Chuyên Đề Trắc Nghiệm Nguyên Hàm Có Đáp Án - Giáo viên Việt Nam

Giaovienvietnam.com
CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
CHỦ ĐỀ 1
NGUYÊN HÀM
I. Định nghĩa:
Giả sử

y  f  x

y  f  x

khi và chỉ khi

Nếu

y  F  x

 a, b  , khi đó hàm số
F '(x)  f (x) , x   a, b  .
liên tục trên khoảng

là một nguyên hàm của hàm số

II. Vi phân:

y  f  x

Giả sử

y  f  x

thì

y  F  x

 f ( x )dx  F( x )  C , C  ¡

 a, b  và có đạo hàm tại điểm
f  x
dy  f '  x  .dx
là:

xác định trên khoảng

y

là một nguyên hàm của hàm số

x   a, b 

.

Vi phân của hàm số
Quan hệ giữa đạo hàm  nguyên hàm và vi phân:

 f  x  dx  F  x   c  F   x   f  x   dF  x   f  x  dx
III. Các tính chất của nguyên hàm
1. Nếu

f  x

2. Nếu

F  x

 f  x  dx 
là hàm số có nguyên hàm thì : 



 f  x

;

d

  f  x  dx   f  x  dx

d  F  x   F  x  C
có đạo hàm thì:
 f  x   g  x   dx  f  x  dx  g  x  dx
3. Phép cộng, phép trừ: 





4. Phép nhân với một hằng số thực khác 0:




 kf  x  dx  k  f  x  dx , k  0

IV. Phương pháp tính nguyên hàm:
1. Phương pháp đổi biến số:
Nếu

 f (u)du  F (u)  C

và u  u(x) có đạo hàm liên tục thì:

 f  u(x) .u'(x)dx  F  u(x)  C

2. Phương pháp từng phần
Nếu hai hàm số

u  u  x

và

v  v  x

có đạo hàm liên tục trên K thì:

 u  x  .v'  x  dx  u  x  .v  x    u'  x  .v  x  dx
u.dv  u.v   v.du
Hay: 

Trang 1

Giaovienvietnam.com

V. Nguyên hàm của một số hàm thường gặp
Nguyên hàm của hàm
số sơ cấp

1

x



2

Nguyên hàm hàm số thường gặp

1

1
dx    C
x

  ax  b 

1
dx  2 x  C
x

+ Cho hàm số



+ Cho hàm số
Kí hiệu :

y  f  x

dx  

1 1
C
a ax  b

 x 

1
du    C
u

1
du  2 u  C
u

y  f  x
x
x
có đạo hàm tại 0 vi phân của hàm số
tại điểm 0 là :

có đạo hàm

df  x   f   x  .x  f   x  .dx

VII. Các quy tắc tính đạo:



2

1 a x  
dx  .
 C  0  a  1
 ln a

df  x0   f   x0  .x

y  f  x

1

u

1
1
2
dx 
C
a ax  b
ax  b

a

VI. Vi phân

2

Nguyên hàm của hàm số hợp

Cho

f  x

thì tích

.

f   x  .x

được gọi là vi phân của hàm số


hay dy  y .dx .

u  u  x ; v  v  x ; C :

là hằng số .

 u  v  '  u ' v '
 u.v  '  u '.v  v '.u

  C.u    C.u 

C.u
 u  u '.v  v '.u
 C 

,
v

0



 
  2
2
v
u
v
u
y  f  u  , u  u  x   yx  yu .ux

Nếu

Trang 2

y  f  x

Giaovienvietnam.com

VIII. Các cơng thức tính đạo:
Đạo hàm của hàm số
sơ cấp

 C  0

;

 x    n.x
n

Đạo hàm của hàm số hợp

 x  1

 u    n.u

n1

n

'

.u  ,  n  ¥ , n  2 

n 1

'

1
1
  2
 x
x
1

x 
,  x  0
2 x

 

u
1
  2
u
u
u

u 
2 u

 sin x    cos x

 sin u    u. cos u

 cos x     sin x

 cos u    u .sin u

 tan x   

1

 

 tan u   

,  u  0

u

2

cos x
1
 cot x     2
sin x

cos 2 u
u
 cot u     2
sin u

 
'
 a x   a x .ln a
x '

e
   ex

    .u 1.u '
'
 au   au .ln u.u '
u '
e
   eu .u '

 log a x  '  x ln1 a

 log a u  '  u uln' a

'

x   .x 1 ,  x  0 

 ln x  ' 

 n x

'



1
,  x  0
x
1

u

'

 ln u  ' 

 n u

n.n x n1

IX. Nguyên hàm mở rộng

'



u'
u

u'
n.n u n1

ax  b

ax
1
x
 a x  b.dx   a x  b .dx  b.ln a .ln a  b  C
'

Trang 3


Giaovienvietnam.com

X. Lượng giác
1. Hệ thức cơ bản:




tan 

sin
cos

cot 

cos
sin



sin2  cos2  1 sin2  cos2



n

1

n
n
 tan .cot  1 tan  .cot   1



1 tan2  

1
2

cos 

; 1 cot2  

1
sin2 

2. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
Góc đối nhau
Góc bù nhau

cos( )  cos

sin(   )  sin

sin( )   sin

cos(   )   cos

tan( )   tan

tan(   )   tan

cot( )   cot

cot(   )   cot

Góc phụ nhau



sin     cos
2



cos     sin
2



tan     cot
2



cot     tan

2


Góc hơn kém 


Góc hơn kém 2

sin(   )   sin



sin     cos
2


cos(   )   cos



cos      sin
2


tan(   )  tan



tan      cot
2



cot(   )  cot



cot       tan
2


Để thuộc các công thức trên chỉ cần hiểu và thuộc câu thần chú sau:
cos đối, sin bù, phụ chéo
Trang 4


Giaovienvietnam.com

kém  tan, cot, kém 2 chéo cos

3. Công thức lượng giác
a. Công thức cộng

sin(a  b)  sina.cosb  sinb.cosa
sin(a  b)  sina.cosb  sinb.cosa
cos(a  b)  cosa.cosb  sina.sinb
cos(a  b)  cosa.cosb sina.sinb

 1 tan
tan    
,

4
 1 tan

Hệ quả:

b. Công thức nhân đôi
Công thức nhân đôi
2

cos2  cos   sin 
 2cos2   1
 1 2sin2 
tan2 


 1 tan
tan    
4
 1 tan

Công thức hạ bậc
1 cos2
sin2  
2
1 cos2
2
cos  
2
1


cos2

tan2  
1 cos2

sin2  2sin .cos
2

tana  tanb
1 tana.tanb
tana  tanb
tan(a  b) 
1 tana.tanb
tan(a  b) 

2tan

Công thức nhân ba

sin3  3sin  4sin3 
cos3  4cos3   3cos
3tan  tan3 
tan3 
1 3tan2 
sin thì 31 – 43, cos thì 43
– 31
hoặc:
sin thì 3sin 4sỉn , cos thì
4 cổ 3cơ

1 tan2 
cot2   1
cot2 
2cot
c. Cơng thức biến đổi tích thành tổng

d. Cơng thức biến đổi tổng thành tích

Trang 5


Giaovienvietnam.com
a b
a b
.cos
2
2
a b
a b
cosa  cosb   2sin
.sin
2
2
a b
a b
sina  sinb  2sin
.cos
2
2
a b

a b
sina  sinb  2cos
.sin
2
2

sin(a  b)
cosa.cosb
sin(a  b)
tana  tanb 
cosa.cosb
sin(a  b)
cot a  cot b 
sina.sinb
sin(b a)
cot a  cot b 
sina.sinb

cosa  cosb  2cos

tana  tanb 

Chú ý:



sin  cos  2.sin   
4




sin  cos   2cos  m 

4

PHẦN 1
NGUYÊN HÀM
VẤN ĐỀ 1
Lý thuyết

Câu 1.
A.
C.
Câu 2.

