(SKKN 2022) Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 11 trường THPT Mường Lát cách giải quyết bài toán dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT MƯỜNG LÁT

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ GIỎI
LỚP 11 TRƯỜNG THPT MƯỜNG LÁT CÁCH GIẢI QUYẾT BÀI
TOÁN DÃY SỐ CHO BỞI HỆ THỨC TRUY HỒI

Người thực hiện: Lê Thị Thùy
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn

THANH HỐ NĂM 2022


MỤC LỤC
Nội dung
Trang
1. Mở đầu..................................................................................................................1
1.1. Lí do chọn đề tài.................................................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu..........................................................................................1
1.3. Đối tượng nghiên cứu.........................................................................................1
1.4. Phương pháp nghiên cứu....................................................................................1
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm........................................................................1
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ..........................................................1
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm ..........................3
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
...................................................................................................................................3
2.3.1.Dự đoán số hạng tổng quát của dãy số và chứng minh bằng phương pháp quy

nạp toán học ..............................................................................................................3
2.3.2. Sử dụng CSC – CSN để tìm cơng thức tổng qt của một số dạng dãy số cho
bởi công thức truy hồi................................................................................................6
2.3.3. Phương pháp tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi...................13
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân,
đồng nghiệp và nhà trường ....................................................................................18
3. Kết luận và kiến nghị .......................................................................................18
3.1. Kết luận ...........................................................................................................18
3.2. Kiến nghị ........................................................................................................19
TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................................20


1. Mở đầu
1.1.Lí do chọn đề tài
Trong chương trình tốn học THPT, các bài toán liên quan đến dãy số là một phần
quan trọng của Đại số và giải tích 11. Học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải
các bài toán liên quan đến dãy số và đặc biệt là các bài tốn xác định cơng thức số
hạng tổng qt và bài tốn tìm giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi.
Hiện nay, các tài liệu chun sâu về chun đề tìm cơng thức số hạng tổng
quát và tìm giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi vẫn còn rất hạn chế. Với
mong muốn nâng cao chất lượng giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, cung cấp cho
các em học sinh (đặc biệt là các em học sinh u thích mơn tốn) có thêm một tài
liệu để tham khảo và học tập, tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài “Một số kinh
nghiệm hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 11 trường THPT Mường Lát cách
giải quyết bài toán dãy số cho bởi hệ thức truy hồi”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Các kết quả nghiên cứu trong đề tài được xây dựng một cách tự nhiên từ đơn
giản đến phức tạp giúp các em học sinh nắm bắt kiến thức dễ dàng hơn và phát
triển tư duy cho các em học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.

Đề tài nghiên cứu một số phương pháp giải quyết bài toán dãy số cho bởi hệ
thức truy hồi, nhằm góp phần tạo sự hứng thú và sự tự tin cho học sinh khi gặp
dạng toán này.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
+ Nghiên cứu lý luận dạy học, tìm hiểu các tài liệu liên quan.
+ Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin.
+ Thống kê, tổng hợp, phân tích các dạng tốn.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.1.1. Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi (hay quy nạp):
- Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu).
- Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số
hạng) đứng trước nó.
2.1.2. Tính chất của dãy số
 Dãy số (un ) gọi là dãy tăng nếu un  un1 n  ¥ *
 Dãy số (un ) gọi là dãy giảm nếu un  un1 n  ¥ *
 Dãy số (un ) gọi là dãy bị chặn trên nếu có một số thực M sao cho
un  M n  ¥ * .
un  M n  ¥ *  Dãy số (un ) gọi là dãy bị chặn dưới nếu có một số thực m sao
cho un  m n  ¥ * .

1


 Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là

m, M  ¡ : m un  M ,n  ¥ * .

2.1.3. Cấp số cộng (CSC)
* Định nghĩa: Dãy số  un  được gọi là một CSC nếu có một số thực d sao cho với

một số nguyên n ta có: un1  un  d
d: được gọi là cơng sai của CSC
* Số hạng tổng quát: Nếu CSC  un  có số hạng đầu u1 và cơng sai d thì số hạng
tổng quát un được xác định bởi công thức: un  u1   n  1 d với n  2 .
* Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
n  n  1
d .
Cho CSC  un  . Đặt Sn  u1  u2  u3  ...  un . Khi đó: Sn  nu1 
2

2.1.4. Cấp số nhân (CSN)
Định nghĩa: Dãy số  un  được gọi là một CSN nếu có một số thực q sao cho với
một số nguyên n ta có: un1  un .q
q: được gọi là công bội của CSN
Số hạng tổng quát: Nếu CSN  un  có số hạng đầu u1 và cơng bội q thì số hạng
tổng quát un được xác định bởi công thức: un  u1.q n1 với n  2 .
Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân
Cho CSN  un  với công bội q  1 . Đặt Sn  u1  u2  u3  ...  un . Khi đó:
Sn 

u1  1  q n 
1 q

Chú ý: Nếu q  1 thì CSN là u1 , u1 , u1 , …, u1 , … Khi đó Sn  n.u1 .
2.1.5. Phương pháp quy nạp toán học
Để chứng minh một mệnh đề đúng với n  ¥ * bằng phương pháp quy nạp toán
học ta tiến hành theo hai bước:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n  1
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n  k  1 (gọi là giả thiết
quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n  k  1 .[1]

