Phát triển tư duy Toán học cho học sinh lớp 9 ở trường TH&THCS Đông Anh thông qua các bài tập áp dụng hệ thức Vi-ét

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
Mơn Tốn ở bậc THCS có một vai trị rất quan trọng, một mặt nó phát
triển kiến thức, kỹ năng và thái độ mà học sinh đã lĩnh hội và hình thành ở bậc
TH, mặt khác nó góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và thái độ cần
thiết để tiếp tục lên bậc học cao hơn, học nghề hoặc đi vào các lĩnh vực lao động
sản xuất đòi hỏi những kiến thức nhất định về Tốn học. Tuy nhiên, hiện nay
tình trạng học sinh học yếu mơn Tốn ở cấp THCS là một thực tế đáng lo ngại
và là nỗi băn khoăn trăn trở của nhiều giáo viên dạy Tốn, tình trạng này cịn có
xu hướng nhiều hơn đối với học sinh trên địa bàn vùng nông thôn.
Là giáo viên, ai cũng mong muốn học sinh học giỏi, nhưng làm như thế
nào, dạy như thế nào để học sinh lĩnh hội được nhiều nhất tri thức và vận dụng
được tri thức đó vào q trình học tập thì khơng phải người giáo viên nào cũng
làm được. Muốn cho học sinh học Tốn nói riêng và tất cả các mơn học khác nói
chung tiếp thu tốt kiến thức thì người giáo viên phải khéo léo dạy cho học sinh
cách tư duy vấn đề. Khả năng tư duy khơng chỉ là cái đích cần đạt mà còn là
phương tiện giúp học sinh học tốt mơn Tốn. Tuy nhiên, trong sách vở lại khơng
có bài học nào dạy học sinh “tư duy vấn đề” cả, do đó người thầy phải biết xâu
chuỗi kiến thức, biết hệ thống hóa kiến thức, biết suy luận một cách chặt chẽ và
hợp lý để hình thành cho học sinh cách tư duy, suy luận khi gặp một bài tốn,
một vấn đề trong học tập.
Nhận thức được vai trị của tư duy đối với hiệu quả học tập môn Tốn của
học sinh, trong q trình dạy học mơn Tốn tôi luôn để ý đến phát triển khả năng
tư duy cho các em và so sánh các cách làm khác nhau của giáo viên tác động
như thế nào đến khả năng ấy. Khi học sinh có tư duy Tốn học chặt chẽ cũng là
môi trường thuận lợi để rèn luyện tốt kỹ năng này cho các em trong các môn học
khác, lĩnh vực khác.
Trong các đề thi vào lớp 10 THPT, trong các đề thi học sinh giỏi lớp 9 ...
thường xuất hiện các bài tốn có ứng dụng hệ thức Vi-ét, trong khi đó nội dung
và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, bài tập chưa đa dang.
Đa số học sinh lúng túng không giải được dạng tốn này do trong chương trình

học chỉ có 2 tiết, về nhà các em khơng biết cách đọc thêm sách tham khảo nên
không ứng dụng được hệ thức Vi-ét để giải.
Làm thế nào để nâng cao chất lượng mơn Tốn cho các em học sinh, giúp
các em biết vận dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán liên quan, làm thế nào để
giúp các em phát triển tư duy Toán học, tự tin hơn trong các kỳ thi. Đó là lý do
tơi chọn đề tài “Phát triển tư duy Toán học cho học sinh lớp 9 ở trường
TH&THCS Đông Anh thông qua các bài tập áp dụng hệ thức Vi-ét”.

