Điều khiển phản hồi theo sự kiện cho hệ điều khiển tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

Nguyễn Hữu Nam

ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI THEO SỰ KIỆN
CHO HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HỆ CHÍNH QUY
Ngành: Tốn học
Chương trình đào tạo: Chuẩn

Hà Nội - 2022


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

Nguyễn Hữu Nam

ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI THEO SỰ KIỆN
CHO HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HỆ CHÍNH QUY
Ngành: Tốn học
Chương trình đào tạo: Chuẩn

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

TS. Lê Huy Hoàng

Hà Nội - 2022


LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lịng
biết ơn sâu sắc nhất tới TS. Lê Huy Hồng vì sự giúp đỡ, chỉ bảo tận
tình, cùng những lời động viên của thầy khơng chỉ về đề tài nghiên cứu mà
cịn về cả những điều ý nghĩa trong cuộc sống.
Em cũng xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ và tận tâm của các q thầy
giáo, cơ giáo trong khoa Tốn - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự
nhiên đã nhiệt tình truyền thụ kiến thức và tạo điều kiện giúp đỡ em trong
suốt quá trình học tập.
Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã ln ủng hộ,
khuyến khích và đồng hành cùng em cả một chặng đường dài.
Hà Nội, ngày 20 tháng 05 năm 2022
Sinh viên thực hiện

Nguyễn Hữu Nam


Mục lục
LỜI CẢM ƠN
BẢNG KÍ HIỆU
1 Kiến thức chuẩn bị

1

1.1

Một số kết quả trong Đại số tuyến tính . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Lý thuyết phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1

Bài toán giá trị ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2

Lý thuyết ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.3

Hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.4

Bổ đề so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Hệ điều khiển tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.1

Điều khiển và điều khiển phản hồi . . . . . . . . . . .

13

1.3.2

Bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI) . . . . . . .

15

1.3

2 Điều khiển phản hồi theo sự kiện cho hệ điều khiển tuyến
tính

18

2.1

Điều khiển phản hồi theo sự kiện . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2

Các kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3 Các ví dụ mơ phỏng

25

3.1

Ví dụ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.2

Ví dụ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28


MỤC LỤC

Tài liệu tham khảo

32


BẢNG KÍ HIỆU
∥x∥
∥A∥
Rm×n
P >0
P ≥0
P <0
P ≤0
R+
C
z
A⊤
A−1
Re(z)

Chuẩn Euclid của véc tơ x.
Chuẩn của ma trận A tương thích với chuẩn véc tơ.
Tập các ma trận thực cỡ m × n.
P là ma trận đối xứng, xác định dương.
P là ma trận đối xứng, nửa xác định dương.
P là ma trận đối xứng, xác định âm.
P là ma trận đối xứng, nửa xác định âm.
Tập các số thực dương.
Tập số phức.
Liên hợp phức của z.

Ma trận chuyển vị của A.
Ma trận nghịch đảo của A.
Phần thực của số phức z.


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Một số kết quả trong Đại số tuyến tính

Bổ đề 1.1. Cho A ∈ Rn×n , P ∈ Rn×n và A đối xứng. Khi đó:
(i) Nếu A > 0 thì P ⊤ AP > 0.
(ii) Nếu P khả nghịch và P ⊤ AP > 0 thì A > 0.
Chứng minh. (i) Giả sử A > 0.
Xét
x⊤ P ⊤ AP x = (P x)⊤ A(P x) (x ∈ Rn )
= y ⊤ Ay

(y = P x ∈ Rn ).

Vì A > 0 nên y ⊤ Ay > 0, ∀y ∈ Rn , y ̸= 0.
Do đó x⊤ P ⊤ AP x > 0, ∀x ∈ Rn , x ̸= 0.
⇒ P ⊤ AP > 0.

(ii) Giả sử P khả nghịch với nghịch đảo là P −1 và P ⊤ AP > 0.
Theo (i) ta có P ⊤ AP > 0 thì (P −1 )⊤ P ⊤ AP P −1 > 0 hay A > 0.
Bổ đề 1.2. Cho P ∈ Rn×n là ma trận đối xứng. Khi đó P > 0 khi và chỉ
khi giá trị riêng của P đều dương.
Chứng minh. "⇒" Giả sử P > 0. Đầu tiên ta sẽ chứng minh mọi giá trị riêng

của P đều là số thực.
1


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Giả sử λ là một giá trị riêng của P , ta sẽ chứng minh λ = λ.
Thật vậy, do λ là một giá trị riêng của P nên tồn tại x ∈ Cn , x ̸= 0 sao cho
P x = λx.

