Hàm bậc nhất và ứng dụng trong thực tế

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐẠI HỌC QUỐC GIA - THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA TỐN-TIN HỌC
———————o0o——————–

TIỂU LUẬN

HÀM BẬC NHẤT VÀ ỨNG DỤNG TRONG
THỰC TẾ

Giảng viên hướng dẫn: TS. TẠ THỊ NGUYỆT NGA
Lớp: 20TTH
Nhóm: EleA
Thành viên nhóm: Nguyễn Thị Huệ Chi - 19110275
Lê Thị Quỳnh Nhi - 19110401
Phạm Ngọc Thanh Thảo - 19110450
Trần Minh Thiện - 19110452
Lê Thị Ngọc Thơm - 19110458

TP.HỒ CHÍ MINH, 5/2022


Mục lục
I

PHẦN MỞ ĐẦU
1
Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . .
2
Mục tiêu và nội dung nghiên cứu của
3

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . .
4
Phương pháp nghiên cứu . . . . . . .

II NỘI DUNG CHÍNH
1
Lịch sử hình thành . . . . . . . . . .
2
Định nghĩa và tính chất . . . . . . .
2.1
Định nghĩa hàm số bậc nhất
2.2
Tính chất . . . . . . . . . . .
3
Ứng dụng thực tế của hàm bậc nhất
3.1
Phương trình bậc nhất . . . .
3.2
Hồi quy tuyến tính . . . . . .
3.3
Quy hoạch tuyến tính . . . .

. .
đề
. .
. .

.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

. .
tài
. .
. .

.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

1
1
2
2
2

.
.
.
.
.
.
.
.

3
3
4
4
4
8
8
14
36

III KẾT LUẬN

40

Tài liệu tham khảo

41

i


Chương I
PHẦN MỞ ĐẦU
1

Lý do chọn đề tài

Phương trình bậc nhất là một trong các chủ đề quan trọng trong chương trình
tốn bậc Đại học. Các dạng bài tốn trên thường xuyên xuất hiện trong các kỳ
thi đại học, cao đẳng và có mối liên quan mật thiết với nhau.
Việc tìm hiểu các chủ để này đã được đưa vào chương trình đào tạo của các
trường Đại học và đóng vai trò trọng tâm trong việc trang bị kiến thức cho sinh
viên. Tuy nhiên do thời gian hạn hẹp của chương trình phổ thơng, khơng nêu
được đầy đủ chi tiết tất cả dạng bài tốn về phương trình. Vì vậy học sinh, sinh
viên thường gặp khó khăn khi giải các dạng tồn nâng cao về phương trình,
trong chương trình đào tạo ở Phổ thơng lẫn Đại học.
Mặc dù có nhiều tài liệu tham khảo về các chủ đề nói trên với các nội dung
khác nhau nhưng chưa có chuyên đề riêng khảo sát về phương trình bậc nhất
một cách hệ thống. Đặc biệt, nhiều dạng bài toán đại số về hàm số bật nhất có
quan hệ chặt chẽ khắng khít, không thể tách rời nhau và thường cần đến sự trợ
giúp của cơng cụ đại số, giải tích và ngược lại.
Do đó, để có điều kiện tìm hiểu thêm về chủ đề này và được sự gợi ý của cô
hướng dẫn, chúng em đã chọn đề tài: Hàm bậc nhất và các ứng dụng trong thực
tế làm đề tài cho tiểu luận của mình nhằm hệ thống các kiến thức cơ bản về

phương trình bậc nhất kết hợp với các kiến thức về hồi quy, quy hoạch tuyến
tính để tổng hợp, chọn lọc và phân loại các phương trình và xây dựng một số
bài toán mới.

1


Tiểu luận

2

Hàm bậc nhất và ứng dụng trong thực tế

Mục tiêu và nội dung nghiên cứu của đề tài

Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu và tìm hiểu được khái niệm về lịch sử ra
đời khái niệm về Hàm Bậc Nhất trong thực tế về: Phương trình tuyến tính, hồi
quy tuyến tính, quy hoạch tuyến tính...vận dụng các phương pháp thích hợp
trong Phương trình tuyến tính, hồi quy tuyến tính, quy hoạch tuyến tính để giải
các bài tốn nêu trên trong cuộc sống.

3

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các dạng bài tốn về phương trình bậc nhất.
Phạm vi nghiên cứu của đề tài là vận dụng các phương pháp giải toán thích hợp
trong các hướng đại số giải tích để giải quyết các bài toán về vận tải, hồi quy...

4

Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập, tổng hợp các tài liệu liên quan đến nội dung để tài tiểu luận.
- Phân tích nghiên cứu các tài liệu thu thập được để thực hiện đề tài.
- Tham gia các buổi thuyết trình của các bạn sinh viên và sự hướng dẫn của cô
cộng thêm sự trao dồi kiến thức với nhóm để đạt hiểu quả cao nhất.

Nhóm EleA

2

K19 Tốn ĐHKHTN


Chương II
NỘI DUNG CHÍNH
1

Lịch sử hình thành

Từ những năm 2000 TCN, các nhà toán học Babylon và người Hy Lạp đã sử
dụng rộng rãi các bảng bình phương, bằng căn bậc hai bảng SI ... để giải quyết
các vấn đề tốn học. Nhưng thời kì này khái niệm hàm chỉ xuất hiện như một
công cụ ngầm để nghiên cứu về sự phụ thuộc lẫn nhau của hai đại lượng. Từ thế
kỷ thứ XVI đến thế kỷ thứ XVII, Descart (1596-1650) đã nêu lên rõ ràng cái
gọi là phụ thuộc lẫn nhau giữa hai đại lượng biến thiên. Tuy nhiên, các thuật
ngữ "Hàm số", "phụ thuộc”, “biến thiên" vẫn chưa được xuất hiện.
Từ "hàm" (function) xuất hiện đầu tiên vào tháng 8 năm 1673, trong các bản
thảo của Leibniz (1646-1716). Quan niệm hàm số như một biểu thức giải tích,

