Đề ôn thi TN THPT 2022 môn toán phát triển từ đề minh họa có lời giải chi tiết đề 5

thuvienhoclieu.com
ĐỀ 5
BÁM SÁT ĐỀ MINH HỌA

ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2022
MƠN TỐN
Thời gian: 90 phút

Câu 1:

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  0;5 . Nếu

Câu 2:

bằng
A. 4 .
B. −4 .
Tập xác định của hàm số y = log5 x là

3



5

f ( x ) dx = 6,  f ( x ) dx = −10 thì

0

A.

B.  0; + ) .

.
4



3

C. ( 0; + ) .

D. ( 0; + ) \ 1 .

4

f ( x ) dx = 5 . Tính I =  −13 f ( t ) dt

Câu 4:

A. −18 .
B. −65 .
C. 65 .
Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

2

2

x
y'

y

Câu 7:
Câu 8:

0

D. 16 .

Cho

Câu 6:

 f ( x ) dx

C. −60 .

Câu 3:

Câu 5:

5

∞
+

1
0
0

3
0

D. 18 .

+∞
+
+∞

∞

-2

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên ( −;1  3; + ) .

B. Hàm số có giá trị lớn nhất là 0 khi x = 1 .

C. Hàm số có giá trị cực tiểu là −2 khi x = 3 .

D. Hàm số nghịch biến trên đoạn  0; 2 .

Số phức z = 6 + 21i có số phức liên hợp z là
A. z = 21 − 6i .
B. z = −6 − 21i .
C. z = −6 + 21i .
D. z = 6 − 21i .
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
1 x
.5 + C .

A.  5x dx = x.5x −1 + C .
B.  5x dx =
ln 5
C.  5 x dx = 5 x + C .
D.  5x dx = 5x.ln 5 + C .

Số phức z = 6 + 9i có phần ảo là
A. −9 .
B. 9i .
C. 9 .
D. 6 .
3
2
Cho hàm số y = 2 x − 2 x + 7 x + 1 . Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

 −1;0 lần lượt là

M và m . Giá trị của M + m là

A. −10 .
B. 1 .
C. −11 .
D. −9 .
Thể tích của khối cầu có bán kình bằng 2cm là
32
32
cm3 ) .
cm3 ) .
A. 8 3 ( cm3 ) .
B. 8 ( cm3 ) .

C.
D.
(
(
3
3
Câu 10: Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = 2, u15 = 40 . Tính tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này.
A. S = 300 .
B. S = 285 .
C. S = 315 .
D. S = 630 .
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số
 x = 1 + 2t

 y = 2 − 3t ( t  R ) . Đường thẳng d không đi qua điểm nào dưới đây?
 z = 1 + 4t

Câu 9:

A. Q ( 2; −3; 4 ) .

B. N ( 3; −1;5) .

C. P ( 5; −4;9 ) .

D. M (1; 2;1) .

Câu 12: Cho z1 = 3 + 6i, z2 = 9 − 7i. Số phức z1 + z2 có phần thực là
thuvienhoclieu.com

Trang 1


thuvienhoclieu.com
A. 27.

C. −1.

B. 12.

D. 1.

2x −1
, tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là
x+2
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 0 .
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm A ( 2;1;1) và
vng góc với trục tung là
A. x = 2 .
B. 2 x + y + z − 4 = 0. C. z = 1.
D. y = 1.

Câu 13: Cho hàm số y =

3

Câu 15: Tính đạo hạm của hàm số y = ( 2 x 2 − x + 1) 2

5
3
A. y = . ( 2 x 2 − x + 1) 2 .
2
5
2
2

C. y = . ( 2 x − x + 1) 2 .
5

3
B. y = . ( 4 x − 1) 2 x 2 − x + 1. .
2
1
2
2

D. y = . ( 4 x − 1) ( 2 x − x + 1) 2 .
3
7


Câu 16: Cho a, b, c  0, a  1 và log a b = 2022 . Tính log 6 a  a 4 . 6 b  .


7
21
2
2022

+ 2022 .
+ 2022 .
A. 42 +
.
B. + 6 2022 .
C.
D.
4
2
21
6
Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn z (1 + 3i ) = 1 − 4i + 3z. Tính z .
A. z =

17
.
13

B. z =

17
.
13

C. z =

13
.
17

D. z =

13
.
17

Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng ( P ) đi qua A ( 2;0;6 ) và nhận n (1;2;3) là
một vectơ pháp tuyến có phương trình là
x = 2 + t

A.  y = 2t
B. 2 x + 6 y − 20 = 0.
(t  ).
 z = 6 + 3t

C. x + 2 y + 3z − 20 = 0.

D.

x−2 y−0 z −6
=
=
.
1
2
3

Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho u ( 2; 4; −1) . Đẳng thức nào đúng trong các đẳng
thức sau?
A. u = 2i + 4 j − k.

B. u = −2i − 4 j + k.
C. u = 2 + 4 − 1.
D. u = 22 + 42 − 12.
Câu 20: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình 2 f ( x ) = 17 có bao nhiêu
nghiệm phân biệt?

A. 2.
B. 3.
C. 0.
Câu 21: Tìm họ các nguyên hàm của hàm số y = cos 4 x
A.  cos 4 x dx = 4sin 4 x + C.

D. 1.

1
B.  cos 4 x dx = sin 4 x + C.
4
thuvienhoclieu.com

Trang 2


thuvienhoclieu.com

1
D.  cos 4 x dx = − sin 4 x + C.
4

C.  cos 4 x dx = sin 4 x + C.
Câu 22: Tập nghiệm của bất phương trình 2 x  4 là:

A. ( −; 2
B.  0; 2

C. ( −; 2 )

D. ( 0; 2 )

Câu 23: Nghiệm của phương trình log3 x = 2 là
A. x = 9
B. x = 5

C. x = 6

D. x = 8

4 − x2
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
x 2 + 8 x + 15
A. 3 .
B. 2 .
C. 4 .
D. 0 .
S
.
ABCD
ABCD
Câu 25: Cho hình chóp
có đáy
là hình vng cạnh a 2 , SA ⊥ ( ABCD ) , SA = 2a .
Tính thể tích khối chóp S. ABCD

4 a 3
4a 3
A. V =
.
B. V =
.
C. V = 4a3 .
D. V = 4 a3 .
3
3
Câu 24: Đồ thị hàm số y =

Câu 26: Tính

( 8)
5

log 2 243

29

A. 27 .
B. 9 .
C. 3 3 .
D. 8 .
Câu 27: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có tất cả các cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa AB
và CC '.

a 3
.

2
Câu 28: Trong không

B. a 3 .

A.

gian

với

hệ

C.
tọa

độ

Oxyz,

3.

D.
mặt

cầu

( x − 2 ) + ( y + 1) + ( z − 3) = 9. Xác định tọa độ tâm I .
A. I ( 2;1;3) .
B. I ( 2; −1;3) .

