chuyen de trac nghiem nguyen ham tich phan ung dung

Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng
dụng

Chủ đề III

Tr a n g 1

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
I. Nguyên hàm và các tính chất cơ bản

Vấn đề cần nắm:

Kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hay một nửa khoảng

I. Nguyên hàm và
các tính chất cơ
bản
II. Hai phương
pháp cơ bản tìm
nguyên hàm
III. Khái niệm và
tính chất cơ bản
tích phân
IV. Hai phương
pháp cơ bản tính
tích phân
V. Ứng dụng hình
học của tích phân

1. Định nghĩa
f x

F x
Cho hàm số   xác định trên K. Hàm số   được gọi là nguyên hàm của
f x
F ' x  f  x
hàm số   trên K nếu
với mọi x thuộc K.

Định lý 1
1. Nếu

F  x

số C, hàm

là một nguyên hàm của hàm số

G  x  F  x  C

2. Đảo lại nếu

F  x

và

trên K thì với mỗi hằng

cũng là một nguyên hàm của hàm

G  x

tồn tại hằng số C sao cho

f  x

là hai nguyên hàm của hàm số

F  x  G  x  C

f  x
f  x

trên K.

trên K thì

.

Định lý 2
Nếu
f  x

STUDY TIP
Từ định nghĩa nguyên
hàm ta có được:

F  x

là một nguyên hàm của

trên K đều có dạng

F  x  C

f  x

trên K thì mọi nguyên hàm của

, với C là một hằng số.

Người ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên
hàm trên K.”
Từ hai định lý trên ta có
- Nếu

F  x

là một nguyên hàm của hàm số

họ tất cả các nguyên hàm của

Chú ý

f  x

f  x

trên K. Kí hiệu

f  x  dx  F  x   C
�

.

Biểu thức chính là vi
phân của nguyên hàm
của , vì

2. Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1

f '  x  dx  f  x   C
�
Tính chất 2

kf  x  dx  k �
f  x  dx
�

Từ đây ta suy ra hệ quả
Với
có

u  ax  b,  a �0 

f  ax  b  dx
�

Tính chất 3

ta

trên K thì

F  x   C , C ��

là


Công Phá Toán – Lớp 12

Ngọc Huyền LB

f  x  dx ��
g  x  dx
�
�f  x  �g  x  �
�dx  �
�

II. Hai phương pháp cơ bản để tìm nguyên hàm
1. Phương pháp đổi biến số
Định lý 3

Cho hàm số

u  u  x

tục sao cho hàm hợp
hàm của f thì

có đạo hàm liên tục trên K và hàm số

liên

f�
u  x �
�
�xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên

f�
u  x �
u '  x  dx  F �
u  x �
�
�
�
� C
�

 x  1
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm �
STUDY TIP
Với phương pháp đổi
biến ta cần chú trọng
công thức mà suy ra từ
định lý như sau:
Nếu , khi đó

y  f  u

10

dx

.

Lời giải

Theo định lý trên thì ta cần viết về dạng
Mà

u '   x  1 '  1

 x  1
�

10

f  u  du
�
.

, do vậy

dx  �
 x  1 .  x  1 ' dx  �
 x  1 d  x  1
10

10

 x  1

11

11

C

.

Từ ví dụ trên ta có các bước gợi ý để xử lý bài toán tìm nguyên hàm theo phương
pháp đổi biến.
Nếu tính nguyên hàm
theo biến mới thì sau
khi tính nguyên hàm
xong, ta phải trở lại
biến x ban đầu bằng
cách thay u bởi .

Dạng 2: Gửi vào ngân hàng một số tiền a đồng với lãi suất x% = r mỗi tháng
theo hình thức lãi kép. Gửi theo phương thức có kỳ hạn m tháng. Tính số
tiền cả gốc lẫn lãi A sau n kỳ hạn.
Từ “STUDY TIP” ở bên ta thấy đưa về một ghi nhớ quan trọng: Trong cùng một
kỳ hạn, lãi suất sẽ giống nhau mà không được cộng dồn vào vốn để tính lãi kép. Ví
dụ kỳ hạn là 3 tháng thì lãi suất tháng 1 là ar, tháng 2, tháng 3 cũng là ar, sau hết
kỳ hạn 3 tháng mà không rút ra thì số tiền lãi một kỳ hạn sẽ được cộng dồn vào
tiền gốc.
Lời giải tổng quát
1. Đặt

u  g  x

.

2. Biến đổi x và dx về u và du.
3. Giải bài toán dưới dạng nguyên hàm hàm hợp

f  u  du
�
, sau đó thay biến


Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng
dụng

Tr a n g 3

x vào nguyên hàm tìm được và kiểm tra lại kết quả.
Ta đến với ví dụ 2

x  1 x
Ví dụ 2: Tìm �
2

7

dx

.

Ở bài toán này, ta thấy số mũ 7 khá cao mà lại có biểu thức trong ngoặc phức tạp
2
 1  x  để đổi biến, dưới đây là lời giải áp dụng gợi ý
hơn là x . Do vậy ta sẽ đặt
các bước trên.
7

Lời giải
Đặt

u  1  x � du   1  x  ' dx � du   dx

x 1 x
ta có �
2

7

dx  �
 1  u  .u 7 .  1 du  �
 u 7  2u 8  u9  du
2

 1 x  21 x   1 x
u 8 2u 9 u10
 

C  
8
9

10
8
9
10
8

9

10

C

2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Định lý 4
Chú ý
Đẳng thức trong định
lý 4 còn dc viết dưới
dạng

Nếu u và v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì
u  x  v '  x  dx  u  x  .v  x   �
v  x  u '  x  dx
�
p  x  .q  x  dx
Nếu nguyên hàm có dạng �
thì ta có thể nghĩ đến phương pháp
nguyên hàm từng phần. Bảng sau gợi ý cách đặt ẩn phụ để tính nguyên hàm

p  x  .q  x  dx
�

.