lần đầu tiên thể hiện ngầm ẩn trong định nghĩa của Bernoulli công bố năm 1778:
"Ta gọi hàm số của một đại lượng biến thiên là một đại lượng được tạo ra theo
một cách nào đó từ đại lượng biến thiên này và từ các hằng số”.
Quan niệm này được thể hiện tường minh trong định nghĩa của Euler (1707 –
1783). "Một hàm số của một đại lượng biến thiên là một biểu thức giải tích được
tạo thành theo một cách thức nào đó từ chính đại lượng biến thiên này và các
số hay các đại lượng không đổi. . . Một hàm số của một biến cũng là một đại
lượng biến thiên.”
Như vậy, ngoài khái niệm “hàm số", các khái niệm "đại lượng khơng đổi", "đại
lượng biến thiên" cũng chính thức được nêu lên. Khái niệm hàm số được hoàn
thiện dân qua các cơng trình của nhiều nhà khoa học khác như: D’Alembert
(1717-1783), Condorcet (1743 - 1794), Lagrange (1736 - 1813). Nhưng trong tất
3


Tiểu luận

Hàm bậc nhất và ứng dụng trong thực tế

cả các cơng trình này, hàm số ln được hiểu là một biểu thức giải tích.
Đến năm 1755, Euler cho định nghĩa: "Khi một đại lượng phụ thuộc vào các đại
lượng khác sao cho sự thay đổi của các đại lượng thứ hai kéo theo sự thay đổi
của đại lượng thứ nhất thì đại lượng thứ nhất được gọi là hàm số của các đại
lượng thứ hai”.
Từ đầu thế kỉ XIX, người ta lại thường định nghĩa hàm số mà không nhắc gì
tới cách biểu diễn giải tích của nó. Người ta dần dần nhận ra cái chủ yếu trong
định nghĩa hàm số là sự tương ứng giữa các đại lượng. Fourier (1821) phát biểu
: “Nói chung, hàm số f(x) biểu diễn một dãy các giá trị được sắp mà mỗi phần
tử đã được lấy tùy ý”. Dirichlet (1805 – 1859) cho định nghĩa: “y là hàm số của
x nếu với mỗi giá trị của x thì tương ứng với một giá trị hồn tồn xác định

của y cịn sự tương ứng đó được thiết lập bằng cách nào thì điều này hồn tồn
khơng quan trọng”.
Cuối thế kỉ XIX, đầu thế kỉ XX, với sự ra đời của "Lí thuyết tập hợp" của
Cantor (1845 – 1918), tốn học có nhiều biến chuyển sâu sắc. Đến giai đoạn này,
người ta định nghĩa hàm số dựa vào “Lí thuyết tập hợp” coi hàm số như một
quy tắc tương ứng hay quan hệ giữa các phần tử của hai tập hợp thỏa mãn một
số điều kiện nào đó, hay một bộ các tập hợp....

2
2.1

Định nghĩa và tính chất
Định nghĩa hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y=ax+b trong đó a,b là các
số cho trước và a ̸= 0.
Khi b=0 hàm số có dạng y=ax

2.2

Tính chất

Hàm số bậc nhất y=ax+b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất
sau
- Đồng biến trên R nếu a>0.
- Nghịch biến trên R nếu a<0.

Nhóm EleA

4

K19 Toán ĐHKHTN


Tiểu luận

Hàm bậc nhất và ứng dụng trong thực tế

Bảng biến thiên:

Đồ thị
Đồ thị của hàm số y=ax+b là đường thẳng có hệ số góc là a và có các tính chất
sau:
•Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b, b được gọi là tung độ gốc của đường
thẳng.
•Khi b=0, đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0,0)
Ví dụ

Đồ thị hàm y=2-x/2
Cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất y=ax+b
Trường hợp 1: Khi b=0
Khi b = 0 thì y =ax là đường thẳng di qua gốc tọa độ O(0;0) và điểm A (1;a)
đã biết
Xét trường hợp y= ax với a khác 0 và b khác 0
Ta đã biết đồ thị hàm số y = ax + b là một đường thẳng, do đó về nguyên tắc
ta chỉ cần xác định được hai điểm phân biệt nào đó của đồ thị rồi vẽ đường
thẳng qua hai điểm đó
•Cách thứ nhất:
-Xác định hai điểm bất kỳ của đồ thị , chẳng hạn:
-Cho x = 1 tính được y = a + b, ta có điểm A ( 1; a+b)

Nhóm EleA

5

K19 Tốn ĐHKHTN


Tiểu luận

Hàm bậc nhất và ứng dụng trong thực tế

-Cho x = -1 tính được y = -a + b, ta có điểm B (-1 ; -a + b)
•Cách thứ hai:
-Xác định giao điểm của đồ thị với hai trục tọa dộ:
-Cho x = 0 tính được y = b, ta được điểm C (-b/a;0)
-Cho y = 0 tính được x = -b/ a, ta có điểm D (-b/a; 0)
-Vẽ đường thẳng qua A, B hoặc C, D ta được đồ thị của hàm số y = ax + b
-Dạng đồ thị của hàm số y = ax + b ( a khác 0)

Trường hợp 2: Khi b khác 0
Ta cần xác định hai điểm phân biệt bất kì thuộc đồ thị.
•Bước 1: Cho x = 0 ⇒ y = b. Ta được điểm P (0; b) ̸= Oy.
Cho y = 0 ⇒ x = −b/a .
Ta được Q(−b/a; 0) ̸= 0x.
•Bước 2: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q, ta được đồ thị của hàm số
y=ax+b.
Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Nhận dạng hàm số bậc nhất
Phương pháp:

Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng y=ax+b(a ̸= 0)
Dạng 2: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến
Phương pháp: Ta có hàm số bậc nhất y=ax+b,(a ̸= 0)
- Đồng biến trên R nếu a>0
- Nghịch biến trên R nếu a<0
Các dạng bài tập
Dạng 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.
VD: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y=(2m+3)x+m+3 nghịch biến
trên R

Nhóm EleA

6

K19 Tốn ĐHKHTN


Tiểu luận

Hàm bậc nhất và ứng dụng trong thực tế

Hướng dẫn giải
Hàm số y=(2m+3)x+m+3 có dạng hàm số bậc nhất
Để hàm số nghịch biến trên R ⇔ 2m + 3 < 0⇔ m < −3/2
Dạng 2: Đồ thị hàm số bậc nhất.
Ví dụ:

Dạng 3: Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Ví dụ:

Dạng 4: Xác định hàm số bậc nhất.
VD: Biết đồ thị hàm số y=ax+b đi qua điểm M(1;4) và hệ số góc bằng -3. Tìm
Nhóm EleA

7

K19 Tốn ĐHKHTN


Tiểu luận

Hàm bậc nhất và ứng dụng trong thực tế

a,b.
Hướng dẫn giải
Vì y=ax+b có hệ số góc bằng -3 nên a=-3.
Mà y = ax + b đi qua M(1:4)nên y = −3x + b ⇔ 4 = −3.1 + b⇔ b = 7
Dạng 5: Bài tốn thực tế.
Một nơng dân định trồng đầu và cà trên diện tích 8 ha trong vụ đơng xn .
Nếu trồng đậu thì cần 20 cơng và thu 3 triệu đồng trên diện tích mỗi ha. Nếu
trồng đậu thì cần 30 cơng và thu 4 triệu đồng trên diện tích mỗi ha. Hỏi cần
trồng mỗi lội cây trên với diện tích bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất . Biết
rằng tổng số công không quá 180.
Hướng dẫn giải
Gọi diện tích trồng đậu là x, vậy diện tích trồng cà là 8-x. Số cơng phải bỏ ra
là: 20x+30(8-x)=240-10x.
Do tổng số công không quá 180 nên ta có: 240 − 10x ≤ 180. Suy ra x ≥ 6
Số tiền thu được là g(x) = 3x + 4(8 − x) = 32 − x; g(x) nghịch biến trên đoạn
[6,8]nên max g(x)=26 tại x=6 . Vậy cần trồng 6 ha đậu và 2 ha cà.
Bài tập:

1/ Tìm m để hàm số y = (−2m + 1)x + m − 3 đồng biến trên R.
2/ Đồ thị của hàm số y = (2/3)x + 1/3 là
3/ Tìm các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = (m2 − 3)x + 3m + 1
song song với đường thẳng y = x−5?
4/ Đồ thị hàm số y = x − 2m + 1 tạo với hệ trục tọa độ Oxy tam giác có diện
tích bằng 25/2. Khi đó m bằng?
5/ Một giá đỡ được gắn vào bức tường . Tam giác ABC vuông cân ở đỉnh C.
Người ta cheo vào điểm A một vật có trọng lượng 10N . Khi đó lực tác động vào
bức tường tại hai điểm B và C có cường độ lần lược là.

3
3.1

Ứng dụng thực tế của hàm bậc nhất
Phương trình bậc nhất

Phương trình tuyến tính
Nhóm EleA

8

K19 Tốn ĐHKHTN


Tiểu luận

Hàm bậc nhất và ứng dụng trong thực tế

Phương trình tuyến tính (hay cịn gọi là phương trình bậc một hay phương trình
bậc nhất) là một phương trình đại số có dạng:

f (x) = ax + b = 0
với: a là hệ số bậc một.
b là một hằng số.
Phương trình bậc một được gọi là phương trình tuyến tính vì đồ thị của phương
trình này (xem hình bên dưới) là đường thẳng.

Nghiệm số của phương trình trên là:
x = -b/a (a khác 0)
Trường hợp đặc biệt của phương trình tuyến tính
f (x) = ax + b = 0
Với a = 0, phương trình có dạng 0x = -b
+Nếu b = 0 thì phương trình vơ số nghiệm.
+Nếu b ̸= 0 thì phương trình vơ nghiệm.
Trên thực tế, khi a bằng 0, phương trình trên đã khơng cịn là phương trình bậc
nhất nữa; nó đã trở thành phương trình bậc 0. Khi a khác 0, phương trình ln
có một nghiệm duy nhất.
Phương trình tuyến tính có thể mở rộng ra trường hợp n biến :
f(x1 , x2 , .., xn ) = a1 x1 + a2 x2 +...+ an xn + b = 0
Các phương trình này có vơ số nghiệm và chỉ giải được khi có một giới hạn của
các nghiệm hoặc có số phương trình bằng số nghiệm. Khi đó ta gọi đó là các hệ
phương trình.
Các dạng của phương trình tuyến tính
Dạng chuẩn:
f(x1 , x2 , .., xn ) = a1 x1 + a2 x2 +...+ an xn + b = 0
Nhóm EleA

