Đề ôn thi THPT 2022 môn toán phát triển từ đề minh họa có lời giải chi tiết đề 4

thuvienhoclieu.com
ĐỀ ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2022
MƠN TỐN
Thời gian: 90 phút
Trong hình vẽ bên, điểm M biểu diễn số phức z . Số phức z là:

ĐỀ 4
BÁM SÁT ĐỀ MINH HỌA
Câu 1:

A. 1 − 2i .
Câu 2:

B. 2 + i .

Câu 4:

B. R = 2 2a .

C.

B. cos 2x + C .

C.

1
cos 2 x + C .
2

2

B. 1 .

3
Giải bất phương trình  
4
A. T =  −2; 2 .

D.

3

7a .

C. 0 .

D. − cos 2x + C .

. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
D. 3 .

x −4
2

 1 ta được tập nghiệm T . Tìm T .
B. T =  2; + ) .
D. T = ( −; −2   2; + )

Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , cạnh bên SB vng góc với mặt
phẳng ( ABC ) , SB = 2a . Tính thể tích khối chóp S. ABC .
a3 3

B.
.
6

(

)

Tìm tập xác định D của hàm số y = x 2 − 1
A. D =

Câu 10:

2a .

Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ( x) = x ( x + 2 ) , x 

a3
A.
.
4

Câu 9:

D. Điểm Q(−1;0) .

32 a 3
là:
3

C. T = ( −; −2 .
Câu 8:

D. I (1; 2; −3) ; R = 3 .

Nguyên hàm  sin 2 xdx bằng:

A. 2 .
Câu 7:

2

B. I ( −1; 2; −3) ; R = 3 . C. I (1; −2;3) ; R = 3 .

Bán kính R của khối cầu có thể tích V =

1
A. − cos 2 x + C .
2

Câu 6:

2

Điểm nào dưới đây không thuộc đồ thị của hàm số y = x3 + 3x 2 − 2
A. Điểm P(1; 2) .
B. Điểm N (0; −2) .
C. Điểm M (−1;2) .

A. R = 2a .

Câu 5:

D. 2 − i .

Tâm I và bán kính R của mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 9 là:
A. I (1; 2;3) ; R = 3 .

Câu 3:

C. 1 + 2i .
2

\ 1 .

B. D =

−12

\ 1 .

3a 3
C.
.
4

a3 3
D.
.
2

C. D = ( −1,1) .

D. D = ( −;1)  (1; + ) .

C. x = 68 .

D. x = 65 .

.

Nghiệm của phương trình log 4 ( x − 1) = 3 là
A. x = 66 .

B. x = 63 .

Câu 11: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên

và có

1

3

0

1

 f ( x ) dx = 2 ;  f ( x ) dx = 6 . Tính

3

I =  f ( x ) dx .
0

A. I = 8 .
B. I = 12 .
C. I = 36 .
D. I = 4 .
Câu 12: Trong hình vẽ bên, điểm M biểu diễn số phức z . Khi đó số phức w = −2 z là

thuvienhoclieu.com

Trang 1


thuvienhoclieu.com

A. w = 4 + 2i .
B. w = 4 − 2i .
C. w = −4 + 2i .
D. w = −4 − 2i .
Câu 13: Cho mặt phẳng ( ) : 2 x − 3 y − 4 z + 1 = 0 . Khi đó, một véctơ pháp tuyến của ( ) ?
A. n = ( −2;3;1) .

B. n = ( 2;3; −4 ) .

C. n = ( 2; −3;4) .
D. n = ( −2;3;4 ) .
r
r

r r r
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho a = 2i + 3 j − k , b ( 2; 3; − 7 ) . Tìm tọa độ của
r
r
r
x = 2a − 3b
A. x = ( 2; −1; 19)

B. x = ( −2; 3; 19 )

C. x = ( −2; − 3; 19 )

D. x = ( −2; − 1; 19)

Câu 15: Điểm M trong hình vẽ bên biểu diễn số phức z . Phần ảo của z bằng

B. −3 .

A. 3 .

C. −5 .

Câu 16: Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
B. 1

A. 2

x − 5x + 6
bằng:
x 2 − 3x + 2

C. 3

D. 5 .

2

D. 0

3
Câu 17: Với a là số thực dương tùy ý, log 3   bằng:
a

A. 1 − log3 a

B. 3 − log3 a

C.

1
log 3 a

D. 1 + log3 a

Câu 18: Đường cong trong hình dưới là đồ thị của hàm số nào sau đây?

A. y =

x −1
.
x +1

B. y =

x +1
.
x −1

C. y = − x 4 + 2 x 2 − 1 .

thuvienhoclieu.com

D. y = x3 − 3x + 2 .

Trang 2


thuvienhoclieu.com
x − 2 y −1 z + 3
Câu 19: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :
. Vectơ nào dưới đây là một
=
=
−1
2
1
vectơ chỉ phương của d ?
A. u4 = (1; 2; −3) .
B. u3 = (−1; 2;1) .
C. u1 = (2;1; −3) .
D. u2 = (2;1;1) .

Câu 20: Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm 1 món ăn trong 5 món, 1 loại quả trong
5 loại, 1 loại nước uống trong 3 loại. Hỏi có bao nhiêu cách lập thực đơn?
A. 73.
B. 75.
C. 85.
D. 95.
Câu 21: Cho hình lăng trụ đứng có diện tích đáy là
khối lăng trụ là:
A.

3

6a .

3

3a .

B.

3a 2 . Độ dài cạnh bên là a 2 . Khi đó thể tích của
3

2a .

C.

D.

6a 3

.
3

Câu 22: Tính đạo hàm của hàm số y = 17− x
A. y = 17− x ln17 .

B. y = − x.17 − x −1 .

C. y = −17 − x .

D. y = −17− x ln17 .

Câu 23: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( −; −1) .

B. ( −1; + ) .

C. ( 0;1) .

D. ( −1;0 ) .

Câu 24: Cho hình trụ có chiều cao bằng 2a , bán kính đáy bằng a . Tính diện tích xung quanh của hình trụ.
A.  a 2 .

C. 2 a2 .

B. 2a 2 .

Câu 25: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên 1; 4 và thỏa mãn

D. 4 a2 .

1
3
 f ( x ) dx = 2 ,  f ( x ) dx = 4 . Tính giá trị
2

1

4

3

biểu thức I =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx .
4

1

3

2

5
5
1
3
.
B. I = .

