(SKKN 2022) Rèn luyện kỹ năng giải phương trình, bất phương mũ và lôgarit bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số cho học sinh lớp 12

MỤC LỤC
PHẦN II. NƠI DUNG............................................................................................................................................3

PHẦN I. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Thế giới ngày nay đang phát triển nhanh chóng cùng với sự phát triển của khoa học,
cơng nghệ, truyền thơng. Vì vậy mục tiêu giáo dục đặt ra là phát triển một xã hội trong
đó con người được phát triển toàn diện để đáp ứng được sự nghiệp cơng nghiệp hóa,
hiện đại hóa đất nước.
Nâng cao chất lượng dạy học nói chung, dạy học mơn Tốn nói riêng đang là một
yêu cầu cấp bách hiện nay. Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là
đổi mới nội dung và phương pháp dạy học.
Chủ đề phương trình, bất phương trình mũ và lơgarit có vị trí quan trọng trong
chương trình mơn Tốn bậc trung học phổ thông (THPT), là một trong những nội dung
không thể thiếu trong các kì thi tốt nghiệp THPT và thi học sinh giỏi (HSG) lớp 12.
Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit rất đa dạng và phong phú, để giải được
địi hỏi học sinh phải có vốn kiến thức, cũng như kĩ năng giải phương trình, bất phương
trình được tích lũy từ đầu cấp học.
Rèn luyện kĩ năng giải phương trình, bất phương trình mũ và lơgarit vừa là mục đích
vừa là phương tiện làm cho học sinh nắm được kiến thức cơ bản, rèn luyện kĩ năng suy
luận tốn học, tốn học hóa các tình huống thực tế và rèn luyện phẩm chất tư duy linh
hoạt, độc lập, sáng tạo, cẩn thận, chính xác góp phần phát triển năng lực toán học cho
học sinh.
1


Trong đề thi tốt nghiệp THPT và HSG thì để giải phương trình, bất phương trình mũ
và lơgarit ở mức độ vận dụng và vận dụng cao đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng biến đổi
linh hoạt và vận dụng nhiều kiến thức đã học, mà một trong những kiến thức hay dùng
đó là tính chất đơn điệu của hàm số. Trong thực tế nhiều học sinh khi gặp dạng phương
trình này thường khơng giải được, vì đây là phần địi hỏi tư duy cao nhưng trong

chương trình tốn THPT lại có rất ít thời gian để dạy phần này. Do đó để giúp học sinh
tiếp cận và biết cách giải phương trình, bất phương trình mũ và lơgarit bằng phương
pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến: ‘‘Rèn luyện kỹ
năng giải phương trình, bất phương mũ và lơgarit bằng phương pháp sử dụng tính
đơn điệu của hàm số cho học sinh lớp 12’’
2. Mục đích nghiên cứu
- Thiết kế được các chủ đề dạy học phù hợp, xây dựng được quy trình sử dụng hiệu
quả để rèn luyện kỹ năng tự học cho học sinh trong dạy học phần giải phương trình,
bất phương trình mũ và lơgarit qua đó bồi dưỡng và phát triển năng lực tự học cho
học sinh.
- Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải bài tập bằng phương pháp hàm số.
- Trang bị cho học sinh kiến thức vững vàng, chuẩn bị bước vào các kỳ thi HSG cấp
tỉnh lớp 12 và thi tốt nghiệp THPT.
- Học sinh có thể nhớ và khắc sâu thêm kiến thức liên quan đến hàm số ở các dạng toán
khác có liên quan như giải hệ phương trình, bất phương trình, chứng minh bất đẳng
thức, bài tốn phương trình, hệ phương trình, bất phương trình chứa tham số…
3. Đối tượng nghiên cứu
Chủ đề phương trình, bất phương trình mũ và lơgarit trong chương trình giải tích
lớp 12.
4. Phương pháp nghiên cứu
4.1. Phương pháp nghiên cứu lý thuyết
- Nghiên cứu tài liệu và các cơng trình nghiên cứu đổi mới phương pháp dạy học
(PPDH) theo hướng tích cực hóa việc học của học sinh.
- Nghiên cứu về cấu trúc và nội dung chương trình giải tích lớp 12.
4.2. Phương pháp chun gia
Gặp gỡ, trao đổi, tiếp thu ý kiến của các đồng nghiệp để làm cơ sở cho việc
nghiên cứu đề tài.
4.3. Phương pháp thực tập sư phạm
Thực nghiệm sư phạm ở trường THPT Thọ Xuân 4, tiến hành theo quy trình
của đề tài nghiên cứu khoa học giáo dục để đánh giá hiệu quả của đề tài nghiên

cứu.
4.4. Phương pháp thống kê toán học
Sử dụng phương pháp thống kê toán học để thống kê, xử lý, đánh giá kết quả
thu được.

2


PHẦN II. NỘI DUNG
1. Cơ sở lý luận
Muốn học tốt mơn Tốn các em học sinh phải nắm vững những kiến thức cơ bản ở
mơn học một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập.
Điều đó thể hiện ở việc học đi đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tư duy lôgic và
cách biến đổi linh hoạt. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu mơn
Tốn một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào
làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải.
Qua nghiên cứu tôi muốn nêu lên vấn đề làm thế nào giúp cho học sinh THPT có
thêm một phương pháp giải khi gặp các bài tốn giải phương trình, bất phương trình
mũ và lơgarit được coi là khơng mẫu mực ở mức độ vận dụng và vận dụng cao. Tuy
nhiên khi gặp bài tốn giải phương trình, bất phương trình mũ và lơgarit có nhiều bài
tốn địi hỏi học sinh phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức, kĩ năng phân tích biến
đổi để đưa phương trình trình mũ và lôgarit từ dạng phức tạp về dạng đơn giản.
Trong giới hạn của sáng kiến kinh nghiệm (SKKN) tôi chỉ hướng dẫn học sinh bảy
dạng phương trình, bất phương trình mũ và lơgarit thường gặp, một số bài tốn vận
dụng biến đổi cơ bản và một số dạng bài toán thường gặp khi thi ôn tốt nghiệp THPT
và ôn thi HSG.
Phương pháp “Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất
phương trình mũ và lơgarit” có tính hiện đại, cách giải hay, ngắn gọn và độc đáo.
Do sự giảm tải của kiến thức ở bậc THPT mà số lượng bài tập trong sách giáo khoa
(SGK) dùng phương pháp này để giải cịn rất ít, SGK chỉ giới thiệu các dạng bài tập này

