Đề thi thử tốt nghiệp toán 2022 chuyên đại học vinh có lời giải chi tiết lần 2

thuvienhoclieu.com
TRƯỜNG CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH

Câu 1:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
A. y = 2 .

Câu 2:

ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT LẦN 2
NĂM 2022
Bài thi: TOÁN
Thời gian: 90 phút
1− 2x
là
x −1

B. x = 1 .

C. y = −2 .

D. y = 1 .

Tập nghiệm của bất phương trình log 1 ( x + 1)  0 là:
2

 −1
A.  −1;  .
2


Câu 3:

B.  0; + ) .

C. ( −1; 0 .

D. ( −;0 .

Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( −1;3; 2 ) và mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + z + 5 = 0 . Đường
thẳng đi qua M và vng góc với mặt phẳng ( P ) có phương trình là
 x = −1 + 2t

A.  y = 3 + t .
z = 2 + t


Câu 4:

Câu 5:

B. 1 .

D. −1 .

B.

1
log 32 a .
4

C. 4log32 a .

D.

1
log 32 a .
2

Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

C. 3.

D. 1.

Trong không gian Oxyz , mặt phẳng ( Oxy ) có phương trình là
A. x = 0

Câu 9:

C. 3 .

Với mọi số thực a dương, log32 ( a 2 ) bằng

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 2
B. 0.
Câu 8:

 x = −1 + 2t


D.  y = 3 − t .
z = 2 + t


Trong không gian Oxyz , cho hai vecto u = (1; −2;3) và v = ( 2; −2;1) . Tích vơ hướng u.v bằng

A. 2log32 a .
Câu 7:

x = 2 − t

C.  y = −1 + 3t .
 z = 1 + 2t


Xét số nguyên n  1 và số nguyên k với 0  k  n . Công thức nào sau đây đúng?
k!
n!
n!
k!
A. Ank =
.
B. Ank =
.
C. Ank =
.
D. Ank =
.
n !( k − n ) !

k !( n − k ) !
n !( n − k ) !
( n − k )!

A. 9 .
Câu 6:

 x = 1 + 2t

B.  y = −3 − t .
 z = −2 + t


B. z = 0

Hàm số nào dưới đây có đúng 1 điểm cực trị?
x−2
.
A. y =
B. y = x3 + 2.
x −1

C. y = 0

D. x + y = 0

C. y = 2 x 4 + x 2 − 3.

D. y = x3 + x 2 − 2.

Câu 10: Cho hàm số y = f ( x ) liện tục trên tập xác định ( −; 2 và có bảng biến thiên như sau
thuvienhoclieu.com

Trang 1


thuvienhoclieu.com

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. ( −; −1) .
B. ( −1;0 ) .
C. ( 0; + ) .

Câu 11: Trên khoảng ( 0; + ) , họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x
5 −9
A. − x 5 + C .
9

−

4
5

1

1 15
x x+C .
5

B.

D. ( 0; 2 ) .

9 −9
D. − x 5 + C .
5

C. 5x 5 x + C .

Câu 12: Diện tích S của mặt cầu bán kính r được tính theo cơng thức nào dưới đây?
1 2
4 2
A. S =  r 2 .
B. S =  r .
C. S =  r .
D. S = 4 r 2 .
3
3
Câu 13: Đạo hàm của hàm số y = 2 x
A. y = 2 x

2

−3 x −1

C. y = 2 x

2

−3 x

2

−3 x

là
x
B. y = ( 2 x − 3) 2

.

x
D. y = ( 2 x − 3) 2

ln 2 .

Câu 14: Tập xác định của hàm số y = ( 2 x − 3)
A.

.

2

2022

3

B.  ; +  .
2


2

−3 x

ln 2 .

−3 x −1

.

là
C.

3
\ .
2

D. ( 0; + ) .

Câu 15: Môđun của số phức z = 4 − 3i bằng
A. 5 .

B. 25 .

C. 7 .

D.

7.

Câu 16: Hàm số nào dưới đây có đồ thị trong
hình vẽ bên?
A. y = − x 4 + x 2 + 1.
B. y = x 4 − 3x 2 − 1.
C. y = x 4 − 3x 2 + 1 .
D. y = x 4 + x 2 + 1.
Câu 17: Cho cấp số cộng ( un ) có u3 = 3, u7 = 15 . Công sai d của cấp số cộng đã cho bằng:
A. 3 .

B. 12 .

C. −3 .

D. 5 .

Câu 18: Cho khối nón có chiều cao h = 6 và bán kính đáy r = 3 . Thể tích khối nón đã cho bằng:
A. 18 .
B. 36 .
C. 54 .
D. 6 .
Câu 19: Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng qua trục, ta được thiết diện là một hình vng có chu vi là 8.
Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng:
thuvienhoclieu.com

Trang 2


thuvienhoclieu.com
2

B.  .
C. 2 .
3

A. 8 .

x

Câu 20: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A. 2 x 2 + 1 + C .

1

B.

x2 + 1

x2 + 1
+C .

D. 4 .

là:
C.

1 2
x +1 + C .
2

D.

x2 + 1 + C .

Câu 21: Đồ thị hàm số nào sau đây có đúng một tiệm cận ngang?
A.

B. y =

.

x 2 − 3x
.
x −1

C. y =

1 − x2
.
x+3

D. y =

Câu 22: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = x ( x − 2 ) , với mọi x 

2x − 3
.
x2 − 2x

. Giá trị nhỏ nhất của

hàm số y = f ( x ) trên đoạn 1;4 bằng
A. f ( 3) .

