Toán 10- Khảo sát hàm số bậc 2- Bài tập áp dụng - Giáo viên Việt Nam

Giaovienvietnam.com

HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
Trong chương trình mơn Toán THCS, học sinh đã nắm được các khái niệm
hàm số, hàm số bậc nhất, hàm số

y = ax 2

, hàm số đồng biến, hàm số nghịch

biến. Chủ để này ôn tập và bổ sung các khái niệm cơ bản về hàm số, tập xác
định, đồ thị của hàm số, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, khái niệm
hàm số chẵn, hàm số lẻ, xét chiều biến thiên của hàm số và áp dụng vào việc
khảo sát các hàm số bậc nhất, bậc hai.


§1. Đại cương về hàm số
A. Lý thuyết
1. Định nghĩa hàm số
Cho một tập hợp khác rỗng

D⊂¡

. Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt

tương ứng mỗi số x thuộc D với một và chỉ một số, kí hiệu là

A( x)
B ( x)

xác định khi và chỉ

khi

A( x) , B ( x)

xác

định

B ( x) ≠ 0
+

A( x)
khi

và

.

Biểu

thức

xác định

và

chỉ

khi

A( x) ≥ 0
+

Biểu

A x

f ( x)

đó

gọi là giá trị của hàm số f tại x. Tập D gọi là tập xác định (hay miền xác định), x
gọi là biến số hay đối số của hàm số f, tập các giá trị của hàm số gọi là tập giá trị

STUDY TIP
+ Biểu thức

f ( x)

; số

thức

của hàm số. Ta viết

y = f ( x)

.

2. Tập xác định của hàm số

Tập xác định của hàm số
của biểu thức

y = f ( x)

f ( x)

y = f ( x)

là tập hợp tất cả các số thực x sao cho giá trị

được xác định, hay nói đơn giản là ta có thể tính được

.

Các bước tìm tập xác định của hàm số

y = f ( x)

:


B ( x)

Giaovienvietnam.com
+ Bước 1: Tìm điều kiện của x để biểu thức

xác định;

f ( x)

+ Bước 2: Viết kết quả tìm được ở bước 1 dưới dạng tập hợp.
khi

và

A( x)

khi

xác định và

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số sau:
a)

B ( x) > 0
+

chỉ

.

Biểu

3
y=
x −1

c)

thức

y=

A( x) ± B ( x)

;

3 − 2x

b)

;

d)

A( x) ≥ 0

và

Lời giải
a) Biểu thức

3
x −1

b) Biểu thức
STUDY TIP
Cho a là một số dương.

x2 ≥ a ⇔ x ≥ a

x ≥ a
⇔
 x ≤ − a
+

;

x2 ≤ a ⇔ x ≤ a

⇔− a ≤ x≤ a

y = x+2 − x−2

.

x −1

B ( x) ≥ 0

+

;

2

xác định khi và chỉ
khi

y = 5 − 2x

5

D =  −∞; 
2

c)

Biểu

xác định khi và chỉ khi

5 − 2x

x −1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1

xác định khi và chỉ khi

thức

3 − 2x

xác

x > 1
x2 −1 > 0 ⇔ x2 > 1 ⇔ x > 1 ⇔ 
 x < −1
D = ( −∞; −1) ∪ ( 1; +∞ )

Chú ý: Lời giải sai:
d) Biểu thức

D = ¡ \ { 1}

5
5 − 2x ≥ 0 ⇔ x ≤
2

.

. Vậy

.

định

x2 −1

Vậy

. Vậy

.

.

x 2 − 1 > 0 ⇔ x 2 > 1 ⇔ x > ±1

x+2 − x−2

.

xác định khi và chỉ khi

khi

và

chỉ

khi


Giaovienvietnam.com
x + 2 ≥ 0
 x ≥ −2
⇔
⇔ x≥2

x − 2 ≥ 0
x ≥ 2
Vậy

D = [ 2; +∞ )

.

.

3. Đồ thị của hàm số
Cho hàm số

( G)

y = f ( x)

xác định trên tập D. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp

các điểm có tọa độ

cách khác,

( x; f ( x ) )

với

M ( x0 ; y0 ) ∈ ( G ) ⇔ x0 ∈ D

Ví dụ 2: Đồ thị của hàm số

x∈D

và

, gọi là đồ thị của hàm số

y0 = f ( x0 )

f

. Nói

.

