chuyen de khao sat ham so va cac bai toan lien quan chuyen de khao sat ham so va cac bai toan lien quan

Gia s Thnh c

www.daythem.edu.vn

KHO ST HM S
CC DNG BI TON LIấN QUAN
*******
I. TNH N IU CA HM S
1)NH L M RNG V TNH N IU CA HM S
nh lớ : Cho hm s y = f (x ) xỏc nh trờn khong K .
f (x ) ng bin trờn K f '(x ) 0, " x ẻ K .
f (x ) nghch bin trờn K f ' (x ) Ê 0, " x ẻ K .
(ch xột trng hp f '(x ) = 0 ti mt s hu hn im trờn khong K )
2) NHC LI KIN THC C BN V TAM THC BC HAI
a) nh lớ v du ca tam thc bc hai g(x ) = ax 2 + bx + c :
Nu < 0 thỡ g(x) luụn cựng du vi a vi mi x ẻ Ă .
ớù b ỹ
ùù
b
Nu = 0 thỡ g(x) luụn cựng du vi a vi mi x ẻ Ă \ ùỡ thỡ g(x ) = 0 .
ý , ti x = ùợù 2a ùỵ
2a
ù
Nu > 0 thỡ g(x) cú hai nghim x1, x2 v trong khong hai nghim thỡ g(x) khỏc du vi a, ngoi
khong hai nghim thỡ g(x) cựng du vi a, (trong trỏi - ngoi cựng).
b) Tam thc g(x ) = ax 2 + bx + c (a ạ 0) khụng i du trờn Ă
ớù a > 0
g(x ) 0, " x ẻ R ùỡ
ùù D Ê 0
ợ

ớù a < 0
ùù D Ê 0
ợ

g(x ) Ê 0, " x ẻ R ùỡ

c) So sỏnh cỏc nghim x 1; x 2 ca tam thc bc hai g(x ) = ax 2 + bx + c vi s 0:

ớù D > 0
ớù D > 0
ùù
ùù
ù
x1 < x 2 < 0 ỡ P > 0
0 < x 1 < x 2 ùỡ P > 0
ùù
ùù
ùù S < 0
ùù S > 0
ợ
ợ
3) CC V D
Vớ d 1: Tỡm cỏc khong ng bin v nghch bin ca cỏc hm s sau:
1
3
1
a) y = - x 4 + x 2 + 1
b) y = x 4 + x 3 - x - 12
4
2

2
Li gii
1
3
a) y = - x 4 - x 2 + 1 .
4
2
TX D = Ă . y ' = - x 3 + 3x = 0 x = 0; x = 3
BBT:
x
0
- 3
3
-Ơ
+
0
0
+
0
y'
y
13
13
1
-Ơ
4
4
Vy hm s ng bin trờn (- Ơ ; b) y =

1

c) y =

x 2 - 7x + 12

+Ơ

-

3);(0; 3) ; nghch bin trờn (-

1 4
x + x 3 - x - 12
2
Tp xỏc nh: D = Ă .

x1 < 0 < x 2 P < 0

-Ơ
3;0);( 3; + Ơ )


Gia s Thnh c

www.daythem.edu.vn

ộx = - 1
ờ
o hm: y ' = 2x 3 + 3x 2 - 1 = 0 (x + 1)2 (2x - 1) = 0 ờ
ờx = 1

ờở
2
Do x = - 1 l nghim bi 2 nờn y' khụng i du khi x i qua - 1 .
BBT:
x
1
+Ơ
-1
-Ơ
2
0
0
+
y'
y
+Ơ
-Ơ

ổ
1ử
ữ v ng bin trờn
Vy hm s nghch bin trờn ỗỗỗ- Ơ ; ữ
ữ
2ữ
ố
ứ

c) y =

ổ1

ỗỗ ; + Ơ
ỗố2

ử
ữ
ữ
ữ
ứữ

x 2 - 7x + 12 .
TX D = (- Ơ ;3] ẩ [4; + Ơ ) . y ' =

2x - 7

= 0 x =

7
2

2 x 2 - 7x + 12
Du ca y ' l du ca nh thc 2x - 7 . Do ú, ta cú bng bin thiờn

x

7
2
|| ////// 0 /////// ||
| //////////////////|

-Ơ

3
-

y'
y

+Ơ

4

+Ơ

+

+Ơ
0
0
Vy hm s nghch bin trờn (- Ơ ;3) v ng bin trờn (4; + Ơ )

Vớ d 2: Chng minh rng:

x-

x3
< sin x < x
6

vi x > 0
Li gii

ớù sin x < x
(a )
ùù
3
BT ỡ
vi x > 0
ùù x - x < sin x
(b)
ùùợ
6
a) Ta chng minh sin x < x
vi x > 0
Xột hm s f (x ) = sin x - x . f (0) = 0

Ta cú: f Â(x ) = cos x - 1 Ê 0 , " x ẻ (0; + Ơ ) f (x ) nghch bin trong (0; + Ơ ) .


f (x ) < f (0) vi x > 0 sin x - x < 0 vi x > 0

b) Ta chng minh x -

x3
< sin x
6

Xột hm s f (x ) = sin x - x +

vi x > 0
x3

x2
= g(x )
. Ta cú f Â(x ) = cos x - 1 +
6
2

ị g Â(x ) = - sin x + x > 0 vi x > 0 g(x ) ng bin g(x ) > g(0) = 0 vi x > 0
hay f Â(x ) > 0 vi x > 0 f (x ) ng bin f (x ) > f (0) = 0 vi x > 0
sin x - x +

x3
x3
> 0 hay x < sin x vi x > 0
6
6
2


Gia sư Thành Được

Từ a) và b) Þ
Ví dụ 3. Cho hàm số y =

www.daythem.edu.vn

x-

x3
< sin x < x
6

với x > 0

1 2
(m - m )x 3 + 2mx 2 + 3x - 1 . Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên ¡ .
3
Lời giải

Tập xác định: D = ¡ . Đạo hàm: y ' = (m 2 - m )x 2 + 4mx + 3
Hàm số luôn đồng biến trên ¡ Û y ' ³ 0 " x Î ¡
ém = 0
Trường hợp 1: Xét m 2 - m = 0 Û êê
êëm = 1
+ Với m = 0 , ta có y ' = 3 > 0, " x Î ¡ , suy ra m = 0 thỏa.
+ Với m = 1 , ta có y ' = 4x + 3 > 0 Û x > -

3
, suy ra m = 1 không thỏa.
4

íï m ¹ 0
Trường hợp 2: Xét m 2 - m ¹ 0 Û ïì
, khi đó:
ïï m ¹ 1
î
íï D ' = m 2 + 3m £ 0
íï D ' £ 0
ï
ï
y ' ³ 0 "x Î ¡ Û ì

Û ìï 2
ïï a > 0
ïï m - m > 0
î
ïî
íï - 3 £ m £ 0
Û ïì
Û - 3£ m < 0
ïï m < 0 Ú m > 1
î
Từ hai trường hợp trên, ta có giá trị m cần tìm là - 3 £ m £ 0 .

