một số phương trình hàm lượng giác và các bài toán liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN VĂN HÙNG

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH HÀM LƯỢNG GIÁC
VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Bình Định - Năm 2021


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN VĂN HÙNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH HÀM LƯỢNG GIÁC
VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP
Mã số: 8460113
Khóa: 22 (2019 - 2021)

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Sum

Bình Định - Năm 2021

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn. Tơi xin cam
đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực không
trùng lặp với đề tài khác. Đề tài “Một số phương trình hàm lượng
giác và các bài toán liên quan” là kết quả nghiên cứu của tôi dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Sum và chưa từng được công bố trong
bất cứ cơng trình khoa học nào khác cho đến thời điểm hiện tại. Tôi cũng
xin cam đoan rằng các kết quả được trình bày trong luận văn có tài liệu
tham khảo được trích dẫn rõ ràng, đảm bảo tính trung thực, chính xác.
Bịnh Định, tháng 7 năm 2021
Tác giả

Nguyễn Văn Hùng


Mục lục

Lời cam đoan
Danh mục các ký hiệu, chữ viết tắt
Mở đầu

1

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Hàm số chẵn, hàm số lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn . . . . . . . . . . . .

4

1.2.1

Hàm số tuần hồn cộng tính . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.2

Hàm số phản tuần hồn cộng tính . . . . . . . . . .

4

1.2.3

Hàm số tuần hồn nhân tính . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.4

Hàm số phản tuần hồn nhân tính . . . . . . . . . .

5

1.2.5

Mối liên hệ giữa các hàm tuần hồn cộng tính và
nhân tính

1.3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Đặc trưng của một số hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.1

Hàm số tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.2

Hàm số affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.3

Hàm số mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.4

Hàm số logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

i


ii

1.3.5

Hàm số lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.6

Hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.7

Hàm lượng giác ngược . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.8

Các hàm hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.9

Hàm cộng tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Chương 2: Phương trình hàm d’Alembert
2.1

11

Nghiệm liên tục của phương trình hàm
d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2

Nghiệm tổng quát của phương trình hàm
d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3

Một số bài toán áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Chương 3: Một số dạng khác của phương trình hàm lượng
giác

43

3.1

Nghiệm của phương trình hàm cosin-sin . . . . . . . . . . . 43

3.2

Nghiệm của phương trình hàm sin-cosin . . . . . . . . . . . 49

3.3

Nghiệm của phương trình hàm sin . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4

Nghiệm của bất phương trình hàm sin . . . . . . . . . . . . 63

3.5

Một số bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Kết luận

72

Tài liệu tham khảo

73


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
∀, ∃

: Các ký hiệu của logic

R

: Tập hợp các số thực

R+

: Tập hợp các số thực dương

R−

: Tập hợp các số thực âm

Q

: Tập hợp các số hữu tỷ

Q+

: Tập hợp các số hữu tỷ dương

Q+

: Tập hợp các số hữu tỷ âm

Z

: Tập hợp các số nguyên

Z+

: Tập hợp các số nguyên dương

Z−

: Tập hợp các số nguyên âm

N

: Tập hợp các số tự nhiên

N+

: Tập hợp các số tự nhiên dương

D(f )

: Tập xác định của hàm số f (x)

x∈M

: x là phần tử của M

A⊂M

: A là tập hợp con của M

∪, ∩, ⊂, ⊃, \ : là các phép toán trên tập hợp
f (g(x, y))

: là giá trị f (t) với t = g(x, y)


Mở đầu
Phương trình hàm là một lĩnh vực nghiên cứu của giải tích Tốn học,
bắt đầu từ các cơng trình của d’Alembert, Cauchy, Abel, Euler, ...
Các phương trình hàm cổ điển đã được nghiên cứu trong một thời gian
hơn 250 năm và các kết quả cơ bản về phương trình hàm đã được biên tập
trong nhiều tài liệu như J. Aczél [3], M. Kuczma [4]. Gần đây, một số tài
liệu khác được nhiều tác giả biên soạn và cập nhật nhiều vấn đề mới mẻ
như P. Sahoo và P. Kannappan [5], C. Efthimiou [6]. Tuy vậy, các tài liệu
tham khảo ở trong nước về phương trình hàm chưa phong phú.
Trong chương trình Tốn giảng dạy ở bậc Trung học phổ thơng và
chương trình giảng dạy về nghiệp vụ Tốn đối với chương trình đào tạo
hệ Đại học Sư phạm, phương trình hàm có một vị trí quan trọng, nó có
sự liên hệ chặt chẽ với nhiều lĩnh vực khác trong việc giải các bài tốn sơ
cấp. Hơn nữa, phương trình hàm là một trong các dạng Toán thường xuất
hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi ở bậc phổ thông và các kỳ thi Olympic
toán cho sinh viên của các trường Đại học.

