn gợi mở để hướng học sinh nhận dạng, quy lạ về quen
trong các bài toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số có sẵn
hình vẽ.
2.3.2. Hướng dẫn học sinh phương pháp nhận dạng bài tập và vận dụng
giải các bài tập liên quan.
2.3.2.1. Dạng bài tập cơ bản để học sinh nhận biết và làm quen:

Dạng 1: Cho hình phẳng giới hạn bởi hàm số

y = f ( x)

như hình vẽ. Dựa vào

các kiến thức về tích phân, ứng dụng của tích phân học sinh nhận dạng cơng
thức tính diện tích hình phẳng.

4
4


Bài Tập 1.1: (Mã đề 102 để chính thức của bộ năm 2019) Cho hàm số
liên tục trên

y = f ( x)

y = f ( x ) , y = 0, x = −1

Gọi

¡.

và

x=5

S

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

(như hình vẽ bên).

Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
.
1

5

−1

1

B.

S = − ∫ f ( x )dx − ∫ f ( x )dx

C.
S=

1

5

−1

1

S=

.

D.

∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx

1

5

−1

1

.

∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
1

5

−1

1

.

S = − ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx

Phân tích: Dạng này giáo viên hướng cho học sinh liên tưởng đến dạng một trong
phần tính diện tích hình phẳng: Diện tích hình phẳng ( H ) giới hạn bởi
(C1 ) : y = f ( x )

(C2 ) : Ox : y = 0
 a; b
y = f (x)
 x = a , x = b (a < b)

( trong đó hàm số
liên tục trên đoạn
) được cho bởi
b

công thức

S = ∫ f ( x) dx .
a

 a; b

Tuy nhiên đối với dạng toán này khi phá dấu giá truyệt đối mà trên
giá trị hàm
số mang nhiều dấu ta cần tách tích phân ra thành các đoạn tương ứng với các phần
5
5


y = f ( x)

hình phẳng và sử dụng tính chất: Ta có nếu hàm số

 a; b

liên tục trên đoạn

b

và

f ( x) < 0

với

∀x∈  a; b

∫ f ( x) dx > 0
thì

a

.Nếu hàm số

y = f ( x)

liên tục trên đoạn

b

 a; b

và

f ( x) < 0

với

∀x∈  a; b

b

c

c

a

b

a

∫ f ( x) dx < 0
thì

a

.

∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx

Và tính chất :

(

a
).

Dựa vào hình vẽ ta thấy hình phẳng giới hạn bởi các đường

x=5

gồm hai phần diện tích : Phần diện tích hình phẳng

y = f ( x ) , y = 0, x = −1
y = f ( x ) , y = 0, x = 1

và

x =1

x=5

và

và phần diện tích hình phẳng

S1

S2

y = f ( x ) , y = 0, x = −1

giới hạn bởi các đường

giới hạn bởi các đường

.
1

Trên

 −1;1

ta thấy

f ( x) > 0

với

∀x∈  −1;1

1

∫ f ( x) dx > 0

nên

−1

nên

S1 =

5

Trên

1;5

ta thấy

f ( x) < 0

với

∀x∈ 1;5

nên

1

nên

Vậy ta có phương pháp giải như sau:
1

S=

Ta có:

∫

−1

5

1

5

1

−1

1

f ( x) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx

6
6

.

∫ f ( x) dx

−1

5

∫ f ( x) dx < 0

và

S2 = −

∫ f ( x) dx
1

.


Qua các ví dụ trên, giáo viên định hướng cho học sinh tìm lời giải, chốt phương
pháp cho dạng tốn 1.
+ Quan sát hình vẽ để ý: Diện tích hình phẳng đề bài cho gồm bao nhiêu phần.
+ Phần nằm trên trục hồnh diện tích giới hạn bởi hàm số trên một đoạn sẽ
bằng tích phân của hàm số trên đoạn trên đoạn đó ln. Phần nằm dưới trục hồnh
diện tích giới hạn bởi hàm số trên một đoạn sẽ bằng trừ tích phân của hàm số trên
đoạn trên đoạn đó . Lựa chọn phương án trả lời ứng với suy luận trên.
Giáo viên chú ý cho học sinh dạng toán này học sinh thường hay nhầm lẫn khi
nhận dạng diện tích theo hình vẽ là diện tích của hình phẳng trên một đoạn
bằng tích phân trên đoạn đó. Hoặc tùy tiện bỏ trị tuyệt đối trong tích phân ra
ngồi mà khơng cần biết dấu của tích phân như thế nào.
Các bài tập tương tự.
Bài Tập 1.2. (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2021) Hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị hàm số

y = f ( x)