3


mang tính chất tham khảo, do đó phương pháp này khơng phổ biến và bắt buộc. Chính
vì lẽ đó mà đại đa số học sinh sử dụng phương pháp này một cách máy móc hoặc chưa
biết sử dụng.
Đối với học sinh khá, giỏi việc tiếp cận phương pháp này để giải toán là một vấn đề
cần thiết giúp cho các em có kỹ năng, kỹ xảo trong việc giải bài tập bằng phương pháp
hàm số đồng thời chuẩn bị cho các em một kiến thức vững vàng và đạt kết quả cao
trong các kì thi tốt nghiệp THPT và HSG lớp 12.
2. Thực trạng
Do học sinh của trường đều ở vùng nơng thơn nên việc học tập cịn nhiều hạn chế
như kiến thức trung học cơ sở còn yếu, tiếp thu bài còn chậm, chưa tự hệ thống được
kiến thức. Khi gặp các bài toán chưa phân loại và định hình được cách giải,
Qua việc khảo sát thi tốt nghiệp THPT, thi HSG lớp 12 và việc học tập, làm bài tập
dạng phương trình, bất phương trình có sử dụng phương pháp hàm số. Tôi nhận thấy
học sinh thường bỏ qua vì khơng có hướng giải. Học sinh rất hoang mang khi gặp
những bài phương trình, bất phương trình mà trước kia là những bài dễ được điểm, thì
bây giờ gặp khơng ít khó khăn vì phải sử dụng phương pháp hàm số để giải.
Các bài tập dùng phương pháp này để giải thông thường là các bài tập ở dạng nâng
cao, khó và thuộc dạng khơng mẫu mực.
Phương pháp hàm số được xem là phương pháp giải toán hiện đại, phương pháp này
sử dụng rất hay nhưng không thể dạy phổ biến ở bậc THPT.
Khả năng vận dụng phương pháp bị hạn chế ở các học sinh trung bình và yếu, chỉ có
hiệu quả cao đối với học sinh khá và giỏi.
Ở bậc THPT, bài tập SGK dùng phương pháp hàm số cịn q ít nên học sinh chỉ
được học một cách qua loa. Trong khi đó các đề thi tuyển sinh của một số năm gần đây
và đề thi HSG lớp 12 hay đưa ra những bài toán phải sử dụng phương pháp này để giải.
3. Giải pháp thực hiện
Nhằm giúp cho học sinh có kĩ năng giải bài tập bằng phương pháp hàm số, giúp cho

các em có kiến thức vững vàng và có kết quả cao trong các kì thi tuyển sinh
Giáo viên nên mạnh dạn giới thiệu phương pháp này cho học sinh lớp 12 trong các
tiết tự chọn. Giáo viên phải dựa vào trình độ của lớp để có thể đưa ra các dạng bài tập từ
cơ bản đến nâng cao mang tính vừa sức, giúp cho các em quen dần với phương pháp
này.
Đối với học sinh ôn thi HSG và ôn thi tốt nghiệp THPT cần tạo thành chuyên đề rõ
ràng, học sinh biết nhận dạng và có kỹ năng làm bài tốt.
3.1. Kiến thức trang bị
* Định nghĩa hàm số đơn điệu:
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f ( x ) xác định
trên K . Ta nói:
+ Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên K nếu ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) .
4


+ Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên K nếu ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) .
* Nhận xét: Cho y = f ( x ) đơn điệu trên K , ta có:
Với ∀x1 , x2 ∈ K ; f ( x1 ) = f ( x2 ) ⇔ x1 = x2 .
* Để chứng minh tính đơn điệu của hàm số y = f ( x) trên K ta dựa vào các tính
chất sau:
+ Tính chất 1: Nếu f ′ ( x ) ≥ 0 , ∀x ∈ K và f ′ ( x ) = 0 tại hữu hạn điểm trên K thì hàm
số y = f ( x ) đồng biến trên K .
+ Tính chất 2: Nếu f ′ ( x ) ≤ 0 , ∀x ∈ K và f ′ ( x ) = 0 tại hữu hạn điểm trên K thì hàm
số y = f ( x ) nghịch biến trên K .[3]
* Để giải phương trình, bất phương trình mũ và lơgarit bằng phương pháp hàm số
ta thường sử dụng các tính chất sau:
+ Tính chất 3: Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến (hoặc nghịch biến) và liên tục trên

( a; b )

thì:

- Phương trình f ( x ) = k ( k ∈ R ) có nhiều nhất 1 nghiệm trên khoảng ( a; b ) . Do đó
nếu x0 là nghiệm của phương trình f ( x ) = k thì x0 là nghiệm duy nhất của phương
trình trên tập ( a; b ) .

- ∀ u ; v ∈ ( a; b ) : f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v .
+ Tính chất 4: Nếu hàm số f đồng biến và hàm số g nghịch biến trên tập K thì
phương trình f ( x ) = g ( x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc K . Do đó nếu x0 là
nghiệm của phương trình f ( x ) = g ( x ) thì x0 là nghiệm duy nhất của phương trình trên
tập K .
+ Tính chất 5: Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục trên ( a; b ) :
* y = f ( x ) đồng biến trên ( a; b ) thì: ∀u , v ∈ ( a; b ) : f ( u ) > f ( v ) ⇔ u > v.
* y = f ( x ) nghịch biến trên ( a; b ) thì: ∀ u, v ∈ ( a; b ) : f ( u ) > f ( v ) ⇔ u < v .
x
+ Tính chất 6: Hàm số y = a đồng biến khi a > 1 và nghịch biến khi 0 < a < 1.

Hàm số y = log a x đồng biến khi a > 1 và nghịch biến khi 0 < a < 1.
+ Tính chất 7: Tổng của các hàm số đồng biến (nghịch biến) là một đồng biến (nghịch
biến).
+ Tính chất 8: Tích của các hàm số dương đồng biến (nghịch biến) là một đồng biến
(nghịch biến).
+ Tính chất 9: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên tập K .