2.1.6. Giới hạn của dãy số
Giới hạn hữu hạn
Giới hạn vô cực
1. Giới hạn đặc biệt
1. Giới hạn đặc biệt:
1
 0;
n n
lim

n

lim

n

lim q  0 ( q  1) ;

n

1
nk

 0 (k  ¢  )
lim C  C

n

lim n  

limnk   (k  ¢  )

limqn   (q  1)

2. Định lí:

2. Định lí :

2


a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì
 lim (un + vn) = a + b
 lim (un – vn) = a – b
 lim (un.vn) = a.b
un

a
 lim  (nếu b  0)
vn b

b) Nếu un  0, n và lim un= a
thì a  0 và lim un  a
c) Nếu un  vn ,n và lim vn = 0
thì lim un = 0
d) Nếu lim un = a thì lim un  a
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn



1

a) Nếu lim un   thì lim u  0
n
b) Nếu lim un = a, lim vn =  thì lim
un
vn

=0

c) Nếu lim un = a  0, lim vn = 0
un



neá
u a.v  0

n
= 
neá
u
a
.
v
vn
n0

d) Nếu lim un = +, lim vn = a

thì lim



thì lim(un.vn) = 


nế
u a 0
nế
u a 0

* Khi tính giới hạn có một trong các

u
S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1 dạng vô định: 0 ,  ,  – , 0. thì
1 q
0 
q  1
phải tìm cách khử dạng vơ định.

Định lí kẹp về giới hạn của dãy số: Cho ba dãy số  un  ,  vn  ,  wn  và L  ¡ .
Nếu un  vn  wn , n  ¥ * và lim un  lim wn  L thì  vn  có giới hạn và lim vn  L .

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Trường THPT Mường Lát đóng trên địa bàn huyện Mường Lát có điều kiện
kinh tế khó khăn và trình độ dân trí cịn thấp, chất lượng đầu vào thấp nhất tỉnh, tỷ
lệ học sinh khá giỏi ít. Trong năm học 2020-2021, các đề thi học sinh giỏi khối 11
xuất hiện một số bài toán về dãy số khiến các em học sinh lúng túng và không biết
phải xử lý thế nào. Nhất là những dãy số cho bởi công thức truy hồi, khơng thể tìm

ra số hạng tổng qt và tính giới hạn của dãy được, những bài tốn này thậm trí
máy tính cầm tay cũng khó giải quyết. Qua thực tế giảng dạy tôi thấy đây là phần
mà các em sợ nhất, hầu như qua các bài kiểm tra liên quan đến tìm số hạng tổng
qt và tính giới hạn của dãy thì các em bỏ trống, hoặc chỉ làm được những bài hết
sức cơ bản. Những bài đòi hỏi tư duy và kỹ năng thì các em khơng xử lý được. Do
đó cần tìm ra những phương pháp để giúp đỡ các em thoát khỏi nỗi sợ hãi về dãy
số, đặc biệt là dãy số cho bởi hệ thức truy hồi, làm tròn trách nhiệm của mỗi người
thầy cô giáo. Giúp các em tự tin hơn trong giải toán, làm cho các em đam mê học
tập đạt hiệu quả cao.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết
vấn đề.
2.3.1. Dự đoán số hạng tổng quát của dãy số và chứng minh bằng phương
pháp quy nạp.
3


u1  11
. Xác định số
un 1  10un  1  9n, n  N

Ví dụ 1: Cho dãy số  un  xác định bởi : 
hạng tổng quát của dãy đã cho.
Giải:
Ta có:
u1  11  10  1

u2  10.11  1  9  102  100  2
u3  10.102  1  9.2  1003  1000  3

Dự đoán: un  10  n  1 . Ta chứng minh (1) bằng phương pháp quy nạp.

- Với n  1 , ta có u1  11  mệnh đề (1) đúng.
- Giả sử (1) đúng với n  k , tức là ta có uk  10 k  k
- Ta chứng minh (1) cũng đúng đến n  k  1 , tức là chứng minh uk 1  10k 1  k  1 .
n

k
k 1
Ta có: uk 1  10uk  1  9k  10  10  k   1  9k  10  k  1  Đpcm.

Vậy un  10n  n .
Ví dụ 2: Viết 5 số hạng đầu của dãy số. Dự đốn cơng thức un và chứng minh cơng
thức đó bằng phương pháp quy nạp.
u1  1
a) 
;
un 1  un  2n  1, n  1

u1  3
b) 
;
2
un 1  1  un , n  1

Giải:
u1  1
un 1  un  2n  1, n  1

a) 

Ta có: u1  1 , u2  4 , u3  9 , u4  16 , u5  25 .

Dự đoán: un  n 2 , n
(1). Ta chứng minh (1) bằng phương pháp quy nạp.
- Với n  1 , ta có u1  1  mệnh đề (1) đúng.
- Giả sử (1) đúng với n  k , tức là ta có uk  k 2
2
- Ta chứng minh (1) cũng đúng đến n  k  1 , tức là chứng minh uk 1   k  1 .
2
Thật vậy, uk 1  uk  2k  1  k 2  2k  1   k  1  Đpcm.
Vậy un  n 2 , n .

u1  3
2
un 1  1  un , n  1

b) 

Ta có: u1  3 , u2  10 , u3  11 , u4  12 , u5  13 .
Dự đoán: un  n  8, n (2). Ta chứng minh (2) bằng phương pháp quy nạp.
- Với n  1 , ta có u1  3  mệnh đề (2) đúng.

