Giải các hệ thức truy hồi

V
V
a
a
n
n
H
H
o
o
a
a




C
C
h
h
u
u
y
y
ê
ê
n
n









d
d
ã
ã
y
y


s
s




-
-


G
G
i
i


i

i


c
c
á
á
c
c


h
h




t
t
h
h


c
c


t
t
r

r
u
u
y
y


h
h


i
i



v
v
a
a
n
n
h
h
o
o
a
a
@
@

l
l
q
q
d
d
q
q
t
t
.
.
c
c
o
o
m
m


T
T
r
r
a
a
n
n
g
g

1
1


1
1
0
0
/
/
1
1
/
/
2
2
0
0
0
0
8
8


Copyright 2008 vanhoa
Knowledge is power

Chuyên 

I. S lc v dãy s và quan h truy hi trong toán hc
Trong toán hc, dãy s là mt danh sách (hu hn hoc vô hn) lit kê các s theo mt th t nào ó.
Quan h truy hi là mt ng thc biu din dãy s mt cách  quy, mi phn t ca dãy c xác
nh bi mt hàm s ca các phn t trc.
Mt s quan h truy hi c xác nh mt cách n gin có th có nhng c tính ht sc phc tp,
thnh thong c nghiên cu bi các nhà vt lý hc và thnh thong li c nghiên cu bi các nhà
toán hc v mt lp ca toán hc c bit n vi cái tên gii tích phi tuyn. Phn này khá phc tp
và không ng dng nhiu  chng trình THPT nên s không c  cp  chuyên  này.
Mt cách t ng quát, h thc

(
)
(
)
( 1), ( 2), , ( 1)
f n k g f n k f n k f n
+ = + − + − +
(B.1)
là mt h thc truy hi bc k. Công thc trên còn có th c viêt di dng:

(
)
1 2 1
, , ,
n k n k n k n
f g f f f
+ + − + − +
=

Gii mt h thc truy hi có ngh!a là tìm mt hàm s không  quy theo bin n n gin nht.

II. Gii h thc truy hi
" chuyên  này chúng ta s ch xét 4 phng pháp c bn:
• Phng pháp th
• Phng pháp quy np
• Phng pháp s dng nghim c trng
• Phng pháp s dng hàm sinh
1. Phng pháp th
Trong phng pháp th  gii các h thc truy hi cho
( )
f n
, s truy hi ca
( )
f n
c s dng lp
i lp li nhiu ln  loi b# mi giá tr ca
()
f
 v phi. $ hiu rõ hn phng pháp này, ta hãy xét
mt s ví d.
Ví d II.1.1 Xét dãy s
(
)
n
t
xác nh nh sau:

1
*

2 1
| 0
|
n
n
c n
t
c t n
−
=

=

+ ∈


(II.1.1)
Nu
2
n
>
thì
1 2 2
n n
t c t
− −
= + , nu
3
n
>

thì
2 2 3
n n
t c t
− −
= + ,… Nhng ng thc này là h qu trc tip
ca (II.1.1) và c dùng  xác nh biu thc không truy hi cho
n
t
:

2 1
2 2 2
2 2 2 3
2 0
2 1

,
n n
n
n
t c t
c c t
c c c t
nc t
nc c n
−
−
−
= +

= + +
= + + +
=
= +
= + ∈


Nên chúng ta có th th%y r&ng
2 1
,
n
t nc c n
= + ∈


V
V
a
a
n
n
H
H
o
o
a
a

C
C
h
h
u
u
y
y
ê
ê
n
n








d
d
ã
ã
y
y


s

s




-
-


G
G
i
i


i
i


c
c
á
á
c
c


h
h





t
t
h
h


c
c


t
t
r
r
u
u
y
y


h
h


i
i

v
v
a
a
n
n
h
h
o
o
a
a
@
@
l
l
q
q
d
d
q
q
t
t
.
.
c
c

o
o
m
m


T
T
r
r
a
a
n
n
g
g


2
2


1
1
0
0
/
/
1
1

/
/
2
2
0
0
0
0
8
8


Ví d II.1.2 Xét h thc truy hi:

( )
*
| 1
| , 2
c n
t n
n
at nc n n
b
=


=

 
+ ∈ ≥

 

 


(II.1.2)
vi n là l'y th(a ca b.
Gi s r&ng ,
k
n b k
= ∈

. Gii (II.1.2) b&ng phng pháp th cho ta:

( )
2
2
2
2
3 2
2
3
3
2
3
4 4
4
4
1
1

1
n
t n at nc
b
n n
a at c nc
b b
n a
a t nc nc
b b
n n a
a at c nc
b b b
n a a
a t nc nc
b b b
n n a a
a at c nc
b b b b
n
a t
b
 
= +
 
 
 
 
= + +
 

 
 
 
 
= + +
 
 
 
   
= + + +
   
 
   
 
     
= + + +
     
     
 
 
   
= + + + +
 
   
 
 
   
 
 
 

=


( )
3 2
1
0
1
0
1
0
1
0
1

1
i
k
k
k
i
i
k
k
i
i
k
k
i
k i

k
i
i
a a a
nc
b b b
n a
a t nc
b b
a
a t nc
b
a
a c nc
b
a a
nc nc
b b
a
nc
b
−
=
−
=
−
=
−
=
 

   
+ + + +
 
    
 
    
 
=
 
   
= +
 
   
 
   
 
 
 
= +
 
 
 
 
 
 
 
= +
 
 
 

 
 
 
   
= +
 
   
 
   
 
 
 
=

 

 





0
k
i=





Khi
a b
=
,
0
1
i
k
i
a
k
b
=
 
 
= +
 
 
 
 
 

, khi
a b
≠
,
1
0
1
1

k
i
k
i
a
a
b
a
b
b
+
=
 
−
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
−

.
V
V
a

a
n
n
H
H
o
o
a
a




C
C
h
h
u
u
y
y
ê
ê
n
n









d
d
ã
ã
y
y


s
s




-
-


G
G
i
i


i
i

c
c
á
á
c
c


h
h




t
t
h
h


c
c


t
t
r
r
u

u
y
y


h
h


i
i



v
v
a
a
n
n
h
h
o
o
a
a
@
@
l
l

q
q
d
d
q
q
t
t
.
.
c
c
o
o
m
m


T
T
r
r
a
a
n
n
g
g

3
3


1
1
0
0
/
/
1
1
/
/
2
2
0
0
0
0
8
8


Vy, ta c:
( )
(
)
1
1 |

1
, log
|
1
k
b
nc k a b
a
t n k n
b
nc a b
a
b
+
+ =

 

 

−
 
 
= =

 
 
≠

 


−
 

 


Xét h thc
( ) ( )
*
|
n
t n at g n n
b
 
= + ∈
 
 

(I.1.3)
vi a và b là nhng h&ng s ã bit. Gi s r&ng
(
)
1
t
ã c bit. Rõ ràng, (I.1.3) tr thành (I.1.2)
khi
(
)
1

t c
=
và
(
)
g n nc
=
. Li s dng phng pháp th, ta có:

( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
2
1
0

1
k
k i
i
i
n
t n at g n
b
n n
a at g g n
b b

n n
a t ag g n
b b
n
a t a g
b
−
=
 
= +
 
 
 
   
= + +
   
 
   
 
   
= + +
   
   
=
 
 
= +
 
 
 

 


Vi
log
b
k n
= . $ng thc này có th c làm n gin hn nh sau:

( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
0
1
0
1
1
1
1
k
k i
i
i
k
k i k i

i
k
k j j
j
n
t n a t a g
b
a t a g n
a t a g b
−
=
−
−
=
−
=
 
 
= +
 
 
 
 
= +
 
= +
 
 





Do
log log
b b
n a
k
a a n= = , nên biu thc cho
(
)
t n
tr thành:

( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
log
1
log
log
1
log
1
1

1
1
b
b
b
b
k
a
j j
j
j
k
a
a
j
j
k
a
j
j
t n n t a g b
g b
n t
b
n t h b
−
=
=
=
 

= +
 
 
 
 
 
 
= +
 
 
 
 
 
= +
 
 




V
V
a
a
n
n
H
H
o
o

a
a




C
C
h
h
u
u
y
y
ê
ê
n
n








d
d
ã
ã

y
y


s
s




-
-


G
G
i
i


i
i


c
c
á
á
c
c

h
h




t
t
h
h


c
c


t
t
r
r
u
u
y
y


h
h



i
i



v
v
a
a
n
n
h
h
o
o
a
a
@
@
l
l
q
q
d
d
q
q
t

t
.
.
c
c
o
o
m
m


T
T
r
r
a
a
n
n
g
g


4
4


1
1
0

0
/
/
1
1
/
/
2
2
0
0
0
0
8
8


Vi
( )
(
)
( )
log
b
j
j
a
j
g b
h b

b
= . Vy cui cùng biu thc cho
(
)
t n
ca chúng la là
(
)
(
)
(
)
(
)
log
1
b
a
t n n t f n
= + vi
( )
( )
( )
1
k
j
j
f n h b
=
=


