TOÁN 10 HÌNH HỌC HỆ TỌA ĐỘ

ĐẠI SỐ & HÌNH HỌC 10
XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA ĐẲNG THỨC VECTƠ
Bài 10: Cho hình bình hành ABCD. Xác định điểm M thỏa: MA + MB + MC + 3MD = 0
ĐS: M là trung điểm GD với G: trọng tâm ABC
Bài 11: Cho hình vng ABCD có J: trung điểm AD. Xác định điểm M thỏa:
3MA + MD - 2MB = 0
HD: 3MA + MD - 2MB = 0 Û MJ = AB . Vậy M là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABJM
Bài 12: Cho DABC. Xác định điểm M thỏa: MA + 2MB = CB
ĐS: M là trọng tâm ABC
Bài 13 : Cho 4 điểm A , B , C , D. Xác định điểm M thỏa: 3MA + MB + AC + AD = 0
ĐS : M là trung điểm IJ , với I , J lần lượt là trung điểm AB , CD

Bài 3 : HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
A . TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Hệ trục tọa độ:

Gồm 2 trục tọa độ Ox và Oy vng góc với nhau. Vectơ đơn vị trên trục Ox là i , vectơ
đơn vị trên trục Oy là j . Điểm O gọi là gốc tọa độ .Trục Ox gọi là trục hoành , trục Oy gọi
là trục tung
r
r
r
r
2. Tọa độ vectơ: a = (x ; y ) Û a = xi + y j
r
r
· i = (1; 0) , j = (0;1)
uuur
r
r

3. Tọa độ của điểm: M(x ; y) Û OM = xi + y j
r
r
4. Các biểu thức :Cho a = (x ; y ) , b = (x '; y ') và điểm M(x M ; yM) , N(xN ; yN)
·
·
·

r r
ì
ïx = x '
a =b Ûï
í
ï
y =y'
ï
ỵ
r r
r r
a + b = (x + x '; y + y ') và a - b = (x - x '; y - y ')
r
ka = (kx ; ky) với k ỴR

·

b cùng phương với a ¹ 0 Û có số k sao cho x’ = kx và y’ = ky
uuuur
MN = x N - x M ; y N - y M

·

Nếu P là trung điểm đoạn MN thì x P =

·

Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì xG =

·

(

)

xM + xN

; yP =

2
x A + x B + xC
2

yM + yN
2
; yP =

yA + yB + yC
2

B . CÁC VÍ DỤ :
Vì dụ 1 : Cho a = (2;1) , b = (3;4) , c = (7;2)

a/ Tìm tọa độ vectơ u = 2a - 3b + c
b/ Tìm tọa độ vectơ x sao cho x + a = b + c
c/ Tìm các số k , l để c = k a + lb
ĐS : a/ u = (2;-8)
Trang: 51

b/ x = (8;5)

c/ k =

22
3
, l=5
5


ĐẠI SỐ & HÌNH HỌC 10
Ví dụ 2 : Trong mpOxy , cho 2 điểm A(3 ;-5) , B(1 ;0)
a/ Tìm điểm C sao cho OC = -3AB

b/ Tìm điểm D là đối xứng của A qua C
ĐS : a/ C(6 ;-15) b/ D(-1 ;5)
Ví dụ 3 : Trong mpOxy , cho 4 điểm A(1;1) , B(2;-1) , C(4;3) , D(16;3) . Phân tích

AD theo AB và AC
ĐS: AD = 3AB + 4AC
C. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Trong mpOxy , cho điểm A(2;1) , B(6;-1). Tìm
a/ điểm M Ỵ trục Ox sao cho A , B , M thẳng hàng
b/ điểm N Ỵ trục Oy sao cho A , B , N thẳng hàng

Bài 2. Trong mpOxy cho A(1;-2) , B(0;4) , C(3;2). Tìm tọa độ

ĐS: a/ M(4;0) , b/ N(0;2)

a/ điểm M sao cho CM = 2AB - 3AC
b/ điểm N sao cho AN + 2BN - 4CN = 0
Bài 3. Trong mpOxy , cho 3 điểm A(2;1) , B(3;2) , C(0;3)