4


- Giả sử (2) đúng với n  k , tức là ta có uk  k  8
- Ta chứng minh (2) cũng đúng đến n  k  1 , tức là chứng minh uk 1  k  9 .
Thật vậy, uk 1  1  uk2  1   k  8   k  9  Đpcm.
2

Vậy un  n  8, n .
u1  5

.
un 1  un  3n  2, n  1

Ví dụ 3: Tìm cơng thức tổng qt của dãy  un  : 
Giải:
Ta có: u1  5
u2  u1  3  2
u3  u2  3.2  2
u4  u3  3.3  2

…

un  un 1  3.  n  1  2

Cộng vế theo vế, ta được:
un  5  3.1  3.2  3.3  ...  3.  n  1  2  n  1

 n  1 n  2
 5  3.
2

3n 2  7n  14
.
 n  1 
2

3n  7 n  14
.
2
u1  1


n
Ví dụ 4: Cho dãy số  un  : 
. Xác định số hạng tổng quát của
1
un 1  un    , n  1
2

dãy  un  .

Vậy un 

2

Giải: Ta có: u1  1
u2  u1 

1
2
2

1
u3  u2   
2

3

1
u 4  u3   
2

…
n 1

1
un  un 1   
2

Cộng vế theo vế, ta được:

5


n

1
1  
2
3
n 1
n 1
1 1 1
2
1
1

un  1         ...    
 2   .
1
2 2 2

2
2
1
2
n 1

1
Vậy un  2    .
2

u1  1

Ví dụ 5: Cho dãy số  un  : 

3
un 1  un  n , n  1

Giải: Ta có: u1  1

. Tìm số hạng tổng quát của dãy  un  .

u2  u1  13
u3  u 2  2 3

…
un  un 1   n  1

3

Cộng vế theo vế, ta được:

un  1  13  23  ...   n  1

3

Bằng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh được
1  2  ...   n  1
3

3

3

 n  1


2

n2

4

n 2 n  1
Vậy un  1  
4

.

2

.

2.3.2. Sử dụng CSC – CSN để tìm cơng thức tổng quát của một số dạng dãy số
cho bởi công thức truy hồi.
u1  x0
, (a, b là các số thực và a  0 )
un  aun 1  b, n  2

DẠNG 1: Dãy số  un  cho bởi 
có cơng thức tổng qt như sau:

u1   n  1 b

un  
b  n 1
b
 u1  1  a .a  1  a



khi a  1
khi a  1

Chứng minh:
- Nếu a  1 thì dãy số  un  là một CSC với cơng sai d  b nên ta có:
un  u1   n  1 b

- Nếu a  1 , gọi  vn  là dãy số sao cho vn  un 

b
1 a

(1)

Thay công thức (1) vào công thức truy hồi, ta có:
vn 1  un 1 

b
b
b 

 aun  b 
 a  un 
  a.vn
1 a
1 a
1 a 


6


b
  vn  là một CSN với công bội q  a và số hạng đầu v1  u1 
. Do đó
1 a
b  n 1
 vn  có số hạng tổng quát là vn   u1 
.a , n  2
1 a 


b
b  n 1
b

 un  vn 
  u1 
, n  2 .
.a 
1 a 
1 a 
1 a
u1  5
Ví dụ 1: Xác định số hạng tổng quát của dãy số  un  biết 
.
un  un 1  3, n  2

Giải:
Ta thấy dãy  un  là một CSC với cơng sai d  3 . Ta có: un  5  3  n  1  3n  8 .
u1  3
.
un   2  un 1 , n  2

Ví dụ 2: Xác định số hạng tổng quát của dãy số  un  biết 

Giải:
n 1
Ta thấy dãy  un  là một CSN với cơng bội q  2 . Ta có: un  3.  2  .
u1  3
.
un 1  4un  6

Ví dụ 3: Xác định số hạng tổng quát của dãy số  un  biết 
Giải:
Gọi  vn  là dãy số sao cho vn  un  2 . Ta có:

vn 1  un1  2   4un  6   2  4  un  2   4vn

  vn  là một CSN với công bội q  4 và số hạng đầu v1  5 . Ta có: vn  5.4n 1
 un  vn  2  5.4n 1  2 .

Vậy số hạng tổng quát của dãy số  un  là: un  5.4n 1  2 .
u1  x0
DẠNG 2: Dãy số  un  được xác định bởi: 

un  a.un 1  f  n  ,

n  2

, trong đó

f  n  là một đa thức bậc k theo n; a là hằng số. Để tìm CTTQ của dãy số  un  , ta

làm như sau:
Gọi  vn  là dãy số thỏa mãn un  vn  g  n  .
Khi đó, ta có:

vn  a.vn 1   a.g  n  1  g  n   f  n  
là 1 CSN thì a.g  n  1  g  n   f  n   0 với n  ¥ *

Để dãy  vn 

Vậy, ta phải chọn g  n  thích hợp sao cho f  n   g  n   a.g  n  1
un  u1  g  1  a n 1  g  n 
Từ đó, ta có:
Chú ý: Nếu a  1 thì ta chọn g  n  là đa thức bậc k  1 có hệ số tự do bằng 0, còn
nếu a  1 thì chọn g  n  là một đa thức bậc k.

7


Ví dụ 4: Xác định dãy số hạng tổng quát của dãy số  un  cho bởi:
u1  3

un  un 1  4n  2,

n  2.

Giải:
Gọi un  vn  an 2  bn . Ta có:
un  un 1  4n  2  vn  an 2  bn  vn 1  a  n  1  b  n  1  4n  2
2

 vn  vn 1   2a  4  n   a  b  2 

 2a  4  0
a  2

a  b  2  0
b  0

Để dãy  vn  là một cấp số nhân thì 

v  1

1
Khi đó un  vn  2n2 . Dãy số  vn  : v  v , n  2 có số hạng tổng quát vn  1 .
n 1
 n

Vậy un  2n 2  1, n  ¥ * .
Ví dụ 5: Xác định số hạng tổng quát của dãy số  un  cho bởi:
u1  1

un  2un 1  3n  2, n  2.

Giải:
Gọi un  vn  an  b . Ta có:

un  2un 1  3n  2  vn  an  b  2 vn1  a  n  1  b   3n  2
 vn  2vn 1   a  3 n  b  2a  2

a  3  0
 a  3

b  2a  2  0
b  4

Để dãy  vn  là một cấp số nhân thì 

v1  8
có CTTQ là vn  8.2n 1  2n  2

vn  2vn 1 , n  2

Khi đó un  vn  3n  4 . Dãy số  vn  : 
Vậy un  2n  2  3n  4, n  ¥ * .
u1  1

Ví dụ 6: Cho dãy số  un  : 

n
un  3un 1  2 , n  2

. Tìm CTTQ của dãy số  un  .

Giải:
Đặt un  vn  a.2n .
n
n
n 1
n
n 1
Ta có: un  3un 1  2  vn  a.2  3  vn 1  a.2   2  vn  3vn1  2  a  2 
Để  vn  là 1 CSN ta chọn a  2 , khi đó vn  3vn 1  v1.3n 1  5.3n1 .
Vậy un  5.3n 1  2n 1 .
u1  x0


Tổng quát, để tìm số hạng tổng quát của dãy  un  : 

n
un  a.un 1  b.c , n  2

ta đặt

un  vn  k .c n .

8


n
n 1
n
n 1
Khi đó: vn  k .c  a.vn1  a.k .c  b.c  vn  a.vn1  k  a  c   bc  c

bc
. Khi đó dãy  vn  là một cấp số nhân.
ca
bc
 vn  v1.a n 1  un   u1  kc  a n 1  kc n với k 
ca
n
a

c
u

a
.
u


b
.
a
Nếu
, ta có n
n 1

- Nếu a  c , ta chọn k 

-

 un   un  a.un 1   a  un 1  aun  2   ...  a n  2  u2  au1   u1.a n 1
 un  b  n  1 a n  u1a n 1 . Vậy ta có kết quả sau:

u1  x0
. Khi đó, ta có:
n
un  a.un 1  b.c , n  2

DẠNG 3: Cho dãy số  un  : 

n
n 1
- Nếu a  c  un  b  n  1 a  u1a

n 1
n
- Nếu a  c  un   u1  kc  a  kc với k 

bc

.
ca

Chú ý: Trong trường hợp a  c ta có thể tìm CTTQ của dãy  un  như sau:
Đặt un  vn  kn.a n . Khi đó ta có
vn  kn.a n  a.  vn 1  k  n  1 .a n 1   b.a n  vn  avn 1   b  k  .a n

n 1
n 1
Để  vn  là 1 CSN ta chọn k  b . Khi đó vn  v1.a   u1  ab  a

 un   u1  ab  a n 1  bn.a n  b  n  1 a n  u1a n 1

u1  2

Ví dụ 7: Tìm số hạng tổng quát của dãy số  un  : 

n
n
un  5un 1  2.3  6.7  12, n  2

.

Giải:
Đặt un  vn  a.3n  b.7 n  c . Khi đó, ta có:

un  5un 1  2.3n  6.7 n  12  vn  a.3n  b.7 n  c  5  vn1  a.3n 1  b.7 n 1  c   2.3n  6.7 n  12
 vn  5vn 1  3n 1  2a  6   7 n 1  2b  42    4c  12 

Để dãy  vn 

 2a  6  0
a  3


là một CSN thì 2b  42  0  b  21 .
 4c  12  0
c  3



Khi đó vn  5vn 1  v1.5n 1  157.5n 1
Vậy un  vn  3.3n  21.7n  3  157.5n 1  3n 1  21.7 n  3 .
u1  1

Ví dụ 8: Tìm số hạng tổng quát của dãy số  un  : 

n
un  2un 1  3  n, n  2

.

Giải:
Đặt un  vn  a.3n  bn  c . Khi đó, ta có:

un  2un 1  3n  n  vn  a.3n  bn  c  2  vn1  a.3n 1  b  n  1  c   3n  n

9

 vn  2vn 1   1  a  .3n 1   b  1 n   c  2b 

Để dãy  vn 

1  a  0
a  1


là một CSN thì b  1  0  b  1
c  2b  0
c  2



Khi đó vn  2vn 1  v1.2n 1  5.2n 1
Vậy un  5.2n 1  3n  n  2 .
u  4; u  20

1
2
Ví dụ 9: Tìm số hạng tổng quát của dãy số  un  : u  4u  4u , n  3 .
n 1
n2
 n
Giải:
Ta có: un  4un 1  4un 2  un  2un 1  2  un 1  2un 2 
Gọi  vn  là dãy số thỏa mãn vn 1  un  2un 1 (*). Ta có dãy  vn  là một CSN và

v1  12


vn  2vn 1
 vn  v1.2n 1  12.2n 1  3.2n 1

Vậy vn 1  3.2n , thay vào (*) ta có un  2un 1  3.2n .
u1  4

Vậy dãy số  un  được xác định bởi 

n
un  2un 1  3.2
n
và ta dễ dàng tìm được un   3n  1 .2 .

. Đây là bài toán thuộc dạng 3
u1  x1 ; u2  x2
với a,
un  a.un 1  b.un  2 , n  3

DẠNG 4: Để tìm số hạng tổng quát của dãy số  un  : 

b là các số thực khác 0 và a 2  4b  0 , ta làm như sau:
- Tìm 2 số  và  là nghiệm của phương trình X 2  aX  b  0 .
- Ta có un   un 1    un 1   un  2  , xét dãy số  vn  thỏa mãn vn 1  un   un 1 . Ta có
 vn  là một cấp số nhân, do đó dễ dàng tìm được vn . Từ đó ta đưa được dãy số
 un  về dạng 3 và suy ra kết quả.
Chú ý: Để xác định CTTQ của dãy  un  nói trên ta có thể trình bày như sau:
Xét phương trình đặc trưng X 2  aX  b  0 (1).
 Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt X 1 , X 2 thì un  x. X 1n  y.X 2n , dựa vào u1 , u2 ta
tìm được x, y.
n

 Nếu (1) có nghiệm kép X 1  X 2   thì un   xn  y  . , dựa vào u1 , u2 ta tìm
được x, y.
u1  2, u2  3
.
un  7un 1  12un 2 , n  3

Ví dụ 10: Xác định số hạng tổng quát của dãy số  un  : 
Giải:

10


Ta có: un  7un 1  12un 2  un  3un 1  4  un 1  3un 2 
Gọi  vn  là dãy số thỏa mãn vn 1  un  3un1 (*). Ta có dãy  vn  là một CSN và
v1  3

vn  4vn 1
3 n
.4 .
16
u1  2

Ta có dãy số  un  được xác định bởi 
. Đây là bài toán thuộc
3 n
un  3un 1  16 .4 , n  2
dạng 3 và ta dễ dàng tìm được un  5.3n 1  3.4n 1 .
 vn  3.4n 1  un  3un 1  3.4n  2  3un 1 

u1  1, u2  3

Ví dụ 11: Cho dãy số  un  : 

2
un  5un 1  6un 2  2n  2n  1, n  3

. Xác định CTTQ của

dãy số  un  .
Giải: Ta tìm cách làm mất vế phải trong công thức truy hồi của dãy bằng cách:
Đặt un  vn  an 2  bn  c . Thay vào công thức truy hồi của dãy, ta được:
un  5un 1  6un 2  2n 2  2n  1
2
2
 vn  an 2  bn  c  5 vn 1  a  n  1  b  n  1  c   6 vn  2  a  n  2   b  n  2   c 




2
 2 n  2n  1
 vn  5vn 1  6vn 2  2an 2   14a  2b  n  19a  7b  2c  2n 2  2n  1

 2a  2
a  1


Ta chọn a, b, c sao cho: 14a  2b  2  b  8
19a  7 a  2c  1 c  19




Suy ra un  vn  n 2  8n  19 .
v1  29; v2  36
. Đây là bài tốn dạng 4, ta dễ dàng tìm được
vn  5vn 1  6vn 2 , n  3

Ta có dãy  vn  : 

vn  22.3n 1  51.2n 1

Vậy un  22.3n 1  51.2n 1  n 2  8n  19 .
u1  3; u2  41

Ví dụ 12: Tìm CTTQ của dãy số  un  : 

n
un  5un 1  6un  2  5.2 , n  2

.

Giải:
n
n
Ta có: un  5un 1  6un2  5.2   un  2un1   3  un 1  2un 2   5.2
v1  5

Đặt vn  un  un 1 , ta có dãy số  vn  : 

vn  3vn 1  5.2

n

. Đây là bài toán dạng 3, ta dễ

dàng tìm được vn  25.3n 1  10.2n

11


u1  3

Ta có dãy số  un  : 

n 1
n
un  2un 1  25.3  10.2
Đặt un  xn  a.3n  bn.2n . Ta có:
un  2un 1  25.3n 1  10.2n

.

 xn  a.3n  bn.2n  2  xn 1  a.3n 1  b  n  1 .2n 1   25.3n1  10.2 n
 xn  2 xn 1   25  a  .3n 1   b  10  .2n
 25  a  0
a  25

b  10  0
b  10

Để dãy  xn  là 1 CSN thì 
 xn  x1.2n 1  52.2n 1

n
n 1
Vậy un  25.3   5n  13 .2 .