, trục hoành và hai đường thẳng

đây (phần gạch sọc) có diện tích

A.

C.

c

b

a

c

∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
c

b

a

c

S

B.

.

D.

7
7

,

trong hình dưới

x=b

bằng

.

− ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

x=a

c

b

a

c

∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx
c

b

a

c

.

− ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx

.


Bài Tập 1.3. (THPT Quảng Xương 1-Thanh Hóa - 2021) Cho đồ thị hàm số
. Diện tích

y = f ( x)

A.

1

3

0

1

S

của hình phẳng (phần tơ đậm trong hình vẽ) là

.

B.

S = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

C.

3

0

1

1

3

0

1

.

S = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx

.

3

1

D.

S = ∫ f ( x ) dx

.

S = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

0

Bài Tập 1.4. (THPT Lê Lợi - Thanh Hóa - 2021) Cho hàm số

y = f ( x)

như hình vẽ.

Diện tích hình phẳng (phần tơ đậm) được tính theo cơng thức nào sau đây?
A.
.
B.
3

S=

∫

0

S=

f ( x)dx.

−2

8
8

∫

−2

3

f ( x) dx + ∫ f ( x )dx.
0

có đồ thị


C.

0

.

3

D.

S = − ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx.
−2

0

S=

∫

−2

0

Dạng 2: Cho hình phẳng giới hạn bởi hàm số

3

f ( x) dx − ∫ f ( x )dx.

y = f ( x)

0

y = g ( x)

và

như hình vẽ.

Dựa vào các kiến thức về tích phân, ứng dụng của tích phân học sinh nhận dạng
cơng thức tính diện tích hình phẳng.
Bài Tập 2.1: (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Diện tích hình phẳng được gạch chéo
trong hình bên bằng

A.

∫ ( −2 x
2

2

−1

C.

∫ ( −2 x
2

−1

2

+ 2 x + 4 ) dx
− 2 x + 4 ) dx

.

B.

∫ ( 2x
2

2

−1

.

D.

∫ ( 2x
2

− 2 x − 4 ) dx

2

−1

+ 2 x − 4 ) dx

.
Phân tích và lựa chọn đáp án:
Giáo viên gợi cho học sinh nhận dạng dạng toán này thuộc dạng cơ bản thứ hai trong
phần ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng.
Hình phẳng
giới hạn bởi

thì diện tích là
(H )

(C1 ) : y = f ( x )

(C2 ) : y = g ( x )
 x = a , x = b ( a < b)


b

S = ∫ f ( x) − g ( x ) dx .
a

Tuy nhiên trong bài toán này học sinh cần biết cách phá trị tuyệt đối trong công thức.
Do trên đoạn
 −1;2

 −1;2

hàm số

giá trị của hàm số

y = − x2 + 2

y = − x2 + 2

nằm trên đồ thị hàm số

9
9

y = x2 − 2x + 2

lớn hơn giá trị của hàm số

.

y = x2 − 2x + 2

nên trên
nên diện


tích hình phẳng gạch chéo trong hình bằng
2
2
2
∫−1 ( − x + 2 ) − ( x − 2 x − 2 )  dx = ∫−1 ( −2 x + 2 x + 4 ) dx.
2

2

Vì vậy học sinh có thể chọn nhanh đáp án A.
Phần này giáo viên cần lưu ý học sinh tránh sai lầm mắc bẫy của người ra đề khi
hàm số có phần đồ thị nằm trên sẽ được viết ở dưới nên học sinh không quan sát
kĩ dễ chọn nhầm hàm số dẫn đên sẽ ra đáp án sai lầm.
Áp dụng các bước tư duy giáo viên cho học sinh cũng cố bằng các bài tập tương
tự:

Bài Tập 1.2. Đề Tham Khảo 2019) Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình
vẽ bên được tính theo cơng thức nào dưới đây?