2 x + 1 khi x ≤ 2
y = f ( x) = 
−3 khi x > 2

đi qua điểm nào sau

đây?
A.

B.

( 0; −3)

C.

( 3;7 )

( 2; −3)

D.

( 0;1)

Lời giải
Với

x=0<2

thì

y = f ( 0 ) = 2.0 + 1 = 1

.

Vậy đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm

( 0;1)

.
Đáp án D.


Giaovienvietnam.com
Ví dụ 3: Cho hàm số

y = f ( x)

xác định trên đoạn

[ −3;8]

có đồ thị là đường gấp

khúc được cho như trong hình dưới đây:

Dựa vào đồ thị hàm số, hãy chỉ ra:
a)

f ( −3)

;

b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
c) Dấu của

f ( x)

trên khoảng

( 1; 4 )

[ −3;8]

;

.

Lời giải
a)

f ( −3) = −2

;

b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

x=2
c)

[ −3;8]

là

−2

, đạt được tại

x = −3

;

f ( x) < 0

với mọi

x ∈ ( 1; 4 )

.

* Sự tương giao của các đồ thị:
Cho hai hàm số

y = f ( x)

và

y = g ( x)

Các bước tìm tọa độ giao điểm của

( C1 )

có đồ thị lần lượt là
và

( C2 )

:

( C1 )

và

( C2 )

.

hoặc


Giaovienvietnam.com
+ Bước 1: Lập phương trình hồnh độ giao điểm của

( C1 )

và

( C2 )

:

(*).

f ( x) = g ( x)
+ Bước 2: Giải phương trình (*).
+ Bước 3:

- Nếu (*) vơ nghiệm: Kết luận hai đồ thị khơng có giao điểm.
- Nếu (*) có n nghiệm thì hai đồ thị có n giao điểm. Thay các nghiệm của (*) vào
một trong hai biểu thức

f ( x)

hoặc

g ( x)

để tìm tung độ các giao điểm (thường

ta thay vào các biểu thức đơn giản hơn) rồi chuyển sang bước 4.
+ Bước 4: Viết tọa độ của các giao điểm.

Ví dụ 4: Tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của đồ thị hai hàm số

y = 3− x

y = 3x + 1

.
Lời giải

Phương trình hồnh độ giao điểm:
Ta có

0 ≤ x ≤ 3
3 − x ≥ 0
3x + 1 = 3 − x ⇔ 
⇔
3 x + 1 = 9 − 6 x + x
2 x + 6 x − 8 = 0

⇔ x =1⇔ x =1

.

Vậy (*) có nghiệm duy nhất
Thay

3x + 1 = 3 − x

(*).

x =1

vào hàm số

x =1

.

y = 3− x

ta được

y=2

.

Vậy đồ thị hai hàm số đã cho có một giao điểm duy nhất có tọa độ là

( 1; 2 )

.

và


Giaovienvietnam.com
4. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
* Định nghĩa: Cho hàm số

y = f ( x)

xác định trên tập D.

Giá trị lớn nhất

∀x ∈ D : f ( x ) ≤ M
M = max f ( x ) ⇔ 
D
∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = M

Giá trị nhỏ nhất

∀x ∈ D : f ( x ) ≥ m
m = min f ( x ) ⇔ 
D
∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = m

* Các bước tìm giá trị lớn nhất của hàm số (tương tự cho tìm giá trị nhỏ
nhất):
+ Bước 1: Tìm tập xác định D (nếu đề bài chưa cho).
+ Bước 2: Chứng minh

∀x ∈ D : f ( x ) ≤ M

+ Bước 3: Chỉ ra tồn tại
+ Bước 4: Kết luận

x0 ∈ D

sao cho

M = max f ( x )

.

f ( x0 ) = M

.

.

D

STUDY TIP
Khi tìm GTLN,
GTNN của hàm số,
nhất định phải chỉ
ra đẳng thức xảy ra
khi nào rồi mới kết
luận.

Ví dụ 5: Cho hàm số
f ( x) =

. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên

1
x+2 x +2

tập xác định của nó.
Lời giải
Điều kiện xác định:

x≥0
 x ≥ 0

⇔
⇔ x≥0
2

 x + 2 x + 2 ≠ 0
 x + 1 + 1 ≠ 0

(

Do đó
Ta có

D = [ 0; +∞ )

.

)

.

