Đề Thi Thử TN 2022 Môn Toán Chuyên Lam Sơn Có Lời Giải Chi Tiết-Lần 2

thuvienhoclieu.com
KỲ THI KSCL CÁC MÔN THI TN THPT NĂM 2022 LẦN 2

SỞ GD & ĐT THANH HĨA
TRƯỜNG THPT CHUN LAM
SƠN

Mơn thi: Tốn
Ngày thi: 03/04/2022
Thời gian làm bài: 90 phút, khơng kể thời gian phát

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
( Đề thi có 06 trang)

đề

Họ và tên: ............................................................................

Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.

Số báo

danh: .............

Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập từ tập
4
4
4
A. C5 .
B. C6 .
C. A5 .

( un )

Mã đề Gốc

A = { 2, 3, 4, 5, 6}
4
D. A6 .

u1 = 8 và u2 = 4 . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
1
−
B. 2 .
C. −2 .
D. 2 .
Hàm số nào sau đây đồng biến trên ¡ ?
x −1
y=
3
3
4

2
x +1 .
A. y = x − 3 x .
B. y = x + 3 x .
C.
D. y = x − 3x + 1 .
y = f ( x)
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau
Cho cấp số nhân
1
A. 2 .

với

Hàm số đạt cực đại tại điểm
A. x = −3 .
B. x = −1 .

C. x = 1 .

D. x = −2 .

Hàm số y = x − x + 3 có mấy điểm cực trị?
A. 1 .
B. 2 .

C. 3 .

D. 0 .

4

2

Đường thẳng nào sau đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
A. y = 5 .
B. x = 5 .
C. x = 2 .

y=

5x − 1
x+2 ?

D. x = −2 .

Câu 7.

Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị như hình vẽ dưới đây?

Câu 8.

x +1
y=
3
2
y
=
x

+
x
−
x
+
1
y
=
x
x−2.
A.
. B.
.
C.
y = f ( x)
Cho hàm số bậc ba
có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

thuvienhoclieu.com

D.

Trang 1

y = log 3 x .


thuvienhoclieu.com

thuvienhoclieu.com

Trang 2


thuvienhoclieu.com
f x =1
Số nghiệm của phương trình ( )
là:
A. 3.
B. 0.
C. 2.

y = ( x − 1)
Tập xác định của hàm số
là
1; +∞ )
0; +∞ )
A. (
.
B. (
.
x+4
f x =2
Câu 10. Hàm số ( )
có đạo hàm là
Câu 9.

f ′ ( x ) = 2 .ln 2
x+4

A.

.

B.

f ′ ( x ) = 4.2

C.

[ 1; +∞ ) .
f ′( x) =

x+4

.ln 2

. C.
log ( x − 1) − log ( 2 x + 3) = 0

Câu 11. Tập nghiệm của phương trình
2

 −4; 
{ 2}
3 .
A. 
B.
Câu 12.

D. 1.

3
5

.

C.

{ −4}

1
+C
ln x + 2 + C
A. x + 2
.
B.
.
Câu 13. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
f ′ ( x ) dx = f ( x ) + C
A. ∫
.
α +1
x
xα dx =
+ C , ∀α ≠ −1
∫
α +1
C.
.

2x+4
ln 2 .

D.

¡ \ { 1}

.

f ′( x) =

4.2 x + 4
ln 2 .

là
D. ∅ .

.

f ( x) =

( −∞ ; − 2 ) , họ nguyên hàm của hàm số
Trên khoảng

D.

−1

1

x + 2 là
+C

1
ln x + 2 + C
D. 2
.

C.

( x + 2)

B.

∫ cos xdx = sin x + C .

D.

∫ a dx = a

2

x

.

x

ln a + C ( 0 < a ≠ 1)

.

1

Câu 14. Tích phân
1
e3 +
2.
A.

∫e
0

1

Câu 15. Xét

3x

dx
bằng

I = ∫ 2 x ( x2 + 2)
0

2022

dx

2022

du

3
D. e − 1 .

2
, nếu đặt u = x + 2 thì I bằng
1

3

∫u

B. e − 1 .

e3 − 1
C. 3 .

2022
∫ u du

3

2∫ u 2022 du

3

1 2022
∫2 u du

2
D.
.

A. 2
.
B. 0
.
C. 2
.
z
=
3
−
2
i
Câu 16. Cho số phức
. Tìm phần ảo của số phức liên hợp của z .
A. −2 .
B. 2i .
C. 2 .
D. −2i .
z = 1 − 2i , z2 = 2 + 6i . Tích z1.z2 bằng
Câu 17. Cho hai số phức 1
A. −10 + 2i .
B. 2 − 12i .
C. 14 − 10i .
D. 14 + 2i .
z z
Câu 18. Xét hai số phức 1 , 2 tùy ý. Phát biểu nào sau đây sai?

z z = z1 . z2
z + z = z1 + z2
A. z1 z2 = z1.z2 .
B. 1 2
.
C. z1 + z 2 = z1 + z2 .
D. 1 2
.
V
S
Câu 19. Một khối lăng trụ có thể tích bằng , diện tích mặt đáy bằng . Chiều cao của khối lăng trụ
đó bằng
S
3V
V
S
A. V .
B. S .
C. S .
D. 3V .
SA ⊥ ( ABC ) SA = a
Câu 20. Cho khối chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh a ,
,
(tham khảo hình
vẽ bên dưới).

thuvienhoclieu.com

Trang 3

thuvienhoclieu.com

Thể tích của khối chóp đã cho bằng:
3a 3
3a3
A. 4 .
B. 6 .

C.

3a 3 .

3a 3
D. 12 .

Câu 21. Cho hình nón có bán kính đáy R = 3 và độ dài đường sinh l = 4 . Tính diện tích xung quanh
S xq
của hình nón đã cho.
S = 4 3π
S = 39π
S = 8 3π
S = 12π
A. xq
.
B. xq
.
C. xq
.
D. xq

.
a
2a
Câu 22. Tính thể tích của khối trụ biết bán kính đáy của khối trụ đó bằng và chiều cao bằng
3
3
3
2
A. 2π a .
B. π a .
C. 4π a .
D. 2π a .

A ( 1; 2;3 )
Câu 23. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm
trên mặt
( Oyz ) là
phẳng
M ( 0; 2;3)
N ( 1; 0;3)
P ( 1;0; 0 )
Q ( 0; 2;0 )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

Oxyz
A
(1;
2
;
3)
Câu 24. Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho điểm
và mặt phẳng
( P) : 3 x − 4 y + 7 z + 2 = 0 . Đường thẳng đi qua A và vng góc với mặt phẳng ( P) có phương
trình là
x = 3 + t
 x = 1 + 3t


 y = −4 + 2t (t ∈ ¡ ).
 y = 2 − 4t (t ∈ ¡ ).
 z = 7 + 3t
 z = 3 + 7t
A. 
B. 
 x = 1 − 3t
 x = 1 − 4t


 y = 2 − 4t (t ∈ ¡ ).
 y = 2 + 3t (t ∈ ¡ ).
 z = 3 + 7t
 z = 3 + 7t
C. 