C. I = .
D. I = .
4
8
4
8
Câu 26: Cho cấp số cộng ( un ) với số hạng đầu u1 = 1 và công sai d = 3. Hỏi số 34 là số hạng thứ mấy?
A. I =

A. 12

C. 11

B. 9

Câu 27: Tìm họ nguyên hàm của hàm số y = x 2 − 3x +
A.

x 3 3x
−
− ln x + C , C  R
3 ln 3

D. 10

1
.
x
B.

x 3 3x
−
+ ln x + C , C  R
3 ln 3

x3
1
x 3 3x
1
− 3x + 2 + C , C  R
−
− 2 + C, C  R
D.
3
x
3 ln 3 x
Câu 28: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình bên. Giá trị cực đại của hàm số là

C.

thuvienhoclieu.com

Trang 3


thuvienhoclieu.com

A. y = 2 .

B. y = −1 .

C. y = −3 .

D. y = 1 .

Câu 29: Trên đoạn  −3; 2 , hàm số f ( x ) = x − 10 x + 1 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm
4

A. x = 0 .
B. x = −3 .
Câu 30: Hàm số nào sau đây đồng biến trên
A. y = x 4 − x3 + 2 x .

2

C. x = 2 .

D. x = − 5 .

?

B. y = x 4 + 2 x3 + 7 x . C. y =

x −1
.
x +1

D. y = x x2 + 1 .

Câu 31: Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn 9log3 ( ab ) = 4a . Giá trị của ab2 bằng

A. 3 .
B. 6.
C. 2
D. 4
Câu 32: Cho hình chóp S. ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của
SC và BC . Số đo của góc ( IJ , CD ) bằng
A. 30 .
1

Câu 33: Cho



B. 60 .

f ( x ) dx = 1 tích phân

0

C. 45 .

D. 90 .

1

 ( 2 f ( x ) − 3x ) dx
2

bằng

0

D. −1 .
x +1 y − 2 z
=
=
Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  :
và mặt phẳng
−1
2
−3
( P ) : x − y + z − 3 = 0 . Phương trình mặt phẳng ( ) đi qua O , song song với  và vng góc với
A. 1 .

C. 3 .

B. 0 .

mặt phẳng ( P ) là
A. x + 2 y + z = 0 .
B. x − 2 y + z = 0 .
C. x + 2 y + z − 4 = 0 . D. x − 2 y + z + 4 = 0 .
Câu 35: Cho số phức z thỏa mãn z (1 + 2i ) = 4 − 3i . Phần ảo của số phức liên hợp z của z bằng

2
A. − .
5

B.

2
.
5

C.

11
.
5

D. −

11
.
5

Câu 36: Cho hình chóp S.ABC có M , SA = a 3 và ABC vng tại B có cạnh BC = a , AC = a 5 . Tính
theo a khoảng cách từ A đến ( SBC ) .
A.

2a 21
.
7

B.

a 21
.
7

C. a 3

thuvienhoclieu.com

D.

a 15
.
3

Trang 4


thuvienhoclieu.com
Câu 37: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đơi một khác nhau và các chữ số thuộc tập
hợp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S , xác suất để số đó khơng có hai
chữ số liên tiếp nào cùng lẻ bằng
31
17
41
5
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
126

42
126
21
Câu 38: Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1; −2;3) và mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + 3z + 1 = 0 . Phương
trình của đường thẳng đi qua M và vng góc với ( P ) là

 x = 1 + 2t

A.  y = −2 − t .
 z = 3 + 3t


 x = −1 + 2t

B.  y = 2 − t .
 z = −3 + 3t


x = 2 + t

C.  y = −1 − 2t .
 z = 3 + 3t


 x = 1 − 2t

D.  y = −2 − t .
 z = 3 − 3t


C. 6.

D. Vơ số.

Câu 39: Bất phương trình ( x3 − 9 x ) ln ( x + 5 )  0 có bao nhiêu nghiệm nguyên?
A. 4.
B. 7.
Câu 40: Biết rằng đồ thị hàm số y = f ( x) được cho
như hình vẽ sau
Số giao điểm của đồ thị hàm số
2

¢¢
y = éëf ¢(x )ù
û - f (x ). f (x ) và trục Ox là:
A. 4 .
B. 6 .
C. 2 .
D. 0 .

Câu 41: Cho hàm số

f ( x ) có

f  ( x ) = sin x.sin 2 2 x, x 

 
F   bằng
2
104

A.
.
225

 
f   = 0 và
2
. Biết F ( x ) là nguyên hàm của f ( x ) thỏa mãn F ( 0 ) = 0 , khi đó

167
.
225
Câu 42: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại C , AB = 2a , AC = a và SA vng góc
với mặt phẳng ( ABC ) . Biết góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SBC ) bằng 60 . Tính thể tích

B. −

104
.
225

C.

121
.
225

D.

của khối chóp S.ABC .

a3 2
A.
.
6

a3 6
B.
.
12

a3 6
C.
.
4

a3 2
D.
.
2

Câu 43: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z 2 + 4az + b 2 + 2 = 0, ( a, b là các tham số thực). Có
bao nhiêu cặp số thực

( a; b ) sao

cho phương trình đó có hai nghiệm z1 , z2 thỏa mãn

z1 + 2iz2 = 3 + 3i ?
A. 4.

B. 1.
C. 2.
D. 3.
x = 2 + t
x y−7 z

= . Đường thẳng (  ) là đường vuông
Câu 44: Cho hai đường thẳng ( d1 ) :  y = 1 + t và ( d 2 ) : =
1
−
3
−1
 z = 1+ t

góc chung của ( d1 ) và ( d 2 ) . Phương trình nào sau đâu là phương trình của (  )
thuvienhoclieu.com

Trang 5


thuvienhoclieu.com
x − 2 y −1 z −1
B.
.
=
=
1
1
−2

x −3 y + 2 z +3
D.
.
=
=
1
−1
−2
 x = −1 + 2mt


Câu 45: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng  :  y = − ( m 2 + 1) t .Gọi   là đường thẳng qua gốc tọa

2
 z = (1 − m ) t
độ O và song song với  . Gọi A, B, C lần lượt là các điểm di động trên Oz, ,  . Giá trị nhỏ nhất

x − 2 y −1 z + 2
A.
.
=
=
1
1
−2
x −1 y − 4 z +1
C.
.
=
=

1
1
−2

AB + BC + CA bằng
A. 2 2 .