1

1
∀x ≥ 0 : x + 2 x + 2 ≥ 2 ⇒
≤
x+2 x +2 2

. Mặt khác

1
f ( 0) =
2

.


Giaovienvietnam.com
Vậy

max f ( x ) =
[ 0; +∞ )

1
2

.

Lời giải sai: Ta có
x+2 x +2=

(

)

1

2

x +1 +1 ≥ 1 ⇒ f ( x) =

x+2 x +2

. Do
≤1

đó giá trị lớn nhất của hàm số là 1.
Lời giải này sai do đẳng thức
Thật vậy,

f ( x) = 1

không xảy ra với bất cứ giá trị nào của x.

f ( x ) = 1 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = −1

, vơ lí.

5. Tính chẵn, lẻ của hàm số
* Định nghĩa: Cho hàm số

STUDY TIP
Tập xác định của
một hàm số chẵn
(lẻ) là một tập đối
xứng.

f ( x)

xác định trên tập D.

Định nghĩa

Đồ thị

Hàm số chẵn

 − x ∈ D
∀x ∈ D : 
 f ( − x ) = f ( x )

Đối xứng qua trục Oy

Hàm số lẻ

 − x ∈ D
∀x ∈ D : 
 f ( − x ) = − f ( x )

Đối xứng qua gốc O

* Nhận xét: Trong các khẳng định dưới đây, ta coi hai hàm số là có cùng tập xác
định. Khi đó ta có:
- Tổng của hai hàm số chẵn là một hàm số chẵn.
- Tổng của hai hàm số lẻ là một hàm số lẻ.
- Tích của hai hàm số chẵn là một hàm số chẵn.
- Tích của hai hàm số lẻ là một hàm số chẵn.
- Tích của một hàm số lẻ và một hàm số chẵn là một hàm số lẻ.

* Lưu ý: Tập D có tính chất
x=0

∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D

, và thường được gọi là tập đối xứng.

là một tập đối xứng qua điểm


Giaovienvietnam.com
* Các bước chứng minh hàm số

y = f ( x)

là hàm số chẵn (hoặc là hàm số

lẻ):
+ Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số (nếu chưa cho). Chỉ ra D là tập đối
xứng.
+ Bước 2: Chứng minh

∀x ∈ D

thì

Ví dụ 6: Chứng minh rằng hàm số

STUDY TIP
Để chứng minh hàm số

y = f ( x)

∃x0 ∈ D

Tập xác định

hoặc

mà

∃x0 ∈ D

− x0 ∉ D

),

sao cho

f ( − x0 ) ≠ f ( x0 )

(chỉ

(hoặc

f ( x) = 1+ x − 1− x

f ( −x) = − f ( x)

).

là hàm số lẻ.

Lời giải

không phải là

hàm số chẵn, ta cần chỉ
ra: Hoặc D không phải
là tập đối xứng (tức là

f ( −x) = f ( x)

Ta có

là tập đối xứng.

D = [ −1;1]

∀x ∈ [ −1;1] : f ( − x ) = 1 − x − 1 − ( − x ) = −

(

)

1+ x − 1− x = − f ( x)

.

Vậy f là hàm số lẻ.

Ví dụ 7: Xét tính chẵn, lẽ của các hàm số sau:
a)

f ( x) = x + x +1
2

;

b)
g ( x) =

cần chỉ ra một trong hai

1

( x + 2)

2

Lời giải
a) Tập xác định
Ta có

D=¡

là tập đối xứng.

f ( −1) = 1; f ( 1) = 3 ⇒ f ( −1) ≠ f ( 1)

Vậy hàm số

f ( x)

b) Tập xác định
Thật vậy với

f ( −1) ≠ f ( 1)

.

khơng chẵn, khơng lẻ.

D = ¡ \ { −2}

x=2

và

thì

. Dễ thấy D không phải là một tập đối xứng.

− x = −2 ∉ D

. Vậy hàm số

g ( x)

không chẵn, không lẻ.