A.

2

∫ ( −2 x + 2 ) dx

−1

.

B.

2

∫ ( 2 x − 2 ) dx

−1

.

C.

D.

2

∫ ( −2 x

−1

2

+ 2 x + 4 ) dx

2

∫ ( 2x

−1

2

− 2 x − 4 ) dx

Bài Tập 1.3. (Chun KHTN 2019) Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong
hình vẽ bên được tính theo cơng thức nào dưới đây?

10
10


A.

.

2

∫ ( 2x

2

−1

C.

− 2 x − 4 ) dx

∫ ( −2 x

2

.

2

∫ ( 2x

2

−1

.

2

−1

B.

D.

+ 2 x + 4 ) dx

+ 2 x − 4 ) dx

.

2

∫ ( −2 x

−1

2

− 2 x + 4 ) dx

2.3.2.2. Giới thiệu bài toán với tư cách là một tình huống gợi vấn đề để cho vấn
đề trở nên hấp dẫn, tạo khả năng kích thích hoạt động tích cực của học sinh; từ
đó định hướng cho học sinh tìm lời giải, chốt phương pháp cho dạng tốn.
Tình huống gợi vấn đề là tình huống gợi ra cho học sinh những khó khăn về lý
luận hay thực tiễn mà họ cần thiết và có khả năng vượt qua nhưng không phải là
ngay tức khắc làm được nhờ một quy tắc có tính chất thuật tốn mà phải trải qua
q trình tích cực suy nghĩ, địi hỏi tính sáng tạo để biến đổi đối tượng hoạt động
hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có.
Bài tốn đưa ra cần làm cho học sinh thấy rõ tuy chưa có ngay lời giải nhưng đã có
một số kiến thức, kỹ năng liên quan đến vấn đề đặt ra và các em học sinh tin rằng

nếu tích cực suy nghĩ, vận động tích cực sáng tạo, tư duy thì sẽ giải quyết được.
Dạng 3: Cho hình phẳng giới hạn bởi hàm số

y = f ( x)

như hình vẽ. Dựa vào các

kiến thức về tích phân, ứng dụng của tích phân học sinh nhận dạng cơng thức
tính diện tích hình phẳng tuy nhiên phải dùng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa
về dạng 1 quen thuộc .
Bài tập 3.1: ( Đề thi thử trường THPT Cẩm Thủy 1 năm 2021) Cho hàm số
y = f ( x)

có đồ thị như hình vẽ và diện tích hai phần

11
11

A, B

lần lượt bằng

12

và

2.


I=

Giá trị của

−2
5

∫ f ( 5 x + 3) dx

−1

bằng
10
.
3

2.

6.

10.

A.
B.
C.
D.
Phân Tích: Giáo viên gợi mở cho học sinh thấy sự khác biệt của dạng này với dạng
một . Giúp học sinh tìm ra câu trả lời của câu hỏi : Vấn đề đặt ra là làm sao đưa dạng
toán này về dạng một. Đối với bài toán này chúng ta phải thêm một bước biến đổi
bằng cách đặt ẩn phụ để đưa về dạng một.
Phân tích đưa ra lời giải và lựa chọn đáp án.

I=

−2
5

+) Xét

+) Đổi cận
⇒I=

∫ f ( 5 x + 3 ) dx

−1

5 x + 3 = t ⇒ dt = 5dx ⇒ dx =

.