B. f (1) .

C. f ( 4 ) .

D. f ( 2 ) .

Câu 23: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , cạnh bên SA = 2a và vng
góc với mặt phẳng đáy. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
2
4
A. a 3 .
B. 2a3 .
C. 4a3 .
D. a 3 .
3
3
Câu 24: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ( −; 4 ) và có bảng biến thiên như sau

Phương trình f ( x ) + 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm phân biệt?
A. 0

C. 2 .

B. 3 .
1

2

 f ( x )dx = 3

Câu 25: Nếu 1
A. 5 .

và

 g ( x )dx = 1
2

D. 1 .

2

thì

  f ( x ) + 2 g ( x )dx
1

bằng

C. −1 .

B. 1 .

D. 0 .

Câu 26: Trong không gian Oxyz , cho hai điềm A ( 2; −3;5) , B ( 0;1; −1) . Phương trình mặt cầu đường
kính AB là

A. ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 2 ) = 14 .

B. ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 2 ) = 56 .

C. ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 2 ) = 14 .

D. ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 2 ) = 56 .

2

2

2

2

2

2

Câu 27: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên

2

2

2

2

2

2

. Biết f ( x) = ax 4 + bx 2 + c và có đồ thị như trong

hình bên

thuvienhoclieu.com

Trang 3


thuvienhoclieu.com

Hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực đại?
A. 3.

B. 2.

C. 0.

D. 1.

Câu 28: Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC = 2a và

AA = 3a . Góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( ABC ) bằng
A. 60 .

B. 30 .

C. 45 .

D. 90 .

Câu 29: Với mọi số thực dương a, b thoả mãn 9log3 ab = a , khẳng định nào sau đây đúng?
A. a 2b = 1 .

B. a 2b = 3 .

C. ab2 = 1 .

D. ab 2 = 2 .

Câu 30: Cho 2 số phức z1 = m + i và z2 = m + ( m + 2 ) i ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị dương
của tham số m để z1 z2 là một số thuần ảo?
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 0.

( S ) : ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 25 và mặt phẳng
( P ) x + 2 y − 2 z − 3 = 0 . Mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo đường trịn có bán kính bằng
2

Câu 31: Trong khơng gian Oxyz cho mặt cầu

A.

21 .

2

C. 5 .

B. 4 .

2

D. 3 .

Câu 32: Trong không gian Oxyz cho hai điểm M (1, −2, 2 ) , N ( 2, 0, −1) . Gọi ( P ) là mặt phẳng đi qua
và vng góc với đường thẳng MN . Phương trình mặt phẳng ( P ) là:
A. x + 2y − 3z − 3 = 0 .

B. x − 2y − 3z + 1 = 0 . C. x + 2y − 3z + 9 = 0 . D. x − 2y − 3z − 11 = 0 .

Câu 33: Cho số phức z thỏa mãn phương trình iz + (1 + i ) z = 2 + 3i . Điểm biểu diễn số phức z là
A. Q ( 2,−1) .

B. P ( 3,−4 ) .

C. N ( 2,1) .

D. M ( 3, 4 ) .

Câu 34: Lớp 12 A có 22 học sinh gồm 15 nam và 7 nữ. Cần chọn và phân cơng 4 học sinh lao động

trong đó 1 bạn lau bảng, 1 bạn lau bàn và
bạn quét nhà. Có bao nhiêu cách chọn và phân
cơng sao cho trong 4 học sinh đó có ít nhất 1 bạn nữ.
A. 71400 .
B. 87780 .
C. 142800 .
D. 32760 .
Câu 35: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên
1



và có đồ thị như trong hình bên. Tích phân

f (2 x − 1) dx bằng

0

thuvienhoclieu.com

Trang 4


thuvienhoclieu.com

A. 8 .

B. 4 .

C. 2 .

D. 1 .

Câu 36: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f  ( f ( x ) + 3) = 0 là
B. 3 .

A. 6 .

C. 5 .

D. 4 .

Câu 37: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.ABC có AB = a , góc giữa đường thẳng AB và mặt
phẳng ( BCC B ) bằng 30 . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:
A.

3 3
a .
2

B.

6 3
a .
4

C.

3 3
a .
4

D.

6 3
a .
12

f ( x ) = x 4 + bx 2 + c ( b, c  )
A (1;0 )
( P)
của hàm số
có điểm cực trị là
. Gọi
I ( 0; −1)
B ( 2;3)
( C ) và
là parabol có đỉnh
và đi qua điểm
. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
( P ) thuộc khoảng nào sau đây?
A. ( 3; 4 ) .
B. ( 2;3) .
C. (1; 2 ) .
D. ( 0;1) .

Câu 38: Biết đồ thị

(C )

Câu 39: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) . Biết hàm số y = f  (1 + x ) có đồ thị như trong hình bên. Có bao
nhiêu số nguyên dương m sao cho hàm số g ( x ) = f ( − x 2 + 2 x − 2022 + m ) đồng biến trên
khoảng ( 0;1) ?

thuvienhoclieu.com

Trang 5


thuvienhoclieu.com
B. 2023 .
C. 2022 .

A. 2021 .

D. 2024 .

Câu 40: Có bao nhiêu số tự nhiên m sao cho phương trình 4 x − 2 x + 2 + m − 1 = 2 x +1 + 2 có đúng 2
nghiệm thực phân biệt?
A. 10 .
B. 8 .

C. 11 .

D. 9 .

x = 1+ t


Câu 41: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  y = 2 − t và mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + z − 1 = 0 .
 z = −1 + 2t

Gọi  là đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( P ) , đồng thời cắt và vng góc với đường thẳng

d . Phương trình đường thẳng  là :
x − 3 y −1 z +1
=
=
A.
.
2
1
1
x − 2 y −1 z −1
=
=
C.
.
3
1
−1

x y −3 z +3
=
=
.
3
−1
−1

x − 2 y −1 z +1
=
=
D.
.
3
1
−1
B.

Câu 42: Cho hàm số f ( x ) = − x3 + 3x và g ( x ) = f ( 2 + sin x ) + m ( m là tham số thực). Có bao nhiêu
giá trị của m để max g ( x ) + min g ( x ) = 50 ?
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 43: Cho khối chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và SA vng góc với mặt phẳng
đáy. Biết AB = 2a , AD = 2a , ABC = 45 và góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) , ( SCD ) bằng
30 . Thể tích khối chóp đã cho bằng

B. a 3 .

A. 3a3 .

C.

3a 3
.
4

D.

2a 3
.
3

Câu 44: Cho phương trình z 2 − 2mz + 6m − 8 = 0 ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị ngun của
tham số m để phương trình có hai nghiệm phức phân biệt z1 , z2 thỏa z1.z1 = z2 .z2 ?
A. 4 .

B. 1 .

C. 3 .

D. 2 .

Câu 45: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân đỉnh A , góc BAC = 1200 và AB = a .
Các cạnh bên SA, SB, SC bằng nhau và góc giữa SA với mặt đáy bằng 600 . Thể tích của khối
chóp đã cho bằng
A.

3 3
a .
4

a3

.
4

B.

C.

3 3
a .
4

D.

3a 3 .

Câu 46: Xét các số phức z và w thỏa mãn z = w = 1, z + w = 2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = zw+2i ( z + w ) − 4 bằng

A.

3 2
.
2

B.

1+ 5 2
.
4

C. 5 − 2 2 .

D.

5.

( P ) : 2 x − y + 2 z + 16 = 0 và mặt cầu
2
2
2
( S ) : ( x − 2 ) + ( y + 1) + ( z − 3) = 21 . Một khối hộp chữ nhật ( H ) có bốn đỉnh nằm trên mặt
phẳng ( P ) và bốn đỉnh còn lại nằm trên mặt cầu ( S ) . Khi ( H ) có thể tích lớn nhất, thì mặt

Câu 47: Trong

không

gian

Oxyz ,

cho

mặt

phẳng

thuvienhoclieu.com

Trang 6

thuvienhoclieu.com
phẳng chứa bốn đỉnh của ( H ) nằm trên mặt cầu ( S ) là ( Q ) : 2 x + by + cz + d = 0 . Giá trị

b + c + d bằng:
A. −15 .

B. −13 .

D. −7 .

C. −14 .

Câu 48: Có bao nhiêu số nguyên a sao cho ứng với mỗi a , tồn tại số thực b  a thỏa mãn 4a = 2b + b
và đoạn  a; b chứa không quá 5 số nguyên?
A. 5 .

B. 11 .

C. 10 .

D. 6 .

Câu 49: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm là f  ( x ) = ( x 2 + 9 x )( x 2 − 9 ) , với mọi x 

(

. Có bao nhiêu

)

giá trị nguyên của tham số m để hàm số g ( x ) = f x 3 + 3x + 2m − m 2 có khơng q 6 điểm
cực trị?
A. 5 .

B. 4 .

C. 7 .

Câu 50: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên

5
, giá trị f (1) bằng
4
5
3
3
A. e3 + e . B. e3 − e . C. e3 + e .
4
4
4

D. 2 .

và f  ( x ) − f ( x ) = ( x + 1) e3 x , với mọi x 

. Biết

f ( 0) =

D.

5 3
e −e.
4

---------- HẾT ----------

1
C
26
D

2
C
27
A

3
D
28
C

4
C
29
A

5

A
30
D

6
C
31
C

7
A
32
A

8
B
33
C

9
C
34
B

10
B
35
B

11

C
36
B

BẢNG ĐÁP ÁN
13 14 15 16 17
B A A A A
38 39 40 41 42
B D C C D

12
D
37
B

18
D
43
D

19
D
44
B

20
D
45
A

21
D
46
B

22
A
47
B

23
D
48
A

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =

1− 2x
là
x −1

B. x = 1 .

A. y = 2 .

C. y = −2 .
Lời giải

D. y = 1 .

Chọn C
Ta có lim

x →

Câu 2:

1− 2x
= −2 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = −2 .
x −1

Tập nghiệm của bất phương trình log 1 ( x + 1)  0 là:
2

 −1
A.  −1;  .
2


B.  0; + ) .

C. ( −1; 0 .

D. ( −;0 .

Lời giải
Chọn C

Điều kiện x + 1  0  x  −1.
Ta có log 1 ( x + 1)  0  x + 1  1  x  0 .
2

Kết hợp với điều kiện −1  x  0 .
thuvienhoclieu.com

Trang 7

24
B
49
C

25
A
50
C


Câu 3:

thuvienhoclieu.com
Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( −1;3; 2 ) và mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + z + 5 = 0 . Đường
thẳng đi qua M và vng góc với mặt phẳng ( P ) có phương trình là
 x = −1 + 2t

A.  y = 3 + t .
z = 2 + t


 x = 1 + 2t

B.  y = −3 − t .
 z = −2 + t


x = 2 − t

C.  y = −1 + 3t .
 z = 1 + 2t


 x = −1 + 2t

D.  y = 3 − t .
z = 2 + t


Lời giải
Chọn D
Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) : n( P ) = ( 2; −1;1) , nên vecto chỉ phương của đường
thẳng d : ud = ( 2; −1;1) .

 x = −1 + 2t

Mặt khác đường thẳng d qua M ( −1;3; 2 ) , suy ra phương trình đường thẳng d :  y = 3 − t .
z = 2 + t

Câu 4:

Xét số nguyên n  1 và số nguyên k với 0  k  n . Công thức nào sau đây đúng?
k!
n!
n!
k!
A. Ank =
.
B. Ank =
.
C. Ank =
.
D. Ank =
.
n !( k − n ) !
k !( n − k ) !
n !( n − k ) !
( n − k )!
Lời giải
Chọn C

Câu 5:

Trong không gian Oxyz , cho hai vecto u = (1; −2;3) và v = ( 2; −2;1) . Tích vơ hướng u.v bằng
A. 9 .

C. 3 .
Lời giải

B. 1 .

D. −1 .

Chọn A
Ta có u.v = 1.2 + ( −2 ) . ( −2 ) + 3.1 = 9 .
Câu 6:

Với mọi số thực a dương, log32 ( a 2 ) bằng
A. 2log32 a .
C. 4log32 a .

1
log 32 a .
4
1
D. log 32 a .
2

B.

Lời giải
Chọn C

( )

Ta có log32 a 2 = ( 2log3 a ) = 4log32 a .
Câu 7:

2

Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 2
B. 0.

C. 3.
Lời giải

thuvienhoclieu.com

D. 1.
Trang 8


thuvienhoclieu.com
Chọn A
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 2 .
Câu 8:

Trong không gian Oxyz , mặt phẳng ( Oxy ) có phương trình là
A. x = 0

B. z = 0

D. x + y = 0

C. y = 0
Lời giải

Chọn B
Mặt phẳng ( Oxy ) có phương trình là z = 0 .
Câu 9:

Hàm số nào dưới đây có đúng 1 điểm cực trị?
x−2
.
A. y =
B. y = x3 + 2.
C. y = 2 x 4 + x 2 − 3.
D. y = x3 + x 2 − 2.
x −1
Lời giải
Chọn C
Hàm nhất biến khơng có cực trị, hàm bậc ba có hai trường hợp là hoặc có 2 cực trị hoặc khơng
có cực trị nào nên Chọn C

Câu 10: Cho hàm số y = f ( x ) liện tục trên tập xác định ( −; 2 và có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. ( −; −1) .
B. ( −1;0 ) .
C. ( 0; + ) .

D. ( 0; 2 ) .

Lời giải
Chọn B

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( −1;0 ) .

Câu 11: Trên khoảng ( 0; + ) , họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x
5 − 95
A. − x + C .
9

1
5

1 15
B. x x + C .
5

−

4
5

C. 5x x + C .

9 − 95
D. − x + C .
5

Lời giải
Chọn C
Ta có:



4
5

1
5

1
x
f ( x ) dx =  x dx =
+ C = 5x 5 + C .
1
5
−

thuvienhoclieu.com

Trang 9


thuvienhoclieu.com
Câu 12: Diện tích S của mặt cầu bán kính r được tính theo cơng thức nào dưới đây?
1
4
A. S =  r 2 .
B. S =  r 2 .
C. S =  r 2 .
D. S = 4 r 2 .
3
3
Lời giải

Chọn D
Ta có: S = 4 r 2 .
Câu 13: Đạo hàm của hàm số y = 2 x
A. y = 2 x

2

−3 x −1

C. y = 2 x

2

−3 x

2

−3 x

là

x
B. y = ( 2 x − 3) 2

.

2

x
D. y = ( 2 x − 3) 2

ln 2 .

2

−3 x

ln 2 .

−3 x −1

.

Lời giải
Chọn B
x
Ta có: y = ( 2 x − 3) 2

2

−3 x

ln 2 .

Câu 14: Tập xác định của hàm số y = ( 2 x − 3)
A.

2022

là

3

B.  ; +  .
2


.

C.

3
\ .
2

D. ( 0; + ) .

Lời giải
Chọn A
Ta có y = ( 2 x − 3)

2022

có số mũ 2022 là số nguyên dương nên tập xác định của hàm số: D =

Câu 15: Môđun của số phức z = 4 − 3i bằng
A. 5 .

B. 25 .

C. 7 .

D.

7.

Lời giải
Chọn A
Ta có: z = 4 − 3i = 42 + ( −3) = 5 .
2

Câu 16: Hàm số nào dưới đây có đồ thị trong
hình vẽ bên?
A. y = − x 4 + x 2 + 1.
B. y = x 4 − 3x 2 − 1.
C. y = x 4 − 3x 2 + 1 .
D. y = x 4 + x 2 + 1.

Lời giải
Chọn C
+ Đồ thị hàm trùng phương với hệ số a  0
+ Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị nên phương trình y = 0 có 3 nghiệm phân biệt
+ Đồ thị giao với trục tung tại điểm ( 0;1)
thuvienhoclieu.com

Trang 10

.

thuvienhoclieu.com
Câu 17: Cho cấp số cộng ( un ) có u3 = 3, u7 = 15 . Công sai d của cấp số cộng đã cho bằng:
A. 3 .

C. −3 .

B. 12 .

D. 5 .

Lời giải
Chọn A

u3 = 3
u1 + 2d = 3
u = −3

 1
Ta có: 
u7 = 15 u1 + 6d = 15 d = 3
Câu 18: Cho khối nón có chiều cao h = 6 và bán kính đáy r = 3 . Thể tích khối nón đã cho bằng:
A. 18 .
B. 36 .
C. 54 .
D. 6 .
Lời giải
Chọn A

1
1

Thể tích khối nón là: V =  r 2 h =  .9.6 = 18
3
3
Câu 19: Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng qua trục, ta được thiết diện là một hình vng có chu vi là 8.
Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng:
2
A. 8 .
B.  .
C. 2 .
D. 4 .
3
Lời giải
Chọn D
Cạnh của hình vng là 2
Đường sinh của hình trụ là l = 2 , bán kính đáy của hình trụ là r = 1
Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng: Sxq = 2 rl = 2 .1.2 = 4
Câu 20: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A. 2 x 2 + 1 + C .

B.

1
x2 + 1

x
x +1
2

là:

+C .

C.

1 2
x +1 + C .
2

D.

x2 + 1 + C .

Lời giải
Chọn D
1

 f ( x )dx = 

x
x +1
2

dx =

1
x 2 + 1)
(

2

−1
2

2
1 ( x + 1) 2
2
d ( x + 1) = .
+ C = x2 + 1 + C
1
2
2

Câu 21: Đồ thị hàm số nào sau đây có đúng một tiệm cận ngang?
x2 + 3
.
2x − 3

A. y =

B. y =

x 2 − 3x
.
x −1

C. y =

1 − x2
.
x+3

D. y =

2x − 3
.
x2 − 2x

Lời giải
Chọn D
Ta có: lim

x →+

2x − 3
2x − 3
= lim 2
= 0.
2
x
→−
x − 2x
x − 2x

Câu 22: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = x ( x − 2 ) , với mọi x 

. Giá trị nhỏ nhất của

hàm số y = f ( x ) trên đoạn 1;4 bằng
thuvienhoclieu.com

Trang 11


thuvienhoclieu.com
B. f (1) .
C. f ( 4 ) .

