Tải bản đầy đủ (.pdf) (211 trang)

LƯỢNG GIÁC - MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (5.01 MB, 211 trang )


NG
GIÁC
MT S  VÀ NG DNG

TP 1 : BING GIÁC VÀ H THNG













VÕ ANH KHOA  HOÀNG BÁ MINH



VÕ ANH KHOA  HOÀNG BÁ MINH






NG GIÁC


MT S  VÀ NG DNG
TP 1 : BING GIÁC VÀ H THNG






TP. H CHÍ MINH, THÁNG 7  2011

LU
CuNG GIÁC  MT S  VÀ NG Dc biên
son vi m cp, b sung kin thc cho hc sinh THPT và mt s bc
n mng kin thc này trong quá trình hc tp và làm vic.  cun sách này,
ngoài ving khái nim và dng bài tn, chúng tôi s ch
s và ng dng ca môn hc này  các bn hiNó xut phát t i sao
chúng ta li phi hc nó
 n :
- Phần I : Nêu lý thuyt cùng ví d minh hc hiu và bit
cách trình bày bài. ng thra các dng gp trong quá trình
làm bài trên lp ca hc sinh THPT.  phn này, chúng tôi s trình bày mt s  bn
c có th nm v
- Phần II : Trong quá trình tham kho và tng hp tài liu, chúng tôi s vào
phn này các dng toán khó nhm giúp cho các hc sinh bng, rèn luy
giNG GIÁC thành thp phi nhng dng toán này.
- Phần III : Chúng tôi s i gii gi ý cho mt s c kim
tra l, li gii ho tham kho thêm.

Trong quá trình biên son, m gng bng vic tham kho mng
rt ln các tài liu có sn và tip thu có chn lc ý kin t các bng nghi dn

hoàn thin cukhi nhng thiu sót bi tm hiu bit và kinh
nghim còn hn ch, chúng tôi rt mong nhc ý kia bc
gn xa.
Chi tit liên h ti :


CÁC TÁC GIẢ
VÕ ANH KHOA  HOÀNG BÁ MINH.



LI C
Trong quá trình biên son, cn nhng bcung cp tài liu tham
kho và vui lòng nhn kim tra li tng phn ca bn tho hoc bu
kin hoàn thành cun sách này :
- Tô Nguyn Nht Minh c T Tp.HCM)
- Ngô Minh Nht  Tp.HCM)
- Mai Ngc Thng  Tp.HCM)
- Trn Lam Ngc (THPT Chuyên Tr
- Nguyn Huy Hoàng (THPT Chuyên Lê Hng Phong Tp.HCM)
- Nguyn Hoài Anh (THPT Chuyên Phan Bi Châu Tp.Vinh)
- c Minh c T Nhiên Hà Ni)
và mt s thành viên di








MC LC

TẬP 1 : BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ HỆ THỨC LƯỢNG
CHƯƠNG 1 : SƠ LƯỢC VỀ KHÁI NIỆM VÀ LỊCH SỬ 1
CHƯƠNG 2 : CÁC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC 4
2.1 CHNG MINH MNG THNG GIÁC 7
BÀI TP T LUYN 15
2.2 TÍNH GIÁ TR CA BIU THC 21
BÀI TP T LUYN 33
2.3 CHNG THNG GIÁC SUY T NG THC
C 36
BÀI TP T LUYN 45
2.4 CHNG MINH BIU THNG GIÁC KHÔNG PH THUC VÀO
BIN S 46
BÀI TP T LUYN 51
CHƯƠNG 3 : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 52
3.1 CHNG THNG GIÁC TRONG TAM GIÁC 55
BÀI TP T LUYN 77
3.2 CHNG MINH BNG THNG GIÁC
TRONG TAM GIÁC 81
BÀI TP T LUYN 133
3.3 NHN DNG TAM GIÁC VÀ TÍNH CÁC GÓC TRONG TAM GIÁC 143
BÀI TP T LUYN 191

ĐỌC THÊM :
TÓM LƯỢC TIỂU SỬ CÁC NHÀ KHOA HỌC
CÓ ẢNH HƯỚNG ĐẾN LƯỢNG GIÁC 199
TÀI LIU THAM KHO 205




















c v khái nim và lch s
1


C V KHÁI NIM VÀ LCH S
I. KHÁI NIỆM
Trong toán hng giác hng giác là các
hàm toán hc cc dùng khi nghiên cu tam giác và các hing có tính cht
tung giác ca mi t l chiu dài
hai cnh ca tam giác vuông chc t l chiu dài gin thng ni
c bit trên vò khía cnh hi
ng giác là chui vô hn hoc là nghim cu này cho
ng giác có th i s là mt s thc hay mt s phc bt k.




( D th hàm sin )






II. LỊCH SỬ
Nhng nghiên cu mt cách h thng và vic lp bng giác
c cho là thc hiu tiên bi Hipparchus
(1)
(180-p bng tính
 dài các cung tròn và chiu dài c
(2)
tip tc
phát trin công trình, tìm ra công thc cng và tr cho   và   ,
c công thc h bc, cho phép ông lp bng tính vi bt
k  chính xác cn thit nào. Tuy nhiên, nhng b tht truyn.
Các phát trin tip theo din ra  , công trình ca Surya Siddhanta
(3)
(th k
4-5) a góc và nn th k i  R
dùng c n v n 8 ch s thp phân.
Các công trình u tiên này v c phát trin
nhm phc v c, c th  ng h
mt tri.
c v khái nim và lch s


2

 ng cách ti các ngôi sao gn, gia các mc
gii hn hay trong các h thng hoa tiêu v tinh. Rc áp dng vào
nhic khác : quang hc, phân tích th n t hc, lý thuyt xác
sut, thng kê, sinh hc khoa, hóa hc, lý thuyt sa chn hng hc,
h
Ta ly ví d t mt bài toán sau trích t Lucia C. Hamson, Daylight, Twilight,
Darkness and Time :
Vic mô hình hóa v s gi chiu sáng ca mt tri là hàm thi gian trong i
nhi khác nhau. Cho bit Philadelphia nm   

Bc, tìm hàm biu th s
gi chiu sáng ca mt tri ti Philadelphia.

Chú ý rng m vi mt hàm s sin mà b di chuyn và kéo
T cao ca Philadelphia, thi gian chiu sáng kéo dài 14,8 gi vào ngày 21
tháng 6 và 9,2 gi vào ngày 21 tháng 12, v cng cong (h s kéo
u dc) là :



 


H s nào mà chúng ta c  th hình sin theo chiu ngang nu
i gian  trong ngày? Bchu k ca mô hình nên là 365.
n ca  là , nên h s kéo u ngang là :
c v khái nim và lch s

3





 ý rng cong bu mt chu trình ca nó vào ngày 21
tháng 3, ngày th 80 c chúng ta phi phi dch chuyng cong v bên
ph. Ngoài ra, chúng ta ph
hình hóa s gi chiu sáng ca ca mt tri  Philadelphia vào ngày th  ca
ng hàm s :




  































i ng giác
4


CÁC BING GIÁC
I. BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG CÓ LIÊN QUAN ĐẶC
BIỆT
Ta gc bit vi
cung  là các cung :
- i vi  : 
- Bù vi  :  
- Hiu  vi  :  
- 



vi  :


 




 
 


 


 
cos





sin





tan






cot






Ngoài ra, có mt s ng giác khác :








   

II. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. CÔNG THỨC CƠ BẢN


 

 







  









 



  












ng giác
5


T hình v thc tic mt s công thn v ng giác :
2. CÔNG THỨC CỘNG




 


 

 


 


 
  



 



 


 
 


 


3. CÔNG THỨC NHÂN
a. CÔNG THC NHÂN 2









 
  





  






 
b. CÔNG THC NHÂN 3


 


 


 


 


 


 




  






 


 
Công thc ti vi hàm tan :





    
    

i ng giác
6

c. CÔNG THC TÍNH THEO 


  



  


  




 


  


d. CÔNG THC H BC



  




  




  
  





 




 


4. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
a. TÍCH THÀNH TNG






 

 

 









 

 

 










 

 










 


 


b. TNG THÀNH TÍCH
 
 


 


 
 


 


 



 


 
 


 



 


 





 
 










 









 
 


 





 

ng giác
7

c. CÔNG THC B SUNG
 



 



 







 






 



 











 








 






 



III. CÁC LOẠI TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC
- ng s dbii v phc tp hoc nhiu s hng
thành v n; bi; xut phát t ng thn
i v ng thc cn chng minh.
- Trong khi bii ta s dng các công thc thích hn kt qu pht
c.
- t s công thc trên phi chc khi s dng.
Giải:
a. Ta có :










 







b. Ta có :










 




Bài 1: Chng thc sau :
a.  

b. 