Đặt

dt
5

 x = −1 ⇒ t = −2


−2
 x = 5 ⇒ t = 1

1

0
1
1
1
f
t
dt=
f
t
dt
+
( )
( ) ∫ f ( t ) dt

3 −∫2
5  −∫2
0

 1
1
 = ( S A − S B ) = ( 12 − 2 ) = 2
5
 5

Qua các ví dụ trên, GV định hướng cho học sinh tìm lời giải, chốt phương pháp
cho dạng tốn 3:
b1

∫

+ Đặt ẩn phụ để đưa

a1

b

f ( mx + n) dx

∫ f ( x) dx
về dạng

12
12

a

.


b

∫ f ( x) dx
+ Liên hệ tích phân

a

đến phần diện tích hình phẳng đề bài cho.

+ Tách tích phân theo các khoảng trên đề bài. Liên hệ với dạng 1 để tính tích
phân qua diện tích.

Bài tập 3.2: ( Đề thi thử năm 2020-2021 sở giáo dục Phú Thọ) Cho hàm số

liên tục trên

lượt bằng

3

¡

và có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng diện tích các phần

và . Tích phân
7

( A) , ( B )

bằng .

π
2

∫ cos x . f ( 5sin x − 1) dx
0

A.

B.

4

−
5

C.

2

Phân tích đưa ra lời giải và lựa chọn đáp án:
Theo giả thiết ta có
và
suy ra
1

∫ f ( x ) dx = 3

−1

Đặt

t = 5sin x − 1 ⇒ dt = 5cos x dx

4

∫ f ( x ) dx = −7
1

.

13
13

D.

4
5

4

∫ f ( x ) dx = −4

−1

.

f ( x)

−2

lần


x=0

Với

t = −1

⇒
x=

π
2

t=4

⇒

.

. Khi đó

.

π
2

4

4

1
1
4
∫0 cos x . f ( 5sin x − 1) dx = 5 −∫1 f ( t ) dt = 5 −∫1 f ( x ) dx = − 5

Bài tập 3.3 ( THPT Triệu Sơn - Thanh Hóa - 2021) Cho hàm số

như hình vẽ và gọi
diện tích bằng

Giá trị của

14

;

A B
5

bằng:

∫ f ( 3x + 1) dx

−1

A. .

B.

9

19
3

.

C.

27

Phân tích đưa ra lời giải và lựa chọn đáp án:
Xét
. Đặt
0

I=

∫

f ( 3x + 1) dx

−1

Với

3x + 1 = t ⇒

1
dx = dt
3

x = −1 ⇒ t = −2
14

14

có đồ thị

là hai hình phẳng được gạch trong hình bên dưới lần lượt có

và .

0

I=

y = f ( x)

.

D. .
3


x = 0 ⇒ t =1

⇒

1

I=

1

1

1

1

0

1

−2

0



.
1

∫ f ( t ) 3 dt = 3 ∫ f ( x ) dx = 3  ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx  = 3 ( S

−2

−2

A

− SB ) = 3

Dạng 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai hàm số tuy nhiên phải xác
định hai hàm số mới tìm được diện tích.
Bài tập 4.1: Mã 101 2018) Cho hai hàm số

1
f ( x ) = ax + bx + cx −
2

3

g ( x ) = dx + ex + 1
2

( a , b, c , d , e ∈ ¡ )

. Biết rằng đồ thị hàm số

nhau tại 3 điểm có hồnh độ lần lượt là
giới hạn bởi

A.

5

2

;

;

−3 −1 1

y = f ( x)

và

2

và

y = g ( x)

cắt

(tham khảo hình vẽ). Hình phẳng

đồ thị đã cho có diện tích bằng

B.

C.

9
2

8

D.

4

Phân tích đưa ra lời giải và lựa chọn đáp án:
Đối với dạng toán này giáo viên gợi mở cho học sinh trả lời câu hỏi: Để tính diện tích
hình phẳng trong bài ta cần phải tìm yếu tố nào trước: Dĩ nhiên là tìm hàm số đề bài
cho. Tuy nhiên đây là dạng tốn khá khó trong các kì thi tốt nghiệp THPTQG địi hỏi
học sinh phải có kiến thức tổng hợp về hàm số, tích phân. Biết nhận dạng nhanh và
15
15

có kĩ năng tính tốn nhanh và chính xác. Khi dạy dạng này giáo viên cần hướng dẫn
từ từ và cẩn thận cho học sinh, tránh làm cho học sinh sợ khi gặp dạng tương tự.
- Thường dạng này chúng ta cần dựa vào phương trình hồnh độ giao điểm và quan
sát hồnh độ giao điểm trên hình vẽ để tìm mối liên hệ giữa chúng .
Cách 1:
ax3 + bx 2 + cx −