1


1.2. Mục đích nghiên cứu.
- Đánh giá thực trạng chương trình mơn Tốn 9 về nội dung hệ thức Vi-ét, thực
trạng học sinh tiếp thu kiến thức về hệ thức Vi-ét.
- Bổ sung và nâng cao kiến thức giải các bài tốn có ứng dụng hệ thức Vi-ét,
phát triển tư duy Toán học cho các em học sinh lớp 9 trường TH&THCS Đơng
Anh, từ đó các em có thể làm tốt các bài tốn có ứng dụng hệ thức Vi-ét trong
các kỳ thi.
- Kích thích, giúp các em biết cách tìm kiếm kiến thức nhiều hơn nữa, khơng chỉ
bài tốn có ứng dụng hệ thức Vi-ét mà cả các dạng toán khác.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Nghiên cứu các dạng bài tốn áp dụng hệ thức Vi-ét trong mơn Tốn 9.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
1.4.1. Phương pháp nghiên cứu tài liệu:
- Đọc SGK Toán 9 và tài liệu liên quan, chọn ra các bài tốn có ứng dụng hệ
thức Vi-ét phù hợp với HS lớp 9, sắp xếp thành 8 dạng tốn sau:
Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai.
Dạng 2: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
Dạng 3: Lập phương trình bậc hai.
Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình.

Dạng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số.
Dạng 6: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm.
Dạng 7: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.
Dạng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm.
1.4.2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn:
- Tìm hiểu thực trạng học Tốn nói chung và học hệ thức Vi-ét nói riêng của học
sinh khối 9 trường TH&THCS Đơng Anh.
- Làm phiếu điều tra đến tất cả HS khối 9 trường TH&THCS Đơng Anh về mức
độ u thích bộ mơn Toán, suy nghĩ của HS làm thế nào để phát triển tư duy
Tốn học nói chung và học tốt hệ thức Vi-ét nói riêng.
1.4.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm:
Thực hiện giảng dạy ở khối 9 trường TH&THCS Đông Anh các dạng tốn có
ứng dụng hệ thức Vi-ét đã sắp xếp trong các tiết học Tự chọn Toán hàng tuần.

2


2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận.
Theo Điều 29 của Luật giáo dục phổ thông ngày 14/6/2019, mục tiêu của
giáo dục phổ thông là: Nhằm phát triển tồn diện cho người học về đạo đức, trí
tuệ, thể chất, thẩm mỹ, kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng
động và sáng tạo; hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa và
trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho người học tiếp tục học chương trình giáo
dục đại học, giáo dục nghề nghiệp hoặc tham gia lao động, xây dựng và bảo vệ
Tổ quốc.
Giáo dục THCS nhằm củng cố và phát triển kết quả của giáo dục TH; đảm
bảo cho học sinh có học vấn phổ thơng nền tảng, hiểu biết cần thiết tối thiểu về
kỹ thuật và hướng nghiệp để tiếp tục học THPT hoặc chương trình giáo dục
nghề nghiệp.

Trong chương trình mơn Tốn lớp 9 hiện nay, nội dung kiến thức về “Hệ
thức Vi-ét và ứng dụng” được dạy trong 2 tiết, cụ thể như sau:
+ 1 tiết lý thuyết: Học sinh được học định lý Vi-ét và ứng dụng hệ thức Vi-ét để
nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, lập phương trình bậc hai và tìm
hai số biết tổng và tích của chúng.
+ 1 tiết luyện tập: Học sinh được làm các bài tập củng cố tiết lý thuyết vừa học.
Theo chương trình trên, học sinh được học Định lý Vi-ét nhưng khơng có
nhiều tiết học đi sâu khai thác các ứng dụng của hệ thức Vi-ét nên các em nắm
và vận dụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt, tư duy Tốn chưa tốt, vì vậy mỗi giáo
viên trực tiếp giảng dạy cần phải bồi dưỡng và hướng dẫn học sinh tự học thêm
kiến thức phần này để phát triển tư duy Tốn học nói chung và học tốt hệ thức
Vi-ét nói riêng.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
2.2.1. Thuận lợi:
- Bản thân đã được trực tiếp đứng lớp giảng dạy mơn Tốn khối 9, bồi dưỡng
học sinh giỏi lớp 9, ôn thi tuyển vào lớp 10 liên tục nhiều năm.
- Nhận được nhiều ý kiến đóng góp của đồng nghiệp trong giảng dạy nội dung
hệ thức Vi-ét.
- Đa số học sinh chăm ngoan nhưng chưa có tư duy Tốn tốt, kỹ năng vận dụng
kiến thức được học vào làm bài tập chưa tốt.
- Đa số học sinh khá, giỏi đều mong muốn được nâng cao kiến thức đã được học
trong SGK.
2.2.2. Khó khăn:
- Thời lượng phân bố tiết cho phần này cịn hạn chế, cụ thể ở chương trình lớp 9
chỉ có 2 tiết (1 tiết lý thuyết, 1 tiết luyện tập). Do vậy chưa khai thác hết các ứng
dụng của hệ thức Vi-ét.
3