D. 
I ( 1;0; 0 )
Câu 25. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt cầu tâm
và bán kính bằng 2 có
phương trình là
2
2
( x − 1) + y 2 + z 2 = 2 .
( x + 1) + y 2 + z 2 = 2 .
A.
B.
2
2
( x − 1) + y 2 + z 2 = 4 .
( x + 1) + y 2 + z 2 = 4 .
C.
D.
Câu 26. Một em bé có bộ 7 thẻ chữ, trên mỗi thẻ có ghi một chữ cái, trong đó có 2 thẻ chữ T giống
nhau, một thẻ chữ H, một thẻ chữ P, một thẻ chữ C, một thẻ chữ L và một thẻ chữ S. Em bé xếp
theo hàng ngang ngẫu nhiên 7 thẻ đó. Xác suất em bé xếp được dãy theo thứ tự THPTCLS là
1
1
2
1
A. 7 .
B. 2 × 6! .
C. 7! .
D. 7! .
Câu 27. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vng tại B , AB = 3a , BC = 3a ; SA vng góc
ABC )

với mặt phẳng đáy và SA = 2a . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy (
bằng
ο
ο
ο
ο
A. 60 .
B. 45 .
C. 30 .
D. 90 .
y = f ( x)
y = f ′( x)
Câu 28. Cho hàm số bậc bốn
. Hàm số
có đồ thị như hình vẽ như sau
thuvienhoclieu.com

Trang 4


thuvienhoclieu.com

y = f ( x)
Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
1; 4 )
−1;1)
0;3)
−∞ ; 0 )
A. (

.
B. (
.
C. (
.
D. (
.
Câu 29. Khi nuôi tôm trong một hồ tự nhiên, một nhà khoa học đã thống kê được rằng: nếu trên mỗi
mét vuông mặt hồ thả x con tơm giống thì cuối vụ mỗi con tơm có cân nặng trung bình là
108 − x 2 (gam). Hỏi nên thả bao nhiêu con tôm giống trên mỗi mét vuông mặt hồ tự nhiên đó để
cuối vụ thu hoạch được nhiều tơm nhất.
A. 6.
B. 7.
C. 8.
D. 9.
log
a
+
log
b
=
log
ab
) . Tính giá trị của ab .
3
3
9(
Câu 30. Xét tất cả các số dương a và b thỏa mãn
1
ab =

2.
A. ab = 1 .
B. ab = 2 .
C.
D. ab = 0 .
2x
Câu 31. Tích tất cả các nghiệm của phương trình 2
A. 1 .
B. −2 .

2

+5 x + 4

= 4 bằng

C. 2 .

D. −1 .

−3x 2

1
5 x+2
 ÷ <5
5
Câu 32. Số nghiệm nguyên của bất phương trình  
là
3
1

2
A. .
B. .
C. .
D. 4 .
f ( x)
0;1
f ′( x)
Câu 33. Cho hàm số
liên tục trên đoạn [ ] , có đạo hàm
1

∫ ( 2 x + 1) f ′ ( x ) dx = 10

f ( 0 ) = 3 f ( 1)

I = ∫ f ( x ) dx

0
và
. Tính
.
A. I = −5 .
B. I = −2 .
C. I = 2 .
Câu 34. Tìm số phức z thỏa mãn z + 2 z = 9 − 2i .
A. z = 3 + 2i .
B. z = 3 + i .
C. z = 3 − 2i .
0

thỏa mãn

1

D. I = 5 .

D. z = 2 − 3i .
x − 2 y z +1
∆:
= =
−3
1
2 . Gọi M là
Câu 35. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
P : x + 2 y − 3z + 2 = 0
giao điểm của ∆ với mặt phẳng ( )
. Tọa độ điểm M là
M ( 2;0; − 1)
M ( 5; − 1; − 3)
M ( 1; 0;1)
M ( −1;1;1)
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

P
M ( 1; 2;3)
Câu 36. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , ( ) là mặt phẳng đi qua điểm
và cắt các
Ox
,
Oy
,
Oz
A
,
B
,
C
O
tia
lần lượt tại
(khác gốc tọa độ ) sao cho M là trực tâm tam giác ABC .
P
Biết mặt phẳng ( ) có phương trình ax + by + cz − 14 = 0 . Tính tổng T = a + b + c .
A. 8.
B. 14.
C. 6.
D. 11.
A ( 7; − 1; 2 )
Câu 37. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm
và mặt phẳng
( P ) : x − 2 y + 2 z − 6 = 0 . Mặt cầu ( S ) tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) có phương trình
là
49

7
2
2
2
2
2
2
( x + 7 ) + ( y − 1) + ( z + 2 ) =
( x + 7 ) + ( y − 1) + ( z + 2 ) =
9 .
3.
A.
B.
49
7
2
2
2
2
2
2
( x − 7 ) + ( y + 1) + ( z − 2 ) =
( x − 7 ) + ( y + 1) + ( z − 2 ) =
9 .
3.
C.
D.
thuvienhoclieu.com

Trang 5

thuvienhoclieu.com
Câu 38. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Cạnh BA ' = a 3 .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng A ' B và B ' C là:
a
2a
a 2
A. a 2 .
B. 3 .
C. 3 .
D. 3 .

( C ) của hàm số
Câu 39. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị
y = x 4 − 2m 2 x 2 + m 4 + 5 có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ O
tạo thành một tứ giác nội tiếp. Tìm tích các phần tử của S .
1
−1
A. 2 .
B. 5 .
C. 5 .
D. −2 .
log a ( x 2 − x − 2 ) > log a ( − x 2 + 2 x + 3)
S = ( m ; n)
S
Câu 40. Gọi là tập nghiệm của bất phương trình
. Biết
7
và 3 thuộc S , tính m + n .

13
7
11
9
m+n =
m+n =
m+n =
m+n =
3 .
2.
3 .
2.
A.
B.
C.
D.
 π
 0; 
y = f ( x)
Câu 41. Cho hàm số
liên tục trên đoạn  2  thỏa mãn:
 π
∀x ∈ 0; 
2 cos x. f ( 1 + 4sin x ) − sin 2 x. f ( 3 − 2 cos 2 x ) = sin 4 x + 4sin 2 x − 4 cos x
 2.
,
5

Khi đó
A. 2.

I = ∫ f ( x ) dx
1

bằng
B. 4.

C. 8 .
D. 16 .
z + 4 + z − 4 = 10
z − 1 − 2i = 2
Câu 42. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn
và
?
0
1
2
A. .
B. .
C. .
D. 4 .
Câu 43. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , tam giác SAB cân tại S và thuộc
ABC )
SCA )
SCB )
mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (
, góc giữa hai mặt phẳng (
và (
bằng
600 . Gọi H là trung điểm của đoạn AB . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:

a3 2
a3 2
A. Thể tích khối chóp S . ABC bằng 16 .
B. Thể tích khối chóp B.SHC bằng 16 .
3
a 2
C. Thể tích khối chóp S . AHC bằng 64 .
D. Khơng tồn tại hình chóp đã cho.
Câu 44. Một cái bình thủy tinh có phần khơng gian bên trong là một hình nón có đỉnh hướng xuống
dưới theo chiều thẳng đứng. Rót nước vào bình cho đến khi phần khơng gian trống trong bình
có chiều cao 2 cm. Sau đó đậy kín miệng bình bởi một cái nắp phẳng và lật ngược bình để đỉnh
hướng lên trên theo chiều thẳng đứng, khi đó mực nước cao cách đỉnh của nón 8 cm (hình vẽ
minh họa bên dưới).

thuvienhoclieu.com

Trang 6


thuvienhoclieu.com
Biết chiều cao của nón là h = a + b cm. Tính T = a + b .
A. 22 .
B. 58 .
C. 86 .
Câu 45.