B. 2 .

C.

2
.
2

D.

2.

Câu 46: Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên
f ( 0 ) = 3, f ( 3) = 8 và

3

( f  ( x ))

0;3 và

thoả mãn

2

4
 f ( x ) + 1 dx = 3 . Giá trị của f ( 2 ) bằng
0

64
55
16
19
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
3
9
9
Câu 47: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn f ( −2 ) = 3, f ( 2 ) = 2 và bảng xét dâú đạo hàm như sau:
A.

Bất phương trình 3

f ( x )+ m

A. m  ( −2; − 1) .

 4 f ( x ) + 1 + 4m nghiệm đúng với mọi số thực x  ( −2; 2 ) khi và chỉ khi
B. m   −2; − 1 .

C. m   −2;3 .

D. m  ( −2;3) .

Câu 48: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Biết rằng f ( 0 ) + f ( 3) = f ( 2 ) + f ( 5) . Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm y = f ( x ) trên
đoạn 0;5 lần lượt là
A. f ( 0 ) , f ( 5 ) .

B. f ( 2 ) , f ( 0 ) .

C. f (1) , f ( 5 ) .

D. f ( 5 ) , f ( 2 ) .

Câu 49: Cho parabol ( P ) : y = x 2 và đường tròn ( C ) có tâm thuộc trục tung, bán kính 1 tiếp xúc với ( P )
tại hai điểm phân biệt. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( P ) và ( C ) (phần bơi đậm trong hình vẽ
bên) bằng

thuvienhoclieu.com

Trang 6


thuvienhoclieu.com

A.

14 − 3 3 − 2
.
12

B.

2 + 3 3 − 8
.
12

4 − 3 3
.
12

C.

D.

9 3 − 4
.
12

Câu 50: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương ( a; b ) để đồ thị hàm số y = x3 + ax 2 − 3x + b cắt trục hoành tại
3 điểm phân biệt.
A. 5

B. 4

C. 1

D. Vô số

---------- HẾT ----------

1.D
11.A
21.A
31.D
41.B

2.C
12.D
22.D
32.B
42.B

3.C
13.D
23.D
33.A
43.D

4.A
14.C
24.D
34.A
44.A

ĐÁP ÁN
5.A
6.B
15.D
16.B
25.B
26.A
35.C
36.A
45.D
46.B

7.A
17.A
27.B
37.A
47.B

8.B
18.B
28.D
38.A
48.D

9.A
19.B
29.D
39.C
49.D

10.D
20.B
30.D
40.D
50.C

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Trong hình vẽ bên, điểm M biểu diễn số phức z . Số phức z là:

A. 1 − 2i .

B. 2 + i .

C. 1 + 2i .
Lời giải

D. 2 − i .

Điểm M ( 2;1) trong hệ tọa độ vng góc cuả mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức

z = 2 + i suy ra z = 2 − i .
Câu 2: Tâm I và bán kính R của mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 9 là:
2

A. I (1; 2;3) ; R = 3 .

2

B. I ( −1; 2; −3) ; R = 3 . C. I (1; −2;3) ; R = 3 .

2

D. I (1; 2; −3) ; R = 3 .

Lời giải
Chọn C
Câu 3: Điểm nào dưới đây không thuộc đồ thị của hàm số y = x3 + 3x 2 − 2
A. Điểm P(1; 2) .

B. Điểm N (0; −2) .

Câu 4: Bán kính R của khối cầu có thể tích V =
A. R = 2a .

B. R = 2 2a .

C. Điểm M (−1;2) .

D. Điểm Q(−1;0) .

32 a
là:
3
3

C. 2a .
Lời giải

thuvienhoclieu.com

D.

3

7a .

Trang 7


thuvienhoclieu.com
Chọn A
Thể tích khối cầu V =

32 a 3
4
32 a 3
  R3 =
 R = 2a .
3
3
3

Câu 5: Nguyên hàm  sin 2 xdx bằng:
1
A. − cos 2 x + C .
2

B. cos 2x + C .

1

cos 2 x + C .
2
Lời giải

C.

D. − cos 2x + C .

Chọn A
Ta có  sin 2 xdx =

1
1
sin 2 xd2x = − cos 2 x + C .

2
2

Câu 6: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ( x) = x ( x + 2 ) , x 
2

. Số điểm cực trị của hàm số đã cho

là
A. 2 .

B. 1 .

C. 0 .
Lời giải

D. 3 .

Chọn B
Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị đó là điểm cực tiểu x = 0 .
x2 − 4

3
Câu 7: Giải bất phương trình  
 1 ta được tập nghiệm T . Tìm T .
4
A. T =  −2; 2 .
B. T =  2; + ) .
C. T = ( −; −2 .

D. T = ( −; −2   2; + )
Lời giải

Chọn A
x2 − 4

3
 1  x 2 − 4  0  x   −2; 2
Bất phương trình  
4
Vậy tập nghiệm T =  −2; 2 .
Câu 8: Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , cạnh bên SB vng góc với mặt
phẳng ( ABC ) , SB = 2a . Tính thể tích khối chóp S. ABC .

A.

a3
.
4

B.

a3 3
.
6

3a 3
.
4
Lời giải

C.

D.

a3 3
.
2

Chọn B

thuvienhoclieu.com

Trang 8

thuvienhoclieu.com
S

2a

a

C

B

A
1
1 a2 3
a3 3
Thể tích khối chóp S. ABC là: V = .S ABC .SB = .
.
.2a =
3
3 4
6

(

)

Câu 9: Tìm tập xác định D của hàm số y = x 2 − 1
A. D =

\ 1 .

B. D =

C. D = ( −1,1) .

−12

.

\ 1 .

D. D = ( −;1)  (1; + ) .
Lời giải

Chọn A

(

)

Hàm số y = x 2 − 1

−12

Vậy tập xác đinh D =
Câu 10:

xác định khi và chỉ x 2 − 1  0  x  1.

\ 1 .

Nghiệm của phương trình log 4 ( x − 1) = 3 là

A. x = 66 .

B. x = 63 .

C. x = 68 .
Lời giải

D. x = 65 .

Chọn D
Điều kiện: x −1  0  x  1.
log 4 ( x − 1) = 3  x − 1 = 43  x = 65 .
Câu 11:

Cho hàm số f ( x ) liên tục trên

và có

1

3

0

1

 f ( x ) dx = 2 ;  f ( x ) dx = 6 .

3

I =  f ( x ) dx .
0

A. I = 8 .

B. I = 12 .

C. I = 36 .
Lời giải

D. I = 4 .

Chọn A
3

1

3

0

0

1

I =  f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx = 2 + 6 = 8 .
Câu 12:

Trong hình vẽ bên, điểm M biểu diễn số phức z . Khi đó số phức w = −2 z là

thuvienhoclieu.com

Trang 9

Tính


thuvienhoclieu.com

A. w = 4 + 2i .

B. w = 4 − 2i .

C. w = −4 + 2i .
D. w = −4 − 2i .
Lời giải
Điểm M ( 2;1) trong hệ tọa độ vng góc cuả mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức

z = 2 + i suy ra w = −2 z = −2 ( 2 + i ) = −4 − 2i .
Cho mặt phẳng ( ) : 2 x − 3 y − 4 z + 1 = 0 . Khi đó, một véctơ pháp tuyến của ( ) ?

Câu 13:

A. n = ( −2;3;1) .

B. n = ( 2;3; −4 ) .

C. n = ( 2; −3;4) .

D. n = ( −2;3;4 ) .

Lời giải
Chọn D
Mặt phẳng ( ) : 2 x − 3 y − 4 z + 1 = 0 có vec tơ pháp tuyến là n = ( 2; −3; −4 ) = − ( −2;3;4 ) nên chọn
đáp án

D.

r
r r r r
Câu 14:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho a = 2i + 3 j − k , b ( 2; 3; − 7 ) . Tìm tọa độ
r
r
r
của x = 2a − 3b

A. x = ( 2; −1; 19)

B. x = ( −2; 3; 19 )

C. x = ( −2; − 3; 19 )

D. x = ( −2; − 1; 19)

Lời giải
Chọn C
r
r
r
r r
Ta có a = ( 2; 3; − 1) , b = ( 2; 3; − 7 )  x = 2a − 3b = ( −2; − 3; 19 ) .
Điểm M trong hình vẽ bên biểu diễn số phức z . Phần ảo của z bằng

Câu 15:

B. −3 .

C. −5 .
Lời giải
Tọa độ điểm M ( −3;5)  z = −3 + 5i  . Phần ảo của z bằng 5
A. 3 .

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

Câu 16:

B. 1

A. 2

D. 5 .

x2 − 5x + 6
bằng:

x 2 − 3x + 2

C. 3
Lời giải

D. 0

Chọn B
Tập xác định D = R \ 1; 2 .
Ta có lim+ y = −; lim− y = + nên x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x →1

x →1

thuvienhoclieu.com

Trang 10


thuvienhoclieu.com
lim+ y = −1; lim− y = −1 nên x = 2 không phải là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

x →2

x→2

Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng.
3
Với a là số thực dương tùy ý, log 3   bằng:
a

1
A. 1 − log3 a
B. 3 − log3 a
C.
log 3 a

Câu 17:

D. 1 + log3 a

Lời giải
Chọn A
3
Ta có log 3   = log3 3 − log 3 a = 1 − log3 a .
a
Câu 18:
Đường cong trong hình dưới là đồ thị của hàm số nào sau đây?

A. y =

x −1
.
x +1

B. y =

x +1
.
x −1

C. y = − x 4 + 2 x 2 − 1 .

D. y = x3 − 3x + 2 .

Lời giải
Chọn B
Căn cứ vào đồ thị ta xác định được y  0 .
Chỉ duy nhất hàm số ở câu B thỏa mãn nên đáp án đúng là

B.
x − 2 y −1 z + 3
=
=
Câu 19:
Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :
. Vectơ nào dưới
−1
2
1
đây là một vectơ chỉ phương của d ?
A. u4 = (1; 2; −3) .
B. u3 = (−1; 2;1) .
C. u1 = (2;1; −3) .
D. u2 = (2;1;1) .
Lời giải
Chọn B
Một vectơ chỉ phương của d là: u = (−1;2;1) .
Câu 20:
Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm 1 món ăn trong 5 món, 1
loại quả trong 5 loại, 1 loại nước uống trong 3 loại. Hỏi có bao nhiêu cách lập thực đơn?

A. 73.
B. 75.
C. 85.
D. 95.
Lời giải
Chọn B
Lập thực đơn gồm 3 hành động liên tiếp:
Chọn món ăn có 5 cách.
Chọn quả có 5 cách.
Chọn nước uống có 3 cách.
Theo quy tắc nhân: 5.5.3 = 75 cách
Câu 21:
Cho hình lăng trụ đứng có diện tích đáy là
thể tích của khối lăng trụ là:
thuvienhoclieu.com

3a 2 . Độ dài cạnh bên là a 2 . Khi đó
Trang 11


thuvienhoclieu.com

6a3 .

A.

B.

3a3 .

2a3 .

C.

6a 3
.
3

D.

Lời giải
Chọn A
Thể tích khối lăng trụ đó là V = a2 3.a 2 = a3 6 .
Tính đạo hàm của hàm số y = 17− x

Câu 22:

A. y = 17− x ln17 .

B. y = − x.17 − x −1 .
C. y = −17 − x .
Lời giải

D. y = −17− x ln17 .

Chọn D
Áp dụng công thức: ( au ) = u.a u ln a ta có: y = (17− x ) = −17− x.ln17 .
Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Câu 23:

Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( −; −1) .

B. ( −1; + ) .

D. ( −1;0 ) .

C. ( 0;1) .
Lời giải

Chọn D
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên ( −1;0 ) .
Câu 24:
Cho hình trụ có chiều cao bằng 2a , bán kính đáy bằng a . Tính diện tích xung quanh
của hình trụ.
A.  a 2 .
B. 2a 2 .
C. 2 a2 .
D. 4 a2 .
Lời giải
Chọn D
Diện tích xung quanh: S = 2πR.h = 2π.a.2a = 4πa 2 .
2
1 4
3
Câu 25:
Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên 1; 4 và thỏa mãn  f ( x ) dx = ,  f ( x ) dx = .
1
2 3

4
Tính giá trị biểu thức I =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx .
4

3

1

A. I =

3
.
8

2

B. I =

5
.
4

C. I =

5
.
8

D. I =

1
.
4

Lời giải
Chọn B
I =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx +  f ( x ) dx −  f ( x ) dx
4

Tacó

1

=  f ( x ) dx +  f ( x ) dx =
2

1

3

4

3

2

2

1

3

4

3

2

3

2

1 3 5
+ = .
2 4 4
thuvienhoclieu.com

Trang 12


Câu 26:

thuvienhoclieu.com
Cho cấp số cộng ( un ) với số hạng đầu u1 = 1 và công sai d = 3. Hỏi số 34 là số

hạng thứ mấy?
A. 12

B. 9

C. 11

D. 10

Lời giải
Chọn A
Ta có un = u1 + ( n − 1) d  34 = 1 + ( n − 1) .3  ( n − 1) .3 = 33  n − 1 = 11  n = 12 .
Câu 27:
A.