Do đó
(1.1)

P x = λx.

Mặt khác
P x = λx ⇒ x⊤ P = x⊤ λ.

Khi đó
x⊤ P x = x⊤ λx.

(1.2)

Kết hợp (1.1) và (1.2) ta có
x⊤ λx = λx⊤ x

hay λx⊤ x = λx⊤ x.
n

|xi |2 > 0 nên λ = λ.

Vì x⊤ x =
i=1

Tiếp theo ta sẽ chứng minh λ > 0 bằng phương pháp phản chứng.
Thật vậy, giả sử λ ≤ 0 khi đó với x ∈ Rn là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng
λ thì P x = λx
⇒ x⊤ P x = x⊤ λx = λx⊤ x.

Điều này vơ lý vì

⊤

x P x > 0
λx⊤ x




≤0

(do P > 0),
n

(do λ ≤ 0 và

x⊤ x

(xi )2 > 0).

=

i=1

Do đó điều giả sử là sai. Vậy λ > 0.
"⇐" Giả sử các giá trị riêng của P đều dương.
Do P đối xứng nên tồn tại một ma trận trực giao C ∈ Rn×n ([4]) sao cho
D = C ⊤ P C,

2


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
với D = diag(λ1 , . . . , λk ), λi (i = 1, . . . , k) là các giá trị riêng của P .
Hiển nhiên D > 0 nên theo Bổ đề 1.1 ta có P > 0.
Bổ đề 1.3. Cho P ∈ Rn×n , P > 0. Khi đó (I − P −1 )2 ≥ 0.
Chứng minh. Giả sử P có các giá trị riêng là λ1 , . . . , λk .
1
1
Khi đó P −1 có các giá trị riêng là , . . . , .
λ1
λk
1
1
> 0.
Vì P > 0 nên λ1 , . . . , λk > 0. Do đó , . . . ,
λ1
λk
⇒ P −1 > 0.
Tương tự, nếu P −1 > 0 thì P > 0.
Do đó P > 0 ⇔ P −1 > 0.
Vậy định lý có thể phát biểu lại tương đương là "Nếu P > 0 thì (I −P )2 ≥ 0".

Do P > 0 nên tồn tại một ma trận trực giao C ∈ Rn×n ([4]) sao cho
D = C ⊤ P C,

với D = diag(λ1 , . . . , λk ), λi (i = 1, . . . , k) là các giá trị riêng của P .
Do C là ma trận trực giao nên C ⊤ = C −1 .
Xét
(I − P )2 = [I − (C ⊤ )−1 DC −1 ]2
= (I − CDC ⊤ )2
= (CC ⊤ − CDC ⊤ )2
= [C(I − D)C ⊤ ]2
= C(I − D)C ⊤ C(I − D)C ⊤
= C(I − D)2 C ⊤

(1 − λ1 )2
...
=C


 C ⊤.
(1 − λk )2

A

Hiển nhiên A ≥ 0 nên theo Bổ đề 1.1 ta có CAC ⊤ ≥ 0.
Do đó (I − P )2 ≥ 0.

3


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Bổ đề 1.4. ([17]) (Bổ đề Schur) Giả sử X là ma trận thực, đối xứng cho
bởi
A B
B⊤ C

X=

.

trong đó A ∈ Rp×p , B ∈ Rp×q , C ∈ Rq×q là các ma trận đối xứng.
Khi đó:
(i) Nếu A khả nghịch thì X xác định dương khi và chỉ khi A và A đều xác
định dương (A = C − B ⊤ A−1 B là phần bù Schur của A).
(ii) Nếu A là xác định dương thì X nửa xác định dương khi và chỉ khi A
nửa xác định dương.
(iii) Nếu C khả nghịch thì X xác định dương khi và chỉ khi C và C đều xác
định dương (C = A − BC −1 B ⊤ là phần bù Schur của C).
(iv) Nếu C là xác định dương thì X nửa xác định dương khi và chỉ khi C
nửa xác định dương.
Chứng minh. Giả sử C khả nghịch.
Ta có phân tích của X là
X=
=

A B
B⊤ C
I BC −1
0
I

A − BC −1 B ⊤ 0
0
C

I
0
C −1 B I

Nhận xét rằng
I BC −1
0
I

⊤

I

0
I

=

C −1 B ⊤

=

I −BC −1
0
I

và
I BC −1
0
I

−1

4

,

.