 



i ng giác
8


Giải:
a. Ta có :




 

  





 






 




 




b. u cn chi

 

 



 

 


         
u này hiu phi chng minh.
c. Ta có :


 



 




 

  

 
 
 

d. Ta có :




 




  


  

  






 




 

  
 





  
  

 
 


  
  



 



 







 


Bài 2: Chng thc sau :




ng giác
9


Giải:
a. Ta có :


 






 





 

 

 








 




 


 

 




 



 



  




Vu phi chng minh.

b. Ta có :
  








Nên




  






 





 




  











  





 
Vy  



    






















 



 



 




Bài 4: Chng minh
Áp dng tính tng sau :





 




 




Bài 3: Chng minh :
a.   



 




b.  
Suy ra giá tr :

i ng giác
10


Giải:
Ta có :



  





  

 


 
  

 











Suy ra























































































 





 






 





 



Nên




Giải:
Ta có :


 


  


  

 


 



 








 




 




 

 

  





 
Bài 5: Cho  vi   




Chng minh

ng giác
11

Nên
 

 



 

 

 

 

 


 
 

 


Khi
-  thì 

 


-    thì 

 


Vu phi chng minh.
Giải: t



 


 



Ta có :







 





 








 


 


 



 






 


 


 


 
































 




Bài 7: Chng minh





 



 






Bài 6: Chng minh
ng 1998)

i ng giác
12

Giải: u cn chi








 








 



  






 

 

 





 







 





 










 




u này hiu phi chng minh.
Giải: Ta có :

 
 






 
 











 











 





 





u phi chng minh.
Giải:
Ta có :


 

 



 






  




 



  

 




 

 





  

 


 
  

 



Bài 9: Chng minh


 
 





 


  

 


 
Bài 8: Chng minh
ng giác
13



 



 




   




   



  

 


u phi chng minh.
Giải: t




















Ta có :




 





 


Áp dng công thc :






 







 











 






 












 






 





Nhân lc :

















 






 








 




Vy



 























 


Bài 10: Chng minh
i Phòng 2001)

i ng giác
14

Giải:
 Ta có :  
S dng công thc :
 











 




















………………………………………

























Cng lu phi chng minh.
 Ta s dng công thc  

 

 

 


Ta có : 

 



 



 

 





Vu phi chng minh.
 Ta s dng công thc  

 

 

 


Ta có : 

 



 



 





 

 


  


Vu phi chng minh.






















 
  

 









 

 










Bài 11: Chng minh rng
ng giác
15

- BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2.1.1. Chng thc sau
a. 

 





b. 



 
c.  
2.1.2. Chng minh



 





 






 

 




 




2.1.3. Chng minh







   




 


Áp dng tính tng :




 




  




2.1.4. Chng minh


 





 

 



 



 

 




 
 

































 









2.1.5. Chng minh 



,



,



là nghim c





  
T  ca




 



 












 








 





















i ng giác
16


2.1.6. Cho 3 góc  tha    


Chng minh
          
2.1.7. Chng minh


 








2.1.8. Chng minh


 

 


 

 





i 1996)
2.1.9. Chng minh
  

 

 





 


 







 

 

 

2.1.10. Chng minh











 




















 


2.1.11. Chng minh


 











2.1.12. Chng minh


 

 








 


i 2001)
ng giác
17

2.1.13. Chng minh 




a Cháy 2001)
2.1.14. Chng minh


 

 

 









i 1995)
2.1.15. Chng minh









 


 


 






2.1.16. Chng minh





































2.1.17. Chng minh











2.1.18. Chng minh


 





 





 




2.1.19. Chng minh
 





 




 

2.1.20. Chng minh
    


  


i ng giác
18

2.1.21. Chng minh
    









2.1.22. Chng minh


 



 

 


- GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2.1.1.   S dng công thc h bc.
2.1.3. t




 

 
 





 

 
 





Áp dng tính tng, vit li thành






 



 











 



 










 



 











 



 










 



 




 




 




Ri s dng công thng minh  trên.
2.1.4.
a)  ý




  



 

 

b)  ý

  

 





 






 

 





 



c) Ta có :

 































d) u cn chi :





























ng giác
19

2.1.5. S dng công thc

 



  



Cho 

, ta có :


 



 




Suy ra



 








  






2.1.6. Áp dng công thc :





    
    

2.1.9. Cn chng minh
  

 

  









 




 


 




2.1.10.  ý
 


 



 


 



2.1.12. Ta có :





 




 




 


2.1.13. Nhân 2 v cho 

.
2.1.14. Áp dng công thc
 






×