9

K19 Tốn ĐHKHTN

Tiểu luận

Hàm bậc nhất và ứng dụng trong thực tế

Ví dụ:
Dạng chuẩn của phương trình tuyến tính trong một biến được biểu diễn dưới
dạng ax + b = 0trong đó, a ̸= 0 và x là biến.
vd: 5x + 2 = 0.
Dạng chuẩn của một phương trình tuyến tính trong hai biến được biểu diễn dưới
dạng ax + by + c = 0, trong đó, a ̸= 0, b ̸= 0, x và y là các biến.
vd: x + 2y + 4 = 0.
Dạng hệ số góc
Đây là dạng phổ biến nhất của phương trình tuyến tính được biểu diễn dưới
dạng y = ax + b. Trong đó y và x là điểm trong mặt phẳng xy, a là hệ số góc của
đường thẳng và b là giao điểm (một giá trị khơng đổi).
Ví dụ: y = 3x + 7 hệ số góc a = 3 và b = 7
Dạng điểm - độ dốc:
Ở dạng phương trình tuyến tính này, một phương trình đường thẳng được hình
thành bằng cách xem xét các điểm trong mặt phẳng xy, sao cho: y–y1 = m(x –
x1 )
Trong đó (x1 , y1 ) là tọa độ của điểm mà đường thẳng đi qua và m là độ dốc của
đường thẳng.
ví dụ: y − 5 = 2(x − 3)
Ứng dụng phương trình tuyến tính vào bài toán thực tế:
Kiến thức toán học thường được áp dụng thơng qua các bài tốn đố, và các ứng
dụng của phương trình tuyến tính được quan sát trên quy mơ rộng để giải các
bài tốn dạng chữ như vậy. Ở đây, chúng ta sẽ thảo luận về các ứng dụng của
phương trình tuyến tính và cách sử dụng nó trong thế giới thực là như thế nào.
Trong cuộc sống thực, các ứng dụng của phương trình tuyến tính là rất lớn. Để

giải quyết các vấn đề trong cuộc sống thực bằng cách sử dụng đại số, chúng ta
chuyển đổi tình huống đã cho thành các câu lệnh tốn học theo cách minh họa
rõ ràng mối quan hệ giữa ẩn số (biến) và thông tin được cung cấp. Các bước
sau sẽ giúp chúng ta trình bày lại một tình huống thực tế thành 1 câu lệnh tốn
học:
• Xác định các ẩn số trong bài toán và gán các biến (đại lượng có giá trị có

thể thay đổi tùy theo ngữ cảnh toán học ) cho các đại lượng chưa biết này.
• Đọc kỹ vấn đề nhiều lần và trích dẫn dữ liệu, cụm từ và từ khóa. Sắp xếp

thơng tin thu được một cách tuần tự.

Nhóm EleA

10

K19 Tốn ĐHKHTN


Tiểu luận

Hàm bậc nhất và ứng dụng trong thực tế

• Lập một phương trình với sự trợ giúp của biểu thức đại số và dữ liệu được

cung cấp và giải nó bằng cách sử dụng các kỹ thuật giải phương trình.
Chúng ta hãy xem xét một ví dụ để phân tích sâu các ứng dụng của phương
trình tuyến tính.
Ví dụ:
Tâm có tuổi lớn gấp đơi tuổi Vân. 10 năm trước tuổi của Tâm gấp ba lần Vân.

Tìm tuổi hiện tại của họ.
Giải pháp:
Trong bài toán này, tuổi của Tâm và Vân là chưa biết. Do đó, trước tiên chúng
ta chọn các biến cho ẩn số.
Chúng ta giả định rằng tuổi hiện tại của Vân là ‘x’ tuổi.
Vì tuổi hiện tại của Tâm gấp 2 lần Vân, do đó tuổi hiện tại của Tâm là ‘2x’.
Nên 10 năm trước, tuổi của Vân sẽ là ‘x – 10’, và tuổi của Tâm sẽ là ‘2x – 10’.
Theo đề bài, 10 năm trước, tuổi của Tâm bằng 3 lần Vân, tức là 2x – 10 = 3 (x
– 10).
Chúng ta có phương trình tuyến tính với biến ‘x’. Bây giờ chúng ta có thể giải
phương trình tuyến tính này một cách dễ dàng và nhận được kết quả.
2x – 10 = 3 (x – 10)
⇒ 2x − 10 = 3x − 30
⇒ x = 20

Điều này ngụ ý rằng tuổi hiện tại của Vân là 20 tuổi, và tuổi của Tâm là ‘2x,’
tức là 40 tuổi. Nếu tuổi hiện tại của Vân là 20 thì 10 năm trước, tuổi của cơ ấy
sẽ là 10 , và tuổi của Tâm sẽ là 30 , điều này thỏa mãn câu hỏi của chúng ta.
Ví dụ: Cho bảng giá cước nhau sau:

Hỏi: Một hành khách thuê taxi đi quãng đường 40km phải trả số tiền là bao
nhiêu?
Gọi y (đồng) là số tiền khách hàng phải trả sau khi đi x (km).
Nếu quãng đường khách hàng đi khơng q 0,7km, ta có hàm số là: y = 11000.
Nhóm EleA