A. f ( 3) .

D. f ( 2 ) .

Lời giải
Chọn D
Ta có BBT

Câu 23: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , cạnh bên SA = 2a và vng
góc với mặt phẳng đáy. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
2
4
A. a 3 .
B. 2a3 .
C. 4a3 .
D. a 3 .
3
3
Lời giải
Chọn A

1
1

2
Ta có: V = SA.S ABCD = 2a.a 2 = a 3 .
3
3
3

Câu 24: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ( −; 4 ) và có bảng biến thiên như sau

Phương trình f ( x ) + 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm phân biệt?
A. 0

C. 2 .
Lời giải

B. 3 .

D. 1 .

Chọn D
Tá có: f ( x ) + 1 = 0  f ( x ) = −1 (1)
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng

y = −1.
Tù bảng biến thiên thấy phương trình (1) có 1 nghiệm.
1

2

Câu 25: Nếu

 f ( x )dx = 3
1

và

 g ( x )dx = 1
2

2

thì

  f ( x ) + 2 g ( x )dx
1

thuvienhoclieu.com

bằng
Trang 12


A. 5 .

B. 1 .

thuvienhoclieu.com
C. −1 .
Lời giải

D. 0 .

Chọn B
2

2

2

2

1

1

1

1

1

2

  f ( x ) + 2 g ( x )dx =  f ( x )dx + 2 g ( x )dx =  f ( x )dx − 2 g ( x )dx = 3 − 2 = 1 .
Câu 26: Trong không gian Oxyz , cho hai điềm A ( 2; −3;5) , B ( 0;1; −1) . Phương trình mặt cầu đường
kính AB là
A. ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 2 ) = 14 .

B. ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 2 ) = 56 .

C. ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 2 ) = 14 .

D. ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 2 ) = 56 .

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Lời giải
Chọn A
Mặt

cầu

đã

cho

có

tâm

là

trung

điểm

I (1; −1; 2 )

của

AB

và bán

kính

R = IA = 12 + 22 + 32 = 14 .
Vậy phương trình mặt cầu là ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 2 ) = 14 .
2

Câu 27: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên

2

2

. Biết f  ( x ) = ax 4 + bx 2 + c và có đồ thị như trong

hình bên

Hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực đại?
A. 3.

B. 2.

C. 0.

D. 1.

Lời giải
Chọn D

 x = x1

Ta có f  ( x ) = 0   x = 0 ( x1  0  x2 ) .
 x = x2

Quan sát bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) ta thấy hàm số đã cho có 1 điểm cực đại.

thuvienhoclieu.com

Trang 13


thuvienhoclieu.com
Câu 28: Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC = 2a và

AA = 3a . Góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( ABC ) bằng
A. 60 .

B. 30 .

C. 45 .

D. 90 .

Lời giải
Chọn A

Gọi M là trung điểm của BC
 AM ⊥ BC (1)
 BC ⊥ AM
Ta có 
 BC ⊥ AM (2)
 BC ⊥ AA
Mặt khác ( ABC )  ( ABC ) = BC (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra

(( ABC ) ; ( ABC )) = AMA .

Xét tam giác AMA vuông tại A có tan AMA =

AA
AA
a 3
=
=
= 3  AMA = 60 .
AM 1 BC 1 .2a
2
2

Câu 29: Với mọi số thực dương a, b thoả mãn 9log3 ab = a , khẳng định nào sau đây đúng?
A. a 2b = 1 .

B. a 2b = 3 .

C. ab2 = 1 .

D. ab 2 = 2 .

Lời giải
Chọn C
9log3 ab = a  log3 ab = log 9 a  2 log3 ab = log 3 a  ( ab ) = a  ab 2 = 1 .
2

Câu 30: Cho 2 số phức z1 = m + i và z2 = m + ( m + 2 ) i ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị dương
của tham số m để z1 z2 là một số thuần ảo?
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 0.

Lời giải
Chọn A
z1 z2 = ( m + i ) ( m + ( m + 2 ) i ) = m2 − m − 2 + ( m ( m + 2 ) + m ) i .

m = 2
Để z1 z2 là số thuần ảo thì m2 − m − 2 = 0  
.
 m = −1
Vậy có 1 giá trị dương của tham số m để z1 z2 là một số thuần ảo.

thuvienhoclieu.com

Trang 14


thuvienhoclieu.com
2
2
2
Câu 31: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 25 và mặt phẳng

( P ) x + 2 y − 2 z − 3 = 0 . Mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo đường trịn có bán kính bằng
A.

21 .

B. 4 .

C. 5 .

D. 3 .

Lời giải
Chọn D
Từ phương trình ( S ) : ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 25 ta có tâm I (1, −2,3) , bán kính R = 5
2

Ta có : d ( I , ( P ) ) =

2

1 + 2. ( −2 ) − 2.3 − 3
1 + 2 + ( −2 )
2

2

2

2

=4

Suy ra : bán kính đường tròn là r = R 2 − d 2 = 25 − 16 = 3
Câu 32: Trong không gian Oxyz cho hai điểm M (1, −2, 2 ) , N ( 2, 0, −1) . Gọi ( P ) là mặt phẳng đi qua M
và vng góc với đường thẳng MN . Phương trình mặt phẳng ( P ) là:
A. x + 2y − 3z − 3 = 0 .

B. x − 2y − 3z + 1 = 0 . C. x + 2y − 3z + 9 = 0 . D. x − 2y − 3z − 11 = 0 .
Lời giải

Chọn B
Ta có: MN = (1, 2, −3)

( P ) là mặt phẳng đi qua

M và vng góc với đường thẳng MN nên suy ra:

( P ) :1. ( x − 1) + 2. ( y + 2 ) − 3. ( z − 2 ) = 0  x + 2 y − 3z + 9 = 0
Câu 33: Cho số phức z thỏa mãn phương trình iz + (1 + i ) z = 2 + 3i . Điểm biểu diễn số phức z là
A. Q ( 2,−1) .

