Tải bản đầy đủ (.doc) (15 trang)

Tài liệu Các bài toán khảo sát hàm số 25.05 (Bài tập và hướng dẫn giải) pdf

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (476.9 KB, 15 trang )

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 25 tháng 05 năm 2010
BTVN NGÀY 25-05
Câu 1 : Cho hàm số
( )
2
3 3
2 1
x x
y
x
− + −
=

(1)
a. Tìm trên đồ thị 2 điểm A, B thuộc 2 nhánh sao cho AB min.
b. Tính diện tích tam giác tạo bởi tiệm cận xiên và các trục tọa độ.
Câu 2 : Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
− +
=
+
(C)
a. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 trục
tọa độ đạt GTNN
b. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm


cận đạt GTNN
c. Tìm 2 điểm A; B thuộc 2 nhánh của đồ thị hàm số sao cho AB min.
………………….Hết…………………
BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
HDG CÁC BTVN
• BTVN NGÀY 20-05
Câu I: Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
− +
=
+
(C)
I.1. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M(2 ; 3) đến (C)
I.2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của 2
đường tiệm cận.
I.3. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm
( )
M C∈
, biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo
thành 1 tam giác có diện tích bằng 1.

I.4. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm
( )
M C∈
, biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo
thành 1 tam giác cân.
HDG
Tập xác định:
1
\
2
D R
 
= −
 
 
. Ta có:
( )
2
3
' 0,
2 1
y x D
x

= < ∀ ∈
+
Bài 1:
Vì đường thẳng x = 2 không là tiếp tuyến của (C), nên phương trình đường thẳng đi qua
M (2; 3) có hệ số góc k có dạng:
( )

2 3y k x
= − +
tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ:
( )
( )
2
1
2 3
2 1
3
2 1
x
k x
x
k
x
− +

= − +

+




=
+


có nghiệm

Thế k từ pt thứ hai vào pt đầu ta được:

( )
( )
2
2
1 3
2 3 7 4 4 0
2 1
2 1
x
x x x
x
x
− + −
= − + ⇔ + + =
+
+
: Vô nghiệm
Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua M đến (C)
Bài 2:
Hàm số có: TCĐ:
1
2
x = −
; TCN:
1
2
y
= −

1 1
;
2 2
I
 
⇒ − −
 ÷
 
Page 2 of 15
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
Vì đường thẳng
1
2
x
= −
không là tiếp tuyến của (C), nên phương trình đường thẳng đi qua
1 1
;
2 2
I
 
− −
 ÷
 
có hệ số góc k có dạng:
1 1
2 2
y k x

 
= + +
 ÷
 
tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ:
( )
2
1 1 1
2 1 2 2
3
2 1
x
k x
x
k
x
− +
 
= + +
 ÷

+
 




=

+


có nghiệm
Thế k từ pt thứ hai vào pt đầu ta được:

( )
( )
2
1 3 1 1 3 3
2 1 2 2 2 1 2 2 1
2 1
x
x
x x x
x
− + − −
 
= + − ⇔ =
 ÷
+ + +
 
+
:Vô nghiệm
Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua I đến (C)
Bài 3:
Gọi
( )
0
0
1 3 1
;

2 4 2
M x C
x
 
− − ∈
 ÷
 
. Tiếp tuyến tại M có dạng:
( )
0
2 2
0 0 0 0
3 3 1 3 3 1
:
4 4 2 4 2 2
d y x x x
x x x x
− −
= − + − = + −
Giả sử
Ox;A d B d Oy
= ∩ = ∩
suy ra:
( )
0 0
0
0
2 3
3
;0 ; 0;

3
x x
x
A B
x
− 
 

 ÷
 ÷
 
 
OAB

vuông tạo O
( )
2
0
1 2
. 3 1
2 3
OAB
S OAOB x

⇒ = = − =

0 0
6 6 6
3
2 2

x x
±
⇒ − = ± ⇒ =
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là:
3 4 6
20
40 12 6
y x
− −
= +

hay
3 4 6
20
40 12 6
y x
− +
= −
+

Bài 4:
Tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến là
1k = ±
. Gọi
( ) ( )
0 0
;M x y C∈
là tiếp điểm
Page 3 of 15
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE

P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
- Nếu
( )
0 0
2
0
3 1 3
1 1 2 1 3
2
2 1
k x x
x
− − ±
= − ⇒ = − ⇒ + = ± ⇒ =
+
Với
0 0
1 3 1 3
2 2
x y
− − − −
= ⇒ = ⇒
tiếp tuyến là:
1 3y x
= − − −

Với
0 0
1 3 1 3

2 2
x y
− + − +
= ⇒ = ⇒
tiếp tuyến là:
1 3y x
= − − +
- Nếu
( )
( )
2
0
2
0
3
1 1 2 1 3
2 1
k x
x

= − ⇒ = ⇒ + = −
+
: Vô nghiệm
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là:
1 3y x
= − − −