Câu 46.

Câu 47.

Câu 48.

D. 72 .
7 4 4
M ; ; ÷
I 1;0;0 )
 9 9 9  và đường
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm (
, điểm
x = 2

d : y = t
 z = 1 + t N ( a , b, c )

thẳng
.
là điểm thuộc đường thẳng d sao cho diện tích tam giác IMN
nhỏ nhất. Khi đó a + b + c có giá trị bằng:
5
−5
A. 2 .
B. −2 .
C. 2 .
D. 2 .
4
3
2
f ( x ) = x − 2 x + ( m − 1) x + 2 x − m + 2022
Cho hàm số
, với m là tham số. Có bao nhiêu giá

y = f ( x − 2021) − 2022
−2021; 2022]
trị nguyên của m thuộc đoạn [
để hàm số
có số điểm
cực trị nhiều nhất?
A. 2021.
B. 2022.
C. 4040.
D. 2023
x
m ( e − 1) .ln( mx + 1) + 2e x = e 2 x + 1
Có bao nhiêu số ngun dương m để phương trình
có 2
nghiệm phân biệt không lớn hơn 5.
A. 26.
B. 27.
C. 29.
D. 28.
7
−
f x
g x
Cho hàm số ( ) với đồ thị là Parabol đỉnh I có tung độ bằng 12 và hàm số bậc ba ( ) .
x ,x ,x
Đồ thị hai hàm số đó cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hồnh độ 1 2 3 thoả mãn
18 x1 x2 x3 = −55 (hình vẽ).

Diện tích miền tơ đậm gần số nào nhất trong các số sau đây?
A. 5,7.

B. 5,9.
C. 6,1.
D. 6,3.
z z z
Câu 49. Cho M , N , P lần lượt là các điểm biểu diễn số phức 1 , 2 , 3 thỏa mãn điều kiện
5 z1 + 9 − 3i = 5 z1
z − 2 = z2 − 3 − i z3 + 1 + z3 − 3 = 4
, 2
,
. Khi M , N , P không thẳng hàng,
giá trị nhỏ nhất của nửa chu vi p của tam giác MNP là
10 5
6 5
9 10
5 11
A. 9 .
B. 5 .
C. 10 .
D. 13 .
(d ) (d ) (d )
Câu 50. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho 3 đường thẳng 1 , 2 , 3 có phương
 x = 4 + 2t3
 x = 1 + 2t1
 x = 3 + t2


( d1 ) :  y = 1 + t1 ( d 2 ) :  y = −1 + 2t2 ( d3 ) :  y = 4 − 2t3
 z = 1 − 2t
 z = 2 + 2t
z = 1+ t

S I; R)
1
2


3

trình
,
,
. (
là mặt cầu tâm I bán

thuvienhoclieu.com

Trang 7


thuvienhoclieu.com
3
kính R tiếp xúc với đường thẳng đó. Giá trị nhỏ nhất của R gần số nào nhất trong các số
sau:
A. 2,1.
B. 2,2.
C. 2,3.
D. 2,4.

thuvienhoclieu.com

Trang 8

thuvienhoclieu.com
KỲ THI KSCL CÁC MÔN THI TN THPT NĂM 2022 - LẦN 2
Mơn thi: Tốn
Ngày thi: 03/04/2022

SỞ GD & ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN

ĐÁP ÁN ĐỀ GỐC

1.C
11.D
21.B
31.A
41.B

2.A
12.B
22.A
32.C
42.C

3.B
13.D
23.A
33.A
43.C

BẢNG ĐÁP ÁN
5.C
6.D
15.A
16.C
25.C
26.C
35.D
36.C
45.B
46.A

4.D
14.C
24.B
34.C
44.C

7.C
17.D
27.C
37.C
47.D

8.A
18.D
28.A
38.C
48.A

9.A
19.C
29.A
39.C
49.B

10.A
20.D
30.A
40.D
50.A

ĐÁP ÁN CHI TIẾT
Câu 1.

Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập từ tập
4
4
4
A. C5 .
B. C6 .
C. A5 .

A = { 2, 3, 4, 5, 6}
4
D. A6 .

Lời giải
4
Số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập từ A là A5 .

Câu 2.

Cho cấp số nhân
1
A. 2 .

( un )

u1 = 8 và u2 = 4 . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
1
−
B. 2 .
C. −2 .
D. 2 .

với

Lời giải

Ta có
Câu 3.

u2 = u1.q ⇒ q =

u2 1
=
u1 2 .

Hàm số nào sau đây đồng biến trên ¡ ?

A. y = x − 3 x .
3

B. y = x + 3 x .
3

C.
Lời giải
3
2
Nhận xét y = x + 3 x có y′ = 3 x + 3 > 0, ∀x ∈ ¡ .
3
Do đó hàm số y = x + 3 x đồng biến trên ¡ .
Câu 4.

Cho hàm số

y = f ( x)

y=

x −1
x +1 .

4
2
D. y = x − 3x + 1 .

có bảng biến thiên như sau

Hàm số đạt cực đại tại điểm
A. x = −3 .
B. x = −1 .

C. x = 1 .

D. x = −2 .

Lời giải
Qua bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực đại tại điểm x = −2 .
Câu 5.

4
2
Hàm số y = x − x + 3 có mấy điểm cực trị?

thuvienhoclieu.com

Trang 9


thuvienhoclieu.com
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 0 .
Lời giải
4
2
4

2
ab = 1. ( −1) = −1 < 0
Hàm số y = x − x + 3 có
, suy ra hàm số y = x − x + 3 có 3 điểm cực
trị.
Câu 6.

Đường thẳng nào sau đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
A. y = 5 .
B. x = 5 .
C. x = 2 .

y=

5x − 1
x+2 ?
D. x = −2 .

Lời giải
Ta có:
Câu 7.

lim−

x →−2

5x − 2
5x − 2
= +∞
lim+

= −∞
x+2
và x→−2 x + 2
nên đồ thi có TCĐ: x = −2 .

Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị như hình vẽ dưới đây?

A. y = x + x − x + 1 .
3

2

B. y = x .

C.
Lời giải

y=

x +1
x−2.

Dễ nhận thấy dạng đồ thị cho trong bài là của hàm số dạng
Câu 8.

Cho hàm số bậc ba
f ( x) = 1

y = f ( x)

y=

D.

y = log 3 x .

ax + b
cx + d .

có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Số nghiệm của phương trình

là:

A. 3.

B. 0.

C. 2.
Lời giải

D. 1.

Kẻ đường thẳng y = 1 ta thấy đường thẳng y = 1 cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt. Như vậy số nghiệm của
phương trình

f ( x) = 1

là 3.
3

Câu 9.

y = ( x − 1) 5

Tập xác định của hàm số
là
1; +∞ )
0; +∞ )
A. (
.
B. (
.

C. [
Lời giải

thuvienhoclieu.com

1; +∞ )

.

D.