B. P ( 3,−4 ) .

C. N ( 2,1) .

D. M ( 3, 4 ) .

Lời giải
Chọn C
Gọi số phức z = a + bi ( a, b  R )

iz + (1 + i ) z = 2 + 3i  i ( a − bi ) + (1 + i )( a + bi ) = 2 + 3i

 ai + b + a + bi + ai − b = 2 + 3i
 2a + b = 3  a = 2


 z = 2+i
a = 2
b = −1
Câu 34: Lớp 12 A có 22 học sinh gồm 15 nam và 7 nữ. Cần chọn và phân cơng 4 học sinh lao động
trong đó 1 bạn lau bảng, 1 bạn lau bàn và 2 bạn qt nhà. Có bao nhiêu cách chọn và phân
cơng sao cho trong 4 học sinh đó có ít nhất 1 bạn nữ.
A. 71400 .
B. 87780 .
C. 142800 .
D. 32760 .
Lời giải
Chọn A
Chọn 4 học sinh: có C224 cách chọn.
Từ 4 học sinh đã được chọn ta chọn ra 1 bạn làm nhiệm vụ lau bảng: có C41 cách chọn.
thuvienhoclieu.com

Trang 15


thuvienhoclieu.com
Tiếp theo chọn 1 bạn trong số 3 bạn còn lại để làm nhiệm vụ lau bàn: có C31 cách chọn.
Hai bạn còn lại sẽ làm nhiệm vụ quét nhà.
4
Khi đó tổng số cách chọn và sắp xếp cơng việc là C22
.C41.C31 .

Gọi biến cố A : “ Trong 4 học sinh đó có ít nhất 1 bạn nữ”.
Khi đó A : “ 4 học sinh được chọn đều là nam”.

( )

Tương tự như trên ta có n A = C154 .C41 .C31 .
4
.C41 .C31 − C154 .C41 .C31 = 71400 .
Vậy n ( A) = C22

Câu 35: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên
1



và có đồ thị như trong hình bên. Tích phân

f (2 x − 1) dx bằng

0

A. 8 .

B. 4 .

C. 2 .

D. 1 .

Lời giải
Chọn B
+ Dựa vào đồ thị hàm số ta có nhận xét f  ( x )  0, x   −1;0 và f  ( x )  0, x  0;1 .
1

+ Xét



f (2 x − 1) dx .

0

Đặt t = 2 x − 1 

1
dt = dx .
2

Đổi cận:

1

+ Khi đó


0

=

f (2 x − 1) dx =

1
0
1
1
 1 0

1
1




f
(
t
)
d
t
=
f
(
t
)
d
t
+
f
(

t
)
d
t
=
−
f
(
t
)
d
t
+
f (t ) dt 


 



2 −1
2  −1
0
0
 2  −1


0
1
1

1
1
− f ( t ) −1 + f ( t ) 0  =  − f ( 0 ) + f ( −1) + f (1) − f ( 0 )  =  − ( −2 ) + 1 + 3 − ( −2 )  = 4
 2
2
2

Câu 36: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

thuvienhoclieu.com

Trang 16


thuvienhoclieu.com

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f  ( f ( x ) + 3) = 0 là
A. 6 .

B. 3 .

C. 5 .

D. 4 .

Lời giải
Chọn B

x = 1
Ta có f  ( x ) = 0  

.
 x = −1
 f ( x) + 3 = 1
 f ( x ) = −2

Suy ra f  ( f ( x ) + 3) = 0  
.
 f ( x ) + 3 = −1  f ( x ) = −4

Phương trình f ( x ) = −2 có hai nghiệm phân biệt.
Phương trình f ( x ) = −4 có một nghiệm.
Vậy số nghiệm phân biệt của phương trình f  ( f ( x ) + 3) = 0 là 3 .
Câu 37: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.ABC có AB = a , góc giữa đường thẳng AB và mặt
phẳng ( BCC B ) bằng 30 . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:
A.

3 3
a .
2

B.

6 3
a .
4

C.

3 3
a .

4

D.

6 3
a .
12

Lời giải
Chọn B

thuvienhoclieu.com

Trang 17


thuvienhoclieu.com

Gọi M là trung điểm của BC
Ta chứng minh được AM ⊥ ( BCC B )
 ( AB, ( BCC B ) ) = ( AB, BM ) = ABM (vì ABM vng tại M )

 ABM = 30
Ta có:
⚫ AM =
⚫ AB =

a 3
2

AM
=a 3
sin 30

⚫ AA = AB2 − AB2 = a 2
⚫ SABC =

a2 3
4

⚫ VABC . ABC  =

a2 3
a3 6
a 2 =
4
4

thuvienhoclieu.com

Trang 18


thuvienhoclieu.com
f ( x ) = x 4 + bx 2 + c ( b, c 

) có điểm cực trị là A (1;0 ) . Gọi ( P )
của hàm số
I 0; −1)
B 2;3

C
là parabol có đỉnh (
và đi qua điểm ( ) . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( ) và
( P ) thuộc khoảng nào sau đây?
A. ( 3; 4 ) .
B. ( 2;3) .
C. (1; 2 ) .
D. ( 0;1) .

Câu 38: Biết đồ thị

(C )

Lời giải
Chọn B
Ta có: ( P ) là parabol có đỉnh I ( 0; −1)  ( P ) : y = a ( x − 0 ) − 1
2

Mà B ( 2;3)  ( P ) nên 3 = a ( 2 − 0 ) − 1  a = 1  ( P ) : y = x 2 − 1
2

1 + b + c = 0
b = −2
 f (1) = 0
Ta có: ( C ) có điểm cực trị là A (1;0 )  
(kiểm tra lại


c = 1
 f  (1) = 0 4 + 2b = 0

thấy thỏa)

 (C ) : f ( x ) = x4 − 2x2 + 1
Phương trình hồnh độ giao điểm của ( P ) và ( C ) là: x 4 − 2 x 2 + 1 = x 2 − 1  x 4 − 3x 2 + 2 = 0
 x = 1

x =  2
−1

2

S=



x − 3 x + 2 dx =
4

2

− 2

−1

=

 (x

4

− 3x 2 + 2 ) dx +

− 2



1

− 2

1

 (x

4

x − 3x + 2 dx +  x − 3x + 2 dx +
4

2

4

2

−1

− 3x 2 + 2 ) dx +

−1

2

 (x

4

2



x 4 − 3x 2 + 2 dx

1

− 3x 2 + 2 ) dx  2,54

1

Câu 39: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) . Biết hàm số y = f  (1 + x ) có đồ thị như trong hình bên. Có bao
nhiêu số nguyên dương m sao cho hàm số g ( x ) = f ( − x 2 + 2 x − 2022 + m ) đồng biến trên
khoảng ( 0;1) ?