Giaovienvietnam.com
* Nhận xét: Một hàm số không nhất thiết phải là hàm số chẵn hoặc hàm số lẻ,
chẳng hạn hai hàm số ta vừa xét trong ví dụ trên.
6. Sự biến thiên của hàm số
Cho hàm số f xác định trên K.
Định nghĩa

y = f ( x)

Điều kiện tương
đương

Đồ thị

∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2∀x1 , x2 ∈ K , x1 ≠ x2

đồng biến
trên K

Đi lên từ trái sang
phải (theo chiều tăng
f ( x2 ) − f ( x1 )
⇒ f ( x1 ) < f ( x2 )
⇒
> 0 của đối số)
x2 − x1

y = f ( x)

∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2∀x1 , x2 ∈ K , x1 ≠ x2

nghịch biến
trên K

Đi xuống từ trái sang
phải (theo chiều tăng
f ( x2 ) − f ( x1 )
⇒ f ( x1 ) > f ( x2 )
⇒
< 0 của đối số)
x2 − x1
Xét chiều biến thiên của một hàm số là tìm các khoảng đồng biến và các
khoảng nghịch biến của hàm số. Kết quả xét chiều biến thiên của hàm số được
tổng kết trong một bảng gọi là bảng biến thiên.
Các bước lập bảng biến thiên của hàm số

y = f ( x)

:

+ Bước 1: Tìm tập xác định (nếu đề bài chưa cho);
+ Bước 2: Lập rồi rút gọn tỉ số

f ( x2 ) − f ( x1 )
x2 − x1

;

+ Bước 3: Xét dấu tỉ số thu được ở bước 2, từ đó suy ra các khoảng biến thiên

của hàm số;
+ Bước 4: Ghi kết quả thu được vào bảng biến thiên.

Ví dụ 8: Lập bảng biến thiên của hàm số

f ( x ) = x2

Lời giải
Tập xác định:

D=¡

.

.


Giaovienvietnam.com
Ta có

+ Nếu
+ Nếu

∀x1 , x2 ∈ ¡

và

x1 ≠ x2 ,

x1 < 0, x2 < 0

x1 > 0, x2 > 0

thì
thì

f ( x2 ) − f ( x1 )
x2 − x1

x2 + x1 < 0 ⇒
x2 + x1 > 0 ⇒

=

x −x
= x2 + x1
x2 − x1
2
2

2
1

. Do đó:

Hàm số nghịch biến trên khoảng
Hàm số đồng biến trên khoảng

( −∞; 0 )

( 0; +∞ )

.

.

Từ đó ta có bảng biến thiên:

Lưu ý: Hàm số

f ( x) = c

với c là hằng số được gọi là hàm số hằng (hay hàm số

không đổi). Đồ thị của hàm số

f ( x) = c

là đường thẳng đi qua điểm

A ( 0; c )

và

song song hoặc trùng với trục Ox.
Ta có thể suy ra chiều biến thiên của hàm số dựa vào đồ thị. Chẳng hạn, cho hàm
số

y = f ( x)

xác định trên

¡

có đồ thị được cho như trong hình dưới đây:

Khi đó hàm số có bảng biến thiên như sau:


Giaovienvietnam.com

Nhận xét:
* Cho hai hàm số
+ Nếu

f ( x)

f ( x) + g ( x)
+ Nếu

f ( x)

và

g ( x)

và

y = g ( x)

.

đồng biến (nghịch biến) trên K thì

k > 0, kf ( x )

kf ( x )

đồng biến (nghịch biến)

nghịch biến (đồng biến) trên K với mọi

k <0

.

B. Các dạng tốn điển hình
Tìm tập xác định của hàm số

A.

Khơng rút gọn biểu
thức của hàm số
khi tìm tập xác
định của nó.

K

cùng đồng biến (cùng nghịch biến) trên K thì

Ví dụ 1: Tìm tập xác định D của hàm số

STUDY TIP

cùng xác định trên

đồng biến (nghịch biến) trên K.

trên K với mọi
D
ạ
n
g
1

y = f ( x)

C.

x +1
y=
( x + 1) ( x 2 − 4 )
B.

D = ¡ \ { 2}

D.

D = ¡ \ { −1; 2}

.

D = ¡ \ { ±2}
D = ¡ \ { −1; ±2}

Lời giải
Điều kiện xác định:

x +1 ≠ 0
 x ≠ −1
⇔
 2
 x ≠ ±2
x − 4 ≠ 0

. Vậy

D = ¡ \ { −1; ±2}

.

Đáp án D.


Giaovienvietnam.com
Lưu ý: Nếu rút gọn

1
y= 2
x −4

thì biểu thức ban đầu

STUDY TIP
+
+
+

rồi khẳng định

+

¡

*
+

= [ 0; +∞ )

Ví dụ 2: Tập xác định của hàm số

A.