- Hầu hết số học sinh của trường là học sinh vùng q, bố mẹ làm nơng nghiệp,

do đó các em ít được chú trọng học thêm để nâng cao kiến thức.
- Một bộ phận nhỏ giáo viên ngại đầu tư bổ sung kiến thức nâng cao cho học
sinh, luôn luôn mang suy nghĩ “Học sinh nông thôn không chịu học”.
2.2.3. Thực trạng của giáo viên và học sinh trường TH&THCS Đông Anh.
- Đa số học sinh của trường là con em nơng thơn, điều kiện kinh tế cịn khó khăn
nên việc đầu tư về vật chất cũng như thời gian cho con cái học tập chưa cao,
ngoài giờ đến lớp các em còn phải giúp đỡ bố mẹ các cơng việc gia đình, khơng
có nhiều thời gian để tự học.
- Sự quan tâm đến con cái của phụ huynh còn hạn chế. Ý thức học tập của một
số em chưa cao, phương pháp học tập chưa phù hợp, dẫn đến chất lượng học tập
của học sinh cịn yếu, vì thế hầu hết các em sợ học mơn Tốn, đặc biệt trong
chương trình Tốn 9 học sinh làm chưa tốt bài tập vận dụng Hệ thức Vi-ét.
- Số học sinh tự học thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,… để nâng cao kiến thức
chưa nhiều nên số lượng học sinh giỏi Tốn cịn rất hạn chế, số lượng cũng như
chất lượng đại trà mơn Tốn chưa cao.
- Nhà trường có tổ chức dạy phụ đạo cho học sinh yếu, kém, nhờ vậy học sinh
đã có nhiều tiến bộ ở cuối năm, trong kỳ thi vào lớp 10 năm học 2019 - 2020 có
90% học sinh lớp 9 của nhà trường đỗ vào lớp 10 các trường công lập trong
huyện, tỉnh.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1. Tìm hiểu thực tế chương trình đang giảng dạy và ý kiến của học sinh:
- Tổng thời lượng dạy về hệ thức Vi-ét và ứng dụng: 02 tiết (01 tiết dạy lý thuyết
và 01 tiết làm bài tập)
- Làm phiếu thăm dò ý kiến của học sinh.
Trả lời
Câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Có
Khơng
1

Em có thích học Hệ thức Vi-ét khơng?
Em có muốn được tìm hiểu kỹ hơn về Hệ
2
thức Vi-ét bằng cách tăng cường số tiết
học khơng?
2.3.2. Dạy lí thuyết cơ bản trong SGK để học sinh nắm được định lý Vi-ét:
Nội dung:
* Nếu phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
có 2 nghiệm :
- Ta có:

x1 

b  
b  
; x2 
2a
2a .

4


x1  x2 
x1 x2

b   b   2b b



2a

2a
2a
a

 b     b     b

4a 2

2
2
  b   b  4ac  4ac c

 2 
4a 2
4a 2
4a
a
2

- Nếu đặt S và P lần lượt là tổng và tích hai nghiệm của phương trình.
c
b
P  x1.x2 
S  x1  x2 
a.
a và
Vậy:
* Nếu phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương
c
trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = a .