A. 2021 .

B. 2023 .

C. 2022 .
Lời giải

D. 2024 .

Chọn B
Tịnh tiến đồ thị hàm số y = f  (1 + x ) sang phải 1 đơn vị ta được đồ thị hàm số y = f  ( x ) .

thuvienhoclieu.com

Trang 19


thuvienhoclieu.com

g  ( x ) = ( −2 x + 2 ) f  ( − x 2 + 2 x − 2022 + m ) .

Hàm số g ( x ) đồng biến trên khoảng ( 0;1)  g  ( x )  0, x  ( 0;1)
 f  ( − x 2 + 2 x − 2022 + m )  0, x  ( 0;1) (vì −2 x + 2  0, x  ( 0;1) )

 m − 1  x 2 − 2 x + 2022, x  ( 0;1)
 − x + 2 x − 2022 + m  1, x  ( 0;1)

2


 m − 2  x − 2 x + 2022, x  ( 0;1) (*) .
2
 2  − x + 2 x − 2022 + m  3, x  ( 0;1)

2
 m − 3  x − 2 x + 2022, x  ( 0;1)
2

Xét hàm số h ( x ) = x 2 − 2 x + 2022 trên khoảng ( 0;1) .

h ( x ) = 2 x − 2  0, x  ( 0;1) nên hàm số h ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0;1) .
 m − 1  h (1)
 m − 1  2021

 m  2022

Do đó (*)   
.
m − 2  h ( 0 )   m − 2  2022  
m = 2024



 m − 3  2021
m − 3  h (1)
 
Vì m nguyên dương nên m  1; 2;...; 2022; 2024 .
Câu 40: Có bao nhiêu số tự nhiên m sao cho phương trình 4 x − 2 x + 2 + m − 1 = 2 x +1 + 2 có đúng 2
nghiệm thực phân biệt?
A. 10 .
B. 8 .

C. 11 .
Lời giải

D. 9 .

Chọn D
Đặt t = 2 x ( t  0 ) .
Phương trình đã cho trở thành t 2 − 4t + m − 1 = 2t + 2 (*)
 −m = t 2 − 6t − 3 ( P1 )
t 2 − 4t + m − 1 = 2t + 2
 2

.
2
 −m = t − 2t + 1 ( P2 )
t − 4t + m − 1 = −2t − 2

thuvienhoclieu.com

Trang 20


thuvienhoclieu.com

Vẽ hai parabol ( P1 ) , ( P2 ) trên khoảng ( 0; +  ) .
Yêu cầu bài tốn  (*) có hai nghiệm dương phân biệt t1 , t2

 −12  − m  −3 3  m  12
  −m = 0
  m = 0
.
 −m  1
 m  −1
Vì m

nên m  0; 4;5;...;11 .

x = 1+ t

Câu 41: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  y = 2 − t và mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + z − 1 = 0 .
 z = −1 + 2t

Gọi  là đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( P ) , đồng thời cắt và vng góc với đường thẳng

d . Phương trình đường thẳng  là :
x − 3 y −1 z +1
x y −3 z +3
=
=
=
A.
. B. =
.
2
1
1
3
−1
−1
x − 2 y −1 z −1
x − 2 y −1 z +1
=
=
=
=

C.
. D.
.
3
1
−1
3
1
−1
Lời giải
Chọn C

Xét phương trình 1 + t − 2 ( 2 − t ) + ( −1 + 2t ) − 1 = 0  t = 1 .
Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng ( P ) tại M ( 2;1;1) .

thuvienhoclieu.com

Trang 21


thuvienhoclieu.com
Gọi ud = (1; −1; 2 ) và nP = (1; −2;1) lần lượt là vectơ chỉ phương của d và vectơ pháp tuyến của
mặt phẳng

( P) .

Khi đó một vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là

u = ud , nP  = ( 3;1; −1) .

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là:

x − 2 y −1 z −1
.
=
=
3
1
−1

Câu 42: Cho hàm số f ( x ) = − x3 + 3x và g ( x ) = f ( 2 + sin x ) + m ( m là tham số thực). Có bao nhiêu
giá trị của m để max g ( x ) + min g ( x ) = 50 ?
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Lời giải
Chọn C
Xét hàm số h ( x ) = f ( 2 + sin x ) + m . Khi đó g ( x ) = h ( x ) .
Ta có : 1  2 + sin x  3, x  .
Đặt 1 + 2sin x = t , t  1;3
Hàm số trở thành h ( t ) = f ( t ) + m trên đoạn 1;3 .

h ( t ) = f  ( t ) = −3t 2 + 3  0, t  1;3 , hàm số h ( t ) nghịch biến trên 1;3 .
Suy ra max h ( t ) = h (1) = m + 2 và min h ( t ) = h ( 3) = m − 18
1;3

1;3

Vậy max h ( x ) = m + 2 và min h ( x ) = m − 18 .
Trường hợp 1: ( m + 2 )( m − 18)  0  m   −2;18
Khi đó min g ( x ) = 0 ; max g ( x ) =

( m + 2 ) + ( m − 18) + ( m + 2 ) − ( m − 18 )
2

= m − 8 + 10

 m = −32
(l ) .
Do đó: max g ( x ) + min g ( x ) = 50  m − 8 = 40  
 m = 48
Trường hợp 2: ( m + 2 )( m − 18)  0  m  ( − ; − 2 )  (18; +  )
Khi đó:

min g ( x ) =
max g ( x ) =

( m + 2 ) + ( m − 18) − ( m + 2 ) − ( m − 18)
2
( m + 2 ) + ( m − 18) + ( m + 2 ) − ( m − 18 )
2

= m − 8 − 10
= m − 8 + 10

 m = 33
(t ) .
Do đó: max g ( x ) + min g ( x ) = 50  m − 8 = 25  
 m = −17
Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn.
Câu 43: Cho khối chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và SA vng góc với mặt phẳng
đáy. Biết AB = 2a , AD = 2a , ABC = 45 và góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) , ( SCD ) bằng
30 . Thể tích khối chóp đã cho bằng

thuvienhoclieu.com

Trang 22


thuvienhoclieu.com
B. a 3 .