11

K19 Tốn ĐHKHTN

Tiểu luận

Hàm bậc nhất và ứng dụng trong thực tế

Nếu quãng đường khách hàng đi trên 0,7km đến 30km, ta có hàm số là:
y = 11 000 + (x – 0,7).15 800 = 15 800.x – 60
Nếu quãng đường khách hàng đi trên 30km, ta có hàm số là:
y = 11 000 + (30 – 0,7).15 800 + (x – 30).12 500 = 12 500.x + 98940 Thay x
= 40 vào cơng thức y = 12 500.x + 98940 (vì 40km > 30km), ta được:
y = 12 500.40 + 98940 = 598940
Vậy hành khách phải trả số tiền là 598940 đồng
Do đó, các ứng dụng của phương trình tuyến tính cho phép chúng ta giải quyết
các vấn đề trong thế giới thực là như vậy.
Một số bài toán thực tế:
Bài 1: Theo tài liệu dân số và phát triển của Tổng cục dân số và kế hoạch hóa
gia đình thì: Dựa trên số liệu về dân số, kinh tế, xã hội của 85 nước trên thế
giới, người ta xây dựng được hàm nêu lên mối quan hệ giữa tuổi thọ trung bình
của phụ nữ (y) và tỷ lệ biết chữ của họ (x) như sau: y = 47,17 + 0,307x. Trong
đó y là số năm (tuổi thọ), x là tỷ lệ phần trăm biết chữ của phụ nữ.
a) Theo báo cáo của Bộ Giáo dục và Đào tạo năm học 2015-2016, tỷ lệ biết chữ
đã đạt 96,83% trong nhóm phụ nữ Việt Nam tuổi từ 15 đến 60. Hỏi với tỷ lệ
biết chữ của phụ nữ Việt Nam như trên thì nhóm này có tuổi thọ bao nhiêu?
b) Nếu muốn tăng tuổi thọ của phụ nữ 85 nước trên lên 77 tuổi thì tỷ lệ biết
chữ của họ phải đạt bao nhiêu % ?
Bài 2: Để đổi từ nhiệt độ F (Fahrenheit) sang độ C (Celsius), ta dùng công thức
sau: C = 5/9 (F – 32).
a) C có phải là hàm số bậc nhất theo biến số F không? Giải thích.
b) Hãy tính theo nhiệt độ C khi biết nhiệt độ F là 300F.
c) Hãy viết biểu thức biểu diễn hàm số bậc nhất F theo biến số C. Tính nhiệt

độ F khi biết nhiệt độ C là 250C.
Bài 3:Hai người A và B cùng ở một phía và cách thành phố Hồ Chí Minh 50km.
Cả hai người cùng nhau đi trên một con đường về phía ngược hướng với thành
phố, người A đi với vận tốc là 30km/h và người B đi với vận tốc là 45km/h. Gọi
d (km) là khoảng cách từ thành phố Hồ Chí Minh đến hai người A, B sau khi
đi được t (giờ).
a) Lập hàm số của d theo t đối với mỗi người.
b) Hỏi nếu hai người xuất phát cùng một lúc thì vào thời điểm nào kể từ lúc
xuất phát , khoảng cách giữa hai người là bao nhiêu?

Nhóm EleA

12

K19 Tốn ĐHKHTN


Tiểu luận

Hàm bậc nhất và ứng dụng trong thực tế

Bài 4: Bạn Luân hiện có số tiền là 32 000 đồng, bạn định sử dụng số tiền này
để chơi game, mỗi giờ bạn chơi game tốn 5 000 đồng. Gọi h là số giờ chơi game
của bạn Luân và t là số tiền còn lại.
a) Lập hàm số của t theo h
b) Sau khi chơi 3 giờ thì số tiền bạn Luận còn lại là bao nhiêu?
c) Với số tiền ban đầu thì số giờ chơi tối đa của bạn Luân là bao nhiêu biết rằng
tiệm chơi game chỉ cho đóng tiền theo giờ (khơng được đóng tiền lẻ 10 phút hoặc
30 phút,...)
Bài 5 :Một cửa hàng sách cũ có một chính sách như sau: nếu khách hàng đăng

kí làm hội viên của cửa hàng sách thì mỗi năm phải đóng 50 000 đồng chi phí
và chỉ phải mướn sách với giá 5 000 đồng/cuốn sách, còn nếu khách hàng khơng
phải hội viên thì sẽ mướn sách với giá 10 000 đồng/cuốn sách. Gọi s (đồng) là
tổng số tiền mỗi khách hàng phải trả trong mỗi năm và t là số cuốn sách mà
khách hàng mướn.

a) Lập hàm số của s theo t đối với khách hàng là hội viên và với khách hàng
không phải là hội viên.
b) Trung là một hội viên của cửa hàng sách, năm ngối thì Trung đã trả cho
cửa hàng sách tổng cộng 90 000 đồng. Hỏi nếu Trung không phải là hội viên của
cửa hàng sách thì số tiền phải trả là bao nhiêu?
c) Một hội viên cần thuê tối thiểu bao nhiêu cuốn sách để có thể bù được phí
hội viên?
Nhóm EleA

13

K19 Tốn ĐHKHTN


Tiểu luận

3.2

Hàm bậc nhất và ứng dụng trong thực tế

Hồi quy tuyến tính

3.2.1. Hồi quy tuyến tính

Hồi quy tuyến tính là tìm quan hệ tuyến tính phụ thuộc của một biến được gọi
là biến phụ thuộc (ví dụ biến y) vào một hay nhiều biến khác được gọi là biến
độc lập (ví dụ x1 , x2 , x3 , ..) nhằm mục đích ước lượng hoặc dự đốn giá trị của
biến phụ thuộc y khi biết trước giá trị của các biến độc lập x1 , x2 , x3 ,...
Ví dụ:
Mối quan hệ tuyến tính phụ thuộc của tiền lương vào số năm đi học.
Mối quan hệ tuyến tính phụ thuộc của giá nhà vào diện tích nhà.
3.2.2. Mơ hình hồi quy tuyến tính đơn

a. Định nghĩa
Giả sử ta muốn khảo sát mối quan hệ giữa một biến phụ thuộc - biến y và một
biến độc lập - biến x. Mơ hình hồi quy tuyến tính đơn, tuyến tính theo tham số
có dạng:
y = β0 + β1 x + u