* Nếu phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì phương
c
trình có một nghiệm là x1 = -1, còn nghiệm kia là x2 = a .
* Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P và S2 - 4P  0 thì hai số đó là hai
nghiệm của phương trình x2 - Sx + P = 0.
2.3.3. Soạn ra các dạng toán cần sử dụng hệ thức Vi-ét để giải:
Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn .
Dạng 2: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
Dạng 3: Lập phương trình bậc hai.
Dạng 4: Tính giá trị biểu thức nghiệm của phương trình.
Dạng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số.
Dạng 6: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm.
Dạng 7: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.
Dạng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm.
2.3.4. Thực hành dạy học trên lớp:
Với mỗi dạng bài tập đã soạn, khi lên lớp tôi thực hiện tuần tự theo các
bước sau:
Bước 1: Hệ thống những kiến thức cơ bản cần nhớ.
Bước 2: Lấy ví dụ minh họa.
Bước 3: Bài tập áp dụng có hướng dẫn hoặc đáp án để học sinh tự giải.
Bước 4: Bài tập nâng cao có hướng dẫn và đáp án để học sinh tự giải.
Cụ thể dạy từng dạng như sau:
Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.
1. Kiến thức cần nhớ:
a. Chỉ thực hiện nhẩm nghiệm của một phương trình bậc hai trong trường hợp
nó có nghiệm nguyên hoặc một nghiệm nguyên còn một nghiệm hữu tỉ.
b. Để thực hiện nhẩm nghiệm (nếu có thể) của phương trình x 2 + bx + c = 0, ta
làm như sau:
5

 x1  x2  b

 x1.x2  c

Bước 1: Thiết lập hệ thức Viét cho các nghiệm x1 và x2:
Bước 2: Thực hiện phép phân tích c thành tích của hai thừa số, c = m.n.
Với mỗi cặp thừa số phân tích được, ta tính ngay m + n, khi đó:
+ Nếu m + n = -b, chuyển sang bước 3.
+ Nếu m + n  -b, thực hiện lại bước 2.
Bước 3: Kết luận phương trình có hai nghiệm là x1 = m và x2 = n.
c. Chú ý:
+ Chú ý 1: Thuật tốn trên có tính “Dừng” và được hiểu là:
- Nếu tìm được một cặp (m; n) thỏa mãn điều kiện m + n = -b thì dừng lại phép
thử và đưa ra kết luận.
- Nếu các cặp (m; n) đều khơng thỏa mãn thì dừng và trong trường hợp này được
hiểu là không nhẩm được nghiệm.
+ Chú ý 2. Hai trường hợp đặc biệt của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
c
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = 1 và x2 = a .
c
- Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = -1 và x2 = a .

2. Ví dụ: Dùng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a. x2 - 7x + 10 = 0
1
b. 4 x2 - 2x + 3 = 0

c. 3x2 + 7x + 4 = 0
d. 5x2 + 4x - 9 = 0

Giải
 x1  x2  7

x .x  10  2.5
a. Theo Vi-ét ta có  1 2

mà 2 + 5 = 7. Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 2 và x2 = 5.
b. Viết lại phương trình dưới dạng: x2 - 8x + 12 = 0.
 x1  x2  8

x .x  12  2.6
Theo Vi-ét ta có  1 2
mà 2 + 6 = 8. Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 2 và x2 = 6.
c. Phương trình có hệ số a = 3; b = 7; c = 4. Ta thấy a - b + c = 3 - 7 + 4 = 0.
c
4
Nên phương trình có nghiệm x1 = -1 và nghiệm kia là x2 = a = 3

d. Phương trình có hệ số a = 5; b = 4; c = -9.
Ta thấy a + b + c = 5 + 4 + (-9) = 0.