A. 3a3 .

C.

3a 3
.
4

D.

2a 3
.
3

Lời giải
Chọn D

Trong ABC có AC = BA2 + BC 2 − 2 BA.BC.cos 45 = a 2 suy ra ABC vuông cân tại A .
Ta có

CD ⊥ AC 
  CD ⊥ ( SAC ) . Kẻ AH ⊥ SC ( H  SC ) và HM CD ( M  SD ) .
CD ⊥ SA 

Ta có

SC ⊥ AH 
  SC ⊥ ( ABHM ) . Suy ra góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) , ( SCD ) bằng góc
SC ⊥ HM 

 BHM = 30
giữa BH , HM  
 BHM = 150.

(

Ta có

)

SC ⊥ AH 



  AH ⊥ ( SCD )  AH ⊥ HM hay góc AHM = 90  BHM  90 .
CD ⊥ AH 

Do đó BHM = 150  BHA = 60 .
Trong ABH vng tại A có AH =
Trong SCA vng tại A có

AB
a 6
=
.

tan 60
3

1
1
1
1
1
3
+
=
 2 + 2 = 2  SA = a .
2
2
2
SA
AC
AH

SA 2a
2a

Vậy thể tích khối chóp là VS . ABCD = 2VS . ABC

(

2
1
2 1
= .SA. . AB. AC = .a. . a 2
3
2
3 2

)

2

2a 3
=
.
3

Câu 44: Cho phương trình z 2 − 2mz + 6m − 8 = 0 ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số m để phương trình có hai nghiệm phức phân biệt z1 , z2 thỏa z1.z1 = z2 .z2 ?
A. 4 .

B. 1 .

C. 3 .

D. 2 .

Lời giải
Chọn D
2
Phương trình z − 2mz + 6m − 8 = 0

(*)

có biệt số  = m2 − 6m + 8 .

Giả thiết z1.z1 = z2 .z2  z1 = z2  z1 = z2 .
2

2

thuvienhoclieu.com

(1)
Trang 23


thuvienhoclieu.com

m  4
Xét   0  
 m  2.
Khi đó (1)  z1 = − z2  z1 + z2 = 0  m = 0 (nhận).

Xét   0  2  m  4 .
Khi đó phương trình (*) có hai nghiệm phức liên hợp với nhau nên (1) luôn đúng.
Mà m nguyên nên m = 3 (nhận).
Vậy có hai giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.
Câu 45: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân đỉnh A , góc BAC = 1200 và AB = a .
Các cạnh bên SA, SB, SC bằng nhau và góc giữa SA với mặt đáy bằng 600 . Thể tích của khối
chóp đã cho bằng
A.

3 3
a .
4

B.

a3
.
4

C.

3 3
a .
4

D.

3a 3 .

Lời giải

Chọn B

+ Gọi H là hình chiếu vng góc của S lên mặt phẳng ( ABC ) ,
Do SA = SB = SC nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
+ Góc giữa SA và mặt phẳng ( ABC ) là góc SAH  SAH = 600 .
+ Ta có BC 2 = AB2 + AC 2 − 2.AB.AC.cos ( BAC ) = 3a 2  BC = a 3.
BC
= 2 AH  AH = a ; SH = AH .tan SAH = a 3 .
sin BAC

1
1
a3
+ VS . ABC = .S ABC .SH = . AB. AC.sin1200.SH = .
3
6
4

Câu 46: Xét các số phức z và w thỏa mãn z = w = 1, z + w = 2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = zw+2i ( z + w ) − 4 bằng

thuvienhoclieu.com

Trang 24


A.

thuvienhoclieu.com
1+ 5 2

B.
.
C. 5 − 2 2 .
4
Lời giải

3 2
.
2

Chọn A
Do z = w = 1  z = cos  + i.sin  , w = cos  + i.sin  ( ,  
Do z + w = 2  cos ( −  ) = 0   −  =

 w = − sin  + i.cos  .


2

+ k , ( k 

D.

5.

)

) . Chọ k = 0   =



2

+ .

P = z + 2i . w + 2i = 5 + 4sin  . 5 + 4cos  = 25 + 20 ( sin  + cos  ) + 16sin  .cos 
t 2 −1
Đặt t = sin  + cos  , − 2  t  2  sin  .cos  =
.
2

(

)

 P = 8t 2 + 20t + 17 

5
3 2
. Dấu bằng xảy ra khi t = − .
4
2

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng

3 2
.
2

( P ) : 2 x − y + 2 z + 16 = 0 và mặt cầu
2

2
2
( S ) : ( x − 2 ) + ( y + 1) + ( z − 3) = 21 . Một khối hộp chữ nhật ( H ) có bốn đỉnh nằm trên mặt
phẳng ( P ) và bốn đỉnh còn lại nằm trên mặt cầu ( S ) . Khi ( H ) có thể tích lớn nhất, thì mặt
phẳng chứa bốn đỉnh của ( H ) nằm trên mặt cầu ( S ) là ( Q ) : 2 x + by + cz + d = 0 . Giá trị

Câu 47: Trong

không

gian

Oxyz ,

b + c + d bằng:
A. −15 .

cho

B. −13 .

mặt

phẳng

C. −14 .
Lời giải

D. −7 .

Chọn B

Ta có mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2; −1;3) và bán kính R = 21 và d ( I , ( P ) ) = 9 .
Do ( H ) là hình hộp chữ nhật nên ( P ) // ( Q )  ( Q ) : 2 x − y + 2 z + d = 0
Khi đó d ( I , ( Q ) ) =

11 + d
3

= d0

Ta có bán kính đường trịn ngoại tiếp bốn điểm của khối hộp nằm trên mặt cầu là
Gọi m, n là hai cạnh của hình chữ nhật, khi đó diện tích hình chữ nhật là mn
2
m2 + n2 4 ( 21 − d0 )
=
= 42 − 2d02
Áp dụng bất đẳng thức Am – Gm : mn 
2
2

thuvienhoclieu.com

Trang 25

21 − d02