5


f ( x) ≤ m ≤ max f ( x ).
Phương trình f ( x) = m có nghiệm trên tập K ⇔ min
K

K
Bất phương trình f ( x) ≥ m có nghiệm trên tập K ⇔ m ≤ max f ( x).
K

f ( x).
Bất phương trình f ( x) ≥ m có nghiệm với mọi x ∈ K ⇔ m ≤ min
K
Bất phương trình f ( x) ≤ m có nghiệm trên tập K ⇔ m ≥ min f ( x).
K

f ( x).[2]
Bất phương trình f ( x) ≤ m có nghiệm với mọi x ∈ K ⇔ m ≥ max
K
3.2. Phương pháp
Giải toán bằng phương pháp hàm số là một phương pháp khó, phương pháp này
thường dùng để giải các bài tập khó có dạng khơng mẫu mực. Để giúp cho hoc sinh
phân tích bài tốn và tìm ra phương pháp giải, tôi dạy học sinh tiến hành theo các bước
sau đây:
+ Bước 1: Nhận dạng, biến đổi phương trình, bất phương trình về dạng thích hợp.
+ Bước 2: Thiết lập hàm số.
+ Bước 3: Chứng minh hàm số đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến).
+ Bước 4: Dựa vào tính chất đơn điệu của hàm số để giải và kết luận.
Cụ thể:
Bước 1: Nhận dạng
Đây là bước quan trọng nhất. Thơng thường những bài tốn dùng phương pháp
này để giải ta nhận dạng như sau:
- Phương trình, bất phương trình mũ và lơgarit khơng mẫu mực, tức là các dạng phương
trình, bất phương trình:
+ Khơng thể sử dụng phép biến đổi thông thường như biến đổi tương đương hoặc sử
dụng phương pháp đặt ẩn phụ để tìm ra nghiệm bài tốn.

+ Khơng thuộc vào dạng bài tập đã được học phương pháp giải được trình bày trong
SGK phổ thông.
- Mối liên hệ của hai vế của một phương trình.
Bước 2: Thiết lập hàm số
Ở bước này yêu cầu học sinh phải biết biến đổi phương trình, bất phương trình về dạng
thích hợp như: f ( x) = g ( x), f (u ) = f (v), f ( x ) ≥ g ( x ), f (u ) ≥ f (v ),... thì quy tắc f , g
chính là hàm số ta cần xác lập.
Bước 3: Chứng minh tính chất đơn điệu của hàm số
Để chứng minh tính đơn điệu của hàm số ta dùng: Tính chất 1 và Tính chất 2.
Việc chứng minh tính đơn điệu của hàm số khá đơn giản bằng phương pháp đạo hàm
Bước 4: Kết luận
- Nếu từ tính chất đơn điệu của hàm số ta suy ra được nghiệm của bài tốn thì bài giải
được kết thúc.
- Nếu bài tốn đã cho được biến đổi thành một bài toán đơn giản hơn thì chúng ta phải
tiếp tục dùng các phương pháp khác để giải cho đến khi tìm được nghiệm của bài tốn
thì dừng lại.[2]

6


3.3. Các dạng toán cụ thể
- Để giải bài tập về phương trình, bất phương trình mũ và lơgarit bằng cách sử dụng tính
đơn điệu của hàm số thường chia thành 7 dạng sau:
Dạng 1: Giải phương trình f (x) = 0 với f là hàm số đơn điệu.
* Để giải phương trình trên ta tiến hành như sau:
Bước 1: Tìm tập xác định D của phương trình và đưa phương trình về dạng trên (nếu
chưa có dạng trên).
Bước 2: Xét hàm số y = f (x) trên D .
Chứng minh hàm số y = f (x) đồng biến hay nghịch biến trên D .
Bước 3: Tìm được số x0 sao cho f (x0) = 0. Lúc đó phương trình có nghiệm duy nhất

x = x0 . (Chúng ta có thể nhẩm nghiệm hoặc sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm
của phương trình).
Bước 4: Kết luận.[2]
- Chú ý:
+ Nếu hàm số y = f (x) đồng biến hay nghịch biến trên từng khoảng của D thì trên
mỗi khoảng sẽ có tối đa một nghiệm.
+ Phương trình f ( x) = k với f là hàm số đơn điệu và k là một số thực cũng được
giải tương tự.
+ Học sinh phải có khả năng nhận biết hàm số đơn điệu.
* Một số ví dụ áp dụng:
3
Ví dụ 1: Phương trình log3 ( x + 2) = 2log2 ( x +1) (1) có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 4.
Hướng dẫn giải:
Với phương trình trên chúng ta khơng thể sử dụng phương pháp đưa về cùng cơ số.
Khi gặp dạng này thông thường chúng ta đặt hai vế cùng bằng ẩn t , tuy nhiên hai vế
có hệ số là 3 và 2 nên ta đặt bằng 6t .
Lời giải:
Điều kiện: x>- 1. Phương trình (1) Û 3log3 ( x + 2) = 2log2 ( x +1) .
t
t
ìï x + 2 = 32t
ổử
ổử
8
1
t

t
ù
ị 9 = 8 +1 1= ỗỗ ữ
+ ỗỗ ữ
t 3log3 ( x + 2) = 2log2 ( x +1) = 6t ớ
ữ
ữ
ữ. ( 2)
ỗ9ữ
ỗ9ứ
ùù x +1= 23t
è
ø
è
ỵ
Vế phải là hàm nghịch biến, vế trái là hng s nờn phng trỡnh cú nghim duy
nht.
1
1
ổử
8ữ ổử
1ữ
ỗ
ỗ
( 1) . Suy ra x = 7
M 1= ỗ ữ
ữ
ỗ
ữ+ ố
ữị t = 1 l nghim duy nht ca phng trỡnh

ỗ
ỗ9ứ
ố9ứ
l nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. Chọn B.

7


Ví dụ 2: Số nghiệm của phương trình

1
1
+
= x - 2 là
x ln( x - 1)
C. 2.
D. 4.