= ( 0; +∞ )

R− = ( −∞; 0]

D = [ 0; +∞ )

là:

x
x − 3x + 2

D = ¡ \ { 1; 2}

2

C.

D = ¡ \ { 1; 2}

D.

D = ( 0; +∞ )

Lời giải
Điều kiện xác định

R−* = ( −∞; 0 )
Vậy
D
ạ
n
g
2

B.

x = −1

không xác định.

x +1
( x + 1) ( x 2 − 4 )

y=
¡

D = ¡ \ { ±2}

là sai. Vì với

D=¡

+ \ { 1; 2}

x ≥ 0
x ≥ 0

⇔ x ≠ 1
 2
 x − 3x + 2 ≠ 0
x ≠ 2


.

.
Đáp án C.

Đồ thị của hàm số
Ví dụ 3: Điểm nào sau đây thuộc đồ thị của hàm số

A.

B.

M ( 0; −1)

C.

M ( 2;1)

x−2
y=
x ( x − 1)

M ( 2; 0 )

?

D.

M ( 1;1)

Lời giải
Với

STUDY TIP
Một đường thẳng

song song hoặc
trùng với trục Oy
cắt đồ thị hàm số

y = f ( x)

nhiều

x=2

thì

y=0

. Vậy điểm

M ( 2;0 )

thuộc đồ thị hàm số đã cho.
Đáp án C.


Giaovienvietnam.com
Ví dụ 4: Đường cong trong hình nào dưới đây không phải là đồ thị của một hàm
số dạng

y = f ( x)

A.

?

B.

C.

D.

Lời giải
Đường cong trong hình D khơng phải là đồ thị của một hàm số dạng
mỗi giá trị

x>0

y = f ( x)

vì

ứng với hai giá trị phân biệt của y.

Đáp án D.


Giaovienvietnam.com
Ví dụ 5: Hình dưới đây là đồ thị của hàm số

a) Tìm số nghiệm của phương trình
A. 0

y = f ( x)

f ( x) = 1

B. 1

có tập xác định là

¡

.

.

C. 2

D. 3

b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình

f ( x) − m = 0

có

3 nghiêm phân biệt.
A.

B.

−3; −2; −1

−4; −3; −2; −1

C.

−3; −2; −1;0

D.

−2

Lời giải
a) Phương trình
số

y = f ( x)

và

Đồ thị hàm số

f ( x) = 1

y =1
y =1

là phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hai hàm

.
là đường thẳng song song với trục hoành, cắt trục tung tại

điểm có tung độ bằng 1.
STUDY TIP

Quan sát đồ thị ta thấy đường thẳng

Số giao điểm của
đồ thị hai hàm số
và

y = f ( x)
y = g ( x)

là

nghiệm
phương

f ( x) = g ( x)

số
của
trình

y =1

cắt đồ thị hàm số

y = f ( x)

tại một

điểm duy nhất.
Vậy phương trình

f ( x) = 1

có nghiệm duy nhất.
Đáp án B.


Giaovienvietnam.com
b) Ta có:

f ( x) − m = 0 ⇔ f ( x) = m

(*).

(*) là phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hai hàm số

y=m

. Đồ thị hàm số

y=m

y = f ( x)

và

là đường thẳng song song với trục hồnh, cắt trục

tung tại điểm có tung độ bằng m.
Phương trình

y=m

f ( x) − m = 0

cắt đồ thị hàm số

y = f ( x)

Quan sát trên đồ thị hàm số

y=m

cắt đồ thị hàm số

có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng
tại ba điểm phân biệt.

y = f ( x)

y = f ( x)

ta thấy nếu

−4 < m < 0

thì đường thẳng

tại ba điểm phân biệt.

Vậy các giá trị nguyên cần tìm của m là

−3; −2; −1

.
Đáp án A.


Giaovienvietnam.com
Ví dụ 6: Hình dưới đây là đồ thị của hàm số

Tìm tập nghiệm S của bất phương trình
A.
B.
C.
D.

y = f ( x)

f ( x) < 0

có tập xác định là

¡

.

.

S = ( 0; 2 ) ∪ ( 5; 6 )
S = ( −∞; −2 ) ∪ ( 0; 2 ) ∪ ( 5; 6 )
S = ( −2;0 ) ∪ ( 2;5 )
S = ( −2;0 ) ∪ ( 2;5 ) ∪ ( 6; +∞ )

.