. Xét mt s tr)ng hp riêng ca (II.1.3):
•
1, 2, ( )
a b g n c
= = =
cho ta
( )
2
n
t n t c
 
= +
 
 
, lúc này
log 0
b
a
=
và
( )
(
)
log
b
a
g n
h n c
n

= =
. T( công
thc trên, ta c
(
)
(
)
(
)
(
)
log
2 2
1 log 1 log
b
a
t n n t c n t c n
= + = +
•
(
)
2
7, 2, 18
a b g n n
= = = cho ta
( )
2
7 18
2
n

t n t n
 
= +
 
 
, lúc này
2
log log 7
b
a = và
( )
2
2
2
2 log 7
log 7
18
18
n
h n n
n
−
= = , công thc cho
(
)
t n
là
( ) ( )
( )
2

2
2 log 7
log 7
1
1 18 2
k
j
j
t n n t
−
=
 
= +
 
 


( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )
2 2
2
2 2
2
2 log 7 1 2 log 7
2 log 7
log 7 log 7

2 log 7
1
2 2
1 18 2 1 18
2 1
k
k
j
j
n t n t
− + −
−
−
=
 
 
−
= + = +
 
 
 
−
 
 

.
•
(
)
6

9, 3, 4
a b g n n
= = = cho ta
( )
6
9 4
3
n
t n t n
 
= +
 
 
, lúc này
log 2
b
a
=
và
( )
6
4
2
4
4
n
h n n
n
= = , nên
( ) ( )

( )
( )
3
log 1
4
2 2
1
81 81
1 4 3 1
20
n
k
j
j
t n n t n t
+
=
 
 
−
= + = +
 
 
 
 


2. Phng pháp quy np
Quy np là mt phng pháp kim tra hn là mt phng pháp gii. Xét các ví d:
Ví d II.2.1 Xét h thc truy hi

*
1
2 | 0
3 |
n
n
n
t
t n
−
=

=

+ ∈



C s cho vic quy np là, khi
0, 2
n
n t
= =
và 3n + 2 = 2. Gi s r&ng 3 2,
m
t m m
= + ∈

, chúng ta s

chng minh
(
)
1
3 1 2
m
t m
+
= + +
, iu này hin nhiên úng theo h thc truy hi. 
Nh ã c  cp  trên, phng pháp quy np không th dùng  tìm ra l)i gii cho mi h thc
truy hi, nó ch có th dùng  kim tra tính úng *n mt h thc.
3. Phng pháp nghim c trng
H thc truy hi ca
(
)
f n
là mt phng trình truy hi tuyn tính nu và ch nu nó có dng:

( ) ( ) ( ) ( )
1
k
i
i
f n g n f n i g n
=
= − +


vi

(
)
| 1,
i
g n i k
= và
(
)
g n
là các hàm s bin n mà không phi là hàm s bin f. H thc truy hi xác
nh nh trên là phng trình truy hi tuyn tính bc k, vi k là h&ng s và
(
)
0
k
g n
≠
. Nu
(
)
0,
k
g n n
= ∀
thì bc ca phng trình truy hi tuyn tính ó nh# hn k. Mt phng trình truy hi
tuyn tính vi h s hng là phng trình có dng:

(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
1 2
1 2 ,
k
f n a f n a f n a f n k g n n k
= − + − + + − + ≥
(II.3.1)
Vi
| 1,
i
a i n
= là h&ng s,
(
)
g n
là hàm s bin n mà không phi là hàm s bin f. (II.3.1) là mt ca
phng trình truy hi tuyn tính thun nht nu và ch nu
(
)
0
g n
≡
. Phn ln các h trc truy hi
chuyên  này ã  cp n u là phng trình truy hi tuyn tính vi h s hng.

V
V
a
a
n
n
H
H
o
o
a
a




C
C
h
h
u
u
y
y
ê
ê
n
n







d
d
ã
ã
y
y


s
s




-
-


G
G
i
i



i
i


c
c
á
á
c
c


h
h




t
t
h
h


c
c


t
t

r
r
u
u
y
y


h
h


i
i



v
v
a
a
n
n
h
h
o
o
a
a
@

@
l
l
q
q
d
d
q
q
t
t
.
.
c
c
o
o
m
m


T
T
r
r
a
a
n
n
g

g


5
5


1
1
0
0
/
/
1
1
/
/
2
2
0
0
0
0
8
8


H thc (II.1.2):

( )

*
| 1
| , 2
c n
t n
n
at nc n n
b
=


=

 
+ ∈ ≥
 

 



vi n là l'y th(a ca b không phi là mt phng trình truy hi tuyn tính bc k vi h&ng s k nào bi
vì s xu%t hin ca
n
t
b
 
 
 
 v phi. Tuy nhiên, vì n là l'y th(a ca b nên (II.1.2) có th vit li:

( )
( )
1 *
| 1
|
k
k k
c n
t b
at b cb k
−
=


=

+ ∈





Dùng
( )
h k
 biu din
(
)
k

t b
, h thc trên tr thành:

( )
( )
*
| 1
1 2 |
k
c n
h k
ah k c k
=


=

− + ∈




D th%y h thc trên là mt phng trình truy hi tuyn tính không thun nht bc 1 vi h s hng. Do
(
)
(
)
( )
k
h k t b t n

= = , vic gii h thc tuyn tính tng ng vi vic gii h thc trên.
H thc

(
)
(
)
(
)
*
1 2 | , 2
t n t n t n n n
= − + − ∈ ≥


Xác nh các s Fibonacci khi s dng iu kin
(
)
(
)
0 0, 1 1
t t
= =
. $ây là mt phng trình truy hi tuyn
tính thun nht bc 2 vi h s hng.
Nhng h thc trên có th c gii b&ng cách trc tiên xác nh mt nghim chung cho
(
)
t n
.

Nghim chung này cha mt s h s cha xác nh và vi các giá tr ca
(
)
(
)
(
)
0 , 1 , , 1
t t t k
−
, chúng
ta có th xác nh c các h s cha xác nh ó.
L%y ví d h thc
(
)
(
)
(
)
*
5 1 6 2 | , 2
t n t n t n n n
= − − − ∈ ≥

, nghim chung ca nó là
(
)
1 2
2 3
n n

t n c c
= +
(chúng ta s tìm hiu cách tìm nghim chung này sau), các d s cha xác nh là
1
c
và
2
c
. Nu
(
)
0 0
t
=
và
(
)
1 1
t
=
, chúng ta có th th vào
(
)
1 2
2 3
n n
t n c c
= +  xác nh
1
c

và
2
c
. Vic này cho ta

(
)
1 2
0 0
f c c
= + =
và
(
)
1 2
1 2 3 1
f c c
= + =

Do ó
1 2
1, 1
c c
= = −
. Vì vy,
(
)
2 3 , 0
n n
t n n

= − ≥
là nghim ca h thc
(
)
(
)
(
)
5 1 6 2
t n t n t n
= − − −
.
Nghim chung ca (II.3.1) có th biu din di dng t ng ca
(
)
h
f n
và
(
)
p
f n
, vi
(
)
h
f n
là nghim
chung cho phn thun nh%t ca (II.3.1):

(
)
(
)
(
)
(
)
1 2
1 2 ,
h h h k h
f n a f n a f n a f n k n k
= − + − + + − ≥

và
(
)
p
f n
là nghim riêng ca

(
)
(
)
(
)
(
)
(

)
1 2
1 2 ,
p p p k p
f n a f n a f n a f n k g n n k
= − + − + + − + ≥




Nhn th%y r&ng
(
)
(
)
h p
f n f n
+ là mt nghim ca (II.3.1). Do phng pháp ta s dùng  xác nh
(
)
p
f n
s cho chúng ta mt biu thc
(
)
p
f n
có th không phi là nghim ca phng trình
(
)

f n
. Nên
vic tìm
(
)
h
f n
 cng vào
(
)
p
f n
là iu cn thit.
V
V
a
a
n
n
H
H
o
o
a
a




C

C
h
h
u
u
y
y
ê
ê
n
n








d
d
ã
ã
y
y


s
s





-
-


G
G
i
i


i
i


c
c
á
á
c
c


h
h



t
t
h
h


c
c


t
t
r
r
u
u
y
y


h
h


i
i

v
v
a
a
n
n
h
h
o
o
a
a
@
@
l
l
q
q
d
d
q
q
t
t
.
.
c
c
o
o

m
m


T
T
r
r
a
a
n
n
g
g


6
6


1
1
0
0
/
/
1
1
/
/

2
2
0
0
0
0
8
8


Tìm
(
)
h
f n

$ xác nh
(
)
h
f n
chúng ta cn phi gii h thc tuyn tính dng:

(
)
(
)
(
)
(

)
1 2
1 2
h h h k h
f n a f n a f n a f n k
= − + − + + −

Hay

(
)
(
)
(
)
(
)
1 2
1 2 0
h h h k h
f n a f n a f n a f n k
− − − − − − − =
(II.3.1.1)
Nhn th%y r&ng (II.3.1.1) có mt nghim dng
(
)
n
h
f n Ax
= . Th vào (II.3.1.1), ta c:

(
)
1 2
1 2
0
n n n n k
k
A x a x a x a x
− − −
− − − − =

Ta có th gi s
0
A
≠
, khi ó ta c

1
0
k
n k k k i
i
i
x x a x
− −
=
 
− =
 

 


Phng trình trên có n nghim (trong ó có n – k nghim là 0). K nghim còn li ca nó là nghim ca
phng trình

1 2
1 2
0
k k k
k
x a x a x a
− −
− − − − =
(II.3.1.2)
Phng trình (II.3.1.2) gi là phng trình c trng ca (II.3.1.1) . Trong

phong trình trên có úng
k nghim. Ta ch xét tr)ng hp nó có úng k nghim trong

.
Nghim ca phng trình c trng

2
5 6 0
x x
− + =

là 2 và 3. Phng trình c trng

3 2
8 21 18 0
x x x
− + − =
(II.3.1.3)
có các nghim là
1 2 3
2, 3, 3
r r r
= = =
, vi 3 là nghim bi 2. Các nghim phân bit ca nó là 2 và 3.
inh lý 1. Gi s các nghim phân bit ca phng trình c trng

1 2
1 2
0
k k k
k
x a x a x a
− −
− − − − =

ca h thc tuyn tính thun nht

(
)
(
)
(
)

(
)
1 2
1 2
h h h k h
f n a f n a f n a f n k
= − + − + + −

là
1 2
, , ,
s
t t t
vi
s k
≤
. Tn ti mt nghim chung ca
(
)
h
f n
có dng:

(
)
(
)
(
)
(

)
1 2

h s
f n u n u n u n
= + + +
vi

( )
(
)
0 1 2 w-1
2 1

w n
i i i i i i
u n c c n c n c n t
−
= + + + +
 ây, t
i
là nghim bi w.
Phng trình c trng ca phng trình truy hi

(
)
(
)
(
)

*
5 1 6 2 | , 2
t n t n t n n n
= − − − ∈ ≥


Là
2
5 6 0
x x
− + =

Nghim ca phng trình c trng này là 2 và 3. nh lý 1 cho ta
(
)
(
)
(
)
1 2
t n u n u n
= + vi
(
)
1 1
2
n
u n c
= ,
(

)
2 2
3
n
u n c
= , Do ó,
(
)
1 2
2 3
n n
t n c c
= + .
(II.3.1.3) là phng trình c trng ca h thc truy hi thun nht sau:

(
)
(
)
(
)
(
)
8 1 21 2 18 3
f n f n f n f n
= − − − + −

Phng trình ó có 2 nghim phân bit là
1
2

r
=
và
2
3
r
=
, vi
2
r
là nghim bi 2. Nên,
(
)
1 1
2
n
u n c
= ,
và
(
)
(
)
2 2 3
3
n
u n c c n
= + . Nghim chung ca h thc truy hi trên là

(

)
(
)
1 2 2
2 3
n n
f n c c c n
= + + 
V
V
a
a
n
n
H
H
o
o
a
a




C
C
h
h
u
u

y
y
ê
ê
n
n








d
d
ã
ã
y
y


s
s




-
-

G
G
i
i


i
i


c
c
á
á
c
c


h
h




t
t
h
h



c
c


t
t
r
r
u
u
y
y


h
h


i
i



v
v
a
a
n

n
h
h
o
o
a
a
@
@
l
l
q
q
d
d
q
q
t
t
.
.
c
c
o
o
m
m


T

T
r
r
a
a
n
n
g
g


7
7


1
1
0
0
/
/
1
1
/
/
2
2
0
0
0

0
8
8


Dãy truy hi cho các s Fibonacci là thun nht và có phng trình c trng
2
1 0
x x
− − =
. Các nghim ca
nó là
1
1 5
2
r
−
= và
2
1 5
2
r
+
= . Do các nghim này phân bit, nên
( )
1 1
1 5
2
n
u n c

 
−
=
 
 
 
và
( )
2 2
1 5
2
n
u n c
 
+
=
 
 
 
. Vì vy

( )
1 2
1 5 1 5
2 2
n n
F n c c
   
− +
= +

   
   
   

Là nghim chung ca dãy Fibonacci. S dng iu kin
(
)
0 0
F
=
và
(
)
1 1
F
=
, ta c
1 2
0
c c
+ =
và
1 2
1 5 1 5
1
2 2
c c
   
− +
+ =

   
   
   
. Gii cho
1 2
,
c c
ta c
1 2
1 1
,
5 5
c c= − = . Nên các s Fibonacci thõa mãn
ng thc

( )
1 1 5 1 1 5
2 2
5 5
n n
F n
   
− +
= − +
   
   
   

$nh lý 1 cho chúng ta mt phng pháp n gin xác nh nghim chung ca b%t k+ h thc truy hi
tuyn tính tun nht bc k vi h s hng. Chúng ta ch cn xác nh các nghim ca phng trình c

trng ca nó,
Tìm
(
)
p
f n

Hin cha có phng pháp chung  xác nh nghim riêng
(
)
p
f n
. Biu thc ca
(
)
p
f n
ph thuc r%t
nhiu vào
(
)
g n
. Chúng ta ch xét 2 tr)ng hp:
•
(
)
g n
là mt a thc bin n
•
(

)
g n
là hàm s m' theo bin n
Tìm
(
)
p
f n
khi
(
)
g n
là a thc theo bin n
Khi
(
)
0
g n
=
, nghim riêng
(
)
0
p
f n
=
.
Khi
( )
1

, 0
d
i
i d
i
g n e n e
=
= ≠

, nghim riêng
(
)
p
f n
có dng

(
)
2
0 1 2

d m
p d m
f n p p n p n p n
+
+
= + + + + (III.3.2.1.1)
Vi
0
m

=
nu 1 không là nghim ca phng trình c trng, và nu 1 là nghim ca phng trình c
trng thì m = k vi 1 là nghim bi k ca phng trình c trng.
$ xác nh
0 2
, , ,
d m
p p p
+
, ta th
(
)
p
f n
vào h thc truy hi ri áp dng tính ch%t ca ng nh%t thc.
Xét ví d
(
)
(
)
(
)
3 1 6 2 3 2
u n u n u n n
= − + − + +
(III.3.2.1.2)
Có
(
)
3 2

g n n
= +
, phng trình c trng ca nó là
2
3 6 0
x x
− − =
. Phng trình này không có nghim
1
x
=
nên
0
m
=
, nghim riêng ca (III.3.2.1.2) có dng
(
)
0 1
p
f n p p n
= + . Th vào (III.3.2.1.2), ta
c:

(
)
(
)
(
)

(
)
( ) ( )
0 1 0 1 0 1
0 1 1 0 1 1
0 1 1
3 1 6 2 3 2
3 3 3 6 6 12 3 2
9 15 2 9 3 , , 2
p p n p p n p p n n
p np p p np p n
p p p n n n
+ = + − + + − + +
= + − + + − + +
= − + + + ∀ ∈ ≥


V
V
a
a
n
n
H
H
o
o
a
a

C
C
h
h
u
u
y
y
ê
ê
n
n








d
d
ã
ã
y
y

s
s




-
-


G
G
i
i


i
i


c
c
á
á
c
c


h

h




t
t
h
h


c
c


t
t
r
r
u
u
y
y


h
h


i

i



v
v
a
a
n
n
h
h
o
o
a
a
@
@
l
l
q
q
d
d
q
q
t
t
.
.

c
c
o
o
m
m


T
T
r
r
a
a
n
n
g
g


8
8


1
1
0
0
/
/

1
1
/
/
2
2
0
0
0
0
8
8


So sánh 2 v ca ng thc trên, ta c

0
0 0 1
1 1
1
61
9 15 2
64
3
9 3
8
p
p p p
p p
p


= −

= − +


⇔
 
= +


= −



Do ó mt nghim riêng ca (III.3.2.1.2) là
( )
61 3
64 8
p
f n n
= − − 
Xét dãy s

(
)
(
)
(
)

2 1 2 6
f n f n f n
= − − − −
(III.3.2.1.3)
Phng trình c trng tng ng ca nó là
2
2 1 0
x x
− + =
, nghim ca nó là
1 2
1
r r
= =
. Nên,
(
)
p
f n

có dng:

(
)
2
0 1 2p
f n p p n p n
= + +
Th vào (III.3.2.1.3), ta c:

( ) ( )
(
)
( ) ( )
(
)
( )
2 2
2
0 1 2 0 1 2 0 1 2
2
0 2 1 2
2 1 1 2 2 6
2 6 , , 2
p p n p n p p n p n p p n p n
p p p n p n n n
+ + = + − + − − + − + − −
= − − + + ∀ ∈ ≥


So sánh 2 v, ta c
0 0 2 2
2 6 3
p p p p
= − −  = −
, nên
(
)
2
0 1

3
p
f n p p n n
= + − , mt khác
(
)
(
)
0 1
1
n
h
f n c c n
= + , vy
(
)
2 2
0 1 0 1 2 3
3 3
f n p p n n c c n c c n n
= + − + + = + − vi
2 3
,
c c
là các h&ng s, có
th xác nh t( các giá tr ca
(
)
0
f và

(
)
1
f
. 
Tìm
(
)
p
f n
khi
(
)
g n
là hàm s m theo bin n
Khi
(
)
n
g n ca
= vi c và a là h&ng s, thì nghim riêng
(
)
p
f n
có dng

(
)
(

)
2
0 1 2

w n
p w
f n p p n p n p n a
= + + + +
Vi
0
w
=
nu a là nghim ca phng trình c trng, và b&ng k vi a là nghim bi k ca phng
trình c trng.
Xét h thc truy hi

(
)
(
)
(
)
3 1 2 4 6 2
n
f n f n f n
= − + − − ⋅
(III.3.2.1.4)
H thc truy hi thun nh%t tng ng là:

(

)
(
)
(
)
3 1 2 4
h h h
f n f n f n
= − + −

Phng trình c trng ca nó là:

4 3
3 2 0
x x
− − =

D dàng kim tra x = 2 không phi là nghim ca nó, vì vy nghim riêng ca (III.3.2.1.4) có dng:

(
)
0
2
n
p
f n p
=
Th vào (III.3.2.1.4) ta c:

1 4

0 0 0
4 3 4
0 0 0
0 0 0
0
2 3 2 2 2 6 2 , , 4
2 3 2 2 6 2 , , 4
16 24 2 96, , 4
48
5
n n n n
p p p n n
p p p n n
p p p n n
p
− −
= + − ⋅ ∀ ∈ ≥
⇔ = + − ⋅ ∀ ∈ ≥
⇔ = + − ∀ ∈ ≥
⇔ =




Nên mt nghim riêng ca (III.3.2.1.4) là
( )
48 2
5
n
p

f n
⋅
= . 
V
V
a
a
n
n
H
H
o
o
a
a




C
C
h
h
u
u
y
y
ê
ê
n

n








d
d
ã
ã
y
y


s
s




-
-


G
G
i

i


i
i


c
c
á
á
c
c


h
h




t
t
h
h


c
c

t
t
r
r
u
u
y
y


h
h


i
i



v
v
a
a
n
n
h
h
o
o

a
a
@
@
l
l
q
q
d
d
q
q
t
t
.
.
c
c
o
o
m
m


T
T
r
r
a
a

n
n
g
g


9
9


1
1
0
0
/
/
1
1
/
/
2
2
0
0
0
0
8
8

Xét h thc truy hi

(
)
(
)
(
)
5 1 6 2 4 3
n
f n f n f n
= − − − + ⋅
(III.3.2.1.5)
Phng trình c trng ca h thc truy hi thun nh%t tng ng là
2
5 6 0
x x
− + =
, có nghim
1 2
2, 3
r r
= =
. Do 3 là nghim bi 1 (nghim n) ca phng trình c trng nên nghim riêng ca nó
có dng:

(
)
(
)

0 1
3
n
p
f n p p n
= +
Th vào (III.3.2.1.5) ta c:

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2
0 1 0 1 0 1
3 5 1 3 6 2 3 4 3 , , 2
n n n n
p p n p p n p p n n n
− −
+ = + − − + − + ⋅ ∀ ∈ ≥


Chia 2 v cho
2
3

n
−
, ta c:

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
2 2
0 1 0 1 0 1
0 1 1
3 5 1 3 6 2 4 3
9 3 36 9 , , 2
p p n p p n p p n
p p p n n n
+ = + − − + − + ⋅
= − + + ∀ ∈ ≥

So sánh 2 v, ta th%y
0 0 1 1
9 9 3 36 12
p p p p
= − + ⇔ =

. Mt nghim riêng ca (III.3.2.1.5) là:

(
)
(
)
0
12 3
n
p
f n p n
= +
Mt khác, nghim chung ca phn thun nh%t ca nó là:

(
)
1 2
2 3
n n
h
f n c c
= +
Vy nên nghim chung ca nó là:

(
)
(
)
(
)

( )
1 2 0
1 3
2 3 12 3
2 3 12 3
h p
n n n
n n n
f n f n f n
c c p n
c c n
= +
= + + + ⋅ ⋅
= + + ⋅ ⋅

Cho 2 giá tr u,
(
)
0
f và
(
)
1
f
, ta s tính c giá tr ca
1
c
và
3
c

. 
Tìm kt quá cui cùng
Chúng ta ã bit
(
)
(
)
(
)
h p
f n f n f n
= + là nghim chung ca h thc truy hi:

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2
1 2 ,
k
f n a f n a f n a f n k g n n k
= − + − + + − + ≥
(II.3.3.1)
S dng các giá tr ban u

(
)
(
)
(
)
(
)
0 , 1 , 2 , , 1
f f f f k
−
, chúng ta có th tìm c k h&ng s cha xác
nh trong
(
)
(
)
h p
f n f n
+  nhn c kt qu duy nh%t vi mi b giá tr ban u cho h thc trên.
Tóm tt
Phng pháp nghim c trng dùng  gii h thc (II.3.3.1) bao gm các bc sau:
1. Vit phng trình c trng:

1
0
k
k k i
i
i

x a x
−
=
− =


2. Xác nh các nghim phân bit
1 1
, , ,
s
t t t
ca phng trình c trng, vi
i
t
là nghim
bi
, 1,
i
m i n
= .
3. Xác nh nghim chung
(
)
h
f n
ca h thc thun nh%t tng ng.
(
)
(
)

(
)
(
)
1 2

h s
f n u n u n u n
= + + + vi
( )
(
)
0 1 2 w-1
2 1

w n
i i i i i i
u n c c n c n c n t
−
= + + + + ,
i
w m
=
.
4. Xác nh nghim riêng
(
)
p
f n
.

• Nu
(
)
0
g n
=
, thì
(
)
0
p
f n
=
.
V
V
a
a
n
n
H
H
o
o
a
a

C
C
h
h
u
u
y
y
ê
ê
n
n








d
d
ã
ã
y
y


s
s





-
-


G
G
i
i


i
i


c
c
á
á
c
c


h
h



t
t
h
h


c
c


t
t
r
r
u
u
y
y


h
h


i
i

v
v
a
a
n
n
h
h
o
o
a
a
@
@
l
l
q
q
d
d
q
q
t
t
.
.
c
c
o

o
m
m


T
T
r
r
a
a
n
n
g
g


1
1
0
0


1
1
0
0
/
/
1

1
/
/
2
2
0
0
0
0
8
8


• Khi
( )
1
, 0
d
i
i d
i
g n e n e
=
= ≠

, nghim riêng
(
)
p
f n

có dng

(
)
2
0 1 2

d m
p d m
f n p p n p n p n
+
+
= + + + + (III.3.2.1.1)
Vi
0
m
=
nu 1 không là nghim ca phng trình c trng, và nu 1 là nghim ca
phng trình c trng thì m = k vi 1 là nghim bi k ca phng trình c trng.
• Khi
(
)
n
g n ca
= vi c và a là h&ng s, thì nghim riêng
(
)
p
f n
có dng

(
)
(
)
2
0 1 2

w n
p w
f n p p n p n p n a
= + + + +
Vi
0
w
=
nu a là nghim ca phng trình c trng, và b&ng k vi a là nghim bi k ca
phng trình c trng.
5. Nu
(
)
0
g n
≠
, s dng
(
)
p
f n
 trên  loi b# t%t c các

(
)
f n i
−
trong (II.3.3.1) b&ng cách
thay th
(
)
p
f n i
−
cho
(
)
f n i
−
. Sau ó s dng tính ch%t ca ng nh%t nhc  xác nh càng
nhiu càng tt các h s cha bit.
6. Ghi ra kt qu,
(
)
(
)
(
)
h p
f n f n f n
= + . Gii h s dng các giá tr ban u
(
)

(
)
(
)
(
)
0 , 1 , 2 , , 1
f f f f k
−
 tìm t%t c các h s cha bit còn li.
nh lý 2. Sáu bc trên luôn tìm c nghim duy nht cho h thc (II.3.3.1) vi các giá tr khi u
cho trc.
Ví d II.3.5.1. Phng trình c trng ca h thc truy hi tuyn tính thun nht bc 2:

1 2
6 4 | , 2
n n n
u u u n n
− −
= − ∈ ≥


Là
2
6 4 0
x x
− + =

Có 2 nghim phân bit
1 2

3 5, 3 5
x x= − = +
Nên
(
)
(
)
1 2
3 5 3 5 |
n n
n
u c c n
= − + + ∈


Gi s r&ng ta có
0
0
u
=
và
1
4 5
u = , vy thì ta có h:

(
)
(
)
( ) ( )

( ) ( )
0 0
0 1 2
1 2
1
1 1
1 2 2
1 1 2
3 5 3 5
0
2
4 5 3 5 3 5
2
3 5 3 5
u c c
c c
c
c c c
u c c

= − + +
= +

= −

 
⇔ ⇔
  
= − + +
=


 
= − + +



Vy biu thc ca
n
u
là
(
)
(
)
2 3 5 2 3 5 |
n n
n
u n
= − − + + ∈


Ví d II.3.5.2. Xét h thc

2
1 2
5
| 0
2
9
| 1

2
5 6 3 | , 2
n
n n
n
u n
u u n n n
− −

=



= =



− + ∈ ≥




Phng trình c trung cho phn thun nh%t là:

2
5 6 0
x x
− + =

Nghim ca nó là

1 2
2, 3
x x
= =

Vì vy nghim chung cho phn thun nh%t là

1 2
2 3 |
n n
n
h c c n
= + ∈


V
V
a
a
n
n
H
H
o
o
a
a

C
C
h
h
u
u
y
y
ê
ê
n
n








d
d
ã
ã
y
y


s

s




-
-


G
G
i
i


i
i


c
c
á
á
c
c


h
h





t
t
h
h


c
c


t
t
r
r
u
u
y
y


h
h


i
i

v
v
a
a
n
n
h
h
o
o
a
a
@
@
l
l
q
q
d
d
q
q
t
t
.
.
c
c

o
o
m
m


T
T
r
r
a
a
n
n
g
g


1
1
1
1


1
1
0
0
/
/

1
1
/
/
2
2
0
0
0
0
8
8


Do
(
)
2
3
g n n
= và 1 không phi là nghim ca phng trình c trng nên nghim riêng ca
n
u
có
dng:
2
0 1 2n
p a a n a n
= + +
Th vào h thc ban u:

( ) ( )
(
)
( ) ( )
(
)
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
0 1 2 0 1 2 0 1 2
2
0 1 2 1 2 2
5 1 1 6 2 2 3
7 19 14 3 , , 2
a a n a n a a n a n a a n a n n
a a a a a x a x n n
+ + = + − + − − + − + − +
= − + − + − + + − ∀ ∈ ≥


Nên ta có h

0 0 1 2
1 1 2 0 1 2
2 2
7 19
45 21 3
14 , ,
2 2 2

3
a a a a
a a a a a a
a a
= − + −


= − + ⇔ = = =


= −


Vy nghim chung ca
n
u
là

2
1 2
45 21 3
2 3 ,
2 2 2
n n
n n n
u h p c c n n n
= + = + + + + ∀ ∈


Do

0
u
và
1
u
ã c bit vi giá tr ln lt là
5
2
và
9
2
, ta c:

1 2
1
2
1 2
5 45
30
2 2
9 69 10
2 3
2 2
c c
c
c
c c

= + +


= −


⇔
 
=


= + +



Vy nên
2
45 21 3
30 2 10 3 ,
2 2 2
n n
n
u n n n
= − ⋅ + ⋅ + + + ∀ ∈


Chúng ta có th kim tra kt qu này b&ng quy np 
Ví d II.3.5.3. Chúng ta hãy gii h thc:

(
)
(
)

(
)
(
)
(
)
10 1 37 2 60 3 36 4 4| , 4
f n f n f n f n f n n n
= − − − + − − − + ∈ ≥


Vi

(
)
(
)
(
)
(
)
0 1 2 3 1
f f f f
= = = =

Phng trình c trng:

4 3 2
10 37 60 36 0
x x x x

− + + − =

Hay

( ) ( )
2 2
3 2 0
x x
− − =

Có các nghim

1 2
2
x x
= =
và
3 4
3
x x
= =

Do các nghim u bi 2 nên nghim chung ca phn thun nh%t là:

(
)
(
)
(
)

1 2 3 4
2 4
n n
h
f n c c n c c n= + + +
Do
(
)
4
g n
=
và 1 không phi là nghim ca phng trình c trng nên
(
)
p
f n
có dng:

(
)
0
p
f n p
=

Th vào h thc ban u, ta có:
0 0 0 0 0
10 37 60 36 4
p p p p p
= − + − +

Nên
0
1
p
=

Nghim chung ca h thc ban u s là:

(
)
(
)
(
)
1 2 3 4
2 4 1
n n
h
f n c c n c c n
= + + + +

V
V
a
a
n
n
H
H

o
o
a
a




C
C
h
h
u
u
y
y
ê
ê
n
n








d
d

ã
ã
y
y


s
s




-
-


G
G
i
i


i
i


c
c
á
á

c
c


h
h




t
t
h
h


c
c


t
t
r
r
u
u
y
y

h
h


i
i



v
v
a
a
n
n
h
h
o
o
a
a
@
@
l
l
q
q
d
d
q

q
t
t
.
.
c
c
o
o
m
m


T
T
r
r
a
a
n
n
g
g


1
1
2
2

1
1
0
0
/
/
1
1
/
/
2
2
0
0
0
0
8
8


Th
0, 1, 2, 3
n n n n
= = = =
và s dng
(
)
(
)

(
)
(
)
0 1 2 3 1
f f f f
= = = =
, ta c

1 3
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
0
2 2 3 3 0
0
4 8 9 18 0
8 24 27 81 0
c c
c c c c
c c c c
c c c c
c c c c
+ =


+ + + =

⇔ = = = =


+ + + =


+ + + =


Vy nên
(
)
1,f n n
= ∀ ∈

. Chúng ta có th d dàng kim tra iu này b&ng quy np.
Bây gi) nu thay  i iu kin  bài thành
(
)
(
)
(
)
(
)
0 1 2 1, 3 4
f f f f
= = = =
thì sau khi lp h tng
t nh trên ta s tìm c
1 2 3 4
3

6, , 6, 1
2
c c c c
= = = − =
, lúc này
( ) ( )
3
6 2 6 4 1,
2
n n
h
f n n n n
 
= + + − + ∀ ∈
 
 

. Mt ln na, chúng ta có th kim tra kt qu này b&ng
quy np. 
4. Phng pháp s dng hàm sinh
Mt hàm sinh
(
)
G z
là mt chui l'y th(a vô hn:

( )
0
i
i

i
G z c z
+∞
=
=

(II.4.1)
Ta nói r&ng mt hàm sinh
(
)
G z
tng ng vi hàm s :f
→
 
nu và ch nu
(
)
,
i
c f i i
= ∀ ∈

.
Ví d II.4.1.
(
)
0
2
i
i

G z z
≥
=

tng ng vi hàm
(
)
2,f n n
= ∀ ∈

;
(
)
0
i
i
G z iz
≥
=

tng ng vi hàm
(
)
,f n n n
= ∀ ∈

;
(
)
8

2
i
i
G z z
≥
=

tng ng vi hàm
( )
0 | ,0 7
2 | ,8
n n
f n
n n
∀ ∈ ≤ ≤

=

∀ ∈ ≤



. 
Mt hàm sinh có th c biu din di 2 dng. Fng th nh%t c gi là chui ly tha, ây là dng
c cho  (II.4.1). Dng khác c gi là dng t)ng minh.
Ví d II.4.2. Chui l'y th(a cho hàm
(
)
1,f n n
= ∀ ∈


là
(
)
0
i
i
G z z
≥
=

, nên
(
)
1
i
i
zG z z
≥
=

. Tr( theo
v, ta có
(
)
(
)
0 1
1
i i

i i
G z zG z z z
≥ ≥
− = − =
 
, d,n n
( )
1
1
G z
z
=
−
. Vì vy dng t)ng minh ca chui l'y
th(a
0
i
i
z
≥

là
1
1
z
−
.
Lu ý r&ng
0
1

1
i
i
z
z
≥
=
−

ch úng vi nhng giá tr ca z làm chui
0
i
i
z
≥

hi t. Chúng ta không bàn
n v%n  này  ây. 
Vi n là s nguyên và i là s t nhiên, h s nh thc
n
i
 
 
 
c xác nh nh sau:

(
)
(
)

(
)
( )( ) ( )
1 2 1
1 2 1
n
n n n n i
i
i i i
− − − +
 
=
 
− −
 

Ví d II.4.3.
(
)
(
)
3 4 3
3 4
3 2 4 3
3; 6; 6
2 2 2
2 1 2 1 2 1
−
− ⋅ −
     

⋅ ⋅
= = = = = =
     
⋅ ⋅ ⋅
     



V
V
a
a
n
n
H
H
o
o
a
a




C
C
h
h
u
u

y
y
ê
ê
n
n








d
d
ã
ã
y
y


s
s




-
-

G
G
i
i


i
i


c
c
á
á
c
c


h
h




t
t
h
h



c
c


t
t
r
r
u
u
y
y


h
h


i
i



v
v
a
a
n

n
h
h
o
o
a
a
@
@
l
l
q
q
d
d
q
q
t
t
.
.
c
c
o
o
m
m


T

T
r
r
a
a
n
n
g
g


1
1
3
3


1
1
0
0
/
/
1
1
/
/
2
2
0

0
0
0
8
8


nh lý khai trin nh thc (hay ng*n gn hn là nh lý nh thc) là mt nh lý toán hc v vic khai
trin hàm m' ca t ng. C th, kt qu ca nh lý này là vic khai trin mt nh thc bc n thành mt
a thc có n+1 s hng:

( )
0
,
n
n
n i i
i
n
a z a z n
i
−
=
 
 
+ = ∈
 
 
 