Trang 10

¡ \ { 1}

.

thuvienhoclieu.com
x
−
1
>
0
⇔
x > 1.
Điều kiện xác định:
Vậy tập xác định của hàm số là:
Câu 10. Hàm số
A.

f ( x ) = 2x+4

f ′ ( x ) = 2 .ln 2
x+4

Ta có

.

có đạo hàm là

.

B.

f ′ ( x ) = 4.2

x+4

.ln 2

. C.
Lời giải

f ′( x) =

2x+4
ln 2 .

4.2 x + 4
ln 2 .

u

f ′ ( x ) = ( 2 x + 4 ) ′ = 2 x + 4.ln 2. ( x + 4 ) ′ = 2 x + 4.ln 2

.

log ( x − 1) − log ( 2 x + 3) = 0
Câu 11. Tập nghiệm của phương trình
là
2

 −4; 
2
−4

3 .
A. 
B. { } .
C. { } .
Lời giải
 x − 1 = 2x + 3
 x = −4
⇔
⇔
x > 1
x > 1
Ta có phương trình đã cho
Phương trình trên vơ nghiệm.

Câu 12. Trên khoảng

D.

f ′( x) =

( a ) ′ = a .ln a.u′ .
u

Áp dụng công thức

D = ( 1; +∞ )

( −∞ ; − 2 )

f ( x) =

, họ nguyên hàm của hàm số

−1

1
+C
A. x + 2
.

B.

ln x + 2 + C

1

.

C.
Lời giải

( x + 2)

1

2

D. ∅ .

1

x + 2 là
+C
.

1
ln x + 2 + C
D. 2
.

1

dx = ln ax + b + C
dx = ln x + 2 + C
∫
∫
a
Áp dụng công thức: ax + b
, ta có x + 2
.
Câu 13. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
f ′ ( x ) dx = f ( x ) + C
A. ∫
.
C.

α
∫ x dx =

xα +1
+ C , ∀α ≠ −1

α +1
.

B.

∫ cos xdx = sin x + C .

D. ∫
Lời giải

a x dx = a x ln a + C ( 0 < a ≠ 1)

.

ax
a dx =
+C 0 < a ≠1
a x dx = a x ln a + C ( 0 < a ≠ 1)
∫
(
)
∫
ln
a
Ta có
nên phương án
sai.
x

1

Câu 14. Tích phân
A.

e3 +

∫e

3x

dx
bằng

0

1
2.

1

e3 − 1
C. 3 .
Lời giải

B. e − 1 .
1

3
D. e − 1 .

1

1 3x
1 3x
e3 − 1
e
d
x
=
e
d
3
x
=
e
=
(
)
∫0
3 ∫0
3
3
0
3x

Ta có

.

thuvienhoclieu.com

Trang 11


thuvienhoclieu.com
1

Câu 15. Xét

I = ∫ 2 x ( x2 + 2)

2022

dx

0

2
, nếu đặt u = x + 2 thì I bằng
1

3

A.

∫u

2022

du

.

2

B.

1

Xét

I = ∫ 2 x ( x2 + 2)
0

20202

∫u

2022

3

du
.

0

1

dx = ∫ ( x 2 + 2 )
0

C.
Lời giải
2022

2∫ u

3

2022

1 2022
∫2 u du
2
D.
.

du

2

.

d ( x2 + 2)
3

Đặt u = x + 2 . Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 2 ; x = 1 ⇒ u = 3 . Khi đó
2

I = ∫ u 2022 du

2

Câu 16. Cho số phức z = 3 − 2i . Tìm phần ảo của số phức liên hợp của z .
A. −2 .
B. 2i .
C. 2 .
Lời giải

D. −2i .

Số phức liên hợp của z là z = 3 + 2i .
Vậy phần ảo của số phức liên hợp của z là 2 .

z1 = 1 − 2i , z2 = 2 + 6i . Tích z1.z2 bằng
B. 2 − 12i .
C. 14 − 10i .
Lời giải
z .z = ( 1 − 2i ) ( 2 + 6i ) = 14 + 2i
Ta có 1 2
.

Câu 17. Cho hai số phức
A. −10 + 2i .

D. 14 + 2i .

z1 , z2 tùy ý. Phát biểu nào sau đây sai?
z z = z1 . z2
A. z1 z2 = z1.z2 .
B. 1 2

.
C. z1 + z 2 = z1 + z2 .
Lời giải
z = a + bi , z2 = c + di ( a, b, c, d ∈ ¡ ) , ta có
Giả sử 1

Câu 18. Xét hai số phức

z1 + z2 =

( a + c)

Vậy về tổng quát

2

+(b+d)

2

mà
z1 + z2 ≠ z1 + z2

D.

z1 + z2 = z1 + z2

.

z1 + z2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2

.

Câu 19. Một khối lăng trụ có thể tích bằng V , diện tích mặt đáy bằng S . Chiều cao của khối lăng trụ
đó bằng
S
3V
V
S
A. V .
B. S .
C. S .
D. 3V .
Lời giải
Gọi h là chiều cao của khối lăng trụ.
Ta có thể tích khối lăng trụ là

V = S .h ⇔ h =

V
S.

SA ⊥ ( ABC ) SA = a
Câu 20. Cho khối chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh a ,
,
(tham khảo hình
vẽ bên dưới).

thuvienhoclieu.com

Trang 12


thuvienhoclieu.com

Thể tích của khối chóp đã cho bằng:
A.

Vì

3a 3
4 .

B.

SA ⊥ ( ABC )

3a3
6 .

3a 3
D. 12 .

3
C. 3a .
Lời giải

nên ta có SA là đường cao của hình chóp hay h = SA = a .

Do đáy của hình chóp là tam giác đều cạnh a nên ta có:

S=

a2 3
4 .

1
1 3a 2
3a 3
.a =
V = S .h = .
3 4
12 (đvtt).
3
Khi đó thể tích của khối chóp đã cho là:
Câu 21. Cho hình nón có bán kính đáy R = 3 và độ dài đường sinh l = 4 . Tính diện tích xung quanh
S xq
của hình nón đã cho.
A.

S xq = 12π

Ta có

.

S xq = π Rl

B.
. Nên

S xq = 4 3π

.

S xq = π 3.4 = 4 3π

C.
Lời giải

S xq = 39π

.

D.

S xq = 8 3π

.

.

Câu 22. Tính thể tích của khối trụ biết bán kính đáy của khối trụ đó bằng a và chiều cao bằng 2a
3
3
3
2
A. 2π a .
B. π a .
C. 4π a .

D. 2π a .
Lời giải
2
2
3
Thể tích khối trụ là V = π r h = π a .2a = 2π a .

A ( 1; 2;3 )
Câu 23. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm
trên mặt

( Oyz ) là
phẳng
M ( 0; 2;3)
A.
.

B.

N ( 1; 0;3)

.

C.
Lời giải

thuvienhoclieu.com

P ( 1;0; 0 )

.

D.