Ví dụ 3: Cho hàm số y = x 3 - 3 (m + 1)x 2 + 3 (m + 1)x + 1 . Định m để:
a) Hàm số luôn đồng biến trên R.
b) Hàm số luôn đồng biến trên khoảng (2;+ ¥ ).
Lời giải
a) Tập xác định D = ¡ . y ' = 3x 2 - 6(m + 1)x + 3(m + 1)

íï 3 > 0(h / n )
íï a > 0
ï
Hàm số luôn đồng biến trên ¡ Û y ' ³ 0, " x Î ¡ Û ïì
Û ì
Û - 1£ m £ 0
ïï D ' £ 0
ïï 9m 2 + 9m £ 0
î
ïî
b) Cách 1: Tập xác định D = ¡ . y ' = 3x 2 - 6(m + 1)x + 3(m + 1)
Hàm số luôn đồng biến trên khoảng (2;+ ¥

)Û

y ' ³ 0, " x Î (2; + ¥ )

Û f (x ) = 3x 2 - 6(m + 1)x + 3(m + 1) ³ 0, " x Î (2; + ¥ )
TH1: Nếu D £ 0 Û - 1 £ m £ 0 thì hàm số đồng biến trên ¡ nên hàm số đồng biến trên (2;+ ¥

)

TH2: Nếu D > 0 Û m < - 1; m > 0 (*) thì f (x ) có hai nghiệm x 1, x 2 , giả sử x 1 < x 2
Vì a = 3 > 0 nên BXD
x
-¥

f (x )

+

x1

0

+¥

x2

-

0

+

f (x ) ³ 0, " x Î (2; + ¥ ) Û x 2 £ 2 Û m + 1 +
3

m2 + m £ 2 Û

m2 + m £ 1- m Û m £

1
3


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

So với điều kiện (*) ta được m < - 1; 0 < m £

1
3

é
ê
ê- 1 £ m £ 0
1
ê
Kết hợp hai trường hợp: êm < - 1
Û m £

ê
3
ê
1
ê0 < m £
êë
3
Cách 2: Hàm số luôn đồng biến trên khoảng (2;+ ¥ ) Û y ' ³ 0, " x Î (2; + ¥ )

Û x 2 - 2(m + 1)x + m + 1 ³ 0, " x Î (2; + ¥ )
Û g(x ) =

Ta có g '(x ) =

x 2 - 2x + 1
³ m , " x Î (2; + ¥ )
2x - 1

2x 2 - 2x
(2x - 1)2

= 0 Û x = 0; x = 1

BBT

x

1
+¥
1

2
2
+ 0
|| 0
+ | +
g '(x )
g(x )
+¥
///////////////////////////////////|
1
///////////////////////////////////|
3
1
Dựa vào BBT ta có: m £
3
mx + 7m - 8
Ví dụ 4. Cho hàm số y =
. Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
x- m
Lời giải
Tập xác định: D = ¡ \ {m }

Đạo hàm: y ' =

-¥

0

- m 2 - 7m + 8
2

. Dấu của y ' là dấu của biểu thức - m 2 - 7m + 8 .

(x - m )

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định Û y ' > 0 , " x Î D

(không có dấu bằng)

Û - m 2 - 7m + 8 > 0 Û - 8 < m < 1
Vậy giá trị m cần tìm là - 8 < m < 1 .
mx + 7m - 8
Ví dụ 5. Cho hàm số y =
. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (3;+ ¥
x- m
Lời giải
Tập xác định: D = ¡ \ {m }
Đạo hàm: y ' =

- m 2 - 7m + 8
2

).

. Dấu của y ' là dấu của biểu thức - m 2 - 7m + 8 .

(x - m )

Hàm số đồng biến trên khoảng (3;+ ¥

)

Û y ' > 0 , " x Î (3; + ¥

4

)


Gia s Thnh c

www.daythem.edu.vn

ớù - m 2 - 7m + 8 > 0
ớù - 8 < m < 1
ù
ỡ
ùỡ
- 8< m Ê 3
ùù m Ê 3
ùù m Ê 3
ợ
ùợ
8
< m Ê 3.
Vy giỏ tr m cn tỡm l
4) BI TP RẩN LUYN
Bi 1. Tỡm khong n iu ca hm s
a) y = - 2x 2 + 4x + 5

b) y = x 3 - 2x 2 + x - 2

c) y = x 3 - 3x 2 + 4x - 1
f) y =

d) y =

1 4
x - 2x 2 - 1
4

e) y = - x 4 - 2x 2 + 3

g) y =

x- 1
2- x

h) y =

l) y =

2x - 1 -

3- x

m) y =

Bi 2. Tỡm m hm s hm s y =

2x 2 + x + 26
x+ 2

2x - x 2

2x - 1
x+ 5

k) y = - x + 3 -

1
1- x

ổ p
pử
ữ
< x< ữ
n) y = sin 2x ỗỗỗố 2
2 ứữ

1
(m - 1)x 3 + mx 2 + (3m - 2)x nghch bin trờn tp xỏc nh.
3

HD: m Ê 2
Bi 3. Xỏc nh m hm s y =
a) ng bin trờn R.
HD: a) m ẻ ặ

x 3 mx 2

- 2x + 1 .
3
2
b) ng bin trờn (1;+ Ơ ).

b) m Ê - 1

Bi 4. Tỡm m hm s y = x 3 + 3x 2 - mx - 4 ng bin trờn khong (- Ơ ;0) .
HD: m Ê - 3
mx + 4
Bi 5. Tỡm m hm s y =
nghch bin trờn khong (- Ơ ;1) .
x+m
HD: - 2 < m Ê - 1 .
Bi 6. Cho hm s y = x 3 - 3 (2m + 1)x 2 + (12m + 5)x + 2 .
a) nh m hm s ng bin trờn khong (2;+ Ơ ).
b) nh m hm s ng bin trờn khong (- Ơ ; - 1) .
HD: a) m Ê

5
12

b) m -

7
12

Bi 7. Tỡm m hm s y = 2x 3 - 3(2m + 1)x 2 + 6m (m + 1)x + 1 ng bin trờn khong (2; + Ơ )
HD: m Ê 1
Bi 8. Tỡm m hm s y = x 3 + 3x 2 + mx + m nghch bin trờn mt khong cú di bng 1.

HD: m =

9
4

Bi 9. Tỡm m hm s y = x 3 + (1 - 2m )x 2 + (2 - m )x + m + 2 ng bin trờn (0;+ Ơ
HD: m Ê

5
4

Bi 10. Tỡm m hm s y = x 4 - 2mx 2 - 3m + 1 ng bin trờn khong (1; 2).
5

).


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

HD: m Î (- ¥ ;1ù
ú
û.
mx - 2
Bài 11. Cho hàm số y =
. Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
x+m- 3
HD: m < 1 hoặc m > 2 .
mx - 9

Bài 12. Cho hàm số y =
. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (- ¥ ;2)
x- m
HD: 2 < m < 3 .
mx - 2
Bài 13. Cho hàm số y =
. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (1;+ ¥ )
x- m- 1
HD: m < - 2 .
II. CỰC TRỊ HÀM SỐ
1. ĐIỀU KIỆN CẦN ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ
Định lí 1: (Bổ đề Fermat)Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm trên khoảng (a, b) và điểm x 0 Î (a, b) .
Nếu hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f '(x 0 ) = 0
Chú ý: Điều ngược lại không đúng. Ví dụ hàm số y =

x3
- x 2 + x + 1 có f '(1) = 0 nhưng hàm số không
3

đạt cực trị tại x = 1 .
2. ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ
Định lí 2: Cho hàm số y = f (x ) liên tục trên khoảng (a, b) chứa điểm x 0 và có đạo hàm trên các khoảng
(a, x 0 ); (x 0, b) . Khi đó:

íï f '(x ) <
 Nếu ïì
ïï f '(x ) >
î
íï f '(x ) >
 Nếu ïì

ïï f '(x ) <
î
Hình vẽ minh họa:
BBT

x
f '(x )
f (x )

0, " x Î (a ; x 0 )
0, " x Î (x 0, b)
0, " x Î (a ; x 0 )
0, " x Î (x 0, b)

x0

a
-

thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0
thì hàm số đạt cực đại tại điểm x 0

x

b

+

f '(x )
f (x )

x0

a
+

b

CĐ

CT
Định lí 3: Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm cấp 1 trên khoảng (a, b) chứa điểm x 0 và có đạo hàm cấp 2
khác 0 tại điểm x 0 . Khi đó:
íï f
 Nếu ïì
ïï f
ïî
íï f
ï
 Nếu ì
ïï f
ïî

' (x 0 ) = 0
'' (x 0 ) > 0
' (x 0 ) = 0
'' (x 0 ) < 0

thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0 .
thì hàm số đạt cực đại tại điểm x 0 .