 




T ng quát hn, nh lý c phát biu di dng:

( )
0
1 ,
m
n
i
i
n
z z n
i
=
 
 
+ = ∈
 
 
 
 


(II.4.2)
Vi
m n
=
nu

0
n
≥
và
m
= +∞
trong tr)ng hp ngc li.
$ng thc (II.4.2) cho ta mt s dng t)ng minh quan trng.
Ví d II.4.4. Vi
2
n
= −
, ta c

( )
2
0
2
1
1
i
i
z
i
z
≥
 − 
 
=
 

 
+
 
 


Mà
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 1 2 2 2
1 1
1 2 1
i
i
i
i
i i i
−
− − − − − − −
 
= = − +

 
− −
 

Nên
( )
( ) ( )
(
)
2
0
1
1 1
1
i
i
i
i z
z
≥
= − +
+


Th z bi – z, ta uc
( )
( )
( )
2
0

1
1
1
i
i
i z
z
≥
= +
−


Vy dng t)ng minh ca
( )
( )
0
1
i
i
i z
≥
+

là
( )
2
1
1
z
−

.
$ng thc (II.4.2) có th dùng  tìm dng t)ng minh ca
( )
*
1
|
1
n
n
z
∈
−

. 
Chúng ta s sm bit r&ng, hàm sinh có th dùng  gii các quan h hi quy. Nhng u tiên, chúng ta
hãy tìm hiu v các phép toán trên các hàm sinh.
Các phép toán trên hàm sinh
Cng và tr: Nu
(
)
1
0
i
i
i
G z c z
≥
=

và

(
)
2
0
i
i
i
G z d z
≥
=

là các hàm sinh tng ng vi các hàm
1
f
và
2
f
,
thì hàm sinh ng vi
1 2
f f
±
là
(
)
0
i
i i
i
c d z

≥
±

, là h qu trc tip t( nh ngh!a ca hàm sinh.
Nhân vi hng s: Nu
(
)
1
0
i
i
i
G z c z
≥
=

là hàm sinh tng ng vi hàm
f
, thì
(
)
(
)
2 1
0
i
i
i
G z aG z ac z
≥

= =

là hàm sinh ng vi
a f
⋅
, a là h&ng s.
Do
(
)
1
0
k i k
i
i
z G z c z
+
≥
=

là hàm sinh ng vi hàm s
( )
( )
0 | ,0
| ,
n n k
g n
f n k n n k
∈ ≤ <



=

− ∈ ≥




, nên nhân mt
hàm sinh vi
k
z
tng ng vi vic dch chuyn dãy s sang phi k n v.
V
V
a
a
n
n
H
H
o
o
a
a




C
C

h
h
u
u
y
y
ê
ê
n
n








d
d
ã
ã
y
y


s
s



-
-


G
G
i
i


i
i


c
c
á
á
c
c


h
h



t
t
h
h


c
c


t
t
r
r
u
u
y
y


h
h


i
i



v

v
a
a
n
n
h
h
o
o
a
a
@
@
l
l
q
q
d
d
q
q
t
t
.
.
c
c
o
o
m

m


T
T
r
r
a
a
n
n
g
g


1
1
4
4


1
1
0
0
/
/
1
1
/

/
2
2
0
0
0
0
8
8


Ví d II.4.5. " ví d II.4.4, chúng ta ã ch ra r&ng
( )
( )
( )
2
0
1
1
1
i
i
i z
z
≥
+ =
−

, nhân c 2 v vi z, ta nhn
c

( )
( )
( )
1
2
0
1
1
i
i
z
i z
z
+
≥
+ =
−

hay
( )
( )
2
0
1
i
i
z
iz
z
≥

=
−

. Nên
( )
2
1
z
z
−
là dng t)ng minh cho hàm sinh
ng vi hàm s
(
)
, , 0
f n n n n
= ∀ ∈ ≥

. 
Tích ca 2 hàm sinh: Tích
(
)
(
)
1 2
G z G z
⋅ ca 2 hàm sinh
(
)
1

0
i
i
i
G z c z
≥
=

và
(
)
2
0
i
i
i
G z d z
≥
=

là mt
hàm sinh th 3
(
)
3
0
i
i
i
G z e z

≥
=

. Có th d dàng kim tra c r&ng
i
e
c cho bi:

0
,
i
i j i j
j
e c d i
−
=
= ∈


(II.4.1.1)
Lu ý r&ng tích ca 2 hàm sinh có tính giao hoán:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 2 1

G z G z G z G z
⋅ = ⋅
$ng thc (II.4.1.1) cho ta th%y tích ca 2 hàm sinh có th có li trong vic tính các t ng. Nu
( )
2
0
1
1
i
i
G z z
z
≥
= =
−

, 1,
i
d i
= ∀ ∈

, thì (II.4.1.1) tr thành:

0
,
i
i j
j
e c i
=

= ∈


(II.4.1.2)
Ví d II.4.6. Chúng ta hãy th tìm biu thc t)ng minh cho t ng
( )
1
n
i
s n i
=
=

. T( ví d II.4.5, chúng ta
ã bit r&ng
( )
2
1
z
z
−
là dng t)ng minh cho hàm sinh ng vi hàm s
(
)
f n n
=
. Hn na,  ví d
II.4.2, ta bit r&ng
1
1

z
−
là dng t)ng minh cho hàm sinh ng vi hàm s
(
)
1
f n
=
. Nên,
( ) ( )
2 3
1
1
1 1
z z
z
z z
⋅ =
−
− −
là dng t)ng minh cho
0 0
i i
i i
iz z
≥ ≥
  
  
  
 

. Gi s r&ng dng chui l'y th(a ca
( )
3
1
z
z
−
là
0
i
i
i
e z
≥

. Theo (II.4.1.2),
( )
0
n
n
i
e i s n
=
= =

. Bây gi) chúng ta s tính
i
e
. S dng nh lý nh
thc ta nhn c:

( ) ( )
3
0
3
1 1
i
i
i
z z
i
−
≥
 − 
 
− = −
 
 
 
 


Vì vy h s ca
1
n
z
−
trong khai trin ca
( )
3

1
z
−
− là:

( )
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
1 1
3
3 4 3 2
1 1
1
1 2 1
1 1 3
1 2 1
1
2
n n
n
n

n n
n n n
n n
n n
− −
−
− − − − +
 
− = −
 
−
− −
 
+ −
=
− −
+
=

V
V
a
a
n
n
H
H
o
o
a

a




C
C
h
h
u
u
y
y
ê
ê
n
n








d
d
ã
ã
y

y


s
s




-
-


G
G
i
i


i
i


c
c
á
á
c
c

h
h




t
t
h
h


c
c


t
t
r
r
u
u
y
y


h
h



i
i



v
v
a
a
n
n
h
h
o
o
a
a
@
@
l
l
q
q
d
d
q
q
t
t

.
.
c
c
o
o
m
m


T
T
r
r
a
a
n
n
g
g


1
1
5
5


1
1

0
0
/
/
1
1
/
/
2
2
0
0
0
0
8
8


Nên, h s
n
e
ca
n
z
trong khai trin l'y th(a ca
( )
3
1
z
z

−
là
(
)
( )
1
2
n n
s n
+
= . 
o hàm: L%y o hàm (II.4.1) theo z cho ta:

( )
( )
1
0
i
i
i
d
G z ic z
dz
+∞
−
=
=

(II.4.1.3)
Hay

( )
( )
( )
0
i
i
i
d
z G z ic z
dz
+∞
=
=

(II.4.1.4)
Ví d II.4.7. " ví d II.4.4, khai trin nh thc ã c dùng  tìm dng t)ng minh cho
( )
( )
0
1
i
i
i z
≥
+

. Chúng ta c'ng có th tìm c kt qu này b&ng phép o hàm. T( ví d II.4.2, ta bit
r&ng
0

1
1
i
i
z
z
≥
=
−

. , s dng (II.4.1.3) cho ta
1
0
1
1
i
i
d
iz
dz z
+∞
−
=
 
=
 
−
 

hay

( )
( )
2
0
1
1
1
i
i
i z
z
+∞
=
+ =
−

. 
Tích phân: L%y tích phân (II.4.1) theo z, ta c:

( )
1
1
0
z
i
i
i
c z
G u du
i

+∞
−
=
=


(II.4.1.5)
Ví d II.4.8. Dng t)ng minh cho hàm sinh ca hàm
( )
*
1
,f n n
n
= ∈

có th c xác nh b&ng
cách l%y tích phân ca
(
)
1
f n
=
, t( ví d II.4.2, ta có:

0
1
1
i
i
u

u
≥
=
−



Vì vy,

0
0 0
1
0
0
1
1
1
1
1
z z
i
i
i
i
i
i
du u du
u
z
z

z
z
≥
+
≥
>
=
−
=
+
=

 



Nhng

( )
0
1
ln 1
1
z
du z
u
= − −
−


Nên hàm sinh ca hàm s
( )
*
0 | 0
1
|
n
f n
n
n
=


=

∈



là
(
)
ln 1
z
− −
.
ng dng gii các h thc truy hi
Phng pháp s dng hàm sinh  gii các h thc truy hi s c minh ha rõ nh%t b&ng cách l%y
mt ví d. Xét h thc truy hi:

( )
( )
*
0 | 0
2 1 7 |
n
F n
F n n
=


=

− + ∈




V
V
a
a
n
n
H
H
o
o
a
a

C
C
h
h
u
u
y
y
ê
ê
n
n








d
d
ã
ã
y
y

s
s




-
-


G
G
i
i


i
i


c
c
á
á
c
c

h
h




t
t
h
h


c
c


t
t
r
r
u
u
y
y


h
h



i
i



v
v
a
a
n
n
h
h
o
o
a
a
@
@
l
l
q
q
d
d
q
q
t
t
.