Hàm số
f ( x)
f ( x)

f ( x)

có nguyên hàm trên K nếu:

xác định trên K .

B.

có giá trị nhỏ nhất trên K .

Giả sử hàm số

F  x

D.

là một nguyên hàm của hàm số

f ( x)
f ( x)

f  x

có giá trị lớn nhất trên K .
liên tục trên K .
trên K . Khẳng định nào sau đây đúng.

y  F(x)  C
f
A. Chỉ có duy nhất một hằng số C sao cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm
trên K .

f
B. Với mỗi nguyên hàm G của
trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G(x)  F(x)  C với x thuộc K
.
C. Chỉ có duy nhất hàm số

y  F(x)

là nguyên hàm của

f

trên K .

f
D. Với mỗi nguyên hàm G của
trên K thì G(x)  F(x)  C với mọi x thuộc K và C bất kỳ.
Câu 3.

f (x)
Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số
trên K . Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.

f (x)dx  f (x).


B.

f (x)dx  F(x).


D.

f (x)dx F(x)  C.
A. 

f (x)dx  f (x).



C.
Câu 4.

Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.

 kf (x)dx  k f (x)dx,(k R) .
 f  x  g x  dx   f  x dx   g x dx .
C.  
A.

Trang 6

 f  x .g x dx   f  x dx. g x dx .
 f  x  g x  dx   f  x dx   g x dx .
D.  
B.


Giaovienvietnam.com
Câu 5. Cho hai hàm số
Xét các mệnh đề sau:

f (x), g(x)

f (x), g(x)
là hàm số liên tục, có F(x),G(x) lần lượt là nguyên hàm của
.

f (x)  g(x).

(I). F(x)  G(x) là một nguyên hàm của
kf (x)
(II). k.F(x) là một nguyên hàm của
với k R..
(III). F(x).G(x) là một nguyên hàm của
Các mệnh đúng là
A.(I).
Câu 6.

f (x).g(x).

B. (I) và (II).

C. Cả 3 mệnh đề.

D. (II).

Mệnh đề nào sau đây sai?

( a;b) và C là hằng số thì ị f ( x) dx = F ( x) +C .
( a;b) đều có nguyên hàm trên ( a;b) .
B. Mọi hàm số liên tục trên
F ( x)
f ( x)
( a;b) Û F / ( x) = f ( x) , " x Î ( a;b) .
C.
là một nguyên hàm của
trên
A. Nếu

F ( x)

là một nguyên hàm của

( f ( x) dx)
D. ò

/

f ( x)

trên

= f ( x)

.
Xét hai khẳng định sau:

Câu 7.

[ a;b] đều có đạo hàm trên đoạn đó.
f ( x)
[ a;b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó.
(II) Mọi hàm số
liên tục trên đoạn
f ( x)

(I) Mọi hàm số

liên tục trên đoạn

Trong hai khẳng định trên:
A. Chỉ có (I) đúng.
C. Cả hai đều đúng.
Câu 8.

Hàm số

A. Với mọi
B. Với mọi
C. Với mọi
D. Với mọi
Câu 9.

F ( x)

x Ỵ ( a;b)
x Î ( a;b)
x Î [ a;b]
x Î ( a;b)

B. Chỉ có (II) đúng.
D. Cả hai đều sai.

được gọi là nguyên hàm của hàm số
, ta có
, ta có
, ta có
, ta có

F / ( x) = f ( x)
f / ( x) = F ( x)
F / ( x) = f ( x)
F / ( x) = f ( x)

f ( x)

trên đoạn

[ a;b] nếu:

.
.
.
, ngoài ra

F / ( a+ ) = f ( a)

Trong các câu sau đây, nói về nguyên hàm của một hàm số

và
f

F / ( b- ) = f ( b)

.

xác định trên khoảng D , câu nào là sai?

" x Ỵ D : F '( x) = f ( x)

(I) F là nguyên hàm của f trên D nếu và chỉ nếu
.

(II) Nếu f liên tục trên D thì f có ngun hàm trên D .
(III) Hai nguyên hàm trên D của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số.
A. Khơng có câu nào sai. B. Câu (I) sai.
C. Câu (II) sai.
Câu 10. Giả sử
hàm của
A.
B.

f ( x)

F ( x)

là một nguyên hàm của hàm số

trên khoảng

F ( x) = G ( x)

trên khoảng

( a;b) . Giả sử G ( x) cũng là một nguyên

( a;b) . Khi đó:

trên khoảng

G ( x) = F ( x) - C

f ( x)

D. Câu (III) sai.

( a;b) .

trên khoảng

( a;b) , với C là hằng số.

F ( x) = G ( x) +C
C.
với mọi x thuộc giao của hai miền xác định, C là hằng số.
D. Cả ba câu trên đều sai.
Câu 11. Xét hai câu sau:

(I)

ò( f ( x) + g( x) ) dx = ò f ( x) dx + ò g( x) dx = F ( x) +G ( x) +C ,
trong đó

(II) Mỗi nguyên hàm của
Trong hai câu trên:
A. Chỉ có (I) đúng.
C. Cả hai câu đều đúng.

F ( x)

a. f ( x)

và

G ( x)

tương ứng là nguyên hàm của

là tích của a với một nguyên hàm của

f ( x) , g( x)

f ( x)

.

B. Chỉ có (II) đúng.
D. Cả hai câu đều sai.

Trang 7

.


Giaovienvietnam.com
Câu 12. Các khẳng định nào sau đây là sai?
A.

ò f ( x) dx = F ( x) +C Þ

ị f ( t) dt = F ( t) +C

f ( x) dx = F ( x) +C Þ

ị
C. ị
Câu 13. Câu nào sau đây sai?
A. Nếu
B.

F '( t) = f ( t)

thì

/

.

f ( u) dx = F ( u) +C

F / ( u( x) ) = f ( u( x) )

é f ( x) dxù = f ( x)
ê
ú
û
B. ëò
.

.

D.

( k là hằng số).

.

ò f ( t) dt = F ( t) +C Þ ị f ( u( x) ) u'( x) dx = F ( u( x) ) +C .

C. Nếu

G ( t)

là một nguyên hàm của hàm số

f ( t) dt = F ( t) +C Þ

g( t)

thì

f ( u) du = F ( u) +C

G ( u( x) )

ò
D. ò
với
Câu 14. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai.
A.