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
nên theo Bổ đề 1.1, ta thu được:
A − BC −1 B ⊤ 0
X xác định dương ⇐⇒
0
C

xác định dương.
.

⇐⇒ C và C = A − BC −1 B ⊤ xác định dương.
Vậy bổ đề được chứng minh cho trường hợp (iii). Các trường hợp cịn lại

hồn tồn tương tự.

1.2

1.2.1

Lý thuyết phương trình vi phân
Bài toán giá trị ban đầu

Định nghĩa 1.5. [14] Xét phương trình vi phân:
x(t)
˙
= f (t, x(t)) với t ∈ [t0 , t1 ],
f (t, x) = (f1 (t, x), f2 (t, x), ..., fn (t, x))⊤ ∈ Rn ,
x(t) = (x1 (t), x2 (t), ..., xn (t))⊤ ∈ Rn .

Hàm số x(t) : [t0 , t1 ] → R được gọi là nghiệm của phương trình vi phân
nếu x(t) khả vi trên [x0 , x1 ], đồ thị của x(t) là tập con của D, (với D là tập
các giá trị của f (t, x(t))) và x(t) thỏa mãn x(t)
˙
= f (t, x(t)) với mọi t ∈ [t0 , t1 ].
Định lý 1.6. ([14]) (Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm) Xét bài toán giá
trị ban đầu
x(t)
˙
= f (t, x(t)) với t ∈ [t0 , t1 ],
x(t0 ) = x0 ∈ Rn ,
f (t, x) = (f1 (t, x), f2 (t, x), ..., fn (t, x))⊤ ∈ Rn ,

(1.3)

x(t) = (x1 (t), x2 (t), ..., xn (t))⊤ ∈ Rn .

Giả sử f (t, x(t)) liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschit [1] theo x với hằng

số Lipschitx L > 0, có nghĩa là
∥f (t, x) − f (t, y)∥ ≤ L∥x − y∥, ∀x, y ∈ Rn .

Khi đó bài tốn tồn tại và duy nhất nghiệm thoả mãn.

5


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

1.2.2

Lý thuyết ổn định

Bài toán giá trị ban đầu (1.3) luôn tồn tại và duy nhất nghiệm x(t) phụ
thuộc vào điều kiện đầu x(t0 ) = x0 . Kí hiệu nghiệm này là x(t, t0 , x0 ).
Định nghĩa 1.7. ([2]) (Điểm cân bằng) x∗ ∈ Rn được gọi là điểm cân bằng
của (1.3) nếu f (t, x∗ ) = 0, ∀ t ≥ t0 .
..

.

Ví dụ 1.8. Xét chuyển động của con lắc đơn: M R2 θ + bθ + M gR sin θ = 0
(M là khối lượng con lắc, R là chiều dài cịn lắc, b là hệ số ma sát).

Hình 1.1: Con lắc đơn.

Đặt x1 = θ, x2 = θ˙ ta có
x˙ 1 = x2 ,
b

g
x2 − sin x1 .
2
MR
R
b
g
Cho x2 = 0 và −
x2 − sin x1 = 0 ta tìm được các điểm cân bằng
2
MR
R
là (kπ; 0), k ∈ Z.
x˙ 2 = −

Vậy chuyển động của con lắc đơn có vơ số điểm cân bằng.
Định nghĩa 1.9. ([2]) (Ổn định theo Lyapunov) Điểm cân bằng x∗ = 0 của
(1.3) được gọi là ổn định theo Lyapunov nếu với R > 0 bất kỳ, luôn tồn tại
r = r(R, t0 ) sao cho
∥x(t0 )∥ < r ⇒ ∥x(t)∥ = ∥x(t, t0 , x0 )∥ < R, ∀t ≥ t0 .

6


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Ví dụ 1.10. Xét phương trình vi phân x(t)
˙
= 0 với điểm cân bằng x∗ = 0.
Phương trình vi phân trên có nghiệm x(t) = x0 .
Với R > 0 bất kỳ, tồn tại r = R sao cho

∥x(0)∥ = ∥x0 ∥ < r ⇒ ∥x(t)∥ = ∥x0 ∥ < R, ∀t > 0.