Trang 13

Q ( 0; 2;0 )

.


thuvienhoclieu.com
M ( x; y; z )
( Oyz ) là M ′ ( 0; y; z )
Hình chiếu của điểm
lên mặt phẳng
M ( 0; 2;3)
A ( 1; 2;3)
( Oyz ) .
Nên
là hình chiếu của điểm
trên mặt phẳng
Câu 24. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(1; 2 ; 3) và mặt phẳng
( P) : 3 x − 4 y + 7 z + 2 = 0 . Đường thẳng đi qua A và vng góc với mặt phẳng ( P) có phương
trình là
x = 3 + t
 x = 1 + 3t


 y = −4 + 2t (t ∈ ¡ ).

 y = 2 − 4t (t ∈ ¡ ).
 z = 7 + 3t
 z = 3 + 7t
A. 
B. 
 x = 1 − 3t
 x = 1 − 4t


 y = 2 − 4t (t ∈ ¡ ).
 y = 2 + 3t (t ∈ ¡ ).
 z = 3 + 7t
 z = 3 + 7t
C. 
D. 
Lời giải
r
Gọi u ∆ là véc tơ chỉ phương của đường thẳng (∆ ) thỏa mãn u cầu bài tốn.
r
Ta có véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) : n p = (3; −4;7) .
r
r
 x = 1 + 3t
(∆ ) ⊥ ( P ) u ∆ = n p = (3; −4; 7)

⇒
⇒ ( ∆ ) :  y = 2 − 4t (t ∈ ¡ ).

 A(1; 2;3) ∈ (∆ )
 A ∈ (∆)

 z = 3 + 7t

Vì
I ( 1;0; 0 )
Câu 25. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt cầu tâm
và bán kính bằng 2 có
phương trình là

( x − 1)
A.

2

( x − 1)

2

C.

+ y2 + z2 = 2
+y +z =4
2

2

.

( x + 1)
B.

+ y2 + z 2 = 2

.

( x + 1)

2

+y +z =4

2

D.
Lời giải

Phương trình mặt cầu có tâm

( x − a)

2

Mà tâm

I ( a; b; c )

2

.

2

.

và bán kính R có dạng:

+ ( y − b) + ( z − c) = R2
2

I ( 1; 0;0 )

2

( x − 1) + y 2 + z 2 = 4.
và bán kính R = 2 nên
2

Câu 26. Một em bé có bộ 7 thẻ chữ, trên mỗi thẻ có ghi một chữ cái, trong đó có 2 thẻ chữ T giống
nhau, một thẻ chữ H, một thẻ chữ P, một thẻ chữ C, một thẻ chữ L và một thẻ chữ S. Em bé xếp
theo hàng ngang ngẫu nhiên 7 thẻ đó. Xác suất em bé xếp được dãy theo thứ tự THPTCLS là
1
1
2
1
A. 7 .
B. 2 × 6! .
C. 7! .
D. 7! .
Lời giải
Hoán vị 7 chữ cái này ta được 1 dãy 7 chữ cái, tuy nhiên trong đó có 2 chữ T giống nhau nên
khi hoán vị 2 chữ T này cho nhau khơng tạo dãy mới.

7!
Ω=
2! dãy khác nhau.
Vì vậy sẽ có:

thuvienhoclieu.com

Trang 14


thuvienhoclieu.com
1
2
P=
=
7! 7!
2!
Xác suất để tạo thành dãy THPTCLS là
.
Câu 27. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại B , AB = 3a , BC = 3a ; SA vng góc
ABC )
với mặt phẳng đáy và SA = 2a . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy (
bằng
ο
ο
ο
ο
A. 60 .
B. 45 .
C. 30 .

D. 90 .
Lời giải

Ta có

SA ⊥ ( ABC )

( ABC ) bằng ·ACS .
nên góc giữa SC và

AC =

AB 2 + BC 2 = 9a 2 + 3a 2 = 2a 3 .
SA
2a
1
tan ·ACS =
=
=
AC 2a 3
3 ⇒ ·ACS = 30ο .
Suy ra

Câu 28. Cho hàm số bậc bốn

Hàm số
A.

y = f ( x)

y = f ( x)

. Hàm số

y = f ′( x)

có đồ thị như hình vẽ sau

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

( 1; 4 ) .

B.

( −1;1) .

C. (
Lời giải

0;3)

.

D.

( −∞ ; 0 ) .

y = f ′( x)
Dựa vào đồ thị hàm số
ta có

f ′ ( x ) > 0 ⇔ x ∈ ( −1;1) ∪ ( 4; + ∞ )
f ′ ( x ) < 0 ⇔ x ∈ ( −∞ ; − 1) ∪ ( 1; 4 )
và
.
y = f ( x)
−1;1)
4; + ∞ )
Do đó hàm số
đồng biến trên các khoảng (
và (
, nghịch biến trên các

khoảng

( −∞ ; − 1)

Vậy hàm số

và (
y = f ( x)

1; 4 )

.

nghịch biến trên khoảng

( 1; 4 )

là đúng.

Câu 29. Khi nuôi tôm trong một hồ tự nhiên, một nhà khoa học đã thống kê được rằng: nếu trên mỗi
mét vuông mặt hồ thả x con tơm giống thì cuối vụ mỗi con tơm có cân nặng trung bình là

108 − x 2 (gam). Hỏi nên thả bao nhiêu con tôm giống trên mỗi mét vng mặt hồ tự nhiên đó để
cuối vụ thu hoạch được nhiều tôm nhất.
A. 6.
B. 7.

C. 8.

thuvienhoclieu.com

D. 9.
Trang 15


thuvienhoclieu.com
Lời giải

2
x ( 108 − x 2 ) = 108 x − x 3 ( gam)
Sau một vụ lượng tôm trung bình trên mỗi m mặt hồ nặng
3
Xét hàm số f ( x) = 108 x − x trên khoảng (0; +∞) ta có

x = 6
f '( x) = 108 − 3 x 2 ; f '( x ) = 0 ⇔ 108 − 3 x 2 = 0 ⇔ 
 x = −6 < 0

Trên khoảng (0; +∞) hàm số f ( x) = 108 x − x đạt GTLN tại x = 6 .
Vậy nên thả 6 con tơm giống trên mỗi mét vng mặt hồ thì cuối vụ thu hoạch được nhiều tôm
nhất.
3

log 3 a + log 3 b = log 9 ( ab )
Câu 30. Xét tất cả các số dương a và b thỏa mãn
. Tính giá trị của ab .
1
ab =
2.
A. ab = 1 .
B. ab = 2 .
C.
D. ab = 0 .

Lời giải

1
log 3 a + log 3 b = log 9 ( ab ) ⇔ log 3 ( ab ) = log 32 ( ab ) ⇔ log 3 ( ab ) = log 3 ( ab )
2
Ta có:
1
⇔ log 3 ( ab ) = 0 ⇔ ab = 1.
2
2

2 x +5 x + 4
= 4 bằng
Câu 31. Tích tất cả các nghiệm của phương trình 2

A. 1 .
B. −2 .
C. 2 .
Lời giải

2

2 x2 +5 x + 4

=4⇔2

2 x 2 +5 x + 4

Ta có:

D. −1 .

1

x=−

= 2 ⇔ 2 x + 5x + 4 = 2 ⇔ 2 x + 5x + 2 = 0 ⇔
2

 x = −2 .
2

2

2

Vậy tích các nghiệm của phương trình là 1 .
−3x 2

1
5x+2
 ÷ <5
Câu 32. Số nghiệm nguyên của bất phương trình  5 
là
A. 3 .
B. 1 .
C. 2 .
Lời giải
−3 x 2

1
 ÷
Bất phương trình  5 

D. 4 .

2

< 55 x + 2 ⇔ 53 x < 55 x + 2 ⇔ 3x 2 < 5 x + 2

1
⇔ 3x 2 − 5 x − 2 < 0 ⇔ − < x < 2
3
.
x ∈ { 0;1}

Vì x ∈ ¢ nên
. Vậy bất phương trình có 2 nghiệm ngun.

thuvienhoclieu.com

Trang 16


Câu 33. Cho hàm số

thuvienhoclieu.com
0;1
liên tục trên đoạn [ ] , có đạo hàm

f ( x)

1

∫ ( 2 x + 1) f ′ ( x ) dx = 10
0

và

f ( 0 ) = 3 f ( 1)

. Tính

I = ∫ f ( x ) dx
0

.