ò kf ( x) dx = kò f ( x) dx

u = u( x)

là một nguyên hàm của hàm số

g( u( x) ) .u/ ( x)

.

  f (x)  g(x) dx   f (x)dx   g(x)dx .

f (x)
B.Nếu F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của hàm số
thì F(x)  G(x)  C là hằng số.
f (x)  2 x.
C. F(x)  x là một nguyên hàm của
D.

F(x)  x2 là một nguyên hàm của f (x)  2x.

VẤN ĐỀ 2
Tính nguyên hàm của một số hàm số đa thức

Câu 15.
Câu 16.
C.

2

(ĐỀ THI TNTHPT 2021) Cho hàm số f ( x)  x  3 . Khẳng định nào sau đây đúng?
x3
2
f ( x) dx  x  3 x  C
 f ( x)dx  3  3x  C .
A. 
B.

 f ( x)dx  x

3

 3x  C

.

Câu 17. Nguyên hàm của hàm số
A.
C.

F  x 
F  x 

D.

f  x   x3  3 x  2

 f ( x)dx  2 x  C .

là hàm số nào trong các hàm số sau?

4

x
 3x 2  2 x  C
3
.
4

B.

F  x 

x 4 3x 2

 2x  C
4
2
.

2

x
x
  2x  C
4 2
.

D.

Trang 8

F  x   3x 2  3x  C

.

.


Giaovienvietnam.com
F  x   5 x3  4 x 2  7 x  120  C

Câu 18. Hàm số
A.
C.

f  x   5x2  4 x  7
f  x 

2

.

3

C.

5x 4x 7 x



4
3
2 .

F  x 

x3 3 2
 x  ln x  C
3 2
.

F  x 

x3 3 2
 x  ln x  C
3 2
.

Câu 20. Tìm nguyên hàm của hàm số
A.

F  x  2x  3  C

y  x 2  3x 

B.

f  x   2 x  1  3x 3 

f  x    2 x  1

5

có nguyên hàm là

C.
thỏa
B.

F  x  x  4
3

D.

Câu 24. Tìm một nguyên hàm
A.
C.

F  x   2x 
F  x  2x 

A.

của hàm số

x 1

3 3

B.

3

Câu 25. Nguyên hàm

F  x

F  x  4

1
5

D.

7
3

a
a
6
 2x  c   C
a
,
b
,
c

¢
b
với

và b là

6
7

T

T

F  1  0

D.

D.
là:

F  x   2 x3  2
biết

F  2 

F  x   2 x  x3 

F  x   2x 

f  x  2x  x3  4

7
3

19
3

x3
3
3

thỏa mãn điều kiện

B.

F  x   2x  4x

D.

F  x   x3  x 4  2 x

3

2 3 x4
F  x   x   4x
3
4
C.
Trang 9

7
6

F  x   x3  x  2

2

của hàm số

T

F  x 

f  x   2  x2

3

x
1
3

T

abc
a.b.c .

của

F  x

x3 2 2
 x  2x  C
3 3
.

abc
a.b.c .

phân số tối giản . Tính giá trị biểu thức
5
3
T
T
3
5
A.
B.
F  x
f ( x)  3 x 2  1
F  x   x3  1

F  x 

x3 2 2
F  x    x  2x  C
3 3
D.
.
b
b
F  x   ax 2  x 5  C
c
có nguyên hàm là
với a, b, c  ¢ và c là

C.

T

Câu 23. Một nguyên hàm

.

1
x là

.

phân số tối giản . Tính giá trị biểu thức
1
2
T
T
3
5
A.
B.

C.

f  x   15 x 2  8 x  7

f  x    x  1  x  2 

T

A.

D.

.

x3 3 2
 x  ln x  C
3 2
B.
.
1
F  x  2x  3  2  C
x
D.
.

x 3
F  x    x2  2x  C
3 2
C.
.

Câu 22. Biết hàm số

f  x   5x2  4 x  7

F  x 

3

Câu 21. Biết hàm số

B.
2

Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số:
A.

là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

4

F  0  0

là


Giaovienvietnam.com
f  x   x3  x 2  2 x  1

Câu 26. Cho hàm số
A.
C.

F  x 
F  x 

. Gọi

F  x

x4 x3
49
  x2  x 
4 3
12
4

F  1  4
là một nguyên hàm của f ( x) , biết rằng
thì:

B.

3

x
x
  x2  x  2
4 3

D.

f (x)  (x  1)

2

Câu 27. Biết hàm số

F  x 

x 4 x3
  x2  x  1
4 3

F  x 

x 4 x3
  x2  x
4 3

F(x) 

có nguyên hàm là

x3
 bx2  cx  C
a
với a,b, c ¢ . Tính giá trị

biểu thức T  a b c .
B. T  3

A. T  1

f  x   x  3

Câu 28. Biết hàm số

C. T  5

4

có nguyên hàm là

F  x 

 x  3

D. T  10
a

C

b

với a, b ¢ . Tính giá trị biểu

2
2
thức T  a  b .

A. T  5

B. T  25

C. T  50

D. T  10

Câu 29. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng.
2

2

 

1
1 
2
x

1

dx

2
x

1

dx  .







x
x  

A.
2


1

1
  2x  1 x  dx  2 2x  1 x dx .
B.
2


1

1

1
 .
  2x  1 x  dx   2x  1 x dx. 2x  1 x dx
C.
2


1
1
2

2
  2x  1 x  dx  4 x dx   dx   x2dx  4 xdx   xdx  4 dx
D.
Câu 30. Cho hàm số
điểm

M  1; 6 

A.

C.

f  x   x  x 2  1

. Nguyên hàm

x
F  x 
x
F  x 

2

 1

4

4
2

 1
5

5

F  x

4

. Biết

F  x

y  F  x
là một nguyên hàm của f ( x) ; đồ thị hàm số
đi qua

là

2

5

B.

2

5

D.

x
F  x 

x
F  x 

x  xy  C 
Câu 31. Hãy xác định hàm số f ( x ) từ đẳng thức:
2

A.

f  x  2x

Câu 32. Cho

B. f ( x )  x

2

 1

5

5
2

 1
4

2
5



2
5

4

 f ( y)dy

C. f ( x )  2 x  1

D. Khơng tính được

 f (x)dx  F(x)  C. Khi đó với a  0, ta có  f (a x  b)dx bằng:

1
1
F(a x  b)  C
F(a x  b)  C
F(a
x

b)

C
A. 2a

B.
C. a
2
2
 f x dx
 f ( x)dx  x  x  C

Câu 33. Cho
5



. Khi đó

3

x x
 C
3
A. 5

B. x  x  C
4

2

Trang 10

 

D. F(a x  b)  C

bằng:

2 3
x  xC
C. 3

D. Khơng được tính


Giaovienvietnam.com
Câu 34. Cho hàm số
A.

y  f  x

f  2   e3

B.

2
f  1  1
f  2
thỏa mãn y '  x . y và
thì
bằng bao nhiêu?

f  2  e2

Câu 35. Tìm giá trị thực của m

f  x    x  2x  3

C.

để

f  2   2e

D.

F  x   mx 3  x 2  3 x  4

f  2  e  1

là một nguyên hàm của hàm số

2

A. m  1 .
Câu 36. Cho

.

f  x  1 x

B.