Hàm dưới dấu tích phân

Cách đặt

p  x

là đa thức,

q  x

u  p  x
�
�
�
dv  q  x  dx
�

p  x

là đa thức,

q  x   f '  e x  .e x

u  p  x
�
�
�
dv  q  x  dx

�

p  x

là đa thức,

q  x   f  ln x 

u  q  x
�
�
�
dv  p  x  dx
�

p  x

là hàm lượng giác,

là hàm lượng giác

q  x   f  ex 

u  q  x
�
�
�
dv  p  x  dx
�

Công Phá Toán – Lớp 12

q  x   f '  ln x 

p  x

là đa thức,

p  x

là đa thức,

lượng giác

Ngọc Huyền LB

u  p  x
�
�
�
dv  q  x  dx
�

1
x

q  x   f '  u  x   . u  x   ' u  x 
,
là các hàm

 sin x, cos x, tan x, cot x 

Ví dụ 3: Thầy Điệp Châu cho bài toán “Tìm
và Hằng có ba cách giải khác nhau như sau

Bạn Huyền giải bằng
phương pháp đổi biến số
như sau:

u  sin x ,

“Đặt
du  cos xdx
Vậy



ta

u2
sin 2 x
C 
C
2
2
”

sin x cos xdx
�

” thì ba bạn Huyền, Lê

Bạn Lê giải bằng phương pháp lấy nguyên
hàm từng phần như sau:

u  cos x, v '  sin x .
“Đặt
có: u '   sin x, v   cos x
.

sin x.cos xdx  �
udu
�

u  p  x
�
�
�
dv  q  x  dx
�

Ta

Bạn Minh Hằng chưa
học đến hai phương
pháp trên nên làm như
có
sau:

sin x.cos xdx

�
“
Công thức nguyên hàm từng phần cho ta
sin 2 x
sin x cos xdx   cos 2 x  �
sin x cos xdx
�
dx
�
2
Giả sử F là một nguyên hàm của sin x.cos x .
cos 2 x

C
Theo đẳng thức trên ta có
4
”.
F  x    cos 2 x  F  x   C
.

cos 2 x C
F  x  

2
2.
Suy ra
Điều này chứng tỏ
hàm của sin x.cos x .
Vậy



sin x.cos xdx  
�

cos 2 x
2
là một nguyên
cos 2 x
C
2
.”

Kết luận nào sau đây là đúng?
STUDY TIP
Bài toán củng cố về định
lý 1 đã nêu ở trên, và
củng cố các cách giải
nguyên hàm cơ bản.

A. Bạn Hằng giải đúng, bạn Lê và Huyền giải sai
B. Bạn Lê sai, Huyền và Hằng đúng.
C. Ba bạn đều giải sai.
D. Ba bạn đều giải đúng.
Đáp án D.
Nhận xét: Sau khi soát kĩ cả ba lời giải, ta thấy ba lời giải trên đều không sai ở
bước nào cả, tuy nhiên, tại sao đến cuối cùng đáp án lại khác nhau? Ta xem giải
thích ở lời giải sau
Lời giải

Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng
dụng

Tr a n g 5

sin 2 x
cos 2 x
cos 2 x


2
4
Cả ba đáp số đều đúng, tức là cả ba hàm số 2 ;
và
đều là
nguyên hàm của sin x.cos x do chúng chỉ khác nhau về một hằng số. Thật vậy
sin 2 x � cos 2 x � 1
�

�
2
� 2 � 2

;

2
2
sin 2 x � cos 2 x � 2sin x   1  2sin x  1
�



�
2
4
4.
� 4 �

3. Bảng một số nguyên hàm mở rộng

 ax  b 
 ax  b  dx 
�
a    1

 1



dx

 C ,  �1

1

sin  ax  b  dx   cos  ax  b   C
�
a

1

1 ax  b
e
C
a

tan  ax  b  dx   ln cos  ax  b   C
�
a

1
m ax b  C ,  m  0 
a ln m

cot  ax  b  dx  ln sin  ax  b   C
�
a

 ln ax  b  C
�
ax  b a
ax b

e
�

dx 

m
�

dx 

ax  b

dx

�
a x
2

2

�x

1



1
x
arctan  C
a
a

  cot  ax  b   C
�
sin  ax  b 
a

2



1
ax
ln
C
2a a  x

�
x a

dx
2

1

2

dx

�
a x

1

cos  ax  b  dx  sin  ax  b   C
�
a

 a2



dx

dx

2



 ln x  x 2  a 2  C

1 a  x2  a2


ln
C
�
a
x
x x2  a 2
dx

� b�

1

2

2



1
xa
ln
C
2a x  a

dx

1

 tan  ax  b   C
�
cos  ax  b  a
2

2
2
�a  x dx 

dx

x a2  x2 a2
x
 arcsin  C

2
2
a
1

ln  ax  b  dx  �x  �
ln  ax  b   x  C�
 ln tan
�
sin  ax  b  a
� a�
eax sin bxdx 
�

ax  b
C
2

eax  a sin bx  b cos bx 
eax  a cos bx  b sin bx 
ax

C
e
cos
bxdx

C
�
a 2  b2

a 2  b2


Công Phá Toán – Lớp 12

Ngọc Huyền LB

III. Các dạng toán về nguyên hàm
Dạng 1: Tìm nguyên hàm

F  x

f  x

của hàm số

trên D ��.

Các bài toán ở dạng 1 thì chỉ yêu cầu độc giả nhớ bảng công thức nguyên hàm
cơ bản thường gặp. Chú ý với các nguyên hàm hàm hợp để áp dụng đúng công
thức!

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số
A.

.

.

cos 3 xdx 

�
B.

cos 3 xdx  3sin 3 x  C
�

cos 3 xdx  
�
C.
STUDY TIP

f  x   cos 3 x

sin 3x
C
3

D.

sin 3 x
C
3

cos 3xdx  sin 3x  C
�

Đáp án B.
Lời giải

1

cos 3xdx  �
d  sin 3 x  
�
3
Ta có

sin 3 x
C
3

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số

dx

f  x 

1

1
5x  2 .
dx

1

�   2  ln 5x  2   C
B. 5 x  2

�  ln 5 x  2  C
A. 5 x  2 5

dx

dx

�  5ln 5 x  2  C
C. 5 x  2

�  ln 5 x  2  C
D. 5 x  2

Đáp án A.
Lời giải

dx

1 d  5x  2

f  x  dx  �

�
5 x  2 5 �5 x  2
Ta có
Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm của hàm số
A.