.
c
c
o
o
m
m


T
T
r
r
a
a
n
n
g
g


1
1
6
6


1
1
0

0
/
/
1
1
/
/
2
2
0
0
0
0
8
8


Nhng bc gii các h thc truy hi b&ng hàm sinh là:
1. Gi
( )
0
i
i
i
G z a z
≥
=

là hàm sinh ca hàm
(

)
F n
, vy thì
(
)
,
i
a F i i
= ∀ ∈

.
2. Thay th t%t c
(
)
(
)
(
)
, 1 , 2 ,
F n F n F n− − bi các
i
a
tng ng,  ví d này sau khi thc hin
bc 2 ta s c:
*
1
2 7,
n n
a a n
−

= + ∀ ∈


3. Nhân 2 v ca ng thc nhn c vi
n
z
và l%y t ng 2 v ca t%t c các n mà ng thc còn
úng. " ví d này, ta c
1
1 1 1
2 7
n n n
n n n
n n n
a z a a z z
−
≥ ≥ ≥
= +
  

Dng t)ng minh Chui l'y th(a
1
( )
1
1
az
−
−
0
i i

i
a z
≥


2
( )
2
1
az
−
−
( )
0
1
i i
i
i a z
≥
+


3
( )
1
n
az
−
0
| 0

| 0
m
i i
i
n
a z
i
n n
m
n
=
 
 
 
≥

=

+∞ <



4
(
)
ln 1
az
+
( )
1

1
1
i
i i
i
a z
i
+
≥
−


5
(
)
ln 1
az
− −
1
1
i i
i
a z
i
≥


6
az
e

0
1
!
i i
i
a z
i
≥



Bng 1. Mt s dng tng minh và chui ly tha tng ng
4. Thay th t%t c các t ng cha
i
a
b&ng biu thc tng ng ch cha
(
)
,
G z z
và mt s hu
hn các
i
a
. Cho mt h thc truy hi bc k s ch còn li
0 1 1
, , ,
k
a a a

−
. " ví d này là:

( ) ( )
0
1
2 7
n
n
G z a zG z z
≥
− = +


5. Thay th các giá tr ã bit
0 1 1
, , ,
k
a a a
−

(
)
(
)
i
a F i
= :

( ) ( )

1
2 7
n
n
G z zG z z
≥
= +


6. Gii phng trình tìm
(
)
G z
t( ng thc nhn c. " ây thì:

( )
1
1
7
1 2
n
n
G z z
z
≥
=
−


7. Xác nh h s ca

n
z
trong khai trin l'y th(a ca ng thc nhn c  bc 6. H s này là
(
)
n
a F n
= . V ví d ca chúng ta:

( )
0 1
2 7
i i n
i n
G z z z
≥ ≥
= ⋅
 

V
V
a
a
n
n
H
H
o
o
a

a




C
C
h
h
u
u
y
y
ê
ê
n
n








d
d
ã
ã
y

y


s
s




-
-


G
G
i
i


i
i


c
c
á
á
c
c

h
h




t
t
h
h


c
c


t
t
r
r
u
u
y
y


h
h



i
i



v
v
a
a
n
n
h
h
o
o
a
a
@
@
l
l
q
q
d
d
q
q
t
t

.
.
c
c
o
o
m
m


T
T
r
r
a
a
n
n
g
g


1
1
7
7


1
1

0
0
/
/
1
1
/
/
2
2
0
0
0
0
8
8


H s ca
n
z
trong tích ca hai chui trên là :

( )
1
7 2 7 2 1
n
n i n
n
i

a
−
=
= ⋅ = −


Nên,
(
)
(
)
7 2 1 ,
n
F n n
= − ∈

. 
Mt vài ví d tip ây s minh ha rõ hn k! thut này.
Ví d II.4.2.1. Chúng ta hãy xét dãy các s Fibonacci:

*
1 2
, , 2
n n n
F F F n n
− −
= + ∀ ∈ ≥


Vi

0 1
0, 1
F F
= =

$t
( )
0
i
i
i
G z a z
≥
=

là hàm sinh ca hàm
n
F
. T( nh ngh!a ca hàm sinh, ta có ,
i i
a F i
= ∀ ∈

. Vy thì
1 1 2 2
, ,
n n n n n n
F a F a F a
− − − −
= = = , t( h thc truy hi cho

n
F
, ta c:

*
1 2
, , 2
n n n
a a a n n
− −
= + ∀ ∈ ≥


Nhân 2 v vi
n
z
và l%y t ng t( n = 2 n
+∞
, ta c:

*
1 2
2 2 2
, , 2
n n n
n n n
n n n
a z a z a z n n
− −
≥ ≥ ≥

= + ∀ ∈ ≥
  


Nhn xét r&ng t ng trên không th l%y t( n = 0 n
+∞
do
1 2
n n n
F F F
− −
= + ch úng vi
*
, 2
n n
∀ ∈ ≥

.
$ng thc trên có th c vit li nh sau:
( ) ( ) ( )
1 2 2 2 2 *
1 0 1 2 0
2 2 1 0
, , 2
n n n n
n n n n
n n n n
G z a z a z a z z a z z a z z a z zG z a z z G z n n
− −
− −

≥ ≥ ≥ ≥
− − = + = + = − + ∀ ∈ ≥
   

Th
0 0
0
a F
= =
và
1 1
1
a F
= =
và gii ng thc trên cho
(
)
G z
, ta c:

( )
2
1
1 5 1 5
1 1
2 2
1 1 1
5 1 5 1 5
1 1
2 2

z
G z
z z
z
z z
z z
=
− −
=
  
+ −
− −
  
  
 
 
 
= −
+ −
 
− −
 
 

Do khai trin l'y th(a ca
( )
1
1
az
−

− là
0
i i
i
a z
≥

nên:

( )
0 0
0
1 1 5 1 5
2 2
5
1 1 5 1 5
2 2
5
i i
i i
i i
i i
i
i
G z z z
z
≥ ≥
≥
 
   

+ −
 
= −
   
   
 
   
 
 
 
 
   
+ −
 
 
 
= −
   
   
 
 
 
   
 
 
 
 


Vy nên

1 1 5 1 5
, 0
2 2
5
n n
n n
F a n
 
   
+ −
 
= = − ∀ ≥
   
   
 
   
 
. 
V
V
a
a
n
n
H
H
o
o
a
a

C
C
h
h
u
u
y
y
ê
ê
n
n








d
d
ã
ã
y
y

s
s




-
-


G
G
i
i


i
i


c
c
á
á
c
c

h
h




t
t
h
h


c
c


t
t
r
r
u
u
y
y


h
h



i
i



v
v
a
a
n
n
h
h
o
o
a
a
@
@
l
l
q
q
d
d
q
q
t
t
.

.
c
c
o
o
m
m


T
T
r
r
a
a
n
n
g
g


1
1
8
8


1
1
0

0
/
/
1
1
/
/
2
2
0
0
0
0
8
8


Ví d II.4.2.2. Xét dãy:
1
0 | 0
| 1
n
n
n
t
at bn n
−
=

=


+ ≥


$t
( )
0
i
i
i
G z c z
≥
=

là hàm sinh ca hàm
n
t
, thì
, 0
i i
c t i
= ≥
. T( công thc truy hi ca dãy, ta có:

1
, 1
n n
c ac bn n
−
= + ∀ ≥

Nhân 2 v vi
n
z
ri l%y t ng t(
1
n
=
n
+∞
cho ta:

1
1 1 1
n n n
n n
n n n
c z a c z bnz
−
≥ ≥ ≥
= +
  

Hay

( )
( )
1
0 1
1 1

1
n n
n
n n
n
n
G z c az c z bnz
azG z bnz
−
−
≥ ≥
≥
− = +
= +
 


Th
0
0
c
=
và bin  i, ta c:
( )
1 0 1
1
1
n n n n
n n n
G z bnz a z bnz

az
≥ ≥ ≥
= =
−
  

Áp dng công thc tích ca 2 hàm sinh, ta có:

1 0
n n
n i n
n
i
i i
i
c b ia ba
a
−
= =
= =
 
.
Nên
0
, 0
n
n
n n
i
i

i
t c ba n
a
=
= = ≥

. 
Ví d II.4.2.3. " ví d trc, chúng ta ã chng minh c r&ng
0
n
n
n
i
i
i
c ba
a
=
=