1

3.

m

. Một nguyên hàm

F  x

C. m  1 .

của

f  x

thỏa

F  1  1

D.

2
A. x  x  1

 x2
 x  C1 khi x  0

2

2
 x  x  C khi x  0

2

2
C. 
.

 x 2  x  C1 khi x  0

 x2
 x   C2 khi x  0
2
D. 
.

Câu 37. Cho hàm số

f  1

thỏa mãn

bằng?

41
A. 100 .

f  2  

1
3.

là:


x



x 

B. 

f  x

m

x2 1
 khi x  0
2 2
x2
 C2 khi x  0
2
.

1
2
3

f
x


4
x
.

f
x







25 và
với mọi x  ¡ . Giá trị của

1
B. 10 .

391
C. 400 .

1
D. 40 .
2020

 ab 
3
5
4

S 

x  x  1 dx  a  x  1  b  x  1  C
 a.b 
Câu 38. Biết
, vi a, b Ô . Tớnh giỏ tr
2020

1
S  
2
A.
Câu 39. Biết
A.

.

2020
B. S  2 .

2020
2022
2021
 x(1  x) dx  a( x  1)  b( x  1)  C
2020
B. S  2 .

S  4043.

Câu 40. Biết

 3x

2

(2020  x )

3 2019

A. S  2020.

Câu 41. Cho



dx  a (2020  x )  C

B. S  1.

f  x  dx 

 x( x 1)

10

dx

, vi a, b Ô . Tớnh giỏ trị

 f  3x  dx

4

Trang 11

 f  t  dt là

a.b
a b

D. S  2020.

S

1

 a.b 

D. S  2019.

là:

3x
 3 x3  2020  C
B. 4
x4
2020
 x3 
C
3
D. 4

. Nếu đặt t  x  1 thì

S

, vi a Ô ; b  . Tớnh giá trị
C. S  4.

x 4 x3
  2020  C
4 3
. Khi đó

27 x
2020
 3x3 
C
3
A. 4
27 x 4
 x3  2020  C
C. 4

D. S  0.

C. S  2020.
3 b

4

Câu 42. Cho

C. S  1.

2020


Giaovienvietnam.com
t 10 t 9
 C
A. 10 9

t 10 t 9
 C
B. 10 9

t 12 t 11
 C
C. 12 11

t12 t11
 C
D. 12 11

VẤN ĐỀ 3
Tính nguyên hàm của một số hàm số hữu tỉ

f (x) 

P (x)

Q(x)

2019
f  x   x 2 – 3x   
  
x
Câu 43. Nguyên hàm của hàm số
là
3
2
x 3x
x 3 3x 2

 2019ln x  C

 2019 ln x  C
2
2
A. F(x) = 3
B. F(x) = 3

x 3 3x 2

 2019 ln x  C
2
C. F(x) = 3
dx

2  3x bằng:
Câu 44.

1
3
C

C
2
2
 2  3x 
 2  3x 

x 3 3x 2

 2019 ln x  C
2
D. F(x) = 3

1
ln 2  3x  C
A.
B.
C. 3
2
y
(x  1) 2 :
Câu 45. Hàm nào không phải nguyên hàm của hàm số
x 1
2x
2
A. x  1
B. x  1

C. x  1
1
f (x) 
(x  2) 2 là:
Câu 46. Họ nguyên hàm F(x) của hàm số
A.

F(x) 

Câu 47.

1
C
x2


Tính

B. Đáp án khác.

C.

F(x) 

1
C
x2

1
 ln 3x  2  C

D. 3

x  1
D. x  1

F(x) 
D.

1
C
(x  2)3

x 1
dx
x3
ta được kết quả nào sau đây?
5

A. Một kết quả khác

x3 x2
 C
2
B. 3

x6
x
6
C
x4

4
C.

f (x) 
Câu 48. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số

x2  x 1
A. x  1

x 2  x 1
x 1
B.
x3  x  1
y
x
Câu 49. Nguyên hàm của hàm số
là:
3
3
2
x
x x
 x  ln x  C.
  ln x  C
A. 3
B. 3 2
.
x3
f (x)  4 .
x 1

Câu 50. Tìm nguyên hàm của hàm số
Trang 12

x(2  x)
(x  1) 2 ?

x2  x 1
x 1
C.

3
C. x  x  ln x  C.

x3
1
 2 C
D. 3 2x

x2
D. x  1

x3
 x  ln x  C.
D. 3


Giaovienvietnam.com


A.

f (x)dx 

C. 

3x4
 C.
2x4  6

f (x)dx  ln(x
B. 

4

 1)  C.

1

 f (x)dx  4 ln(x
D.

f (x)dx  x3 ln(x4  1)  C.

4

 1)  C.

1

 f  x dx  x  ln 2x  C thì hàm số f  x

Nếu

Câu 51.
A.
C.

f  x  x 
f  x 

1
.
2x

là

1 1
 .
x2 x
B.
1 1
f  x   2 
.
x 2x
D.
f  x  

1
 ln  2x .
x2

f  x 
Câu 52. Nguyên hàm của

3
C
A. 1 3x
.

1

 3x  1

2

là:

1
C
B. 3x  1
.

Câu 53. Một nguyên hàm của

x2
 3x  6ln x  1.
A. 2

f  x 

1

C
D. 9x  3
.

1
C
C. 9x  3
.

x2  2x  3
x 1
là :

x2
 3x+6ln x  1
B. 2
.

x2
 3x-6ln x  1.
C. 2

x2
 3x+6ln x  1.
D. 2

1

Câu 54. Tìm nguyên hàm:

 x(x  3)dx

.

1 x 3
ln
C
x
B. 3
dx
Câu 55. Tìm F  x =  2
?
x  x 2
1
x
ln
C
A. 3 x  3

1
x
ln
C
C. 3 x  3

1 x 2
F  x = ln
 C.
3
x


1
A.

1 x 3
ln
C
x
D. 3

1 x 1
F  x = ln
 C.
3
x

2
B.

1 x 1
F  x = ln
 C.
3
x

2
C.

D.

1
dx
2

x  6x  9
Câu 56.
bằng:
1
1

C
C
A. x  3
B. x  3

C.



F  x = ln

x 2
 C.
x 1

1
C
x 3

dx

2
2

Câu 57. Nguyên hàm của hàm số: y = a  x là:
1
ax
1
ax
1 xa
ln
ln
ln
2a
a

x
2a
a

x
a
x  a +C
A.
+C
B.
+C
C.
x 3
dx


2
Câu 58.
Tìm nguyên hàm x  3x  2 .
x 3
dx  2ln x  2  ln x  1  C
 3x  2
.
x 3
dx  2ln x  1  ln x  2  C

2
C. x  3x  2
.


A. x

2

Trang 13

1
C
D. 3  x

1 xa
ln
a
x  a +C
D.

x 3
dx  2ln x  1  ln x  2  C
 3x  2
.
x 3
dx  ln x  1  2ln x  2  C

2
D. x  3x  2
.


B. x

2


Giaovienvietnam.com
f  x 
Câu 59. Hàm số nào dưới đây không là 1 nguyên hàm của hàm số

x x  2

 x  1

2

.

x2  x  1
.
x

1
A.

x2  x  1
x2
.
.
x

1
x

1
B.
C.
x 2
f  x  2
.
x  4x  5 Khẳng định nào sau đây là sai?
Câu 60. Cho hàm số
1
ln x2  4x  5  C.

2
A.
1

f  x dx  ln x2  4x  5  C.