7 dx  7
�

x

C.

7 dx  7
�

x 1

x

x

ln 7  C
C

1
 ln 5 x  2  C
5

f  x   7x

B.
D.

Đáp án B.
Lời giải

.

7 x dx 
�

7x
C
ln 7

7 x dx 
�

7 x 1
C
x 1


Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng
dụng

Ta có

7 x dx  �
7 x.
�

d  7x 

d  7x 
7x


C
7 x.ln 7 �ln 7

ln 7
.
f  x 

Ví dụ 4: Nguyên hàm của hàm số
F  x  

A.
F  x 

C.

Tr a n g 7

1
3  x  1
1

3  x  1

3

3

x

 1 x

5

là

F  x 

C

B.


1
4  x  1

4

F  x 

C

D.

1
4  x  1

4

C

4



1
4  x  1

Đáp án D.
Lời giải
Đặt u  x  1 thì u '  1 .
x

Khi đó

�
 1 x

5

u 1
�1 1 �
dx  �5 du  �
du  �
u 4 du  �
u 5 du
� 5�
u
�u u �

1 1 1 1
  . 3  . 4 C
3 u 4 u
.

x

Thay u  x  1 ta được

�
 x  1

5

dx 

1
4  x  1

4



1
3  x  1

3

C

Ví dụ 5: Nguyên hàm của hàm số x.ln x là

STUDY TIP
Ở đây xuất hiện tích của
nên ta áp dụng nguyên

hàm từng phần.

x 2 .ln x
C
2
A.

x 2 .ln x x 2
 C
2
4
B.

x 2 .ln x x 2
 C
2
4
C.

x2
C
D. 4

Đáp án B.
Lời giải
1
�
ln x  u � dx  du
�
�

x
�
x2
�
dv

xdx
�
v

x.ln xdx
2
Ta có �
. Đặt �

Theo phương pháp nguyên hàm từng phần ta có

x2
x2 1
x.ln xdx  �
udv  uv  �
vdu  .ln x  � . dx
�
2
2 x
x 2 .ln x
x
x 2 .ln x x 2

 �dx 

 C
2
2
2
4
.

1
3  x  1

3

C


Công Phá Toán – Lớp 12

Dạng 2: Chứng minh

Ví dụ 1: Cho
dưới đây?
Chú ý
Sai lầm thường gặp là
không biết cách đạo
hàm hàm hợp. Ở đây
ta cần đạo hàm như
sau:
với lần lượt như thế
ta sẽ ra được kết quả
như bên.

A.
C.

F  x

là một nguyên hàm của hàm

F  x   ln  ln  ln x  

f  x 

1
x.ln  ln x 

f  x 

1
ln x.ln  ln x 

Ngọc Huyền LB

. Hỏi

F  x

trên D ��.

là nguyên hàm của hàm số nào
f  x 

1
ln  ln  ln x  

f  x 

1
x.ln x.ln  ln x 

B.
D.

f  x

Đáp án D.
Lời giải
Để tìm
hàm

F  x

Ta có



F  x

là nguyên hàm của hàm số nào trong số 4 hàm số trên, ta sẽ đi đạo

từ đó suy ra

f  x

.

1
1
1
F ' x  �
ln  ln  ln x   �
ln  ln x  �
�
�'  ln ln x . ln x  ln x  '
�
�'  ln  ln x  . �
 

1
1 1
1
.
. 
 f  x
ln  ln x  ln x x x.ln x.ln  ln x 

.

1
x 3 1
F  x   .ln


6
x  3 12 . Hỏi F  x  là nguyên hàm của hàm số
Ví dụ 2: Cho
nào dưới đây?
A.
STUDY TIP
Công thức cần nhớ:

C.

f  x 

1
x 9

f  x 

1
x

x  9 12

2

B.

2

D.

f  x 

1
x 9

f  x 

1
x

x  9 12
2

Đáp án A.
Lời giải
�1
x  3 1 � �1
1
1�
F '  x   � .ln
 �
'  � .ln x  3  .ln x  3  �
'
x  3 12 � �6
6
12 �
�6
Cách 1: Ta có

1 1
1 1
1
6
1
 .
 .
 . 2 2  2
6 x3 6 x3 6 x 3
x 9
Cách 2: Thực chất đây là công thức nguyên hàm mà tôi đã giới thiệu ở bảng
nguyên hàm phía trên (dòng số 6 trong bảng).

Áp dụng công thức trên ta có ngay

f  x 

1
x 9 .
2


Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng
dụng

Tr a n g 9


Công Phá Toán – Lớp 12

Ngọc Huyền LB

Dạng 3: Xác định nguyên hàm của một hàm số với điều kiện ràng buộc.

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm

F  x

của hàm số

f  x   sin x  cos x

thỏa mãn

� �
F � � 2
�2 � .

A.

F  x   cos x  sin x  3

B.

F  x    cos x  sin x  3

C.

F  x    cos x  sin x  1

D.

F  x    cos x  sin x  1

Đáp án D.
Với các bài toán đơn giải
như ở ví dụ 1, ta chỉ đi tìm
nguyên hàm như thông
thường, sau đó dùng điều
kiện ràng buộc có sẵn để
tìm hằng số C.

Lời giải
Ta có

F  x  �
f  x  dx  �
 sin x  cos x  dx  sin x  cos x  C

.

� �


F � � 2
sin  cos  C  2 � 1  C  2 � C  1
2
2
Do �2 � nên
.

Vậy hàm số cần tìm là
Ví dụ 2: Cho hàm số
đề nào dưới đây đúng?