A. 3.
B. 1.
Hướng dẫn giải:
Với phương trình trên chúng ta thường chuyển về một vế rồi xét hàm.
Lời giải:
Điều kiện: 1< x ¹ 2.
1
1
- x + 2.
Xét hàm f ( x) = +
x ln( x - 1)
1

1
- 1< 0 với mọi x thỏa món 1< x ạ 2.
Ta cú f Â( x) =- 2 x ( x - 1) ln2 ( x - 1)
Suy ra f ( x) nghịch biến trên từng khoảng xác định. Ta có bảng biến thiên (BBT)

Dựa vào BBT suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. Chọn C.
Dạng 2: Giải phương trình f (x) = g(x) với f là hàm số đồng biến, g là hàm số
nghịch biến.
* Để giải bài toán trên ta tiến hành như sau:
Bước 1: Tìm tập xác định D của phương trình và đưa phương trình về dạng trên.
Bước 2: Xét hàm số y = f (x) và y = g(x) trên D .
Chỉ rõ hàm số y = f (x) đồng biến và hàm số y = g(x) nghịch biến trên D .
Bước 3: Tìm được số x0 sao cho f ( x0 ) = g(x0 ) . Lúc đó phương trình có nghiệm duy
nhất x = x0 .
Bước 4: Kết luận.[2]
- Chú ý:
Nếu khơng tìm được nghiệm thì phương trình có thể vơ nghiệm khi đó ta phải dùng các
phương pháp khác để chỉ ra phương trình vơ nghiệm.
* Một số ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Số nghiệm của phương trình 9 x = 12 − 3 x là
A. 0.
B. 1.
C. 2.
Hướng dẫn giải:
Yêu cầu học sinh xét tính đơn điệu của hai hàm số ở hai về.
Lời giải:

D. 3.

8

x
Ta có f ( x) = 9 là hàm đồng biến; g( x) = 12- 3x là hàm nghịch biến nên phương
trình có nghiệm duy nhất. Mà f ( 1) = g( 1) suy ra x=1 là nghiệm duy nhất. Chọn B.
2
Ví dụ 2: Phương trình log2 ( x - 4) + x = log2 ( 8x +16) có bao nhiêu nghiệm?

A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Hướng dẫn giải:
Với phương trình trên trước tiên chúng ta sử dụng phương pháp đưa về cùng cơ số.
Lời giải:
Điều kiện: x> 2.
x
2
ù= log ( 8x +16)
Phương trình tương đương log2 é
2
ê2 ( x - 4) û
ú
ë
8
Û 2x ( x2 - 4) = 8x +16 Û ( x - 2) 2x = 8 Û 2x =
x- 2
8
x
Ta có f ( x) = 2 là hàm số đồng biến; g( x) =

là hàm số nghịch biến nên phương
x- 2
trình có nghiệm duy nhất. Mà f ( 3) = g( 3) suy ra x= 3 là nghiệm duy nhất. Chọn B.
Dạng 3: Giải phương trình: f (u ) = f (v) với f là hàm số đơn điệu.
* Để giải bài toán trên ta tiến hành như sau:
Bước 1: Tìm tập xác định D của phương trình và đưa phương trình về dạng trên.
Bước 2: Xét hàm số y = f (t) trên D. Chỉ rõ hàm số y = f (t) đơn điệu trên D.
Bước 3: Khi đó: f (u ) = f (v) ⇔ u = v .
Bước 4: Giải dạng toán đơn giản và kết luận.[2]
- Chú ý:
+ Để giải phương trình dạng này học sinh phải nhận biết được mối quan hệ giữa hai vế
của phương trình.
* Một số ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Có bao nhiêu cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn 0 ≤ x ≤ 2022 và
3x+1 + x + 1 = 3 y + y
A. 2020.
B. 2021.
C. 2022.
D. 2023.
Hướng dẫn giải:
Với phương trình trên chúng ta dễ dàng xét hàm đặc trưng.
Lời giải:
x +1
y
Ta có: 3 + x + 1 = 3 + y ⇔ f ( x + 1) = f ( y )
t
t
Xét hàm số f ( t ) = 3 + t ⇒ f ′ ( t ) = 3 .ln 3 + 1 > 0, ∀t ∈ ¡
Do đó f ( x + 1) = f ( y ) ⇔ x + 1 = y ⇒ x = y − 1
Vì 0 ≤ x ≤ 2022 ⇔ 0 ≤ y − 1 ≤ 2022 ⇔ 1 ≤ y ≤ 2023

Mà y ∈ ¢ nên y ∈ { 1;2;3;...;2023}

9


Vậy có 2023 cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn u cầu bài tốn. Chọn D.

Ví dụ 2: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương ( x; y ) với x ≤ 2022 thỏa mãn

log 2

x+2 2
+ x + 4 x = 4 y 2 + 8 y + 1.
y +1
A. 2020 .
B. Vô số.

C. 1011 .

D. 4040 .

Hướng dẫn giải:
Với phương trình trên chúng ta phải tách hai ẩn sang hai vế rồi xét hàm đặc trưng.
Lời giải:
Do x, y nguyên dương nên, ta có:
x+2
2
2
log 2
= 4 y 2 − x 2 − 4 x + 8 y + 1 ⇔ log 2 ( x + 2 ) − log 2 ( y + 1) = 4 ( y + 1) − ( x + 2 ) + 1

y +1
⇔ log 2 ( x + 2 ) + ( x + 2 ) = log 2 2 ( y +1) + 
2 ( y +1) 

2

2

2
Xét hàm số f ( t ) = log 2 t + t trên ( 0;+∞ ) .

Ta có f ′ ( t ) =

( 1) .

1
+ 2t > 0 ∀t ∈( 0; +∞) ⇒ f ( t ) đồng biến trên ( 0;+∞ ) .
t ln 2

( 1) ⇔ f ( x + 2 ) = f ( 2 y + 2 ) ⇔ x + 2 = 2 y + 2 ⇔ x = 2 y .

Mà 0 < x ≤ 2022 ⇒ 0 < y ≤ 1011 .
Vậy có 1011 cặp số nguyên dương ( x; y ) . Chọn C.
Ví dụ 3: Phương trình log2

(

)

2x2 +1 +1 + x = log2

(

)

2x2 +1- 1 + 2x2 +1

có bao nhiêu nghiệm nguyên?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 4.
Hướng dẫn giải:
Với phương trình trên chúng ta phải khéo léo để biến đổi về hàm đặc trưng thích hợp.
Hàm đó phải ln đơn điệu.
Sai lầm thường gặp là biến đổi
2x2
2
log2 2x +1 +1 + x = log2
+ 2x2 +1
2x2 +1 +1

(

Û 2log2

)

(

) (

2x2 +1 +1 -

)

2x2 +1 +1 = 2log2 x - x và xét hàm

f ( t) = 2log2 t - t trên ( 0;+¥ ) nhưng hàm số này khơng đơn điệu trờn ( 0;+Ơ ) .
Li gii:
iu kin: x ạ 0.

10


Phương trình đã cho tương đương
2x2
log2
+ x = log2 2x2 +1- 1 + 2x2 +1
2
2x +1- 1

(

Û log2 ( 2x2 ) - log2

(

)

2x2 +1- 1 + x = log2

)
x + x = 2log ( 2x +1- 1) + (

Û 1+ 2log2 x + x = 2log2

Û 2log2

)

(

(

)

2x2 +1- 1 + 2x2 +1

2x2 +1- 1 + 2x2 +1

2

2

)

2x2 +1- 1 .