Lời giải
Quan sát trên đồ thị ta thấy

f ( x ) < 0 ⇔ x ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( 0; 2 ) ∪ ( 5;6 )

(đồ thị của

hàm số nằm hoàn tồn phía dưới trục hồnh).
Vậy

S = ( −∞; −2 ) ∪ ( 0; 2 ) ∪ ( 5; 6 )

.
Đáp án B.


Giaovienvietnam.com
Ví dụ 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số

y = 2x + 3 − m

biểu thức

2

cắt nhau tại hai điểm phân biệt

T = x A xB − 2 ( x A + xB ) − 2

A. 0

A ( xA ; y A )

và

y = x2

B ( xB ; y B )

và

sao cho

đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.

B. 4

C. 7

D. 9

Lời giải
Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hai hàm số:

x2 = 2 x + 3 − m2 ⇔ x 2 − 2 x + m2 − 3 = 0

(*).

Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt

⇔

(*) có hai nghiệm phân biệt

Khi đó

xA

và

xB

Theo Viet ta có

Ta có
Vậy

2

5m=0

2

(**).

là hai nghiệm của (*).

 x A + xB = 2

2
 x A . xB = m − 3

. Do đó

T = m − 3 − 2.2 − 2 = m − 9
2

0 ≤ m < 4 ⇒ −9 ≤ m − 9 < −5 ⇒ 5 < m − 9 ≤ 9

Vậy với
D
ạ
n
g
3

⇔ ∆' > 0 ⇔ 4−m > 0 ⇔ m < 4
2

2

với mọi m thỏa mãn (**);

2

2

.

.

T =9⇔m=0

.

thì T đạt giá trị lớn nhất bằng 9.
Đáp án D.

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
(Phần này chỉ mang tính chất giới thiệu. Chủ đề “Bất đẳng thức” sẽ viết kĩ hơn
về nội dung này)


Giaovienvietnam.com
Ví dụ 8: Cho hàm số

y = f ( x)

xác định trên đoạn

có đồ thị được cho

[ −2;3]

như trong hình dưới đây:

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
Tính
A.

M +m

f ( x)

trên đoạn

[ −2;3]

.

.
B.

M +m=0

C.

M + m =1

D.

M +m=2

M +m=3

Lời giải
Quan sát trên đồ thị ta thấy
Vậy

M + m =1

M =3

(ứng với

x=3

),

m = −2

(ứng với

x = −2

).

.
Đáp án B.

Ví dụ 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

f ( x ) = x + ( x − 3)
2

A. 0

B.

9
2

C.

Lời giải
Tập xác định

D=¡

.

−9
2

2

.
D.

3

2


Giaovienvietnam.com
+

2

.

9 9
3 9 9


∀x ∈ ¡ : f ( x ) = 2 x 2 − 6 x + 9 = 2  x 2 − 3x + ÷+ = 2  x − ÷ + ≥
4 2
2 2 2


+

9
3
f ( x) = ⇔ x =
2
2

Vậy

9

min f ( x ) =
¡
2

.

.

Đáp án B.
Lời giải sai:

∀x ∈ ¡ : x + ( x − 3) ≥ 0
2

2

Lời giải này sai do đẳng thức

Thật vậy,

. Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0.

f ( x) = 0

không xảy ra với bất cứ giá trị nào của x.

x = 0
x = 0
f ( x) = 0 ⇔ 
⇔

x − 3 = 0
x = 3

, vơ lí.

Ví dụ 10: Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số

2x
y= 2
x +1
A.

. Tính

.

B.

1
m +M =
2
2

C.

m2 + M 2

2

D.

m2 + M 2 = 1
Lời giải

Tập xác định

D=¡

.

Cách 1: (Sử dụng bất đẳng thức)
Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có

∀x ∈ ¡

:

m2 + M 2 = 2

m2 + M 2 = 4


Giaovienvietnam.com
x2 + 1 ≥ 2 x ⇒

2x
2x
≤ 1 ⇒ −1 ≤ 2
≤1
2

x +1
x +1

2x
2x
= −1 ⇔ x = −1; 2
=1⇔ x =1
2
x +1
x +1
Vậy

;

.

m = min y = −1; M = max y = 1 ⇒ m 2 + M 2 = 2
¡

.