Chú ý: Điều ngược lại không đúng. Ví dụ hàm số y = x 4 + 1 đạt cực tiểu tại x = 0 nhưng f ''(0) = 0 .
NHẬN XÉT:
6


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

a) Hàm số y = f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ¹ 0) có hai điểm cực trị

Û f ' (x ) = 3ax 2 + 2bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt.
b) Hàm số y = f (x ) = ax 4 + bx 2 + c (a ¹ 0) có ba điểm cực trị

Û f ' (x ) = 4ax 3 + 2bx = 0 có ba nghiệm phân biệt.
3. CÁCH VIẾT PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM CỰC TRỊ.
 Dạng 1: Hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d .
Chia y cho y' ta được: y = Q (x ).y '+ A x + B .
Khi đó, y = A x + B là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
ax 2 + bx + c
 Dạng 2 (Nâng cao): Hàm số y =
dx + e

(ax
Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng y =

2

) = 2a x + b

+ bx + c '

(dx + e )'

d

d

4. CÁC VÍ DỤ :
Ví dụ 1: Cho hàm số y =

1 2
(m - 1)x 3 + (m + 1)x 2 + 3x + 5 . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị.
3
Lời giải

Tập xác định: D = ¡ . Đạo hàm: y ' = (m 2 - 1)x 2 + 2(m + 1)x + 3
y ' = 0 Û (m 2 - 1)x 2 + 2(m + 1)x + 3 = 0
Hàm số có hai điểm cực trị Û y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt Û

íï m 2 - 1 ¹ 0
ïï
ì
ïï D ' = (m + 1)2 - 3(m 2 - 1) > 0
ïî
íï m ¹ ± 1
íï m ¹ ± 1
ï
ï

Û
Û ì
Û
ì
ïï - 1 < m < 2
ïï - 2m 2 + 2m + 4 > 0
î
ïî
íï m ¹ 1
Vậy giá trị m cần tìm là ïì
.
ïï - 1 < m < 2
î

íï m ¹ 1
ï
ì
ïï - 1 < m < 2
î

Ví dụ 2. Cho hàm số y = mx 4 + (m 2 - 9)x 2 + 10 . Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị.
Lời giải
Tập xác định: D = ¡ . Đạo hàm: y ' = 4mx 3 + 2(m 2 - 9)x = 2x .(2mx 2 + m 2 - 9)
éx = 0
y ' = 0 Û êê
2
2
êë2mx + m - 9 = 0 (1)
Hàm số có ba điểm cực trị Û y ' = 0 có ba nghiệm phân biệt Û (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0
íï m ¹ 0

ïï
íï m ¹ 0
ïï
ïï ém < - 3
ém < - 3
ï
2
Û ì D ' = - 2m (m - 9) > 0 Û ïì êê
Û êê
ïï
ïï ê0 < m < 3
êë0 < m < 3
ïï m 2 - 9 ¹ 0
ïï ë
ïî
ïïî m ¹ 3
7


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

ém < - 3
Vậy giá trị m cần tìm là êê
.
êë0 < m < 3
1
Ví dụ 3: Cho hàm số y = x 3 + m 2 - m + 2 x 2 + (3m 2 + 1)x + m - 5 . Tìm m để hàm số đạt cực tiểu
3

tại x = - 2 .
Lời giải

(

)

(

)

Tập xác định: D = ¡ . Đạo hàm: y ' = x 2 + 2 m 2 - m + 2 x + 3m 2 + 1
Điều kiện cần: Hàm số đạt cực tiểu tại x = - 2 Þ y '(- 2) = 0 Û

ém = 1
- m + 4m - 3 = 0 Û êê
êëm = 3
2

Điều kiện đủ:
Với m = 1 , ta có: y ' = x 2 + 4x + 4 , y ' = 0 Û x = - 2
Bảng biến thiên
- 2
-¥
x
+
+
0
y'

+¥
+¥

y

-¥
Từ BBT ta suy ra m = 1 không thỏa.
éx = - 14
ê
y
'
=
0
Û
Với m = 3 , ta có: y ' = x + 16x + 28 ,
êx = - 2
êë
Bảng biến thiên
- 14
- 2
-¥
x
+
+
0
0
y'
y
CĐ
CT

-¥
Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = - 2 .
Vậy giá trị m cần tìm là m = 3
2

+¥
+¥

Ví dụ 4: Tìm m để hàm số y = x 3 + (1 - 2m )x 2 + (2 - m )x + m + 2 đạt cực trị tại x 1, x 2 sao cho
x1 - x 2 >

1
.
3

Lời giải
2

TXĐ: D = ¡ . Ta có: y ' = 3x + 2(1 - 2m )x + (2 - m )
Hàm số có CĐ, CT Û y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1, x 2
Û D ' > 0 Û 4m 2 - m - 5 > 0 Û m < - 1; m >

Theo định lí Viet: x 1 + x 2 = Theo giả thiết: x 1 - x 2 >

5
4

(*)

2(1 - 2m )

2- m
; x 1x 2 =
3
3

2
2
1
1
Û (x 1 - x 2 ) = (x 1 + x 2 ) - 4x 1x 2 >
3
9

Û 4(1 - 2m )2 - 4(2 - m ) > 1 Û 16m 2 - 12m - 5 > 0 Û m <
8

3-

29
8

; m>

3+

29
8


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

3+

Kết hợp (*), ta suy ra m < - 1; m >

29
8

Ví dụ 5: Cho hàm số y = x 4 - 2mx 2 + m - 1 . Tìm m để đồ thị của hàm số có 3 điểm cực trịA, B,C đồng
thời các điểm A,B,C tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều.
Giải
TXĐ: D = ¡ . Ta có: y’ = 4x (x 2 - m ) .Cho y ' = 0 Û x = 0; x 2 = m .
Hàm số có 3 cực trị Û phương trình y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt Û m > 0
Toạ độ 3 điểm cực trị là A(0; m - 1) , B (- m ; - m 2 + m - 1),C ( m ; - m 2 + m - 1)
Ta luôn có AB=AC nên tam giác ABC đều khi:
A B 2 = BC 2 Û m 4 + m = 4m Û m =
4

2

3

3 (vì m > 0 )

4

Ví dụ 6: Cho hàm số y = x - 2mx + 2m + m (1), với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số (1)
có ba điểm cực trị A, B ,C đồng thời các điểm A, B ,C tạo thành một tam giác vuông.