C. I = 2 .
Lời giải
dv = f ′ ( x ) dx
v = f ( x)
Đặt: u = 2 x + 1 ⇔ du = 2dx ,
chọn
.
1
1
1
∫0 ( 2 x + 1) f ′ ( x ) dx = 10 ⇔ ( 2 x + 1) f ( x ) 0 − 2∫0 f ( x ) dx = 10
Ta có:
B. I = −2 .

1

1

1

0

0

0

D. I = 5 .

⇔ 3 f ( 1) − f ( 0 ) − 2∫ f ( x ) dx = 10 ⇔ 0 − 2 ∫ f ( x ) dx = 10 ⇔ ∫ f ( x ) dx = −5
Câu 34. Tìm số phức z thỏa mãn z + 2 z = 9 − 2i .
A. z = 3 + 2i .
B. z = 3 + i .
z = a + bi ( a, b ∈ R)

Theo giả thiết ta có

thỏa mãn

1

A. I = −5 .

Đặt

f ′( x)

C. z = 3 − 2i .
Lời giải

.

D. z = 2 − 3i .

.
( a − bi ) + 2 ( a + bi ) = 9 − 2i

.
( 3a − 9 ) + ( b + 2 ) i = 0

Điều này tương đương với
Từ đây ta được 3a − 9 = b + 2 = 0 .

.

Như vậy a = 3 và b = −2 .
Tức là z = 3 − 2i .
Câu 35. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng

∆:

x − 2 y z +1
= =
−3
1
2 . Gọi M là

P : x + 2 y − 3z + 2 = 0
giao điểm của ∆ với mặt phẳng ( )
. Tọa độ điểm M là
M ( 2;0; − 1)
M ( 5; − 1; − 3)
M ( 1; 0;1)
M ( −1;1;1)
A.
.
B.
.
C.

.
D.
.
Lời giải
x−2 y
 −3 = 1

 y z +1
 =
x + 3y = 2
 x = −1
2
1


⇔ y =1
 x + 2 y − 3z + 2 = 0 ⇔ 2 y − z = 1
 x + 2 y − 3 z = −2
z = 1



Tọa độ của điểm M là nghiệm của hệ: 
M ( −1;1;1)
Vậy
.

( P ) là mặt phẳng đi qua điểm M ( 1; 2;3) và cắt các
Câu 36. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz ,
tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C (khác gốc tọa độ O ) sao cho M là trực tâm tam giác ABC .

Biết mặt phẳng
A. 8.

( P)

có phương trình ax + by + cz − 14 = 0 . Tính tổng T = a + b + c .
B. 14.
C. 6.
D. 11.
Lời giải
thuvienhoclieu.com

Trang 17


thuvienhoclieu.com
OABC
Ta có tứ diện
là tứ diện vng tại O , mà M là trực tâm tam giác ABC nên
OM ⊥ ( ABC ) ⇒ OM ⊥ ( P )
.
uuuur
OM ( 1; 2;3)
P
P
P
Vậy
là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) và ( ) đi qua M nên ( ) có

phương trình: x + 2 y + 3z − 14 = 0 ⇒ T = a + b + c = 6 .

A ( 7; − 1; 2 )
Câu 37. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm

( P ) : x − 2 y + 2 z − 6 = 0 . Mặt cầu ( S )

và mặt phẳng

P
tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) có phương trình

là
A.
C.

( x + 7)

2

( x − 7)

2

+ ( y − 1) + ( z + 2 ) =

49
9 .

+ ( y + 1) + ( z − 2 ) =

49

9 .

2

2

2

2

B.

( x + 7)

2

+ ( y − 1) + ( z + 2 ) =

7
3.

( x − 7)

2

+ ( y + 1) + ( z − 2 ) =

7
3.

2

2

2

2

D.
Lời giải
S
P
Mặt cầu ( ) tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) có bán kính là
R = d ( A, ( P ) ) =
S
Vậy mặt cầu ( )

7 − 2. ( −1) + 2.2 − 6
12 + ( −2 ) + 22
2

có phương trình là

=

7
3

.

( x − 7)

2

+ ( y + 1) + ( z − 2 ) =
2

2

49
9 .

Câu 38. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Cạnh BA ' = a 3 .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng A ' B và B ' C là:
A. a 2 .

a
B. 3 .

2a
D. 3 .

a 2
C. 3 .
Lời giải.

AA ' = a 2

Gọi M là trung điểm AC , E = AB '∩ A ' B ⇒ E là trung điểm của AB '
B ' C / / ME ⇒ B ' C / / ( A ' BM )

Khi đó
⇒ d ( B ' C , A ' B ) = d ( B ' C , ( A ' BM ) ) = d ( C , ( A ' BM ) ) = d ( A, ( A ' BM ) )
thuvienhoclieu.com

(*)

Trang 18


thuvienhoclieu.com

( A ' AM ) : kẻ AH ⊥ A ' M (1)
Trong mặt phẳng
Do ∆ABC đều ⇒ BM ⊥ AC

ABC. A ' B ' C ' là hình lăng trụ đứng ⇒ AA ' ⊥ ( ABC ) ⇒ AA ' ⊥ BM
BM ⊥ ( A ' AM ) ⇒ BM ⊥ AH
Nên
(2)
⇒ AH ⊥ ( A ' BM ) ⇒ d ( A, ( A ' BM ) ) = AH
Từ (1) và (2)
(**)

Trong tam giác A ' AM vuông tại A , AH là đường cao:
1
1
1
1
4
9

a 2
=
+
= 2 + 2 = 2 ⇒ AH =
2
2
2
AH
A' A
AM
2a
a
2a
3 (***)

Từ (*), (**), (***)

⇒ d ( A ' B, B ' C ) =

a 2
3 .

Câu 39. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị

( C)

của hàm số

y = x − 2m x + m + 5 có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ O
tạo thành một tứ giác nội tiếp. Tìm tích các phần tử của S .

4

2 2

A. 2 .

4

−1
C. 5 .
Lời giải

1
B. 5 .

D. −2 .

4
2 2
4
Để hàm số y = x − 2m x + m + 5 có ba điểm cực trị thì y ' = 0 phải có ba nghiệm phân biệt.
x=0
y ' = 0 ⇔  x = m
y ' = 4 x 3 − 4m 2 x = 4 x ( x 2 − m 2 )
 x = − m ( m ≠ 0 )
Ta có
.
,
.