u1  x, u2  y, u3  z
. Để xác định CTTQ
 aun  bun 1  cun  2  dun 3  0, n  4

DẠNG 5: Cho dãy số  un  : 

của dãy ta xét phương trình: ax 3  bx 2  cx  d  0 (1) (đây là phương trình đặc trưng
của dãy).
- Nếu (1) có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3  un   x1n   x2n   x3n . Dựa vào u1 , u2 ,
u3 ta tìm được  ,  ,  .
n
n
- Nếu (1) có 1 nghiệm đơn, 1 nghiệm kép: x1  x2  x3  un      n  x1   x3 . Dựa
vào u1 , u2 , u3 ta tìm được  ,  ,  .
2
n
- Nếu (1) có nghiệm x1  x2  x3  un      n   n  x1 . Dựa vào u1 , u2 , u3 ta tìm
được  ,  ,  .
u1  0, u2  1, u3  3
.
un  7un 1  11un  2  5un 3 , n  4

Ví dụ 13: Tìm số hạng tổng quát của dãy  un  : 

Giải:
Xét phương trình đặc trưng: x3  7 x 2  11x  5  0
Phương trình có 3 nghiệm: x1  x2  1 , x3  5 .
Vậy un     n   .5n .
13

  16
u1  0
    5  0

3



Ta có: u2  1    2  25  1    
4
u  3   3  125  3 

 3
1

  80

13 3
1 n
Vậy un    n  .5 .
16 4
80

12

u1  2

Ví dụ 14: Xác định số hạng tổng quát của dãy số  un  : u  un 1 , n  2 .
 n 3u  2
n 1

un 1
1 3un1  2
1
1

 3  2.
Giải: Ta có: un  3u  2  u  u
.
un
un 1
n 1
n
n 1
1

1
v1 

2
Đặt vn  u ta có dãy số  vn  : 
. Đây là bài toán dạng 1, ta dễ dàng
n

vn  2vn 1  3, n  2
tìm được vn  7.2n 2  3 .
1
Vậy un  n 2 .
7.2  3
u1  2

Ví dụ 15: Xác định số hạng tổng quát của dãy số  un  : u  2un 1  1 , n  2 .
 n u 2
n 1


Giải: Việc tìm số hạng tổng quát của dãy số này khơng cịn đơn giản như ví dụ trên
nữa vì ở tử số cịn có hệ số tự do. Ta cần làm mất đi hệ số tự do ở tử bằng cách đặt
un  vn  a .
Ta có: un 

2  vn 1  a   1
2un 1  1
 2  a  vn1  a 2  1
 vn  a 
 vn 
un 1  2
vn 1  a  2
vn 1  a  2

Ta chọn a sao cho a 2  1  0
 a  1  vn 

vn 1

và un  vn  1 .
vn 1  3

v1  1

Do đó dãy số  vn  được xác định bởi v  vn 1 , n  2 .
 n v 3
n 1

vn 1
1
3
Ta có: vn  v  3  v  1  v .
n 1
n
n 1
1

 x1  1
. Đây là bài tốn dạng 1, ta dễ dàng tìm
 xn  3 xn 1  1

Đặt xn  v , ta có dãy số  xn  : 
n

được xn 

1 n
 3  1 .
2

2
2
3n  1

u


1

.
n
3n  1
3n  1
3n  1
3n  1
Vậy un  n .
3 1
 vn 

2.3.3. Phương pháp tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi.

13


2.3.3.1. Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách xác định
công thức tổng quát của dãy.
u1  10

Ví dụ 1: Cho dãy số  un  : 

. Tính lim un .
1
un  5 un 1  3, n  2

Giải:
1
1
1
4
Đặt un  vn  c . Ta có: un  un1  3  vn  c   vn1  c   3  vn  vn1  3  c
5

5
5
4
15
Dãy số  vn  là một CSN khi 3  c  0  c 
5
4
15
Ta có: un  vn 
4
25

n 1
v1  4
25  1 
Dãy số  vn  : 
có cơng thức tổng qt là vn  .   .
4 5

v  1 v , n  2
n
n 1

5
n 1

5

n

25  1 
15 125  1  15
.  .
Suy ra un  .    
4 5
4
4 5
4
n
125  1  15  15
Vậy lim un  lim  .      .
4  4
 4  5 
u1  3
Ví dụ 2: Cho dãy số  un  : 
. Đặt Sn  u1  u2  ...  un . Tính lim Sn .
2un 1  un  1, n  1

Giải:

1
2

Đặt un  vn  c . Ta có: 2un 1  un  1  2  vn 1  c   vn  c  1  vn 1  vn 
Dãy số  vn  là một CSN khi

1 c
 0  c  1 . Khi đó: un  vn  1 .
2

1 c
.
2

v1  2
n 1

1

Dãy số  vn  : 
có công thức tổng quát là vn  2.   .
1
2
vn 1  2 vn , n  1
n 1

1
Suy ra un  2.    1 . Ta có:
2
n

n

i 1

i 1

S n   ui   vi  n 

v1  1  q n 
1 q

  1 n 
2 1    
n
 2 
  n  4  n  4.  1 
n 
 
1
2
1
2

14


n

1 

Vậy lim Sn  lim 4  n  4.      .
 2  


2.3.3.2. Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử dụng
nguyên lý kẹp.
1

u1  4
Ví dụ 1: Cho dãy số  un  : 
.
u  u 2  un , n  1
n
 n 1
2
1
a) CMR: 0  un  , n .
4
un 1 3
b) CMR: u  4 , n . Tính lim un .
n

Giải:
1
4

a) Ta chứng minh 0  un  , n  * bằng phương pháp quy nạp toán học.
- Với n  1 , ta có u1 

1

  * đúng.
4
1
4

- Giả sử mệnh đề (*) đúng đến n  k tức là ta có 0  uk  .
1
4

- Ta chứng minh (*) cũng đúng đến n  k  1 tức là chứng minh 0  uk 1  .
1

0  uk2 

u
1 
3 1
16
 0  uk2  k  
Thật vậy: 0  uk    u
1
4 
2 16 4
0 k 

2 8
u
1
Mà uk 1  uk2  k nên suy ra 0  uk 1   Đpcm.
2

4
1
Vậy 0  un  , n .
4
u
1

1 1 3
2
b) Ta có: un 1  un  n  un  un    un    un
2
2

4 2 4
u
3
 n 1  , n .
un
4
n 1

n 1

u u
u
3 3
3 1 1 3
1 3
Ta có: 0  un  n . n 1 ...... 2 .u1  . ...... .  .   , n hay 0  un  .   , n .
un 1 un  2

u1
4 4
4 4 4 4
4 4
n1

1 3
Mà lim 0  0 , lim .    0 nên lim un  0 .
4 4

15


1

u

1

2
Ví dụ 2: Cho dãy số  un  : 
. Tính lim un .
u
n
u 
, n  1
 n 1 n  1

Giải:
Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh được un  0, n  1 .

u

u

1

1

n
n 1
Ta có: un 1  n  1  u  n  1  2 , n  1
n
n

n

u u
u
1 1
1 1 1
1
0  un  n . n 1 ...... 2 .u1  . ...... .    hay 0  un    , n  1 .
un 1 un 2
u1
2 2
2 2 2
2
n

1

Mà lim 0  lim    0 nên lim un  0 .
2

2.3.3.3. Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử dụng tính
đơn điệu và bị chặn.
u1  2

Ví dụ 1: Cho dãy số  un  xác định bởi 

un 1  2  un , n  1

. Tính lim un .

Giải:
Trước hết ta sẽ chứng minh dãy số  un  tăng và bị chặn trên.
Chứng minh dãy  un  tăng bằng quy nạp, tức là un 1  un , n  1 (1).
- Khi n  1 ta có u2  2  u1  2  2  2  u1 nên mệnh đề (1) đúng với n  1 .
- Giả sử (1) đúng đến n  k , tức là ta có uk 1  uk .
- Ta chứng minh (1) cũng đúng đến n  k  1 , tức là chứng minh uk  2  uk 1 .
Thật vậy, uk  2  2  uk 1  2  uk  uk 1 .
Vậy un 1  un , n  1 .
Nên  un  bị chặn dưới bởi 2 . Ta sẽ chứng minh un  2, n (2) bằng quy nạp.
- Khi n  1 ta có u1  2  2  mệnh đề (2) đúng với n  1 .
- Giả sử (2) đúng đến n  k , tức là ta có uk  2 .
- Ta chứng minh (2) cũng đúng đến n  k  1 , tức là chứng minh uk 1  2 .
Thật vậy, uk 1  2  uk  2  2  2 .
Vậy dãy số  un  bị chặn trên bởi 2. Do đó dãy số  un  có giới hạn hữu hạn, giả sử
lim un  a , thì a  2 .
Từ hệ thức truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có lim un 1  lim 2  un

16


 a  1
a  2
Vì a  2 nên a  2 . Vậy lim un  2 .
2
Hay a  2  a  a  a  2  

Nhận xét: Với ví dụ này, ta có thể tìm được CTTQ của dãy  un  là
un  2 cos


, n  1 , tuy nhiên việc xác định CTTQ của  un  không phải là đơn giản
2n 1

và mất nhiều thời gian. Với kĩ thuật tính giới hạn như bài giải trên, bài tốn được
giải quyết gọn nhẹ.
u1  u2  1
. Tính lim un .
un 1  un  un 1 , n  2

Ví dụ 2: Cho dãy số  un  xác định bởi 

Giải:
Nhận xét: Ta thấy u1  u2  1 , u3  1  1  2  u2 ; u4  u3  u2  2  1  u3 . Dự đoán dãy
số  un  là dãy dương và tăng.
Rõ ràng un  0, n  1 . Ta chứng minh un 1  un , n  2
(*)
- Khi n  2 ta có u3  2  u2  1 .

- Giả sử (*) đúng đến n  k  k  2  , tức là ta có uk 1  uk .
- Ta chứng minh (*) cũng đúng đến n  k  1 , tức là chứng minh uk  2  uk 1 .
Thật vậy, uk  2  uk 1  uk  uk  uk 1  uk 1 , k  2
Vậy dãy  un  là dãy số dương tăng  un  u1  1, n  1
Hơn nữa, ta thấy n  3, un  un 1  un  2  un  un  2 un
Hay un 2  4un  un  4 (do un  0 ). Nên  un  bị chặn trên bởi 4.
Do đó dãy số  un  có giới hạn hữu hạn. Giả sử lim un  a , khi đó a  1
Từ hệ thức truy hồi suy ra lim un 1  lim un  lim un1
Hay a  a  a  a 2  4a . Do a  1 nên a  4
Vậy lim un  4 .
u1  2010

Ví dụ 3: Cho dãy số  un  xác định bởi 

2
un  2un .un 1  2011  0 , n  1

Chứng minh rằng dãy  un  có giới hạn và tính giới hạn đó.
Giải:
Ta chứng minh un  0, n (*) bằng phương pháp quy nạp.
- Khi n  1 ta có u1  2010  0 .
- Giả sử (*) đúng đến n  k  k  1 , tức là ta có uk  0 .
- Ta chứng minh (*) cũng đúng đến n  k  1 , tức là chứng minh uk 1  0 .

17


2
2
Thật vậy, uk  2uk .uk 1  2011  0  2uk .uk 1  uk  2011  0  uk 1 

uk 2  2011
 0.
2uk

Vậy un  0, n .
Do đó ta có un 1 
un 1 

un 2  2011 1
2011
 (un 
) . Theo bất đẳng thức Cosi, ta có
2un
2
un

un 2  2011
2011
 un .
 2011, n  1 .
2un
un

un 1 un 2  2011 1 2011 1 1

 
  1
Mặt khác ta có
un

2un 2
2 2un 2 2 2
2011 2011 1
(vì un  2011, n  1  2u 2  2.2011  2 )
n

Nên  un  là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 2011 , do đó dãy  un  có giới hạn hữu
hạn. Giả sử lim un  a , khi đó 0  a  2010
Và ta có un 1 

un 2  2011
u 2  2011
a 2  2011
 lim un 1  lim n
a
2un
2un
2a

 a 2  2011  a  2011 . Vậy lim un  2011 .

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Trong q trình giảng dạy, tơi đã đưa một phần nội dung đề tài (xác định
công thức tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi thuộc dạng 1, dạng 2) vào
giảng dạy ở các lớp 11C, 11E trong 2 tiết tự chọn của chương Dãy số. Sau khi thực
hiện giảng dạy đại trà cho hai lớp tôi tiến hành cho làm bài kiểm tra 15 phút với nội
dung như sau:
u1  2
.”

un  5un 1  3, n  2

“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi 
Kết quả thu được như sau:

Lớp
Giải được
Có đường lối giải
Khơng giải được
11C
65%
19%
16%
11E
60%
20%
20%
Các phần khó hơn trong nội dung đề tài tôi dùng để giảng dạy cho các em
học sinh học khá, giỏi mơn tốn và u thích mơn tốn. Sau khi nắm bắt được
phương pháp làm bài, các em vận dụng khá thành thạo và giải quyết tốt nội dung
của các bài tốn tìm cơng thức tổng qt và tính giới hạn của dãy số.
3. Kết luận và kiến nghị
3.1. Kết luận.

18


Trải qua thực tiễn giảng dạy, nội dung các bài giảng liên quan đến đề tài và
có sự tham gia góp ý của đồng nghiệp, vận dụng đề tài vào giảng dạy đã thu được
một số kết quả tích cực như sau:

- Học sinh trung bình trở lên nắm vững được một số phương pháp và biết vận
dụng ở các bài tốn cơ bản xác định được cơng thức tổng quát của dãy số
- Một số đề thi học sinh giỏi, học sinh lớp chọn có thể sử dụng phương pháp
trình bày trong đề tài để giải bài tốn.
- Là một phương pháp tham khảo cho học sinh và các thầy cô giáo.
- Qua nội dung đề tài, đồng nghiệp có thể xây dựng thêm các bài tốn về dãy
số theo các dạng đã có.
- Khi sử dụng đề tài giảng dạy đã tạo được hứng thú học tập cho các em học
sinh.
3.2. Kiến nghị.
Tôi rất mong được Ban chuyên mơn nhà trường góp ý, bổ sung để đề tài này
hồn thiện hơn, và có thể triển khai áp dụng để dạy bồi dưỡng học sinh giỏi trong
những năm tiếp theo.
Trong q trình biên soạn đề tài tơi đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên cũng
không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý chân thành của
các thầy cô giáo đồng nghiệp và Hội đồng chuyên mơn nhà trường để đề tài của tơi
được hồn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ
TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2022
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, khơng sao chép nội dung của người
khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Lê Thị Thùy

19

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Đại số và Giải tích 11 Cơ
bản, NXB Giáo dục, năm 2014.
[2] Vũ Tuấn (Chủ biên), Bài tập Đại số và Giải tích 11 Cơ bản, NXB Giáo dục,
năm 2011.
[3] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Đại số và Giải
tích 11 Nâng cao, NXB Giáo dục, năm 2020.
[4] Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXB
Giáo dục, năm 2016.
[5] Nguyễn Văn Mậu, Một số bài toán chọn lọc về dãy số, NXB Giáo dục, năm
2003
[6] Lê Hồnh Phị, Bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số và Giải tích 11, NXB ĐHQG Hà
Nội, năm 2019
[7] Lê Hồnh Phị, 500 bài tốn chọn lọc Đại số và Giải tích 11, NXB ĐHQG Hà
Nội, năm 2013
[8] Nhóm Cự mơn, Bài giảng trọng tâm chương trình chuẩn tốn 11, NXB ĐHQG
Hà Nội, năm 2019
[9] Các diễn đàn toán học như: maths.vn; diendantoanhoc.net; mathscop.org;
toancapba.net; …

20