F  x   sin x  cos x  1
f  x

thỏa mãn

.

f '  x   3  5sin x

và

f  0   10

A.

f  x   3x  5cos x  5

B.

f  x   3x  5cos x  2

C.

f  x   3x  5cos x  2

D.

f  x   3x  5cos x  15

. Mệnh

Đáp án A.
STUDY TIP
Rõ ràng trong bài toán
này, việc sử dụng công
thức nguyên hàm từng
phần sẽ mang lại kết
quả nhanh hơn. Do có
sự xuất hiện của tích hai
phần tử, nếu sử dụng
nguyên hàm từng phần
sẽ xuất hiện ngay và
kết hợp dữ kiện đề bài
sẽ có ngay đáp án.

Lời giải
Ta có
Do

f  x  �
f '  x  dx  �
 3  5sin x  dx  3x  5cos x  C

f  0   10

Ví dụ 3: Cho

f  x   3x  5cos x  5
nên 3.0  5cos 0  C  10 � C  5 . Vậy
.
F  x   x2

hàm của hàm số
f ' x e
A. �

f ' x e
C. �

f ' x e

2x

2x

là một nguyên hàm của hàm số

f  x  e2 x

. Tìm nguyên

2x

?

 x2  2x  C

f ' x e
B. �

 2x2  2 x  C

f ' x e
D. �

2x

2x

  x2  x  C

 2 x 2  2 x  C

Đáp án D.
Lời giải
Cách 1: Sử dụng tính chất của nguyên hàm
Từ giả thiết, ta có

f  x  dx  F  x  � F '  x   f  x 
�
.


Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng
dụng

f  xe
�

2x

Tr a n g 1 1

dx  F  x  � f  x  e 2 x  F '  x    x 2  '  2 x � f  x  

 2 x  '.e2 x  2 x.  e2 x  '  2  4 x  e2 x



f ' x

e 

e 

2x 2

Suy ra

f ' x e
�
Vậy

2x

2x 2



2  4x
e2 x

2x
e2 x

.

2  4x
dx  � 2 x .e 2 x dx   2  4 x  dx  2 x  2 x 2  C
e

Cách 2: Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần.
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:
u  x  v '  x  dx  u  x  .v  x   �
v  x  .u '  x  dx
�
.

e . f '  x  dx  e
�
2x

Ta có

Từ giả thiết:

f  x e
�

f ' x e
Vậy �

2x

Ví dụ 4: Cho

2x

2x

dx  F  x   x 2 � f  x  e 2 x  F '  x    x 2  '  2 x

dx  2 x  2 x 2  C

F  x    x  1 e x

nguyên hàm của hàm số
A.

. f  x  �
f  x  .2e 2 x dx  f  x  e 2 x  2 �
f  x  e 2 x dx

f ' x e

.

là một nguyên hàm của hàm số

2x

f  x  e2 x

. Tìm

2x

.

f ' x e
�
B.

f '  x  e 2 x dx   4  2 x  e x  C
�

f ' x e
C. �

.

dx   2  x  e x  C

f '  x e
D. �

2x

2x

dx 

2 x x
e C
2

dx   x  2  e x  C

Đáp án C.
Lời giải
Cách 1: Sử dụng tính chất của nguyên hàm
f  x e
Từ giả thiết, ta có �

� f  x 

xe x

e 

x 2

f ' x 
Suy ra

f ' x e
�
Vậy

2x



x
ex

2x

f  x  dx  F  x  � F '  x   f  x 
�
.

x
dx  F  x  � f  x  e 2 x  F '  x   �
 x  1 e x �
�
�'  xe

.

 x  '.e x  x.  e x  '

e 

x 2



e x  x.e x

e 

x 2



ex  1  x 

e 

1 x
dx  �x .e 2 x dx  �
 1  x  e x dx
e
.

x 2



1 x
ex

.

Công Phá Toán – Lớp 12

Ngọc Huyền LB

u  1 x
du  dx
�
�
�
�
�
dv  e x dx �
v  ex
Đặt �
.
��
e x dx   1  x  e x  e x  C   2  x  e x  C
 1  x  e x dx   1  x  e x  �

.

Cách 2: Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần.
e . f '  x  dx  e
Ta có �
2x

Từ giả thiết:

f  x e

�

2x

2x

. f  x  �
f  x  .2e 2 x dx  f  x  e 2 x  2 �
f  x  e 2 x dx

dx  F  x    x  1 e x

x
� f  x  e2 x  F '  x   �
 x  1 e x �
�
�'  xe .

Vậy

f ' x e
�

2x

dx  xe x  2  x  1 e x  C   2  x  e x  C

Dạng 4: Tìm giá trị của tham số để

Ví dụ 1: Tìm a, b, c, d để

Với các bài toán dạng này
ta chỉ cần tìm đạo hàm của
F  x  F ' x

sau đó cho

B. a  2; b  3; c  8; d  13
D. a  3; b  3; c  8; d  15
Lời giải

F '  x    3ax 2  2bx  c  e x   ax 3  bx 2  cx  d  e x

�
ax3   3a  b  x 2   2b  c  x   c  d  �
ex
�
�

a2
a2
�
�
�
�
3a  b  9
b3
�
�
F '  x   f  x  , x � �

��
2b  c  2
c  8
�
�
�
�
cd 5
�
�d  13

.

là một nguyên hàm của

.

Đáp án B.

Ta có

f  x

x

A. a  3; b  3; c  7; d  13
C. a  2; b  3; c  8; d  13

F ' x  f  x

và sau đó
sử dụng hệ số bất định để
tìm giá trị của tham số.

2

là một nguyên hàm của

F  x    ax 3  bx 2  cx  d  e x

f  x    2 x  9 x  2 x  5 e
3

F  x

.


Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng
dụng

Tr a n g 1 3

IV. Bổ sung một số vấn đề về nguyên hàm
Nguyên hàm của các dạng hàm số đặc biệt
Dạng 1: Nguyên hàm của các hàm số dạng tích, phương.
Cho hai hàm số

u  u  x

và

v  v  x

có đạo hàm liên tục trên K.