Xét hàm f ( t) = 2log2 t + t trên ( 0;+¥ )

2
+1> 0 trên ( 0;+¥ ) do đó ta được x = 2x2 +1- 1
Có f '( t) =
t ln2
Û x +1= 2x2 +1 Û x = ±2. Chọn C.
Dạng 4: Giải bất phương trình: f (u) > f (v) với f là hàm số đơn điệu.
* Để giải bài toán trên ta tiến hành như sau:
Bước 1: Tìm tập xác định D và đưa bất phương trình về dạng trên.
Bước 2: Xét hàm số y = f (t) trên D. Chỉ rõ hàm số y = f (t) đơn điệu trên D.
Bước 3: Khi đó: Nếu hàm f đồng biến thì f (u) > f (v) ⇔ u > v.
Nếu hàm f nghịch biến thì f (u) > f (v) ⇔ u < v.
Bước 4: Giải dạng toán đơn giản và kết luận.[2]
- Chú ý:
+ Để giải bất phương trình dạng này học sinh phải nhận biết được mối quan hệ giữa hai
vế của bất phương trình.
* Một số ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương ( x; y ) thỏa mãn điều kiện x ≤ 2022 và
3 ( 9 y + 2 y ) ≤ x + log 3 ( x + 1) − 2 ?
3

A. 4 .
B. 2 .
C. 3776 .
D. 3778 .
Hướng dẫn giải:
Với bất phương trình trên chúng ta chuyển mỗi ẩn về một vế để tìm hàm đặc trưng.
Lời giải:
3
y
y

Ta có 3 ( 9 + 2 y ) ≤ x + log 3 ( x + 1) − 2 ⇔ 3.9 + 6 y ≤ x + 3log 3 ( x + 1) − 2

⇔ 32 y +1 + 3 ( 2 y + 1) ≤ ( x + 1) + 3log 3 ( x + 1) . ( 1)

t
t
Xét hàm số f ( t ) = 3 + 3t có f ′ ( t ) = 3 .ln 3 + 3 > 0, ∀t .
t
Suy ra hàm số f ( t ) = 3 + 3t đồng biến trên ¡ .

2 y +1
Do đó ( 1) ⇔ f ( 2 y + 1) ≤ f ( log 3 ( x + 1) ) ⇔ 2 y + 1 ≤ log 3 ( x + 1) ⇔ 3 − 1 ≤ x .

11


log 3 2023 − 1
≈ 2,96 .
2
Với giả thiết y nguyên dương suy ra y ∈ { 1;2} .
Với y = 1 có 26 ≤ x ≤ 2022 suy ra có 1997 cặp số ( x; y ) thỏa mãn .
Với y = 2 có 242 ≤ x ≤ 2022 suy ra có 1781 cặp số ( x; y ) thỏa mãn .
Vậy có tất cả 3778 cặp số ( x; y ) thỏa mãn đề bài. Chọn D.
Ví dụ 2: Có bao nhiêu cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn bất phương trình
Vì x ≤ 2022 nên 32 y +1 − 1 ≤ 2022 ⇔ y ≤

( 2x + y )

2

.25 x

2

+2 xy +2 y 2 −3

+ ( x − y ) ≤ 3 là
B.1 .
2

A. 3 .
C. 2 .
D. 4 .
Hướng dẫn giải:
Với bất phương trình trên để cho đơn giản chúng ta yêu cầu học sinh đặt ẩn phụ.
Lời giải:
Ta có:
2
2
2
2
( 2 x + y ) .25 x +2 xy +2 y −3 + ( x − y ) ≤ 3 ⇔ ( 2 x + y ) .2( 2 x+ y) +( x− y ) −3 + ( x − y ) − 3 ≤ 0 ( 1)
2

2

2

2

a = ( 2 x + y ) 2 ≥ 0
a +b
a
−b
Đặt 
khi đó ( 1) đưa về: a.2 + b ≤ 0 ⇔ a.2 ≤ ( −b ) .2 .
2
b = ( x − y ) − 3 ≥ −3
Vì a ≥ 0 ⇒ −b ≥ 0 .
t
t
t
Xét hàm số f ( t ) = t.2 , t ∈ [ 0; +∞ ) có f ′ ( t ) = 2 + t.2 .ln 2 > 0, ∀t ∈ [ 0; +∞ ) .

Suy ra f ( a ) ≤ f ( −b ) ⇔ a ≤ −b ⇔ a + b ≤ 0 .
Suy ra

( 2x + y )

2

+ ( x − y ) − 3 ≤ 0 ⇔ ( 2x + y ) + ( x − y ) ≤ 3 .
2

2

2

2
Với giả thiết x, y là các số nguyên nên ( 2x + y ) và

trường hợp sau:

2x + y
x− y

x
y

0
0

0

0
−1

1
1

−1
1

2
( x − y ) chỉ có thể xảy ra các

1

−1

−1

−1

1

−1

0
0
1
1
2
2
1
1
−
−
−
0
0
0
3
3
3
3
3
3
2
2
1
1

1
1
−
−
−
0
−1
1
3
3
3
3
3
3
Nhận Loại Loại Loại Nhận Nhận Loại Loại Loại
1

Vậy có tất cả 3 cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn. Chọn A.
Dạng 5: Tìm điều kiện để phương trình f (x, m) = 0 có nghiệm thỏa mãn điều
kiện cho trước
12


* Để giải bài toán trên ta tiến hành như sau:
Bước 1: Tìm tập xác định D của phương trình.
Bước 2: Đưa phương trình về dạng f (x) = g(m) .
Bước 3: Xét hàm số y = f (x) trên D .
Bước 4: Giải dạng toán đơn giản và kết luận.[2]
* Một số ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên m thuộc đoạn [- 2022;2022] để phương trình

2
2
2
m.9x - 2x - ( 2m+1) .6x - 2x + m.4x - 2x = 0 có nghiệm thuộc khoảng ( 0;2) ?
A. 2018.
B. 2016.
C. 2019.
D. 2017.
Hướng dẫn giải:
Với phương trình trên chúng ta phải chia cho biểu thức thích hợp để đưa về phương
trình bậc hai, đặt ẩn phụ rồi cơ lập m.
Lời giải:
2( x2- 2x)
x2- 2x
ỉư
ỉư
3
3
Phương trình ó cho tng ng vi m.ỗỗ ữ
- ( 2m+1) .ỗỗ ữ
ữ
ữ
ữ
ữ + m= 0.
ỗố2ứ
ỗ2ứ
ố
x2- 2x

