(SKKN 2022) phương pháp giải quyết một số bài toán về tính đơn điệu liên quan đến đồ thị đạo hàm

PHẦN I. MỞ ĐẦU
I.1. Lí do chọn đề tài
Định hướng đổi mới phương pháp dạy học mơn Tốn hiện nay là tích cực hóa hoạt
động học tập nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng
cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề vì một mục tiêu chung là phát triển học
sinh tồn diện Đức – Trí – Thể - Mỹ - Có tinh thần dân tộc và hướng tới cơng dân
tồn cầu.
Trong chương trình Tốn THPT, đạo hàm là một cơng cụ quan trọng giúp ta
giải quyết được nhiều bài toán hay và đẹp. Đặc biệt để giải quyết các bài tốn liên
quan đến hàm số như: tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, ...
ta thường đi đến việc xét dấu của đạo hàm và lập bảng biến thiên. Trong đó đạo
hàm ngồi việc cho bởi công thức, bảng xét dấu ta thường gặp đạo hàm cho bởi đồ
thị. Từ việc đọc được đồ thị đạo hàm của hàm số ta có thể lập được bảng biến thiên
và tìm được nhiều tính chất của hàm số từ đó giải quyết được nhiều bài tốn hay.
Hơn nữa, trong các đề thi hiện nay thường xuất hiện nhiều bài tốn có giả
thiết cho bởi đồ thị đạo hàm, tuy nhiên dạng toán này bài tập sách giáo khoa chưa
có. Chính vì vậy trong q trình dạy học lớp 12, trong các dạng tốn liên quan đến
tính đơn điệu tôi đưa ra và hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán liên quan
đến đồ thị đạo hàm.
Qua q trình giảng dạy, đặc biệt là dạy ơn tập cho học sinh khối 12 thi tốt
nghiệp và Đại học – Cao đẳng tơi đã tìm tịi, học hỏi, tiếp cận tinh thần đổi mới
phương pháp, hình thức tổ chức dạy học; đổi mới kiểm tra đánh giá của Bộ Giáo
dục và Đào tạo, bám sát cấu trúc đề thi và cách hỏi mới trong đề thi trắc nghiệm,
rút ra nhiều kinh nghiệm hướng dẫn cho học sinh.
Đây chính là lí do tơi chọn đề tài “Phương pháp giải quyết một số bài tốn
về tính đơn điệu liên quan đến đồ thị đạo hàm”.
I. 2. Mục đích nghiên cứu
Qua đề tài, tác giả muốn tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh
THPT, đặc biệt học sinh lớp 12, học sinh ôn thi TNTHPT chuẩn bị vào Đại học.
Tác giả muốn làm cho học sinh dễ hiểu, dễ nhớ và vận dụng được các tính chất của
đồ thị hàm số đạo hàm vào giải quyết các bài toán về đơn điệu, cực trị, giá trị lớn

nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Qua đề tài, tác giả muốn học sinh tìm được mối liên hệ giữa các tính chất
của đồ thị hàm số đạo hàm và một số bài toán liên quan đến hàm số nguyên bản.
I. 3. Đối tượng nghiên cứu
Trong đề tài, tác giả nghiên cứu các bài toán về sự biến thiên của hàm số từ ứng
dụng của đồ thị đạo hàm. Qua đó, học sinh rút ra được phương pháp giải quyết các
1


bài toán tương tự trong các đề thi.
I. 4. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp suy luận tổng hợp: Kết hợp những kiến thức sách giáo khoa, những
bài toán vận dụng, vận dụng cao trong các đề thi TNTHPT, trong các đề thi chọn
học sinh giỏi, tác giả rút ra những kinh nghiệm, hệ thống lại kiến thức và mở ra
hướng mới.
- Phương pháp trò chuyện-phỏng vấn: Trao đổi với nhiều học sinh khá, giỏi để
nắm được tình hình học tập của học sinh về phần kĩ năng đọc đồ thị, hiểu về tính
đơn điệ của hàm số.
- Phương pháp khảo sát: Bản thân tác giả là giáo viên đã ôn thi TN THPT, ôn thi
tuyển sinh vào ĐH-CĐ, ôn luyện đội tuyển HSG nhiều năm nên nắm bắt được tình
hình sử dụng đồ thị hàm số và ứng dụng đồ thị vào các bài toán khác.
- Phương pháp phân tích, lí luận: Phân tích giúp học sinh nắm thật rõ bản chất của
vấn đề, lựa chọ được phương pháp giải các bài tốn có liên quan cho phù hợp.