2
C.
5x  7
dx

2
Câu 61. Kết quả x  3x  2
bằng:
f  x dx 

A.
C.

2ln x  2  3ln x  1  C
2ln x  1  3ln x  2  C

x2  x  1
.
x

1
D.

1

B.

 f  x dx  ln  2 x

1

2

 f  x dx  2 ln  x
D.

.

B.

.

D.

2


 4x  5  C.




 4x  5  C.

3ln x  2  2ln x  1  C

.

3ln x  2  2ln x  1  C

.

2x
dx
2

Câu 62. Nguyên hàm của (với C hằng số) là 1  x
1 x
x
1
C
C
C
ln 1  x 2  C
A. 1  x
B. 1  x
C. 1  x
D.
4x  1
dx
2

4x  2x  5
Câu 63.
bằng:
1
1
C
 2

C
2
A. 4x  2x  5
B. 4x  2x  5
1
ln 4x 2  2x  5  C
 ln 4x 2  2x  5  C
2
C.
D.
1
f  x 
F  x
x  1 và F  2  1. Tính F  3 .
Câu 64. Biết
là một nguyên hàm của
A.

F  3  ln 2  1

.

B.

F  3  ln2  1.

C.

F  3 

Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số

Câu 65.

x2 1 1
F(x)    .
2 x 2
A.

1
2.

f (x) 

x 1
x2 , biết F(1)  0 .

x2 1 1
x2 1 3
F(x)    .
F(x)    .
2 x 2
2 x 2
C.
D.
b
f  x  ax  2  x  0
F  x
F  1  1,
x

của hàm số
, biết rằng

F  1  4, f  1  0
A.

F  x 

7
4.

3

x2 1 3
F(x)    .
2 x 2
B.

Câu 66. Tìm một nguyên hàm

D.

F  3 

3x2 3 7

 .
4 2x 4

B.

2

F  x 

3x2 3 7

 .
4 2x 4

3x2 3 1
F  x 

 .
2 2x 2
D.

3x
3 7
F  x 

 .
2 4x 4
C.

x 3  3x 2  3x  1
1
f (x) 
F(1) 
2

x  2x  1 biết
3
Câu 67. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số
Trang 14


Giaovienvietnam.com
A.
C.

F(x)  x 2  x 

F(x) 

2
6
x 1

B.

2

x
2
13
x

2
x 1 6

D.

F(x)  x 2  x 

F(x) 

2
13

x 1 6

x2
2
x
6
2
x 1

x 1
x 2 biết F(1) = 0
Câu 68. Tìm 1 nguyên hàm F(x) của
x2 1 1
x2 1 3
x2 1 1
F(x) 
 
F(x) 
 
F(x) 
 

2 x 2 B.
2 x 2
2 x 2
A.
C.
4 1
 2  C   f (y)dy
3
x
y
Câu 69. Hãy xác định hàm số f từ đẳng thức sau:
f (x) 


A.

1
y3


B.

3

3
y3


C.

Câu 70. Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số
A. 2ln2
B. ln2

f (x) 

2
y3

D.

F(x) 

x2 1 3
 
2 x 2

D. Một kết quả khác.

 3
1
F  0
x  3x  2 thỏa mãn  2 
. Khi đó F(3) bằng:
2

C. -2ln2

D. –ln2

x 3
f (x)  2
, F(0)  0
x  2x  3
Câu 71. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm
thì hằng số C bằng
2
3
2
3
 ln 3
ln 3
ln 3
 ln 3
A. 3
B. 2
C. 3
D. 2
3
2
x  3x  3x  7
f (x) 
(x  1) 2
Câu 72. Tìm nguyên hàm của hàm số
với F(0) = 8 là:

x2
8
x
x 1

A. 2

x2
8
x
x 1
B. 2

x2
8
x
x 1
C. 2
D. Một kết quả khác
1
f (x)  2
x  6x  5 . Một học sinh trình bày như sau:
Câu 73. Để tìm họ nguyên hàm của hàm số:
1
1
1 1
1 
f (x)  2

 


x  6x  5 (x  1)(x  5) 4  x  5 x  1 
(I)
1

1
,
ln x  5 , ln x  1
(II) Nguyên hàm của các hàm số x  5 x  1 theo thứ tự là:
1
1 x 1
(ln x  5  ln x  1  C 
C
4
4
x

5
(III) Họ nguyên hàm của hàm số f(x) là:
Nếu sai, thì sai ở phần nào?
A. I

B. I, II

C. II, III

D. III

1
ax  1
f  x 
2
F  x 
x  5


a
x

5
Câu 74. Tìm giá trị thực của để
là một nguyên hàm của hàm số
.
A. a  6 .
Câu 75.


Biết 2 x

A. S  4.

B.
2

a

2
5.

C.

a

3
5.

D.

a

2
5.

1 x
a
a
dx  ln 2 x  7  C
 5x  7
b
, với b là phân số tối giản. Tính S = a + b?
B. S  2.

Trang 15

C. S  3.

D. S  5.


Giaovienvietnam.com



Câu 76. *Biết F ( x) là nguyên hàm của

5x2  8x  4

x2  1  x 

2

dx

1
F    26
với 0  x  1 và  2 
. Giá trị nhỏ nhất của

F ( x ) là:
A. 24.

B. 20.

  25 x

Câu 77. Biết

2

C. 25.

1
1
dx  
C
a  5x  2 
 20 x  4 

A. a  4.

B. a  100.

D. 26.

. Với a là số nguyên. Tìm a ?
C. a  5.

D. a  25.

x 1

Câu 78. Biết

  x  1  2 x dx  aln x  1  bln x  2  C

A. a b  5.

B. a b  1.

Câu 79. Nguyên hàm

F  x

của hàm số

f  x 

. Tính giá trị biểu thức a b

C. a b  5.

D. a b  1.

2
2 3
  2
5  2 x x x là hàm số nào?

3
F  x    ln 5  2 x  2ln x   C
x
A.
.
3
F  x   ln 5  2 x  2 ln x   C
x
C.
.

3
C
x
B.
.
3
F  x    ln 5  2 x  2 ln x   C
x

D.
.
1
x2  x  1
S
2020
dx  ax 2  b ln | x 1| C

a.b

a

Ô
;
b

Â
x

1
Cõu 80. Bit
, vi
. Tớnh giỏ trị
1
S .
2020
2
A. S  2 .
B. S  1.
C. S  2.

D.
F  x    ln 5  2 x  2 ln x 

2

 x2  1 
b
3
  x  dx  ax  x  cx C
Cõu 81. Bit
, vi a Ô ; b, c  ¢ . Tính giá trị S  a  b  c .
5
4
3
1
S .
S .
S .
S .
2
3
2
2
B.
C.
D.
A.
x2  2x  3
dx  ax 2  bx  c ln x  1  C


x

1
Câu 82. Biết
, với a Ô ; b, c  . Tớnh giá trị S  2a  3b  5c .
S  0.
B. S  3.
C. S  8.
D. S  20.
A.

Câu 83. Hàm số
biểu thức
A.