Vậy điểm cân bằng x∗ = 0 là ổn định.
Định nghĩa 1.11. ([2]) (Ổn định tiệm cận theo Lyapunov) Điểm cân bằng
x∗ = 0 của (1.3) được gọi là ổn định tiệm cận theo Lyapunov nếu nó ổn định

và r được chọn (r = r(t0 )) sao cho
∥x(t0 )∥ < r thì lim x(t, t0 , x0 ) = 0.
x→∞

Ví dụ 1.12. Xét phương trình vi phân x(t)
˙
=−

1
x(t) với điểm cân bằng
1+t

x∗ = 0 (nghiệm tầm thường).
x0
.
t+1
Với R > 0 bất kỳ, tồn tại r = R > 0 sao cho

Hệ trên có nghiệm x(t) =

∥x(0)∥ = ∥x0 ∥ < r ⇒ ∥x(t)∥ = ∥

x0
∥ ≤ ∥x0 ∥ < R = r, ∀t > 0.

1+t

Vậy điểm cân bằng x∗ = 0 là ổn định tiệm cận.
Ví dụ 1.13. Xét phương trình vi phân x(t)
˙
= −x(t) với điểm cân bằng
x∗ = 0.

Phương trình vi phân trên có nghiệm x(t) = x0 e−t , x(0) = x0 ̸= 0.
Với R > 0 bất kỳ, tồn tại r = R > 0 sao cho
∥x(0)∥ = ∥x0 ∥ < r ⇒ ∥x(t)∥ = ∥x0 e−t ∥ ≤ ∥x0 ∥ < R = r, ∀t ≥ 0.

Như vậy điểm cân bằng x∗ = 0 là ổn định tiệm cận.
Ta có lim x0 e−t = x0 ̸= 0 nên điểm cân bằng x∗ = 0 là ổn định nhưng
t→+∞

khơng ổn định tiệm cận.
Hình 1.2, Hình 1.3 và Hình 1.4 dưới đây thể hiện ý nghĩa hình học về
tính ổn định tiệm cận, ổn định và không ổn định, tương ứng.

7


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Hình 1.2: Hệ ổn định tiệm cận.

Hình 1.3: Hệ ổn định.

8

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Hình 1.4: Hệ khơng ổn định.

Ngoài cách dùng định nghĩa để chứng minh cho sự ổn định của một
điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân, nhà Toán học người Nga A.M
Lyapunov đã đưa ra một phương pháp cho điều kiện đủ của sự ổn định - đó
là phương pháp Lyapunov thứ hai.

1.2.3

Hàm Lyapunov

Định lý 1.14. ([2]) Cho phương trình vi phân x(t)
˙
= f (x(t)) có điểm cân
bằng x∗ = 0.
i) Nếu tồn tại hàm V (x) : Rn ⊃ D → R là xác định dương trên D và V˙ (x)
nửa xác định âm trên D thì điểm cân bằng x∗ = 0 là ổn định.
ii) Nếu tồn tại hàm V (x) : Rn ⊃ D → R là xác định dương trên D và khả
vi liên tục trên D và V˙ (x) xác định âm trên D thì điểm cân bằng x∗ = 0
là ổn định tiệm cận.
Chứng minh. i) Với R > 0 bất kỳ, ta chọn R0 ∈ (0; R] sao cho
B R0 = {x ∈ Rn , ∥x∥ ≤ R0 } ⊂ D.

9

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Đặt α = min V (x).
∥x∥=R0

Lấy β ∈ (0; α) và đặt Ωβ = {x ∈ BR |V (x) ≤ β}. Ta có Ωβ thuộc phần trong
của BRo . Thật vậy, nếu tồn tại x∗ thuộc vào giao của Ωβ và biên của B R0
thì V (x∗ ) ≥ α > β (Vơ lý).
Ta có V˙ (x(t)) ≤ 0 ⇒ V (x(t)) ≤ V (x(0)) ≤ β với t ≥ 0.
Suy ra tập Ωβ có tính chất: Tất cả các quỹ đạo xuất phát trong Ωβ phải
nằm trong Ωβ .
Ta có V (x) liên tục và V (0) = 0 nên tồn tại r sao cho ∥x∥ < r ⇒ V (x) < β .
Vì Br ⊂ Ωβ ⊂ BR nên x(0) ∈ Ωβ ⇒ x(t) ∈ Ωβ ⇒ x(t) ∈ B R0 .
Như vậy ∥x(0)∥ < r ⇒ ∥x(t)∥ < R0 ≤ R, t ≥ 0. Điều này chứng tỏ điểm cân
bằng x∗ = 0 là ổn định.
ii) Giả sử điểm cân bằng x∗ = 0 là ổn định nhưng không ổn định tiệm cận.
Từ giả thuyết ta có V (x) là hàm xác định dương, liên tục và là hàm giảm
nên lim V (x) = c > 0.
t→+∞