C. I ( −2;1; −3) .
2

2

(S )

3
.
2
có phương

trình

2

D. I ( −2; −1; −3) .

Câu 29: Đồ thị hàm số y = x3 − 6 x 2 + 11x − 6 cắt trục hoành tại đúng bao nhiêu điểm phân biệt?
A. 3.
B. 0.
C. 1.
D. 2.
Câu 30: Thể tích của khối nón có đường kính đường trịn đáy là 4, đường cao bằng 6 là
A. 8 .
B. 32 .
C. 24 .
D. 96 .
Câu 31: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị như hình bên?

−x +1
x +1
−x +1
−x
.
.
.
.
B. y =
C. y =
D. y =
−2 x + 1
2x −1
2x −1
−2 x + 1
Câu 32: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại A , AB = a , SB ⊥ ( ABC ) ,
A. y =

SB = a 2 . Gọi góc giữa SC và ( SAB ) là  . Tính tan  .

A. tan  =

1
.
3

B. tan  =

1
.

2

C. tan  =

thuvienhoclieu.com

3
.
2

D. tan  = 3 .

Trang 3


thuvienhoclieu.com
Câu 33: Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. a  0, b  0, c  0, d  0
C. a  0, b  0, c  0, d  0.

B. a  0, b  0, c  0, d  0.
D. a  0, b  0, c  0, d  0.

2 x−
c  x−2


Câu 34: Biết F ( x ) =  ax + b +  e x là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =  1 + x +  e x . Giá trị
x

x


của biểu thức P = a 2 − 2bc bằng:
A. −3.
B. 4.
C. 1.
D. 5.
Câu 35: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 2; 4; −5) . Viết phương trình mặt phẳng
2

( )

qua M và cắt các trục tọa độ lần lượt tại A , B , C (không trùng gốc tọa độ) sao cho tam
giác ABC nhận M làm trực tâm.
x y z
x−2 y−4 z +5
A. + + = 1 .
B.
.
=
=
2 4 5
2
4
−5
C. x + y + z − 1 = 0 .
D. 2 x + 4 y − 5z − 45 = 0 .
Câu 36: Cho số phức z thỏa mãn z + 3 − 5i = 10 và w = 2 z (1 − 3i ) + 9 − 14i . Khẳng định nào đúng
trong các khẳng định sau?

A. Tập hợp điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn tâm I ( −33; −14 ) .
B. Tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường trịn có tâm I ( 33;14 ) .
C. Tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường trịn có tâm I ( −33;14 ) .
D. Tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường trịn có bán kính R = 10 .
Câu 37: Đội văn nghệ của trường THPT X có 10 học sinh khối 12 , 9 học sinh khối 11 và 11 học sinh
khối 10 . Nhà trường cần chọn 8 bạn để tham gia tốp ca sao cho trong đó có đủ học sinh các
khối. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nhóm học sinh như thế?
A. 3309438 .
B. 5852925 .
C. 2543268 .
D. 5448102 .
Câu 38: Cho số phức z thỏa mãn z − 5 + 7i = 197 . Giá trị lớn nhất của z − 4 − 7i + z − 6 + 21i
thuộc tập hợp nào sau đây?

(

)

(

B. 30; 40.

)

C.  197; 2 394 
D. 2 394; 40 .
Câu 39: Cho ( P ) : x + 3 y − z − 9 = 0, A ( 2; 4;5 ) , B ( 3;1;1) . Viết phương trình đường thẳng d nằm trong
A. 20; 197 .

( P ) , đi qua điểm

A và d ( B; d ) là nhỏ nhất.

 x = 2 − 5t

A.  y = 4 + 7t ( t 
 z = 5 + 16t


 x = 2 + 5t
) . B.  y = 4 + 7t ( t 
 z = 5 + 16t


 x = 2 − 5t
) . C.  y = 4 − 7t ( t 
 z = 5 + 16t


 x = 2 − 5t
) . D.  y = 4 − 7t ( t 
 z = 5 − 16t


).

Câu 40: Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông tại B, AB = 2a, BC = a, SB = a 10,

SCB = 90, SAB = 90 . Tính VS . ABC ?

a3 5
a3 5
2a 3 5
3
.
.
.
B. V = a 5.
C. V =
D. V =
3
6
3
m
Câu 41: Có
bao
nhiêu
số
ngun
dương
để
phương
trình
2
3
2
m
log 3 ( x − 6 x + 9 x + 1) + x ( x − 3) = 3 + 2m − 1 có duy nhất một nghiệm thuộc khoảng
A. V =

thuvienhoclieu.com

Trang 4


thuvienhoclieu.com

( −2; 2 )
A. 4.
B. 3.
C. 1.
D. 0.
Câu 42: Cho A (1; 2;3) , B ( 2;3; 4 ) . Mặt cầu ( S ) có bán kính R và ( S ) tiếp xúc với đồng thời cả ba mặt
phẳng Oxy, Oyz, Oxz . Khối cầu ( S ) chứa đoạn thẳng AB (nghĩa là mọi điểm thuộc đoạn thẳng
AB đều thuộc khối cầu ( S ) ). Tính tổng các giá trị nguyên mà R có thể nhận được?
A. 7.
B. 3
C. 1
D. 5
Câu 43: Có bao nhiêu số nguyên m  1; 2023 để bất phương trình sau có

nghiệm

( x − 2 − m) .

x − 1  m − 4.
A. 2020.
B. 2021.
C. 2022.
D. Đáp án khác.

Câu 44: Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng đáy một góc 600 được thiết
diện là một tam giác vng cân có cạnh huyền bằng 4. Tính thể tích của khối nón ban đầu.
5 3
5 3
10 3 
3
.
.
.
.
A. V =
B. V =
C. V =
D. V =
3
3
3
3
Câu 45: Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) = 2 x3 − 12 x2 + 9 x + m + 8 + 9 x (với m là tham số)
trên đoạn  0;5 bằng 78. Tính tổng các giá trị của tham số m ?
A. 6 .
B. 12 .
C. 7 .
D. 8 .
3
2
Câu 46:
Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a  0 ) có đồ thị như hình vẽ.

 


2
Số nghiệm thuộc khoảng  − ; 4  của phương trình f ( cos x ) − 5 f ( cos x ) + 6 = 0 là:
 2

A. 13.
B. 9.
C. 7.
D. 12.
x +1
Câu 47: Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình 2 = log 4 ( x + 2 + 2m ) + m có nghiệm

x   −1;6.
B. 29.
C. Đáp án khác.
D. 28.
x + x −1
Câu 48: Cho hai hàm số y =
và y = x − x + 1 + m ( m là tham số thực) có đồ thị lần lượt là
x2 −1
( C1 ) và ( C2 ) . Số các giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng ( −10;10) để ( C1 ) và ( C2 )
cắt nhau tại ba điểm phân biệt là
A. 6 .
B. 7 .
C. 8 .
D. 9 .
Câu 49: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm cấp hai, liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn  0;1 , thỏa mãn
A. 30.

2

2
1
1
f  ( x ) − 2 f ( x ) f  ( x ) + 2 xf  ( x ) + ( x + 1) . f  ( x ) = 0 x  0;1 , f    = f   = 1 .
2
 2
1
2
a
a
Biết   f ( x ) dx = (a, b là các số nguyên dương và
là phân số tối giản). Giá trị của a + b
b
b
0

bằng:
A. 181 .