ĐS: M(-5;2) , N(11;2)

a/ Tìm điểm I thỏa : IA + 2IB + 3IC = 0
b/ AB cắt trục Ox tại điểm M , tìm M

Bài 4. Trong mpOxy , cho 3 điểm A(1;2) , B(-2;3) , C(3;8)
a/ Tìm điểm D sao cho ABCD là hình bình hành
b/ Tìm điểm M sao cho MA = -2MC

ỉ4 7ư
ĐS: Iỗ ; ữ M(1;0)
ố 3 3ứ

ổ7 ử
S: D(0;9) , Mỗ ; 6 ÷
è3 ø
Bài 5. Trong mpOxy , 3 điểm O , A(a;2a) , B(-a ; -2a) có thẳng hàng không?
Bài 6. Cho 3 điểm A(1;0) , B(2;5) , C(4;4)
a/ CTR: A , B , C tạo thành 1 tam giác
b/ Tìm trọng tâm DABC
c/ Tìm điểm D sao cho A l trng tõm DBCD
ổ7 ử

S: b/ Gỗ ; 3ữ c/ D(-3;-9)
è3 ø
Bài 7. Cho tứ giác OABC , A(3;0) , B(4;2) , C(0;5) . Tìm giao điểm 2 đường chộo OB , AC
ổ 30 15 ử
S: ỗ ; ữ
ố 13 13 ø
Bài 8. Cho điểm A(-1;1) , điểm B(5;3) , đỉnh C Ỵ trục Oy và trọng tâm G của DABC nằm trên Ox.
Tìm tọa độ đỉnh C
ĐS: C(0;-4)
Bài 9. Cho 3 điểm A(1;1) , B(3;2) , C(m + 4 ; 2m + 1). Tìm m sao cho A , B , C thẳng hàng
ĐS: m = 1
Bài 10. Cho 3 điểm A(1;1) , B(0;-3) , C(7;2)
a/ Tìm điểm M sao cho MA + 2MB = 3AC
b/ Tìm giao điểm của BC và trục Ox
c/ Tìm giao điểm N của AC với trục Oy
Trang: 52

ỉ - 17 8 ư
;- ữ
S: a/ Mỗ
3ứ
ố 3

ổ 21 ử
ổ 5ử
b/ ỗ ; 0 ữ , c/ ỗ 0 ; ữ
ố5 ứ
ố 6ứ

ĐẠI SỐ & HÌNH HỌC 10

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1:

Câu 2:

Câu 3:

Câu 4:
Câu 5:

Câu 6:

r
Cho tứ giác ABCD. Số các vectơ khác 0 có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của tứ giác
bằng:
A. 4.
B. 6.
C. 8.
D. 12.
r
uuur
Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Số các vectơ khác 0 cùng phương với vectơ OC
có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của lục giác bằng:
A. 4.
B. 6.
C. 7.
D. 8.

uuur
Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Số các vectơ bằng vectơ OC có điểm đầu và điểm
cuối là đỉnh của lục giác bằng:
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 6.
uuur
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3, BC = 4 . Độ dài của vectơ AC bằng:
A. 5.
B. 6.
C. 7.
D. 9.

Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
A. CA - BA = BC .
B. AB + AC = BC .
C. AB + CA = CB .
uuur uuur uuur
AB - BC = CA .

D.

Cho hai điểm phân biệt A và B. Điều kiện để điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB là:
A. IA = IB .

uur uur

ur

B. IA = IB .

uur

C. I A = -IB .

uur uur

D. AI = BI .

Câu 7:

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đẳng thức nào
sau đây là đúng?
uur
uuur
uur
uuur uuur
uur
uuur uuur uuur
1 uur
A. GA = 2GI .
B. IG = - IA .
C. GB + GC = 2GI .
D. GB + GC = GA .
3

Câu 8:

Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
uuur uuur
uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur
uuur
A. AC + BD = 2 BC .
B. AC + BC = AB . C. AC - BD = 2CD .

Câu 9:

uuur uuur uuur
D. AC - AD = CD .