ổử

3ữ
t t = ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố2ứ

ộ2 ử
ữ.
, vỡ xẻ ( 0;2) nờn t ẻ ờ ;1ữ
ờ
ứ
ở3 ữ

2
Phng trỡnh trở thành mt - ( 2m+1) t + m= 0 Û m=

Xét hàm f ( t) =

t
trên
2
t - 2t +1

é2 ÷
ö
ê ;1÷
.
ê3 ÷

ø
ë

t
.
t - 2t +1
2

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình
có nghiệm khi m³ 6. Kết hợp với giả
thiết ta có mỴ { 6;7;...2022} : Có 2017
giá trị. Chọn D.
Ví dụ 2: Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 3x + 3= m. 9x +1
có đúng 1 nghiệm có dạng ( a;b] È

{ c} . Tổng a+ b+ c bằng

A. 4.
B. 11.
C. 14.
D. 15.
Hướng dẫn giải:
Với phương trình trên chúng ta nên đặt ẩn phụ để đưa về phương trình đơn giản.
Lời giải:
t +3
2
. ( 1)
Đặt t = 3x > 0. Phương trình trở thành t + 3= m t +1 Û m= 2
t +1

13


Xét hàm f ( t) =

t +3

trên ( 0;+¥ ) . Ta có f ¢( t) =

t2 +1
Để phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm Û
phương trình ( 1) có đúng 1 nghiệm dương khi
é1< m£ 3
ê
êm= 10 . Chọn C.
ë

1- 3t

1
; f ¢( t) = 0 Û t = .
3
( t2 +1) t2 +1
1
3

Dạng 6: Tìm điều kiện để bất phương trình f (x, m) ³ 0 (£ 0,> 0,< 0) có
nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước
* Để giải bài toán trên ta tiến hành như sau:
Bước 1: Tìm tập xác định D của bất phương trình.

Bước 2: Đưa bất phương trình về dạng f (x) ≥ g(m), f (x) ≤ g(m),...
Bước 3: Xét hàm số y = f (x) trên D.
Bước 4: Giải dạng toán đơn giản và kết luận.[2]
* Một số ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình
2 x + 3 + 5 − 2 x ≤ m nghiệm đúng với mọi x ∈ ( −∞ ;log 2 5 ) .
A. m ≥ 4 .
B. m ≥ 2 2 .
C. m < 4 .
D. m < 2 2 .
Hướng dẫn giải:
Với bất phương trình trên chúng ta nên đặt ẩn phụ để đưa về bất phương trình đơn
giản hơn.
Lời giải:
Đặt 2 x = t . Vì x < log 2 5 ⇒ 0 < 2 x < 2log 2 5 ⇒ 0 < t < 5 .
Yêu cầu bài toán trở thành: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất
phương trình t + 3 + 5 − t ≤ m , nghiệm đúng với ∀t ∈ ( 0;5 ) .
Xét hàm số f ( t ) = t + 3 + 5 − t với t ∈ (0;5) .
1
1
−
Có f ′ ( t ) =
.
2 t +3 2 5−t
1
1
 −3 < t < 5
f ′( t ) = 0 ⇔
−
=0⇔ 

⇔ t =1
2 t +3 2 5−t
 t + 3 = 5 − t
Bảng biến thiên

14


Dựa vào bảng biến thiên ta có: m ≥ 4 . Chọn A.
Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình
m.4 x

2

− 2 x −1

− ( 1 − 2m ) .10 x

A. m < 0 .

2

− 2 x −1

+ m.25 x

B. m ≥

2

− 2 x −1

100
.
841

1 
≤ 0 nghiệm đúng với mọi x ∈  ;2  .
2 
100
1
C. m ≤ .
D. m ≤
.
841
4

Lời giải:

1 
≤ 0, ∀x ∈  ;2 
2 
2
2
x − 2 x −1
2( x − 2 x −1)
5
5
1 
⇔ m − ( 1 − 2m ) . ÷

+ m. ÷
≤ 0, ∀x ∈  ;2  ( 1)
2
2
2 
m.4 x

2

− 2 x −1

− ( 1 − 2m ) .10 x

2

− 2 x −1

x 2 − 2 x −1

+ m.25x

2

x 2 − 2 x −1

5
5
Đặt t =  ÷
⇒ t ′( x ) =  ÷
2

2
 4 2
Ta có t ∈  ; 
 25 5 

− 2 x −1

5
.ln  ÷.( 2 x − 2 ) = 0 ⇔ x = 1 .
2

( 1) ⇔ m − ( 1 − 2m ) .t + m.t 2 ≤ 0, ∀t ∈ 

4 2
t
 4 2
; ⇔m≤ 2
, ∀t ∈  ; 
t + 2t + 1
 25 5 
 25 5 

t
(2)
 4 2  t 2 + 2t + 1
 ; 

⇔ m ≤ min

 25 5 

Xét hàm số f ( t ) =

t
 4 2
,t ∈ ; 
t + 2t + 1
 25 5 
2

t = −1( l )
2
′
f
t
=
0
⇔
−
t
+
1
=
0
⇔
( )
2 ,

( t 2 + 2t + 1)
t = 1 ( l )

 4  100
 2  10 ⇒ min f ( t ) = 100
Ta có f  ÷ =
, f  ÷=
 4 2
841
 ; 
 25  841
 5  49
f ′( t ) =

−t 2 + 1

 25 5 

(2) ⇔ m ≤

100
.
841

15


Vậy m ≤

100
1 
thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈  ;2  . Chọn D.
841

2 

Dạng 7: Tìm điều kiện để phương trình f (u(x,m)) = f (v(x,m)) có nghiệm
thỏa mãn điều kiện cho trước
* Để giải bài toán trên ta tiến hành như sau:
Bước 1: Tìm tập xác định D của phương trình.
Bước 2: Đưa phương trình về dạng f (u(x,m)) = f (v(x,m)).
Bước 3: Xét hàm số y = f (t) trên D.
Bước 4: Giải dạng toán đơn giản và kết luận.[2]
* Một số ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Có bao nhiêu số nguyên của m để phương trình
log 2 ( 2 x + m 2 ) − 2log 2 x = x 2 − 4 x − 2m 2 − 1 có hai nghiệm thực phân biệt ?
A. 2 .
B. 0 .
C. 1 .
D. 3
Lời giải:
Điều kiện: x > 0.
log 2 ( 2 x + m 2 ) − 2log 2 x = x 2 − 4 x − 2m 2 − 1

