(SKKN 2022) hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng, bám sát theo đề thi minh hoạ kỳ thi tốt nghiệp THPT của bộ GDĐT năm 2022

I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Mỗi một nội dung trong chương trình tốn phổ thơng đều có vai trị rất quan
trọng trong việc hình thành và phát triển tư duy của học sinh. Trong quá trình giảng
dạy, giáo viên phải giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương
pháp, kỹ năng, kỹ xảo, từ đó tạo được thái độ và động cơ học tập đúng đắn. Thực tế
dạy và học cho chúng ta thấy còn có nhiều vấn đề cần phải giải quyết khi học sinh học
về nội dung nguyên hàm, tích phân, đa số học sinh khi học nội dung này còn khá yếu,
chưa hình thành được kỹ năng, kỹ xảo trong quá trình giải toán.
Năm học 2021- 2022, là năm học mà ngành giáo dục vẫn còn phải chịu ảnh
hưởng nặng nề của đại dịch covid 19, có nhiều trường phải tổ chức dạy học trực tuyến
cho học sinh. Việc các em không được học trực tiếp cũng đã ảnh hưởng phần nào đến
việc rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo khi giải toán nói chung và giải tốn ngun hàm, tích
phân nói riêng. Từ những khó khăn đó, giáo viên cần phải quan tâm hơn nữa, nỗ lực
hơn nữa để hướng dẫn các em tiếp cận kiến thức và hình thành kỹ năng, kỹ xảo khi
học về nội dung nguyên hàm, tích phân này.
Nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng là phần quan trọng trong đề thi
tốt nghiệp THPT qua các năm, thường có 7 đến 8 câu hỏi trắc nghiệm khách quan, đủ
các mức độ xuất hiện trong đề thi. Để tạo điều kiện thuận lợi cho các em, đặc biệt là
nâng cao chất lượng và hiệu quả khi ôn tập về nội dung này, tôi viết đề tài SKKN
‘‘Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng,
bám sát theo đề thi minh hoạ kỳ thi tốt nghiệp THPT của Bộ GD&ĐT năm 2022 ” .
Vì đây là một nội dung hay và quan trọng trong chương trình giải tích lớp 12, đặc biệt
là trong đề thi tốt nghiệp THPT qua các năm nên đã có rất nhiều tài liệu và sách viết
về nội dung này, cũng như có rất nhiều thầy cô giáo và học sinh say sưa nghiên cứu và
học tập. Tuy nhiên việc đưa ra hướng tiếp cận và quy lạ về quen đối với bài toán này
nhiều sách tham khảo vẫn chưa đáp ứng được cho người đọc. Đặc biệt qua mỗi năm
việc ra đề của BGD&ĐT cũng có nhiều đổi mới, có nhiều dạng tốn mới. Chính vì
vậy, việc đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này là cần thiết đối với các em học sinh, đặc
biệt là các em học sinh thuộc các trường THPT đóng trên địa bàn trung du và miền
núi.

2. Mục đích nghiên cứu
Qua nội dung đề tài này, tôi mong muốn cung cấp cho học sinh nắm được cấu
trúc và mức độ của đề thi tốt nghiệp THPT, cũng như cách tiếp cận bài toán, quy lạ về
quen, đồng thời giúp cho học sinh một số kiến thức, phương pháp và các kỹ năng cơ
bản, để học sinh có thể giải quyết các bài tốn về ngun hàm và tích phân, hình
thành cho các em thói quen tìm tịi, tích lũy và rèn luyện tư duy sáng tạo, giải quyết
các bài toán trong đời sống xã hội, chuẩn bị tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi tốt
nghiệp THPT năm 2022.
3. Đối tượng nghiên cứu
Trong đề tài này, tôi tập trung nghiên cứu về định nghĩa và một số tính chất về
nguyên hàm, tích phân, nghiên cứu về câu hỏi tích phân ở dạng trắc nghiệm khách
1


quan, nghiên cứu về ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng và vận dụng
nó trong các bài toán thực tế của đời sống xã hội.
4. Phương pháp nghiên cứu
Trong phạm vi của đề tài, tôi sử dụng kết hợp các phương pháp như: phương
pháp thống kê - phân loại; phương pháp phân tích - tổng hợp - đánh giá; phương pháp
vấn đáp - gợi mở, nêu ví dụ; phương pháp diễn giải... và một số phương pháp khác
như phương pháp quy lạ về quen, sử dụng máy tính để hổ trợ tìm đáp án trong câu hỏi
trắc nghiệm khách quan.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Khi giải bài tập toán, người học phải được trang bị các kỹ năng suy luận, liên
hệ giữa cái cũ và cái mới, giữa bài toán đã làm và bài toán mới. Các tiết hướng dẫn
học sinh giải bài tập phải được thiết kế theo hệ thống chuẩn bị sẵn từ dễ đến khó,
nhằm phát triển tư duy cho học sinh trong q trình giảng dạy, phát huy tính tích cực
của học sinh. Hệ thống bài tập sẽ giúp học sinh có thể tiếp cận và nắm bắt những kiến
thức cơ bản nhất, từ đó dần dần phát triển khả năng tư duy, khả năng vận dụng các

kiến thức đã học một cách linh hoạt vào giải tốn và trình bày lời giải một bài tốn,
cũng như học sinh sẽ có hứng thú và động cơ học tập tốt hơn.
Trong quá trình giảng dạy nội dung nguyên hàm và tích phân cho học sinh các
lớp 12 của trường THPT Thạch Thành 2, tơi thấy kỹ năng giải bài tốn này của học
sinh cịn yếu, đặc biệt là những bài tốn vận dụng tích phân. Do đó, trong q trình
giảng dạy, giáo viên cần phải cho học sinh tiếp cận bài toán một cách dễ dàng, quy lạ
về quen; giáo viên cần phải thiết kế trình tự bài giảng hợp lý để giảm bớt những khó
khăn trong việc giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kĩ
năng, kĩ xảo và lĩnh hội lĩnh kiến thức mới, xây dựng kỹ năng làm các bài tập trắc
nghiệm khách quan, từ đó đạt được kết quả cao nhất có thể trong kiểm tra, đánh giá và
kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2022.
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Nội dung nguyên hàm, tích phân là một phần kiến thức tương đối khó với học
sinh nói chung, học sinh các trường miền núi nói riêng. Học sinh rất nhanh quên và
không vận dụng được những kiến thức đã học vào giải toán. Trong kỳ thi tốt nghiệp
THPT từ năm 2017 đến nay, nội dung này đưa ra dưới hình thức trắc nghiệm khách
quan và gắn liền với những vấn đề thực tế của đời sống xã hội. Với tình hình ấy, để
giúp học sinh định hướng tốt hơn trong q trình giải bài tốn ngun hàm, tích phân,
người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen cách tiếp cận bài toán, khai thác các
yếu tố đặc trưng của bài tốn để tìm lời giải, đặc biệt là việc hình thành cho học sinh
kỹ năng quy lạ về quen, kỹ năng sử dụng máy tính bỏ túi, kỹ năng đọc hiểu bài tốn
ứng dụng tích phân.
Đối với học sinh lớp 12, trường THPT Thạch Thành 2, khi học về nội dung
nguyên hàm và tích phân, hầu hết các em mới chỉ dừng lại ở việc nắm được các kiến
thức cơ bản, chỉ giải được các bài toán ở mức độ nhận biết và thông hiểu, phần lớn
các em chưa biết vận dụng các kiến thức, kỹ năng để áp dụng vào các bài toán ở các
2


mức độ cao hơn và phức tạp hơn, đặc biệt là các bài tốn thực tế. Chính vì vậy, tơi

viết đề tài này nhằm hỗ trợ thêm cho giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài tốn
ngun hàm, tích phân với cách tiếp cận dễ hơn, giúp học sinh có điều kiện hoàn thiện
các phương pháp và rèn luyện tư duy sáng tạo của bản thân, chuẩn bị tốt cho kỳ thi
tốt nghiệp THPT năm 2022.
3. Các biện pháp thực hiện
3.1. Một số kiến thức cần nhớ
Tham khảo sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản và nâng cao – Nhà xuất bản Giáo
dục Việt Nam.
3.2. Các nội dung chính
NỘI DUNG 1: NGUYÊN HÀM
Câu 1: (Đề MH 2022) Trên khoảng ( 0;+∞ ) , họ nguyên hàm của hàm số
3
2

f ( x ) = x là
A.

∫

C.

∫

5 52
B. ∫ f ( x ) dx = x + C .
2
2 12
D. ∫ f ( x ) dx = x + C .
3

3 12
f ( x ) dx = x + C .
2
2 52
f ( x ) dx = x + C .
5

Phân tích: Đây là một câu hỏi thuộc mức độ nhận biết, học sinh chỉ cần nhớ các
công thức trong bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp là có thể giải được
xα +1
α
ngay, cụ thể đó là cơng thức ∫ x =
+ C , α ≠ −1, khó khăn mà học sinh gặp phải
α +1
trong câu hỏi này đó là việc α khơng ngun, do đó phải thực hiện một phép tính
phức tạp, lúc này giáo viên cần hướng dẫn các em cách sử dụng máy tính cầm tay để
tính tốn. Để rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo và hình thành thói quen cho học sinh khi làm
dạng câu hỏi này.
Lời giải
Chọn C.
3
2

2 52
Ta có ∫ f ( x ) dx = ∫ x dx = x + C .
5
Nhận xét: Khi dạy học sinh dạng câu hỏi này, hầu hết các em đã nắm được cách
giải. Để giúp học sinh giải tốt hơn, đặc biệt là việc rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo, tôi phát
triển thêm một số câu hỏi sau đây.
MỘT SỐ CÂU PHÁT TRIỂN

3


3

Câu 1.1: Trên khoảng (0; +∞ ) , họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = x − 4 là
A.
C.

∫

1 14
f ( x)dx = x + C .
4

∫

f ( x)dx = 4 x 4 + C .

4 − 74
B. ∫ f ( x)dx = x + C .
7
7 − 74
D. ∫ f ( x)dx = x + C .
4

1

Câu 1.2: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3 x là
A.

C.

∫

f ( x)dx =

3 43
x +C .
4

∫ f ( x)dx = x

1
3

+C .

B.

∫

D.

∫

4 43
x +C .
3
3 −2
f ( x)dx = − x 3 + C .

2

f ( x)dx =

Câu 1.3: Trên khoảng (0; +∞ ) , họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A. −

x
+C.
2

B.

2
+C .
x

C. −

1
x x

2
+C.
x

là

D.

x
+C .
2

x +1
Câu 1.4: Trên khoảng (0; +∞ ) , họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3 là
x

2 − 32
f
(
x
)
dx
=
−
x − 2 x −2 + C .
∫
∫
3
3 −3
C. ∫
D. ∫ f ( x)dx = − x 2 − 2 x −2 + C .
2
x+2
Câu 1.5: Trên khoảng (0; +∞ ) , họ nguyên hàm của hàm số f ( x) =
là
x
1
1

2 3
2 3
A. ∫ f ( x)dx = x 2 − 4 x 2 + C .
B. ∫ f ( x)dx = x 2 + 4 x 2 + C .
3
3
3
1
1
3
2 3
C. ∫ f ( x)dx = x 2 + 4 x 2 + C .
D. ∫ f ( x) dx = x 2 + 2 x 2 + C .
2
3

A.

3
−
2

2
x − 2 x −2 + C .
3
2 −3
f ( x)dx = − x 2 + 2 x −2 + C .
3
f ( x)dx =

B.

Câu 2: (Đề MH 2022) Cho hàm số f ( x ) = 1 + sin x . Khẳng định nào dưới đây
đúng?
A. ∫ f ( x ) dx = x − cos x + C .
B. ∫ f ( x ) dx = x + sin x + C .
C.

∫ f ( x ) dx = x + cos x + C .

D.

∫ f ( x ) dx = cos x + C .

Phân tích: Cũng giống như câu hỏi 1, đây là câu hỏi thuộc mức độ nhận biết, học
sinh chỉ cần nhớ các công thức trong bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp
là có thể giải được, cụ thể đó là các cơng thức
∫ dx = ∫1dx = x + C
4


xα +1
∫ x = α + 1 + C , α ≠ −1
1
sin
kxdx
=
−
cosx + C , k ≠ 0
∫

k
1
cos
kxdx
=
sinx + C , k ≠ 0
∫
k
∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx , k ≠ 0
α

∫  f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx , với

f , g là hai hàm số liên tục

trên K .

Lời giải
Chọn A.
Ta có ∫ f ( x ) dx = ∫ ( 1 + sin x ) dx = ∫1dx + ∫ sin xdx = x − cos x + C .
MỘT SỐ CÂU PHÁT TRIỂN
Câu 2.1: Cho hàm số f ( x ) = 1 − cos x . Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. ∫ f ( x ) dx = x + sin x + C .
B. ∫ f ( x ) dx = x − sin x + C .
C. ∫ f ( x ) dx = x − cos x + C .
D. ∫ f ( x ) dx = sin x + C .
2
Câu 2.2: Cho hàm số f ( x ) = 3 − 2 cos x . Khẳng định nào dưới đây đúng?
1

A.

∫ f ( x ) dx = 2 x + sin 2 x + C .

B.

∫ f ( x ) dx = 2 x − 2 sin 2 x + C .

C.

∫ f ( x ) dx = 2sin 2 x + C .

D.

∫ f ( x ) dx = 2 x + 2 sin 2 x + C .

1

Câu 2.3: Hàm số F ( x ) = 2 x + sin 2 x là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
A. f ( x ) = 2 + 2 cos 2 x .
C. f ( x ) = 2 − 2 cos 2 x .

1
2
1
D. f ( x ) = x 2 + cos 2 x .
2

B. f ( x ) = x 2 − cos 2 x .

2
Câu 2.4: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3x + sin x là

A. x 3 + cos x + C .
C. x 3 − cos x + C .

B. x 3 + sin x + C .
D. 3 x3 − sin x + C .

Câu 2.5: Cho hàm số f ( x ) = 2 x − 3sin x . Khẳng định nào dưới đây đúng?

∫ f ( x ) dx = x
C. ∫ f ( x ) dx = x
A.

2

− 3cos x + C .

2

+ cos3x + C .

∫ f ( x ) dx = x
D. ∫ f ( x ) dx = x
B.

2

+ 3cos x + C .

2

− cos3 x + C .

5


NỘI DUNG 2: TÍCH PHÂN
5

∫

Câu 3: (Đề MH 2022) Nếu

f ( x ) dx = 3 và

2

bằng?
A. 5 .

5

∫ g ( x ) dx = −2 thì
2

B. −5 .

5

∫  f ( x ) + g ( x )  dx
2

C. 1 .

D. 3 .

Phân tích: Đối với câu này, giáo viên cần hướng dẫn học sinh áp dụng tính chất của
b

b

b

a

a

a

tích phân ∫  kf ( x ) ± lg ( x )  dx = k ∫ f ( x ) dx ± l ∫ g ( x ) dx , với k , l ≠ 0
Lời giải
Chọn C.
5

5

5

2

2

2

Ta có ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx = 3 + ( −2 ) = 1 .
MỘT SỐ CÂU PHÁT TRIỂN
3

∫

Câu 3.1: Nếu

−2

∫  f ( x ) + g ( x )  dx = 7 thì

−2

A. 9 .

B. −5 .
7

∫

Câu 3.2: Nếu

3

f ( x ) dx = 2 và

∫ g ( x ) dx = 5 thì

−1

A.

11

−1

.

B.

−11

∫ g ( x ) dx bằng

−2

C. 5 .

7

f ( x ) dx = −2 và

3

D. −9 .

7

∫  2 f ( x ) + 3g ( x )  dx

bằng

−1

.

C. 19 .

D. 3 .

C. π + 1 .

D. π .

Câu 3.3: Biết F ( x ) = sin 2 x là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên ¡ . Giá trị của
π
2

∫ ( 2 + f ( x ) ) dx

bằng

0

A. π − 1 .
1

Câu 3.4: Cho

∫
0

A. 10 .
Câu 3.5: Nếu

B.

f ( x ) dx = 2 và

4

∫
1

π
.
2

f ( x ) dx = 5 , khi đó

B. −3 .

4

∫ f ( x ) dx

C. 7 .

2

2

2

1

1

1

bằng

0

D. 6 .

∫ f ( x ) dx = 3 và ∫ g ( x ) dx = −2 thì ∫  f ( x ) − g ( x )  dx bằng

A. −6 .

B. 5 .

C. 1 .

D. −5 .

6


5

Câu 4: (Đề MH 2022) Nếu

5

∫ f ( x ) dx = 2 thì ∫ 3 f ( x ) dx
2

A. 6 .

bằng

2

B. 3 .

C. 18 .

D. 12 .

Phân tích: Đối với dạng câu hỏi này, giáo viên chỉ cần hướng dẫn học sinh áp dụng
b

tính chất của tích phân

b

∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx , với k ≠ 0 , ( a < b )
a

là các em có thể

a

giải được, tuy nhiên để giúp học sinh rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo giáo viên yêu cầu học
sinh làm thêm một số câu phát triển dưới đây.
Lời giải
Chọn A.
5

5

2

2

Ta có ∫ 3 f ( x ) dx = 3∫ f ( x ) dx = 3.2 = 6 .
MỘT SỐ CÂU PHÁT TRIỂN
3

Câu 4.1: Nếu

3

f ( x ) dx = 4 thì ∫ 3 f ( x ) dx bằng

∫
0

0

A. 36 .
Câu 4.2: Nếu

B. 12 .

3

3

−2

−2

B. 3 .

2021

2021

2020

2020

4041
∫ f ( x ) dx = 2 . Giá trị của ∫

Câu 4.3: Biết

4041
.
4
1

Câu 4.4: Cho

∫ f ( x ) dx = 2
0

B.

C. 1 .

D. −5 .

2 f ( x ) dx bằng

4041 .

C.

1

1

0

0

D.

C. −3 .

B. 1 .

2

2

−1

−1

∫ f ( x ) dx = 2 và ∫ g ( x ) dx = −1 . Tính

17
A. I = .
2

5
B. I = .
2
3

Câu 5: (Đề MH 2022) Nếu

∫

f ( x ) dx = 2 thì

1

A. 20 .

2021
.
2

2020 .

và ∫ g ( x ) dx = 5 , khi ∫  f ( x ) − 2 g ( x )  dx bằng

A. −8 .
Câu 4.5: Cho

D. 4 .

∫ f ( x ) dx = −2 thì ∫ 3 f ( x ) dx bằng

A. −6 .

A.

C. 3 .

B. 10 .

D. 12 .

2

I = ∫  x + 2 f ( x ) − 3g ( x )  dx .
−1

7
2

C. I = .

D. I =

11
.
2

3

∫  f ( x ) + 2 x  dx = 2

bằng

1

C. 18 .

D. 12 .
7


Phân tích: Khi gặp các câu hỏi dạng này, giáo viên cần hướng dẫn học sinh áp dụng
tính chất của tích phân, ngồi ra học sinh cần phải biết giải một số tích phân đơn
giản.
b

b

a
b

a

∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx , với k ≠ 0 , ( a < b )
b

b

a

a

∫ kf ( x ) ± lg ( x )  dx = k ∫ f ( x ) dx ± l ∫ g ( x ) dx , với k , l ≠ 0
a

Lời giải
3

3

3

1

1

1

2
2
2
Chọn B. Ta có: ∫  f ( x ) + 2 x  dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ 2 xdx = 2 + x 1 = 2 + 3 − 1 = 10 .
3

MỘT SỐ CÂU PHÁT TRIỂN
Câu 5.1: Cho
A.

5

5

2

2

∫ f ( x ) dx = 10 . Kết quả ∫ 2 − 3x − 4 f ( x )  dx

−51
.
2

B.

−131
.
2

2

Câu 5.2: Cho ∫  4 f ( x ) − 2 x  dx = 1 . Khi đó
1

A. 1 .

C.

−291
.
2

D.

51
.

2

2

∫ f ( x ) dx

bằng

1

C. −3 .

B. 3 .

Câu 5.3: Cho hai tích phân

bằng

5

−2

−2

5

D. −1 .

∫ f ( x ) dx = 8 và ∫ g ( x ) dx = 3 . Tính

5

I=

∫  f ( x ) − 4 g ( x ) − 1 dx .

−2

A. I = 27 .
Câu 5.4: Nếu

B. I = 3 .

8

4

2

1

∫ f ( x)dx = 10 thì ∫  f (2 x) + 3

A. 24 .

∫ f (3x + 1)dx = 10
0

A. −20 .

D. I = 13 .

x  dx bằng

B. 19 .

1

Câu 5.5: Nếu

C. I = −11 .

C. 26 .

D. 10 .

4

thì

∫ [ f ( x) − 4 x ] dx

bằng

1

B. −4 .

C. −

80
.
3

D. 0 .

Nhận xét: Như vậy, thông qua các câu hỏi từ 1 đến 5, ta nhận thấy rằng, các câu hỏi
này đều thuộc các mức độ nhận biết và thông hiểu, phù hợp với việc lấy kết quả để
xét tốt nghiệp THPT. Chính vì vậy, khi dạy cho học sinh các câu hỏi ở mức độ này,
giáo viên yêu cầu các em cần nhớ được các cơng thức tính ngun hàm và một số tích
phân đơn giản thường gặp, cần nhớ một số các tính chất cơ bản của nguyên hàm và
tích phân. Giáo viên hướng dẫn học sinh biết quy các câu hỏi từ lạ thành quen và có
thể giải chi tiết một số câu minh hoạ này, để rồi từ đó yêu cầu các em tự làm các câu
8


hỏi phát triển, đối với những em có lực học khá và giỏi, giáo viên có thể cho các em
tiếp cận với các câu hỏi ở mức độ cao hơn như dạng câu 6 và 7 dưới đây.
Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm là
f ′ ( x ) = 12 x 2 + 2, ∀x ∈ ¡ và f ( 1) = 3 . Biết F ( x ) là nguyên hàm của f ( x )
thỏa mãn F ( 0 ) = 2 , khi đó F ( 1) bằng
A. −3 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 7 .

Câu 6: (Đề

MH

2022)

Phân tích: Đây là câu hỏi thuộc mức độ vận dụng, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức
tổng hợp, phải có cách nhìn bao quát, biết vận dụng linh hoạt các kiến thức về
ngun hàm và tích phân, từ đó các em mới quan sát thấy được mối liên hệ giữa giả
thiết và u cầu của bài tốn. Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh thực hiện theo các
bước như sau
B1: Tìm hàm số f ( x )
2
3
Ta có f ( x ) = ∫ f ' ( x ) dx = ∫ ( 12 x + 2 ) dx = 4 x + 2 x + C

3
Vì f ( 1) = 3 ⇔ 4.1 + 2.1 + C = 3 ⇔ C = −3
3
Do đó f ( x ) = 4 x + 2 x − 3
B2: Tìm hàm số F ( x )

3
4
2
Ta lại có F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = ∫ ( 4 x + 2 x − 3) dx = x + x − 3x + C1

F ( 0 ) = 2 ⇔ 04 + 02 − 3.0 + C1 = 2 ⇔ C1 = 2

4
2
Do đó F ( x ) = x + x − 3x + 2
B3: Tính F ( 1)

4
2
Vậy F ( 1) = 1 + 1 − 3.1 + 2 = 1

Lời giải
Chọn B.

2
3
Ta có f ( x ) = ∫ f ' ( x ) dx = ∫ ( 12 x + 2 ) dx = 4 x + 2 x + C
3
Vì f ( 1) = 3 ⇔ 4.1 + 2.1 + C = 3 ⇔ C = −3
3
Do đó f ( x ) = 4 x + 2 x − 3

3
4
2
Ta lại có F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = ∫ ( 4 x + 2 x − 3) dx = x + x − 3x + C1

F ( 0 ) = 2 ⇔ 04 + 02 − 3.0 + C1 = 2 ⇔ C1 = 2

4
2
Do đó F ( x ) = x + x − 3x + 2
4
2
Vậy F ( 1) = 1 + 1 − 3.1 + 2 = 1

9

Nhận xét: Thực tế khi giảng dạy các câu hỏi dạng này tại trường THPT Thạch Thành
2, có rất nhiều học sinh ban đầu chưa giải được, sau khi được giáo viên hướng dẫn,
các em đã từng bước biết cách giải, biết cách vận dụng linh hoạt các kiến thức tổng
hợp để áp dụng vào giải toán. Để giúp học sinh rèn luyện thêm về kỹ năng và kỹ xảo,
giáo viên yêu cầu học sinh làm thêm một số câu phát triển dưới đây.
MỘT SỐ CÂU PHÁT TRIỂN
3
Câu 6.1: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm là f ' ( x ) = −20 x + 6 x, ∀x ∈ ¡ và f ( −1) = 2 .
Biết F ( x ) là nguyên hàm của f ( x ) thỏa mãn F ( 1) = 3 , khi đó F ( 2 ) bằng
A. −17 .
B. −1 .
C. −15 .
D. −74 .
Lời giải
Chọn A.
3
4
2
Ta có f ( x ) = ∫ f ' ( x ) dx = ∫ ( −20 x + 6 x ) dx = −5 x + 3x + C
Với f ( −1) = 2 ⇒ −5. ( −1) + 3. ( −1) + C = 2 ⇒ C = 4
4
2
Do đó f ( x ) = −5 x + 3x + 4
4

2

4

2
5
3
Ta lại có F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = ∫ ( −5 x + 3x + 4 ) dx = − x + x + 4 x + C '

Với F ( 1) = 3 ⇒ −1 + 1 + 4.1 + C ' = 3 ⇒ C ' = −1
5
3
Do đó F ( x ) = − x + x + 4 x − 1
5
3
Vậy F ( 2 ) = −2 + 2 + 4.2 − 1 = −17 .
Câu 6.2. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm là f ' ( x ) = 4 sin 2 x + cos x, ∀x ∈ ¡ và f ( 0 ) = −2
5

3

π

 
. Biết F ( x ) là nguyên hàm của f ( x ) thỏa mãn F ( π) = 3 , khi đó F  ÷ bằng
2
A. 1 .
B. −1 .
C. −2 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn D.
Ta có f ( x ) = ∫ f ' ( x ) dx = ∫ ( 4sin 2 x + cos x ) dx = −2 cos 2 x + sin x + C
Với f ( 0 ) = −2 ⇒ −2.cos 2.0 + sin 0 + C = −2 ⇒ C = 0

Do đó f ( x ) = −2 cos 2 x + sin x

Ta lại có F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = ∫ ( −2cos 2 x + sin x ) dx = − sin 2 x − cos x + C '

Với F ( π ) = 3 ⇒ − sin 2π − cos π + C ' = 3 ⇒ C ' = 2
Vậy F ( x ) = − sin 2 x − cos x + 2
2
Câu 6.3: Cho f ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ′ ( x ) = x − 2 x + 3, ∀x ∈ ¡ và
f ( 0 ) = 2 . Biết F ( x ) là nguyên hàm của f ( x ) thỏa mãn F ( 1) = 2 , khi đó giá trị
của F ( 2 ) bằng
10


A. 4

B.

89
12

C. 2

D.

11
3

Lời giải
Chọn B.
x3

Ta có: f ( x ) = − x 2 + 3x + C .
3
f ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ' ( x ) có f ( 0 ) = 2 ⇒ C = 2 .
x3
x 4 x3 3
− x 2 + 3x + 2 ⇒ F ( x ) = − + x 2 + 2 x + C1 .
3
12 3 2
1 1 3
−5
Mà F ( 1) = 2 ⇒ − + + 2 + C1 = 2 ⇒ C1 = .
12 3 2
4
4
3
x
x 3
5
89
⇒ F ( x ) = − + x2 + 2x − ⇒ F ( 2) =
12 3 2
4
12
π
π
khi đó F  ÷ = − sin π − cos + 2 = 2 .
2
2
2
Câu 6.4: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm là f ′ ( x ) = 12 x + 2, ∀x ∈ ¡ và f ( 1) = 3 . Biết

Vậy f ( x ) =

F ( x ) là nguyên hàm của f ( x 2 ) thỏa mãn F ( 0 ) = 2 , khi đó F ( 1) bằng
19
5
12
17
A.
.
B.
.
C.
.
D. .
21
21
5
21

Lời giải
Chọn B.
2
2
3
Ta có f ′ ( x ) = 12 x + 2, ∀x ∈ ¡ ⇒ f ( x ) = ∫ ( 12 x + 2 ) dx = 4 x + 2 x + C
3
Vì f ( 1) = 3 ⇔ 4.1 + 2.1 + C = 3 ⇔ C = −3
3
2

6
2
Khi đó f ( x ) = 4 x + 2 x − 3 ⇒ f ( x ) = 4 x + 2 x − 3
2
Vì F ( x ) là nguyên hàm của f ( x ) nên

4 7 2 3
x + x − 3x + C
7
3
4
2
Lại có F ( 0 ) = 2 ⇔ C = 2 suy ra F ( x ) = x 7 + x3 − 3x + 2
7
3
4 2
5
Khi đó F ( 1) = + − 3 + 2 =
.
7 3
21
1
2
Câu 6.5: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( ) = 1 và f ' ( x ) = 2  f ( x )  với mọi x ≠ 1 . Biết
2
F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) thoả mãn F ( 2 ) = 3 . Khi đó F ( 3) bằng
F ( x ) = ∫ ( 4 x 6 + 2 x 2 − 3) dx =

1
2

D. F ( 3) = ln 2 − 3 .

1
2
C. F ( 3) = ln 2 + 3 .

B. F ( 3) = ln 2 + 3 .

A. F ( 3) = − ln 2 + 3 .
Lời giải
Chọn A.

11


Ta có f ' ( x ) = 2  f ( x )  ⇔
2

f '( x)

=2
2
 f ( x ) 
f '( x)
−1
−1
Do đó ta có ∫  f x  2 dx = f ( x) + C1 và ∫ 2dx = 2 x + C2 . Suy ra f ( x) = 2 x + C
 ( )
1
Mặt khác f ( ) = 1 nên ta có C = −2 .

2
1
Vậy f ( x) = −
.
2x − 2
1
1
F ( x) = ∫ −
dx = − ln x − 1 + C .
2x − 2
2
1
F ( 2 ) = 3 ⇒ C = 3 ⇒ F ( x ) = − ln x − 1 + 3 .
2
1
F ( 3) = − ln 2 + 3 .
2

NỘI DUNG 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
4
3
2
Câu 7: (Đề MH 2022) Cho hàm số f ( x ) = 3x + ax + bx + cx + d , với
a, b, c, d ∈ ¡ có ba điểm cực trị là −2, −1,1 . Gọi y = g ( x ) là hàm số bậc
hai có đồ thị đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f ( x ) . Diện
tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = f ( x ) và y = g ( x ) bằng
500
36
2932
2948

A.
.
B.
.
C.
.
D.
81
5
405
405

Phân tích: Xuất hiện trong đề thi minh hoạ của BGD năm 2022, rõ ràng câu hỏi này
mang tính chất vận dụng cao. Đây là dạng tốn ứng dụng tích phân để tính diện tích
hình phẳng, địi hỏi học sinh ngồi yếu tố biết tính nguyên hàm, tích phân chứa ẩn
trong dấu giá trị tuyệt đối mà còn phải vận dụng các kiến thức liên quan đến đồ thị
hàm số cũng như các yếu tố hình học khác. Khi gặp dạng tốn này, yêu cầu học sinh
phải phân tích kỹ giả thiết bài toán, phải vận dụng linh hoạt các kiến thức tổng hợp
để giải quyết u cầu của bài tốn.
Ngồi cách tiếp cận bài toán theo cách ở trên, giáo viên cũng có thể hướng
dẫn học sinh tiếp cận bài tốn theo hướng sau đây.
+ Bước 1: Tìm cơng thức của hàm số y = f ' ( x )
3
2
Ta có f ' ( x ) = 12 x + 3ax + 2bx + c
Vì f ' ( −2 ) = 0, f ' ( −1) = 0, f ' ( 1) = 0 nên ta có hệ phương trình

12

−96 + 12a − 4b + c = 0 a = 8


−12 + 3a − 2b + c = 0 ⇔ b = −6
12 + 3a + 2b + c = 0
c = −24



3
2
Do đó f ' ( x ) = 12 x + 24 x − 12 x − 24
+ Bước 2: Tìm cơng thức của hàm số y = f ( x )

4
3
2
Ta có f ( x ) = ∫ f ' ( x ) dx = 3x + 8 x − 6 x − 24 x + C

+ Bước 3: Tìm cơng thức của hàm số y = g ( x )
Vì y = g ( x ) là hàm số bậc hai có đồ thị đi qua ba điểm cực trị của đồ thị
2
hàm số y = f ( x ) nên g ( x ) = −7 x − 16 x + 4
+ Bước 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y = f ( x ) và
y = g ( x)
4
3
2
Ta có f ( x ) − g ( x ) = 3x + 8 x + x − 8 x − 4
1

S=

∫

−2

f ( x ) − g ( x ) dx =

1

∫

3x 4 + 8 x 3 + x 2 − 8 x − 4 dx =

−2

36
5

Lời giải
Chọn B.
2
3
2
Ta có f ' ( x ) = k ( x + 2 ) ( x − 1) = k ( x + 2 x − x − 2 )
 x 4 2 x3 x 2

− − 2 x ÷+ C .
Suy ra f ( x ) = k  +

3
2
 4

Kết hợp giả thiết suy ra k = 12
4
3
2
Do đó f ( x ) = 3x + 8 x − 6 x − 24 x + C

Khi đó, ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f ( x ) là A ( −2;8 + C ) ,
B ( −1;13 + C ) , C ( 1; −19 + C )
Khơng giảm tính tổng qt, chọn C = 0 ta được A ( −2;8 ) , B ( −1;13) ,
C ( 1; −19 ) (khi tịnh tiến đồ thị lên trên, xuống dưới theo phương Oy thì diện
tích khơng thay đổi)
Vì y = g ( x ) là hàm số bậc hai có đồ thị đi qua ba điểm cực trị của đồ thị
2
hàm số y = f ( x ) nên g ( x ) = −7 x − 16 x + 4
4
3
2
Ta có f ( x ) − g ( x ) = 3x + 8 x + x − 8 x − 4
1

S=

1

∫ f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ 3x

−2

−2

4

+ 8 x 3 + x 2 − 8 x − 4 dx =

36
5

13


Nhận xét: Trong quá trình giảng dạy các câu hỏi thuộc mức độ vận dụng và vận
dụng cao tại trường THPT Thạch Thành 2, hầu hết học sinh ban đầu chưa giải được,
sau khi được giáo viên hướng dẫn chi tiết, một số em đã từng bước biết cách giải, biết
cách vận dụng các kiến thức tổng hợp để áp dụng vào giải toán.
MỘT SỐ CÂU PHÁT TRIỂN
4
3
2
Câu 7.1: Cho hàm số f ( x ) = 3x + ax + bx + cx + d , với a, b, c, d ∈ ¡ có ba điểm
3
2
cực trị là −2, −1,1 . Gọi g ( x ) = mx + nx + px + q , với m, n, p, q ∈ ¡ là hàm
số đạt cực trị tại điểm −2 và có đồ thị đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm
số y = f ( x ) . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = f ( x ) và
y = g ( x ) bằng
87

81
79
78
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
5
5
5
5
Lời giải
Chọn A.
Vì y = g ( x ) là hàm số đạt cực trị tại điểm −2 (trùng cực trị của f ( x ) ) và
có đồ thị đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f ( x ) nên phương trình
f ( x ) − g ( x ) = 0 có các nghiệm là −2 (kép); −1;1 .
Suy ra f ( x ) − g ( x ) = 3 ( x + 2 )
1

S=

2

1

(x

2

− 1)

∫ f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ 3( x + 2 ) ( x

−2

2

2

−2
4

− 1) dx =

87
5

3
2
Câu 7.2: Cho hàm số f ( x ) = 3x + ax + bx + cx + d , với a, b, c, d ∈ ¡ có ba điểm
3
2
cực trị là −2; −1 và 1. Gọi g ( x ) = mx + nx + px + q , với m, n, p, q ∈ ¡ là
hàm số đạt cực trị tại hai điểm −2 , 1 và có đồ thị đi qua hai điểm cực trị với
hoành độ −2 và 1 của đồ thị hàm số y = f ( x ) . Diện tích hình phẳng giới
hạn bởi hai đường y = f ( x ) và y = g ( x ) bằng

175
243
258
132
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
5
10
10
5
Lời giải
Chọn B.
Vì g ( x ) là hàm số đạt cực trị tại điểm −2 , 1 (trùng với cực trị của f ( x ) )
và có đồ thị đi qua hai điểm cực trị với hoành độ −2 và 1 của đồ thị hàm số
y = f ( x ) nên phương trình f ( x ) − g ( x ) = 0 có nghiệm −2 (kép); 1 (kép)

Suy ra f ( x ) − g ( x ) = 3 ( x + 2 ) ( x − 1) .
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là
2

2

14

1

S=

1

∫ f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ 3( x + 2 ) ( x − 1)

−2

2

2

dx =

−2
4

243
10

3
2
Câu 7.3: Cho hàm số f ( x ) = 3x + ax + bx + cx + d , với a, b, c, d ∈ ¡ có ba điểm
3
2
cực trị là −1;1 và 2 . Gọi g ( x ) = mx + nx + px + q , với m, n, p, q ∈ ¡ là hàm
số đạt cực trị tại −1;1 và có đồ thị đi qua hai điểm cực trị có hồnh độ −1;1

của đồ thị hàm số y = f ( x ) . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
y = f ( x ) và y = g ( x ) bằng
15
36
2932
16
A.
.
B.
.
C.
.
D.
16
5
405
15
Lời giải
Chọn D.
Vì g ( x ) là hàm số đạt cực trị tại điểm −1;1 (trùng cực trị của f ( x ) ) và có
đồ thị đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f ( x ) nên phương trình
f ( x ) − g ( x ) = 0 có nghiệm −1 (kép); 1 (kép).

Suy ra f ( x ) − g ( x ) = ( x − 1)
1

S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx =
−1

2

1

∫(x

−1

2

( x + 1)

2

= ( x 2 − 1)

− 1) dx =
2

2

16
15

3
2
2
Câu 7.4: Cho hai hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + 4 và g ( x ) = mx + nx , với
a, b, c, m, n ∈ ¡ có đồ thị cắt nhau tại các điểm có hồnh độ là −1;1 và 2 .
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số trên bằng
37

9
9
37
A. .
B. .
C.
.
D.
.
6
4
2
12
Lời giải
Chọn D.
Do hàm số f ( x) và g ( x) có đồ thị cắt nhau các điểm có hồnh độ là −1; 1; 2 ,
nên f ( x) − g ( x) là hàm số bậc ba.
Suy ra ta có: f ( x) − g ( x) = k .( x + 1)( x − 1)( x − 2)
Mặt khác ta có: f (0) − g (0) = 4 ⇒ k = 2 .

⇒ f ( x) − g ( x) = 2( x + 1)( x − 1)( x − 2) = 2 x 3 − 4 x 2 − 2 x + 4
2

2

−1

−1

3

2
Vậy ta có diện tích là S = ∫ f ( x) − g ( x) dx = ∫ 2 x − 4 x − 2 x + 4 dx
1

2

−1

1

= ∫ (2 x 3 − 4 x 2 − 2 x + 4)dx − ∫ (2 x 3 − 4 x 2 − 2 x + 4)dx =

16 5 37
+ =
.
3 6 6

15


Câu 7.5: Cho Cho hai hàm số f ( x ) và g ( x ) liên tục trên ¡ và hàm số
f ' ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d , g ' ( x ) = qx 2 + nx + p với a, q ≠ 0 có đồ thị như
hình vẽ. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f ' ( x )
và y = g ' ( x ) bằng 10 và f ( 2 ) = g ( 2 ) . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai
đồ thị hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) bằng

A.

8
.

3

B.

8
.
15

C.

16
.
3

D.

16
.
5

Lời giải
Chọn B.
Đặt h( x ) = f ( x ) − g ( x) ⇒ h′( x) = f ′( x) − g ′( x).
Xét phương trình hồnh độ giao điểm: f ′ ( x ) = g ′ ( x ) ⇔ f ′ ( x ) − g ′ ( x ) = 0 . (*)
Vì hai đồ thị y = f ′( x) và y = g ′( x) cắt nhau tại các điểm có hồnh độ lần lượt
bằng 0; 1; 2 nên phương trình (*) có các nghiệm là x = 0; x = 1 và x = 2 . Do
đó, ta có: h′( x) = f ′( x) − g ′( x) = kx( x − 1)( x − 2) ( k ≠ 0 ) .
Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f ′( x) và
2

y = g ′( x) : S = ∫
0

1

2

1
f ′( x) − g ′( x)dx = k ∫ x ( x − 1) ( x − 2 ) dx − k ∫ x ( x − 1) ( x − 2 ) dx = k .
2
0
1

Theo đề: S = 10 . Do đó: k = 20.
⇒ h '( x) = 20 x ( x − 1)( x − 2)
 x4

⇒ h( x ) = ∫ 20 x ( x − 1)( x − 2)dx = 20∫ ( x − 3x + 2 x ) dx = 20  − x 3 + x 2 ÷+ C
 4

Vì f (2) = g (2) ⇒h(2) = f (2) − g (2) = 0 ⇒ C = 0
Do đó: h( x) = 5 x 4 − 20 x3 + 20 x 2
3

2

Xét phương trình hồnh độ giao điểm: f ( x ) = g ( x ) ⇔ f ( x ) − g ( x ) = 0
x = 0
⇔ h( x ) = 0 ⇔ 5 x 4 − 20 x 3 + 20 x 2 = 0 ⇔ 
x = 2

16


Diện tích hình phẳng cần tìm là
2

2

2

0

0

0

⇒ S = ∫ f ( x ) − g ( x )dx = ∫ h ( x )dx = ∫ 5 x 4 − 20 x 3 + 20 x 2 dx =

16
.
3

3.3. Bài tập tham khảo
π 
Câu 1. Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = sin x + cos x thoả mãn F  ÷ = 2
2
A. F ( x ) = cos x − sin x + 3
B. F ( x ) = − cos x + sin x + 3
C. F ( x ) = − cos x + sin x − 1
D. F ( x ) = − cos x + sin x + 1

Câu 2. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = ex + 2x thỏa mãn
3
F ( 0) = . Tìm F ( x ) .
2
1
5
A. F ( x) = 2ex + x2 −
B. F ( x) = ex + x2 +
2
2
3
1
C. F ( x) = ex + x2 +
D. F ( x) = ex + x2 +
2
2
Câu 3. Cho

1

1

1

0

0

0

∫ f ( x ) dx = 2 và ∫ g ( x ) dx = 5 khi đó ∫  f ( x ) − 2 g ( x )  dx bằng

A. −3 .
Câu 4. Cho

π
2

∫ f ( x ) dx = 5 . Tính
0

A. I = 7
Câu 5: Cho

C. −8 .

B. 12 .

D. 1 .

π
2

I = ∫  f ( x ) + 2sin x  dx .
0

B. I = 5 +

π

2

C. I = 3

2

2

2

−1

−1

−1

D. I = 5 + π .

∫ f ( x ) dx = 2 và ∫ g ( x ) dx = −1. Tính I = ∫  x + 2 f ( x ) − 3g ( x )  dx .

A. I =

11
2

B. I =

17
2

5
2

D. I =

1− 3
.
2

D. 0 .

C. I =

 π
Câu 6. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên  0;  thỏa mãn
 2
π 
π 
f ( x ) = f ′ ( x ) − 2cos x . Biết f  ÷ = 1 , tính giá trị f  ÷.
2
3
A.

3 +1
.
2

B.

3 −1

.
2

C.

7
2

17


Câu 7. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 1;2] thỏa mãn
f ( 1) = 2 và f ( x ) − ( x + 1) f ′ ( x ) = 2 xf

2

2

( x ) , ∀x ∈ [ 1;2] . Giá trị của ∫ f ( x ) dx
1

bằng
A. 1 + ln 2.

B. 1 − ln 2.

1
C. − ln 2.
2

D.

1
+ ln 2.
2

4. Kết quả thực hiện
4.1. Kết quả vận dụng của bản thân
Sau khi Bộ GD và ĐT phát hành chính thức bộ đề minh hoạ, kỳ thi tốt nghiệp
THPT năm 2022, tôi đã tiến hành viết đề tài này, sau đó tơi đã thực hiện giảng dạy tại
lớp 12A1, trường THPT Thạch Thành 2, năm học 2021-2022 . Trong quá trình học
theo đề tài này, học sinh thực sự thấy tự tin và có niềm đam mê, yêu thích nội dung
nguyên hàm và tích phân. Kết quả là nhiều học sinh tích cực tham gia giải bài tập,
nhiều em tiến bộ, nắm vững kiến thức cơ bản , nhiều em vận dụng tốt ở từng bài toán
cụ thể . Qua các bài kiểm tra về nội dung này và các bài thi giữa học kỳ 2, cuối học kỳ
2, kỳ thi KSCL các môn thi tốt nghiệp THPT năm học 2021-2022 của sở GD và ĐT
Thanh Hoá lần 2, tơi nhận thấy nhiều em có sự tiến bộ rõ rệt và đạt kết quả tốt. Cụ thể
như sau

G
SL
15

%
33,3

Lớp 12A1 năm học 2021-2022
Sĩ số 45
K
TB

Y
SL
%
SL
%
SL
%
25
55,6
5
11,1
0
0

Kém
SL
%
0
0

4.2. Triển khai trước tổ bộ môn
Tôi đã đưa đề tài này ra tổ để trao đổi, thảo luận và rút kinh nghiệm. Đa số các
đồng nghiệp trong tổ đã đánh giá cao và vận dụng có hiệu quả, tạo được hứng thú cho
học sinh và giúp các em hiểu sâu, nắm vững hơn về bản chất cũng như tạo thói quen
sáng tạo trong nghiên cứu và học tập. Và cho đến nay, những kinh nghiệm của tơi đã
được tổ thừa nhận là có tính thực tiễn và tính khả thi. Hiện nay, tơi tiếp tục xây dựng
thêm nhiều ý tưởng, tăng cường thêm các câu hỏi phát triển, để giúp học sinh trường
THPT Thạch Thành 2 học tập nội dung này một cách tốt nhất và đạt kết quả cao
nhất trong kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2022 tới đây.
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1. Kết luận
18


Trong dạy học giải bài tập tốn nói chung và dạy học giải bài tập tốn về ngun
hàm, tích phân nói riêng, việc xây dựng các bài tốn riêng lẻ thành một hệ thống theo
một trình tự logic có sự sắp đặt của phương pháp và quy trình giải tốn sẽ giúp học
sinh dễ dàng tiếp cận với nội dung bài học, đồng thời có thể phát triển tư duy học toán
cũng như tạo ra niềm vui và sự hứng thú trong học tốn.
Việc chọn trình tự bài tập và phân dạng như trên giúp học sinh dễ tiếp thu hơn và
thấy được trong từng bài toán nên áp dụng kiến thức nào cho phù hợp. Mỗi một câu
trong đề thi minh hoạ năm 2022 của BGD&ĐT, tôi phát triển thành 5 câu hỏi tương
tự, để học sinh hiểu sâu sắc hơn về cách làm, để từ đó làm những bài tập mang tính
tương tự và dần nâng cao hơn. Tuy nhiên, vẫn cịn một số học sinh khơng tiến bộ do
mất cơ bản từ lớp dưới, sức ỳ quá lớn hoặc chưa có động cơ, hứng thú trong học tập.
Do đó đây chỉ là những giải pháp trong hàng vạn giải pháp để giúp phát triển tư
duy, sự sáng tạo của học sinh. Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm
chắc các kiến thức cơ bản sau đó là cung cấp cho học sinh cách nhận dạng bài tốn,
thể hiện bài tốn từ đó học sinh có thể vân dụng linh hoạt các kiến thưc cơ bản, phân
tích tìm ra hướng giải, bắt đầu từ đâu và bắt đầu như thế nào là rất quan trọng để học
sinh khơng sợ khi đứng trước một bài tốn khó mà dần dần tạo sự tự tin, gây hứng thú
say mê mơn tốn, từ đó tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu . Đề tài có
thể phát triển và xây dựng thành hệ thống đề thành sách tham khảo cho học sinh và
giáo viên.
Rất mong sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp để đề tài này được đầy đủ
hoàn thiện hơn.
2. Kiến nghị
Đối với tổ chun mơn: Cần có nhiều buổi họp thảo luận về nội dung nguyên
hàm, tích phân, đặc biệt là ứng dụng của tích phân.
Đối với trường: Trong dạy học giải bài tập toán, giáo viên cần xây dựng bài

giảng thành hệ thống những bài tập có phương pháp và quy trình giải tốn.
Đối với ngành giáo dục: Phát triển và nhân rộng những đề tài có ứng dụng
thực tiễn cao, đồng thời viết thành những bộ sách tham khảo cho học sinh và giáo
viên.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
Thanh Hoá, ngày 20 tháng 5 năm 2022
ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
Hiệu trưởng
mình viết, khơng sao chép nội dung của
người khác.
NGƯỜI THỰC HIỆN

Nguyễn Sỹ Thạc
TÀI LIỆU THAM KHẢO
19


1. SGK giải tích 12 - NXB Giáo dục, Bộ Giáo dục và đào tạo.
2. Sách BT giải tích 12 - NXB Giáo dục, Bộ Giáo dục và đào tạo.
3. Bồi dưỡng giải tích 12.
4. Đề thi MH và đề thi CT của Bộ GD&ĐT từ các năm 2017- 2022.
5. Phương pháp giải tốn tích phân - NXB Đại Học Quốc gia Hà Nội.
6. Bộ đề TNKQ luyện thi tốt nghiệp THPT từ năm 2017 - NXB Giáo dục.

20