Xét phương trình
có 3 nghiệm lần lượt là

3

b − d = 2

1

⇔ a =
2

−1

c − e = 2


. Vậy

;

1
3
= dx 2 + ex + 1 ⇔ ax 3 + ( b − d ) x 2 + ( c − e ) x − = 0
2
2

; nên suy ra

−3 −1 1

3

 −27 a + 9 ( b − d ) − 3 ( c − e ) − 2 = 0

3

−a + ( b − d ) − ( c − e ) − = 0
2

3

a + ( b − d ) + ( c − e ) − 2 = 0


1
3
1
3
f ( x ) − g ( x ) = x3 + x 2 − x −
2

2
2
2

.

Hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị đã cho có diện tích bằng
S=

−1

∫(

−3

1

f ( x ) − g ( x ) ) dx + ∫ ( g ( x ) − f ( x ) ) dx
−1

−1

1

3
1
3
3
1
3

1
1
⇔ S = ∫  x 3 + x 2 − x − ÷dx − ∫  x 3 + x 2 − x − ÷dx = 2 + 2 = 4
2
2
2
2
2
2
2
2
−3 
−1 

.

a

Hoặc đối với dạng này học sinh có thể quan sát hình vẽ và hệ số của bậc cao
nhất mà phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị hàm số có thể có thiết
lập dựa vào thơng tin của hình vẽ, sử dụng hệ số tự do tìm hệ số a mà khơng cần
tìm cơng thức của từng hàm số.
16
16


Cách 2: Ta có:

f ( x ) − g ( x ) = a ( x + 3) ( x + 1) ( x − 1)

.

Suy ra
a ( x + 3) ( x + 1) ( x − 1) = ax 3 + ( b − d ) x 2 + ( c − d ) x −

Xét hệ số tự do suy ra:

3
1
−3a = − ⇒ a =
2
2

. Do đó:

3
2

1
f ( x ) − g ( x ) = ( x + 3) ( x + 1) ( x − 1)
2

.

Diện tích bằng:
S=

−1

1

−3

−1

∫  f ( x ) − g ( x )  dx + ∫  g ( x ) − f ( x )  dx

−1
1
=4
1
1
⇔ S = ∫ ( x + 3) ( x + 1) ( x − 1) dx − ∫ ( x + 3 ) ( x + 1) ( x − 1) dx
2 −3
2 −1

.

Qua các ví dụ trên, GV định hướng cho học sinh tìm lời giải, chốt phương pháp
cho dạng tốn 4:
Cách 1: Thiết lập phương trình hồnh độ giao điểm.
+ Dựa vào hồnh độ điểm cắt trên hình để thế vào phương trình hồnh độ giao điểm
giải hệ tìm các hàm số.
+ Tính diện tích qua tích phân theo các dạng cơ bản.
Nhận xét: Việc rèn luyện giải tốn có tính chất quan trọng, nhưng việc rèn
luyện khả năng tìm phương pháp, lời giải của bài tốn là khâu có tính chất quyết
định trong tồn bộ cơng việc rèn luyện giải toán. Do vậy, khi dạy học sinh giải tốn,
giáo viên ngồi việc cung cấp lời giải của bài toán, cần dạy cho học sinh biết cách
suy nghĩ, tư duy tìm ra con đường hợp lý để giải tốn.Trong q trình giải một bài
tốn cụ thể nào đó, học sinh cần phải suy nghĩ để vận dụng những kiến thức nào, cần

xem xét đến mối liên hệ nào để tìm ra lời giải của bài tốn.