R

Cách 2: (Sử dụng tập giá trị của hàm số)
Gọi

y0

là một giá trị bất kì thuộc tập giá trị của hàm số đã cho. Khi đó phải tồn

tại một giá trị x sao cho

phương trình ẩn x, tham số
+ Nếu
+ Nếu

y0 = 0
y0 ≠ 0

thì

x=0

2x
y0 = 2
⇔ y0 x 2 − 2 x + y0 = 0
x +1
y0

D
ạ
n
g
4

.

.

thì (*) có nghiệm khi và chỉ khi

Kết hợp hai trường hợp ta có
Vậy

(*). Ta coi (*) là

∆ ' = 1 − y02 ≥ 0 ⇔ −1 ≤ y0 ≤ 1

−1 ≤ y0 ≤ 1; y0 = −1 ⇒ x = −1; y0 = 1 ⇒ x = 1

m = min y = −1; M = max y = 1 ⇒ m 2 + M 2 = 2
¡

.

.

.

¡

Đáp án B.
Tính chẵn, lẻ của hàm số
Ví dụ 11: Các hình dưới đây là đồ thị của các hàm số cùng có tập xác định là
Trong các đồ thị đó, đâu là đồ thị của một hàm số chẵn?

¡

.

Giaovienvietnam.com

A.

B.

C.

D.
Lời giải

Quan sát các đồ thị, ta thấy chỉ có đồ thị ở hình D là đối xứng qua trục Oy, do đó
nó là đồ thị của một hàm số chẵn.
Đáp án D.
STUDY TIP
- Hàm đa thức chỉ gồm
các số hạng chứa x bậc
chẵn là hàm chẵn.
- Hàm đa thức chỉ gồm
các số hạng chứa x bậc
lẻ là hàm lẻ.
- Hàm đa thức gồm cả
các số hạng chứa x bậc
chẵn và các số hạng
chứa x bậc lẻ thì khơng
chẵn khơng lẻ.

Ví dụ 12: Cho các hàm số
(I)

(II)

y = 3x + 2

(III)

y = 5x3 − 3x 2 + x + 1

y = x 2 + 5 x + 2018

(IV)

y = x4 − x2 + 1

Trong các hàm số trên, có bao nhiêu hàm số chẵn?
A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Lời giải
(I), (II) và (III) là các hàm không chẵn, không lẻ, chỉ có (IV) là hàm chẵn. Do đó
B là đáp án đúng.
Đáp án B.

Giaovienvietnam.com
Ví dụ 13: Cho hàm số

y = f ( x)

số

1
F ( x ) =  f ( x ) + f ( − x ) 
2
dưới đây đúng?
A.
B.
C.
D.

F ( x)
F ( x)
F ( x)
F ( x)

và
và

G ( x)
G ( x)

xác định trên tập đối xứng. Trên D, xét các hàm

và

1
G ( x ) =  f ( x ) − f ( − x ) 
2

. Khẳng định nào

là các hàm số chẵn trên D.
là các hàm số lẻ trên D.

là hàm số chẵn và
là hàm số lẻ và

G ( x)

G ( x)

là hàm số lẻ trên D.

là hàm số chẵn trên D.

Lời giải

F ( x)

và

G ( x)

đều xác định trên tập đối xứng D.

Ta có

∀x ∈ D : F ( − x ) =

STUDY TIP
Cho hàm số

Vậy

y = f ( x)

xác định trên tập đối
xứng D.
+

1
 f ( x ) + f ( − x ) 
2
là hàm số chẵn trên D;
F ( x) =

+

1
 f ( x ) − f ( − x ) 
2
là hàm số lẻ trên D;
G ( x) =

+ Mọi hàm số xác định
trên một tập đối xứng
đều biểu diễn được một
cách duy nhất thành tổng

F ( x)

1
1
 f ( − x ) + f ( x )  =  f ( x ) + f ( − x )  = F ( x )
2
2

là hàm số chẵn trên D.

Lại có

∀x ∈ D : G ( − x ) =
Vậy

G ( x)

1
1
 f ( − x ) − f ( x )  = −  f ( x ) − f ( − x )  = −G ( x )
2
2

là hàm số lẻ trên D.
Đáp án C.

Nhận xét:
+ Dễ thấy hàm số

H ( x) = f ( x) + f ( −x)

K ( x) = f ( x) − f ( −x)

cũng là một hàm số chẵn, hàm số

cũng là một hàm số lẻ.