B. 25 .

C. 10 .

thuvienhoclieu.com

D. 26 .

Trang 5

thuvienhoclieu.com
Câu 50: Trong không gian

A ( −1; −5; 2 ) , B ( 3;3; −2 )

Oxyz , cho hai điểm

và đường thẳng

x −3 y +3 z + 4
; hai điểm C, D thay đổi trên d : CD = 6 3 . Biết rằng khi
=
=
1
1
1
C ( a; b; c ) (b  2) thì tổng diện tích tất cả các mặt của tứ diện đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng
d:

a+b+c.
A. a + b + c = 2 .

B. a + b + c = −1.

C. a + b + c = −4 .

D. a + b + c = −7 .

---------- HẾT ----------

1.B
11.A
21.B
31.B
41.C

2.C
12.B
22.A
32.A
42.A

3.B
13.B
23.A
33.C
43.C

ĐÁP ÁN
5.D
6.B
15.B
16.C
25.A
26.A
35.D
36.B
45.D
46.A

4.C
14.D
24.D
34.C
44.D

7.C
17.B
27.A
37.D
47.C

8.D
18.C
28.B
38.B
48.B

9.D
19.A
29.A
39.C
49.B

10.C
20.D
30.A
40.A
50.D

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  0;5 . Nếu
bằng
A. 4 .

B. −4 .

3

5

0

3

 f ( x ) dx = 6,  f ( x ) dx = −10

C. −60 .
Lời giải

5

thì

 f ( x ) dx
0

D. 16 .

Chọn B
Ta có
Câu 2:

5

3

5

0

0

3

 f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx = −4.

Tập xác định của hàm số y = log5 x là
A.

B.  0; + ) .

.

C. ( 0; + ) .

D. ( 0; + ) \ 1 .

Lời giải
Chọn C
4

Câu 3:

Cho



4

f ( x ) dx = 5 . Tính I =  −13 f ( t ) dt

2

2

A. −18 .

B. −65 .

C. 65 .
Lời giải

D. 18 .

Chọn B
4

Ta có I =  −13 f ( t ) dt = −13.5 = −65.
2

Câu 4:

Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

x
y'
y

∞
+

1
0
0

∞

3
0

+∞
+
+∞

-2

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên ( −;1  3; + ) .
B. Hàm số có giá trị lớn nhất là 0 khi x = 1 .
C. Hàm số có giá trị cực tiểu là −2 khi x = 3 .
thuvienhoclieu.com

Trang 6


thuvienhoclieu.com
D. Hàm số nghịch biến trên đoạn  0; 2 .
Lời giải
Chọn C
Từ bảng biến thiên ta có
+) Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −;1) , ( 3; + ) và nghịch biến trên khoảng (1;3)

Câu 5:

Câu 6:

+) Hàm số khơng có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
+) Hàm số có giá trị cực tiểu là −2 khi x = 3 . Hàm số có giá trị cực đại là 0 khi x = 1 .
Số phức z = 6 + 21i có số phức liên hợp z là
A. z = 21 − 6i .
B. z = −6 − 21i .
C. z = −6 + 21i .
D. z = 6 − 21i .
Lời giải
Chọn D
Số phức liên hợp của z = 6 + 21i là z = 6 − 21i

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
1 x
A.  5x dx = x.5x −1 + C . B.  5x dx =
.5 + C .
ln 5
C.  5 x dx = 5 x + C .
D.  5x dx = 5x.ln 5 + C .
Lời giải

Câu 7:

Câu 8:

Chọn B
Số phức z = 6 + 9i có phần ảo là
A. −9 .
B. 9i .

C. 9 .
Lời giải

D. 6 .

Chọn C
Cho hàm số y = 2 x3 − 2 x 2 + 7 x + 1 . Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

 −1;0 lần lượt là

A. −10 .

M và m . Giá trị của M + m là

C. −11 .
Lời giải

B. 1 .

D. −9 .

Chọn D
Ta có y = 6 x 2 − 4 x + 7  y = 0  6 x 2 − 4 x + 7 = 0 (vơ nghiệm).
Khi đó y ( −1) = −10 , y ( 0 ) = 1 do vậy M = 1 và m = −10 .
Vậy M + m = −9 .
Câu 9: Thể tích của khối cầu có bán kình bằng 2cm là
32
32
cm3 ) .
cm3 ) .
A. 8 3 ( cm3 ) .
B. 8 ( cm3 ) .
C.
D.
(
(
3
3
Lời giải
Chọn D
4
32

Thể tích của khối cầu là: V = . .23 =
( cm3 ) .
3
3
Câu 10: Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = 2, u15 = 40 . Tính tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này.
A. S = 300 .

B. S = 285 .

C. S = 315 .
Lời giải

D. S = 630 .

Chọn C

15. ( 2 + 40 )
= 315.
2
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số
 x = 1 + 2t

 y = 2 − 3t ( t  R ) . Đường thẳng d không đi qua điểm nào dưới đây?
 z = 1 + 4t


Tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: S15 =

thuvienhoclieu.com

Trang 7


thuvienhoclieu.com
A. Q ( 2; −3; 4 ) .

B. N ( 3; −1;5) .

C. P ( 5; −4;9 ) .

D. M (1; 2;1) .

Lời giải
Chọn A
Thay tọa độ Q ( 2; −3; 4 ) vào phương trình đường thẳng khơng thỏa.
Câu 12: Cho z1 = 3 + 6i, z2 = 9 − 7i. Số phức z1 + z2 có phần thực là
A. 27.
B. 12.
C. −1.
Lời giải
Chọn B
Ta có: z1 + z2 = ( 3 + 6i ) + ( 9 − 7i ) = 12 − i

D. 1.

Vậy phần thực của z1 + z2 là 12 .
2x −1
Câu 13: Cho hàm số y =
, tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là
x+2

A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 0 .
Lời giải
Chọn B
1
1
2−
2−
2
x
−
1
2x −1
x = 2 nên đường
x = 2 ; lim y = lim
= lim
Ta có lim y = lim
= lim
x →−
x →− x + 2
x →−
x →+
x →+ x + 2
x →+
2
2
1+
1+

x
x
thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
2x −1
lim+ y = lim+
= −; lim− y = +  đường thẳng x = −2 là tiệm cận đứng của đồ thị
x →−2
x →−2 x + 2
x →−2
hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.
Câu 14: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm A ( 2;1;1) và
vng góc với trục tung là
A. x = 2 .
B. 2 x + y + z − 4 = 0. C. z = 1.
D. y = 1.
Lời giải
Chọn D
Mặt phẳng ( ) đi qua điểm A ( 2;1;1) và vng góc với trục tung nhận vectơ j = ( 0;1;0) là
vectơ pháp tuyến nên mặt phẳng ( ) có phương trình: y − 1 = 0  y = 1.
Câu 15: Tính đạo hạm của hàm số y = ( 2 x − x + 1)
2

3
2

5
3
3
A. y = . ( 2 x 2 − x + 1) 2 . B. y = . ( 4 x − 1) 2 x 2 − x + 1. .