6


c 9
Nên phương trình có nghiệm x1 = 1 và nghiệm kia là x2 = a = 5

3. Bài tập áp dụng: Hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a. x2 + 4x – 12 = 0 (Đáp số x1 = 2, x2 = -6)
b. 3x2 + 3x - 18 = 0 (Đáp số x1 = 2, x2 = -3)

51
c. 2x2 - 49x - 51 = 0 (Đáp số x1 = -1, x2 = 2 )

2039
d. 2020x2 + 19x - 2039 = 0 (Đáp số x1 = 1; x2 = 2020

4. Nâng cao: Cho phương trình, có một hệ số chưa biết, cho trước một
nghiệm, tìm nghiệm cịn lại và chỉ ra hệ số của phương trình.
4.1. Ví dụ: Phương trình x2 - 2px + 5 = 0 có một nghiệm x 1 = 2, tìm p và
nghiệm kia.
Giải
Phương trình đã cho có: a = 1; b = -2p; c = 5.
Ta thay x1 = 2 vào phương trình x2 - 2px + 5 = 0, ta được: 22 - 2.p.2 + 5 = 0
Hay 4 - 4p + 5 = 0

 p

9
4.

5 5
c 5

x
2
a
1
1
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1. x2 = = = 5, suy ra: x2 =

4.2. Vận dụng:
a. Phương trình x2 + 5x + q = 0 có một nghiệm x1 = 5, tìm q và nghiệm kia.
b. Phương trình x2 - 7x + q = 0 có hiệu hai nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm
của phương trình.
c. Tìm q và hai nghiệm của phương trình: x 2 – qx +50 = 0, biết phương trình có
hai nghiệm và một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.
Hướng dẫn:
a. Xác định hệ số a, b, c của phương trình.
Ta thay x1 = 5 vào phương trình x2 + 5x + q = 0 tìm được q = -50
50 50
c
50

 10
x
5
a
1
1
Theo hệ thức Vi-ét: x1. x2 = =
= -50, suy ra: x2 =

b. Vì vai trị của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x 1 - x2 =11 và theo hệ
thức Viét: x1 + x2 = 7 ta có hệ phương trình sau:
 x1  x2  11  x1  9


 x1  x2  7
 x2  2

Suy ra: q = x1. x2 = 9.(-2)= -18
c. Vì vai trị của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x1 = 2x2 và theo hệ
thức Viét: x1. x2 = 50 ta có hệ phương trình sau:

7


 x1  2 x2
x  5
 2 x2 2  50  x2 2  ( 5)2   2

 x1.x2  50
 x2  5
+ Với x2 = 5 thì x1 = 10 suy ra: S = q = 15
+ Với x2 = -5 thì x1 = -10 suy ra: S = q = -15
Dạng 2: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
1. Kiến thức cần nhớ:
u  v  S

- Nếu hai số u và v thỏa mãn: u.v  P và S2 - 4P ≥ 0

thì u, v là nghiệm của phương trình x2 - Sx + P = 0.
- Nếu phương trình x2 - Sx + P = 0 (đk: S 2 - 4P ≥ 0) có hai nghiệm x 1, x2 thì ta
u  x1 ; v  x2

được u  x2 ; v  x1

2. Ví dụ: Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4.
Giải
Vì hai số a, b có S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4

Nên a, b là hai nghiệm của phương trình: x2 + 3x - 4 = 0
Giải phương trình trên ta được x1 = 1 và x2 = - 4, do đó có 2 cặp số (a; b) thỏa
mãn đề bài:
Nếu a = 1 thì b = - 4
Nếu a = - 4 thì b = 1
3. Bài tập áp dụng: Tìm hai số a, b biết tổng S và tích P:
a. S = 3 và P = 2 (Đáp số a = 2 và b = 1 hoặc a = 1 và b = 2)
b. S = -3 và P = 6 (Khơng có hai số a, b thỏa mãn)
c. S = 9 và P = 20 (Đáp số a = 4 và b = 5 hoặc a = 5 và b = 4)
4. Nâng cao: Tìm hai số a, b biết:
a. a + b = 9 và a2 + b2 = 41
b. a - b = 5 và a.b = 36
c. a2 + b2 = 61 và a.b = 30
Hướng dẫn:
a. Theo đề bài ta đã biết tổng của hai số a và b, vậy để áp dụng hệ thức Vi-ét thì
cần tìm tích của hai số a và b.
a  b  9   a  b   81  a  2ab  b  81  ab 
2