Đặt Ωτ = {x ∈ BR , V (x) ≤ c}.
Do V liên tục và V (0) = 0 ta tìm được 0 < r sao cho Br ⊂ Ωτ .
Vì lim V (x) = c > 0 nên quỹ đạo x(t) nằm ngồi hình cầu Br .
t→+∞

Ta có −β < 0 sao cho

max

V˙ (x) = βt.

r≤∥x∥≤Ro
τ

V˙ (x(t))dt ≤ V (x(0)) − βT .

Ta có: V (x(T )) = V (x(0)) +
0

V (x(0))
thì V (x(T )) < 0 (mâu thuẫn).
Nếu ta chọn T >
β
Vậy điểm cân bằng x∗ = 0 là ổn định tiệm cận.

Hàm V (x) trong Định lý 1.14 được gọi là hàm Lyapunov.
Định nghĩa 1.15. ([3]) Hàm V (x) : Rn ⊃ D → R được gọi là hàm Lyapunov
nếu nó thỏa mãn
(i) V (0) = 0 và V (x) > 0, ∀x ∈ D\{0}.
(ii) V˙ (x) ≤ 0, ∀x ∈ D.

10


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Nhận xét 1.16. Định lý 1.14 chỉ cho ta điều kiện đủ để hệ ổn định. Nếu
khơng tìm được hàm Lyapunov thì khơng thể khẳng định là hệ khơng ổn định.
Ví dụ 1.17. Tiếp tục xét chuyển động của con lắc đơn trong Ví dụ 1.8
..

.

M R2 θ + bθ + M gR sin θ = 0.

Chọn hàm Lyapunov là V (x) = 2sin2

1
x1
2

+

R 2
x .
2g 2

Ta có
V˙ (x) = 2x˙ 1 sin
=−

1
x1 cos
2

1
x1
2

+

R

x2 x˙ 2
g

b
x22 .
M gR

V (x) > 0, V˙ (x) < 0, nên hệ ổn định tiệm cận.

1.2.4

Bổ đề so sánh

Bổ đề 1.18. ([10]) Xét phương trình vi phân: u˙ = f (t, u), u(t0 ) = u0 trong
đó f (t, u) liên tục theo t và Lipschitz địa phương theo u, với mọi t ≥ 0 và
với mọi u ∈ J ⊂ R. Đặt [t0 , T ) (T có thể là vô cùng) là khoảng cực đại tồn
tại của nghiệm u(t), và giả sử u(t) ∈ J với ∀t ∈ [t0 , T ). Đặt v(t) là hàm
liên tục có đạo hàm v(t)
˙
thỏa mãn v(t)
˙
≤ f (t, v(t), v(t0 ) ≤ u0 với v(t) ∈ J ,
∀t ∈ [t0 , T ). Khi đó v(t) ≤ u(t), ∀t ∈ [t0 , T ).

Chứng minh. Đạo hàm phải D+ v(t) định nghĩa bởi
D+ v(t) = lim sup
h→0+

v(t + h) − v(t)
,

h

trong đó lim supn→∞ của dãy số thực xn là số thực y thỏa mãn:
(i) ∀ε > 0, ∃N sao cho ∀n > N thì xn < y + ε.
(ii) Cho ε > 0 và m > 0, khi đó ∃n : n > m thỏa mãn xn > y − ε.
Một tính chất của lim sup là nếu zn ≤ xn với mỗi n = 1, 2... thì
|v(t + h) − v(t)|
lim supn→∞ zn ≤ lim supn→∞ xn . Từ đó, ta thấy nếu
≤ g(t, h),
h

11


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
∀h ∈ (0, b] và lim+ g(t, h) = g0 thì D+ v(t) ≤ g0 (t).
h→0

Xét phương trình vi phân:
z˙ = f (t, z) + λ, z(t0 ) = u0 ,

(1.4)

trong đó λ là hằng số dương.
∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho nếu λ < δ thì (1.4) có nghiệm duy nhất z(t, λ) xác

định trên [t0 , t1 ] và
|z(t, λ) − u(t)| < ε, t ∈ [t0 , t1 ].

(1.5)

Kết quả 1: v(t) ≤ z(t, λ), ∀t ∈ [t0 , t1 ].
Thật vậy, nếu kết quả này khơng đúng thì sẽ tồn tại a, b ∈ (t0 , t1 ] sao cho
v(a) = z(a, λ) và v(t) > z(t, λ) với a < t ≤ b. Khi đó
v(t) − v(a) > z(t, λ) − z(a, λ), ∀t ∈ (a, b]

hay
D+ v(t) ≥ z(a,
˙ λ) = f (a, z(a, λ)) + λ > f (a, v(a)).

Điều này mâu thuẫn với D+ v(t) ≤ f (t, v(t).
Kết quả 2: v(t) ≤ u(t) ∀t ∈ [t0 , t1 ].
Tương tự, ta giả sử phản chứng rằng ∃a ∈ (t0 , t1 ] sao cho v(a) > u(a). Đặt
v(a) − u(a)
ε=
và kết hợp với (1.5), ta có
2
v(a) − z(a, λ) = v(a) − u(a) + u(a) − z(a, λ) ≥ ε
⇐⇒ v(a) ≥ z(a, λ) + ε.

Điều này mâu thuẫn với kết quả 1.
Do đó, v(t) ≤ u(t) ∀t ∈ [t0 , t1 ] . Vì điều này đúng với mọi tập compact nên
nó đúng với mọi t ≥ t0 . Thật vậy, nếu ngược lại, giả sử t = T < ∞ là lúc
bất đẳng thức bị vi phạm. Khi đó, ta có v(t) ≤ u(t) với mọi t ∈ [t0 , T ) và
v(T ) = u(T ).

12


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Kết quả là ta có thể mở rộng bất đẳng thức cho đoạn [T, T + ∆] với ∆ > 0
nào đó, điều này mâu thuẫn với việc t = T là thời điểm đầu tiên bất đẳng
thức bị vi phạm.

1.3
1.3.1

Hệ điều khiển tuyến tính
Điều khiển và điều khiển phản hồi

Xét hệ điều khiển tuyến tính
x(t)
˙
= Ax(t) + Bu(t),

(1.6)

n

x(0) = x0 ∈ R ,

trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là véc tơ điều khiển đầu
vào, A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m .
Bằng phương pháp biến thiên hằng số, ta có nghiệm của hệ (1.6) là
t
At

eA(t−τ ) Bu(τ )dτ.

x(t, x0 ) = e x0 +

0

Định nghĩa 1.19. ([5]) Hệ (1.6) được gọi là điều khiển được nếu tồn tại ít
nhất một tín hiệu điều khiển đưa được hệ từ một điểm trạng thái ban đầu
x0 (tuỳ ý) về được gốc toạ độ 0 trong khoảng thời gian hữu hạn.

Định lý 1.20. ([5])(Tiêu chuẩn Kalman) Điều kiện cần và đủ để hệ (1.6)
điều khiển được là
rank

B AB . . .

An−1 B

= n.

Chứng minh. Phần chứng minh cho định lý này có thể dễ dàng tìm thấy
trong nhiều tài liệu, trong đó tài liệu tham khảo [5] đã đưa ra chứng minh
chi tiết bằng cách sử dụng định lý Cayley-Hamilton [4].
Vấn đề phân tích tính ổn định và điều khiển cho hệ thống động lực được
xem xét rộng rãi trong các tài liệu vì chúng có nhiều ứng dụng trong thực
tế (xem các tài liệu tham khảo ([6, 8]). Hệ đóng, chẳng hạn như hệ thống

13


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
điện, hệ thống sản xuất và quy trình hóa học thường được thực hiện trên
nền tảng kỹ thuật số. Vì bộ điều khiển tương tác với hệ thống thông qua
một kênh kỹ thuật số dùng chung, thông tin về hệ thống đầu tiên được lấy

mẫu và sau đó được truyền đến bộ điều khiển. Một kỹ thuật điều khiển kỹ
thuật số truyền thống là lấy mẫu được kích hoạt định kỳ, cho phép ta thiết
kế và phân tích hiệu suất của bộ điều khiển bằng cách sử dụng lý thuyết lấy
mẫu dữ liệu của hệ thống ([6, 8]).
Trong trường hợp u ≡ 0, hệ (1.6) có điểm cân bằng x∗ = 0. Nếu hệ khơng
ổn định và điều khiển được, ta sẽ tác động vào hệ véc tơ điều khiển u(t) để
làm cho hệ ổn định.
Nếu có u = f (x) thì (1.6) được gọi là hệ điều khiển phản hồi. Đặc biệt,
trường hợp u = Kx thì hệ (1.6) được gọi là hệ điều khiển phản hồi theo
trạng thái tĩnh, trong đó K ∈ Rm×n được thiết kế sao cho hệ đóng sau ổn
định:
x(t)
˙
= Ax(t) + Bu(t)
= Ax(t) + BKx(t)

(1.7)
= (A + BK)x(t),
x(0) = x0 ∈ Rn .