Lúc này ta có bảng sau:
Dạng

Cấu trúc hàm số

Nguyên hàm

Tổng

f  x   u ' v '   u  v  '

F  x  u  v

Hiệu

f  x   u ' v '   u  v  '

F  x  u  v

Tích

f  x   u ' v  uv '   uv  '

F  x   uv

Phương

u ' v  uv ' �u �
f  x 
� �
v2
�v �

Với các bài toán dạng này
ta chỉ cần tìm đạo hàm của

�vdu  2�f  x  e dx sau đó cho
uv  f  x  e2 x
và sau đó
2x

/

sử dụng hệ số bất định để
tìm giá trị của tham số.

Ví dụ 1: Nguyên hàm của hàm số
A.

f  x  dx  x  ln  e
�

f  x  dx 
�

C.

x

 1  C

ln  e x  1
x

f  x 

F  x 

1
1  e x là:
B.

f  x  dx  ln  e
�

x

 1  C

f  x  dx  x ln  e
D. �

C

u

v

x

 1  C

Đáp án A.
Lời giải
Thay vì đi tìm nguyên hàm của hàm số theo cách truyền thống, ta có thể giải bài
toán bằng bảng ở trên như sau:

 1  e   e  1  e x  x '  1  e  '  x ' ln e x  1 '
1
f  x 

 
1 ex
1 ex
1 ex
1 ex
x



x

x







 x  ln  e x  1 ' � �
f  x  dx  x  ln  e x  1  C

f  x 

Ví dụ 2: Nguyên hàm của hàm số

1

f  x  dx 
�
ln
A.

3

x



1
C
ln 2 x

1

 ln x 

2



1
ln x

là

1

f  x  dx 
�
ln
B.

3

x



1
C
ln 2 x


Công Phá Toán – Lớp 12

Ngọc Huyền LB

x

x

f  x  dx 
C
�
ln x
C.

f  x  dx 
C
�
ln x
D.

Đáp án D.
Lời giải
f  x 
Ta có

 ln x 

��
f  x  dx 

1

1  ln x   x  '.ln x    x  .  ln x  ' � x �



� �
2
ln x  ln x  2
�ln x �
 ln x 
/

1
2

x
C
ln x
.

Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm

F  x

f  x   x.ln  ex 2 

của hàm số

với x  0 .

A.

F  x   ex 2 .ln  ex   C

B.

F  x   x 2 .ln  ex   C

C.

F  x   x 2 .ln x  C

D.

F  x   x ln x  C

Đáp án C.
Lời giải
Ta có

1
f  x   x.  ln e  2 ln x   x  1  2 ln x   x 2 .   2 x  ln x  x 2 .  ln x  '  x 2  '.ln x
x
  x 2 ln x  ' � F  x   x 2 .ln x  C
x
Dạng 2: Các dạng nguyên hàm đơn giản chứa hàm e .
x
Bảng nhận dạng nguyên hàm và đạo hàm của hàm số chứa e .

Đặc trưng

Nguyên hàm

Hàm số (đạo hàm)

ex

F  x   u  x  .e x

F ' x  �
u ' x   u  x  �
ex  f  x
�
�

e x

F  x   u  x  .e  x

F ' x  �
u ' x  u  x �
e x  f  x 
�
�

eax b

F  x   u  x  eax b

ax  b
F ' x  �

u '  x   au  x  �
 f  x
�
�e

v x 

F  x   u  x  ev x 

v x 
F ' x  �
u ' x  v ' x u  x  �
�
�e  f  x 

e

Ví dụ 1: Nguyên hàm của hàm số

f  x    5 x 2  13x  9  e x

là

A.

F  x    5 x2  6 e x  C

B.

F  x   e x  x 2  1  5 x  C

C.

F  x    5 x 2  3x  e x  C

D.

F  x    5 x 2  3x  6  e x  C

Đáp án D.


Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng
dụng

Tr a n g 1 5

Lời giải
Ta có

f  x    10 x  3  5 x 2  3x  6  e x  �
ex
 5x 2  3x  6  ' 5x 2  3x  6�
�
�

Từ bảng nhận dạng nguyên hàm phía trên
nguyên hàm của hàm số đã cho.

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số

f  x 

� F  x    5 x 2  3x  6  e x  C

là

e x  x.e x .ln x
x

A.

F  x   e x .ln 2 x  C

B.

F  x   e x .ln x  C

C.

F  x   e x .ln x  C

D.

F  x   e x .ln x  C

Đáp án B.
Lời giải

Ta có

f  x 

e x  x.e x .ln x  1  x ln x  e
�1
�x
x

 �  ln x �
e �
 ln x  ' ln x �
�
�e
x
x
x
�
�

� F  x   e x .ln x  C

x

là nguyên hàm của hàm số đã cho.

� 1 1 � x
f  x  �
 2 �
e
x � là

�x
Ví dụ 3: Nguyên hàm của hàm số
Tương tự với hai nhận
dạng còn lại, quý độc giả
có thể áp dụng vào các bài
toán phức tạp hơn.

e x
F  x 
C
x
A.

e x
F  x  2  C
x
B.

e x
F  x 
C
x
C.

e x
F  x  2  C
x
D.

Đáp án A.

Lời giải
e x
� 1 1 � x �
�1 � 1 � x
f  x  �
 2 �
e �
'

e
�
F
x

C


�� �
x
x
x
x
x
�
�
�
�
�
�
Ta có

là nguyên hàm
của hàm số đã cho.


Công Phá Toán – Lớp 12

Ngọc Huyền LB

Nguyên hàm một số hàm lượng giác
a. Dạng

sin
�

m

x.cos n xdx

trong đó m, n là các số tự nhiên.

Trường hợp 1: Trong hai số m, n có ít nhất một số lẻ.
Lũy thừa của cos x là số lẻ, n  2k  1 thì Lũy thừa của sin x là số lẻ, m  2k  1 thì đổi biến u  cos x
đổi biến u  sin x

sin
�

m

x.cos n xdx  �

sin m x  cos 2 x  cos xdx
k

sin
�

m

x.cos n xdx  �
cos n x  sin 2 x  sin xdx
k

�
sin m x  1  sin 2 x  .  sin x  ' dx

 �
cos n x.  1  cos 2 x 

�
u m  1  u 2  du

 �
 1  u 2  .u n du

k

k

 cos x  ' dx

k

k

sin
Ví dụ 1: Tìm �

5

x.cos2 xdx

.
Lời giải

u  cos x � du   cos x  ' dx
Vì lũy thừa của sin x là số lẻ nên ta đổi biến
.
sin 5 x.cos 2 xdx   �
 1  cos 2 x  .cos 2 x.  cos  ' dx
�
2

 �
 1  u 2  .u 2du  �
 2u 4  u 2  u 6  du 
2



2u 5 u 3 u 7

  C
5
3 7

2 cos5 x cos3 x cos7 x


C
5
3
7
.

Trường hợp 2: Cả hai số m ,n đều là số chẵn: Ta sử dụng công thức hạ bậc để
giảm một nửa số mũ của sin x;cos x , để làm bài toán trở nên đơn giản hơn.
b. Dạng

sin mx.cos nxdx, �
sin mx.sin nxdx, �
cos mx.cos nxdx
�
.

Ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng trong lượng giác.

tan m x
� n dx trong đó m, n là các số nguyên.
c. Dạng cos x

Lũy thừa của cos x là số nguyên Lũy thừa của tan x là số nguyên

dương chẵn, n  2k thì ta đổi biến dương lẻ, m  2k  1 thì ta đổi biến
u  tan x
1
u
cos x


Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng
dụng

tan m x
tan m x
1
dx

. 2 dx
n
2 k 2
�
�
cos x
cos
cos x

Khi đó

u'

Tr a n g 1 7

sin x
cos 2 x , do đó

tan m x
�
tan x  ' dx
k 1 
 cos2 x 

tan m x
tan 2 k x tan x
dx

.
dx
�
�
cos n x
cos n 1 x cos x

�
tan x.  1  tan x 

� 1
�
� 2  1� sin x
�cos x �.
�
dx
cos n 1 x

cos 2 x

m

2

�
u m. 1  u 2 

k 1

k 1

k

.d  tan x 

du

�
 u 2  1 u n1.du
k

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm

tan 6 x
� 4 dx
a. cos x
Tương tự với hai nhận
dạng còn lại, quý độc giả

có thể áp dụng vào các bài
toán phức tạp hơn.

tan 5 x
� 7 dx
b. cos x
Lời giải

a. Do lũy thừa của cos x là số nguyên dương chẵn nên đặt u  tan x . Từ công thức
tổng quát đã chứng minh ở trên ta có

tan 6 x
u9 u7
tan 9 x tan 7 x
6
2 1
du

u
.
1

u
du



C



C

�
�
cos 4 x
9 7
9
7
.
b. Do lũy thừa của tan x là một số lẻ nên ta đặt
tổng quát chứng minh ở trên ta có

u

1
cos x , do vậy, từ công thức

2
tan 5 x
u11 2u 9 u 7
2
6
dx  �
 u  1 .u du  11  9  7  C
�
cos 7 x



1

2
1


C
11
9
11cos x 9 cos x 7 cos7 x
.

Đổi biến lượng giác
Khi nguyên hàm, tích phân của các hàm số mà biểu thức của nó có chứa các dạng
x 2  a 2 , x 2  a 2 , a 2  x 2 , thì ta có cách biến đổi lượng giác như sau:
Biểu thức có chứa

x2  a2

Đổi biến
�  �
x  a tan t , t ��
 ; �
� 2 2�

Hoặc

x2  a2

x

x  a cot, t � 0;  

�  �
, t ��
 ;
\  0
sin t
�2 2�
�
a


Công Phá Toán – Lớp 12

Ngọc Huyền LB

Hoặc

x

a
� �
, t � 0;   \ � �
cos t
�2

�  �
x  a sin t , t ��
 ;
� 2 2�
�

a 2  x2

Hoặc

x  a cos t , t � 0;  

ax
ax
�
ax
ax

x  a cos 2t

 x  a  b  x

��
x  a   b  a  sin 2 t , t ��
0;
� 2�
�

Nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ
STUDY TIP
Kí hiệu là bậc của đa
thức .

y  f  x
Cho hàm số

có dạng
không chia hết cho Q.
Hàm

f  x

f  x 

P  x

Q  x

trong đó P và Q là các đa thức, và P

được gọi là hàm phân thức hữu tỉ thực sự nếu

deg  P   deg  Q 

.

Trong các bài toán tìm nguyên hàm và tích phân của hàm phân thức hữu tỉ, nếu

f  x

chưa phải là hàm phân thức hữu tỉ thực sự thì ta thực hiện chia tử thức cho
mẫu thức để được
f  x 

Khi đó,

h x

P  x
R  x
 S  x 
 S  x  h  x
Q  x
Q  x

,

sẽ là hàm phân thức hữu tỉ thực sự.

Định lý: Một phân thức thực sự luôn phân tích được thành tổng các phân thức đơn
giản hơn.
1
1
ax  b
ax  b
;
; 2
;
k
x  a  x  a  x  px  q  x 2  px  q  k

Đó là các biểu thức có dạng
là các hàm
số có thể tìm nguyên hàm một cách dễ dàng. Để tách được phân thức ta dùng
phương pháp hệ số bất định.
a. Trường hợp phương trình

là nghiệm đơn.

Q  x  0

không có nghiệm phức và các nghiệm đều

Q  x    a1 x  b1   a2 x  b2  ...  ak xk  bk 
(Số nhân tử chính bằng bậc của đa thức

Q  x

).

Trong trường hợp này, g có thể biểu diễn dưới dạng
g  x 

R  x
Ak
A1
A2


 ... 
Q  x  a1 x  b1 a2 x  b2
ak x  bk


Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng
dụng

Sau khi biểu diễn được

g  x

về dạng này, bài toán trở thành bài toán cơ bản.

Ví dụ 3: Họ nguyên hàm của hàm số
A.
B.

x 1
C
x2

F  x   4 ln x  2  ln

x 1
C
x2

F  x   4 ln x  2  ln

D.

f  x 

F  x   4 ln x  2  ln

F  x   4 ln x  2  ln

C.