Từ

2

2



81  a 2  b 2
2

  20

x  4
x 2  9 x  20  0   1
 x2  5
Suy ra: a, b là nghiệm của phương trình có dạng:

Do đó: Nếu a = 4 thì b = 5 hoặc nếu a = 5 thì b = 4

8


b. Theo đề bài ta đã biết tích ab = 36,vậy để áp dụng hệ thức Vi-ét cần biết tổng
của a và b.
Cách 1: Đặt c = -b ta có: a + c = 5 và a.c = -36
 x1  4
x 2  5 x  36  0  
 x2  9
Suy ra: a, c là nghiệm của phương trình có dạng:

Do đó: Nếu a = - 4 thì c = 9 nên b = -9 hoặc nếu a = 9 thì c = - 4 nên b = 4.
a  b
Cách 2: Từ 

2

  a  b   4ab   a  b    a  b   4ab  169
2

2

2

 a  b  13
2
  a  b   (13)2  
 a  b  13
* Nếu a + b = -13 và ab = 36, thì a và b là nghiệm của phương trình:

 x  4
x 2  13 x  36  0   1
 x2  9 . Vậy a = - 4 và b = - 9 (vì a - b = 5)

* Nếu a + b = 13 và ab = 36, thì a và

b là nghiệm của phương trình:

x  4
x 2  13x  36  0   1
 x2  9 . Vậy a = 9 và b = 4 (vì a - b = 5)
c. Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b.
Từ giả thiết ta có:
 a  b  11
2
a 2  b 2  61   a  b   a 2  b 2  2ab  61  2.30  121  (11) 2  
 a  b  11
* Nếu a + b = -11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình:
 x  5
x 2  11x  30  0   1
 x2  6 . Vậy a = - 5 và b = - 6 hoặc a = - 6 và b = - 5.

* Với a + b = 11 và ab = 30, nên a, b là hai nghiệm của phương trình:
 x1  5
x 2  11x  30  0  
 x2  6 . Vậy a = 5 và b = 6 hoặc a = 6 và b = 5.

4.2. Giải hệ phương trình:

 x 2  y 2  12

xy  4
a. 

x  y  4
 2
( x  y 2 )( x 3  y 3 )  280
b. 
Hướng dẫn: Ta có x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy và x3 + y3 = (x + y)3 - 3xy(x + y)
x  y  2

 x  y  2
a. Biến đổi phương trình thứ nhất thành (x + y)2 = 4
Xét từng trường hợp của tổng x + y, kết hợp với điều kiện của tích xy để suy ra
x, y là nghiệm của các phương trình bậc hai.

9


Kết quả: Hệ phương trình có 4 cặp nghiệm (x; y):
(1  5;1  5);(1  5;1  5);( 1  5; 1  5);( 1  5; 1  5)

b. Biến đổi phương trình thứ hai ta được (16 - 2xy)(64 - 12xy) = 280
 xy  3

 xy  31
3

 3(xy)2 - 40xy + 93 = 0
Xét từng trường hợp của tích xy, kết hợp với điều kiện của tổng x + y để suy ra
x, y là nghiệm của các phương trình bậc hai.
Kết quả: Hệ phương trình có hai cặp nghiệm (x; y) là (1; 3) và (3; 1).
Dạng 3: Lập phương trình bậc hai.
1. Kiến thức cần nhớ:
- Định lí Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0
b

x1  x2  


a

x x  c
1 2
a

(a  0) thì: 

u  v  S

- Nếu hai số u và v thỏa mãn: u.v  P và S2 - 4P ≥ 0 thì u, v là nghiệm của

phương trình x2 - Sx + P = 0.
2. Ví dụ:
Ví dụ 1: Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1, x2 .
Cho x1 = 3; x2 = 2. Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
Giải
Vì phương trình bậc hai có nghiệm x1 = 3và x2 = 2.
 S  x1  x2  5