1 3y x
= − − +
Câu II : Cho hàm số

( )
1m x m
y
x m
− +
=


( )
m
C

II.1. CMR đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại 1 điểm cố định.
II.2. Tiếp tuyến tại
( )
m
M C∈
cắt 2 tiệm cận tại A, B. CMR M là trung điểm của AB
II.3. Cho điểm
( )
0 0
M x , y ∈
( )
3
C
. Tiếp tuyến của
( )
3
C
tại M


cắt các tiệm cận của (C) tại các
điểm A và B. Chứng minh diện tích tam giác AIB không đổi, I là giao của 2 tiệm cận.
Tìm M để chu vi tam giác AIB nhỏ nhất.
HDG
Bài 1:
Gọi
( )
0 0
;M x y
là điểm cố định của hàm số
( )
0
0
0
1
;
m x m
y m
x m
− +
⇒ = ∀


( ) ( )
0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
1 0;
1 0 0

0 1
m x y x x y m
x y x
x x y y
⇔ + + − + = ∀
+ + = =
 
⇔ ⇔
 
+ = = −
 
Với
( )
0; 1M

, tiếp tuyến tại M là:
( )
' 0 1 1y y x x= − = − −
Vậy đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định
1y x
= − −
tại
( )
0; 1M

.
Bài 2:
Ta có:
2
1

m
y m
x m
= − + ⇒

TCĐ:
x m
=
và TCN:
1y m
= −
Page 4 of 15
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
Gọi
( )
2
; 1 , 0
m
m
M a m m C a
a
 
+ − + ∈ ≠
 ÷
 
. Tiếp tuyến tại M có dạng:
( ) ( ) ( )
2 2 2

2
: ' 1 1
m m m
d y y a m x a m m x a m m
a a a
= + − − + − + = − − − + − +
Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng d với TCN, TCĐ tương ứng nên:
( )
2
2
2 ; 1 ; ; 1
m
A a m m B m m
a
 
+ − − +
 ÷
 
Nhận thấy
2
2
A B M
A B M
x x x
y y y
+ =



+ =


M là trung điểm của AB (đpcm)
Bài 3:
Điểm
( )
3
9 9
: 2 3 ;2
3
M C y M
x
α
α
 
∈ = + ⇒ + +
 ÷

 
Phương trình tiếp tuyến của M có dạng:
2 2
9 18 27
: 2y x
α α α
∆ = − + + +
Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng d với TCN, TCĐ tương ứng nên:
( )
18
2 3;2 ; 3;2A B
a
α

 
+ +
 ÷
 
Vì I là giao điểm của 2 tiệm cận nên
( )
3;2I
+
IAB

vuông tại I nên:
1 1 18
. . . 2 . 18
2 2
IAB
S IA IB
α
α

= = =
(đvdt)
+ Chu vi tam giác IAB là:

2
2
18 18
2 4p IA IB AB
α α
α α
 

= + + = + + +
 ÷
 

2
2
18 18
2 2 2 4 12 2.2.18 12 6 2
α α
α α
 
≥ + + = + = +
 ÷
 
Dấu = xảy ra
18
2 3
α α
α
⇔ = ⇔ = ±
( )
6;5M⇔
hoặc
( )
0; 1M −

• BTVN NGÀY 22-05
Page 5 of 15
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408

Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
Cho hàm số
2 2
2 1 3x mx m
y
x m
+ + −
=

. Tìm tham số m để hàm số có:
Câu 1. Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung.
Câu 2. Hai điểm cực trị cùng với gốc tọa độ O lập thành tam giác vuông tại O
Câu 3. Hai điểm cực trị cùng với điểm M(0; 2) thẳng hàng.
Câu 4. Khoảng cách hai điểm cực trị bằng
10m
.
Câu 5. Cực trị và tính khoảng cách từ điểm cực tiểu đến TCX.
Câu 6. Cực trị và thỏa mãn:
2 3
CD CT
y y
+ >
.
HDG:
Tập xác định:
{ }
\D R m
=
Ta có:
( ) ( )

2 2
2 2
1 1 2 1
3 ' 1
x xm m
y x m y
x m
x m x m
− + −
= + + ⇒ = − =

− −
Bài 1:
Hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung

y’ = 0 có 2 nghiệm trái dấu
2 2
( ) 2 1g x x xm m
⇔ = − + −
có 2 nghiệm trái dấu cùng khác m
2
1 0
1 1
( ) 0
m
m
g m

− <
⇔ ⇔ − < <




Vậy
( )
1;1m
∈ −
Bài 2:
Có:
1
2
1
' 0
1
x x m
y
x x m
= = −

= ⇔

= = +

Do đó hàm số luôn đạt cực trị tại
1 2
;x x
. Ta có:
( ) ( )
1 1 2 2
4 2; 4 2y y x m y y x m

= = − = = +
Gọi 2 điểm cực trị là
( ) ( )
1;4 2 ; 1;4 2A m m B m m− − + +
OAB∆
vuông tại O
. 0OA OB OAOB
⇔ ⊥ ⇔ =
uuur uuur

( ) ( ) ( ) ( )
2
1 1 4 2 4 2 0
85
17 5 0
17
m m m m
m m
⇔ − + + − + =
⇔ − = ⇔ = ±
Page 6 of 15

×