17
17


Bài tập 4.2: (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Cho hàm số

và liên tục trên đoạn
thị hàm số

Tích phân

f ( x)

[ −5;3]

. Biết rằng diện tích hình phẳng

và đường parabol

3

y = g ( x ) = ax + bx + c
2

S1 , S2 , S3

lần lượt là

f ( x)

xác định

giới hạn bởi đồ

m, n , p

.

bằng

∫ f ( x ) dx

−5

A.

208
−m + n − p −
.
45

B.

208
m−n+ p+
45

C.

208
m−n+ p−
.
45

D.
−m + n − p +

Phân tích đưa ra lời giải và lựa chọn đáp án:
S1 =

S2 =

S3 =

−2

−2

−2

−2

−5

−5

−5

−5

0

0

0

0

0

−2

−2

−2

−2

−2

−2

3

3

3

−5

0

0

0

∫  f ( x ) − g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx ⇒ ∫ f ( x ) dx = S + ∫ g ( x ) dx
1

−5

.

∫  g ( x ) − f ( x )  dx = ∫ g ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx ⇒ ∫ f ( x ) dx = ∫ g ( x ) dx − S
3

∫  f ( x ) − g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx ⇒ ∫ f ( x ) dx = S + ∫ g ( x ) dx
1

18
18

.

−2

0

2

.

208
.
45


Do vậy:

3

∫

−5

3

f ( x )dx = S1 − S 2 + S 3 + ∫ g ( x )dx.
−5

Từ đồ thị ta thấy

là số dương. Mà 4 đáp án chỉ có B là phù hợp

3

∫ g ( x )dx

−5

Chú ý: Có thể tính

3

như sau:

∫ g ( x )dx

−5

Từ đồ thị hàm số

y = g ( x)

ta thấy nó đi qua các điểm

 25a − 5b + c = 2
2
4

 4a − 2b + c = 0 ⇒ a = , b = , c = 0.
15
15
c = 0


Do đó

3

( −5;2 ) , ( −2;0 ) , ( 0;0)

.

3

208
2 2 4 
∫−5 g ( x ) dx = −∫5  15 x + 15 x ÷ dx = 45

Bài tập 4.3: (Chuyên KHTN - 2021) Cho hàm số

g ( x) = mx 2 + nx

nên ta có:

f ( x) = ax + bx + cx + 4
3

2

có đồ thị trong hình bên dưới.

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số trên (phần gạch chéo
trong hình vẽ) bằng.

19
19

và


A.

9
4

.

B.

37
12

.

C.

D.

37
6

9
2

.

Phân tích đưa ra lời giải và lựa chọn đáp án:
Phương trình hồnh độ giao điểm:
⇔ ax 3 + bx 2 + cx + 4 = mx 2 + nx ⇔ ax 3 + (b − m) x 2 + (c − n ) x + 4 = 0

Đặt
Vì

h( x ) = ax 3 + (b − m) x 2 + (c − n) x + 4

h( x ) = 0

Mà ta có
Suy ra

có

3

nghiệm

x = 2, x = −1, x = 1

h(0) = 2a = 4 ⇒ a = 2

h( x ) = 2( x 2 − 1)( x − 2)

nên

h( x) = a( x + 1)( x − 1)( x − 2) = a( x 2 − 1)( x − 2)

.

.

Vậy diện tích hình phẳng là

2

2

37
S = ∫ h( x) dx = ∫ 2( x 2 − 1)( x − 2) dx =
6
−1
−1

.

Bài tập 4.4 : (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hịa Bình - 2021) Cho hai hàm số
1
f ( x ) = ax + bx + cx −
2
3

y = f ( x)

và

2

y = g ( x)

và

g ( x ) = dx 2 + ex + 1 (a, b, c, d , e ∈ ¡ )

. Biết rằng đồ thị hàm số

cắt nhau tại 3 điểm có hồnh độ lần lượt là

−3

;

khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị đã cho có diện tích bằng

20
20

;

−1 1

(tham


A. .

B.

5

9
2

.