Việc thiết kế K sao cho hệ đóng (1.7) ổn định sẽ được thảo luận chi tiết
trong mục 1.3.2.

14


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Hình 1.5: Hệ đóng với điều khiển phản hồi u(t).

1.3.2

Bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI)

Định nghĩa 1.21. ([7]) LMI là bất đẳng thức ma trận tuyến tính có dạng:
m

F (x) := F0 +

xi Fi > 0,

(1.8)

i=1

trong đó x = (x1 , x2 , ...xm ) ∈ Rm là biến và Fi ∈ Rn×n (i = 1, ..., m) là các ma
trận đối xứng cho trước.
Lưu ý. Nếu F (x) > 0 (xác định dương) thì −F (x) < 0 (xác định âm).
Sau đây ta sẽ chỉ ra mối liên hệ giữa LMI và sự ổn định của phuơng trình
vi phân và hệ điều khiển.
Xét phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng
x(t)
˙
= Ax(t), x ∈ Rn , A ∈ Rn×n ,
x(0) = x0 ∈ Rn .

Ta chọn hàm Lyapunov là
V (t) = x⊤ P x, P > 0.

Khi đó, đạo hàm của V (x) là

V˙ (x) = (x)
˙ ⊤ P x + x⊤ P x˙
= (Ax)⊤ P x + x⊤ P Ax
= x⊤ (A⊤ P + P A)x.

15


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Ta có P > 0 nên V (t) = xT P x > 0 với mọi x ∈ Rn \{0}, V (0) = 0.
Do đó hệ ổn định khi V˙ (x) ≤ 0 hay
x⊤ (A⊤ P + P A)x ≤ 0, ∀x ∈ Rn .

Điều này có nghĩa là nếu ta tìm được P > 0 sao cho
Q = A⊤ P + P A ≤ 0

(1.9)

thì hệ ổn định.
Lưu ý: Nếu ta tìm được P > 0 sao cho
Q = A⊤ P + P A < 0

(1.10)

thì hệ ổn định tiệm cận.
Nhận xét 1.22. Các bất đẳng thức ma trận tuyến tính (1.9) và (1.10) chính
là LMI đã được nếu trong Định nghĩa 1.21.
Áp dụng cho hệ điều khiển phản hồi
x˙ = Ax + Bu, x ∈ Rn , u ∈ Rm ,
x(0) = x0 ∈ Rn .

Cụ thể trong trường hợp này, ta thiết kế u = Kx sao cho hệ đóng
x˙ = Ax + Bu
= Ax + BKx
= (A + BK)x

ổn định.
Ta chọn hàm Lyapunov là
V (x) = x⊤ P x, P > 0.

16


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Khi đó, đạo hàm của V (x) là
V˙ (x) = (x)P
˙ x + x⊤ P x˙
= [(A + BK)x]⊤ P x + X ⊤ P (A + BK)x
= x⊤ (A⊤ P + P A + K ⊤ B ⊤ P + P BK)x

Ta có P > 0 nên x⊤ P x > 0 với mọi x ∈ Rn \{0}, V (0) = 0.
Do đó hệ điều khiển ổn định khi V˙ (x) ≤ 0 hay
x⊤ (A⊤ P + P A + K ⊤ B ⊤ P + P BK)x ≤ 0, ∀x ∈ Rn .

Điều này có nghĩa là nếu ta thiết kế được K sao cho tồn tại P > 0 thỏa mãn
Q = A⊤ P + P A + K ⊤ B ⊤ P + P BK ≤ 0

(1.11)

thì hệ điều khiển ổn định.

Lưu ý: Nếu ta bỏ đi dấu "=" trong bất đằng thức ma trận (1.11) thì ta có
hệ điều khiển ổn định tiệm cận.
Nhận xét 1.23. Bất đẳng thức ma trận (1.11) khơng tuyến tính. Do vậy ta
biến đổi (1.11) về LMI như sau:
Đặt X = P −1 . Vì P > 0 nên X = P −1 > 0.
Khi đó
(1.11) ⇔ X(A⊤ P + P A + K ⊤ B ⊤ P + P BK)X ≤ 0 (theo Bổ đề 1.1)
⇔ XA⊤ P X + XP AX + XK ⊤ B ⊤ P X + XP BKX ≤ 0
⇔ XA⊤ + AX + XK ⊤ B ⊤ + BKX ≤ 0
⇔ XA⊤ + AX + Y ⊤ B ⊤ + BY ≤ 0 (với Y = KX).

(1.12)

Giải LMI (1.12) ta tìm được X và Y .
Khi đó điều khiển phản hồi u = Kx = Y X −1 x làm cho hệ điều khiển ổn
định.

17


Chương 2
Điều khiển phản hồi theo sự kiện
cho hệ điều khiển tuyến tính
2.1

Điều khiển phản hồi theo sự kiện

Phương pháp lấy mẫu được kích hoạt định kỳ được đề cập trong mục
1.3.1 thường tốn nhiều tài nguyên, trong khi những tài nguyên đó có thể
dùng cho những nhiệm vụ khác (tham khảo ([12, 16]). Do đó, điều khiển

kích hoạt theo sự kiện là một phương pháp mới được ra đời (tham khảo
([11, 13]). Theo quy tắc của kích hoạt điều khiển theo sự kiện, các mẫu dữ
liệu không được cập nhật định kỳ mà chỉ được cập nhật khi một số sự kiện
đã xảy ra. Do đó, nó hiệu quả hơn khi sử dụng băng thông hạn chế và tiết
kiệm tài nguyên. Cho đến nay, điều khiển kích hoạt theo sự kiện đã được áp
dụng để giải quyết các vấn đề quan trọng như tính ổn định ([13]), vấn đề
theo dõi ([15]) và vấn đề điều tiết đầu ra. Hầu hết các nghiên cứu trên đều
tập trung vào việc phát triển các kỹ thuật có hệ thống để thiết kế các cơ chế
kích hoạt sự kiện (ETM - event-triggered mechanisms).
Trong khn khổ khố luận, tác giả sẽ xem xét cơ chế kích hoạt sự kiện
để thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái ổn định kích hoạt sự kiện hệ
điều khiển tuyến tính hệ số hằng. Những đóng góp chính của nghiên cứu này
là
(1) Đề xuất phương pháp tiếp cận dựa trên LMI để thiết kế bộ điều khiển
18


Chương 2. Điều khiển phản hồi theo sự kiện cho hệ điều khiển tuyến tính
phản hồi trạng thái sử dụng điều kiện kích hoạt theo sự kiện và đảm
bảo tính ổn định.
(2) Chứng minh rằng đối với điều kiện kích hoạt sự kiện trong nghiên cứu
này thì Zeno behavior khơng xảy ra.

2.2

Các kết quả chính

Xét hệ điều khiển tuyến tính
x(t)
˙

= Ax + Bu, t ≥ 0,
x(0) = x0 ∈ Rn .

Trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là véc tơ điều khiển đầu
vào, A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m . Trong chương này, ta sẽ cập nhập trạng thái x(t)
tại các thời điểm xk , k ∈ N, t0 = 0. Đó là phiên bản điều khiển kích hoạt
theo sự kiện. Ta sẽ thiết kế bộ điều khiển phản hồi
u = Kx(tk ), t ∈ [tk , tk+1 ),

trong đó ma trận K được thiết kế sao cho hệ đóng sau ổn định tiệm cận
Lyapunov:
x(t)
˙
= (A + BK)x(t) + BKe(t),
x(0) = x0 ∈ Rn ,

với e(t) = x(tk ) − x(t), t ∈ [tk , tk+1 ).
Cơ chế kích hoạt sự kiện được mô tả như sau:
t0 = 0, tk+1 = inf{t > tk |e⊤ (t)e(t) ≥ αx⊤ (t)x(t)},

(2.1)

trong đó α là hằng số thực dương được thiết kế.
Lưu ý rằng theo cơ chế trên ta ln có bất đẳng thức
e⊤ (t)e(t) ≤ αx⊤ (t)x(t), ∀t > 0.

Định lý sau cho thấy đối với ETM (2.1), Zeno behavior không xảy ra.

19

(2.2)