Ba điểm cực trị là

A ( 0; m 4 + 5 ) , B ( m;5 ) , C ( −m;5 )

.

µ µ
O ( 0;0 )
Ba điểm A, B, C và gốc tọa độ
tạo thành tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi B + C = π
1
µ =C
µ =π
uuu
r uuur
⇔B
⇔ m2 =
2
4
µ
µ
2 , (do B = C ) ⇔ BA.BO = 0 ⇔ m − 5m = 0
5 . Vậy S có 2 phần tử và
−1
có tích bằng 5 .

log a ( x 2 − x − 2 ) > log a ( − x 2 + 2 x + 3)
S = ( m ; n)
Câu 40. Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình
. Biết

7
và 3 thuộc S , tính m + n .
13
7
m+n =
m+n =
3 .
2.
A.
B.

C.
Lời giải

m+n =

thuvienhoclieu.com

11
3 .

D.

Trang 19

m+n =

9
2.

thuvienhoclieu.com

x − x − 2 > 0
 2
2 < x < 3
.
− x + 2 x + 3 > 0 ⇔ 
0
<
a
≠
1

0 < a ≠ 1
Điều kiện: 
7
10
20
x=
log a
> log a
⇒ 0 < a < 1.
3 là nghiệm của bất phương trình đã cho nên
9
9
Do
2
2
Vì 0 < a < 1 nên bất phương trình ⇔ x − x − 2 < − x + 2 x + 3

5 2 < x <3
5
5 9
⇔ 2 x 2 − 3 x − 5 < 0 ⇔ −1 < x < 
→2 < x < .
m+n = 2+ =
2
2 Vì vậy
2 2
2

Câu 41. Cho hàm số

y = f ( x)

 π
 0; 
liên tục trên đoạn  2  thỏa mãn:

 π
∀x ∈ 0; 
2 cos x. f ( 1 + 4sin x ) − sin 2 x. f ( 3 − 2 cos 2 x ) = sin 4 x + 4sin 2 x − 4 cos x
 2.
,
5

Khi đó

I = ∫ f ( x ) dx
1

bằng

A. 2.

C. 8 .
Lời giải

B. 0.

Ta có:

D. 16 .

2 cos x. f ( 1 + 4sin x ) − sin 2 x. f ( 3 − 2 cos 2 x ) = sin 4 x + 4sin 2 x − 4 cos x (*)

π
Lấy tích phân từ 0 đến 2 hai vế của (*) ta được:
π
2

π
2

π
2

0

0

0

∫ 2 cos x. f ( 1 + 4sin x ) dx − ∫ sin 2 x. f ( 3 − 2 cos 2 x ) dx = ∫ ( sin 4 x + 4sin 2 x − 4 cos x ) dx
π
2

π
2

⇔

1
1
f ( 1 + 4sin x ) d (1 + 4sin x) − ∫ f ( 3 − 2 cos 2 x ) d (3 − 2 cos 2 x) = 0
∫
20
40

⇔

1
1
f ( t ) dt − ∫ f ( t ) dt = 0 ⇔ ∫ f ( t ) dt = 0 ⇔ ∫ f ( x ) dx = 0
∫
21
41
1
1

5

5

5

5

5

Vậy

I = ∫ f ( x ) dx
1

= 0.

z + 4 + z − 4 = 10
z − 1 − 2i = 2
Câu 42. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn
và
?
A. 1 .
B. 0 .
C. 2 .
D. 4 .
Lời giải

Áp dụng các tính chất

z = z ; z1 + z2 = z1 + z2

ta có

z+4 = z+4 = z+4 = z+4

z + 4 + z − 4 = 10 ⇔ z + 4 + z − 4 = 10
Do đó
.
Gọi M là điểm biểu diễn của z .

thuvienhoclieu.com

Trang 20

.


thuvienhoclieu.com
z − 1 − 2i = 2
C
I 1; 2
C
Do
nên M thuộc đường tròn ( ) tâm ( ) , bán kính R = 2 . ( ) có phương

( x − 1)
trình là
Do

2

+ ( y − 2) = 4
2

z − 4 + z + 4 = 10

.

E
F −4;0 ) ; F2 ( 4; 0 )
nên M thuộc đường elip ( ) có hai tiêu điểm là 1 (
và

x2 y 2
( E ) có phương trình là 25 + 9 = 1 .
có độ dài trục lớn là 10 .
C
E
Từ đây có M là giao điểm của ( ) và ( ) .

Từ hình vẽ của

( C)

và

( E)

ta thấy chúng có 2 giao điểm nên có 2 số phức thỏa mãn u cầu.

Câu 43. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , tam giác SAB cân tại S và thuộc
mặt phẳng vng góc với mặt phẳng

( ABC ) , góc giữa hai mặt phẳng ( SCA )

và

( SCB )

bằng

0

60 . Gọi H là trung điểm của đoạn AB . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:
a3 2
A. Thể tích khối chóp S . ABC bằng 16 .

a3 2
B. Thể tích khối chóp B.SHC bằng 16 .

a3 2
C. Thể tích khối chóp S . AHC bằng 64 .

D. Khơng tồn tại hình chóp đã cho.
Lời giải
ABC ) ⇒ SH ⊥ ( ABC )
Tam giác SAB thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (
, từ đó suy
ra đường cao của hình chóp S . AHC là SH

thuvienhoclieu.com

Trang 21


thuvienhoclieu.com

Kẻ

AK ⊥ SC ⇒ SC ⊥ ( AKB ) ⇒ SC ⊥ KB

⇒ ( ( SAC ) ; ( SBC ) )

 ·AKB = 600
⇒
 ·AKB = 120 0
= ( KA; KB ) = 600

0
0
·
·
Nếu AKB = 60 thì dễ thấy ∆KAB đều ⇒ KA = KB = AB = AC (vơ lí). Vậy AKB = 120
AH
a
⇒ KH =
=
0
0

·
tan 60
2 3
khi đó ∆KAB cân tại K và AKH = 60

1
1
1
=
+
2
2
HC
HS 2
Trong ∆SHC vng tại H ta có KH
a
a 3
a 6
a 6
KH =
HC =
SH =
h=
2 3 và
2 vào ta được
8 . Vậy
8 .
thay
1
1 a 6 1 a 3 a a3 2

VS . AHC = .SH .dt∆AHC = .
. .
. =
3
3 8 2 2 2
64 .

Câu 44. Một cái bình thủy tinh có phần khơng gian bên trong là một hình nón có đỉnh hướng xuống
dưới theo chiều thẳng đứng. Rót nước vào bình cho đến khi phần khơng gian trống trong bình
có chiều cao 2 cm. Sau đó đậy kín miệng bình bởi một cái nắp phẳng và lật ngược bình để đỉnh
hướng lên trên theo chiều thẳng đứng, khi đó mực nước cao cách đỉnh của nón 8 cm (hình vẽ
minh họa bên dưới).