C. .

Phân tích đưa ra lời giải và lựa chọn đáp án:
 Phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị

ax 3 + bx 2 + cx −

 Do đồ thị hàm số

−3

D. .
8

4

y = f ( x)

và

y = g ( x)

1

3
= dx 2 + ex + 1 ⇔ ax 3 + ( b − d ) x 2 + ( c − e ) x − = 0. ( *)
2
2

y = f ( x)

và

y = g ( x)

cắt nhau tại ba điểm có hồnh độ lần lượt là

;
;

−1 1

nên phương trình

( *)

có ba nghiệm

;

;

x = −3 x = −1 x = 1

. Khi đó ta có hệ

phương trình
3
3


 −27 a + 9 ( b − d ) − 3 ( c − e ) − 2 = 0
b − d = 2


3
1


⇔ a =
−a + ( b − d ) − ( c − e ) − = 0
2
2


3
−1


a + ( b − d ) + ( c − e ) − 2 = 0
c − e = 2



Suy ra

1
3
1
3
f ( x ) − g ( x ) = x3 + x 2 − x −
2
2
2
2

.

.

 Vậy hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đã cho có diện tích là:
21
21

là


S=

−1

1

−3

−1

∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx + ∫ ( g ( x ) − f ( x ) ) dx

−1

1

3
1
3
3
1
3
1
1
= ∫  x 3 + x 2 − x − ÷dx − ∫  x 3 + x 2 − x − ÷dx
2
2
2
2
2
2
2
2
−3 
−1 

= 2+2 = 4

.

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.
- Qua thực tế giảng dạy đối với học sinh lớp 12 tại trường THPT Cẩm thủy 1 trong
năm học 2019-2020, tôi đã áp dụng đề tài này giúp các em cảm thấy tự tin và say mê
hơn trong việc học tốn, có tinh thần tìm tịi học hỏi đối với các dạng tốn khó liên
quan đến ứng dụng của tích phân trong việc tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các hàm số. Sáng kiến của tôi cũng đã được cập nhật thêm các bài toán trong các đề
thi thử năm 2020-2021 và 2021-2022. Bản thân tơi thấy mặc dù đề bài của các trường
có sự thay đổi nhưng phương pháp thì khơng thay đổi, chỉ cần tinh ý học sinh có thể
sử dụng cho các bài toán của các năm tiếp theo. Kết quả trong các kỳ thi thử TN
THPT mà các em tham gia thi, các em đều giải quyết được nhanh gọn và chính xác
đáp ứng nhu cầu thi trắc nghiệm của kỳ thi TN THPT.
- Khi thực hiện giảng dạy trên lớp, các lớp thực nghiệm là 12A2 ; 12A5 và các
lớp đối chứng 12A3, 12A10 việc vận phương pháp, tổ chức tiết dạy và chất lượng có
sự khác nhau rõ rệt. Các lớp thực nghiệm có ưu thế hơn hẳn trong việc tổ chức các
hoạt động và đạt hiệu quả cao.
Kết quả điểm kiểm tra:
Kết quả chấm bài kiểm tra ôn tập phần này của học sinh có sự chênh lệch, thể
hiện qua bảng số liệu sau:
BẢNG TỔNG HỢP ĐIỂM KIỂM TRA CỦA HS
Điểm
Lớp