1
.
x
x 3 3x
B.
−
+ ln x + C , C  R
3 ln 3

Tìm họ nguyên hàm của hàm số y = x 2 − 3x +

x 3 3x
−
− ln x + C , C  R
3 ln 3

x3
1
C.
− 3x + 2 + C , C  R

3
x

x 3 3x
1
D.
−
− 2 + C, C  R
3 ln 3 x
Lời giải

1
x 3 3x

Ta có:   x 2 − 3x +  dx = −
+ ln x + C , C  R .
x
3 ln 3

Câu 28:
Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình bên. Giá trị cực đại của hàm số là

B. y = −1 .

A. y = 2 .

C. y = −3 .

D. y = 1 .

Lời giải
Chọn D
Câu 29:

Trên đoạn  −3; 2 , hàm số f ( x ) = x 4 − 10 x 2 + 1 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

A. x = 0 .

B. x = −3 .

C. x = 2 .
Lời giải
4
2
Hàm số f ( x ) = x − 10 x + 1 xác định trên  −3; 2 .

D. x = − 5 .

3
Ta có f  ( x ) = 4 x − 20 x .

 x = 0   −3; 2

f  ( x ) = 0   x = 5   −3; 2 .

 x = − 5   −3; 2

(

)

f ( −3) = −8; f − 5 = −24; f ( 0 ) = 1; f ( 2 ) = −23 .
thuvienhoclieu.com

Trang 13


thuvienhoclieu.com
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn  −3; 2 bằng −24 tại x = − 5 .
Hàm số nào sau đây đồng biến trên

Câu 30:

?

B. y = x 4 + 2 x3 + 7 x . C. y =

A. y = x 4 − x3 + 2 x .

x −1
.
x +1

D. y = x x2 + 1 .

Lời giải
Chọn D
. y = x 2 + 1 +

Chọn đáp án D: y = x x2 + 1 . TXĐ: D =

x2
x2 + 1

 0, x 

 hàm số luôn

đồng biến trên .
Câu 31:
Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn 9log3 ( ab ) = 4a . Giá trị của ab2 bằng
A. 3 .
B. 6.
C. 2
D. 4
Lời giải
Chọn D
log3 (ab)

Ta có : 9

= 4a Û 2log3 (ab)= log3 (4a) Û log3 (a 2b2 ) = log3 (4a) Þ a 2b2 = 4a

Û ab2 = 4 .
Câu 32:
Cho hình chóp S. ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi I và J lần lượt là trung
điểm của SC và BC . Số đo của góc ( IJ , CD ) bằng
A. 30 .

B. 60 .

C. 45 .
Lời giải

D. 90 .

Chọn B

Ta có IJ // SB (tính chất đường trung bình) và CD // AB (tứ giác ABCD là hình thoi).
Suy ra ( IJ , CD ) = ( SB, AB ) = SBA = 60 .
1

Câu 33:
A. 1 .
Chọn.

Cho

 f ( x ) dx = 1
0

1

 ( 2 f ( x ) − 3x ) dx
2

tích phân

0

C. 3 .
Lời giải

B. 0 .

bằng
D. −1 .

A.

1

1

1

0

0

0

2
2
 ( 2 f ( x ) − 3x ) dx = 2 f ( x ) dx − 3 x dx = 2 −1 = 1 .

x +1 y − 2 z
=
=
và mặt

−1
2
−3
phẳng ( P ) : x − y + z − 3 = 0 . Phương trình mặt phẳng ( ) đi qua O , song song với  và vng góc
Câu 34:

Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  :

với mặt phẳng ( P ) là
A. x + 2 y + z = 0 .

B. x − 2 y + z = 0 .

C. x + 2 y + z − 4 = 0 . D. x − 2 y + z + 4 = 0 .
Lời giải

thuvienhoclieu.com

Trang 14


thuvienhoclieu.com
 có VTCP u = ( −1; 2; −3) và ( P ) có VTPT là n = (1; −1;1) .

( )

qua O và nhận n = − u; n  = (1; 2;1)

Suy ra ( ) : x + 2 y + z = 0 .
Cho số phức z thỏa mãn z (1 + 2i ) = 4 − 3i . Phần ảo của số phức liên hợp z của z

Câu 35:
bằng

2
A. − .
5

11
11
.
D. − .
5
5
Lời giải
4 − 3i ( 4 − 3i )(1 − 2i ) −2 − 11i −2 11
Vì z (1 + 2i ) = 4 − 3i nên z =
=
=
− i.
=
12 + 22
5 5
1 + 2i
5
−2 11
Suy ra z =
+ i.
5 5
11

Vậy phần ảo của z là
.
5
B.

2
.
5

C.

Cho hình chóp S.ABC có M , SA = a 3 và ABC vng tại B có cạnh BC = a ,

Câu 36:

AC = a 5 . Tính theo a khoảng cách từ A đến ( SBC ) .
A.

2a 21
.
7

B.

a 21
.
7

C. a 3

D.

a 15
.
3

Lời giải
Chọn A

Gọi D là hình chiếu của A lên SB .
Ta có: SA ⊥ ( ABC )  SA ⊥ BC .

 SA ⊥ BC
 BC ⊥ ( SAB )  BC ⊥ AD. .

 AB ⊥ BC
 AD ⊥ BC
 AD ⊥ ( SBC )  d ( A,( SBC )) = AD.

 AD ⊥ SB
2
2
2
2
Lại có: AB = AC − BC = 5a − a = 2a.
Xét SAB vng tại A có AH là đường cao nên ta có:

AH =

SA. AB

SA + AB
2

2

=

a 3.2a
3a + 4a
2

2

=

2 21
a.
7

thuvienhoclieu.com

Trang 15


thuvienhoclieu.com
2a 21
Vậy khoảng cách từ A đến ( SBC ) là
.
7
Câu 37:

Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đơi một khác nhau và các chữ số
thuộc tập hợp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S , xác suất để số đó khơng có
hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ bằng
17
41
A.
.
B.
.
42
126

31
.
126
Lời giải
C.