P  x1.x2  6
Theo hệ thức Viét, ta có: 

Vậy x1; x2 là nghiệm của phương trình: x2 - Sx + P = 0  x2 - 5x + 6 = 0
Ví dụ 2: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa
hai nghiệm của một phương trình cho trước.
Cho phương trình x2 - 3x + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1; x2. Khơng
giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:
1
1
y1  x2 
y2  x1 
x1 và
x2
Giải
Vì phương trình bậc hai ẩn y cần lập có nghiệm

y1  x2 

1
1
y2  x1 

x1 và
x2

10


Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
S  y1  y2  x2 

1 1
1
1
x x
2 9
 x1    x1  x2        x1  x2   1 2  3  
x1
x2
x1 x2
3 2
 x1 x2 


1 
1 
1
1 9
P  y1. y2   x2  . x1 
 2 11 
 x1.x2  1  1 
x1  

x2 
x1 x2
2 2

2
y
 Sy  P  0
Vậy phương trình cần lập có dạng:

y2 

9
9
y   0  2 y2  9 y  9  0
2
2

hay
3. Bài tập áp dụng:
1. Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm:
a. x1 = 8 và x2 = - 3 (Đáp án x2 - 5x - 24 = 0)
b. x1 = 3a và x2 = a (Đáp số x2 - 4ax + 3a2 = 0)
c. x1 = 36 và x2 = -104 (Đáp số x2 + 68x - 3744 = 0)
d. x1 = 1 + 2 và x2 = 1 - 2 (Đáp số x2 - 2x - 1 = 0)
2. Cho phương trình 3x2 + 5x - 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 . Khơng giải
phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:
1
1
5
1

y1  x1 
y2  x2 
y2  y   0  6 y2  5 y  3  0
x2 và
x1 (Đáp số:
6
2
)
3. Cho phương trình: x2 - 5x - 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 . Khơng giải
phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:
y1  x14

và y2  x2 (Đáp số: y  727 y  1  0 )
4. Cho x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình: x 2 - 7x + 3 = 0. Hãy lập phương
trình bậc hai có hai nghiệm là 2x1 - x2 và 2x2 - x1
(Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn năm học 2010 - 2011)
(Đáp số y2 - 7y - 71 = 0)
5. Cho phương trình: x2 - 2x – m2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 . Hãy lập
phương trình bậc hai có hai nghiệm y1; y2 sao cho:
4

2

a.

y1  x1  3

y2  x2  3

1.

x12  x2 2  x12  2 x1 x2  x2 2  2 x1 x2   x1  x2   2 x1 x2

2
2
(Đáp số: y  4 y  3  m  0 )
2
2
y  2 x2  1
b. y1  2 x1  1 và 2
(Đáp số: y  2 y  (4m  3)  0 )
Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình.
1. Kiến thức cần nhớ:
Biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng hai nghiệm S
và tích hai nghiệm P để áp dụng hệ thức Vi-ét rồi tính giá trị của biểu thức.

và





2

11






2
x13  x23   x1  x2  x12  x1 x2  x2 2   x1  x2   x1  x2   3x1 x2 


2.

    
2

3.

x14  x2 4  x12  x2 2

2



2

2

2
 x12  x2 2  2 x12 x22   x1  x2   2 x1 x2   2 x12 x2 2



1 1 x1  x2
 
x

x2
x1 x2
1
4.

x x 
5. 1 2
6.
7.

2

 x12  2 x1 x2  x2 2   x12  2 x1 x2  x2 2   4 x1 x2   x1  x2   4x1 x2
2

x1  x2  

 x1  x2 

2

 4 x1 x2

x12  x2 2   x1  x2   x1  x2 





2

x13  x23   x1  x2  x12  x1 x2  x2 2   x1  x2   x1  x2   x1 x2 


8.
x14  x2 4   x12  x2 2   x12  x2 2   ...

9.

   x    x

x16  x2 6  x12

3

2

3

2

2
1

 x2 2

x

4
1



 x12 x22  x2 4  ...