Trong những năm gần đây, đã có nhiều tài liệu và các đề tài về phương
trình hàm được biên soạn và nghiên cứu. Tuy nhiên, các bài toán về phương
trình hàm rất phong phú và đa dạng, một trong những lớp phương trình
hàm có nhiều liên hệ với Tốn học phổ thơng là lớp phương trình hàm
lượng giác. Vì vậy các vấn đề cần tìm hiểu, nghiên cứu về lớp phương
trình hàm này là thiết thực, phục vụ cho công tác giảng dạy và bồi dưỡng
cho học sinh.

1


2

Mục đích của luận văn này là trình bày, hệ thống hóa các kiến thức
về một số phương trình hàm lượng giác, bao gồm phương trình hàm
d’Alembert, phương trình hàm sin–cosin, phương trình hàm sin . . . và hệ
thống các bài tốn ứng dụng của nó. Ngồi ra, luận văn này cũng trình
bày lại một số kết quả về bất phương trình hàm sin.
Luận văn gồm phần mở đầu, 3 chương nội dung, kết luận và tài liệu
tham khảo.
Chương 1, trình bày các kiến thức chuẩn bị về hàm và phương trình
hàm nói chung.
Chương 2, trình bày lý thuyết và các bài tốn về phương trình hàm
d’Alembert.
Chương 3, trình bày các kết quả về phương trình hàm liên quan đến
các hàm số sin và hàm số cosin, phương trình và bất phương trình hàm
sin cùng một số bài tốn liên quan.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS.
Nguyễn Sum. Xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy. Thầy đã tận
tình giúp đỡ, truyền đạt những kiến thức quý báu và kinh nghiệm trong

quá trình làm luận văn này.
Cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu trường Đại
học Quy Nhơn, Phịng Đào tạo sau Đại học, Khoa Tốn và Thống kê cùng
quý thầy (cô) giảng dạy lớp Phương pháp Tốn sơ cấp khóa 22 (2019 –
2021) đã tận tình giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong q trình
học tập và hồn thành đề tài.


CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tơi trình bày tóm tắt một số khái niệm và
tính chất cơ bản của hàm số sẽ được sử dụng trong các chương tiếp theo.
Các kiến thức trình bày trong chương này được chúng tôi tham khảo trong
tài liệu [1].
Ta xét hàm số f (x) với tập xác định D(f ) ⊂ R và tập giá trị R(f ) ⊂ R.

1.1

Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Định nghĩa 1.1.
a. Hàm số f (x) được gọi là hàm số chẵn trên M ⊂ D (gọi tắt là hàm
chẵn trên M ) nếu

∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M và f (−x) = f (x), ∀x ∈ M.
b. Hàm số f (x) được gọi là hàm số lẻ trên M ⊂ D (gọi tắt là hàm lẻ
trên M ) nếu

∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M và f (−x) = −f (x), ∀x ∈ M.

Chúng tơi nhắc lại các tính chất sau.

3


4

Mệnh đề 1.1. Nếu x0 ∈ R và f là hàm số xác định trên R sao cho

f (x0 − x) = f (x), ∀x ∈ R thì
f (x) = g x −

x0
, ∀x ∈ R,
2

trong đó g là hàm số chẵn trên R.
Mệnh đề 1.2. Nếu a, b ∈ R và hàm số f xác định trên R thỏa mãn

f (a − x) + f (x) = b, ∀x ∈ R
a
b
thì f (x) = g x −
+ , với g là hàm lẻ tùy ý trên R.
2
2

1.2
1.2.1

Hàm số tuần hồn và phản tuần hồn
Hàm số tuần hồn cộng tính

Định nghĩa 1.2. Hàm số f (x) được gọi là hàm tuần hồn cộng tính chu
kì a (a > 0) trên M nếu M ⊂ D(f ) và

∀x ∈ M ⇒ x ± a ∈ M,
f (x + a) = f (x) , ∀x ∈ M.
Số a được gọi là chu kì. Chu kì a0 nhỏ nhất (nếu có) gọi là chu kì cơ sở.
Mệnh đề 1.3. Cho các hàm số f (x), g(x) là hàm tuần hồn cộng tính
a
trên M ⊂ D (f ) ∩ D (g) có các chu kì lần lượt là a, b với ∈ Q. Khi đó
b
F (x) = f (x) ± g (x) và G (x) = f (x) g (x)
cũng là các hàm số tuần hồn cộng tính trên M .

1.2.2

Hàm số phản tuần hồn cộng tính

Định nghĩa 1.3. Hàm số f (x) được gọi là hàm phản tuần hồn cộng tính
chu kì b (b > 0) trên M nếu M ⊂ D(f ) và

∀x ∈ M ⇒ x ± b ∈ M,
f (x + b) = −f (x) , ∀x ∈ M.


5

Số b được gọi là chu kì. Chu kì b0 nhỏ nhất (nếu có) gọi là chu kì cơ sở.

Mệnh đề 1.4. Mọi hàm số phản tuần hồn cộng tính trên M cũng là hàm
số tuần hồn cộng tính trên M.
Mệnh đề 1.5. Hàm số f (x) là hàm phản tuần hồn cộng tính chu kì

b (b > 0) trên M khi và chỉ khi f (x) có dạng
f (x) = g (x + b) − g (x) ,
với g(x) là hàm tuần hồn cộng tính chu kì 2b trên M.

1.2.3

Hàm số tuần hồn nhân tính

Định nghĩa 1.4. Hàm số f (x) được gọi là hàm tuần hồn nhân tính chu
kì a (a ∈
/ {0, 1, −1}) trên M nếu M ∈ D (f ) và

∀x ∈ M ⇒ a±1 x ∈ M,
f (ax) = f (x) , ∀x ∈ M.
Mệnh đề 1.6. Nếu f (x), g(x) là các hàm số tuần hồn nhân tính chu kì
ln |a|
a, b tương ứng trên M và
∈ Q thì các hàm số F (x) = f (x) ± g (x)
ln |b|
và G (x) = f (x) g (x) cũng là các hàm số tuần hồn nhân tính trên M .

1.2.4

Hàm số phản tuần hồn nhân tính

Định nghĩa 1.5. Hàm số f (x) được gọi là phản tuần hồn nhân tính chu

kì b (b ∈
/ {0, 1, −1}) trên M nếu M ∈ D (f ) và

∀x ∈ M ⇒ b±1 x ∈ M,
f (bx) = −f (x) , ∀x ∈ M.
Mệnh đề 1.7. Nếu f là hàm số phản tuần hồn nhân tính chu kì b (b = 0, ±1)
trên M thì f là hàm số tuần hồn nhân tính chu kì b2 trên M.


6

Mệnh đề 1.8. Hàm số f (x) là hàm phản tuần hồn nhân tính chu kì

b (b ∈
/ {0, 1, −1}) trên M khi và chỉ khi f (x) có dạng
f (x) =

1
[g (bx) − g (x)] ,
2

trong đó g(x) là hàm tuần hồn nhân tính chu kì b2 trên M.

1.2.5

Mối liên hệ giữa các hàm tuần hồn cộng tính và nhân
tính

Các mệnh đề sau đây chỉ ra mối quan hệ giữa các hàm tuần hồn cộng
tính và nhân tính.

Mệnh đề 1.9. Hàm số f (x) thỏa mãn hệ thức

f (ax) = f (x) , ∀x ∈ R,
với a > 0, a = 1 khi và chỉ khi



 h1 (loga x) ,
f (x) = c tùy ý,


 h (log |x|) ,
2

a

(1.1)

nếux > 0,
nếu x = 0,
nếu x < 0,

trong đó h1 (t), h2 (t) là các hàm tuần hoàn cộng tính tùy ý chu kì 1 trên
R.
Mệnh đề 1.10. Hàm số g(x) thỏa mãn hệ thức

g (ax) = g (x) , ∀x ∈ R,
với a < 0, a = −1 khi và






g (x) =





(1.2)

chỉ khi

h3

1
2 log|a| x

,

d tùy ý ,
h4

1
2 log|a| x

nếu x > 0,
nếu x = 0,

,

nếu x < 0,

trong đó h3 (t), h4 (t) là các hàm tuần hồn cộng tính tùy ý chu kì 1 trên
R.


7

Nhận xét 1.1. Nếu f (x) là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì a > 0 trên R
thì ta có được hàm số g(t) = f (lnt), (t > 0) là hàm tuần hồn nhân tính
chu kì ea trên R+ . Ngược lại, nếu f (x) là hàm tuần hàm nhân tính chu kì

a (0 < a = 1) trên R+ , thì g(t) = f (et ) là hàm tuần hồn cộng tính chu
kì lna trên R.

1.3

Đặc trưng của một số hàm sơ cấp

Để mô tả bức tranh mang tính định hướng, gợi ý và dự đốn của cơng
thức nghiệm của các bài tốn có liên quan, chúng ta xét một vài tính chất
hàm tiêu biểu của một số dạng hàm số quen biết.

1.3.1

Hàm số tuyến tính

Hàm số f (x) = ax (a = 0) có tính chất

f (x + y) = f (x) + f (y),
1.3.2

∀x, y ∈ R.

Hàm số affine

Hàm số f (x) = ax + b (a, b = 0) có tính chất

f

1.3.3

x+y
2

=

1
[f (x) + f (y)] ,
2

∀x, y ∈ R.

Hàm số mũ

Hàm số f (x) = ax (a > 0, a = 1) có tính chất

f (x + y) = f (x) f (y) ,

∀x, y ∈ R.


8

1.3.4

Hàm số logarit

Hàm số f (x) = loga |x| (a > 0, a = 1) có tính chất

f (xy) = f (x) + f (y) ,
1.3.5

∀x, y ∈ R\ {0} .

Hàm số lũy thừa

Hàm số f (x) = |x|a có tính chất

f (xy) = f (x) f (y) ,
1.3.6

∀x, y ∈ R\ {0} .

Hàm số lượng giác

Hàm số f (x) = sin x có tính chất

f (3x) = 3f (x) − 4[f (x)]3 ,

∀x ∈ R.

Hàm số f (x) = cos x có tính chất

f (2x) = 2[f (x)]2 − 1,

∀x ∈ R,

và

f (x + y) + f (x − y) = 2f (x) f (y) ,

∀x, y ∈ R.

Cặp hàm số f (x) = sin x, g (x) = cos x có tính chất

f (x + y) = f (x) g (y) + f (y) g (x)
g (x + y) = g (x) g (y) − f (x) f (y)
với mọi x, y ∈ R.
Hàm số f (x) = tan x có tính chất

f (x + y) =
với mọi x, y, x + y =

f (x) + f (y)
1 − f (x) f (y)

(2k + 1) π
π

(k ∈ Z) ; x, y = + kπ.
2
2


9

Hàm số f (x) = cot x có tính chất

f (x + y) =

f (x) f (y) − 1
f (x) + f (y)

với mọi x, y, x + y = kπ (k ∈ Z) .

1.3.7

Hàm lượng giác ngược

a. Hàm f (x) = arcsin x có tính chất

f (x) + f (y) = f x 1 − y 2 + y

1 − x2 ,

∀x, y ∈ [−1, 1] .

b. Hàm g (x) = arccos x có tính chất

g (x) + g (y) = g xy −

1 − y2

1 − x2 ,

∀x, y ∈ [−1, 1] .

c. Hàm h (x) = arctan x có tính chất

h (x) + h (y) = h

x+y
1 − xy

,

∀x, y : xy = 1.

d. Hàm p (x) = arccotx có tính chất

p (x) + p (y) = p

1.3.8

xy − 1
,
x+y

∀x, y : x + y = 0.

Các hàm hyperbolic

a. Hàm f (x) = sinhx := 21 (ex − e−x ) có tính chất

f (3x) = 3f (x) + 4[f (x)]3 , ∀x ∈ R.
b. Hàm g (x) = coshx := 12 (ex + e−x ) có tính chất

g (x + y) + g (x − y) = 2g (x) g (y) , ∀x, y ∈ R.


10

c. Hàm h (x) = tanhx :=

ex −e−x
ex +e−x

h (x + y) =
d. Hàm p (x) = cothx :=

p (x + y) =

1.3.9

có tính chất

h (x) + h (y)
, ∀x, y ∈ R.
1 + h (x) h (y)

ex +e−x
ex −e−x

có tính chất

1 + p (x) p (y)
,
p (x) + p (y)

∀x, y : x, y, x + y = 0.

Hàm cộng tính

Định nghĩa 1.6. Hàm số f : R → R được gọi là hàm cộng tính nếu

f (x + y) = f (x) + f (y)
với mọi x, y ∈ R.
Chúng tôi nhắc lại kết quả sau
Định lý 1.1. Nếu f : R → R là hàm số liên tục và cộng tính thì f là hàm
tuyến tính. Tức là tồn tại hằng số a sao cho f (x) = ax với mọi x ∈ R.


CHƯƠNG 2

PHƯƠNG TRÌNH HÀM
D’ALEMBERT
Trong chương này, chúng tơi trình bày phương trình hàm d’Alembert
cổ điển. Các kiến thức trình bày trong chương này chúng tôi tham khảo
từ tài liệu [5].

Chúng ta đã biết rằng từ hệ thức lượng giác

cos(x + y) + cos(x − y) = 2 cos(x) cos(y)
dẫn đến phương trình hàm

f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y)

(2.1)

với mọi x, y ∈ R.
Trong chương này, chúng ta trình bày các kết quả về phương trình
hàm trên cùng với một số phương trình hàm khác có cùng tính chất đặc
trưng của hàm cosin. Phương trình hàm trên được gọi là phương trình
hàm d’Alembert.

2.1

Nghiệm liên tục của phương trình hàm
d’Alembert

Trong mục này chúng tơi trình bày phép chứng minh định lý sau.
11


12

Định lý 2.2. Cho f : R → R là hàm liên tục và thỏa phương trình hàm
(2.1). Khi đó f có một trong các dạng sau

f (x) = 0,

(2.2)

f (x) = 1,

(2.3)

f (x) = cos(αx),

(2.4)

f (x) = cosh(βx) =

eβx + e−βx
2

(2.5)

với mọi x ∈ R, trong đó α, β là những hằng số thực tùy ý.
Chứng minh. Thay x = y = 0 trong phương trình (2.1), ta được

2f (0) = 2[f (0)]2 .
Do đó f (0) = 0 hoặcf (0) = 1.
Nếu f (0) = 0 thì thay y = 0 vào (2.1), ta có 2f (x) = 2f (x)f (0) = 0.
Do đó, ta có f (x) = 0 với mọi x ∈ R. Như vậy nghiệm f (x) của (2.1) có
dạng (2.2).
Giả sử f (0) = 1. Thay thế x = 0 vào (2.1), ta được

f (y) + f (−y) = 2f (0)f (y) = 2f (y). Do đó f (−y) = f (y) với mọi y ∈ R.
Như vậy f là hàm số chẵn. Ta xét các trường hợp sau.

Trường hợp 1. f (x) = 1 với mọi x ∈ R là một nghiệm có dạng (2.3) của
phương trình (2.1).
Trường hợp 2. Tồn tại x0 ∈ R sao cho f (x0 ) < 1.
Thay thế x = y vào (2.1) ta suy ra

f (2x) = 2f (x)2 − 1.

(2.6)

Vì f liên tục tại x = 0 và f (0) = 1 nên tồn tại ε > 0 sao cho f (x) > 0
với mọi x ∈ (−ε, ε). Do f (x0 ) < 1 nên x0 = 0. Ta chọn n0 đủ lớn sao cho
|x0 |
x0
x0
<
ε
.
Khi
đó
f
>
0
.
Ta
chứng
minh
f
< 1.
2n 0
2n 0

2n0


13

x0
2n 0

Thật vậy, giả sử f

f

x0
2n0 −1

1. Sử dụng (2.6) ta có

=f 2

x0
2n0

Bằng cách quy nạp theo k , ta có f

= 2f

x0
2n 0

2

−1

1.

x0

1, với mọi 1 k n0 .
2n0 −k
Với k = n0 , ta có f (x0 ) 1. Điều này mâu thuẫn với giả thiết.
x0
π
Đặt x1 = n , ta có 0 < f (x1 ) < 1. Do đó tồn tại a ∈ 0,
sao cho
2 0
2
f (x1 ) = cos a.
x1 2
Ta có cos a = f (x1 ) = 2f
− 1, suy ra
2
a 2
x1 2 cos a + 1
= cos
=
.
f
2
2
2

x1
a
π
a
x1
∈ (−ε, ε) nên f
> 0 và 0 < < nên cos
> 0, do đó
Vì
2
2
2
2
2
x1
a
a
x1
f
= cos
. Giả sử k 1 và f k = cos k . Ta có
2
2
2
2
a
x1
x1 2
cos k = f k = 2f k+1 − 1.
2

2
2
Do đó, ta được

1
a 2
a
cos k + 1 = cos k+1 .
2
2
2
x1
a
x1
a
Vì f k+1 > 0 và cos k+1 > 0 nên ta được f k+1 = cos k+1 .
2
2
2
2
Vậy ta đã chứng minh được
f

x1
2k+1

2

=

f

x1
a
=
cos
2n
2n

(2.7)

với mọi n ∈ N.
Với n ∈ N cố định, ta chứng minh

f

mx1
ma
=
cos
2n
2n

(2.8)

với mọi m ∈ Z. Hệ thức (2.7) chứng tỏ (2.8) đúng với m = 1. Giả sử hệ
thức (2.8) đúng với m

k và k

1. Khi đó sử dụng (2.1) và giả thiết quy


14

nạp ta có

a
a
a
=f k n+ n
n
2
2
2
a
a
a
a
= 2f k n f n − f k n − n
2
2
2
2
a
a
a
= 2f k n f n − f (k − 1) n
2
2

2
a
a
a
= 2 cos k n cos n − cos (k − 1) n
2
2
2
a
a
= 2 cos k n cos n
2
2
a
a
a
a
− cos k n cos n + sin k n sin n
2
2
2
2
a
a
a
a
= cos k n cos n − sin k n sin n
2
2
2

2
a
= cos (k + 1) n .
2
Vậy ta đã chứng minh hệ thức (2.8) với mọi m ∈ N∗ . Vì các hàm số f và
f (k + 1)

cosin là các hàm số chẵn và f (1) = cos 0 = 1, nên hệ thức (2.8) đúng với
mọi m ∈ Z.
Với a ∈ R, ký hiệu a là phần nguyên của a.
x
Bây giờ lấy x ∈ R và đặt t = . Với n ∈ N, ta có
x1
2n t
2n t
1
t
<
+
,
2n
2n
2n
2n t
kn
nên t = lim n . Đặt kn = 2n t ∈ Z, ta có x = lim
x1 .
n→∞ 2
n→∞ 2n
Vì f liên tục nên dùng hệ thức (2.8), ta có

kn
x1
n→∞
2n
kn
= lim cos n a = cos(ta)
n→∞
2
a
= cos
x = cos(αx),
x1

f (x) = lim f

a
= 0. Vậy f (x) = cos αx với mọi x ∈ R, là nghiệm có dạng
x1
(2.4) của phương trình (2.1), trong đó α là hằng số khác 0.
với α =


15

Trường hợp 3. Tồn tại x0 ∈ R sao cho f (x0 ) > 1.
Do f liên tục tại 0 và f (0) = 1 nên tồn tại ε > 0 sao cho f (x) > 0
với mọi x ∈ (−ε, ε). Vì f (x0 ) > 1 nên x0 = 0. Chọn n0 ∈ N sao cho
x0
x0

∈
(−ε,
ε)
.
Ta
chứng
minh
f
> 1.
2n0
2n 0
x0
Giả sử f n
1. Sử dụng hệ thức (2.6), ta có
2 0

x0

f

Giả sử 1

2n0 −1
x0
k < n0 và f n −k
2 0
f

x0
2n0 −k−1

= 2f

x0
2n 0

2

−1

1.

1. Khi đó sử dụng (2.6), ta có
= 2f

x0

2

2n0 −k

−1

1.

Lấy k = n0 ta được f (x0 ) 1, điều này mâu thuẫn với giả thiết.
x0
Do đó f n > 1.
2 0
x0

Đặt x1 = n . Ta có f (x1 ) > 1, do đó tồn tại b > 0 sao cho
2 0
eb + e−b
x1 2
f (x1 ) = cosh(b) =
. Ta có cosh(b) = f (x1 ) = 2f
−1
2
2
nên suy ra
x1 2 cosh(b) + 1
b 2
.
f
=
= cosh
2
2
2

b
x1
x1
∈ (−ε, ε) nên f
> 0 và cosh
2
2
2
b
x1

f
= cosh
.
2
2
Vì

> 0, do đó

Ta chứng minh

f

x1
b
=
cosh
2n
2n

(2.9)

với mọi n ∈ N. Thật vậy, ta đã chứng minh (2.9) đúng với n = 0, 1.
Giả sử hệ thức (2.9) đúng với n = k
cosh

b
2k

=f

1. Khi đó ta có

x1
x1
=
2f
2k
2k+1

2

− 1.


16

Suy ra

x1
f k+1 =
2
Vì

cosh

b
2k
2

+1
= cosh

2k+1

x1
b
x1
∈
(−ε,
ε)
nên
f
>
0
và
cosh
2k+1
2k+1
2k+1
f

x
2k+1

= cosh

b
2k+1

2

b

.

> 0, do đó

.

Như vậy hệ thức (2.9) đúng với mọi n ∈ N.
Với n ∈ N∗ cố định, ta chứng minh

f m

x1
b
= cosh m n
n
2
2

(2.10)

với mọi m ∈ Z. Rõ ràng hệ thức (2.9) chứng tỏ hệ thức (2.10) đúng với

m = 1. Giả sử k

1 và hệ thức (2.10) đúng với 1

m

k . Khi đó sử

dụng (2.1) và giả thiết quy nạp ta được

f (k + 1)

x1 x1
x1
=
f
k
+
2n
2n 2n
x1
x1
x1 x1
=f k n f n −f k n + n
2
2
2
2
x1
x1
x1
= f k n f n − f (k − 1) n
2
2

2
b
b
b
= 2cosh k n cosh n − cosh (k − 1) n
2
2
2
b
b
= 2cosh k n cosh n
2
2
b
b
b
b
− cosh k n cosh n − sinh k n sinh n
2
2
2
2
b
b
b
b
= cosh k n cosh n + sinh k n sinh n
2
2
2

2
b
= cosh (k + 1) n .
2

Vậy hệ thức (2.10) đúng với mọi m ∈ N∗ . Vì f chẵn và f (0) = cosh(0) = 1
nên hệ thức (2.10) đúng với mọi m ∈ Z.


17

Bây giờ lấy x ∈ R tùy ý và đặt t =

x
kn
. Khi đó ta có t = lim
n→∞ 2n
x1

và

kn
x1 với kn = 2n t ∈ Z.
n→∞ 2n
Vì f là hàm số liên tục nên sử dụng (2.10) ta được
x = lim

kn
x1
2n

f (x) = lim f
n→∞

kn
b
2n

= lim cosh
n→∞

= cosh(tb) = cosh

b
x = cosh(βx),
x1

b
= 0. Vậy f (x) = cosh(βx) với mọi x ∈ R, là nghiệm có dạng
x1
(2.5) của phương trình (2.1), trong đó β là hằng số khác 0 tùy ý.
với β =

Định lý được chứng minh.
Ta có thể chứng minh định lý này bằng cách sử dụng kiến thức về
phương trình vi phân như sau.
Thay thế x = 0 = y trong phương trình (2.1), ta được

2f (0) = 2[f (0)]2 .
Do đó f (0) = 0 hoặc f (0) = 1.

Nếu f (0) = 0 thì thay thế y = 0 vào (2.1), ta có 2f (x) = 2f (x)f (0),
suy ra 2f (x) = 0. Do đó ta có f (x) = 0, với mọi x ∈ R. Như vậy nghiệm

f (x) của (2.1) có dạng (2.2).
Giả sử f (0) = 1. Thay thế x = 0 vào (2.1), ta suy ra f (−y) = f (y)
với mọi y ∈ R. Như vậy f là hàm số chẵn. Vì f là hàm số liên tục trên R,
nên f cũng khả tích trên các đoạn hữu hạn. Vì vậy, với t > 0, ta có
t

t

f (x − y)dy = 2f (x)

f (x + y)dy +
−t

t

f (y)dy.

−t

−t

Mặt khác, bằng cách đổi biến số z = x + y , ta có
t

x+t

f (x + y)dy =

−t

x+t

f (z)dz =
x−t

f (y)dy.
x−t

(2.11)


18

Bằng cách tính tốn tương tự, ta được
t

x−t

f (x − y)dy =
−t

x+t

x+t

x+t

f (w)dw =

f (w)(−dw) =
x−t

f (y)dy.
x−t

Do đó, thay thế vào (2.11), ta được phương trình
x+t

x+t

f (y)dy +
x−t

t

f (y)dy = 2f (x)

f (y)dy
−t

x−t

hay
x+t

t

f (y)dy = f (x)

f (y)dy.

(2.12)

−t

x−t

Vì f (0) = 1 > 0 và f liên tục nên tồn tại t > 0 sao cho f (y) > 0 với mọi

y ∈ [−t, t]. Do đó ta có
t

f (y)dy > 0.
−t

Vì hàm số f liên tục trên R nên vế trái của (2.12) có đạo hàm theo biến

x, do đó vế phải cũng có đạo hàm. Vì vậy hàm số f có đạo hàm trên R.
Lấy đạo hàm hai vế (2.12) theo biến x ta được

d
dx

x+t
x−t

t

d
f (y)dy =
f (x)
dx

f (y)dy
−t

hay
t

f (x + t) − f (x − t) = f (x)

f (y)dy.

(2.13)

−t

Đẳng thức này chứng tỏ rằng f có đạo hàm cấp 2 trên R và do đó
t

f (x + t) − f (x − t) = f (x)

f (y)dy.
−t

Từ đây suy ra f có đạo hàm cấp 3 trên R. Bằng cách lập luận theo quy
tắc quy nạp, ta thấy rằng nghiệm liên tục bất kỳ của phương trình (2.1)
có đạo hàm vơ hạn lần. Thay thế x = 0 vào (2.13), ta được

t

f (t) − f (−t) = f (0)

f (y)dy.
−t


19

Vì f là hàm số chẵn nên ta có f (t) = f (−t), khi đó ta được
t

f (0)

f (y)dy = 0.
−t

Vì

t
−t f (y)dy

> 0 nên ta suy ra
f (0) = 0.

(2.14)

Vì f có đạo hàm mọi cấp nên lấy đạo hàm đến cấp hai theo biến y hai vế
của phương trình (2.1) ta được

f (x + y) − f (x − y) = 2f (x)f (y),
f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y)
với mọi x, y ∈ R. Thay thế y = 0, ta có

2f (x) = 2f (x)f (0).
Đặt k = f (0). Khi đó

f (x) = kf (x).
Như vậy f là nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

y − ky = 0,
(2.15)
y(0) = 1, y (0) = 0.
Ta giải phương trình vi phân này bằng cách xét 3 trường hợp.
Trường hợp 1. k = 0. Khi đó y = 0, suy ra y(x) = c1 x + c2 , với c1 , c2 là
các hằng số. Vì y(0) = 1 và y (0) = 0 nên c1 = 0, c2 = 1. Do đó y(x) = 1.
Vậy nghiệm trong trường hợp này là f (x) = 1 với mọi x ∈ R.
Trường hợp 2. k < 0. Phương trình đặc trưng λ2 − k = 0 có cặp nghiệm
√
phức liên hợp λ = ± iα với α = −k . Do đó nghiệm của phương trình vi
phân y − ky = 0 có dạng

y(x) = c1 cos(αx) + c2 sin(αx),