D.

5
.
21

Chọn A
Số các phần tử của S là A94 = 3024 .
Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S có 3024 (cách chọn). Suy ra n (  ) = 3024 .
Gọi biến cố A : “ Chọn được số không có hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ”.
Trường hợp 1: Số được chọn có 4 chữ số chẵn, có 4! = 24 (số).
Trường hợp 2: Số được chọn có 1 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn, có 5.4.4! = 480 (số).

Trường hợp 3: Số được chọn có 2 chữ số lẻ và 2 chữ số chẵn, có 3. A52 . A42 = 720 (số).
Do đó, n ( A) = 24 + 480 + 720 = 1224 .
Vậy xác suất cần tìm là P ( A) =
Câu 38:

Trong

khơng

n ( A) 1224 17
.
=
=
n (  ) 3024 42

gian

Oxyz ,

cho

điểm

( P ) : 2 x − y + 3z + 1 = 0 . Phương trình của đường thẳng đi qua M
 x = 1 + 2t

A.  y = −2 − t .
 z = 3 + 3t


 x = −1 + 2t

B.  y = 2 − t .
 z = −3 + 3t


M (1; −2;3)

và

mặt

phẳng

và vng góc với ( P ) là

x = 2 + t

C.  y = −1 − 2t .
 z = 3 + 3t


 x = 1 − 2t

D.  y = −2 − t .
 z = 3 − 3t


Lời giải
Chọn A

Đường thẳng cần tìm đi qua M (1; −2;3) , vng góc với ( P ) nên nhận n( P ) = ( 2; −1;3) là véc tơ

 x = 1 + 2t

chỉ phương. Phương trình đường thẳng cần tìm là  y = −2 − t .
 z = 3 + 3t

Câu 39:

Bất phương trình ( x3 − 9 x ) ln ( x + 5 )  0 có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A. 4.

B. 7.

C. 6.
Lời giải

D. Vô số.

Chọn C
Điều kiện: x  −5 .

 x = −3
x = 0
 x − 9x = 0
3

Cho ( x − 9 x ) ln ( x + 5 ) = 0  

.
x = 3
ln
x
+
5
=
0
(
)


 x = −4
3

Bảng xét dấu:

thuvienhoclieu.com

Trang 16


thuvienhoclieu.com

 −4  x  −3
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy f ( x )  0  
.
0

x


3

Vì x   x  −4; − 3;0;1; 2;3 .
Vậy có 6 giá trị ngun của x thỏa bài tốn.
Câu 40:
Biết rằng đồ thị hàm số y = f ( x) được cho như hình vẽ sau

2

Số giao điểm của đồ thị hàm số y = éëf ¢(x )ùû - f ¢¢(x ). f (x ) và trục Ox là:
A. 4 .
B. 6 .
C. 2 .
D. 0 .
Lời giải
Chọn D
Đặt f ( x) = a (x - x1 )(x - x2 )(x - x3 )(x - x4 ), a ¹ 0, x1 < x2 < x3 < x4 .
2

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = éëf ¢(x )ùû - f ¢¢(x ). f (x ) và trục Ox là
é
ù¢
é ¢ ù¢
2
éf ¢(x)ù - f ¢¢(x). f (x)= 0 Þ êf ( x) ú = 0 Þ ê 1 + 1 + 1 + 1 ú = 0
ë
û
êx - x1 x - x2 x - x3 x - x4 ú
ê

ë f ( x) ú
û
ë
û
1
1
1
1
= 0 vô nghiệm.
2
2
2
2
(x - x1 ) (x - x2 ) (x - x3 ) (x - x4 )
2

Vậy số giao điểm của đồ thị hàm số y = éëf ¢(x )ùû - f ¢¢(x ). f (x ) và trục Ox là 0 .

 
Cho hàm số f ( x ) có f   = 0 và f  ( x ) = sin x.sin 2 2 x, x  . Biết F ( x ) là
2
 
nguyên hàm của f ( x ) thỏa mãn F ( 0 ) = 0 , khi đó F   bằng
2
104
104
121
167
A.
.

B. −
.
C.
.
D.
.
225
225
225
225
Lời giải
Chọn B
2
Ta có f  ( x ) = sin x.sin 2 x, x  nên f ( x ) là một nguyên hàm của f  ( x ) .
Câu 41:

1 − cos 4 x
sin x
sin x.cos 4 x
dx = 
dx − 
dx
2
2
2
1
1
1
1
1

=  sin xdx −  ( sin 5 x − sin 3 x ) dx = − cos x + cos 5 x − cos 3x + C .
2
4
2
20
12

Có

 f  ( x ) dx =  sin x.sin

2

2 xdx =  sin x.

1
1
1
Suy ra f ( x ) = − cos x + cos 5 x − cos 3x + C , x 
2
20
12

thuvienhoclieu.com

 
. Mà f   = 0  C = 0 .
2
Trang 17

thuvienhoclieu.com
1
1
1
Do đó f ( x ) = − cos x + cos 5 x − cos 3x, x  . Khi đó:
2
20
12


 



2
1
1
 1

F   − F ( 0 ) =  f ( x ) dx =   − cos x + cos 5 x − cos 3x  dx
2
20
12
2

0
0
2



1
1
104
 1
2
=  − sin x +
sin 5 x − sin 3 x  = −
100
36
225
 2
0

.

104
104
104
 
 F   = F ( 0) −
= 0−
=−
225
225
225
2
Câu 42:
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vng tại C , AB = 2a , AC = a và

SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) . Biết góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SBC ) bằng 60 .
Tính thể tích của khối chóp S.ABC .
A.

a3 2
.
6

B.

a3 6
.
12

a3 6
.
4
Lời giải
C.

D.

a3 2
.
2

Chọn B

Trong ABC kẻ CH ⊥ AB  CH ⊥ ( SAB )  CH ⊥ SB(1) .
BC =

AB 2 − AC 2 = a 3 ,

BH .BA = BC 2 ,
3a
a 3
, CH = BC 2 − BH 2 =
.
2
2
Trong SAB kẻ HK ⊥ SB  CK ⊥ SB( 2 ) .
 BH =

Từ (1) , ( 2 )  HK ⊥ SB .
Góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SBC ) là CKH = 60 .
Trong vuông CKH có HK = CH .cot 60 =

a
, BK = BH 2 − HK 2 = a 2 .
2

thuvienhoclieu.com

Trang 18


SAB

thuvienhoclieu.com
SA AB

2a
a
HKB ( g.g ) nên
=
=
 SA =
HK BK a 2
2

1 a 1
a3 6
1
Thể tích hình chóp S.ABC là V = SA.S ABC =
.
. .a. 3.a =
3
3 2 2
12
Câu 43:

Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z 2 + 4az + b 2 + 2 = 0, ( a, b là các tham số

thực). Có bao nhiêu cặp số thực ( a; b ) sao cho phương trình đó có hai nghiệm z1 , z2 thỏa mãn

z1 + 2iz2 = 3 + 3i ?
A. 4.

B. 1.

C. 2.

Lời giải

D. 3.

Chọn D

 z1 + z2 = −4a
Theo định lý Vi-ét, ta có: 
.
2
 z1 z2 = b + 2
Theo yêu cầu bài tốn, phương trình đã cho có hai nghiệm z1 , z2 thỏa mãn
z1 + 2iz2 = 3 + 3i  z1 + 2iz2 − 3 − 3i = 0  ( z1 + 2iz2 − 3 − 3i )( z2 + 2iz1 − 3 − 3i ) = 0
 −3z1 z2 − (1 + 2i )( 3 + 3i )( z1 + z2 ) + 18i + 2i ( z12 + z22 ) = 0
2
 −3 ( b 2 + 2 ) + ( 3 − 9i )( −4a ) + 18i + 2i ( z1 + z2 ) − 2 z1 z2  = 0



 −3 ( b 2 + 2 ) + ( 3 − 9i )( −4a ) + 18i + 2i 16a 2 − 2 ( b 2 + 2 )  = 0
2
−3 ( b 2 + 2 ) − 12a = 0
b 2 + 2 = −4a


b + 2 = −4a



2

2
2
36a + 18 + 32a 2 + 16a = 0
36
a
+
18
+
32
a
−
4
b
+
2
=
0

(
)

32a + 52a + 18 = 0



b 2 + 2 = −4a
1

1



a = − ;b = 0
a
=
−
;
b
=
0
1




2
2
 a = − 2

.

9
5
9
10


2


a = − ;b =

9
 a = − 8 ; b =  2

a = −
8
2
 
8
Vậy có 3 cặp số thực ( a; b ) thỏa mãn bài toán.
Câu 44:

x = 2 + t
x y−7 z

= . Đường thẳng (  ) là
Cho hai đường thẳng ( d1 ) :  y = 1 + t và ( d 2 ) : =
1
−3
−1
 z = 1+ t


đường vng góc chung của ( d1 ) và ( d 2 ) . Phương trình nào sau đâu là phương trình của (  )

x − 2 y −1 z + 2
=
=
.
1
1

−2
x −1 y − 4 z +1
=
=
C.
.
1
1
−2

x−2
=
1
x −3
=
D.
1
Lời giải

A.

B.

y −1 z −1
=
.
1
−2
y +2 z +3
=

.
−1
−2

Chọn A
Lấy điểm M  ( d1 ) : M ( 2 + t1;1 + t1;1 + t1 )
N  ( d 2 ) : N ( t2 ;7 − 3t2 ; −t2 )

MN = ( t2 − t1 − 2; −3t2 − t1 + 6; −t2 − t1 − 1)

thuvienhoclieu.com

Trang 19


thuvienhoclieu.com
 MN .u1 = 0
 t + t = 1
t = 2
Đường thẳng MN là đường vng góc chung  
 2 1
 2
11t2 + 3t1 = 19
t1 = −1
 MN .u2 = 0
Suy ra M (1;0;0 ) , N ( 2;1; −2 ) và MN (1;1; −2 )

x − 2 y −1 z + 2
=
=

1
1
−2
 x = −1 + 2mt


Câu 45:
Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng  :  y = − ( m 2 + 1) t .Gọi   là đường thẳng

2
 z = (1 − m ) t
qua gốc tọa độ O và song song với  . Gọi A, B, C lần lượt là các điểm di động trên Oz, ,  . Giá trị
nhỏ nhất AB + BC + CA bằng
Phương trình đường thẳng (  ) đi qua M , N là:

A. 2 2 .

2
.
2
Lời giải

B. 2 .

C.

D.

2.

Chọn D

(

)

(

)

 qua điểm M ( −1;0;0 ) , u = 2m; −m 2 − 1;1 − m 2 , OM ; u  = 0;1 − m 2 ; m 2 + 1 .
Ta có:

AB + AC + BC  BC + BC = 2 BC  2d ( ,  ) = 2d ( O,  ) =

2 (1 − m2 ) + ( m2 + 1)
2

=

2

4m2 + ( m2 + 1) + (1 − m2 )
2

Dấu " = " đạt tại

2

2 m4 + 1

=
= 2.
m2 + 1

2 OM , u 
u

(1 + 1) ( m4 + 1)
m2 + 1

m2 1
=  m = 1 , lúc này A  C  O và B là hình chiếu vng góc của O lên  .
1 1

Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên  0;3 và thoả mãn

Câu 46:

f ( 0 ) = 3, f ( 3) = 8 và

3

( f  ( x ))

2

4
 f ( x ) + 1 dx = 3 . Giá trị của f ( 2 ) bằng
0

A.

64
.
9

B.

55
.
9

16
.
3
Lời giải
C.

D.

19
.
3

Chọn B
3

3

Ta có  1 dx.

2

0

0

( f  ( x ) ) dx  
2

f ( x) +1

( f  ( x ))

 0


2


dx  .
f ( x ) + 1 
f ( x)

2

2

3
 1


4

Do đó: 
=  2 f x +1  =
f ( 3) + 1 −
3
f ( x ) + 1  3 
0
0
f ( x)
= k  2 f ( x ) + 1 = kx + C
Vì vậy dấu " = " phải xảy ra tức là
f ( x) +1
3

3
1

dx  
f ( x) +1
3 0


3

2

f ( x)

()

thuvienhoclieu.com

(

f (0) + 1

Trang 20

)

2

=

4
.
3



f
Vì 
f


thuvienhoclieu.com
2

( 0 ) = 3 C = 4

2
k =


3  2 f ( x) +1 = x + 4  f ( x)
3
( 3) = 8 3k + C = 6 C = 4

2

12
55

=  x + 4  −1  f ( x ) =
43
9


Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn f ( −2 ) = 3, f ( 2 ) = 2 và bảng xét dâú đạo hàm như

Câu 47:
sau:

Bất phương trình 3
A. m  ( −2; − 1) .

f ( x )+ m

 4 f ( x ) + 1 + 4m nghiệm đúng với mọi số thực x  ( −2; 2 ) khi và chỉ khi
B. m   −2; − 1 .