2
2
5
1
2
2
2
2
2


y
=
.
2
x
−
x
+
1
y
=
.
4
x
−
1
2
x
−

x
+
1
C.
)(
(
) . D. 3 (
)2 .
5
Lời giải
Chọn B
3
1
1
3
3

2
2
2
2
2
2

Ta có: y = ( 2 x − x + 1)  y = . ( 2 x − x + 1) . ( 2 x − x + 1) = . ( 4 x − 1) ( 2 x − x + 1) 2 .
2
2
7



Câu 16: Cho a, b, c  0, a  1 và log a b = 2022 . Tính log 6 a  a 4 . 6 b  .


7
21
2
2022
+ 2022 .
+ 2022 .
A. 42 +
.
B. + 6 2022 .
C.
D.
4
2
21
6
Lời giải
Chọn C

thuvienhoclieu.com

Trang 8


thuvienhoclieu.com
7
 74 6 
7

21
Ta có: log 6 a  a . b  = log 6 a a 4 + log 6 a 6 b = 6. + 2022 = + 2022.
4
2


Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn z (1 + 3i ) = 1 − 4i + 3z. Tính z .

17
.
13

A. z =

B. z =

17
.
13

C. z =

13
.
17

D. z =

13
.

17

Lời giải
Chọn B
Ta có z (1 + 3i ) = 1 − 4i + 3z  z ( −2 + 3i ) = 1 − 4i  z =
2

1 − 4i
14 5
=− + i
−2 + 3i
13 13

2

14 5
17
 14   5 
 z = − + i = −  +  =
.
13 13
13
 13   13 
Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng ( P ) đi qua A ( 2;0;6 ) và nhận n (1;2;3) là
một vectơ pháp tuyến có phương trình là
x = 2 + t

A.  y = 2t
( t  ) . B. 2x + 6 y − 20 = 0.
 z = 6 + 3t


x−2 y−0 z −6
C. x + 2 y + 3z − 20 = 0. D.
=
=
.
1
2
3
Lời giải
Chọn C
Phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua A ( 2;0;6 ) và có vectơ pháp tuyến n = (1;2;3) là

1.( x − 2 ) + 2 ( y − 0 ) + 3 ( z − 6 ) = 0  x + 2 y + 3z − 20 = 0.

Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho u ( 2; 4; −1) . Đẳng thức nào đúng trong các đẳng
thức sau?
A. u = 2i + 4 j − k.
B. u = −2i − 4 j + k.
C. u = 2 + 4 − 1.
D. u = 22 + 42 − 12.
Lời giải
Chọn A
Ta có u = ( 2;4; −1)  u = 2i + 4 j − k.
Câu 20: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình 2 f ( x ) = 17 có bao nhiêu
nghiệm phân biệt?

A. 2.

B. 3.

C. 0.
Lời giải

D. 1.

Chọn D
17
= 8,5
2
Từ đồ thị ta thấy phương trình có 1 nghiệm phân biệt
Câu 21: Tìm họ các nguyên hàm của hàm số y = cos 4 x

Ta có 2 f ( x ) = 17  f ( x ) =

thuvienhoclieu.com

Trang 9


thuvienhoclieu.com

1
B.  cos 4 x dx = sin 4 x + C.
4
1
D.  cos 4 x dx = − sin 4 x + C.
4
Lời giải

A.  cos 4 x dx = 4sin 4 x + C.
C.  cos 4 x dx = sin 4 x + C.
Chọn B

1
Ta có  cos 4 x dx = sin 4 x + C.
4
Câu 22: Tập nghiệm của bất phương trình 2 x  4 là:
A. ( −; 2
B.  0; 2
C. ( −; 2 )
D. ( 0; 2 )
Lời giải
Chọn A
Ta có 2 x  4  x  2  Tập nghiệm của bất phương trình là ( −; 2 .
Câu 23: Nghiệm của phương trình log3 x = 2 là
A. x = 9
B. x = 5

C. x = 6
Lời giải

D. x = 8

Chọn A
log3 x = 2  x = 32  x = 9 .

4 − x2
Câu 24: Đồ thị hàm số y = 2
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

x + 8 x + 15
A. 3 .
B. 2 .
C. 4 .
Lời giải
Chọn D
−2  x  2

Điều kiện  x  −5
 x  −3


D. 0 .

Vì x = −3 và x = −5 không thỏa mãn điều kiện 4 − x 2  0 nên đồ thị hàm số khơng có tiệm
cận đứng.
Từ điều kiện của hàm số suy ra đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang.

4 − x2
khơng có đường tiệm cận.
x 2 + 8 x + 15
Câu 25: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a 2 , SA ⊥ ( ABCD ) , SA = 2a .
Tính thể tích khối chóp S. ABCD
4 a 3
4a 3
A. V =
.
B. V =
.
C. V = 4a3 .

D. V = 4 a3 .
3
3
Lời giải
Chọn A
Vậy đồ thị hàm số y =

thuvienhoclieu.com

Trang 10


thuvienhoclieu.com

S

A

D

B

C

(

Diện tích hình vng ABCD là: S ABCD = a 2

)

2

= 2a 2

1
1
4a 3
Thể tích khối chóp S. ABCD là: VS . ABCD = SA.S ABCD = .2a 2 .2a =
3
3
3

( 8)
Tính
5

Câu 26:

log 2 243

29

A. 27 .

C. 3 3 .
Lời giải

B. 9 .

D. 8 .

Chọn A
Ta có:

( )
5

8

log2 243

1

= 85

.log2 35

(

= 8log2 3 = 2log2 3

)

3

= 33 = 27

Câu 27: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có tất cả các cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa AB
và CC '.
a 3

3
A.
.
B. a 3 .
C. 3 .
D.
.
2
2
Lời giải
Chọn A

Gọi H là trung điểm của AB  CH ⊥ AB (1).
Mặt khác CC ⊥ CH (2)
a 3
Từ (1) và (2) suy ra d ( AB; CC ) = CH =
.
2
Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,

mặt

cầu

( x − 2 ) + ( y + 1) + ( z − 3) = 9. Xác định tọa độ tâm I .
A. I ( 2;1;3) .
B. I ( 2; −1;3) .
C. I ( −2;1; −3) .
2

2

(S )

có

phương

2

D. I ( −2; −1; −3) .

Lời giải
thuvienhoclieu.com

Trang 11

trình


thuvienhoclieu.com
Chọn B

 I ( 2; −1;3)
2
2
2
Phương trình ( x − 2 ) + ( y + 1) + ( z − 3) = 9  
 R=3
3

2
Câu 29: Đồ thị hàm số y = x − 6 x + 11x − 6 cắt trục hoành tại đúng bao nhiêu điểm phân biệt?
A. 3.
B. 0.
C. 1.
D. 2.
Lời giải
Chọn A
 x =1
Phương trình hồnh độ giao điểm x3 − 6 x 2 + 11x − 6 = 0   x = 2 .
 x = 3
Do phương trình có 3 nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm.
Câu 30: Thể tích của khối nón có đường kính đường trịn đáy là 4, đường cao bằng 6 là
A. 8 .
B. 32 .
C. 24 .
D. 96 .
Lời giải
Chọn A
1
1
V =  hR 2 =  .6.22 = 8
3
3
Câu 31: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị như hình bên?