Lời giải
éx = 0
Tập xác định: D = ¡ . Đạo hàm: y ' = 4x 3 - 4mx = 4x (x 2 - m ) . y ' = 0 Û êê 2
êëx = m
Đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B ,C Û y ' = 0 có ba nghiệm phân biệt Û m > 0 (*)
Khi đó y ' = 0 có ba nghiệm phân biệt là x = 0 , x = ± m
Với x = 0 Þ y = 2m + m 4
Với x = ± m Þ y = m 4 - m 2 + 2m
Tọa độ các điểm cực trị A, B ,C là

) (

(

) ( m ;m

A 0;2m + m 4 ; B - m ; m 4 - m 2 + 2m ;C
uuur
uuur
Suy ra: A B = - m ; - m 2 ; A C = m ; - m 2

(

)

(

4

- m 2 + 2m

)

)

Tam giác A BC vuông Û Tam giác A BC vuông tại A
uuur uuur
Û A B .A C = 0 Û - m + m 4 = 0 Û

ém = 0
ê
êm = 1
êë

So với (*) suy ra giá trị m cần tìm là m = 1 .
Ví dụ 7: Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 - mx + 2 .
a)Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số.
b)Tìm m để 2 điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị cách đều đường thẳng d : y = x - 1
Lời giải
a)TXĐ: D = ¡ . Tính y’ = 3x 2 - 6x - m .
Hàm số có cực đại và cực tiểu Û y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt Û D > 0 Û m > - 3
x 1
m
m
Chia đa thức y cho y’ , ta được y = ( - )y '- 2( + 1)x + 2 3 3
3
3
m
m
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D : y = - 2( + 1)x + 2 3

3
b)Giả sử đồ thị có điểm cực đại, cực tiểu là A (x 1; y1 ), B (x 2 ; y 2 ).

9


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

íï m
ïï 2( + 1) = 1
9
TH1: D / / d Û ïì 3
Û m = - < - 3
ïï
m
2
¹ 1
ïï 2 3
ïî

(loại)

íï
ïï x = x 1 + x 2 = 1
TH2: Trung điểm của đoạn AB nằm trên d . Toạ độ trung điểm AB là E : ì
2
ïï
y

=
m
ïïî
Vì E (1; - m ) Î d , suy ra m = 0

5) BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1. Tìm cực trị của các hàm số sau
a) y = 3x 2 - 2x 3

b) y = x 3 - 2x 2 + 2x - 1

c) y = -

1 3
x + 4x 2 - 15x
3

f) y = -

x4
3
+ x2 +
2
2

d) y =

x4
- x2 + 3
2

e) y = x 4 - 4x 2 + 5

g) y =

- x 2 + 3x + 6
x+2

h) y =

x 2 - 2x + 5

i) y = x +

2x - x 2

Bài 2. Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + m - 2 . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị.
HD: m < 3
1
Bài 3. Cho hàm số y = (m 2 - 1)x 3 + (m + 1)x 2 + 3x + 5 . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
3
HD: - 1 < m < 2 và m ¹ 1 .
Bài 4. Xác định m để hàm số y = x 3 - 3x 2 + 3mx + 3m + 4
a)Không có cực trị.
b)Có cực đại và cực tiểu.
HD: a) m ³ 1 b) m < 1
Bài 5. Cho hàm số y = x 4 + (m + 1)x 2 - 2m - 1 . Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị.
HD: m < - 1 .
Bài 6. Tìm m để hàm số y = mx 4 + (m - 1)x 2 + 2m
a) Có ba điểm cực trị

b) Có cực đại mà không có cực tiếu.
HD: a) 0 < m < 1
b) m £ 0
1
Bài 7. Tìm m để hàm số: y = x 3 + m 2 - m + 2 x 2 + 3m 2 + 1 x + m - 5 đạt cực tiểu tại x = - 2
3
HD: m = 3

(

)

(

)

Bài 8. Cho hàm số y = x 3 - (m + 1)x 2 + (3m - 4)x + 5 . Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
HD: m = 3 .
Bài 9. Cho hàm số y = x 3 - 3mx 2 + 9x + 3m - 5 . Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết
phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy.
HD: y = (6 - 2m 2 )x + 6m - 5
2 3
x + (m + 1)x 2 + (m 2 + 4m + 3)x - 1 . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu
3
và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương.
HD: - 5 < m < - 3 .

Bài 10. Cho hàm số y =

10

Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

Bài 11. Cho hàm số y = x 3 + (1 - 2m )x 2 + (2 - m )x + m + 2 . Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị
đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
5
7
HD: m < - 1; < m <
4
5
1
Bài 12. Cho hàm số y = x 3 - mx 2 + (2m - 1)x - m + 2 (C m ) . Định m để hàm số có hai điểm cực trị
3
cùng dương.
Bài 13. Tìm m để y = x 3 + mx 2 + 7x + 3 có đường thẳng đi qua CĐ, CT vuông góc với đường thẳng d:
y = 3x - 7.
HD: m = ±

3 10
2

Bài 14. Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + m - 2 có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai
phía đối với trục hoành.
HD: m < 3
Bài 15. Tìm m để đồ thị hàm số y = - x 3 + (2m + 1)x 2 - (m 2 - 3m + 2)x - 4 có các điểm cực đại và cực
tiểu nằm về hai phía đối với trục tung.
HD: 1 < m < 2

1
Bài 16. Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 - mx 2 + (2m - 1)x - 3 có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về
3
cùng một phía đối với trục tung
1
HD: m > ; m ¹ 1
2
Bài 17. Tìm m để đồ thị hàm số y = - x 3 + 3mx 2 - 3m - 1 có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau
qua đường thẳng d : x + 8y - 74 = 0
HD: m = 2
Bài 18. Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 - 3x 2 - mx + 2 có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường
thẳng y = x - 1
HD: m = 0; m = -

3
2

Bài 19. Tìm m để hàm số y =

1
1
mx 3 - (m - 1)x 2 + 3 (m - 2)x +
đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn
3
3

x 1 + 2x 2 = 1.

HD: m = 2; m =

2
3

Bài 20. Cho hàm số y = x 3 + (m - 1)x 2 - (2m + 1)x - 2m . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x 1 và
x 2 sao cho x 12 + x 22 = x 1x 2 + 1 .
HD:

Bài 21. Cho hàm số y = mx 3 - (m + 2)x 2 + (m - 1)x + 4 . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x 1 và x 2
sao cho

1
x 12

+

1
x 22

= 16 +

1
x 12x 22

.

HD:
11


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

Bài 22. Cho hàm số y = 2x 3 + 3(m - 1)x 2 + 6 (m - 2)x - 1 . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x 1 và
x 2 sao cho x 1 + x 2 = 2 .