T

2 x4  3
b
F  x   ax3   C
2
x
x
có nguyên hàm là
với với a Ô ; b  . Tớnh giỏ trị

ab
a.b .

5

3
3x  1

Câu 84.
A.

T

f  x 

B. T  1

C.

T 

7
3

S
dx  ax  b ln x  c  C

Biết x  2
, với a, b, c  ¢ . Tính giá trị

S  1.

2
S .
3

B.

Trang 16

C.

S

1
.
21

D.

T

7
6

abc
a.b.c .
3
S .
7
D.


Giaovienvietnam.com
1

Câu 85. Biết
A.

S  2

  x  1  x  2 dx  a ln x  b  c ln x  d
B. S  2

2020

.

2020

.

C

S   a.b.c.d 
, với a, b, c, d  ¢ . Tính giá trị
2020
2020
C. S  3 .
D. S  3 .

2020

.

x 1

dx  a ln x  b  c ln x  d  C
 3x  2
Câu 86.
, với a, b, c, d  ¢ . Tính giá trị S  a  b  c  d .
S  4.
B. S  8.
C. S  7.
D. S  9.
A.
a.b
2x  3
S
dx  a ln x  1  b ln x  3  C
2

ab .
Câu 87. Biết x  4 x  3
, với a, b Ô . Tớnh giỏ tr
3
4
8
3
S .
S .
S .
S .
8
3
3
4

A.
B.
C.
D.
x  2  x
f ( x) 
 x  1 2


Biết x

2

Câu 88. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số:
A.
C.

F ( x) 

F ( x) 

2

x  x 1
x 1

B.

2

x
x 1

D.

F ( x) 

là:

2

x  x 1
x 1

F ( x) 

x2  x  1
x 1
2019

 a.b 
x
S 
dx  a ln(b  x 2 )  C

2

 ab
Câu 89. Biết 1  x
, vi a Ô ; b  . Tính giá trị

2019

A. S  1.

B. S  1.


Câu 90. Biết

1
S  
2
C.

x

2x
2

 9

4

dx 

 b.x

a
2

 9

3

.
2019

.

1
S   
2
D.

.

C
, vi a Ô ; b  . Tớnh giá trị S  a  b .

7
S .
3
A.

1
2
7
S .
S .
S .

3
3
3
B.
C.
D.
x2
a
f ( x)  2
F  x   ln | x 2  cx  3 | C
x  4 x  3 có nguyên hàm là
b
Câu 91. Biết hàm số
với a, b, c  ¢ và
a
a b c
T
b là phân số tối giản . Tính giá trị biểu thức
a.b.c .
1
1
3
5
S  .
S .
S .
S  .
8
8
8

8
A.
B.
C.
D.
x
dx
a 3
 1  x 2 x  a ln b  x 2  C a; b  ¢
S 
5 b.
Câu 92. Biết
, với
. Tính giá trị
5
5
5
16
S  .
S .
S  .
S .
3
16
16
5
A.
B.
C.
D.

abcd
dx
1
S
 2  b ln x  c ln  d  x 2   C
3
5

ax
b
Câu 93. Biết x x
, vi c Ô ; a, b, d  ¢ . Tính giá trị





.

3
S .
2
A.

3
2
2
S  .
S .
S  .

2
3
3
B.
C.
D.
2x  3
1
3
dx  ln x  1  ln x  3  C
f  2020 x  dx
2

2
2
Câu 94. Cho x  4 x  3
. Khi đó 
bằng:
Trang 17


Giaovienvietnam.com
A.

1
3
ln x  1 
ln x  3  C
4040
B. 4040

.
1
3
ln 2020 x  1 
ln 2020 x  3  C
4040
D. 4040

1010 ln x  1  3030 ln x  3  C

1
3
ln 2020 x  1  ln 2020 x  3  C
2
C. 2
x
1
  x  1 2 dx  ln x  1  x  1  C

Câu 95. Cho
A.
C.

2020 ln x  1 
2020 ln x  1 

. Khi đó

1
C

x 1

 f  x  2020  dx bằng:
B.

2020
C
x 1

ln x  2021 

D.

1
C
x  2021

ln x  2020 

.

1
C
x  2020

VẤN ĐỀ 4
Tính nguyên hàm của một số hàm số vô tỉ

Câu 96. Nguyên hàm của hàm số
A.

F x 

3

2

3 x
C
4

B.

A.

2
C
x

F x 

f  x 

là:

3x 3 x
C
4
1

x x là:
2
F x  
C
x
B.

Câu 97. Nguyên hàm của hàm số

F x 

f  x  3 x

5
3 
  x  x  dx
Câu 98.
bằng:
2 5
2 5
5ln x 
x C
5ln x 
x C
5
5
A.
B.

Trang 18

C.

C.

C.

F x  

4x
C
33 x

F x 

x
C
2

5ln x 

2 5
x C
5

D.

D.

D.

F x 

4x
3

3 x2

F x  

5ln x 

C

x
C
2

2 5
x C
5


Giaovienvietnam.com
x x x
x2
Câu 99. Nguyên hàm của hàm số
là:
2 x 1
2  x  1

23 x
1 2 x
F x 
C
F x 
C
F x 
C
F x 
C
2
x
x
x
x
A.
B.
C.
D.
 5 1 3
  x 2  2 x  dx
Câu 100. Tìm nguyên hàm:
5 1 5
5 1 5
5 4 5
5 1 5
 
x C

x C

 
x C

x C
A. x 5
B. x 5
C. x 5
D. x 5
 3 2

  x  x  x  dx
Câu 101. Tìm nguyên hàm:
f  x 





1 4
2 3
x  2 ln x 
x C
3
A. 4
1 4
2 3
x  2 ln x 
x C
3
C. 4

1 4
2 3
x  2ln x 
x C
3
B. 4
1 4
2 3
x  2ln x 
x C
3
D. 4

1
3 x .

f ( x) 
Câu 102.Tìm nguyên hàm của hàm số

 f  x  dx  2 3  x  C .
f  x  dx  2 3  x  C
C. 
.

 f  x  dx   3  x  C .
f  x  dx  3 3  x  C
D. 
.

A.

B.

Câu 103.Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  5  3 x .

2

f  x  dx    5  3x 

9
A.

5  3x  C

2

f  x  dx    5  3x 

3
B.

.

2
f  x  dx   5  3x  5  3x

9
C.
.

3 2 4
  x  x  dx
Câu 104. Tìm nguyên hàm:
53 5
x  4 ln x  C
A. 3

B.



33 5
x  4 ln x  C
5

Câu 105.Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) 


A.

C.

D.

3



5  3x

.

2
f  x  dx  
5  3x  C
3
.

33 5
x  4ln x  C
C. 5

33 5
x  4 ln x  C
D. 5

x2 .

2
1

 x  2 3  C
3
.
2
f  x  dx   x  2  x  2
3
.

3

f  x  dx 

 f  x  dx   4  x  2 
B.
3

f  x  dx   x  2 

4
D.

x 2 C

3

x2 C

3

.