A. y =

−x +1
.

−2 x + 1

B. y =

x +1
.
2x −1

C. y =

−x +1
.
2x −1

D. y =

−x
.
−2 x + 1

Lời giải
Chọn B

x +1
2x −1
Câu 32: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB = a , SB ⊥ ( ABC ) ,

Đồ thị đi qua điểm ( −1;0 ) nên y =

SB = a 2 . Gọi góc giữa SC và ( SAB ) là  . Tính tan  .

A. tan  =

1
.
3

B. tan  =

1
.
2

C. tan  =

3
.
2

D. tan  = 3 .

Lời giải
Chọn A

thuvienhoclieu.com

Trang 12


thuvienhoclieu.com

S

C

B

A

 AC ⊥ AB
 AC ⊥ ( SAB )
Ta có: 
 AC ⊥ SB
Suy ra, hình chiếu của SC lên mặt phẳng ( SAB ) là SA  ( SC; ( SAB ) ) = ( SC; SA) = ASC = 
Tam giác ABC vuông cân tại A nên AC = AB = a
Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác SAB ta có: SA = SB 2 + AB 2 = a 3
AC
a
1
1
Tam giác SAC vng tại A có: tan ASC =
=
=
 tan  =
SA a 3
3
3
Câu 33: Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. a  0, b  0, c  0, d  0
C. a  0, b  0, c  0, d  0.

B. a  0, b  0, c  0, d  0.
D. a  0, b  0, c  0, d  0.
Lời giải

Chọn C
Ta có y = 3ax2 + 2bx + c; y = 6ax + 2b
Từ đồ thị suy ra
+) lim y = −  a  0
x→+

+) Hàm số có hai cực trị trái dấu  y có hai nghiệm trái dấu  ac  0 , mà a  0  c  0 .
+) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng có hồnh độ dương suy ra y có nghiệm dương
b
 − 0b0.
3a
2  x − 2x
c  x − 2x


f
x
=
1
+
x
+
Câu 34: Biết F ( x ) =  ax + b +  e
là một nguyên hàm của hàm số ( ) 
 e . Giá trị

x
x


của biểu thức P = a 2 − 2bc bằng:
A. −3.
B. 4.

C. 1.
Lời giải

D. 5.

Chọn C

2 x−
c  x − 2x


F
x
=
ax
+
b
+
Vì
là nguyên hàm của f ( x ) =  1 + x +  e x nên ta có
( ) 
e

x
x


F( x) = f ( x)
2

thuvienhoclieu.com

Trang 13


thuvienhoclieu.com
Mà

c  x− 
c 
2  x−
1
1

 2c
 x−
F  ( x ) =  a − 2  e x +  a x + b + 1 + 2  .e x =  3 + ( 2b − c ) 2 + ( 2a + c ) + a x + a + b  e x
x  x 
x
x 
x



x

2

2

2

2 x−
c  x−2


Vì F ( x ) =  ax + b +  e x là nguyên hàm của f ( x ) =  1 + x +  e x nên ta có
x
x


c = 0
2b − c = 0
a = 1


F  ( x ) = f ( x )  2a + c = 2  b = 0  a 2 − 2bc = 1 .
a = 1
c = 0


a + b = 1
Câu 35: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 2; 4; −5) . Viết phương trình mặt phẳng
2

( )

qua M và cắt các trục tọa độ lần lượt tại A , B , C (không trùng gốc tọa độ) sao cho tam
giác ABC nhận M làm trực tâm.
x y z
x−2 y−4 z +5
A. + + = 1 .
B.
.
=
=
2 4 5
2
4
−5
C. x + y + z − 1 = 0 .
D. 2 x + 4 y − 5z − 45 = 0 .
Lời giải
Chọn D
x y z
Giả sử A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) và C ( 0;0; c ) nên mặt phẳng ( ABC ) : + + = 1 .
a b c
Ta có BC = ( 0; −b; c ) , CA = ( a;0; −c ) và AM = ( 2 − a; 4; −5) , BM = ( 2;4 − b; −5) .

5

b=− c

 AM .BC = 0

−4b − 5c = 0

4 .
Vì M là trực tâm ABC nên ta có hệ: 


2a + 5c = 0
a = − 5 c
 BM .CA = 0

2
45

a
=

2 4 5
4 16 5
2 .
Ta lại có M  ( ABC )  + − = 1  − − − = 1  c = −9 nên 
a b c
5c 5c c
45
b =

4
2x 4 y x
− = 1  2 x + 4 y − 5 z − 45 = 0 .
Vậy ( ABC ) : +
45 45 9

Câu 36: Cho số phức z thỏa mãn z + 3 − 5i = 10 và w = 2 z (1 − 3i ) + 9 − 14i . Khẳng định nào đúng
trong các khẳng định sau?
A. Tập hợp điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn tâm I ( −33; −14 ) .
B. Tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường trịn có tâm I ( 33;14 ) .
C. Tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường trịn có tâm I ( −33;14 ) .
D. Tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường trịn có bán kính R = 10 .
Lời giải
Chọn B
w − ( 9 − 14i )
Ta có w = 2 z (1 − 3i ) + 9 − 14i  w − ( 9 − 14i ) = 2 (1 − 3i ) z  z =
.
2 − 6i
w − ( 9 − 14i )
+ 3 − 5i = 10
Khi đó z + 3 − 5i = 10 
2 − 6i
thuvienhoclieu.com

Trang 14


thuvienhoclieu.com

w − ( 9 − 14i ) + ( 3 − 5i )( 2 − 6i )



2 − 6i

= 10

 w − ( 33 + 14i ) = 20

Tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I ( 33;14 ) , bán kính R = 20 .
Câu 37: Đội văn nghệ của trường THPT X có 10 học sinh khối 12 , 9 học sinh khối 11 và 11 học sinh
khối 10 . Nhà trường cần chọn 8 bạn để tham gia tốp ca sao cho trong đó có đủ học sinh các
khối. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nhóm học sinh như thế?
A. 3309438 .
B. 5852925 .
C. 2543268 .
D. 5448102 .
Lời giải
Chọn D
Đặt A: “Chọn 8 bạn để tham gia tốp ca sao cho trong đó có đủ học sinh các khối”.
Suy ra A : “Chọn 8 bạn để tham gia tốp ca sao cho học sinh chỉ được chọn từ 1 khối hoặc 2
khối”.
+) Trường hợp 1: “Chọn 8 bạn để tham gia tốp ca sao cho học sinh chỉ được chọn từ 1 khối”.
8
8
Có C10
+ C98 + C11
= 219 cách chọn.
+) Trường hợp 2: “Chọn 8 bạn để tham gia tốp ca sao cho học sinh chỉ được chọn từ 2 khối”.
- Chọn 8 bạn để tham gia tốp ca sao cho học sinh chỉ được chọn từ 2 khối 10 và 11
1 7
2 6
3 5
4 4
5 3
6 2