HD: m = - 1 .
Bài 23. Cho hàm số: y =

æ3
ö
1 3 1
÷
x - (sin a + cos a )x 2 + ççç sin 2a ÷
x . Tìm a để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại
÷
÷
3
2
è4
ø

x 1, x 2 và x 12 + x 22 = x 1 + x 2 .
HD:

Bài 24. Cho hàm số y = - x 3 + 3x 2 + 3(m 2 - 1)x - 3m 2 - 1 . Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các
điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O .
1
HD: m = ± .
2

Bài 25. Cho hàm số y = 2x 3 + 3 (m - 3)x 2 + 11 - 3m . Tìm m để hàm số đạt CĐ, CT tại hai điểm A, B
sao cho 3 điểm A, B, C(0; -1) thẳng hàng.
HD:
1
4
Bài 26. Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 - (m + 1)x 2 + (m + 1)3 có các điểm cực đại và cực tiểu nằm
3
3
về hai phía của đường tròn (C ) : x 2 + y 2 - 4x + 3 = 0
HD: m <

1
2

Bài 27. Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 - 3x 2 - mx + 2 có hai điểm cực đại và cực tiểu là A, B và đường
thẳng đi qua hai điểm A, B tạo với đường thẳng d : x + 4y - 5 = 0 một góc 450
HD: m = -

1
2

Bài 28. Cho hàm số: y = x 4 - 2mx 2 + 2m . Xác định m để hàm số có ba điểm cực trị và các điểm cực trị
này thỏa
a) Lập thành 1 tam giác đều.
b) Lập thành 1 tam giác vuông.
c) Lập thành 1 tam giác có diện tích bằng 32.
HD:

a) m =

3

3

b) m = 1

c) m = 4
2

Bài 29. Tìm m để đồ thị hàm số y = x 4 + mx 2 + 6 a)
b)
c)
d)

m
có ba điểm cực trị A, B ,C sao cho:
2

D A BC là tam giác vuông
Diện tích D A BC bằng 32
Tứ giác A BOC là hình bình hành
Diện tích tứ giác OA BC bằng 52

HD:

a) m = - 2 ;

b) m = - 8 ;

c) m = -

6

d) m = - 8

Bài 30. Tìm m để đồ thị hàm số y = x 4 + 2mx 2 + m 2 + m có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có
một góc bằng 1200
1
HD: m = 3
3
12


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

Bài 31. Cho hàm số y = x 4 - 2mx 2 + m 2 - 2 . Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị và các điểm cực trị của
đồ thị hàm số là ba đỉnh của một tam giác vuông .
HD: m = 1
Bài 32. Tìm m để đồ thị hàm số y = x 4 + (3m + 1)x 2 - 3 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác cân có độ
dài cạnh đáy bằng
HD: m = -

2
lần độ dài cạnh bên.
3

5
3

Bài 33. Tìm m để đồ thị hàm số y = x 4 - 2(1 - m 2 )x 2 + m + 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác
có diện tích lớn nhất
HD: m = 0
Bài 34. Tìm m để đồ thị hàm số y = x 4 - 2mx 2 + 2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có đường
æ3 9 ö
÷
tròn ngoại tiếp đi qua điểm D ççç ; ÷
÷
è5 5 ø÷
HD: m = 1
Bài 35. Tìm m để đồ thị hàm số y = x 4 - 2mx 2 + m - 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán
kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.
HD: m = 1; m =

- 1+
2

5

Bài 36. Tìm m để đồ thị hàm số y = x 4 - 2mx 2 + m có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính
đường tròn nội tiếp bằng 1.
HD: m = 2
Bài 37. Tìm m để đồ thị hàm số y = x 4 - 2mx 2 + m - 2 có ba điểm cực trị A, B ,C và bán kính đường
tròn ngoại tiếp tam giác A BC đạt giá trị nhỏ nhất.
33 2
1
Û m =
HD: min R =
3

4
2

Bài 38. Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x 3 -

3
mx 2 + m
2

tiếp xúc với đường tròn x 2 + y 2 = 1
HD: m = ± 2
Bài 39. Cho hàm số y = x 3 - 3mx 2 - 3x + 3m + 2 (C m ). Định m để (C m ) có cực đại cực tiểu đồng thời
khoảng cách giữa chúng là bé nhất.
III. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1) CÁC BƢỚC KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
 Tìm tập xác định của hàm số.
 Xét sự biến thiên của hàm số:
 Tính y.
 Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 hoặc không xác định.
 Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).
 Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số.
 Vẽ đồ thị của hàm số:
 Tìm điểm đặc biệt của đồ thị (giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ Ox ,Oy , các điểm đặc biệt
13


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

khác...).
 Vẽ đồ thị: vẽ tiệm cận, các điểm cực trị, các điểm đặc biệt và cuối cùng vẽ đồ thị
 Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị.
Chú ý: Đối với hàm bậc ba tìm thêm điểm uốn. Cách tìm như sau:
Tính y '' , giải pt y '' = 0 tìm x 0 Þ y 0 = f (x 0 ) Þ điểm uốn I (x 0 ; y 0 )
2) CÁC DẠNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ:
a) Hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d

(a ¹ 0)





Tập xác định D = ¡ .
Đồ thị luôn có một điểm uốn I và nhận điểm uốn I làm tâm đối xứng
Các dạng đồ thị:
a> 0
a< 0
y
y
y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
I
0

x

0 I

x

y’ = 0 có nghiệm kép

y’ = 0 vô nghiệm

y

y
I

I

0

x

b) Hàm số trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c (a ¹ 0)




Tập xác định D = ¡ .
Đồ thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng.
Các dạng đồ thị:

14

0

x

Gia s Thnh c

www.daythem.edu.vn

a 0

a 0
y

y

y 0 cú 3 nghim phõn
bit

0

x

0

x

x

y

y 0 ch cú 1 nghim

0

y

0

x

ax + b
(c ạ 0, ad - bc ạ 0)
cx + d
ùớ d ỹù
Tp xỏc nh D = Ă \ ỡ - ý .
ùợù c ùỵù
d
a
th cú mt tim cn ng l x = v mt tim cn ngang l y = . Giao im ca hai tim
c
c
cn l tõm i xng ca th hm s.
Cỏc dng th:

d) Hm s nht bin y =




y

y

0

0

x

x

ad bc 0

ad bc 0
Vớ d: Kho sỏt s bin thiờn v v th ca cỏc hm s:
a) y = x 3 + 3x 2 4

b) y = x 4 - 2x 2 3
Gii

3

2

a) y = x + 3x 4
Tp xỏc nh: D = Ă .

y = 3x 2 + 6x
ộx = 0
ị y= - 4
y = 0 3x 2 + 6x = 0 ờờ
ị y= 0

ờởx = - 2
Gii hn: lim y = + Ơ ; lim y = - Ơ
xđ + Ơ

xđ - Ơ

15

c) y =

-x+2
x+1


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên (- ¥ ; - 2); (0; + ¥ ), nghịch biến trên (- 2; 0)
Hàm số đạt cực đại tại x = - 2; yCD = 0 , đạt cực tiểu tại x = 0; yCT = - 4
Điểm đặc biệt:
Điểm uốn: y '' = 6x + 6;

x
y

-3
-4

-2
0

y '' = 0 Û 6x + 6 = 0 Û x = - 1 Þ y = - 2 Þ I (- 1; - 2)

-1
-2

0
-4

1
0

Đồ thị:

Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn I (- 1; - 2) làm tâm đối xứng.
b) y = x 4 - 2x 2 – 3 .
Tập xác định: D = ¡

(

)

y ’ = 4x 3 - 4x ; y ’ = 0 Û 4x 3 - 4x = 0 Û x 4x 2 – 4 = 0 Û x = 0; x = 1; x = - 1

Giới hạn: lim y = + ¥ ; lim y = + ¥
x® + ¥

x® - ¥

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số đồng biến trên (- 1; 0); (1; + ¥ ), nghịch biến trên (- ¥ ; - 1); (0;1)
Hàm số đạt cực đại tại x = 0; yCD = - 3 , đạt cực tiểu tại x = ± 1; yCT = - 4
Điểm đặc biệt:

x
Đồ thị

y

-2
5

-1
-4

0
-3
16

1
-4

-2
5

Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

Nhận xét: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
-x+2
d) y =
.
x+1
Tập xác định D = ¡ \ {- 1}
y’ =

- 3

< 0, " x Î D .
(x + 1)2
Hàm số luôn luôn giảm trên mỗi khoảng xác định
Giới hạn:
lim y = - ¥ ; lim y = + ¥ Þ x = - 1 là tiệm cận đứng
x ® - 1-

x ® - 1+

lim y = - 1 ; lim y = - 1 Þ y = - 1 là tiệm cận ngang
x® + ¥

x® - ¥

Bảng biến thiên:
-∞

x
y'
y

+∞

-1
-

+∞

-1
-∞

-1

Hàm số không có cực trị
Điểm đặc biệt

x
y

-3
-5/2

-2
-4

-1

||

0
2

1
1/2

Đồ thị:

Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm hai đường tiệm cận I (- 1; - 1) làm tâm đối xứng.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a) y = x 3 - 3x 2 - 9x + 1

b) y = x 3 + 3x 2 + 3x + 5

17

c) y = - x 3 + 3x 2 - 2


Gia s Thnh c

www.daythem.edu.vn

x3
1
- x2 +
3

3
Bi 2. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca cỏc hm s:

d) y = (x - 1)2(4 - x )

4

2

a) y = x - 2x - 1

e) y =

4

2

b) y = x - 4x + 1

f) y = - x 3 - 3x 2 - 4x + 2
x4
5
- 3x 2 +
c) y =
2
2

d) y = (x - 1)2(x + 1)2
e) y = - x 4 + 2x 2 + 2
f) y = - 2x 4 + 4x 2 + 8

Bi 3. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca cỏc hm s:
2x + 1
3- x
x+1
a) y =
b) y =
c) y =
x- 1
x- 4
x+2
3x - 1
1 - 2x
x- 2
d) y =
e) y =
f) y =
x- 3
1 + 2x
2x + 1
III. S TNG GIAO GIA HAI TH HM S
1. GIAO IM CA HAI TH
Cho hai th hm s: y = f (x ) v y = g(x ). (cú th cha tham s)
ớù y = f (x )
Ta giao im ca hai th l nghim ca h phng trỡnh ùỡ
ùù y = g(x )
ợ
Honh giao im ca hai th l nghim ca phng trỡnh f (x ; m ) = g(x ; m ) (1) .
Do ú, s nghim ca (1) chớnh l s giao im ca hai th hm s.
c bit: tỡm s nghim ca phng trỡnh bc ba ngoi cỏch thụng thng l nhm nghim ri chia
a thc (s hoocne), ta cũn hai cỏch sau:

Cỏch 1: Bin i PT bc ba f (x , m ) = 0 v dng g(x ) = h(m ) . Khi ú s nghim chớnh l s giao
im ca th y = g(x ) v ng thng y = h(m ) .
Cỏch 2: PT bc ba f (x , m ) = 0 cú 3 nghim phõn bit thỡ hm s y = f (x , m ) phi cú cc i, cc

tiu v fCD . fCT < 0 .
2. CC V D
2x + 1
v ng thng y = x + 2 .
2x - 1
Li gii

Vớ d 1: Tỡm ta giao im ca ng cong (C): y =

Phng trỡnh honh giao im:

2x + 1
= x+ 2
2x - 1

(1)

1
. Khi ú: (1) 2x + 1 = (2x - 1)(x + 2) 2x 2 + x - 3 = 0
2
ộ
ờx = - 3 ị y = 1
ờ
2
2
ờ

ờởx = 1 ị y = 3
ổ 3 1ử
ữ
Vy ta giao im cn tỡm l ỗỗỗ- ; ữ
v (1; 3)
ữ
ữ
ố 2 2ứ

iu kin: x ạ

Vớ d 2. Cho hm s y =

2x - 1
cú th l (C). Tỡm m ng thng (d): y = - x + m ct th (C)
x- 1

ti hai im phõn bit.
Li gii

18


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

2x - 1
= -x+m
x- 1

Điều kiện: x ¹ 1 . Khi đó: (1) Û 2x - 1 = (- x + m )(x - 1)

Phương trình hoành độ giao điểm:

(1)

(2)
Û x 2 - (m - 1)x + m - 1 = 0
(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt Û (1) có hai nghiệm phân biệt
2
íï
ïï D = é- (m - 1)ù - 4 (m - 1) > 0
ê
ú
ë
û
Û (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1 Û ì
ïï 1 - (m - 1).1 + m - 1 ¹ 0
ïî

Û m 2 - 6m + 5 > 0 Û m < 1 Ú m > 5
Vậy giá trị m cần tìm là m < 1 Ú m > 5
Ví dụ 3. Cho hàm số y = mx 3 - x 2 - 2x + 8m có đồ thị là (C m ). Tìm m đồ thị (C m )cắt trục hoành tại 3
điểm phân biệt.
Lời giải
3

Phương trình hoành độ giao điểm: mx - x 2 - 2x + 8m = 0
éx = - 2
Û (x + 2) éêmx 2 - (2m + 1)x + 4m ùú= 0 Û êê 2

ë
û
êëmx - (2m + 1)x + 4m = 0
(C m )cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt Û (1) có ba nghiệm phân biệt

(1)

(2)

íï m ¹ 0
ïï
Û (2) có hai nghiệm phân biệt khác - 2 Û ïì D = - 12m 2 + 4m + 1 > 0
ïï
ïï 12m + 2 ¹ 0
î
íï
ïï m ¹ 0
ïï
íï m ¹ 0
ï
ïï 1
1
Û ì- < m <
Û ïì 1
ïï 6
ïï - < m < 1
2
ïï
ïïî 6
2

1
ïï m ¹ 6
ïî
Ví dụ 4. Cho hàm số y = x 4 - (3m + 4)x 2 + m 2 có đồ thị là (C m ). Tìm m đồ thị (C m )cắt trục hoành tại
bốn điểm phân biệt.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm: x 4 - (3m + 4)x 2 + m 2 = 0
Đặt t = x 2

(1)

(t ³ 0)

Phương trình (1) trở thành: t 2 - (3m + 4)t + m 2 = 0

(C m )cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt Û

(2)

(1) có bốn nghiệm phân biệt

íï D = 5m 2 + 24m + 16 > 0
ïï
ï
Û (2) có hai nghiệm dương phân biệt Û ïì P = m 2 > 0
ïï
ïï S = 3m + 4 > 0
ïî

19

Gia s Thnh c

www.daythem.edu.vn

ớù
ùù m < - 4 m > - 4
ớù
ùù
5
ùù m > - 4
ù
ỡm ạ 0
ỡ
ùù m ạ 0 5
ùù
4
ùùợ
ùù
ùù m > 3
ợ
mx - 1
Vớ d 5: Cho hm s y =
cú th l (C m ). Tỡm m ng thng (d): y = 2x - 1 ct th
x+ 2

(C m ) ti hai im phõn bit A, B

sao cho A B =

10 .
Li gii

Phng trỡnh honh giao im:

mx - 1
= 2x - 1
x+ 2

(1)

iu kin: x ạ - 2
Khi ú: (1) mx - 1 = (2x - 1)(x + 2)

2x 2 - (m - 3)x - 1 = 0

(2)

(d) ct (C m )ti hai im phõn bit A, B (1) cú hai nghim phõn bit
2
ớù
ùù D = ộ- (m - 3)ự + 8 > 0
ỳ
ởờ
ỷ
(2) cú hai nghim phõn bit khỏc - 2 ỡ
ùù 8 + 2m - 6 - 1 ạ 0
ùợ
1

(*)
m ạ 2
t A (x 1;2x 1 - 1); B (x 2 ;2x 2 - 1) vi x 1, x 2 l hai nghim ca phng trỡnh (2).

Theo nh lý Viet ta cú:

Khi ú:

AB =

ớù
ùù x + x = m - 3
2
ùỡ 1
2
ùù
1
ùù x 1x 2 = 2
ùợ

(x1 -

2

2

x 2 ) + 4 (x 1 - x 2 ) =

2
ộ

ự
10 5 ờ(x 1 + x 2 ) - 4x 1x 2 ỳ= 10
ỳ
ởờ
ỷ

ổm - 3 ữ
ử2
ỗ
ữ
ỗỗ
ữ + 2 = 2 m = 3 [tha món (*)]
ữ
ố 2 ứ
Vy giỏ tr m cn tỡm l m = 3
Vớ d 6: Gi d l ng thng i qua im A(- 1; 0) vi h s gúc k (k ẻ Ă ) . Tỡm k ng thng dk

ct th hm s y = x 3 - 3x 2 + 4 (C) ti ba im phõn bit A, B, C v tam giỏc OBC cú din tớch bng
1 (O l gc ta ).
Li gii
ng thng d i qua A(- 1; 0) v cú h s gúc k nờn cú dng: y = k (x + 1) kx - y + k = 0
Phng trỡnh honh giao im ca (C) v d l:
ộx = - 1
ờ
x 3 - 3x 2 + 4 = kx + k (x + 1) ộờở(x 2 - 4x + 4 - k ự
=
0

ỳ
ờ

ỷ
2
ờởg(x ) = x - 4x + 4 - k = 0 (*)
d ct (C) ti 3 im phõn bit phng trỡnh (*) cú hai nghim phõn bit khỏc -1
ớù D ' > 0
ớù k > 0
ùỡ
ùỡ
ùù g(- 1) ạ 0
ùù k ạ 9
ợ
ợ
20


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

Khi đó g(x ) = 0 Û x = 2 -

k ;x = 2 +

Các giao điểm là A(- 1; 0), B (2 -

k

k ; 3k - k k ),C (2 +

k ; 3k + k k ).

k

BC = 2 k 1 + k 2 , d (O , BC ) = d (O , d ) =

1 + k2
S D OBC =

1
k
.
.2 k . 1 + k 2 = 1 Û k k = 1 Û k 3 = 1 Û k = 1
2 1 + k2

Ví dụ 7: Cho hàm số y = x 4 - (3m + 4)x 2 + m 2 có đồ thị là (C m ). Tìm m để đồ thị (C m ) cắt trục hoành
tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm: x 4 - (3m + 4)x 2 + m 2 = 0
Đặt t = x 2

(t ³ 0), phương trình (1) trở thành:

(1)

t 2 - (3m + 4)t + m 2 = 0

(2)

(C) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt Û (1) có bốn nghiệm phân biệt
íï D = 5m 2 + 24m + 16 > 0

ïï
ï
Û (2) có hai nghiệm dương phân biệt Û ïì P = m 2 > 0
ïï
ïï S = 3m + 4 > 0
ïî
íï
ïï m < - 4 Ú m > - 4
íï
ïï
5
ïï m > - 4
ï
(*)
Û ìm ¹ 0
Û ì
ïï m ¹ 0 5
ïï
4
ïïî
ïï
ïï m > 3
î
Khi đó phương trình (2) có hai nghiệm 0 < t 1 < t 2 . Suy ra phương trình (1) có bốn nghiệm phân
biệt là x 1 = -

t2 < x2 = -

t1 < x 3 =

t1 < x 4 =

t2

Bốn nghiệm x 1, x 2, x 3, x 4 lập thành cấp số cộng Û x 2 - x 1 = x 3 - x 2 = x 4 - x 3

Û Û

t1 +

t 2 = 2 t1

t 2 = 3 t 1 Û t 2 = 9t 1

(3)

íï t + t = 3m + 4
(4)
ï 1
2
Theo định lý Viet ta có: ì
ïï t1t 2 = m 2
(5)
ïî
íï
ïï t = 3m + 4
1
10
Từ (3) và (4) ta suy ra được ïì
(6).

ïï
9(3m + 4)
ïï t 2 =
10
ïî
ém = 12
é3 (3m + 4) = 10m
ê
2
9
3m + 4) = m 2 Û êê
Thay (6) vào (5) ta được:
[thỏa (*)]
Û ê
(
êm = - 12
100
êë3 (3m + 4) = - 10m
êë
19
ém = 12
ê
Vậy giá trị m cần tìm là ê
êm = - 12
êë
19
21


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

Ví dụ8: Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 + mx + 2 cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số với trục hoành:
2
(x ¹ 0)
x 3 + mx + 2 = 0 Û m = - x 2 x

2
2
- 2x 3 + 2
Xét hàm số: f (x ) = - x - ; " x ¹ 0 Þ f '(x ) = - 2x +
=
= 0Û x = 1
x
x2
x2
BBT

x 
0
1
+
f  ( x)
+ 0 –

–3
f ( x)

2




Đồ thị cắt trục hoành tại một điểm duy nhất Û m > - 3 .
Nhận xét: Trong bài toán trên, khi lập phương trình hoành độ giao điểm ta được phương trình bậc ba. Do
không nhẫm nghiệm được nên ta phải chuuyển vế cô lập m và xét hàm số.
3. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1. Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị sau
a) (C): y = x 2 - 4 và (C'): y = - x 2 - 2x b) (C): y =
c) (C): y =

2x - 1
và (d ) : y = - 3x - 1
x+1

1 3
5
x - x 2 và (d ) : y = 3x +
3
3

d) (C): y =

x và (d ) : y = x - 2

Bài 2. Tìm m để đường thẳng d : y = - x + m cắt đồ thị (C) của hàm số y =

2x - 1

tại hai điểm phân
x- 1

biệt.
HD: m < 1; m > 5

(

)

Bài 3. Tìm m để đồ thị (Cm): y = x 3 - 3 (m + 1)x 2 + 2 m 2 + 4m + 1 x - 4m (m + 1) cắt Ox tại 3
điểm phân biệt
HD: m ¹ 1
Bài 4. Tìm m để đồ thị hàm số y = x 4 - mx 2 + m - 1 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
HD: m > 1; m ¹ 2
Bài 5. Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 - 6x 2 + 9x - 6 cắt đường thẳng d : y = mx - 2m - 4 tại ba điểm
phân biệt.
HD: m > - 3
-x+1
Bài 6. Tìm m để đồ thị hàm số y =
(C) cắt đường thẳng d : y = mx + 2m - 1 tại 2 điểm phân
2x + 1
biệt có hoành độ trái dấu.
HD: 0 < m < 1
Bài 7. Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 - (4m + 5)x 2 + (3m 2 + 12m + 8)x - 7m 2 - 8m cắt trục hoành
tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
11
HD: m = 1; m = - 5; m = 10

22

Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

Bài 8. Tìm m để đồ thị hàm số y = - x 3 + (3m + 1)x 2 - 2(3m + 1)x + 8 cắt trục hoành tại ba điểm phân
biệt có hoành độ lập thành một cấp số nhân.
5
HD: m < - 1; m >
3
Bài 9. Tìm m để đồ thị hàm số y = x 4 - 2(m + 1)x 2 + 2m + 1 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt lập
thành cấp số cộng.
4
HD: m = 4; m = 9

(

)

Bài 10.Tìm m để đồ thị (Cm): y = x 3 - 2mx 2 + 2m 2 - 1 x + m (1 - m 2 ) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có
hoành độ đều dương.
2
HD: 1 < m <
3
Bài 11.Tìm m để đồ thị hàm số y =

1 3
2
x - mx 2 - x + m + cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có

3
3

hoành độ thỏa x 12 + x 22 + x 32 > 15
HD: m > 1
Bài 12.Tìm m để đồ thị hàm số y = 2x 3 - 3(m + 1)x 2 + 6mx - 2 cắt trục hoành tại duy nhất một điểm.
HD: 1 -

3 < m < 1+

3

Bài 13.Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 - 3x 2 - 3mx + 3m cắt đường thẳng y = - 3x - 1 tại ba điểm
phân biệt.
HD: m > 1
Bài 14.Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 cắt đồ thị hàm số y = mx 2 - m tại ba điểm phân biệt.
HD: m >

3 3
2

Bài 15.Tìm m để đồ thị hàm số hàm số y = x 3 + mx 2 + 4 cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.
HD: m > - 3 .
Bài 16.Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 - 3x 2 - (2m - 1)x + 4m + 2 cắt trục hoành tại đúng hai điểm
phân biệt.
5
1
HD: m = - ; m =
8
2

Bài 17.Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 - 3(m + 1)x 2 + 3mx - m + 1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
trong đó ít nhất một điểm có hoành độ âm.
íï y .y < 0
Þ - 1< m < 1
HD: ïì CD CT
ïï y (0) > 0
î
x- 1
Bài 18. Cho hàm số (C): y =
. Tìm m để đường thẳng d : y = x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt
x- 2
mà hai tiếp tuyến của (C) tại hai điểm đó song song với nhau.
2x + 4
Bài 19.Gọi d là đường thẳng đi qua A(1;1) và có hệ số góc k. Tìm k để d cắt đồ thị hàm số y =
1- x
tại hai điểm M , N sao cho MN = 3 10
23


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

- 3 + 41
- 3 - 41
;k =
16
16
1
2x

Bài 20.Tìm m để đường thẳng d : y = x + m cắt đồ thị (C) của hàm số y =
tại hai điểm phân biệt
2
x- 1
A, B sao cho trung điểm của đoạn thẳng A B nằm trên đường thẳng d : 2x + y - 4 = 0

HD: k = - 3; k =

3
2

HD: m = -

Bài 21.Tìm m để đường thẳng d : y = 2x -

1
2mx + 5
cắt đồ thị (C) của hàm số y =
tại hai điểm phân
2
x+m

biệt A, B có hoành độ x 1; x 2 thỏa x 12 - 9x 1 = 8x 2 .
HD: m = - 5; m = 4
1
x- 1
x với đồ thị của hàm số y =
.Tìm những
6
x+1

điểm M thuộc đường phân giác thứ nhất sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất
æ7 7 ö
÷
HD: M ççç ; ÷
÷
è5 5 ø÷

Bài 22. Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng d : y =

3x + 2
có đồ thị (C). Đường thẳng y = x cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B. Tìm
x+2
m để đường thẳng y = x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt C,D sao cho tứ giác ABCD là hình
bình hành.
HD: m = 10
x
Bài 24.Tìm m để đường thẳng d : y = - x + m - 1 cắt đồ thị (C) của hàm số y =
tại hai điểm phân
x- 1

Bài 23.Cho hàm số y =

biệt A, B sao cho tam giác OA B nội tiếp đường tròn có bán kính R = 2 2
HD: m = - 1; m = 7
Bài 25.Tìm m để đường thẳng d : y = 1 cắt đồ thị của hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + 1 (1) tại ba điểm phân
biệt A(0;1), B ,C sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B ,C vuông góc nhau.
HD: m =

9±

65
8

Bài 26.Cho hàm số (C): y = x 4 - x 2 . Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình

(

)

4x 2 1 - x 2 = 1 - k

Bài 27.Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d): y = x + 4 cắt đồ thị hàm
số y = x 3 + 2mx 2 + (m + 3)x + 4 (C) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có
diện tích bằng 8 2 với điểm K(1; 3).
HD: m =

1±

137
2

Bài 28.Tìm m để đồ thị hàm số y = x 4 - 2(m + 1)x 2 + 2m + 1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt đều có
hoành độ nhỏ hơn 3.
1
HD: m = - ; m ³ 1
2
24


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

Bài 29.Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 - (2m + 3)x 2 + (2m 2 - m + 9)x - 2m 2 + 3m - 7 cắt trục hoành
tại ba điểm phân biệt, trong đó có hai điểm có hoành độ lớn hơn 1 và khoảng cách giữa hai điểm này
là lớn nhất
5
HD: m =
2
Bài 30.Tìm m để đồ thị hàm số y = x 4 - 2(m + 1)x 2 + 2m + 1 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

A, B ,C , D lần lượt có hoành độ x 1, x 2, x 3, x 4 (x 1 < x 2 < x 3 < x 4 ) sao cho tam giác A K C có diện
tích bằng 4 , biết rằng K (3; - 2)
HD: m = 4
Bài 31.Chứng minh rằng đường thẳng d : y = - x + m luôn cắt đồ thị (C) của hàm số y =

2x + 1
tại hai
x+ 2

điểm phân biệt A, B . Tìm m để đoạn A B ngắn nhất.
HD: m = 0
Bài 32.Tìm m để đường thẳng y = - 2m + 2 cắt đồ thị hàm số y = x 4 - 2(m + 1)x 2 + 3 tại đúng hai
điểm phân biệt A,B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 8
HD: m = - 3
x+1
Bài 33.Chứng minh rằng đường thẳng d : 2x – y + m = 0 luôn cắt đồ thị (C): y =
tại A, B phân
x- 1
biệt thuộc 2 nhánh của (C). Tìm m để AB đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 34.Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 - 2x 2 - (3m - 1)x + m + 3 cắt đường thẳng
y = (1 - m )x + m - 5 tại ba điểm phân biệt có hoành độ x 1 < x 2 < 1 < x 3
HD: m >

7
2

Bài 35.Tìm m để đường thẳng d : y = m (x - 2) - 2 cắt đồ thị của hàm số y = x 3 - 3x 2 + 2 (1) tại ba
điểm phân biệt A(2; - 2), B ,C sao cho tích các hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B ,C
đạt giá trị nhỏ nhất.
HD: m = - 1
IV. TIẾP TUYẾN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
1. ĐỊNH NGHĨA PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f (x ) tại điểm M (x 0 ; y 0 ) có dạng:
y = f ’(x 0 )(x – x 0 ) + y 0 với f ’(x 0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến.

2. SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐỒ THỊ
ïí f ¢(x ) = g ¢(x )
Hai đồ thị (C): y = f (x ) và (D): y = g(x ) tiếp xúc với nhau Û hệ phương trình ïì
có
ïï f (x ) = g(x )
î
nghiệm và số nghiệm của hệ phương trình là số hoành độ của điểm tiếp xúc.
3. CÁC DẠNG PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
 Dạng 1: Lập phƣơng trình tiếp tuyến của (c) tại M (x 0 ; y 0 )

Áp dụng công thức y – y 0 = f ’(x 0 )(x – x 0 )
 Dạng 2: Lập phƣơng trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trƣớc
Ta chọn cách sau:
 Tiếp tuyến có hệ số góc k Û f ¢(x 0 ) = k . Giải phương trình tìm x 0 Þ y 0 = f (x 0 )

25