. Mt biu thc t)ng
minh hn cho
n
c
có th nhn c t( biu thc t)ng minh ca
0
n
n
i
i

i
d
a
=
=

. Vi a = 1 biu thc này có
th c tìm mt cách r%t n gin, vì vy ta ch xét tr)ng hp
1
a
≠
. Trc tiên, ta hãy tìm hàm sinh
cho hàm s
( )
i
i
f i
a
=
. Ta ã bit r&ng
( )
1
0
1
i
i
z z
−
≥
− =


. Nên,
1
0
1
i
i
i
z z
a a
−
≥
 
− =
 
 

. L%y o hàm theo bin
z, ta c

1
0 0 0
1
1
i i i
i i i
i i i
d d z d z iz
z
dz dz a dz a a

a
−
≥ ≥ ≥
 
 
 
   
= = =
 
 
   
   
 
 
−
 
  

Hay
( )
1
2
0
i
i
i
a iz
a
z a
−

≥
=
−


Nhân 2 v vi z, ta c
( )
2
0
i
i
i
az iz
a
z a
≥
=
−


Nhân 2 v vi
1
1
z
−
, ta c

( ) ( )
( )
2

0 0 0 0
1
1
1
i
n
n n
n
i i
i n i n
az iz i
z d z
z a a
z a z
≥ ≥ = ≥
 
 
= = =
 
 
−
− −
 
 
   

V
V
a
a

n
n
H
H
o
o
a
a




C
C
h
h
u
u
y
y
ê
ê
n
n







d
d
ã
ã
y
y


s
s




-
-


G
G
i
i


i
i

c
c
á
á
c
c


h
h




t
t
h
h


c
c


t
t
r
r
u
u

y
y


h
h


i
i



v
v
a
a
n
n
h
h
o
o
a
a
@
@
l
l
q

q
d
d
q
q
t
t
.
.
c
c
o
o
m
m


T
T
r
r
a
a
n
n
g
g


1

1
9
9


1
1
0
0
/
/
1
1
/
/
2
2
0
0
0
0
8
8


Bây gi) chúng ta cn phi tìm h s ca
n
z
trong khai trin ca

( ) ( )
2
1
az
z a z
− −

Khai trin biu thc trên, ta c

( ) ( )
( ) ( )
( )
2 1
2
2
1
0 0
1
1
1 1
1
i i
i
i i
az
az a z z
z a z
z z
z
a a

z i
z z
a a
− −
−
−
≥ ≥
= − −
− −
 
= − −
 
 
+
=
 


Nên,

1
1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
1
1

1
n
n
i
i
n n
i i
i i
n
n
n
i
d
a a
i
a a a
n
a
d
a a
a
−
=
− −
= =
+
=
 
= +
 

 
 
 
−
 
 
 
 
= − +
 
−
 
 

 

Suy ra
( )
1
2
1
n
n
n
a an a n
d
a a
+
− − +
=

−
. 
Ví d II.4.2.4. Xét h thc truy hi
1 2
5 6 2 , , 2
n n n
u u u n n n
− −
= − + ∀ ∈ ≥

vi
0 1
0
u u
= =
.
Gi s
( )
0
i
i
i
G z c z
≥
=

là hàm sinh ng vi hàm f. Vy thì
n n
u c
=

,
1 1
n n
u c
− −
= và
2 2
n n
u c
− −
= . Vì th:

1 2
5 6 2 , 2
n n n
c c c n n
− −
= − + ≥

Hay

1 2
5 6 2 , 2
n n n n
n n n
c z c z c z nz n
− −
= − + ≥

L%y t ng khi cho n = 2 n

+∞
:

1 2 2
1 2
2 2 2 2
5 6 2 , 2
n n n n
n n n
n n n n
c z z c z z c z nz n
− −
− −
≥ ≥ ≥ ≥
= − + ≥
   

Hay

( ) ( )
( )
( )
2
1 0 0
2
5 6 2 , 2
n
n
G z c z c z G z c z G z nz n
≥

− − = − − + ≥


Th
0 1
0
c c
= =
, ta c:

( ) ( ) ( )
2
2
5 6 2 , 2
n
n
G z zG z z G z nz n
≥
= − + ≥


Hay
( )
( )
2
2
1 5 6 2
n
n
G z z z nz

≥
− + =


V
V
a
a
n
n
H
H
o
o
a
a




C
C
h
h
u
u
y
y
ê
ê

n
n








d
d
ã
ã
y
y


s
s




-
-


G
G

i
i


i
i


c
c
á
á
c
c


h
h




t
t
h
h


c
c

t
t
r
r
u
u
y
y


h
h


i
i



v
v
a
a
n
n
h
h
o

o
a
a
@
@
l
l
q
q
d
d
q
q
t
t
.
.
c
c
o
o
m
m


T
T
r
r
a

a
n
n
g
g


2
2
0
0


1
1
0
0
/
/
1
1
/
/
2
2
0
0
0
0
8

8


Nên

( )
( )( )
2
2
0 0 2
2
1 3 1 2
3 2
2
1 3 1 2
3 3 2 2 2
n
n
j
j
i j i j j
i i j
nz
G z
z z
jz
z z
z z jz
≥
≥

≥ ≥ ≥
=
− −
 
= −
 
− −
 
 
= −
 
 


  

Có th th%y r&ng h s
n
c
ca
n
z
lúc này là:

2 2
2 2
6 3 4 2
6 3 4 2
3 2
n n

n j n j
n
j j
n n
n n
j j
j j
c j j
j j
− −
= =
= =
= ⋅ − ⋅
= ⋅ − ⋅
 
 

T( ví d II.4.2.3, ta bit r&ng:
1
2
3 2 3 1
3 4 3 3
n
n
j n
j
j n
+
=
− −

= −
⋅


Và
1
2
2 2 1
2 2 2
n
n
j n
j
j n
+
=
− −
= −


Nên
( ) ( )
1 1
1 1 1 1
1
3 2 3 1 2 2 1
6 3 4 2
4 3 3 2 2
3
3 2 3 6 3 4 2 2 4 2

2
5 3 7
3 2
2 2
n n
n n
n
n n
n n n n
n
n
n n
c
n n
n
+ +
+ − + −
+
   
− − − −
= ⋅ − − ⋅ −
   
⋅
   
= − − − ⋅ − − − + ⋅
⋅
= − ⋅ + +

Vy
1

5 3 7
3 2
2 2
n
n
n
u n
+
⋅
= − ⋅ + +
. 


Cui cùng m)i các bn hãy t gii mt s bài toán sau  n*m ch*c hn các phng pháp nêu trên:
Tìm s hng t ng quát ca dãy s
(
)
n
u
trong các tr)ng hp sau sau:
1.
1
u a
=
,
1
n n
u a bu
+
= + .

2.
( )
0 1 2 1
1
, ,
2
n n n
u a u b u u u
+ +
= = = +
3.
3 2
0 1 2 3 2 1
1, 2, 3, 18 107 210 5 3
n n n
u u u u u u n n
+ + +
= = = = − + + − −

4.
1
u a
=
,
4 2 4 2
1 1 1 1 1 1
0
n n n n n n n n n n n n
u u u u u au u bu u bu u bu
+ + + + + +

− + − − + − =
.
5.
2
0 1 2 3 2 1
, , ,2 16 15 4 2 0
n n n n
u a u b u c u u u u n
+ + +
= = = + − − + − =

6.
2
0 1 2 3 2 1
, , ,2 5 4 10 3 4 4 0
n
n n n n
u a u b u c u u u u n n
+ + +
= = = + − − − + − − =

7.
3 2
0 1 2 1
, ,2 10 3 2 1 0
n
n n n
u a u b u u u n n n
+ +
= = + − − − + − − =

V
V
a
a
n
n
H
H
o
o
a
a




C
C
h
h
u
u
y
y
ê
ê
n
n







d
d
ã
ã
y
y


s
s




-
-


G
G
i
i



i
i


c
c
á
á
c
c


h
h




t
t
h
h


c
c


t

t
r
r
u
u
y
y


h
h


i
i



v
v
a
a
n
n
h
h
o
o
a
a

@
@
l
l
q
q
d
d
q
q
t
t
.
.
c
c
o
o
m
m


T
T
r
r
a
a
n
n

g
g


2
2
1
1


1
1
0
0
/
/
1
1
/
/
2
2
0
0
0
0
8
8

Chuyên  v vic gii các quan h truy hi kt thúc  ây. Hy v ng rng chuyên  này s! là mt tài
liu tham kho b" ích cho bn  c.
Vanhoa

Kin thc ch có c qua t duy ca con ngi - A. Einstein (1879–1954)

Tham kho

A general method for solving divide-and-conquer recurrences,
by J. Bentley, D. Haken, and J. Saxe, SIGACT News, 12(3), 1980, pp. 36-44.

Concepts in Discrete Mathematics
by Sartaj Sahni, Camelot Publishing, 1985

Introductory combinatorics
By R. Brualdi, Elsevier North-Holland Inc., New York, 1977