.

Câu 106.Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x )  1  3x .
3

3

 f  x  dx   4  1  3x 

A.
1

 f  x  dx  4  1  3x 
C.

3

3

1  3x  C

1  3x  C

1

.

.

Câu 107. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) 
A.

F(x) 

 f  x  dx   4  1  3x 
B.

2 32 3 43 4 54
x  x  x C

3
4
5

D.



2
3

1  3x  C

C

.

x x x ?
3

4

B.

Trang 19



f  x  dx    1  3x 

3

F(x) 

2 23 3 43 4 54
x  x  x C
3
4
5

.


Giaovienvietnam.com
2 23 4 43 5 54
F(x)  x  x  x  C
3
3
4
C.

2 32 1 13 4 54
F(x)  x  x  x  C
3
3
5
D.
1
f (x) 
x 9  x

Câu 108. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) biết
2
3
 x  9  x3  C
A. 27
B. Đáp án khác
2
C
2
3
3
3
 x  9  x3  C
3(  x  9   x )
C.
D. 27









2
Câu 109. Một nguyên hàm của hàm số: f ( x )  x 1  x là:

A.

F ( x) 



1 2
x 1  x2
2

x2
F ( x) 
3
C.

 1 x 



B.

F ( x) 



1
1  x2
3



3



3

1
F ( x)  x 2 1  x2
3
D.
1
y
4  x2
Câu 110. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số:
A.

2



F ( x )  ln x  4  x 2



B.

2
C. F ( x )  2 4  x

Câu 112. Tìm hàm số
A.

F  x 

Câu 114. Cho

1



B.

1  x2  1
C
x

F  x ,

2
1
x x .
3
3
dx

Câu 113. Cho
A. M  3

2x 1  4



biết
B.

F  x

là một nguyên hàm của hàm số

F  x 

 f  x dx 

1

1
 .
2 x 2

 a 2 x  1  b ln

2
x 1
2



C
. Khi đó:

1





P  x 2  1  ln x  x 2  1  C

D. Đáp án khác.

C.

f  x  x

F  x  x x.



và

F  1  1.

D.

F  x 

3
1
x x .
2
2

2x 1  4  C

với a, b  ¢ . Tính M  a  b .
C. M  0
D. M  2 .

B. M  3

 f  2x dx bằng:
8

2

C

C

2

C
2
4
x

1
4
x

1

x

1
.
B.
.
C.
.
D.
.
2
20x  30x  7
3
f (x) 
2
x
F
x

ax

bx

c
2x

3


2x  3

2 . Để hàm số F  x 
Câu 115. Cho các hàm số:
;
với
là một nguyên hàm của hàm số f (x) thì giá trị của a, b, c là:
A. x  1
2

C



F ( x)  ln x  4  x 2

x2  1
x
là:

y

2
A. P  x x  1  x  C

C.

3

2
D. F ( x )  x  2 4  x

Câu 111. Nguyên hàm của hàm số

P  x 2  1  ln



2



A. a  4; b  2;c  1

B. a  4; b  2;c  1



C. a  4; b  2;c  1 .

D. a  4; b  2;c  1

Câu 116. Hàm số f (x)  x x  1 có một nguyên hàm là F(x) . Nếu F(0)  2 thì giá trị của F(3) là

Trang 20


Giaovienvietnam.com
116
A. 15

B. Một đáp số khác

f (x) 
Câu 117. Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số
nghiệm là:
A. x = 0

B. x = 1

146
C. 15
x

886
D. 105

8  x 2 thỏa mãn F(2) =0. Khi đó phương trình F(x) = x có
D. x  1  3

C. x = -1

Câu 118. Một học sinh tìm nguyên hàm của hàm số y  x 1  x như sau:
(I) Đặt u = 1 - x ta được y  (1  u) u
1

3

2
2
(II) Suy ra y  u  u

2 2 2 5
F(x)  u 3  u 2  C
3
5
(III): Vậy nguyên hàm
2
2
F(x)  (1  x) 1  x  (1  x) 2 1  x  C
3
5
(IV) Thay u = 1 - x ta được:
Lập luận trên, nếu sai thì sai từ giai đoạn nào?
A. II
B. III

C. I

D. IV

ax  1
f  x 
F  x 
2 x  1 là một nguyên hàm của hàm số
Câu 119. Tìm giá trị thực của a để
A. a  4 .

B. a  5 .

C. a  4 .

F  x    ax  bx  c  2 x  1

 2 x  1

3

.

D. a  5 .

2

Câu 120. Cho

4x  3

là một nguyên hàm của hàm số

f  x 

10 x 2  7 x  2
2x 1
trên khoảng

1

 ;  
2
 . Tính S  a  b  c .
A. S  3 .

B. S  0 .

C. S  6 .

F  x    ax  bx  c  2 x  3

D. S  2 .

2

Câu 121. Cho

là một nguyên hàm của hàm số

f  x 

20 x 2  30 x  7
2x  3
trên

3

 ;  
 . Tính P  abc .
khoảng  2
A. P  0 .

C. P  4 .

B. P  3 .

Câu 122. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số
A.





F  x   ln x  1  x 2  C

F  x  1 x  C

.

f  x 

B.

2

C.

Câu 123. Biết 

ab 
A.

.

3 x  1dx  a  3x  1  C
b

31
.
9

Câu 124. Tính

D.

x

. Nếu đặt t 

1

1  x 2 trên khoảng  ;   ?





F  x   ln 1  1  x 2  C
F x

2x
1 x2

.

C

, vi a, b Ô . Khẳng định nào sau đây đúng?

a  b 31
 .
3
C. a.b

1
a.b  .
3
B.
x 2  3dx

D. P  8 .

x 2  3 thì:

Trang 21

D.

a b 

31
.
18

Giaovienvietnam.com
A.

x

x 2  3dx   t 2 dt

C.

2
 x x  3dx   t tdt

x3

B.

x

x
D.

x 2  3dx   tdt
x 2  3dx 

1 2
t dt
2

1 2

x  2 1  x2  C

f  2 x  dx
3
1 x
Câu 125. Cho
. Khi đó 
bằng:
1
1
  4 x2  2  1  4 x2  C
  4x2  2 1  4 x2  C
A. 3
B. 6



2

dx  

.

1
1 2
x  2 1  x2  C
 4 x2  2 1  4 x2  C

6
3

C.
D.
1
2
 4  x 2 dx  ln x  4  x  C
f  1  x  dx
Câu 126. Cho
. Khi đó 
bằng:
A.
C.


ln  x  1 

A.

 C
1  1 x   C

ln x  4   x  1

Câu 127. Biết








ln  x  1 
D.

2

B.

2





ln x  1  4  x 2  C
.



x2  2 x  5  C
2020



 a.b 
S 
x 1  C

 ab  .
, với a; b  ¢ . Tính giá trị

2020
2020
1
1
S   .
S    .
2
2
B. S  1.
C.
D.

dx
 a x  b ln
x 1

S  1.