Tr a n g 1 9

4x  3
x  3x  2 là
2

x2
C
x 1

x2
C
x 1

Phân tích
Đáp án B.

Ta có

4x  3
4x  3
A
B
Ax  2 A  Bx  B





x  3x  2  x  2   x  1 x  1 x  2
 x  1  x  2 
2

Khi đó
Kiểm tra khả năng vận
dụng từ ví dụ 3
Tìm

 A  B  x  2 A  B  4 x  3 , đồng nhất hệ số thì ta được

�A  B  4
�A  1
��
�
2 A  B  3 �B  5
�
Lời giải
4x  3

Ta có

�1

5 �

dx  �

dx   ln x  1  5.ln x  2  C
�

�
�
x  3x  2
�x  1 x  2 �
2

 4.ln x  2  ln

x2
x 1
 C  4.ln x  2  ln
C
x 1
x2

Đáp số bài tập kiểm tra khả năng vận dụng:
x2  2 x 1
1
1
1
dx  .ln x  .ln 2 x  1  .ln x  2  C
3
2
�
2 x  3x  2 x
2
10
10

b. Trường hợp

nghiệm bội.

Q  x  0

không có nghiệm phức, nhưng có nghiệm thực là


Công Phá Toán – Lớp 12

Nếu phương trình

Q  x  0

bội k thì ta phân tích
g  x 

g  x 

Ngọc Huyền LB

có các nghiệm thực a1 ; a2 ;...; an trong đó a1 là nghiệm
R  x
Q  x

về dạng

Ak
B
A1
A2

B1
B2

 ... 


 ...  n 1
2
k
x  an
 x  a1   x  a1 
 x  a1  x  a2 x  a3

Trên đây là phần lý thuyết khá phức tạp, ta đến với bài tập ví dụ đơn giản sau:
f  x 

Ví dụ 4: Nguyên hàm của hàm số
F  x 

A.
F  x 

C.

2
1

C
x  1  x  1 2

2x

 1 x

3

F  x 

2
1

C
x  1  x  1 2

F  x 

1
1

C
1 x 41 x 4

B.

1
1

C
1 x 4 1 x 4

D.
Phân tích

 x  1  0 , do đó ta biến đổi
Nhận thấy x  1 là nghiệm bội ba của phương trình
3

2x

1 x


Kiểm tra khả năng vận
dụng từ ví dụ 4
Tìm

3

A  x 2  2 x  1  B  1  x   C
A
B
C




3
1 x  1 x 2  1 x 3
 1 x

Ax 2   2 A  B  x  A  B  C

 1 x

3

�A  0
�A  0
�
�
2 A  B  2 � �B  2
�
�A  B  C  0
�
C2
�
Từ đây ta có �
Lời giải
� 2
2 �
2
1
dx


dx 

C
�
�

3
2
3
�
�
� 1  x 
� x  1  x  1 2
1 x
1

x



�
�
Ta có
2x

Đáp số bài tập kiểm tra khả năng vận dụng ví dụ 4:
x4  2x2  4 x  1
x2
2
dx

 x  ln x  1  ln x  1 
C
�x3  x 2  x  1
2
x 1

TỔNG QUÁT: Việc tính nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ thực sự được
đưa về các dạng nguyên hàm sau:
A

� dx  A.ln x  a  C
1. x  a

k �1


Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng
dụng

A

2.

�
 x  a

k

dx  

A
1
.
C
k  1  x  a  k 1

Tr a n g 2 1


Công Phá Toán – Lớp 12

Ngọc Huyền LB

Bài tập rèn luyện kỹ năng

Câu 1: Tìm nguyên hàm

I �
 2 x  1 e x dx

A.

I    2 x  1 e  x  C

B.

I    2 x  1 e  x  C

C.

I    2 x  3 e  x  C

D.

I    2 x  3 e  C

B.
C.
D.

A.
B.

.

1 2017 x
e
C
A. 2017

C. 2017.e

I �
x ln  2 x  1 dx

f  x 

.

x  x  1
4x2  1
ln 2 x  1 
C
8
4

I

x  x  1
4x2  1
ln 2 x  1 
C
8
4

B.

I

x  x  1
4x 1
ln 2 x  1 
C
8
4

C.

I

x  x  1
4x  1
ln 2 x  1 
C
8

4

2

2

I �
 x  1 sin 2 x.dx

 1  2 x  cos 2 x  sin 2 x  C
I
2

 2  2 x  cos 2 x  sin 2 x  C
I
2

 1  2 x  cos 2 x  sin 2 x  C
I
4
C.
D.

I

 2  2 x  cos 2 x  sin 2 x  C
4

f  x , g  x

Câu 4: Cho
là các hàm số liên tục
trên �. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định
sau?
A.

k . f  x  dx  k .�
f  x  dx
�

với k là hằng số

�
f  x  dx  �
g  x  dx
�f  x   g  x  �
�dx  �
B. �

C.

2017 x

2017 x
C
B. e

1 2017 x
e
C

D. 2017

C

Câu 6: Tìm một nguyên hàm

I

Câu 3: Tìm nguyên hàm

dx  �
f  x  dx  �
g  x  dx
�
�f  x   g  x  �
�
�

2017 x
Câu 5: Nguyên hàm của hàm số f  e
là:

x

Câu 2: Tìm nguyên hàm
A.

D.

f  x  dx.�

g  x  dx
�
�f  x  .g  x  �
�dx  �
�

A.

F  x

của hàm số

�
�
4
F � � 3
2
cos 3 x biết �9 �
.

F  x 

4
3
tan 3x 
3
3

F  x   4 tan 3 x  3 3
F  x 

4
3
tan 3x 
3
3

4
3
F  x    tan 3x 
3
3
D.

Câu 7: Tìm nguyên hàm của hàm số
2

f  x  dx  x
�
5
A.
2

1

f  x  dx  x
�
2
C.
3

f  x  dx 
�
2
D.

Câu

8:

Tìm

f  x    2 x  3

x C
2

x C

x C

nguyên

hàm

2

.

f  x

�

3

A.