C. m   −2;3 .

D. m  ( −2;3) .

Lời giải
Chọn A
Có 3

f ( x )+ m

 4 f ( x ) + 1 + 4m  3 f ( x )+m − 4 ( f ( x ) + m ) − 1  0 .

Đặt t = f ( x ) + m , bất phương trình trở thành :

3t − 4t − 1  0  0  t  2  0  f ( x ) + m  2.
Vậy ycbt  0  f ( x ) + m  2, x   −2; 2 .

min ( f ( x ) + m )  0
min f ( x ) + m  0
2 + m  0
 −2;2
 −2;2



 −2  m  −1.
3
+
m


2
max
f
x
+
m

2
(
)
max
f
x
+
m

2
(
)

(
)
 −2 ;2
 −2;2


. Dựa vào bảng xét dấu của f  ( x ) ta có bảng biến thiên của hàm số f ( x ) trên đoạn  0;5 như
sau:

Suy ra min0;5 = f ( x ) = f ( 2 ) . Và max0;5 f ( x ) = max  f ( 0 ) , f ( 5 ) .
Ta có f ( 0 ) + f ( 3) = f ( 2 ) + f ( 5 )  f ( 5 ) − f ( 0 ) = f ( 3) − f ( 2 ) .
Vì f ( x ) đồng biến trên đoạn  2;5 nên f ( 3)  f ( 2 )  f ( 5) − f ( 0 )  0  f ( 5 )  f ( 0 )
.

Câu 48:

Vậy max0;5 f ( x ) = max  f ( 0 ) , f ( 5 ) = f ( 5 ) .
Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau

thuvienhoclieu.com

Trang 21


thuvienhoclieu.com

Biết rằng f ( 0 ) + f ( 3) = f ( 2 ) + f ( 5) . Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm y = f ( x ) trên
đoạn 0;5 lần lượt là
A. f ( 0 ) , f ( 5 ) .

B. f ( 2 ) , f ( 0 ) .

C. f (1) , f ( 5 ) .

D. f ( 5 ) , f ( 2 ) .

Lời giải
Chọn A
Dựa vào bảng xét dấu của f  ( x ) ta có bảng biến thiên của hàm số f ( x ) trên đoạn  0;5 như sau:

Suy ra min0;5 = f ( x ) = f ( 2 ) . Và max0;5 f ( x ) = max  f ( 0 ) , f ( 5 ) .
Ta có f ( 0 ) + f ( 3) = f ( 2 ) + f ( 5 )  f ( 5 ) − f ( 0 ) = f ( 3) − f ( 2 ) .
Vì f ( x ) đồng biến trên đoạn  2;5 nên f ( 3)  f ( 2 )  f ( 5) − f ( 0 )  0  f ( 5 )  f ( 0 )
.

Vậy max0;5 f ( x ) = max  f ( 0 ) , f ( 5 ) = f ( 5 ) .
Cho parabol ( P ) : y = x 2 và đường trịn ( C ) có tâm thuộc trục tung, bán kính 1 tiếp

Câu 49:

xúc với ( P ) tại hai điểm phân biệt. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( P ) và ( C ) (phần bơi đậm
trong hình vẽ bên) bằng

A.

14 − 3 3 − 2
.
12

Chọn D

(

B.

2 + 3 3 − 8
.
12

4 − 3 3
.
12
Lời giải

C.

D.

9 3 − 4
.
12

)

Gọi A a; a 2  ( P )( a  0 ) là điểm tiếp xúc của ( C ) , ( P ) nằm bên phải trục tung. Phương trình
tiếp tuyến của ( P ) tại điểm A là t A : y = 2 a ( x − a ) + a 2 . Vì ( C ) , ( P ) tiếp xúc với nhau tại A nên

thuvienhoclieu.com

Trang 22


thuvienhoclieu.com
t A là tiếp tuyến chung tại A của cả ( C ) , ( P ) . Do đó

IA ⊥ t A  IA : y = −

1
1

( x − a ) + a 2  I  0; a 2 +  .
2a
2

2

1
3
5
5
=1 a =
( a  0)  (C ) : x2 +  y −  = 1  y =  1 − x 2 .
4
2
4
4

Diện tích hình phẳng cần tính bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi
Vì IA = 1  a 2 +


 y = x2
3

2
5
9 3 − 4

5


2
.
  x 2 −  − 1 − x 2  dx =
 y = − 1− x
4
4
12


3

−
2

3
3
;x =
x = −

2
2
Câu 50:

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương ( a; b ) để đồ thị hàm số y = x3 + ax 2 − 3x + b cắt

trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
A. 5
B. 4

C. 1

Lời giải

D. Vơ số

Chọn C
Ta có:

y ' = 0  3x 2 + 2ax − 3 = 0 phương trình này ln có hai nghiệm phân biệt x =

−a  a 2 + 9
.
3

2
a
a
Đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số là: y =  −3 −  x + b + .
3
3
3

 −a − a 2 + 9  2 
a   −a − a 2 + 9 
a
y
=
y
=
−
3

−
Ta có cd


 + b +  0, a, b 

 



3
3 
3
3

 3

Do vậy ĐTHS cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi
3
 −a − a 2 + 9  2 
a   −a + a 2 + 9 
a 2a − 2
yct = y 
 =  −3 −  
+b+ =

 3


3

3
3
3






 b  g (a) =

Ta có: g ' ( a ) =

( (

1
2a
9

) )

a2 + 9 − a − 9 =

2

(a

2

a +9 −a

2

.

+ 9 ) + 27 ( a + b )
3

27

0

3

27
2a

2

+ 9 ) − 2a 3 − 27

(a

+

− 1  0, a 

+

.

.

Ta có: g (1)  1, 27; g ( 2 )  0.879. Do đó a = 1  b  1, 27  ( a; b ) = (1;1) ;
nếu a  2  b  g ( a )  g ( 2 )  0,879 trường hợp này khơng có cặp sơ ngun dương ( a; b ) nào.
Như vậy có cặp sơ ngun dương ( a; b ) = (1;1) duy nhất.

thuvienhoclieu.com

Trang 23