Trong đó:
• β0 là hằng số, β1 là hệ số độ dốc đều chưa biết và cần ước lượng.
• u là các yếu tố khác tác động lên y.
√
• Mơ hình là tuyến tính theo tham số, ví dụ mơ hình y = β0 + β1 x + u cũng

là mô hình tuyến tính.
Ý nghĩa các tham số:
β0 là giá trị của y khi x và u bằng 0. Và β1 là tác động nhân quả của việc thay
đổi 1 đơn vị trong x lên y khi u khơng đổi.
Ví dụ: Mơ hình hồi quy tuyến tính đơn của tiền lương theo số năm đi học.
Tiền lương = β0 + β1 .số năm đi học + u
Trong mơ hình này u là các yếu tố khác tác động lên tiền lương như số năm
kinh nghiệm, năng lực,....β0 là tiền lương khi số năm đi học bằng 0 và các yếu
tố khác cũng bằng 0. β1 là hệ số độ dốc đo sự thay đổi của tiền lương khi số

năm đi học tăng 1 năm và giữ nguyên các yếu tố khác khơng đổi.
b. Các giả thiết của mơ hình
Nhóm EleA

14

K19 Tốn ĐHKHTN


Tiểu luận

Hàm bậc nhất và ứng dụng trong thực tế

• Tuyến tính theo tham số: y = β0 + β1 x + u
• Mẫu ngẫu nhiên {(xi , yi ), i = 1, 2, 3, ...} với {xi , yi } độc lập cùng phân phối
• Trung bình có điều kiện bằng khơng E[u|x]=0
• Các xi phải có sự biến thiên trong mẫu dữ liệu xi ̸= c

c. Các dạng hàm
*Level-Level:
Biến phụ thuộc là y, biến độc lập x
Sự tác động của x lên y: ∆y = β1 ∆x
Nghĩa là khi x thay đổi 1 đơn vị thì y thay đổi β1 đơn vị.
*Log-Level:
Biến phụ thuộc dạng logy, biến độc lập x.
Sự tác động của x lên y: %∆y = (100β1 )∆x
Nghĩa là khi x thay đổi 1 đơn vị thì y thay đổi 100β1 %.
Thật vậy, dù biến phụ thuộc là logy nhưng ta vẫn có thể suy ra từ mơ hình
log-level sự ảnh hưởng của x lên y như sau:
Cho mơ hình: logy = β0 + β1 x + u

Có sự ảnh hưởng của x đối với logy:
′
∆logy
∆y ∆logy
∆y
∆y 1
=
.
=
.(logy)y =
. = β1
∆x
∆x ∆y
∆x
∆x y
∆y
⇒
= β1 .∆x
y
∆y
⇔ 100.
= 100β1 .∆x
y
⇔ %∆y = (100β1 )∆x

Với cách biến đổi tương tự như trên cũng được áp dụng cho 2 dạng hàm sau:
*Level-Log:
Biến phụ thuộc y, biến độc lập x.
Sự tác động của x lên y: ∆y = (β1 /100).%∆x
Tức là khi x thay đổi 1% thì y thay đổi β1 /100 đơn vị.

*Log-Log:
Biến phụ thuộc có dạng logy, biến độc lập dạng logx
Sự tác động của x lên y: %∆y = β1 .%∆x
Nghĩa là khi x thay đổi 1% thì y thay đổi β1 %
d. Các ước lượng OLS
Từ giả thiết E[u|x]=0, ta có được:

Nhóm EleA

15

K19 Tốn ĐHKHTN


Tiểu luận

Hàm bậc nhất và ứng dụng trong thực tế
E[u] = E[y − β0 − β1 x] = 0
E[xu] = E[x(y − β0 − β1 x)] = 0

Từ đây bằng phương pháp Moment ta có thể tìm được ước lượng b0 , b1 cho các
tham số β0 , β1 .
b0 = y¯ − b0 x¯
n
¯)
i=1 xi .(yi − y
b1 =
n
¯)
i=1 xi .(xi − x

(Phương pháp moment tham khảo thêm tại:
/>Ngoài ra, ta cũng có thể tìm các ước lượng b0 , b1 bằng phương pháp bình phương
bé nhất thơng thường OLS. có nghĩa là ta tìm b0 , b1 bằng cách làm cực tiểu tổng
bình phương các phần dư :
(Phương pháp bình phương bé nhất tham khảo tại: và
/>ToanUngDung/phng_php_bnh_phng_nh_nht_ols.html)
e. Các thuật ngữ
Giá trị dự đoán: yˆi = b0 + b1 xi
Đường hồi quy: yˆ = b0 + b1 x
Phần dư: uˆi = yi − yˆi
f. Đường hồi quy, giá trị phù hợp và phần dư
Đường hồi quy được hiểu đơn giản là đồ thị của mơ hình tìm được.
Quan sát một số đường hồi quy sau đây:

Nhóm EleA

16

K19 Tốn ĐHKHTN


Tiểu luận

Hàm bậc nhất và ứng dụng trong thực tế

Giá trị phù hợp là điểm thuộc hồi quy.
Phần dư là phần chênh lệch giữa giá trị phù hợp và giá trị thực tế (các chấm
trên đồ thị).

Nhóm EleA

17

K19 Tốn ĐHKHTN


Tiểu luận

Hàm bậc nhất và ứng dụng trong thực tế

Video trong liên kết sau cũng giải thích cụ thể về các giá trị phù hợp, phần dư.
/>
g. Độ phù hợp của mơ hình
Tổng bình phương tồn phần: SST = ni=1 (yi − y¯)2
Tổng bình phương được giải thích: SSE = ni=1 (ˆ
yi − y¯)2
Tổng bình phương phần dư:SSR = ni=1 uˆ2i
Tính chất:
SST = SSR + SSE
SSE SSR
Hay 1 =
+
SST
SST
Nhóm EleA