7 1
Có C11
C9 + C11
C9 + C11
C9 + C11
C9 + C11
C9 + C11
C9 + C11
C9 = 125796 cách chọn.
- Chọn 8 bạn để tham gia tốp ca sao cho học sinh chỉ được chọn từ 2 khối 11 và 12
7
6
5
4
3
2
1
Có C91C10
+ C92C10
+ C93C10
+ C94C10
+ C95C10
+ C96C10
+ C97C10
= 75528 cách chọn.
- Chọn 8 bạn để tham gia tốp ca sao cho học sinh chỉ được chọn từ 2 khối 10 và 12
1 7
2 6
3 5
4 4

5 3
6 2
7 1
Có C11
C10 + C11
C10 + C11
C10 + C11
C10 + C11
C10 + C11
C10 + C11
C10 = 203280 cách chọn.

( )

Suy ra n A = 219 + 125796 + 75528 + 203280 = 404823 cách.
8
− 404823 = 5448102 cách chọn.
Vậy n ( A) = C30

Câu 38: Cho số phức z thỏa mãn z − 5 + 7i = 197 . Giá trị lớn nhất của z − 4 − 7i + z − 6 + 21i
thuộc tập hợp nào sau đây?
A. 20; 197 .
B. 30; 40.
C.  197; 2 394 
D. 2 394; 40 .
Lời giải
Chọn B
Gọi M ( x; y ) là điểm biểu diễn số phức z

(

)

(

)

Suy ra, M  ( C ) : ( x − 5) + ( y + 7 ) = 197 có tâm I ( 5; −7 )
2

2

Gọi A ( 4;7 ) , B ( 6; −21) . Ta thấy A, B  ( C )

Mặt khác, AB = 2 197 = 2R  AB là đường kính của đường trịn ( C ) .

M  ( C ) : MA2 + MB 2 = AB 2 = 788

(

)

Ta có: ( MA + MB )  2 MA2 + MB 2 = 2.788 = 1576
2

 MA + MB  1576 = 2 394
Ta có: z − 4 − 7i + z − 6 + 21i = MA + MB  2 394
Vậy giá trị lớn nhất của z − 4 − 7i + z − 6 + 21i bằng 2 394  39,69.
Dấu " = " xảy ra khi MA = MB
Câu 39: Cho ( P ) : x + 3 y − z − 9 = 0, A ( 2; 4;5 ) , B ( 3;1;1) . Viết phương trình đường thẳng d nằm trong

( P ) , đi qua điểm

A và d ( B; d ) là nhỏ nhất.

thuvienhoclieu.com

Trang 15


thuvienhoclieu.com

 x = 2 − 5t

A.  y = 4 + 7t ( t 
 z = 5 + 16t


 x = 2 + 5t
) . B.  y = 4 + 7t ( t 
 z = 5 + 16t


 x = 2 − 5t

C.  y = 4 − 7t ( t 
 z = 5 + 16t


 x = 2 − 5t

) . D.  y = 4 − 7t ( t  ) .
 z = 5 − 16t

Lời giải

).

Chọn C

Hạ BH ⊥ ( P ) , HK ⊥ d . Nên: d ⊥ ( BHK )  d ⊥ BK .
Do BHK vuông tại H nên: BK  BH  d ( B, d )min = BH .

Do H là hình chiếu vng góc của B trên ( P ) nên: H ( 3 + t ;1 + 3t ;1 − t )
Do H  ( P ) nên: ( 3 + t ) + 3 (1 + 3t ) − (1 − t ) − 9 = 0  t =

4
 37 23 7 
 H ; ; 
11
 11 11 11 

 15 21 48 
Từ đó: AH =  ; ; −  , chọn ud = ( 5−; −7;16) cùng phương AH .
 11 11 11 
 x = 2 − 5t

Vậy phương trình đường thẳng: ( d ) :  y = 4 − 7t ( t  ) .
 z = 5 + 16t


Câu 40: Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vng tại B, AB = 2a, BC = a, SB = a 10,

SCB = 90, SAB = 90 . Tính VS . ABC ?
A. V =

a3 5
.
3

3
B. V = a 5.

C. V =

a3 5
.
6

D. V =

2a 3 5
.
3

Lời giải
Chọn A

thuvienhoclieu.com

Trang 16

thuvienhoclieu.com

Dựng hình hộp chữ nhật và chọn đỉnh S , A, B, C, D như hình vẽ.
Ta có: AC = BD = AB2 + BC 2 = a 5, SD = SB 2 − BD2 = a 5
1
a3 5
Vậy: VS . ABC = .SD.S ABC =
3
3
Câu 41: Có
bao
nhiêu
số

ngun

dương

m
để
phương
trình
log 3 ( x3 − 6 x 2 + 9 x + 1) + x ( x − 3) = 3m + 2m − 1 có duy nhất một nghiệm thuộc khoảng
2

( −2; 2 )
A. 4.

B. 3.

Chọn C
Ta có

log

3

C. 1.
Lời giải

(x

3

D. 0.

− 6 x 2 + 9 x + 1) + x ( x − 3) = 3m + 2m − 1
2

 2log3 ( x3 − 6 x 2 + 9 x + 1) + x3 − 6 x 2 + 9 x + 1 = 3m + 2m

Đặt t = log 3 ( x3 − 6 x 2 + 9 x + 1)  x3 − 6 x 2 + 9 x + 1 = 3t . Khi đó ta có

2 log 3 ( x3 − 6 x 2 + 9 x + 1) + x3 − 6 x 2 + 9 x + 1 = 3m + 2m  3t + 2t = 3m + 2m .

Xét hàm số f ( u ) = 3u + 2u là hàm đồng biến u 

nên suy ra

f ( t ) = f ( m )  t = m  x − 6 x 2 + 9 x + 1 = 3m .
3

Xét hàm số f ( x ) = x3 − 6 x 2 + 9 x + 1 trên khoảng ( −2; 2 ) có bbt:

0  3m  3
m = 1
Để thỏa mãn ycbt thì  m
.

 m = log 3 5 
3 = 5
Vậy có duy nhất 1 giá trị nguyên dương của m thỏa ycbt.
Câu 42: Cho A (1; 2;3) , B ( 2;3; 4 ) . Mặt cầu ( S ) có bán kính R và ( S ) tiếp xúc với đồng thời cả ba mặt

phẳng Oxy, Oyz, Oxz . Khối cầu ( S ) chứa đoạn thẳng AB (nghĩa là mọi điểm thuộc đoạn thẳng
AB đều thuộc khối cầu ( S ) ). Tính tổng các giá trị nguyên mà R có thể nhận được?