PHẦN II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2


2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và

hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “ Nâng cao dân trí,đào tạo
nhân lực,bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ
thơng, đặc biệt là mơn tốn, mơn học rất cần thiết và không thể thiếu được trong
đời sống con người.
Mơn tốn ở trường THPT là một mơn khoa học độc lập, chiếm phần lớn thời
gian trong chương trình học của học sinh. Mơn tốn có tầm quan trọng to lớn. Nó
là bộ mơn khoa học nghiên cứu có hệ thống, phù hợp với hoạt động nhận thức tự
nhiên của con người. Mơn tốn có khả năng giáo dục rất lớn trong việc rèn luyện
phương pháp tư duy, phương pháp suy luận logic, hình thành nhân cách tốt đẹp cho
người lao động trong thời đại mới.
Học sinh THPT đang ở lứa tuổi gần như hồn thiện, có sức khỏe dẻo dai, rất
hiếu động và thích thể hiện mình. Các em nghe giảng rất dễ hiểu nhưng cũng sẽ
quên ngay khi chúng khơng tập trung cao độ. Vì vậy người giáo viên phải tạo ra
hứng thứ trong học tập và thường xuyên được tập luyện. Người dạy cần phải chắt
lọc từng đơn vị kiến thức để củng cố khắc sâu cho học sinh.
Từ năm 2017, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã chuyển đổi hình thức thi THPT
Quốc gia từ tự luận sang trắc nghiệm khắc quan, nội dung có phần thay đổi, có
phần được đưa thêm các kiến thức mới, các bài toán rèn luyện kĩ năng đọc, hiểu
bảng biến thiên, đồ thị hàm số, đồ thị đạo hàm được đưa vào cũng đã đem lại
những chuyển biến nhất định trong kết quả dạy và học, làm cho học sinh hứng thú
chú ý hơn vào nội dung bài học.
Do vậy tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích giúp
cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp loại bài tốn ứng
dụng đồ thị đạo hàm về tính đơn điệu cảu hàm số, cực trị của hàm số hay giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và một số dạng tương tự.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Hiện nay, học sinh trường THPT Lê Văn Hưu nói chung, học sinh khối 12 nói
riêng, kĩ năng đọc đồ thị cịn nhiều hạn chế, đặc biệt xét vị trí tương đối của hai đồ
thị, hiểu về đồ thị hàm số đạo hàm để xét sự biến thiên của hàm số. Hơn nữa, trong
các đề thi, những câu liên quan đến đồ thị đạo hàm là những câu VD, VDC nên

học sinh rất dễ bị mất điểm. Vì vậy kết quả của học sinh trong kì thi TN THPT
chưa được tốt, chưa xứng tầm với vị thế của nhà trường. Do đó bằng kinh nghiệm
qua nhiều năm công tác, nhiều năm ôn luyện cho học sinh lớp 12 thi THPT Quốc
gia và
ôn luyện cho đội tuyển, tôi đưa ra phương pháp nâng cao hiệu quả giảng dạy thông
qua việc hướng dẫn học sinh khối 12 giải quyết “một số bài tốn về tính đơn điệu
liên quan đến đồ thị đạo hàm”
3


2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm được đưa ra để giải quyết vấn đề
2.3.1. Nhắc lại lý thuyết về tính đơn điệu của hàm số
1. Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số:
Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f ( x) xác định
trên K . Ta nói:
Hàm số y = f ( x ) được gọi là đồng biến trên K nếu với mọi cặp x1 , x2 mà
x1 < x2 thì f ( x1 ) < f ( x2 ) .
Hàm số y = f ( x ) được gọi là nghịch biến trên K nếu với mọi cặp x1 , x2 mà
x1 < x2 thì f ( x1 ) > f ( x2 ) .

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn
điệu trên K .
2. Định lí về tính đơn điệu của hàm số
Định lí: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên K .( K là khoảng, đoạn hoặc nửa
khoảng)
′
+ Nếu f ( x ) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số y = f ( x) đồng biến trên K .
′
+ Nếu f ( x ) < 0, ∀x ∈ K thì hàm số y = f ( x) nghịch biến trên K .
y = f ( x ) có đạo hàm trên K . Nếu

Định lí mở rộng. Cho hàm số

( )

f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K (hoặc f ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ K ) và f ′ x = 0 chỉ tại một số hữu hạn
điểm thì hàm số y = f ( x) đồng biến (nghịch biến) trên K .
2.3.2. Giải pháp thực hiện để giải quyết vấn đề.
Bước 1. Định hướng nhận dạng các dạng tốn liên quan đến tính đơn điệu
hàm số.
Trong chương trình tốn THPT có rất nhiều dạng, trong thời lượng nhất định
tôi định hướng đưa ra 3 dạng thường gặp sau:
′
y = f ( x) .
Dạng 1. Từ đồ thị y = f ( x ) nhận biết tính đơn điệu của hàm số
*)Phương pháp:
′
+) Dựa vào đồ thị xác định nghiệm phương trình f ( x ) = 0 .

′
+) Căn cứ vào vị trí tương đối của đồ thị với trục hoành, xác định dấu của f ( x ) ,

f ( x) .
′
*) Minh họa: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị (như hình vẽ ) u cầu học sinh dựa
suy ra tính đơn điệu của

vào đồ thị chỉ ra nghiệm phương trình f ′ ( x ) = 0 và các khoảng x ứng với

f ′( x ) > 0

=,

4


′
Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) ta có kết luận sau:

( ) ứng với phần đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) nằm phía trên trục hồnh.
f ′ ( x) < 0
′
+)
ứng với phần đồ thị của hàm số y = f ( x ) nằm phía dưới trục hoành.
f ′ ( x) = 0
′
+)
tại các điểm chung của đồ thị hàm số y = f ( x ) với trục hoành.
+)

f′ x > 0

′
x
+) Nếu đồ thị hàm số y = f ( x ) tiếp xúc với trục hồnh tại điểm có hồnh độ 0

( )

( )

f′ x

f′ x = 0
x
x
thì 0 là nghiệm bội chẵn của phương trình
và qua 0 đạo hàm
khơng đổi dấu.

′
x
x
+) Nếu đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ 0 thì 0 là

( )

( )

f′ x
f′ x = 0
x
nghiệm bội lẻ của phương trình
và qua 0 đạo hàm
đổi dấu.
Từ kết quả trên và các định lí về tính đơn điệu cho học sinh nhận xét về mối

( )

( )

f′ x
f x

quan hệ giữa đồ thị đạo hàm
và tính đơn điệu của hàm số
.
Từ đó ta có kết luận sau:
′
Nếu x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số y = f ( x ) nằm phía
trên trục hồnh thì trong khoảng đó hàm số

( )

f x

đồng biến.

′
Nếu x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số y = f ( x ) nằm phía

dưới trục hồnh thì trong khoảng đó hàm số

( )

f x

nghịch biến

5


*)Ví dụ:

( )

y=f x
Ví dụ 1. Cho hàm số
liên tục
và có đạo hàm trên ¡ . Đồ thị hàm số
y = f ′ ( x ) như hình vẽ bên. Hãy chỉ ra
các khoảng đồng biến, nghịch biến của
hàm số

( )

y=f x

trên ¡ .

( )

y=f x
liên tục
Ví dụ 2. Cho hàm số
và có đạo hàm trên ¡ . Đồ thị hàm số
y = f ′ ( x ) như hình vẽ bên. Hãy chỉ ra
các khoảng đồng biến, nghịch biến và
lập bảng biến thiên của hàm số

( )

y=f x

trên.

Chú ý: Qua ví dụ này giáo viên lưu ý cho học sinh trường hợp đồ thị tiếp xúc với
trục hoành.

′
y = g ′ ( x ) nhận biết tính đơn điệu của hàm số
Dạng 2. Từ đồ thị y = f ( x ) ,

y = h( x) = f ( x) − g ( x) .
*)Phương pháp:
+) Tính đạo hàm

h′ ( x ) = f ′ ( x ) − g ′ ( x ) .

′
y = g ′ ( x ) trên hình vẽ đã cho, từ đó tìm
+) Xác định đồ thị hàm số y = f ( x ) ,
′
′
nghiệm phương trình f ( x ) = g ( x ) (chính là hồnh độ giao điểm của hai đồ thị
y = f ′ ( x ) , y = g ′ ( x ) ).

′
y = g ′ ( x ) , xác định dấu của
+) Dựa vào vị trí tương đối của hai đồ thị y = f ( x ) ,

h′ ( x ) , suy ra tính đơn điệu của h ( x ) .
6

*) Minh họa. Cho hàm số

y = f ′( x ) ; y = g′( x )

có đồ thị (như hình vẽ ) yêu cầu

học sinh dựa vào đồ thị chỉ ra nghiệm phương trình

f ′( x ) − g′( x ) = 0

và các

f ′ x − g′( x ) > 0 , f ′( x ) − g′( x ) < 0 .
khoảng x ứng với ( )

y = f ′ ( x ) ; y = g ′ ( x ) ta có kết luận sau:
f ′ x − g ′ ( x ) > 0 ứng với phần đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) nằm phía trên đồ
+) ( )
Dựa vào đồ thị hàm số

y = g′ ( x)
thị hàm số
.
f ′ x − g ′ ( x ) < 0 ứng với phần đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) nằm phía dưới đồ
+) ( )

( ).
thị hàm số
f ′ x − g ′ ( x ) = 0 tại các giao điểm của đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) với đồ thị hàm

+) ( )
y = g′ x

số

y = g′( x ) .
Từ kết luận trên và các định lí về tính đơn điệu cho học sinh nhận xét về mối

quan hệ giữa đồ thị đạo hàm

y = f ′ ( x ) ; y = g ′ ( x ) và tính đơn điệu của hàm số

y = f ( x) − g ( x) .
Từ đó ta có kết luận sau:

′
Nếu x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị của hàm số y = f ( x ) nằm
phía trên đồ thị hàm số
đồng biến.

y = g ′ ( x ) thì trong khoảng đó hàm số y = f ( x ) − g ( x )

7


′
Nếu x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị của hàm số y = f ( x ) nằm
phía dưới đồ thị hàm số
nghịch biến.

y = g ′( x )

thì trong khoảng đó hàm số

y = f ( x) − g ( x)

*)Ví dụ:

( )

y=f x
Ví dụ 3. Cho hàm số
có đạo
hàm liên tục trên ¡ . Đồ thị hàm số
y = f ′ ( x ) như hình vẽ . Lập bảng biến

( )

( )

h x = f x - 2x

thiên của hàm số

.

Hướng dẫn giải:

( )

( )

h′ x = f ′ x − 2
Ta có
.
Dựa vào đồ thị tìm

( )

( )

h′ x = 0 ⇔ f ′ x = 2
đối

của

đồ

thị

nghiệm

. Xét vị trí tương
y = f ′( x )
và

y = g ′ ( x ) = 2 (căn cứ hình vẽ) từ đó lập
bảng biến thiên.

( )

y=f x
Ví dụ 4. Cho hàm số
có đạo
hàm liên tục trên ¡ . Đồ thị hàm số
y = f ′ ( x ) như hình bên. Tìm các khoảng
đồng
biến
của
hàm
số
h ( x) = 2f ( x) - x2 - 4x + 2020

.

8


Hướng dẫn giải:
Ta có:

( )

( ( )

( )

)

h′ x = 2f ′ x − 2x − 4 = 2 f ′ x − x − 2

Dựa

vào

đồ

( )

thị

( )

tìm

h′ x = 0 ⇔ f ′ x = x + 2
tương

đối

của

đồ

nghiệm

. Xét vị trí

( )

f′ x

thị

và

g ′ ( x ) = x + 2 (như hình vẽ) từ đó đọc
khoảng đồng biến của hàm số

h ( x)

.

Chú ý: Giáo viên hướng dẫn học sinh cách xác định và vẽ đồ thị hàm số
trên hình vẽ đã cho từ đó xét vị trí tương đối của hai đồ thị

y = g′( x )

y = f ′( x ) ; y = g′( x ) .

f u ( x ) 
′
.
Dạng 3. Từ đồ thị y = f ( x ) xét tính đơn điệu của hàm số 

*)Phương pháp:

′
+) Từ đồ thị hàm số y = f ( x )

tìm nghiệm của phương trình

′
(hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm y = f ( x ) với trục Ox ).
+) Tính đạo hàm của hàm số

( ) ( ( )) = 0 .
u′ ( x ) .f ′ ( u ( x ) )
+) Xét dấu

( )

f′ x = 0

( )

y = f u x 

 và giải phương trình

u′ x .f ′ u x

từ đó lập bảng biến thiên, kết luận về tính đơn

điệu.
*)Ví dụ:
Ví dụ 5. (Tham khảo 2018) Cho
hàm

số

( ).

y=f x

Hàm

số

y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình bên.

(

y = f 2− x
Hàm số
trên khoảng
A. ( 1;3) .

)

đồng biến
B.

( 2;+∞ ) .
9


C. ( −2;1) .

D.

( −∞; −2 ) .

Hướng dẫn giải:

 x = −1
f ′( x ) = 0 ⇔  x = 1

′( x )
 x = 4
y
=
f
Dựa vào đồ thị của hàm số
ta có
.
g′( x ) = ( f ( 2 − x ) ) ′ = ( 2 − x ) ′ . f ′( 2 − x ) = − f ′ ( 2 − x )
g x = f (2 − x)
Đặt ( )
. Ta có
.
 2 − x = −1  x = 3
′
( f ( 2 − x ) ) = 0 ⇔ − f ′ ( 2 − x ) = 0 ⇔  2 − x = 1 ⇔  x = 1
 2 − x = 4
 x = −2
.
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án C.

( )

y=f x
Ví dụ 6. Cho hàm số
có đạo
hàm trên ¡ và có đồ thị hàm
y = f ′ ( x ) như hình vẽ bên. Hàm số
g ( x ) = f ( x2 − x )

khoảng nào?
1 
 ;1 ÷
A.  2  .

 1
 −1; ÷
2.
C. 

đồng

biến

trên

B. ( 1;2 ) .
D.

( −∞; −1) .
Hướng dẫn giải:

′

Dựa vào đồ thị của hàm số y = f ( x ) ta có
10


Đặt

g ( x ) = f ( x 2 − x ) ⇒ g ′ ( x ) = ( 2 x − 1) f ′ ( x 2 − x )

.
.

1

x
=

1
2

x
=


2
x = 0
2 x − 1 = 0
 2
g′( x ) = 0 ⇔ 
⇔ x − x = 0 ⇔ x = 1
2


 f ′ ( x − x ) = 0
 x2 − x = 2
 x = −1

x = 2



.

′
′
Từ đồ thị f ( x ) ta lập bảng xét dấu g ( x )

 1
 −1; ÷
g ( x)
2.
Từ bảng xét dấu ta có hàm số
đồng biến trên khoảng 
Chú ý: Giáo viên hướng dẫn học sinh cách tính đạo hàm hàm hợp, cách xét dấu
′
đạo hàm g ( x ) :
+) Xác định nghiệm bội chẵn và nghiệm bội lẻ (ở ví dụ 6 có x = 0, x = 1 là nghiệm
1
x = −1, x = ; x = 2
′( x)
g
2

bội chẵn nên qua đó
khơng đổi dấu, cịn
là nghiệm bội
′
lẻ qua đó g ( x ) đổi dấu).
′
+) Lấy giá trị x = x0 bất kì khác các nghiệm trên rồi xác định dấu g ( x0 ) sau đó
′
′
đan xen dấu theo nguyên tắc trên.( ví dụ 6 ta lấy x = 3 có g ( 3) = 5 f ( 6 ) > 0 ).

Bước 2. Sau khi học sinh nắm vững ba dạng đã nêu đưa ra một số ví dụ kết
hợp dạng 2 và dạng 3.

11


Ví dụ 7. [Câu 50 - MH-2020] Cho

( )

y=f x
′
hàm số
. Hàm số y = f ( x )
có đồ thị như hình bên. Hàm số

g ( x ) = f ( 1 − 2x ) + x2 − x

nghịch biến

trên khoảng nào dưới đây ?
 3
1; ÷
A.  2  .
B.
C. ( −2; −1) .
D.

 1
 0; ÷
 2.

( 2;3) .

Hướng dẫn giải:
Ta có :

g ( x ) = f ( 1 − 2 x ) + x 2 − x ⇒ g ′ ( x ) = −2 f ′ ( 1 − 2 x ) + 2 x − 1

Xét phương trình

g ′ ( x ) = 0 ⇔ −2 f ′ ( 1 − 2 x ) + 2 x − 1 = 0 ⇔ f ′ ( 1 − 2 x ) =

Đặt t = 1 − 2 x ta có
Vẽ đường thẳng

f ′( t ) = −

y=−

2x −1
2 .

t
2.

t
2 và đồ thị hàm số f ′ ( t ) trên cùng một hệ trục

t = − 2
t
f ′ ( t ) = − ⇒ t = 0
2 
t = 4
Dựa vào đồ thị trên ta có
3

 x=2
1 − 2 x = −2

1 − 2x
1

f ′( 1 − 2x ) =
⇔ 1 − 2x = 0 ⇔  x =


−2
2

1 − 2 x = 4

3
x = −

2.
Như vậy
′
′
Từ đó ta có bảng xét dấu của g ( x ) = −2 f ( 1 − 2 x ) + 2 x − 1 :
12


1 3
 ; ÷
g
x
(
)
Do đó hàm số
nghịch biến trên các khoảng  2 2  và

3

 −∞; − ÷
2 .


 3 1 3
 1; ÷⊂  ; ÷

g x = f ( 1 − 2x ) + x2 − x
Mà  2   2 2  nên hàm số ( )
nghịch biến trên khoảng
 3
1; ÷
 2.
Ví dụ 8. Cho hàm số
thức có đồ thị hàm số
Hàm

( )

y=f x
y = f ′( x)

là hàm đa

như hình vẽ.
số

g ( x ) = f ( 3x + 1) − 3 ( 2 x 3 + 2 x 2 − 3x + 5 )

nghịch

biến trên các khoảng nào dưới đây?

( −∞; −2 ) ; ( 1; +∞ ) .
−∞; −1)
C. (
.

A.

( −3;0 ) .
−1;2 ) .
D. (
B.

Hướng dẫn giải:
Ta có,

(

(

2
g ′ ( x ) = 3 f ′ ( 3 x + 1) − ( 18 x 2 + 12 x − 9 ) = 3 f ′ ( 3 x + 1) − 6 x + 4 x − 3

))


11  

11  
2
2
2
= 3  f ′ ( 3x + 1) −  ( 9 x 2 + 6 x + 1) − ÷÷ = 3  f ′ ( 3 x + 1) −  ( 3 x + 1) − ÷÷
3 
3 .
3

3



Do đó

g ′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( 3 x + 1) =

2
11
2
( 3 x + 1) −
3
3 .

2
11
f ′( t ) = t 2 −
3
3
Đặt t = 3 x + 1 , ta được
2
11
( P) : y = t2 −
3
3 trên cùng hệ trục tọa độ Oty với đồ thị hàm số
Vẽ Parabol
y = f ′(t ) như hình vẽ sau (đường Parabol là đường nét đứt) .

13

2 2 11 ⇔ t = −2 ⇒ 3 x + 1 = −2 ⇔  x = −1
 t =1
3 x + 1 = 1
x = 0
f ′( t ) = t −



3
3
Ta thấy,
.


11  
2
2
g ′ ( x ) = 3  f ′ ( 3 x + 1) −  ( 3 x + 1) − ÷÷
3  :
3

Từ đó ta có bảng xét dấu của

−∞; −1)
0;+∞ ) .
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng (
và (
Chú ý: Qua hai ví dụ 7 và 8 giáo viên lưu ý học sinh sau khi tính đạo hàm cần sử

dụng phương pháp đổi biến để đưa về dạng 3.
Bước 3. Đưa ra một số bài tập trắc nghiệm củng cố và nâng cao.
Bài 1. Cho hàm số

( )

y=f x

xác định
y = f ′( x )

trên ¡ và có đồ thị của hàm số
như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên

( −∞; −2 ) ; ( 0; +∞ ) .

B. Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên

( −2;0 ) .
C. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên

( −3; +∞ ) .
D. Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên
14


( −∞;0 ) .

Bài 2. Cho hàm số

( ) liên

y=f x

tục

′
trên ¡ và hàm số y = f ( x ) có đồ thị
như
hình
vẽ.
Hàm
số

y = g ( x ) = f ( 1 + 2 x − x 2 ) + 2020

đồng

biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( −1;0 ) .
B. ( 0;1) .
C. ( 2;3) .

D. ( 3;5 ) .

Bài 3. Cho hàm số

( ) có đạo hàm

y=f x

′
trên ¡ . Biết hàm số y = f ( x ) liên tục
trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ. Hàm số
y= f

(

x2 + 1

)

đồng biến trong các
khoảng nào dưới đây?

( −∞; − 3 ) , ( 0; 3 ) .
( −∞; − 3 ) , ( 3; +∞ ) .
B.
( − 3;0 ) , ( 3; +∞ ) .
C.
( −∞; − 3 ) , ( 0; +∞ ) .
D.
A.

15


( )

y=f x
Bài 4. Cho hàm số
có đạo
hàm liên tục trên ¡ . Đồ thị hàm số
y = f ′( x )
như hình bên. Đặt

g( x) = f ( x) - x, khẳng định nào sau
đây là đúng?
A.

g( 2) < g( - 1) < g( 1) .

B.

g( - 1) < g( 1) < g( 2)

C.

g( - 1) > g( 1) > g( 2) .

D.

g( 1) < g( - 1) < g( 2) .

Bài 5. Cho hàm số

.

( )

y=f x

có đạo

′
hàm là hàm số f ( x ) trên ¡ . Biết rằng
′
hàm số y = f ( x − 2 ) + 2 có đồ thị như

hình vẽ bên dưới. Hàm số f ( x ) đồng
biến trên khoảng nào?
A. ( −∞;3) , ( 5; +∞ ) .
B. ( −∞; −1) , ( 1; +∞ ) .
C. ( −1;1) .
D. ( 3;5 ) .
Bài 6.

[MH-2020] Cho hàm số

( ) . Hàm số

y=f x
như

hình

y = f ′ ( x ) có đồ thị
bên.
Hàm

số

g ( x ) = f ( 1 − 2x ) + x2 − x

nghịch biến

trên khoảng nào dưới đây ?
 3
 1
1; ÷
 0; ÷
2


A.
.
B.  2  .
C. ( −2; −1) .

D. ( 2;3 ) .

16


Bài 7. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM
2018)
Cho
hai
hàm
số

y = f ( x) , y = g ( x) .

Hai

hàm

số

y = f ′ ( x ) và y = g ′ ( x ) có đồ thị như
hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm
′
hơn là đồ thị của hàm số y = g ( x ) .

3

h ( x ) = f ( x + 4) − g  2x − ÷
2

Hàm số
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
 31 
9 
 5; ÷
 ;3 ÷
5


A.
.

B.  4  .
 31

 ; +∞ ÷
.
C.  5

 25 
 6; ÷
D.  4  .
y = f ( x)
Bài 8. Cho hàm số
xác định
′
và liên tục trên ¡ . Hàm số y = f ( x )
liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ.
Xét
hàm
số
g ( x ) = f ( x − 2m ) +

1
2
( 2m − x ) + 2020
2
,

với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp
các giá trị nguyên dương của m để hàm
số

( )

y=g x

nghịch biến trên khoảng

( 3;4 ) . Hỏi số phần tử của
nhiêu?
A. 4 .
C. 3 .

S bằng bao

B. 2 .
D. Vô số.

2.4. Hiệu quả thực hiện của việc áp dụng SKKN trong thực tế dạy học.
Trong quá trình dạy học khi áp dụng biện pháp này tôi thấy rằng sự tiến bộ của
học sinh, góp phần hình thành phẩm chất, năng lực, đạo đức, tác phong hiện đại
phù hợp với xu hướng phát triển của xã hội.
Để biết được mức độ lĩnh hội tri thức của học sinh khi sử dụng bài tập về đồ thị
đạo hàm trong quá trình dạy học, tơi đã tiến hành triển khai dạy thử ở khối lớp 12
17


trường THPT Lê Văn Hưu-Thiệu Hoá-Thanh Hoá trong năm học 2020-2021.
Trong q trình giảng dạy tơi đã sử dụng một số bài tập thực nghiệm đã chọn để
phát huy tính tích cực của học sinh
Sau đó tơi đã chọn hai lớp để tiến hành kiểm tra một tiết ở lớp 12C1 và lớp

12C2 trường THPT Lê Văn Hưu. Lớp 12C1 là lớp dạy thử mà tơi trực tiếp giảng
dạy, cịn lớp 12C2 là lớp để đối chứng. Hai lớp này có số lượng học sinh và sức
học tương đối như nhau.
Bảng 1: Kết quả khảo sát tình hình học sinh đầu năm.
Số
điểm
Điểm
4
5
6
7
8
9
10
trung
Lớp Số
bình
học sinh
12C1
40
0
2
6
19
12
1
0
7,10
12C2
39

1
3
6
16
11
2
0
7,00
Qua bảng 1 ta nhận thấy trình độ học sinh lớp 12C1 và 12C2 trước khi thực hiện
giải pháp là tương đối tương đồng với nhau.
Bảng 2: Kết quả khảo sát tình hình học sinh sau khi áp dụng
Số
điểm
Điểm
4
5
6
7
8
9
10
trung
Lớp
bình
Số
học sinh
12C1
40
0
1

5
9
17
5
3
7,73
12C2
39
1
2
7
14
13
2
0
7,08
Qua bảng 2 ta nhận thấy sau khi áp dụng giảng dạy theo các giải pháp nêu trên ở
lớp 12C1, cịn lớp 12C2 khơng áp dụng giải pháp trên thì:
- Điểm trung bình của lớp 12C1 cao hơn tương đối nhiều so với lớp 12C2
- Phổ điểm thấp ở lớp 12C1 ít, phổ điểm cao tăng nhanh so với chưa áp dụng.
- Lớp 12C2 thì điểm trung bình và phổ điểm ít thay đổi so với ban đầu.
Sau khi nắm vững nội dung nêu ra trong biện pháp, học sinh giải quyết các bài
tập sử dụng đến tính đơn điệu tốt hơn, nhất là các bài toán về hàm ẩn.
Biện pháp cũng đã được giáo viên dạy dưới dạng là một chủ đề trong hai tiết tự
chọn được cả tổ và ban giám hiệu đánh giá là thành cơng, có hiệu quả áp dụng tốt
cho các lớp 12 hiện nay, đặc biệt là các lớp thi khối có mơn Tốn.
Bảng 3: Kết quả thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2021

18

Số
điểm

Điểm
9,0-10 trung
bình

1
-3,8

4,0
-4,8

5,0
-6,0

6,26,8

7,0
7,8

- 8,0
-8,8

12C1

Số
học sinh
40

0

0

0

2

10

17

11

8,23

12C2

39

0

2

4

2

7

20

4

7,77

Lớp

Qua bảng 3 ta nhận thấy:
Mặc dù số em dự thi ở lớp 12C1 đông hơn lớp 12C2 nhưng điểm trung bình cao
hơn, phổ điểm cao cũng cao hơn lớp 12C2.
Qua kết quả nêu trên ta thấy chất lượng ở lớp 12C1 được nâng lên rõ rệt cịn tại
lớp 12C2 chất lượng học sinh thay đổi khơng nhiều. Điều này chứng tỏ giải pháp
nâng cao hiệu quả giảng dạy kĩ năng đọc đồ thị hàm số, đồ thị đạo hàm cho học
sinh lớp 12 bước đầu đã đạt được những kết quả tương đối khả quan.
2.5. Các kết quả minh chứng về sự tiến bộ của học sinh khi sử dụng biện pháp
này
Kết quả thi tốt nghiệp THPT Quốc gia năm 2021 của lớp 12C1 và lớp 12C2
PHẦN 3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số là một bài toán rất
quen thuộc của đối với học sinh lớp 12, nó có mặt trong nhiều dạng tốn liên quan
trong chương trình tốn 12 như: tìm cực trị, giá trị nhỏ nhất lớn nhất, các bài toán về
tương giao, các bài tốn về bất phương trình, phương trình.... Trong đó việc giải
quyết bài tốn xét tính đơn điệu của hàm số từ giả thiết về đồ thị đạo hàm là bước
đầu giúp chúng ta rèn luyện cho học sinh giải quyết một chuỗi các bài toán liên
quan đến hàm số, đặc biệt là một số dạng ở mức độ vận dụng,vận dung cao liên
quan đến hàm ẩn,...
Việc đổi mới phương pháp dạy học mơn Tốn qua biện pháp này làm tích cực

hóa hoạt động học tập nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng
tạo, nâng cao năng lực phát hiện, giải quyết vấn đề và từ đó phát triển học sinh tồn
diện Đức – Trí – Thể - Mỹ - Có tinh thần dân tộc và hướng tới cơng dân tồn cầu.
Biện pháp trên đây là một trong những minh chứng về việc đổi mới phương
pháp dạy học, biện pháp đã thể hiện rõ hiệu quả và được áp dụng thành công ở
trường THPT Lê Văn Hưu trong thời gian vừa qua, tuy nhiên khơng tránh khỏi thiếu
sót hạn chế, kính mong q thầy cơ, các nhà giáo dục góp ý để cơng tác giáo dục
ngày càng hiệu quả.
3.2. Kiến nghị
19


Để phát huy tính tự nghiên cứu và lịng đam mê nghiên cứu khoa học của học
sinh thì nhà trường cần tạo điều kiện nhiều hơn cho học sinh có nhiều buổi ngoại
khố về các mơn học, nhiều hình thức nghiên cứu khoa học với những đề tài nhỏ…
để học sinh phát huy năng lực của mình trong học tập cũng như trong nghiên cứu
khoa học.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
PHẦN 4. CAM KẾT
Tôi xin cam kết đây là sáng kiến kinh nghiệm do bản thân tôi viết, không sao
chép nội dung của người khác.
Ngày 15 tháng 05 năm 2022
Tác giả
Xác nhận của Hiệu trưởng
Lê Vinh Quang

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Đại số và giải tích 11- Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Lê
Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất - Nxb Giáo dục 2008.
20

2. Giải tích 12- Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Lê Thị Thiên
Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất - Nxb Giáo dục 2008.
3. Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ - Nxb Giáo dục Việt Nam – Bộ Giáo dục và Đào
tạo năm 2018, 2019,2020,2021.
4. Các đề thi THPT Quốc gia năm 2018, 2019, 2020, 2021.
5. Các đề thi thử, đề khảo sát của các trường THPT trong cả nước từ năm 2017.
DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH
GIÁ XẾP LOẠI CẤP SỞ GD&ĐT XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Lê Vinh Quang
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Lê Văn Hưu
Kết
Cấp
quả
Năm học
đánh
đánh
TT
Tên đề tài SKKN
đánh giá xếp
giá xếp
giá
loại
loại
xếp
loại
Dùng tam thức bậ hai để chứng
1.

Sở
C
2004 - 2005
minh Bất đẳng thức
Ứng dụng số phức để chứng minh
2.
bất đẳng thức và tìm giá trị lớn
Sở
C
2013 - 2014
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Phép đối xứng trục trong các bài
3.
Sở
C
2015 - 2016
toán tọa độ trong mặt phẳng

MỤC LỤC
Trang
I. MỞ ĐẦU ………………………………………………………………………… 1
1.1.
Lí
do
chọn
đề
tài 1
21

…………………………………………………….................
1.2.
Mục
đích
nghiên
cứu……………………………………………………………
1.3. Đối tượng nghiên cứu………………………………………………………….
1.4. Phương pháp nghiên cứu………………………………………………………
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM………………………………
2.1. Cơ sở lí luận……………………………………………………………………
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh
nghiệm……………….
2.3. Nôi dung sáng kiến kinh nghiệm: …………..
2.3.1.
Nhắc lại lý thuyết về tính đơn điệu của hàm số
………………
2.3.2.
Giải pháp thực hiện trong SKKN...……………………………
Bước 1 Định hướng nhận dạng các dạng toán liên quan đến tính
đơn
điệu
hàm
số.
……………………………………………………
Bước 2 Sau khi học sinh nắm vững ba dạng đã nêu đưa ra một số ví
dụ
kết
hợp
dạng
2

và
dạng
3…..
…………………………………
Bước 3 Đưa ra một số bài tập trắc nghiệm củng cố và nâng
cao…….
2.4. Hiệu quả thực hiện của việc áp dụng SKKN trong thực tế dạy học…..…
III.
KẾT
LUẬN
VÀ
KIẾN
NGHỊ……………………………………………….
3.1. Kết luận………………………………………………………………………..
3.2. Kiến nghị………………………………………………………………………
Tài liệu tham khảo…………………………………………………………………
Danh
mục
các
SKKN
đã
được
công
nhận………………………………………

1
1
1
3
3

3
3
4
5
5

5
5
7
20
20
20
21
22

22