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành OABC, C nằm trên Ox. Khẳng định nào
sau đây là đúng?

uuur

A. AB có tung độ khác 0.
B. Các điểm A và B có tung độ khác
nhau.
C. Điểm C có hồnh độ bằng 0.
D. xA + xC - xB = 0 .
r
r
Câu 10: Cho u = ( 3; -2 ) , v = (1; 6 ) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
r

r r
r
r
A. u + v và a = ( -4;4 ) ngược hướng.
B. u và v cùng phương.
r
r r
r r
r
C. u - v và b = ( 6; -24) cùng hướng.
D. 2u + v và v cùng phương.
Câu 11: Cho tam giác ABC có A ( 3;5 ) , B (1;2 ) , C ( 5; 2 ) . Trọng tâm G của tam giác có tọa độ là:
A. ( -3; 4 ) .

B. ( 4;0 ) .

C. ( 3;1) .

D. ( 3;3) .

Câu 12: Cho bốn điểm A (1;1) , B ( 2; -1) , C ( 4;3) và D ( 3;5 ) . Chọn mệnh đề đúng:
A. Tứ giác ABCD là hình bình hành.
BCD.
uuur uuur
C. AB = CD .

ỉ 5ư
B. im G ỗ 2; ữ l trng tõm ca tam giác
è 3ø
uuur uuur

D. Hai vectơ AC , AD cùng phương.

Trang: 53


ĐẠI SỐ & HÌNH HỌC 10
Câu 13: Cho bốn điểm A ( -5; -2) , B ( -5;3) , C ( 3;3) và D ( 3; -2 ) . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
uuur
uuur
A. AB và CD cùng hướng.
B. Tứ giác ABCD là hình chữ nhật.
uuur uuur uuur
C. Điểm I ( -1;1) là trung điểm của AC.
D. OA + OB = OC cùng phương.
r uuur r uuur
Câu 14: Cho tam giác ABC. Đặt a = BC , b = AC . Các cặp vectơ nào sau đây cùng phương?
r r
r
r
r
r
r r
A. 2a + b và a + 2b .
B. a - 2b và 2a - b .
r r
r
r
r r
r r
C. 5a + b và - 10 a - 2b .

D. a + b và a - b .
Câu 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có gốc O là tâm của hình vng và
các cạnh của nó song song với các trục tọa độ. Khẳng định nào sau đây là đúng?
uuur uuur
uuur uuur
uuur
A. OA + OB = AB .
B. OA - OB và DC cùng hướng.
C. x A = - xC và y A = yC .

D. xB = - xC và yC = - yB .

Câu 16: Cho M ( 3; -4 ) . Kẻ MM1 vng góc với Ox, MM 2 vng góc với Oy. Khẳng định nào
sau đây là đúng?
A. OM 1 = -3 .

uuuur uuuuur
uuuur uuuuur
B. OM 2 = 4 . C. OM1 - OM 2 = ( -3; -4 ) . D. OM1 + OM 2 = ( 3; -4 ) .

Câu 17: Trong mặt phẳng Oxy cho A ( 2; -3) , B ( 4;7 ) . Tọa độ trung điểm I của AB là:
A. ( 6;4 ) .

B. ( 2;10 ) .

C. ( 3; 2 ) .

uuur

D. ( 3;5) .

Câu 18: Trong mặt phẳng Oxy cho A ( 5; 2) , B (10;8) . Tọa độ của vectơ AB là:
A. (15;10 ) .

B. ( 2;4 ) .

C. ( 5; 6) .

D. ( 50;16 ) .

Câu 19: Cho tam giác ABC có B ( 9;7 ) , C (11; -1) , M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC.
uuuur
Tọa độ của vectơ MN là:
A. ( 2; -8) .

B. (1; -4 ) .

C. (10;6 ) .

D. ( 5;3) .

Câu 20: Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm A ( 3; -2 ) , B ( 7;1) , C ( 0;1) và D ( -8; -5 ) . Mệnh đề
nào sau đây là đúng?
uuur
uuur
A. AB và CD đối nhau.
uuur
uuur
B. AB và CD cùng phương nhưng ngược hướng.
uuur

uuur
C. AB và CD cùng phương và cùng hướng.
D. A, B, C, D thẳng hàng.
Câu 21: Cho ba điểm A ( -1;5) , B ( 5;5) , C ( -1;11) . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
uuur
uuur
A. Ba điểm A, B, C thẳng hàng.
B. AB và AC cùng phương.
uuur
uuur
uuur
uuur
C. AB và AC không cùng phương.
D. AC và BC cùng phương.
r
r
r r
Câu 22: Cho a = ( 3; -4 ) , b = ( -1; 2 ) . Tọa độ của vectơ a + b là:
A. ( -4;6 ) .
B. ( 2; -2) .
C. ( 4; -6) .
r
r
r r
Câu 23: Cho a = ( -1; 2) , b = ( 5; -7 ) . Tọa độ của vectơ a - b là:

D. ( 2;3) .

A. ( 6; -9 ) .
B. ( 4; -5) .

C. ( -6;9) .
D. ( -5; -14 ) .
r
r
r
r
Câu 24: Cho a = ( -5; 0) , b = ( 4; x ) . Hai vec tơ a và b cùng phương nếu số x là:
Trang: 54


ĐẠI SỐ & HÌNH HỌC 10
A. - 5 .
B. 4 .
C. 0 .
r
r
r
r
r r
Câu 25: Cho a = ( x; 2) , b = ( -5;1) , c = ( x;7 ) . Vectơ c = 2a + 3b nếu
A. x = -15 .

B. x = 3 .

C. x = 15 .

D. -1 .
D. x = 5 .

Câu 26: Cho ba điểm A (1;1) , B ( -2; -2) , C ( 7;7 ) . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. G ( 2; 2 ) là trọng tâm tam giác ABC.
C. Điểm A ở giữa hai điểm B và C.

B. Điểm B ở giữa hai điểm A và C.
uuur
uuur
D. Hai vectơ AB và AC cùng hướng.

Câu 27: Các điểm M ( 2;3) , N ( 0; -4) , P ( -1;6 ) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB của
tam giác ABC. Tọa độ đỉnh A của tam giác là:
A. (1;5) .

B. ( -3; -1) .

C. ( -3; -7 ) .

D. (1; -10 ) .

Câu 28: Cho tam giác ABC có trọng tâm là gốc tọa độ O, hai đỉnh A ( -2; 2 ) và B ( 3;5 ) . Tọa độ
của đỉnh C là:
A. ( -1; -7 ) .

B. ( 2; -2) .

C. ( -3; -5 ) .

D. (1; 7 ) .

Câu 29: Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng?
r

r
A. Hai vectơ a = ( -5;0) và b = ( -4;0) cùng hướng.
r
ur
B. Vectơ c = ( 7;3) là vectơ đối của vectơ d = ( -7;3) .
r
r
C. Hai vectơ u = ( 4;2 ) và v = ( 8;3) cùng hướng.
r
r
D. Hai vectơ a = ( 6;3) và b = ( 2;1) ngược hướng.
rr
r r
Câu 30: Trong hệ trục O; i, j vectơ i + j là:

(

A. ( 0;1) .

)

B. ( -1;1) .

C. (1; 0 ) .

D. (1;1) .
uuuur
uuur
uuur
Câu 31: Cho tam giác ABC và điểm M trên đoạn AC với AC = 3 AM và ta có BM = m BA + n BC

thì ( m + n ) bằng bao nhiêu?
A. 1.

B. 2.

C.

2
.
3

D.

1
.
2

Câu 32: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AC, N là trung điểm của BM thì
uuur
uuur
uuur
AN = m AB + n AC khi đó ( m.n ) bằng bao nhiêu?
A. 8.

B. 4.

C.

1
.

8

D.

1
.
2

uuur
uur
Câu 33: Cho tam giác ABC, gọi I là điểm sao BC = 3 BI thì tập hợp các điểm M thỏa mãn
uuuur uuur uuur
MC - 3 MI = AB là đường nào sau đây?
A. Đường trung trực của AB.
B. Đường trịn đường kính BC.
C. Đường thẳng AB.
D. Điểm M cố định.

Câu 34: Cho tam giác ABC có trọng tâm G và M là trung điểm cạnh BC. Đẳng thức nào sau đây là
đúng?
uuur uuur 3 uuur
uuuur
uuur
uuuur
uuur
uuur uuur
uuuur
A. 2 AM = 3 AG .
B. AM = 2 AG .
C. AB + AC = AG . D. AB + AC = 2GM .

2

Trang: 55