A. 7.

B. 3

C. 1
thuvienhoclieu.com

D. 5
Trang 17

thuvienhoclieu.com
Lời giải
Chọn A
Vì mặt cầu ( S ) có bán kính R và ( S ) tiếp xúc với đồng thời cả ba mặt phẳng Oxy, Oyz, Oxz
nên tọa độ tâm I ( a, a, a ) và a = R .
Để khối cầu ( S ) chứa đoạn thẳng AB thì ta cần có:

3 − 2  a  3 + 2
2
2
2
9 − 23
 IA  R
a − 6a + 7  0

 2
  9 − 23

 a  3+ 2 .
 2
9
+
23
2
2
a
 IB  R
2a − 18a + 29  0

 2

2
Vì a  nên a  3; 4 . Tức là R  3; 4 , suy ra tổng các giá trị nguyên mà R có thể nhận
được bằng 7 .
Câu 43: Có bao nhiêu số nguyên m  1; 2023 để bất phương trình sau có nghiệm

( x − 2 − m) .

x − 1  m − 4.

A. 2020.

B. 2021.

C. 2022.
Lời giải

D. Đáp án khác.

Chọn C
Điều kiện: x  1.

(

)

Ta có ( x − 2 − m ) . x − 1  m − 4.  m 1 + x − 1  ( x − 2 ) x − 1 + 4  m 

( x − 2)

x −1 + 4

1 + x −1

.

Đặt t = x − 1, t  0 . Bất phương trình trở thành

m

t ( t 2 − 1) + 4
1+ t

m

t3 − t + 4
(*)
t +1

t −t + 4
,t  0 .
t +1
2t 3 + 3t 2 − 5
Ta có f  ( t ) =
, f (t ) = 0  t = 1 .
2
( t + 1)
Bảng biến thiên

Xét hàm số f ( t ) =

3

Từ bảng biến thiên, suy ra bất phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi m  2 .
Do m và m  1; 2023 nên m2;3;...;2023  có 2022 giá trị m thỏa mãn.
Câu 44: Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng đáy một góc 600 được thiết
diện là một tam giác vng cân có cạnh huyền bằng 4. Tính thể tích của khối nón ban đầu.
5 3
5 3
10 3 
3
.
.
.
.
A. V =
B. V =
C. V =
D. V =
3
3
3
3
Lời giải
Chọn D

thuvienhoclieu.com

Trang 18

thuvienhoclieu.com

Giả sử hình nón đỉnh ( S ) tâm O , thiết diện qua đỉnh ở giả thiết là tam giác vuông cân SAB .
Gọi K là trung điểm của AB , suy ra góc giữa ( SAB ) và mặt đáy là SKO = 60 .
1
Ta có AB = 4  SK = AB = 2 và SA = SB = 2 2 .
2
Tam giác SKO vuông tại O : SO = SK.tan SKO = 3 .
Tam giác SAO vuông tại O : AO = SA2 − SO 2 = 5 .
1
5 3
Thể tích khối nón V =  . AO 2 .SO =
.
3
3
Câu 45: Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) = 2 x3 − 12 x2 + 9 x + m + 8 + 9 x (với m là tham số)

trên đoạn  0;5 bằng 78. Tính tổng các giá trị của tham số m ?
A. 6 .
B. 12 .
C. 7 .
D. 8 .
Lời giải
Chọn D
Do giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) = 2 x3 − 12 x 2 + 9 x + m + 8 + 9 x ( m là tham số) trên
đoạn  0;5 là 78 nên
2 x3 − 12 x 2 + 9 x + m + 8 + 9 x  78 x  0;5 và dấu bằng phải xảy ra tại ít nhất một điểm

 2 x3 − 12 x 2 + 9 x + m + 8  78 − 9 x x   0;5


78 − 9 x  0 dung x   0;5

3
2
9 x − 78  2 x − 12 x + 9 x + m + 8  78 − 9 x

 −2 x3 + 12 x 2 − 86  m  −2 x3 + 12 x 2 − 18 x + 70 x   0;5
 m  max ( −2 x3 + 12 x 2 − 86 )
x0;5
m  −22



( −2 x3 + 12 x2 − 18x + 70 )  m  30
m  xmin
0;5

 m = −22
Và dấu bằng phải xảy ra nên 
. Vậy tổng tất cả giá trị m là 8
 m = 30

3
2
Câu 46: Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a  0 ) có đồ thị như hình vẽ.

thuvienhoclieu.com

Trang 19

thuvienhoclieu.com


Số nghiệm thuộc khoảng  − ; 4  của phương trình f 2 ( cos x ) − 5 f ( cos x ) + 6 = 0 là:
 2

A. 13.
B. 9.
C. 7.
D. 12.
Lời giải
Chọn A
 

x   − ; 4   cos x   −1;1  f ( cos x )   −1;3.
 2

Phương trình đã cho tương đương:
f 2 ( cos x ) − 5 f ( cos x ) + 6 = 0
 f ( cos x ) = 2
f


 f ( cos x ) = 3
 f

f

( cos x ) = 2  f


( cos x ) = 3  f
f


( cos x ) = −2 (VN )
.
( cos x ) = 2
( cos x ) = −3 (VN )
( cos x ) = 3

cos x = a ( −1  a  0 ) , (1)
.
cos x = b ( 0  b  1) , ( 2 )

TH1: f ( cos x ) = 2  

Phương trình số (1) có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn.
Phương trình số ( 2 ) có 5 nghiệm phân biệt thỏa mãn.
TH2: f ( cos x ) = 3  cos x = 0, ( 3) .
Phương trình số ( 3) có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn (lưu ý không lấy nghiệm tại x =

thuvienhoclieu.com

Trang 20

−
).
2

thuvienhoclieu.com

Vậy kết hợp cả hai trường hợp, phương trình đã cho có tổng cộng 13 nghiệm
Câu 47: Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình 2 x +1 = log 4 ( x + 2 + 2m ) + m có nghiệm

x   −1;6.
A. 30.

C. Đáp án khác.
Lời giải

B. 29.

D. 28.

Chọn C
Do m là số nguyên dương và x   −1;6. nên x + 2 + m  0 .
2 x +1 = log 4 ( x + 2 + 2m ) + m  2 x + 2 + x + 2 = x + 2 + 2m + log 2 ( x + 2 + 2m )
 2 x + 2 + x + 2 = 2log2 ( x + 2+ 2 m ) + log 2 ( x + 2 + 2m )

Xét hàm số f ( t ) = 2t + t với t 

có f ( t ) = 2t.ln 2 + 1  0, t 

Suy ra hàm số y = f ( t ) đồng biến trên

.

.Ta có

 f ( t ) = 2t + t

 x + 2 = log 2 ( x + 2 + 2m )  x + 2 + 2m = 2 x + 2  2m = 2 x + 2 − x − 2
 f  (t )  0

 f ( x + 2 ) = f ( log 2 ( x + 2 + 2m ) )
Xét hàm số g ( x ) = − x − 2 + 2 x + 2  g  ( x ) = −1 + 2 x + 2.ln 2  0 x   −1;6 .
Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 6  2m  248  3  m  124 .
Mà m  0 và m  nên m  3; 4;...;124 .
Vậy có 122 giá trị nguyên dương của tham số m thoả mãn phương trình có nghiệm x   −1;6.
x2 + x −1
và y = x − x + 1 + m ( m là tham số thực) có đồ thị lần lượt là
x2 −1
và ( C2 ) . Số các giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng ( −10;10 ) để ( C1 ) và ( C2 )

Câu 48: Cho hai hàm số y =

( C1 )

cắt nhau tại ba điểm phân biệt là
thuvienhoclieu.com

Trang 21


thuvienhoclieu.com
A. 6 .

B. 7 .

C. 8 .
Lời giải

D. 9 .

Chọn B
x2 + x −1
= x − x + 1 + m . Điều kiện x  1 .
x2 −1
1 1
1 
PT trên  
+
 +1− x + x +1 = m .
2  x −1 x + 1 
1 1
1 
2
Xét hàm số f ( x ) = 
+
 + 1 − x + ( x + 1) với x  1 .
2  x −1 x +1 
Ta
có
( x + 1)  f ' x = − 1  1 + 1  − x + 1 − ( x + 1)
1
1

1 
f '( x) =  −
−
 −1+
( )
2
2
2  ( x − 1) ( x + 1) 
x +1
2  ( x − 1)2 ( x + 1)2 
x −1

Xét phương trình

Do x + 1  ( x + 1) , suy ra f ' ( x )  0, x  1.
BBT:

Do đó phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m  2 .
Vậy có 7 giá trị nguyên của tham số m .
Câu 49: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm cấp hai, liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn  0;1 , thỏa mãn
2
1
1
f  ( x ) − 2 f ( x ) f  ( x ) + 2 xf  ( x ) + ( x + 1) . f  ( x ) = 0 x  0;1 , f    = f   = 1 .
2
 2
1
2
a
a

Biết   f ( x ) dx = (a, b là các số nguyên dương và
là phân số tối giản). Giá trị của a + b
b
b
0

bằng:
A. 181 .

B. 25 .

C. 10 .
Lời giải

D. 26 .

Chọn B
Biến đổi phương trình:
f  ( x ) − 2 f ( x ) f  ( x ) + 2 xf  ( x ) + ( x + 1) . f  ( x ) = 0
2
 f  ( x ) + f  ( x ) + 2 xf  ( x ) + ( x + 1) . f  ( x ) = 2 f ( x ) f  ( x ) + f  ( x )
2
 ( 2 x + 2 ) f  ( x ) + ( x + 1) . f  ( x ) = 2 f ( x ) f  ( x ) + f  ( x )

2
 ( x + 1) . f  ( x )  =  2 f ( x ) + 1 f  ( x )


2

Lấy nguyên hàm hai vế của phương trình trên, ta được:

( x + 1)

2

. f  ( x ) = f 2 ( x ) + f ( x ) + C1 ( I )

1

1

9

1

Theo giả thuyết, f    = f   = 1  = 2 + C1  C1 =
4
4
2
 2
Phương trình ( I ) trở thành ( x + 1) . f  ( x ) = f 2 ( x ) + f ( x ) +
2

1
4

Tiếp tục biến đổi phương trình trên, ta được như sau:
f ( x)

1
f 2 ( x) + f ( x) +
4

=

1

( x + 1)

2

( f ( x )  0)
thuvienhoclieu.com

Trang 22


thuvienhoclieu.com
Lấy nguyên hàm hai vế của phương trình trên, ta được:



f  ( x ) dx

1
 f ( x) + 
2


2

=

1

( x + 1)

2

dx 

1

−1
1
f ( x) +
2

=

−1
+C
( x + 1) 2

1

1

1

Theo giả thuyết, f    = f   = 1  C2 = 0 
=
1 ( x + 1)
2
 2
f ( x) +
2

2

2
1
1
1
1

 f ( x ) = x +    f ( x ) dx =   x +  dx =  x + 
2
2
3
2
0
0
1

1

31

=
0

13
12

Vậy ta có được a = 13; b = 12. Kết luận a + b = 25
Câu 50: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( −1; −5; 2 ) , B ( 3;3; −2 ) và đường thẳng
x −3 y +3 z + 4
; hai điểm C, D thay đổi trên d : CD = 6 3 . Biết rằng khi
d:
=
=
1
1
1
C ( a; b; c ) (b  2) thì tổng diện tích tất cả các mặt của tứ diện đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng
a+b+c.
A. a + b + c = 2 .
B. a + b + c = −1.
C. a + b + c = −4 .
D. a + b + c = −7 .
Lời giải
Chọn D

Vì AM , BN , CD khơng đổi nên tổng diện tích tồn phần của tứ diện nhỏ nhất khi tổng diện tích
hai tam giác ABC , ABD nhỏ nhất.
Cách 1: Gọi C ( 3 + t; −3 + t; −4 + t ) , D ( 3 + t ; −3 + t ; −4 + t  ) , từ CD = 6 3 suy ra t − t  = 6 .
TH1: t  = t + 6  D ( 9 + t;3 + t; 2 + t ) . Do vậy
 AC , AB  = ( 40 − 12t ; −8 + 8t ; 24 + 4t ) ,  AD, AB  = ( −32 − 12t ; 40 + 8t ; 48 + 4t )






Suy ra S ABC + S ABD = 2 14

( (2 − t ) + 6 +
2

(t + 4)

2

)

+ 6  2 14 36 + 24 = 4 210 .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 − t = t + 4  t = −1  C ( 2; −4; −5 ) , D (8; 2;1) (thỏa mãn). Vậy
a + b + c = −7 .
TH2: t = t  + 6 trường hợp này đổi vai trò của C, D cho nhau trong TH1 nên loại.
Cách 2: Tổng diện tích tồn phần của hai tam giác nhỏ nhất khi CH + DK nhỏ nhất.
( P ) là mặt phẳng đi qua A, B và song song với d :

thuvienhoclieu.com

Trang 23


thuvienhoclieu.com

CH + DK = CI 2 + IH 2 + DJ 2 + JK 2 
=

( EI sin  + EJ sin  )

2

( IH + JK )

2

+ 4CI 2

+ 4CI 2 = IJ 2 sin 2  + 4CI 2

Vì CI = DJ = d ( AB, d ) , IJ = CD,  = ( AB, d ) không đổi nên CH + DK nhỏ nhất khi dấu bằng
xảy ra khi CI  JK = IH  DJ  JK = IH , khi đó E , F là trung điểm của IJ , CD . EF là đoạn
vng góc chung của AB, CD .

 x = −1 + s

Phương trình AB :  y = −5 + 2s  E ( −1 + s; −5 + 2s; 2 − s ) và F ( 3 + t; −3 + t; −4 + t ) .
z = 2 − s

t − 3s = −7
t = 2
Từ đó suy ra 
do vậy nếu C ( 3 + t ; −3 + t ; −4 + t  ) và FC = 3 3 thì


3t − 2s = 0
s = 3
t  = 5  C ( 8; 2;1) (l )

t  = −1  C ( 2; −4; −5 ) (tm)
---------- HẾT ----------

thuvienhoclieu.com

Trang 24