⇔ log 2 ( 2 x + m 2 ) − 2log 2 x = x 2 − 2 ( 2 x + m 2 ) − 1

⇔ log 2 ( 2 x + m 2 ) + 2 ( 2 x + m 2 ) + 1 = log 2 x 2 + x 2

⇔ log 2 2 ( 2 x + m 2 ) + 2 ( 2 x + m 2 ) = log 2 x 2 + x 2 (1)

Xét f ( t ) = log 2 t + t , ( t > 0 )
1
f '( t ) =
+ 1 > 0 , do đó hàm số đồng biến trên (0; +∞) .

t ln 2
2
2
2
2
2
2
Khi đó (1) ⇔ f ( 2 ( 2 x + m ) ) = f ( x ) ⇔ 2 ( 2 x + m ) = x ⇔ x − 4 x = 2m
2
Xét hàm số g ( x ) = x − 4 x, ( x > 0 )

Phương trình có 2 nghiệm thực dương khi −4 < 2m 2 < 0 ⇔ m ∈∅ suy ra không có
giá trị ngun thỏa mãn u cầu bài tốn. Chọn B.
x
Ví dụ 2: Cho phương trình 2 + m = log 2 ( x − m ) với m là tham số. Có bao nhiêu
giá trị nguyên của m ∈ ( −2021;2022 ) để phương trình đã cho có hai nghiệm thực?
A. 20 .
B. 21 .
C. 2021 .
D. 2020 .

16


Lời giải:
Điều kiện: x > m.
Phương trình tương đương
2 x + x = x − m + log 2 ( x − m ) ⇔ 2 x + x = 2log2 ( x− m ) + log 2 ( x − m) (1)

t

t
Xét hàm số f ( t ) = 2 + t , ∀t ∈ ¡ ; Ta có: f ′ ( t ) = 2 ln 2 + 1 > 0, ∀t ∈ ¡ ⇒ Hàm số

f ( t ) đồng biến trên ¡ .
Từ (1) suy ra f ( x ) = f ( log 2 ( x − m) ) ⇔ x = log 2 ( x − m) ⇔ x − m = 2 x ⇔ m = x − 2 x
x
x
Xét hàm số g ( x ) = x − 2 trên ( m; +∞ ) . Ta có: g ' ( x ) = 1 − 2 ln 2 ;

g ' ( x ) = 0 ⇔ 2 x ln 2 = 1 ⇔ x = log 2 ( log 2 e ) ⇒ g ( log 2 ( log 2 e ) ) = log 2 ( log 2 e ) − log 2 e
lim g ( x ) = m − 2m ; lim g ( x) = −∞

x→m+

x →+∞

Bảng biến thiên:

m- 2m

Do đó: Phương trình đã cho có 2 nghiệm khi và chỉ khi
m − 2m < m < log 2 ( log 2 e ) − log 2 e ⇔ m < log 2 ( log 2 e ) − log 2 e ≈ −0,91
m ∈ ¢
Vì 
nên m∈ { −2020; −2019;....; −1}
m ∈ ( −2021;2022 )
Vậy có 2020 giá trị của m . Chọn D.

4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
- Qua nhiều năm giảng dạy ở trường THPT Thọ Xuân 4 và ôn thi tốt nghiệp THPT cũng

như ôn thi HSG, tôi đã sử dụng theo cách nêu trên để dạy cho học sinh.
- Kết quả nhận thấy số lượng học sinh khá giỏi rất hứng thú với phương pháp giải toán
này và bài tập ra ở dạng này các em giải khá thành thạo. Các năm gần đây thi tốt nghiệp
THPT và HSG lớp 12 cũng đã xem đây là một trong những dạng toán cơ bản cần có
trong đề thi. Tơi thấy học sinh của mình làm khá tốt dạng tốn này mà khơng cịn vướng
mắc nữa. Từ đó làm chủ được kiến thức, đạt được kết quả cao trong quá trình học tập và
thi tốt nghiệp THPT cũng như thi HSG cấp tỉnh.
- Tôi tiến hành thực nghiệm sư phạm tại hai lớp có trình độ tương đương nhau, lớp
12A1 là lớp thực nghiệm dạy học theo phương pháp mới, lớp 12A2 là lớp đối chứng
dạy theo phương pháp truyền thống. Sau khi dạy thực nghiệm, tôi cho học sinh làm
bài kiểm tra như sau:
Đề bài:
17


(

)

2

2
x - 3x+1
= 2 bằng
Câu 1. Tích các nghiệm của phương trình log3 x - 3x + 2 + 2 + 5

A. 1.
B. 2.
C. 4.
D. 9.

Câu 2. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương ( x; y ) với x ≤ 2020 thỏa mãn
log 2 ( x − 1) + 2 x − 2 y = 1 + 4 y .
A. 5 .
B. 1010 .
C. 6 .
D. 2020 .
Câu 3. Cho x, y là các số thực thỏa mãn bất phương trình:
log 2 ( 2 x + 2 ) + x − 3 y ≥ 8 y . Biết 0 ≤ x ≤ 20 , số các cặp x, y nguyên thỏa mãn bất
phương trình trên là
A. 2 .
B. 33 .
C. 35 .
D. 5 .
x
x
x
Câu 4. Cho phương trình m.9 - ( 2m+1) 6 + m.4 £ 0. Tìm tất cả các giá trị của
]
tham số m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc ( 0;1.
A. m³ - 6.
B. - 6 £ m£ - 4.
C. m³ - 4.
D. m£ 6.
x +1
x
x
Câu 5. Cho bất phương trình m.3 + (3m + 2)(4 − 7) + (4 + 7) > 0 , với m là
tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình đã cho nghiệm
đúng với mọi x ∈ ( −∞;0 ) .

2+2 3
2−2 3
2−2 3
2−2 3
. B. m >
. C. m ≥
. D. m ≥ −
.
3
3
3
3
x- 2+3 m- 3x
+( x3 - 6x2 + 9x + m) 2x- 2 = 2x+1 +1 có ba
Câu 6. Phương trình 2
A. m >

nghiệm phân biệt khi và chỉ khi mỴ ( a;b) . Giá trị biểu thức T = b2 - a2 bằng
A. 36.
B. 48.
C. 64.
D. 72.
Câu 7. Có bao nhiêu cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn 0 ≤ y ≤ 2020 và
 2x − 1 
log 3 
= y + 1 − 2x ?
÷
 y 
A. 2019.
B. 11.

C. 4.
D. 2020.
2
Câu 8. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương ( x; y ) thỏa mãn 2.2 x + x + sin 2 y ≤ 2cos y
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Câu 9. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m nhỏ hơn 2022 để phương trình
1
x2

1
x+ +m
x

x3 + mx2 + x
có nghiệm thực dương?
e
=
x4 +1
A. 2019.
B. 2020.
C. 2021.
D. 2022.
Câu 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để phương trình
x2+

3x ( 32 x + 1) − ( 3x + m + 2 ) 3x + m + 3 = 2 3x + m + 3 có nghiệm thực?

A. 3.

B. 4.

C. 6.

D. 5.
18


Số liệu thống kê kết quả được thể hiện:
Lớp

n

TN
ĐC

40
40

1
0
0

2
0
0

Điểm số Xi

4
5
6
7
0
3
9
14
10 12
2
0

3
0
16

8
7
0

9
5
0

10
2
0

Bảng phân bố tần số các bài kiểm tra
xi

1

2

3

4

5

TN

0.0
0

0.00

0.00

0.00

7.50

0.0
0

0.00 40.00 25.00 30.00

(%)

ĐC
(%)

6

7

8

9

22.50 35.00 17.50 12.50
5.00

0.00

0.00

0.00

10
5.00
0.00

Bảng phân bố tần suất
Từ bảng số liệu phân tích điểm số qua các bài kiểm tra cho thấy:
Lớp TN:
- Điểm giỏi có tỷ lệ 35,00%.
- Tỷ lệ HS khá chiếm 35,00%.

- HS trung bình 30,00%, khơng có yếu kém.
Lớp ĐC:
- Tỷ lệ HS đạt điểm giỏi là 00,00%.
- Tỷ lệ HS đạt điểm khá 00,00%.
- Tỷ lệ HS đạt điểm trung bình 35,00%
- Tỷ lệ HS đạt điểm yếu 65,00%.
Thông qua tỷ lệ trên chứng tỏ rằng kết quả học tập của HS lớp TN tốt hơn
lớp ĐC.

19


PHẦN 3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
Trên đây là những giải pháp mà tôi đúc rút được trong suốt quá trình giảng dạy tại
trường THPT Thọ Xuân 4. Phương trình, bất phương trình mũ và lơgarit là một nội
dung quan trọng trong chương trình mơn tốn THPT nói chung. Nhưng đối với học sinh
đang ôn thi tốt nghiệp THPT, ôn thi HSG lại là một mảng tương đối khó, đây cũng là
phần nhiều thầy cô giáo quan tâm.
Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học gần đây, được học sinh đồng
tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng giải phương trình, bất phương trình. Các
em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ các em học sinh có học lực khá
trở lên đã có kỹ năng giải các bài tập. Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt.
Giải toán bằng “Ứng dụng tính chất đơn điệu của hàm số” là phương pháp rất hay,
độc đáo, đã được sử dụng rất lâu, nhưng do không được phổ biến ở bậc THPT. Qua quá
trình tham khảo, học hỏi ở các bậc thầy đi trước, tôi sử dụng phương pháp này để dạy
cho học sinh và nhận thấy có hiệu quả cao đối với học sinh. Tôi xin phép được mạnh
dạn đưa ra ý tưởng này để các bạn đồng nghiệp và các em học sinh tham khảo. Sáng
kiến kinh nghiệm này chỉ giới thiệu một phần nhỏ trong ứng dụng phương pháp hàm số
để giải toán. Mong rằng các đồng nghiệp phát triển thêm để tính đầy đủ của chuyên đề

được cao hơn. Rất mong sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp và các em học sinh.
2. Kiến nghị và đề xuất
Đề nghị Ban chuyên môn của nhà trường tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo
viên có nhiều hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu
học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ .

20


Nhà trường cần tổ chức các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ sách lưu lại
các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên
cứu phát triển chuyên đề.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh hóa, ngày 30 tháng 05 năm 2022
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, khơng sao chép nội dung của người khác

Trương Văn Hịa

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyễn Bá Kim (2002), Phương pháp dạy học mơn Tốn, NXB Đại học sư
phạm Hà Nội.
2. Thư viện: violet.vn › Tốn, internet.
3. Sách giáo khoa Giải tích 12 – cơ bản, nâng cao (NXB Giáo dục).

21

DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP
CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Trương Văn Hòa
Chức vụ và đơn vị cơng tác: Tổ phó chun mơn trường THPT Thọ Xuân 4.
Kết quả
Năm học
Cấp đánh giá
đánh
TT
Tên đề tài SKKN
đánh giá
xếp loại
giá xếp
xếp loại
loại
1.

Tạo hứng thú học tập mơn Tốn
cho học sinh thông qua giải bài
tập trong sách giáo khoa.

Sở GD và ĐT
Tỉnh Thanh
Hóa

C

2008 - 2009

2.

Tạo hứng thú học tập mơn Tốn
cho học sinh thơng qua giải bìa
tập trong sách giáo khoa Đại số
10 nâng cao.

Sở GD và ĐT
Tỉnh Thanh
Hóa

C

2009 - 2010

22


3.

Tạo hứng thú học tập mơn Tốn
cho học sinh thơng qua giải bìa
tập trong sách giáo khoa.

Sở GD và ĐT
Tỉnh Thanh
Hóa

C

2010 - 2011

4.

Hướng dẫn học sinh sử dụng
đạo hàm vào giải một số dạng
bài tập về lượng giác trong tam
giác.

Sở GD và ĐT
Tỉnh Thanh
Hóa

C

2011 - 2012

5

Giúp học sinh lớp 10 giải
phương trình vơ tỉ bằng phương
pháp đặt ẩn phụ.

Sở GD và ĐT
Tỉnh Thanh
Hóa

C

2015 - 2016

6

Hướng dẫn học sinh sử dụng
tích phân vào giải một số bài
toán thực tế trong chương trình
Tốn lớp 12.

Sở GD và ĐT
Tỉnh Thanh
Hóa

C

2019 - 2020

7

Giúp học sinh lớp 10 giải
phương trình vơ tỉ bằng phương
pháp đặt ẩn phụ.

Sở GD và ĐT
Tỉnh Thanh
Hóa

C

2015 - 2016

23