18

K19 Toán ĐHKHTN

Tiểu luận

Hàm bậc nhất và ứng dụng trong thực tế

Để xem xét độ phù hợp của mơ hình ta sử dụng R2
R2 =

SSE
SSR
=1−
SST
SST

• Với R2 là tỉ lệ biến thiên mẫu trong y được giải thích bởi x. Ta thường sử

dụng dưới dạng phần trăm tức 100.R2 nghĩa là phần tram sự biến thiên
mẫu trong y được giải thích bởi x.
• 0 ≤ R2 ≤ 1. Khi R2 = 1 nghĩa là tất cả yi đều thuộc đường thẳng hồi quy,
khi đó x giải thích hồn hảo cho y. Khi R2 = 0 có nghĩa là x khơng có tác

động gì lên y.
• R2 thấp là phổ biên vì trong mơ hình bên cạnh biến x cịn có nhiều biến

khác tác động lên y. Tuy nhiên, nếu ta chỉ quan tâm về dự đốn thì cần
chọn một mơ hình có R2 cao.
Ngồi ra, độ phù hợp của mơ hình cịn được thể hiện thông qua biểu diễn của
đường hồi quy và các điểm dữ liệu thực tế. Mơ hình có độ phù hợp cao thì các
điểm dữ liệu sẽ tập trung gần đường hồi quy.

Tính khơng chệch của các ước lượng OLS
Tính khơng chệch của các ước lượng OLS:
E[b0 ] = β0
E[b1 ] = β1

Phương sai sai số không đổi: V ar(ux) = σ 2
Phương sai mẫu của các ước lượng OLS:
V ar(b1 |x1 , ..., xn ) =
V ar(b0 |x1 , ..., xn ) =
Nhóm EleA

19

σ2
n

σ2
s2x
n
i=1

x2i
s2x
K19 Tốn ĐHKHTN


Tiểu luận

Hàm bậc nhất và ứng dụng trong thực tế

Với s2x = ni=1 (xi − x¯)2
Từ phương sai mẫu của ước lượng OLS, ta nhận xét nếu phương sai mẫu của x
càng lớn thì các ước lượng b0 , b1 càng chính xác. Do đó, ta nên chọn các giá trị
x có độ biến thiên cao nhất có thể để ước lượng các βi chính xác hơn.
3.2.3. Mơ hình hồi quy tuyến tính bội

a. Định nghĩa
Giả sử ta muốn khảo sát mối quan hệ giữa biến phụ thuộc y và các biến độc
lập x1 , x2 , x3 , . . . xk . Mơ hình hồi quy tuyến tính bội (tuyến tính theo tham số)
có dạng:
y = β0 + β1 x1 + ... + βk xk + u

Với β0 là hằng số, β1 , . . . , βk là các hệ số độ dốc, u biểu diễn cho các biến khác
tác động lên y nhưng không được quan sát trong mơ hình.
Ý nghĩa các tham số:
• β0 là giá trị của y khi tất cả các x và u bằng 0.
• βk là tác động nhân quả của việc thay đổi 1 đơn vị biến xk lên y khi giữ

ngun u và các biến cịn lại.
Ví dụ:
Mơ hình hồi quy tuyến tính bội giữa giá nhà và diện tích nhà, tuổi của nhà.
Giá nhà=β0 + β1 .diện tích+β2 .tuổi+u
Với u là các biến khác tác động lên giá nhà nhưng khơng thể hiện trong mơ hình
như số phịng ngủ, nội thất,. . .
b. Các giả thiết của mô hình hồi quy tuyến tính bội
• Tuyến tính theo tham số
• Mẫu ngẫu nhiên {(xi1 , . . . , xik , yi ), i = 1, 2, 3, ..., n} với {xi1 , . . . , xik , yi } độc

lập cùng phân phối

• Trung bình có điều kiện bằng không E[ux1 , . . . , xk ] = 0
• xj ̸= c và khơng có qua hệ tuyến tính chính xác giữa các xj trong mẫu.
• Phương sai sai số không đổi: V ar[u|x1 , ..., xk ] = E[u2 |x1 , ..., xk ] = σ 2

Nhóm EleA

20

K19 Tốn ĐHKHTN


Tiểu luận

Hàm bậc nhất và ứng dụng trong thực tế

c. Các ước lượng OLS
Tương tự như mơ hình hồi quy tuyến tính đơn, ở mơ hình hồi quy tuyến tính
bội cũng có 2 cách để tìm các ước lượng cho các tham số βk .
Cách một, ta có thể tìm các ước lượng b0 , . . . , bk bằng phương pháp Moment khi
cho các trung bình mẫu tương ứng bằng 0.
E[u] = E[y − β0 − β1 x1 − . . . − βk xk ] = 0
E[xj u] = E[xj (y − β0 − β1 x1 − . . . − βk xk )] = 0

Cách hai, ta sử dụng phương pháp OLS (phương pháp bình phương bé nhất
thơng thường) bằng cách là cực tiểu tổng bình phương các phần dư:
Q(β) =

n
i=1 (yi

− β0 − β1 xi1 − ... − βk xik )2

Với hai cách trên ta đều nhận được cùng các ước lượng OLS b0 , b1 , . . . , bk .
b0 = y¯ − b1 x¯1 − ... − bk x¯k
n
ˆij yi
i=1 r
bj =
với j = 1, 2, ..., k và rˆij là các phần dư OLS từ hồi quy xj theo
n
2
r
ˆ
i
i=1 j

các biến giải thích khác và một hằng số , rˆij có các tính chất thơng thường sau:
n
ˆij
i=1 r

=0
= 0 với j ̸= k

n
ˆij xik
i=1 r

d. Tính khơng chệch
Ta có thể viết lại bj dưới dạng:

bj = βj +

n
ˆij ui
i=1 r
n
ˆi 2j
i=1 r

Tính khơng chệch của các ước lượng OLS: E[bj ] = βj với j=0,1,..,k
e. Giá trị phù hợp và phần dư
Giá trị phù hợp: yˆi = b0 + b1 xi1 + ... + bk xik
Phần dư: uˆi = yi − yˆi
f. Độ phù hợp của mơ hình
Để đo tỉ lệ biến thiên mẫu trong y được giải thích bởi các biến độc lập ta sử
dụng R2 .
R2 =