Câu 128. Nguyên hàm của hàm số:

I   x 3 x  1dx.

là:

5
6
2
4
3
2

2

F  x     x  1   x  1   x  1   x  1  x  1  C
7
5
3
9

A.
6
6
2
4
3
2
2

F  x     x  1   x  1   x  1   x  1  x  1  C
7
5
3
9

B.
6
6
2
4
3
2

2

F  x     x  1   x  1   x  1   x  1  x  1  C
7
7
3
9

C.
6
6
1
4
3
2
2

F  x     x  1   x  1   x  1   x  1  x  1  C
7
5
3
9

D.





dx

a.b.c
 a 2x  1  b ln 2x  1  c  C
S
a
;
b
;
c

¢
2x  1  4
abc .
Câu 129. Biết
, với
. Tính giá trị
A. S  1.
B. S  1.
C. S  16.
D. S  16.
 2 3

3
3
  x  x  2 x  dx  ax  b ln x  c x  C
Câu 130. Bit
, vi b Â; a, c Ô . Khẳng định nào sau đây



đúng?

4
abc 3
a.b.c  .
 .
3
2
A. a  b  c  2.
B.
C. a.b.c
D. 3a  b  3c  8.
b
d
x 4 x  7.dx  a  4 x  7   c  4 x  7   C
Câu 131. Biết 
, với a; b; c; d Ô . Tớnh giỏ tr S  a  b  c  d .
A.

S

137
.
308


Câu 132. Biết x

B.

S

308
.
137

C.

S

135
.
508

abc
x
a
S
dx  ln x 4  c  C
b.c .
1
b
, với a; b; c  ¢ . Tính giá trị
3

4

Trang 22

D.

S

508
.
135


Giaovienvietnam.com
1
S .
4
A.
Câu 133. Biết

B. S  1.



1
S  .
5
A.
Câu 134. Biết
A.

S



3

.
2020

x

3

2 x

2

x 1
x 1
2

dx  a  x 2  4  b  x 2  C
B. S  5.

1
S .
4
C.
, vi a Ô ; b  . Tính giá trị

1
S .
5
C.

dx  a x 2  1  ln bx  x 2  c  C

B.

S

1
.
2020

Trang 23

D. S  1.

S

D. S  5.

, với a, b, c  ¢ . Tính giá trị

1
.
C. 1010

ab
a .

S

abc
2020a .

1
.
D. 3030


Giaovienvietnam.com
VẤN ĐỀ 5
Tính nguyên hàm của một số hàm số mũ và logarit

x
x
Câu 135. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x )  e  e .

f  x  dx  e  e  C
A. 
.
f  x  dx  e  e  C
C. 
.

f  x  dx  e  e  C
B. 
.
f  x  dx  e  e  C
D. 
.

x

x

x

x

x

x

x

x

x 2 x
Câu 136. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  2 .3 .

A.

C.

x



1
2
f  x  dx    .
C
 9  ln 2  ln 9

.



1
2
f  x  dx    .
C
 3  ln 2  ln 9
.

B.

x

D.

x



1
9
f  x  dx    .
C
 2  ln 2  ln 9
.



1
2
f  x  dx    .
C
 9  ln 2  ln 9
.

x

x
x
Câu 137. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  e (3  e ) là
x
A. F ( x )  3e  x  C .

C.

F ( x )  3e x 

Câu 138. Hàm số
A.

x
x
x
B. F ( x)  3e  e ln e  C .

1
C
ex

.

x
D. F ( x )  3e  x  C .

F  x   7e x  tan x

f  x   7e x  tan 2 x  1

là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

.

B.



e
f  x  ex  7 

2
cos x 

C.
.
x

f  x   7e x 

1

cos 2 x .

1 

f  x  7  ex 

cos 2 x  .

D.

4 x2
Câu 139. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  e
.

1

 f  x  dx  2 e
A.
1

 f  x  dx  2 e
C.

2 x 1

4 x 2

C
C


A.

.

 f  x  dx  2
D.

1

 f  x  dx 
C.

f  x  e

3 e
2

C

.

e 2 x 1  C

.

3x

.

2 e3 x
C
3
3x

2 x 1

B.

Câu 140. Tìm nguyên hàm của hàm số

f  x  dx 

 f  x  dx  e

.

B.

 f  x  dx  2

3

2e

e3 x

C

3x2

2

 f  x  dx  3x  2  C
D.

C

Câu 141. Kết quả nào sai trong các kết quả sao?

2x 1  5x 1
1
2
dx 
 x
C
x
x

10
5.2 .ln 2 5 .ln 5
A.
x2
1 x 1
 1  x 2 dx  2 ln x  1  x  C
C.

B.



x 4  x 4  2
1
dx  ln x  4  C
3
x
4x

tan
D. 

2

xdx  tan x  x  C

Câu 142. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:

x4 x2
  x  x  dx  4  2  C
A.

e
B.

3

Trang 24

2x

1

dx  e x  C
2


Giaovienvietnam.com
C.

 sin xdx  cos x  C

D.

A.

F x 

 3

Câu 144.

x

x

5

C

e 25x

 4x  dx

e 25x
F x  
C
5
C.

e5x
F x  2  C
5e
D.

3x
4x

C
B. ln 4 ln 3

4x
3x

C
C. ln 3 ln 4

3x
4x

C
D. ln 3 ln 4

x 1
B. 2  C

2 x 1
C
C. ln 2

x 1
D. 2 .ln 2  C

bằng:

x

3
4

C
A. ln 3 ln 4
x 1
 2 dx

Câu 145.

f  x 

dx
4
 ln
x

3

2

1

e 25x là:
5
F  x    25x  C
e
B.

Câu 143. Nguyên hàm của hàm số

x

bằng

x 1

2
A. ln 2

Câu 146. Nguyên hàm của hàm số
x

f  x   312x.23x

8
 

9
F x     C
8
ln
9
A.

9
 
8
F x  3    C
8
ln
9
B.
f  x   e3x .3x

Câu 147. Nguyên hàm của hàm số

F x 
A.

F x 
C.

là:

x

x

8
 
9
F x  3    C
8
ln
9
C.

là:

 3.e   C
ln  3.e 
3 x

F  x   3.

3

 3.e 

B.

x

C

ln  3.e3 

x

8
 
9
F x  3    C
9
ln
8
D.

D.

F x

e3x
C
ln  3.e3 

 3.e 


3 x

ln 3

C

2

 x 1
  3  3x  dx
Câu 148.
bằng:
2

3

 3x ln 3 


 C
ln 3 3x 

A.
9x
1

 2x  C
x
C. 2 ln 3 2.9 ln 3
Câu 149.

  3.2

x



 x dx

B.

1  x 1
9  x
2
ln
3
9

D.


 2x  C


bằng:

x

2
2 3
2x 2 3

x C
3.

x C
A. ln 2 3
B. ln 2 3

x
 2022 dx  F  x   C

Câu 150. Gọi

x
A. 2022 ln 2022

1  3x
1 
 x

 C
3  ln 3 3 ln 3 

2x
2 3

x C
C. 3.ln 2 3
F x

, với C là hằng số. Khi đó hàm số

x 1
B. 2022

Câu 151. Nguyên hàm của hàm số

f  x 

x
C. 2022

3x 1
4x là:

Trang 25

D.

3.

2x
 x3  C
ln 2

bằng

2022 x
D. ln 2022