Biết chiều cao của nón là h = a + b cm. Tính T = a + b .
A. 22 .
B. 58 .
C. 86 .
Lời giải

thuvienhoclieu.com

D. 72 .

Trang 22


thuvienhoclieu.com
Để ý rằng có 3 hình nón đồng dạng: Phần khơng gian bên trong bình thủy tinh (có thể tích V ),
V
phần khơng chứa nước khi đặt bình có đỉnh hướng lên (có thể tích 1 ), phần chứa nước khi đặt

V
bình có đỉnh hướng xuống (có thể tích 2 ). Do tỷ số đồng dạng bằng với tỷ số của chiều cao và
tỷ số thể tích là lập phương tỷ số đồng dạng nên ta có

( h − 2) V
V h3 V
h3
512V
= 3;
=
⇒ V1 = 3 ; V2 =
3
V1 8 V2 ( h − 2 )
h
h3
3

. Mà

V1 + V2 = V

nên ta có:

512V ( h − 2 ) V
+
= V ⇒ 512 + h 3 − 6h 2 + 12h − 8 = h 3 ⇔ h 2 − 2h − 84 = 0 ⇒ h = 1 + 85
h3
h3
Vậy T = 86
3

Câu 45. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm

I ( 1;0;0 )

7 4 4
M ; ; ÷
 9 9 9  và đường
, điểm

x = 2

d : y = t
 z = 1 + t N ( a , b, c )

thẳng
.
là điểm thuộc đường thẳng d sao cho diện tích tam giác IMN
nhỏ nhất. Khi đó a + b + c có giá trị bằng:

B. −2 .

A. 2 .

Ta có

IM =

−5
D. 2 .

5
C. 2 .
Lời giải

2
3.
S∆IMN =

1
1
IM .NH = NH
2
3

Gọi H là hình chiếu của N trên đường thẳng d ' đi qua I , M , ta có:
Diện tích tam giác IMN nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài NH nhỏ nhất.
uur
N ∈ d ⇒ N ( 2; n;1 + n ) ⇒ IN = ( 1; n;1 + n )
.
uur ur
ur
 IN , u ' = ( 2; n + 3; − n − 2 )
u
'
=
1;
−
2;
−

2
(
)

Đường thẳng d ' có vecto chỉ phương
. 
.
2

5 9

uur ur
2 n + ÷ +
2
2
2
 IN , u '
2
+
n
+
3
+
−
n
−
2
(
) (
)

2 4 1



NH = d ( N ; d ') =
=
=
≥
ur
3
3
2
u'

Dấu = xảy ra khi
Câu 46. Cho hàm số

n=−

.

5 3

5
N  2; − ; − ÷
2 2  . Vậy a + b + c = −2 .
2 , suy ra: 

f ( x ) = x 4 − 2 x 3 + ( m − 1) x 2 + 2 x − m + 2022

, với m là tham số. Có bao nhiêu giá

y = f ( x − 2021) − 2022
−2021; 2022]
trị nguyên của m thuộc đoạn [
để hàm số
có số điểm
cực trị nhiều nhất?
A. 2021.
B. 2022.
C. 4040.
D. 2023
Lời giải

thuvienhoclieu.com

Trang 23


thuvienhoclieu.com
y = f ( x − 2021) − 2022
Hàm số
có số điểm cực trị nhiều nhất là 7 khi và chỉ khi phương
f x − 2021) = 2022
f ( x ) = 2022
trình (
có 4 nghiệm phân biệt hay phương trình
có 4 nghiệm
phân biệt
f ( x ) = 2022 ⇔ x 4 − 2 x3 + ( m − 1) x 2 + 2 x − m = 0

Ta có

 x = −1

⇔ ( x + 1) ( x − 1)  x 2 − 2 x + m  = 0 ⇔  x = 1
 x 2 − 2 x + m = 0 ( *)


f ( x ) = 2022
*
Suy ra
có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ( ) có 2 nghiệm phân biệt khác −1
và 1 tức là
1 − m > 0
m < 1
2
1 − 2 + m ≠ 0 ⇔ 
 m ≠ −3
12 + 2 + m ≠ 0
−2021; 2022]

do m nguyên thuộc [
nên có 2021 giá trị thỏa mãn.
m ( e x − 1) .ln( mx + 1) + 2e x = e 2 x + 1
Câu 47. Có bao nhiêu số ngun dương m để phương trình
có 2
nghiệm phân biệt không lớn hơn 5.
A. 26.
B. 27.
C. 29.

D. 28.
Lời giải

Xét phương trình

m ( e x − 1) .ln( mx + 1) + 2e x = e 2 x + 1

(*) điều kiện mx + 1 > 0

e x − 1 = 0
*
⇔
( ) x
e − 1 = m. ln(mx + 1)

ex −1 = 0 ⇔ x = 0

e x − 1 = m.ln(mx + 1) , Đặt y = ln(mx + 1) ⇒ e x − 1 = my.
 x = ln( my + 1) (1)

Ta có hệ phương trình  y = ln( mx + 1) (2)
Trừ (1) và (2) theo vế ta được: x − y = ln(my + 1) − ln(mx + 1) hay x + ln(mx + 1) = y + ln(my + 1)
với m > 0 thì hàm số f ( x) = x + ln(mx + 1) đồng biến trên tập xác định nên
x + ln(mx + 1) = y + ln(my + 1) ⇔ x = y
x
Thay x = y vào (1) ta được x = ln( mx + 1) hay e = mx + 1(4)
Rõ ràng x = 0 là 1 nghiệm của phương trình (4).

ex −1
(4) ⇔ m =

x
Với x ≠ 0 ta có
ex −1
xe x − e x + 1
g ′( x ) =
x , ta có: Tập xác định D = ¡ \{0} và
x2
Xét hàm số
g ′( x) = 0 ⇔ xe x − e x + 1 = 0
g ( x) =

x
x
x
Hàm số h( x ) = xe − e + 1 có h′( x) = xe nên h′( x) = 0 ⇔ x = 0
Ta có bảng biến thiên của h( x) như sau:

thuvienhoclieu.com

Trang 24


thuvienhoclieu.com

Suy ra h( x) ≥ 0 , ∀x do đó g ′( x) > 0 , ∀x ≠ 0
Bảng biến thiên của g ( x) :

x
m
Để phương trình e − 1 = ln(mx + 1) có 2 nghiệm phân biệt khơng lớn hơn 5 thì phương trình

m = g ( x) có duy nhất 1 nghiệm bé hơn hoặc bằng 5. Ta có

g (5) =

e5 − 1
≈ 29,5
5

0 < m ≤ g (5)

*
g
(
x
)
Dựa vào bảng biến thiên của
ta có m ≠ 1
do m ∈ ¥ nên có 28 giá trị thỏa mãn.
7
g x
Câu 48. Cho hàm số
với đồ thị là Parabol đỉnh I có tung độ bằng 12 và hàm số bậc ba ( ) .
x ,x ,x
Đồ thị hai hàm số đó cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hồnh độ 1 2 3 thoả mãn
18 x1 x2 x3 = −55 (hình vẽ).
−

f ( x)

Diện tích miền tơ đậm gần số nào nhất trong các số sau đây?
A. 5,7.
B. 5,9.
C. 6,1.
Lời giải
7
1
7
I  ,− ÷
f ( x ) = ( x + 1) ( x − 2 )
2
12
 và
27
Dễ thấy 
.
Hàm số

g ( x)

D. 6,3.

đạt cực trị tại x = −1, x = 2 nên

 x3 x2

g ' ( x ) = a ( x + 1) ( x − 2 ) ⇒ g ( x ) = a  − − 2 x ÷+ b
 3 2

thuvienhoclieu.com

Trang 25