SSE
SSR
=1−
SST
SST

R2 không bao giờ giảm khi ta thêm một biến mới vào mơ hình, do đó R2 cũng

chưa là một tiêu chuẩn tốt để xem xét việc có nên thêm một hay một vài biến
vào mơ hình ( vì nếu thêm 1 biến khơng liên quan vào mơ hình sẽ làm giảm độ
Nhóm EleA

21

K19 Tốn ĐHKHTN


Tiểu luận

Hàm bậc nhất và ứng dụng trong thực tế

chính xác của các ước lượng OLS.Vì vậy độ phù hợp của mơ hình cũng bị giảm
đi). Để biết được biến độc lập nào đó có nên thêm vào mơ hình hay khơng ta
cần xét tác động riêng phần của nó lên y có khác khơng hay khơng. Do đó trong
một số trường hợp thay vì dùng R2 thì ta sẽ sử dụng R2 -hiệu chỉnh.
R2 càng cao thì mơ hình sẽ càng tốt, càng phù hợp cho việc dự đoán.
3.2.4. Hàm bậc nhất và hồi quy tuyến tính

Như ta đã biết hàm số bậc nhất là hàm số có dạng y = f(x) = ax + b với b là
hằng số, a ̸= 0, a còn gọi là hệ số độ dốc, hàm bậc nhất có đồ thị là 1 đường
thẳng, đây là tính tuyến tính.
Từ hai định nghĩa về hồi quy tuyến tình đơn và hồi quy tuyến tính bội ở trên,
ta có thể thấy đường hồi quy yˆ = b0 + b1 x và dạng của mơ hình hồi quy tuyến
tính đơn ( nếu cho u=0) y = β0 + β1 x là một hàm bậc nhất có dạng y=ax +b
và có đồ thị dạng đường thẳng, cùng với đó mơ hình hồi quy tuyến tính bội có
dạng y = β0 + β1 x1 + · · · + βk xk ( khi u=0 tức các yếu tố khác ngồi x1 , . . . , xk
khơng tác động lên y), đây là hàm bậc nhất đa biến.
Do đó ta có thể nói một cách đơn giản mơ hình hồi quy tuyến tính, mơ hình hóa
sử dụng là dạng bậc nhất y = β0 + β1 x1 + · · · + βk xk . Và bài toán đặt ra là cần
tìm các hệ số βi , i = 1,¯k . Chính vì vậy ta thấy rằng hồi quy tuyến tính chính là
một trong những ứng dụng của hàm số bậc nhất được sử dụng khá nhiều trong
thực tế.

3.2.5. Lập mơ hình hồi quy tuyến tính và xác định độ phù hợp mơ hình

Để lập một mơ hình hồi quy tuyến tính đơn và sử dụng nó để dự đốn cho một
vấn đề nào đó, việc đầu tiên cần làm đó là ước lượng các hệ số hồi quy b0 , b 1.
Ta có thể ước lượng chúng theo 2 cách sau:
Cách 1: Sử dụng công thức
b0 = y¯ − b1 x¯
n
¯)
i=1 xi (yi − y
b1 =
n
¯)
i=1 xi (xi − x

Cách 2: Tính ma trận hệ số hồi quy theo công thức sau:
B = (AT .A)−1 .(AT .Y )=

b0
b1

Với A là ma trận các giá trị của x
Nhóm EleA

22

K19 Toán ĐHKHTN


Tiểu luận



Hàm bậc nhất và ứng dụng trong thực tế


x11

..  với x , i=1,2,...,n là các giá trị của biến x .
A=  ...
1i
1
. 
1 x1n
Y làma 
trận các giá trị của Y
y1
 .. 
Y= .  với yi , i=1,2,...,n là các giá trị của biến y.
1

yn
Đối với mơ hình hồi quy tuyến tính bội ta cũng có thể lập mơ hình theo cách
tìm ma trận hệ số hồi quy như trên hoặc sử dụng công thức như sau để xác định
các hệ số hồi quy:
b0 = y¯ − b1 x¯1 − ... − bk x¯k
n
ˆij yi
i=1 r
bj =

n
ˆi 2j
i=1 r

Tuy nhiên, các cơng thức cho mơ hình hồi quy tuyến tính bội khá phức tạp để
tính tốn nếu mơ hình có nhiều biến, do đó ta sẽ ưu tiên lập mơ hình bằng cách
sử dụng cơng thức tìm ma trận hệ số hồi quy.
Sau khi có được mơ hình ta cần xác định R2 để suy ra độ phù hợp của mơ hình,
từ đó xem xét việc sử dụng mơ hình đã tìm được cho bài tốn có hợp lí hay
khơng.
Ta xác định R2 theo cơng thức đã nếu ra ở các phần trước:
R2 =

SSE
SSR
=1−
SST
SST

Ví dụ 1: : Sử dụng cơng thức ở cách 1 để tìm mơ hình hồi quy tuyến tính đơn
cho bộ dữ liệu sau:
x 0 1 2 3 4
y 6 2 3 1 0
Giả sử ta tìm mơ hình dạng Y = β0 + β1 X
1
1 5
Ta có: x¯ =
i=1 xi = .(0 + 1 + 2 + 3 + 4) = 2
1
y¯ =

5

5

5
i=1 yi

5
1
= (6 + 2 + 3 + 1 + 0) = 2.4
5

x

0
1
2
3
4
xi − x¯ -2
-1
0
1
2
y
6
2
3
1
0

yi − y¯ 3.6 -0.4 0.6 -1.4 -2.4
Nhóm EleA

23

K19 Tốn ĐHKHTN