Sĩ

Yếu

Trung bình

Lớp

12A2

số
40

SL
10

%
25

SL
22

%
55

SL
8

%
20

SL
0

%
0

Đối
chứng

12A5
Tổng số

36
76

9
19

25
25

20
42

55,5
55,2

7
15

19,5
19,8

0
0

0
0

22
22

Khá

Giỏi


Lớp
Thực
nghiệ
m

12A3
12A10

48
45

1
4

2
8.8

14
18

29,1
40

24
18

50
40

9
5

18.9
11.2

Tổng số

93

5

5.4

32

34.5

42

45

14

15.1

Ghi chú:
Tổng hợp kết quả theo nhóm lớp :
Nhóm lớp
Đối chứng

SL – Số lượng
Điểm (%)
Trung bình
Khá
55,2
19,8

Yếu
25

Thực nghiệm
5.4
Thể hiện kết quả trên bằng biểu đồ sau:
%
60

34.5

45.0

15.1

55.2

50

45

40
30

Giỏi
0

34.5
25
19.8

20
10
0

15.1

5.4
0

Khá
Giỏi
Nhóm thực nghiệm

Yếu
Trung bình
Nhóm Đối chứng

Mức điểm

Biểu đồ : KẾT QUẢ ĐIỂM KIỂM TRA CỦA HAI NHÓM LỚP
- So sánh kết quả, nhận xét
Từ bảng số liệu và biểu đồ trên ta thấy:
Lớp đối chứng: Tỉ lệ học sinh có điểm yếu khá cao (25%), tỉ lệ HS đạt điểm
trung bình trở lên là 55,2% nhưng điểm khá thấp, chỉ đạt 19,8% trong đó khơng học
sinh đạt điểm giỏi.
Lớp thực nghiệm: Tỉ lệ HS có điểm yếu thấp (5,4%), tỉ lệ HS đạt điểm trung
bình trở lên là 94,6%, trong đó tỉ lệ điểm khá, giỏi rất cao (45,0% điểm khá và 15,1%
điểm giỏi)
23
23


Từ kết quả so sánh trên cho thấy việc chia dạng các phần kiến thức trong ôn thi
Tốt nghiệp THPTQG là rất cần thiết và hiệu quả .Tùy từng nhóm đối tượng để trong
q trình ơn luyện giáo viên chọn dạy đến dạng nào và cách tiếp cận nào là hợp lí.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
- Qua quá trình áp dụng vào thực tế dạy lớp 12, đề tài này đã giúp cho các em

thêm tự tin và say mê trong việc giải các bài toán về tích phân đặc biệt là phát hiện xu
hướng mới của câu hỏi ở mức độ vận dụng và vận dụng cao về ứng dụng của tích
phân trong đề thi TN THPT các năm gần đây.
- Trong phạm vi một SKKN về một dạng toán rộng và nhiều hướng phát triển
nên tơi chỉ tập trung vào khai thác bốn dạng tốn, tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu tài liệu,
học hỏi đồng nghiệp để mở rộng dạng tốn hồn thiện hơn nữa cho đề tài này.
- Trên đây là kinh nghiệm thực tế qua q trình giảng dạy nhiều năm tơi rút ra
cho bản thân và bước đầu được áp dụng có kết quả khả quan. Do kinh nghiệm chưa
nhiều cộng với hạn chế về thời gian và những yếu tố khách quan đưa lại; khả năng
của bản thân cũng có hạn nên tơi cũng khơng thể tránh khỏi những thiếu sót nhất định
trong việc thực hiện và trình bày SKKN của mình. Rất mong được Hội đồng Khoa
học ngành Giáo dục tỉnh Thanh hố quan tâm giúp đỡ để tơi rút kinh nghiệm và thực
hiện tốt hơn công tác viết SKKN trong những năm học tiếp theo.
3.2. Kiến nghị
- Kiến nghị với sở GD - ĐT Thanh Hóa phổ biến những đề tài nghiên cứu có
chất lượng được áp dụng rộng rãi trong các trường. Nhà trường và tổ bộ môn nên có
kế hoạch tổ chức những buổi hội thảo trao đổi chuyên môn nâng cao chất lượng
giảng dạy.
- Tăng cường bồi dưỡng cho giáo viên về kinh nghiệm giảng dạy cũng như các
chuyên đề bồi dưỡng cho học sinh; quan tâm và tạo điều kiện cho thế hệ trẻ phát huy
tốt nhất năng lực của mình, nâng cao chất lượng giảng dạy.

Xin chân thành cảm ơn!

24
24


XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 5 năm 2022
Tôi cam kết SKKN trên là do bản thân tự viết,
khơng copy của người khác.
Người viết

Trần Đức Tồn

Nguyễn Thị Lan

Tài liệu tham khảo
1. Sách giáo khoa lớp 12- Trần văn Hạo- Chủ biên
2. Các nguồn tài liệu trên các trang mạng về ứng dụng của tích phân. Các
đề thi thử. Các chuyên đề của đồng nghiệp trong cả nước.

25
25