 2 x  3
dx 

f  x  dx   2 x  3
�

3

B.

 2 x  3
dx 

3

C.

f  x
�

.

x C

2

f  x  dx  x
�
5
B.

f  x  x x

C

3

6

C
C

của

hàm

số


Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng

D.

f  x

�

 2 x  3
dx 

Trang 23

3

2

C

Câu 13: Cho hàm số

Câu 9: Tìm nguyên hàm của hàm số:

f  x   3sin 3 x  cos 3x
A.

f  x  dx  cos 3 x  sin 3 x  C
�

B.

f  x  dx  cos 3 x  sin 3 x  C
�

một nguyên hàm của
.

A.
B.

10:

Tìm

f  x  e  e
x

x

B.

của

hàm

x

x

f  x  dx  e
�

f  x   3x  4

 e x  C

 e x  C

x

 e x  C

, biết

F  0  8

F  x

của hàm số

.

F  x 

2
16
 3x  4  3x  4 
3
3

F  x 

2
56
 3x  4  3x  4 
9
9

2
8
F  x    3x  4  3x  4 
3
3
D.
1
I  � 2 dx
4 x
Câu 12: Tìm nguyên hàm

A.

I

F  x 

ln 4 x  6
 10
4

F  x 

f  x 

1
38
F  x 
3x  4 
3

3
A.

C.

ln 2 x  3
 10
2

ln x 
2

3
2

1

F  x

Câu 14: Tìm nguyên hàm

Câu 11: Tìm nguyên hàm

B.

số

D.

f  x  dx  e x  e  x  C

�

f  x  dx  e
C. �

D.

hàm

.

f  x  dx  e
A. �

F  x 

1

nguyên

. Chọn phương án sai.

2

f  x  dx   cos 3x  sin 3 x  C
�
3
3
D.

Câu

f  x

ln  2 x  3
F  x 
5
4
C.

1
f  x  dx   cos 3 x  sin 3 x  C
�
3
C.
1

1
2 x  3 . Gọi F  x  là

f  x 

1 x2
1 x2
ln
C
I  ln
C
2 x2
2 x2

B.

1 x2
1 x2
I  ln
C
I  ln
C
4
x

2
4
x

2
C.
D.

x2  x 1
x 1
2

của hàm số

.e x

A.

F  x   x 2  1.e x  C

B.

F  x    x 2  1.e x  C

C.

F  x   2 x x 2  1.e 2 x  C

D.

F  x   x1  1.e  x  C

Câu

15: Tìm
3x  7
f  x 
x2

nguyên

hàm

của

A.

f  x  dx  x  13ln x  2  C
�

B.

f  x  dx  ln x  2  C
�

C.

f  x  dx  3x  13ln x  2  C
�

D.

f  x  dx  3x  7 ln x  2  C
�

Câu

16:

Tìm

nguyên

hàm

của

hàm

số

hàm

số

x4  5
f  x 
x 1 .
A.

 x  6 ln x  1  C

1 4 1 3 1 2

x  x  x
f
x
dx
� 
4
3
2


Công Phá Toán – Lớp 12

Ngọc Huyền LB

B.

1
1
1
f  x  dx  x 4  x 3  x 2  x  6 ln x  1  C
�
4
3
2

C.

f  x  dx  x
D. �

Câu

17:

f  x 

Tìm

4

3

2

 x3  x 2  x  6 ln x  1  C

nguyên

hàm

của

hàm

số
số

x x2 1

1
x2  1 1
f
x
dx

.ln
C


�
2
2
x

1


1
A.

B.

f  x  dx  ln
�

x 1 1
2

C

1 x 1

1

D.
Câu

f  x  dx  .ln
�
2 1
18:

f  x 

Tìm

nguyên

x2 1
hàm

và

C
của

hàm

số

2
3
1�
�
3   x  1 2  C
f
x
dx

x

1




�

�
�
3�
�
C.
3
3
1�
2
f
x
dx

x

1

x

1
C

 
2�
� 
�
�
3
�
�

D.

Tìm

nguyên

hàm

1
f  x  x
e 3.

B.

 3 �
� C

là một nguyên hàm của hàm
và

F  0  

� � 
F � �  
C. �2 � 4

� �
F � � 
D. �2 �

F  1 

F  x

là nguyên hàm của

f  x   4x

1
ln 2 . Khi đó giá trị F  2  bằng

7
A. ln 2

8
B. ln 2

9
C. ln 2

3
D. ln 2

của

hàm

A.

F  x   2e x  cot x  C

B.

F  x   2e x  tan x  C

C.

F  x   2e x  tan x  C

D.

F  x   2e x  tan x

Câu 23: Tìm nguyên hàm
số

biết

F  0   19

e
C
3

F  x 

1 2
x  cos x  20
2

B.

F  x   x 2  cos x  20

x

C.

F  x   x 2  cos x  20

e
C
3

x

D.

F  x 

F  x  �
 x  sin x  dx

.

x

f  x  dx  ln
�
3 e

� �
F� �
. Tìm �2 �.

� � 1
F � �   
B. �2 � 4

A.

f  x  dx  ln
�
e

x

�
�
F � � 
A. �2 �

x

1

A.

 3 �
� C

�
e x �
f  x   e x �2 
�
2
� cos x �là:

3
3
�
2
f
x
dx

x

1

x

1
C

 
2�
� 
�
�

�
�
B.

19:

x

Câu 22: Nguyên hàm của hàm số

1
x 1  x 1 .

2
2
�
�
3   x  1 3  C
f
x
dx

x

1




�

�
�
�
�
A.

Câu

x

f  x   sin 3 x.cos x

Câu 21: Biết

1
x2  1  1
f
x
dx

.ln
C
� 
2
2
x

1

1

C.
2

1

F  x

Câu 20: Biết

1

x2  1 1

x

f  x  dx  ln �
e e
�
6 �
D.

f  x  dx  x  x  x  x  6 ln x  1  C
�
4

1

f  x  dx  ln �
e e
�

3 �
C.

1 2
x  cos x  20
2


Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng

.

Trang 25