Đồ họa máy tính - Chương 2 Các phép biến đổi hình trên hệ toạ độ - Bài 10 ppsx

Kỹ thuật Đồ hoạ máy tính
57
repeat until keypressed;
closegraph;
END.


$10. Kỹ thuật xây dựng các mặt cong
1. Mặt cong và các yếu tố cơ bản của mặt cong
Mặt cong tơng tự nh đờng cong nó có thể đợc cho dới dạng tham số
S(u,v)=(x(u,v),y(u,v), z(u,v)) (1)
chẳng hạn mặt hypeloid cho dới dạng:
S(u,v)=(v cos u, hu, v sin u)
ở đây các hàm x,y,z chúng ta luôn giả thiết là hàm liên tục của hàm hai biến (u,v)
thuộc miền D nào đó. Các tham số u,v đợc gọi là các tham số đờng cong toạ độ,
của các điểm trên mặt cong Nếu từ (1) chúng ta cố định v=
v
khi đó ta đợc:
Q(u)=S(u,
v
)=(x(u,
v
), y(u,
v
), z(u,
v
))
Q(u) sẽ là một đờng cong nào đó trên mặt cong S(u,v). Ta gọi Q(u) là các đờng
toạ độ.
Tơng tự nếu ta cố định u=
u

ta có Q(v)=S(
u
,v), Q(v) là đờng cong toạ độ trên mặt
cong S
Ví dụ
S(,)=(x(,), y(,),z(,))
xR
yR
zR
=
=
=





cos cos
sin cos
sin
(*)





0360
o
, 0360
o

Mặt S(,) xác định nh trên mặt cầu với = ta có đờng cong toạ độ là đờng
tròn;
= cũng tạo nên đờng cong toạ độ là đờng tròn.
2. Mặt cong Lagrang
Giả sử
Su PF u u u u
ii
i
n
() ()=
=

0
01

là một đờng cong nào đó, Fi(u) là hàm cơ sở của đờng cong, Pi là điểm thuộc
đờng cong. Các điểm Pi này lại có thể thuộc đờng cong thứ j nào đó cho bởi
phơng trình
Kỹ thuật Đồ hoạ máy tính
58

Pv PG v
iijj
j
m
() ()=
=

0

Mặt cong s có thể viết dới dạng
Suv PF uG v
ij i j
j
m
i
n
(,) () () ()=
==

2
00

Với F
i
(u), G
j
(v) là các hàm cơ sở
Nếu chọn hàm cơ sở
Fu l u
uu
uu
ii
n
i
ki
k
ki
n

() ()==


=


0

Gv l v
v
v
vv
jj
m
j
kj
k
kj
m
() ()==


=


0

khi đó
Suv Pl vl u
ij

j
m
i
n
j
m
i
n
(,) () () (**)=
==

00

Chúng ta thể thấy mặt cong s đi qua điểm U
i
,v
j
S(u
i
,v
j
)=P
ij
Công thức (**) gọi là công thức mặt cong Lagrang
Mặt cong Lagrang có u điểm nó đi qua nxm điểm cho trớc và có đạo hàm cao tuỳ
ý. Do vậy nói chung mặt cong Lagrang có sai số rất lớn so với mặt cong thực phải
xây dựng


$11. Mặt cong Bezier

1. Mặt cong Bezier
Tình hình giống nh với đờng cong để có thể xây dựng mặt cong chính xác hơn khi
cho trớc một số điểm, ngời ta nghĩ đến việc xây dựng các mảnh mặt cong nhỏ hơn
và sau đó ghép nối chúng lại, mặt cong Bezier là mặt cong có dạng tham số:
Suv PB uB v
ij m
j
n
i
j
m
i
n
(,) () () ()=
==

2
00

ở đây BB
m
j
n
i
,

là các đa thức Berstein bậc m và n, u
o
uu
1

, v
o
vv
1