10.
2. Ví dụ: Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, khơng giải phương trình, hãy tính:
a.

x1  x2
2

1 1

x
b. 1 x2

2

Giải
 S  x1  x2  8

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:  P  x1.x2  15

a.





x12  x2 2  x12  2 x1 x2  x2 2  2 x1 x2   x1  x2   2 x1 x2  82  2.15  34

2

1 1 x1  x2 8
 

x
x
x
x
15
1
2
1
2
b.

3. Bài tập áp dụng:
1. Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, khơng giải phương trình, hãy tính:
x
a. 

1

2

 x2 2 

x1 x2

b. x2 x1

2

(Đáp án: 46)
34
(Đáp án: 15 )

2. Cho phương trình: 8x2 - 72x + 64 = 0, khơng giải phương trình, hãy tính:
2
2
a. x1  x2

(Đáp án: 65)

1 1

x
x2
1
b.

9
(Đáp án: 8 )

12


3. Cho phương trình: x2 - 14x + 29 = 0, khơng giải phương trình, hãy tính:
2
2

a. x1  x2

(Đáp án: 138)

1 1

x
x2
1
b.

14
(Đáp án: 29 )

4. Cho phương trình: 2x2 - 3x + 1 = 0, khơng giải phương trình, hãy tính:
2
2
a. x1  x2

(Đáp án: 1)

x1
x
5
 2
b. x2  1 x1  1
(Đáp án: 6 )
1 1

x

x2
1
c.
(Đáp án: 3)
1  x1 1  x2

x
x2
1
d.

(Đáp án: 1)

5. Cho phương trình: x2 - 4 3 x + 8 = 0 có 2 nghiệm x1, x2, không giải phương
6 x12  10 x1 x2  6 x2 2
Q
5 x1 x23  5 x13 x2
trình, hãy tính:
Hướng dẫn:





2

2
6. 4 3  2.8
6  x1  x2   2 x1 x2
6 x12  10 x1 x2  6 x2 2

17
Q



2
2
5 x1 x23  5 x13 x2
5 x1 x2  x1  x2   2 x1 x2  5.8  4 3  2.8 80




Dạng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số.
1. Kiến thức cần nhớ:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x 1 và x2
(thường là a ≠ 0 và   0).
- Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x1 + x2 và P = x1. x2 theo tham số.
- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 . Từ đó đưa ra hệ
thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2 .
2. Ví dụ:
Ví dụ 1: Cho phương trình: (m - 1)x 2 - 2mx + m - 4 = 0 có 2 nghiệm x 1 và x2.
Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1 và x2 của phương trình sao cho chúng
khơng phụ thuộc vào m.
Giải
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
m  1
m  1
m  1  0
m  1


 2



4
m
 '  0
5m  4  0
m   m  1  m  4   0

5






13


2m
2


S

x

x


S

x

x

2

(1)
1
2
1
2


m 1
m 1


 P  x .x  m  4
 P  x .x  1  3 (2)
1 2
1 2

m 1
m 1
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: 
2
2

 x1  x2  2  m  1 
(3)
m

1
x

x

2
1
2
Rút m từ (1), ta có:

3
3
 1  x1 x2  m  1 
(4)
m 1
1  x1 x2
. Từ (3) và (4), ta có:

Rút m từ (2), ta có:
2
3

 2  1  x1 x2   3  x1  x2  2   3  x1  x2   2 x1 x2  8  0
x1  x2  2 1  x1 x2

Ví dụ 2:

Gọi x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình: (m - 1)x 2 - 2mx + m - 4 = 0. Chứng
minh rằng biểu thức A = 3(x1 + x2 ) + 2 x1 x2 - 8 không phụ thuộc giá trị của m.
Giải
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
m  1

a  0
m  1
m  1

 2



4
m
m   m  1  m  4   0
 '  0
5m  4  0


5


2m

S

x


x

1
2

m 1

 P  x .x  m  4
1 2
m  1 . