(SKKN 2022) một số DẠNG cơ bản VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG
THPT
SƠN 2 HÓA
SỞ GIÁO
DỤC VÀ
ĐÀOĐÔNG
TẠO THANH
------------------0O0------------------TRƯỜNG
THPT NGUYỄN XUÂN NGUYÊN
------------------0O0-------------------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ DẠNG CƠ BẢN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH
SỬ DỤNG
DẤUTHẲNG
HIỆU VNG
PHA
GIẢI NHANH
ĐƯỜNG
TRONG
KHƠNG
GIAN BÀI
TỐN ĐIỆN XOAY CHIỀU CHO HỌC SINH TRUNG HỌC
PHỔ THÔNG

Người thực hiện: Trần Thị Thu
Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THPT Đông Sơn 2
SKKN thuộc lĩnh vực mơn Tốn
Người thực hiện: Lê Nhất Trưởng Tuấn
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Tổ Vật lý - CN - Thể dục
SKKN thuộc lĩnh vực mơn Vật lý

THANH HĨA NĂM 2022

0


MỤC LỤC
Nội dung
I. Mở đầu………………………………………………………………

Trang
2

1.1. Lí do chọn đề tài…………………………………………………..

2

1.2. Mục đích nghiên cứu……………………………………………...

2

1.3. Đối tượng nghiên cứu……………………………………………..

2

1.4. Phương pháp nghiên cứu………………………………………….

3

1.4.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận………………………………..

3

1.4.2. Phương pháp điều tra thực tiễn………………………………….

3

1.4.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm ……………………………

3

1.4.4. Phương pháp thống kê…………………………………………..

3

1.5. Những điểm mới của SKKN……………………………………...

3

1.6. Phạm vi và thời gian thực hiện đề tài…………………………….

3

II. Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm……………………………….

3

2.1. Cơ sở lí luận của SKKN…………………………………………..

3

2.2. Thực trạng vấn đề trước káp dụng SKKN………………………..

4

2.3. Mơ tả, phân tích giải pháp………………………………………..

4

2.4. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng ……….

4

2.4.1. Tìm hiểu đối tượng học sinh…………………………………….
2.4.2. Tổ chức thực hiện đề tài………………………………………...

4

2.5. Nội dung thực hiện ……………………………………….………

5

2.6. Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục…………………

5

III. Kết luận, kiến nghị…………………………………………………

17

3.1. Kết luận……………………………………………………………

17

3.2. Kiến nghị………………………………………………………….

17

IV. Tài liệu tham khảo…………………………………………………

19

1


I. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
Trường THPT Trường THPT Đông Sơn 2 là Trường đóng trên địa bàn xã
Đông Văn – Đông Sơn có vùng tuyển sinh nhiều xã thuộc vùng núi nên chất lượng
học sinh đầu vào tương đối yếu, nhất là mơn Tốn. Qua những năm kinh nghiệm
khi trực tiếp giảng dạy những lớp nhiều học sinh trung bình, yếu mơn Tốn lớp 12
– Trường Trường THPT Đông Sơn 2, thực tế tôi nhận thấy rằng việc học tập
tích cực, chủ động, sáng tạo là cái cốt để học sinh nắm vững kiến thức và phát triển
năng lực tư duy cá nhân cũng như có khả năng linh hoạt khi giải quyết các tình

huống trong thực tiễn. Đó cũng là một trong những mục tiêu đổi mới phương pháp
dạy học .
Vấn đề quan trọng để có được điều này là cần có sự tổ chức, hướng dẫn học
sinh học tập hợp lý, đảm bảo tính vừa sức, khơi nguồn được cảm hứng, tạo động
cơ học tập môn học cho mỗi học sinh - khi người dạy có được cái nhìn xuyên suốt,
hệ thống và làm chủ được kiến thức. Đó là lý do tôi chọn đề tài
‘‘ MỘT
‘‘

SỐ DẠNG CƠ BẢN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH
ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
’’

1.2. Mục đích nghiên cứu
Để giúp học sinh khơng bị khó khăn khi gặp dạng tốn này tơi đưa ra
phương pháp phân loại bài tập từ dễ đến khó để học sinh tiếp cận một cách đơn
giản, dễ nhớ và từng bước giúp học sinh hình thành lối tư duy giải quyết vấn đề.
Qua đó giúp các em học tốt hơn về bộ mơn hình học lớp 12, tạo cho các em tự tin
hơn khi làm các bài tập hình học và tạo tâm lý khơng “sợ " khi giải bài tập hình.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Phân dạng bài tập gắn với phương pháp giải các bài toán về giải bài tập phần
phương trình đường thẳng trong mặt phẳng. Đề tài này được thực hiện trong phạm
2


vi các lớp dạy toán trong các lớp có nhiều học sinh yếu, trung bình Trường THPT

Trường THPT Đơng Sơn 2.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1.4.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa bài tập, sách tài

liệu và các đề thi
1.4.2. Phương pháp điều tra thực tiễn: Dự giờ, quan sát việc dạy và học phần bài
tập này
1.4.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
1.4.4. Phương pháp thống kê
1.5. Những điểm mới của SKKN
Điểm mới trong kết quả nghiên cứu: Hệ thống các dạng toán có liên quan
đến kĩ năng phân tích và giải về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và áp
dụng vào giảng dạy thực tế các lớp 12A3, 12A7 Trường Trường THPT Đông

Sơn 2.
1.6. Phạm vi và thời gian thực hiện đề tài:
- Phạm vi nghiên cứu: Áp dụng trong chương III hình học 12 cơ bản.
- Kế hoạch nghiên cứu:
Thời gian nghiên cứu từ tháng 8 năm 2021 đến tháng 5 năm 2022.
Thực hiện vào các buổi phụ đạo sau khi học xong chương phương pháp toạ độ
trong không gian, các tiết bài tập hình học, các buổi ơn tập các năm.
II. Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của SKKN
Khi chưa phân dạng và gắn với phương pháp giải học sinh không có hướng giải.
Học sinh rất sợ học hình và khơng có hứng thú trong học tốn. Do không hiểu và
nắm được bản chất của vấn đề nên trong các bài kiểm tra 15 phút và một tiết học
học sinh giải chậm, sai hoặc không có điểm thi tối đa.
2.2. Thực trạng vấn đề trước káp dụng SKKN
Do lớp dạy (12- năm học 2021-2022) là học sinh đại trà, kỹ năng làm bài tập
hình yếu. Kiến thức lớp dưới, cấp dưới rỗng. Học sinh lười học lý thuyết, ít làm bài
3


tập. Qua khảo sát chất lượng đầu năm 2021-2022 với lớp 12A3 (50% từ trung

bình trở lên). Các em dễ nhầm lẫn khi giải bài toán dạng này bởi các em học sinh
không nắm chắc biểu thức tọa độ trong khơng gian viết phương trình các đường
thẳng gặp nhiều khó khăn.
2.3. Mơ tả, phân tích giải pháp:
Để trang bị cho học sinh có kiến thức,kỹ năng làm bài trong các bài kiểm tra
kiến thức đặc biệt là các bài kiểm tra 15 phút, một tiết, và một số hs thi đại học.
Bản thân tơi đã nghiên cứu chương trình SGK, tài liệu tham khảo phân thành các
dạng toán và gắn với phương pháp giải cụ thể. Trong bài toán Viết phương đường
thẳng d thì phương pháp chung nhất là đi xác định véc tơ chỉ phương của đường
thẳng và toạ độ một điểm mà đường thẳng đi qua sau đó áp dụng các dạng phương
trình đường thẳng nêu để viết phương trình đường thẳng đó.
2.4. Các sáng kiến kinh nghiệm và các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn
đề
2.4.1. Tìm hiểu đối tượng học sinh:
Việc tìm hiểu đối tượng học sinh là công việc đầu tiên khi người thầy muốn lấy các
em làm đối tượng thực hiện một công việc nghiên cứu nào đó. Do đó tôi đã làm
sẵn một số phiếu có ghi sẵn một số câu hỏi mang tính chất thăm dị như sau:
- Em có thích học mơn tốn khơng ?
- Học mơn tốn em có thấy nó khó quá với em không ?
- Em có thuộc và nhớ được nhiều công thức, định nghĩa, khái niệm, tốn học
khơng ?
- Khi làm bài tập em thấy khó khăn gì khơng và khó khăn như thế nào, ở điểm nào
cụ thể?
- Em đã vận dụng thành thạo các cơng thức tốn chưa? Và đã vận dụng các công
thức đó một cách linh hoạt chưa? Và hiệu quả đem lại như thế nào?
- Em có muốn đi sâu nghiên cứu các bài tốn về phương trình đường thẳng trong
mặt phẳng không ?
4

2.4.2. Tổ chức thực hiện đề tài:
2.4.2.1. Cơ sở thực hiện:
Ngồi các bài tập SGK hình học 12 cơ bản. Giáo viên phân loại bài tập cho học
sinh và phương pháp giải từng dạng.Sau đây tôi xin đề cập tới một số dạng bài tập
cơ bản, đơn giản về lập phương trình đường thẳng trong khơng gian.
2.4.2.2. Biện pháp thực hiện:
- Trang bị cho học sinh những kiến thức toán học cần thiết liên quan, kĩ năng tính
tốn, biến đổi toán học.
- Trang bị cho học sinh những kĩ năng sử dụng máy tính( máy tính được phép
mang vào phịng thi)
- Giáo viên khai thác triệt để, khai thác sâu các câu hỏi, các bài toán trong SGK,
Sách bài tập và một số bài tập ngoài bằng cách giao bài tập về nhà cho học sinh tự
nghiên cứu tìm phương pháp giải.
- Trong những giờ bài tập, giáo viên hướng dẫn học sinh kĩ năng phân tích đề bài,
kĩ năng hướng đi cho bài tốn, …và đặc biệt khiến khích nhiều học sinh có thể
cùng tham gia giải một bài hay trình bày về một vấn đề được giáo viên giao.
2.5. Nội dung thực hiện.
* Tôi cho học sinh cách tiếp cận bài toán liên quan đến điểm, đường thẳng và
tam giác. Với việc giải quyết bài toán từ đơn giản đến bài toán có mức độ cao hơn
để học sinh trung bình và yếu có thể hiểu được dễ dàng hơn.

5


PHẦN I
NHẮC LẠI KIẾN THỨC CƠ BẢN CÓ LIÊN QUAN
1. Vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng:
r

r

r

* u  0 và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d thì u là vectơ chỉ
phương của đường thẳng d.
r

r

* u là chỉ phương của d thì k u cũng là chỉ phương của d ( k ≠ 0 )
2. Vectơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng:
r

r

r

* n  0 và có giá vuông góc với mặt phẳng (  ) thì n là VTPT của (  )
r

r

* n là VTPT của (  ) thì k n cũng là VTPT của (  ) ( k ≠ 0 )
3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
* Phương trình tổng quát của (  ) có dạng:
Ax + By + Cz + D = 0 ( A2 + B2 + C2 0)
* Nếu (  ) có phương trình: Ax + By + Cz + D = 0
r

thì VTPT của (  ) là n ( A;B;C)

r

* Nếu (  ) đi qua điểm M(x0;y0;z0) và nhận n (A;B;C) là VTPT thì phương
trình của (  ) là :
A(x- x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
 Ax + By + Cz + D = 0 (D = -Ax0 - By0 - Cz0)
r

* Nếu (  ) chứa hay song song với giá của hai vectơ không cùng phương a
r

r

r r

=(a1;a2;a3), b (b1;b2;b3) thì VTPT của (  ) là n = [ a , b ] = ( a2.b3 - a3.b2 ; a3.b1a1.b3 ; a1.b2 - a2.b1)
* Nếu (  ) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a;0;0 ), B (0;b;0), C(0;0;c)
thì (  ) có phương trình là :

x y z
  1 (điều kiện a.b.c 0 )
a b c

( phương trình trên gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn )
4. Phương trình của đường thẳng :
6


r

Nếu điểm M(x0 ; y0 ; z0)  d và VTCP của d là u (a; b ; c ) thì :
 x  x 0  at

* Phương trình tham số của đường thẳng d là :  y  y 0  bt
 z  z  ct
0


* Phương trình chính tắc của d là :

x  x0 y  y0 z  z0


a
b
c

( t là tham số)

(a.b.c 0 )

5. Các kiến thức khác:
* Cho A(xA;yA;zA) và điểm B(xB; y B ; zB)
uuu
r

- Vectơ AB = (xB-xA ; yB-yA ; zB-zA )
x A  xB y A  y B z A  z B
;
;

)
2
2
2
r
r
r r
* Tích có hướng của a và b là một vectơ ký hiệu là [ a , b ]
r
r
r r
Nếu a = (a1;a2;a3) và b = (b1;b2;b3) thì [ a , b ] = ( a2.b3 - a3.b2 ; a3.b1-a1.b3 ;

- Toạ độ trung điểm I của AB là I = (

a1.b2 - a2.b1)
Chú ý:

r r

r

r r

r

+) [ a , b ]  a và [ a , b ]  b
r

r

r r

r

+) a và b cùng phương [ a , b ]= 0

7


PHẦN II. PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TỐN
Trong bài tốn viết phương trình đường thẳng d thì phương pháp chung nhất là
đi xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng và toạ độ một điểm thuộc đường
thẳng sau đó dựa vào công thức của định nghĩa ( trang 83 SGK Hình học 12) để
viết phương trình đường thẳng.
Một số trường hợp cơ bản để xác định toạ độ VTCP của một đường thẳng :
TH1: Nếu đường thẳng cho dưới dạng tham số (d):
 x  x0  at
r

 y  y0  bt thì 1 VTCP là u (a;b;c)
 z  z  ct
0


TH2: Nếu đường thẳng d cho dưới dạng chính tắc:
r
x  x0 y  y0 z  z0



(a.b.c 0 ) thì 1 VTCP là u (a;b;c)
a
b
c
uuu
r

TH3: Nếu đường thẳng d đi qua 2 điểm phân biệt A, B thì d có 1VTCP là AB
r

Ví dụ: Xác định toạ độ vectơ chỉ phương u của đường thẳng d trong các trường
hợp sau:
 x 1  2t

a/ d :  y t
 z  2  5t


( t là tham số)

b/ d:

x2 y 3 z


 4
5
3

Lời giải:

r

a/ Ta có VTCP của d là u =(- 2; 1; 5)
r

b/ Ta có VTCP của d là u =(- 4; 5; 3)

8


PHẦN III. MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1 : Viết phương trình tham số và phương trình chính
tắc của đường
r
thẳng d biết d đi qua điểm M(x0;y0;z0) và có chỉ phương u = (a; b; c).
Hướng dẫn:
 x  x0  at

* Phương trình tham số của đường thẳng d là :  y  y0  bt ( t là tham số)
 z  z  ct
0

x  x0 y  y0 z  z0


* Phương trình chính tắc của đường thẳng d là :
( điều kiện
a
b
c

a.b.c 0 )

Ví dụ : [1]Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số và
phương trình chính tắc của d trong các trường hợp sau:
a/ d đi qua điểm M(-2; 1; -4) và có chỉ phương là u =(-3; 2; -1)
b/ d đi qua điểm M(-1;3;4) và có chỉ phương là u =(1;-4;0)
Lời giải
 x  2  3t

a/ Phương trình tham số của d là :  y 1  2t ( t là tham số )
 z  4  t

x2 y 1 z 4


3
2
1
 x  1  t

b/ Phương trình tham số của d là:  y  3  4t ( t là tham số )
 z 4


Phương trình chính tắc của d là:

Khơng có phương trình chính tắc .
Dạng 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng d biết d đi qua hai điểm
A, B cho trước.
uuu

r
Hướng dẫn: - VTCP của d là AB
- Chọn điểm đi qua là A hoặc B
- Đưa bài tốn về dạng 1
Ví dụ : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số của d
trong các trường hợp sau:
a/ d đi qua A(1; 2; -3) và B(-2; 2; 0 )
b/ d đi qua M(-2; 1; 3) và N (1; 1; -1)
c/ d đi qua C(-1; 2; 3) và gốc toạ độ.
Lời giải
9


uuu
r

a/ Do d đi qua A và B nên VTCP của d là AB = (-3; 0; 3)
 x 1  3t

 phương trình tham số của d là  y 2
( t là tham số )
 z  3  3t

uuuu
r
b/ Do d đi qua M và N nên VTCP của d là MN =(3; 0; -4)
 x  2  3t

 phương trình tham số của d là:  y 1
( t là tham số )

 z 3  4t

uuur
c/ Do d đi qua C và O nên VTCP của d là OC =(-1; 2; 3)
 x  1  t

 phương trình tham số của d là:  y 2  2t
( t là tham số )
 z 3  3t


Dạng 3 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vng góc với
mặt phẳng (  ) .
Hướng dẫn: -VTPT của mặt phẳng (  ) là VTCP của đường thẳng d
 đưa bài tốn về dạng 1
Ví dụ :[1]Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số của d
trong các trường hợp sau :
a/ d đi qua A(-2; 4; 3) và vuông góc với (  ):2x - 3y – 6z + 19 = 0
b/ d đi qua B(1;-1;0) và vuông góc với mặt phẳng (Oxy)
c/ d đi qua B(1;-1;0) và vuông góc với mặt phẳng (Oxz)
d/ d đi qua B(1;-1;0) và vuông góc với mặt phẳng (Oyz)
Lời giải
r
r
a/VTPT của (  ) là n (2;-3;-6). Do d  (  ) nên d nhận n là VTCP
 x  2  2t

 phương trình tham số của d là  y 4  3t
 z 3  6t


uu
r
b/ Do d  (Oxy) nên VTCP của d là k =(0; 0; 1)
 x 1

 phương trình tham số của d là  y  1
 z t

uu
r
d/ Do d  (Oxz) nên VTCP của d là j =(0; 1; 0)
 x 1

 phương trình tham số của d là  y  1  t
 z 0


e/ Do d  (Oyz) nên VTCP của d là

( t là tham số)

( t là tham số)

( t là tham số)

ur
i = (1; 0; 0)

10

 x 1  t

 phương trình tham số của d là  y  1
 z 0


( t là tham số)

Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và song song với
đường thẳng d’.
Hướng dẫn: - VTCP của d’ chính là VTCP của d
 đưa bài tốn về dạng 1.
Ví dụ : Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số của
đường thẳng d trong các trường hợp sau:
x  2  t

a/ d đi qua điểm A(2; -5; 3) và song song với d’  y  3  2t ( t là tham số)
 z  5  3t


b/ d đi qua điểm B(4;-2;2) và song song với d’:

x2 y 5 z 2


4
2
3

c/ d đi qua điểm M(0; 2; 1) và song song với đường thẳng AB trong đó
A(5;3;2), B(2;1;-2)
d/ d đi qua điểm P(2; 3; 4) và song song với trục Ox.
Lời giải:
r

a/ Do d // d’  vectơ chỉ phương của d là u = (1; 2; -3)
x  2  t

 phương trình tham số của d là:  y  5  2t ( t là tham số)
 z  3  3t

r

b/ Do d // d’  Vectơ chỉ phương của d là u = (4; 2; 3)
 x  4  4t

 phương trình tham số của d là:  y  2  2t ( t là tham số)
 z  2  3t

uuu
r
c/ AB  3; 2; 4  là VTCP của đường thẳng d
 x  3t

 phương trình tham số của d là:  y  2  2t ( t là tham số)
 z  1  4t


ur

d/ Do d // trục Ox  Vectơ chỉ phương của d là i = (1; 0; 0)

 x 2  t

 phương trình tham số của d là:  y 3
( t là tham số)
 z 4


11


Dạng 5 : Đường thẳng d đi qua điểm M và song song với 2 mặt phẳng cắt
nhau (P) và (Q)
r
r r
r r
Hướng dẫn : - VTCP của d là u = [ n P, n Q] ( n P ; n Q lần lượt là VTPT của hai mp
(P) và (Q))
- Đưa bài tốn về dạng 1.
Ví dụ 1: [2]Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số của d
biết d đi qua điểm M(3; 1; 5) và song song với hai mặt phẳng (P): 2x + 3y - 2z +1
= 0 và (Q): x – 3y + z -2 = 0.
Lời giải . r
r
Ta có n P = (2; 3; -2); n Q=(1; -3; 1) lần lượt làrVTPT
của hai mp (P) và (Q).
r r
Do d //(P) và d//(Q) nên vectơ chỉ phương của d là u = [ n P, n Q] = (-3; - 4; -9).
 x 3  3t


 Phương trình tham số của d là:  y 1  4t
 z 5  9t


( t là tham số)

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số của d
biết d đi qua điểm M(-2; 1; 5) và song song với hai mặt phẳng (P): 3x + 2y - 4z +1
= 0 và mặt phẳng (Oxy).
Lời giải .
r
r
Ta có VTPT của (P) là : n P = (3; 2; -4)
và
VTPT
của
(Oxy)
là
k =(0; 0; 1)
r
r r
Do d //(P) và d//(Oxy) nên VTCP của d là u = [ n P, k ] = (2; -3; 0)
 x  2  2t

 Phương trình tham số của d là:  y 1  3t
 z 5


( t là tham số).

Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M, song song với mặt
phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d’ ( d’ khơng vng góc với (P))
r

r

Hướng dẫn : - Xác định VTPTr củar (P)r và VTCP của d’ lần lượt là n P và u ’
- VTCP của d là u = [ n P, k ]  Đưa bài tốn về dạng 1.
Ví dụ: [2]Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số của
đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a/ d đi qua điểm M(2; 3; 0), song song (P): 3x – 2y +z+1 = 0 và vuông góc với d’:
x  1 y 1 z  3


.
2
3
4

b/ d đi qua điểm M(-2; 1; 3), song song với mặt phẳng (Oxz) và vuông góc với d’:
 x 1  3t

 y 2  t (t là tham số)
 z 4  2t


Lời giải
r
a/ Ta có : - VTPT của (P) là n P = (3; -2; 1)

12


ur

- VTCP của đường thẳng d’ là u ' = (2; 3; 4 )
r
r ur
Do d//(P) và d  d’  VTCP của đường thẳng d là u = [ n P, u ' ] = (-11; -10; 13)
 x  2  11t '

 phương trình tham số của d là:  y  3  10t '
 z  13t '


( t’ là tham số)

uu
r

b/ Ta có : - VTPT của (Oxz) là j = (0; 1; 0)
ur
- VTCP của d’ là u ' = (3; -1; 2 )
uu
r ur
r
Do d//(Oxz) và d  d’  VTCP của d là u = [ j , u ' ] = (2; 0; -3)
 x  2  2t '

 Phương trình tham số của d là:  y  1

 z  3  3t '


( t’ là tham số)

Dạng 7 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vng góc với
hai đường thẳng d1 và d2 (d1 và d2 là hai đường thẳng chéo nhau)
ur
uu
r
Hướng dẫn :
- Xác định VTCP của d1 và d2 lần lượt là u1 và u2 )
ur uu
r
r
- VTCP của d là u = [ u1 , u2 ]  Đưa bài tốn về dạng 1.
Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số của đường
 x 2  3t

thẳng d biết d đi qua điểm M(2; -3; 4), vuông góc với d1:  y 3  t ( t là tham số )
 z  1  2t


và d2:

x 1 y z  3
 
2
5
3

Lời giải
ur
uu
r
Ta có : VTCP của d1 là u1 = (-3; 1; 2) và VTCP của d2 là u2 = (2; 5; 3 )
ur uu
r
r
Do d  d1 và d  d2  VTCP của d là u = [ u1 , u2 ]= (-7; 13; -17)
 x 2  7t

 Phương trình tham số của d là:  y  3  13t
 z 4  17t


( t là tham số).

13


PHẦN IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 2; 1) và B(1; -1;
3). Viết phương trình tham số của đường thẳng AB
Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(3; 4; 1), N(2; 3; 4).
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng MN
Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(1; 0; 2) và N(3; 1;
5). Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua M và N.
Bài 4: [2]Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(-1; 2; 3) và mặt
phẳng (  ):

x – 2y + 2z +5 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với (  )
Bài 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3) và mặt phẳng (
 ) : 2x – 3y + 6z +35 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vng góc

với (  )
Bài 6: [2]Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2) và mặt
phẳng (  ): 2x – 2y + z - 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông
góc với (  )
Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4).
Viết phương trình của đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và
vuông góc với mặt phẳng (OAB)
ĐÁP SỐ
 x t

Bài 1 :  y 2  3t
 z 1  2t

 x 1  2t

Bài 3 :  y t
 z 2  3t

 x 1  2t

Bài 5 :  y 2  3t
 z 3  6t


(tham số t  R)

Bài 2 :

x 3 y 4 z 1


1
1
3

(tham số t  R)

 x  1  t

Bài 4 :  y 2  2t
 z 3  2t


(tham số t  R)

 x 3  2t

Bài 6 :  y  2  2t (tham số t  R)
 z  2  t


(tham số t  R)

14

* Số liệu cụ thể trước khi thực hiện đề tài :
Kết quả của lớp 12A3 ( sĩ số 42)
Làm đúng
Bài 1
22
Bài 2
22
Bài 3
21
Kết quả của lớp 12A7 ( sĩ số 40)
Làm đúng

Làm sai
13
17
14

Không có lời giải
7
3
6

Làm sai

Số h/s không có lời Lời

giải
Bài 1
25
17

6
Bài 2
26
12
5
Bài 3
25
10
7
Như vậy với một bài tốn khá quen thuộc thì kết quả là khơng cao, sau khi nêu
lên lời giải và phân tích từng bước làm bài thì hầu hết các em học sinh đều hiểu
bài và tỏ ra hứng thú với dạng bài tập này
Kết thúc SKKN này tôi đã tổ chức cho các em học sinh lớp 12A3, 12A7 kiểm tra
45 phút với nội dung là các bài tốn viết phương trình các đường thẳng thuộc dạng
có trong SKKN. Kết quả là đa số các em đã nắm vững được phương pháp giải các
dạng bài tập trên và nhiều em có lời giải chính xác.
III. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
Để tiết học thành công và học sinh biết vận dụng kiến thức vào giải toán giáo
viên cần soạn bài chu đáo, có hệ thống câu hỏi dẫn dắt học sinh xây dựng bài.Các
câu hỏi khó có thể chẻ nhỏ để học sinh yếu nhận biết kiến thức.Cần quan tâm tới
tất cả các đối tượng học sinh trong lớp.Sau mỗi phần lý thuyết giáo viên cần có ví
dụ minh hoạ cho học sinh và củng cố lại phương pháp từng dạng bài. Với các
phương pháp cụ thể mà tôi nêu ra trong SKKN đã giúp các em phân loại được bài
tập, nắm khá vững phương pháp làm và trình bầy bài, giúp các em tự tin hơn trong
15


học tập cũng như khi đi thi. Mong muốn lớn nhất của tôi khi thực hiện SKKN này
là học hỏi, đồng thời giúp các em học sinh bớt đi sự khó khăn khi gặp các bài tốn

tìm tọa độ đỉnh và viết phương trình các cạnh trong tam giác, đờng thời ôn luyện
lại cho học sinh về mối quan hệ của đường thẳng, từ đó các em say mê học tốn .
* Ý nghĩa:
Qua cách phân loại và hình thành phương pháp giải đã trình bầy trong sáng
kiến tơi thấy học sinh chủ động trong kiến thức, nắm bài chắc hơn. Học sinh u
mơn tốn và thích học tốn hình.
Giáo viên nắm chắc và nghiên cứu sâu một chuyên đề cụ thể. Có thêm kinh
nghiệm trong giảng dạy bộ môn.
* Hiệu quả:
Từ việc phân dạng và gắn với phương pháp giải tôi thấy học sinh nắm chắc
kiến thức, không lúng túng trong giải bài tập. Học sinh phát huy được tính tự lực,
phát triển khả năng sáng tạo của các em. Qua đó các em hiểu rõ bản chất kiến thức
phần bài tập tìm toạ độ đỉnh và viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng.
Giáo viên thấy rõ điểm mạnh, điểm yếu của học sinh để giúp các em điều chỉnh và
có điểm cao trong các kỳ thi.
3.2. Kiến nghị
Hệ thống bài tập trong chương trình tốn là rất lớn, thời gian cho các tiết bài
tập là rất ít nên khả năng tích luỹ kiến thức của học sinh là rất khó khăn. Nhà
trường và cấp trên nên tạo điều kiện về thời gian và cơ sở vật chất cho giáo viên có
một số giờ để giáo viên và học sinh có thể trao đổi, giải quyết những bài tập khó.

16


XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Đông Sơn, ngày 15 tháng 05 năm 2022
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, khơng sao chép nội dung của người

khác.
NGƯỜI VIẾT SÁNG KIẾN

Trần Thị Thu

IV. Tài liệu tham khảo
17


Dùng các tài liệu, sách tham khảo sau:
[1]. Sách bài tập , sách giáo viên Hình học lớp 12 - Chương trình cơ bản
[2]. Hình giải tích –Trần Phương, Lê Hồng Đức –NXB HN năm 2005

18