Giaovienvietnam.com
Từ

nhận

xét

này

f 2 ( x ) = 3 x + 2 + 3x − 2
chẵn, các hàm số

,

thấy

các

hàm

số

f1 ( x ) = 2 + x + 2 − x

f3 ( x ) = x + 3x + 7 + x − 3x + 7
2

,

… là các hàm số

2

f4 ( x ) = 2 + x − 2 − x

f 6 ( x ) = 3 x + 2 − 3x − 2
+ Ta có

dễ

,

f5 ( x ) = x + 3x + 7 − x − 3x + 7
2

,

2

, … là các hàm số lẻ.

f ( x) = F ( x) + G ( x)

. Vậy

f ( x)

luôn biểu diễn được thành tổng của

một hàm số chẵn và một hàm số lẻ. Ta chứng minh rằng biểu diễn này là duy
nhất. Thật vậy, giả sử tồn tại biểu diễn
chẵn và
Suy ra

D
ạ
n
g
5

N ( x)

là hàm lẻ thì ta có

f ( x) = M ( x) + N ( x)

M ( x)

và

.

Sự biến thiên của hàm số
Ví dụ 14: Cho hàm số

f ( x)

có bảng biến thiên như sau

Hàm số nghịch biến trong khoảng nào dưới đây?
A.

( −∞;0 )

B.

( 1; +∞ )

là hàm

f ( −x ) = M ( −x ) + N ( −x ) = M ( x ) − N ( x )

1
M ( x ) =  f ( x ) + f ( − x )  = F ( x )
2

1

N ( x ) =  f ( x ) − f ( − x )  = G ( x )
2

với

C.

Lời giải

( −2; 2 )

D.

( 0;1)

.


Giaovienvietnam.com
Ta thấy trong khoảng
biến trong khoảng

( 0;1)

( 0;1)

, mũi tên có chiều đi xuống. Do đó hàm số nghịch

.
Đáp án D.

Ví dụ 15: Hàm số
A.

y = f ( x ) = x − 2x
4

B.

( −1;0 )

2

nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
C.

( −1;1)

D.

( 0;1)

( 1; +∞ )

Lời giải
Tập xác định:
Cách 1:

D=¡

.

∀x1 , x2 ∈ ¡ , x1 ≠ x2

ta có

4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
f ( x2 ) − f ( x1 ) ( x2 − x1 ) − 2 ( x2 − x1 ) ( x2 − x1 ) ( x2 + x1 ) − 2 ( x2 − x1 )
=
=
x2 − x1
x2 − x1
x2 − x1

= ( x2 + x1 ) ( x + x − 2 )
2
2

Ta thấy với

2

1

.

x1 , x2 ∈ ( 0;1)

thì

x1 + x2 > 0

⇒ x + x < 2⇒ x + x −2<0
2
1

2
2

2
1

2
2

, do đó

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng

và

0 < x12 , x22 < 1

( x2 + x1 ) ( x

( 0;1)

2
2

+ x − 2) < 0
2
1

.

.

Cách 2: Sử dụng chức năng TABLE của máy tính cầm tay tính giá trị hàm số
trên đoạn

[ 0;1]

với STEP = 0,2.

Ta thấy trên khoảng
biến trên khoảng

( 0;1)

( 0;1)

.

giá trị của hàm số giảm dần. Suy ra hàm số nghịch


Giaovienvietnam.com
Đáp án C.
Ví dụ 16: Cho hàm số

Đặt

h ( x ) = 5x − f ( x )
A.
C.

y = f ( x)

có bảng biến thiên như sau:

. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
B.

h ( 3) < h ( 1) < h ( 2 )

D.

h ( 2 ) < h ( 1) < h ( 3 )

h ( 1) < h ( 2 ) < h ( 3)
h ( 3) < h ( 2 ) < h ( 1)

Lời giải
Quan sát trên bảng biến thiên ta thấy hàm số

( 0; 4 )

, suy ra hàm số

Mặt khác hàm số
Do đó hàm số
Suy ra

y = − f ( x)

y = 5x

đồng biến trên khoảng

đồng biến trên

h ( x ) = 5x − f ( x )

h ( 1) < h ( 2 ) < h ( 3 )

y = f ( x)

( −∞; +∞ )

nghịch biến trên khoảng

( 0; 4 )

.

.

đồng biến trên khoảng

( 0; 4 )

.

.
Đáp án B.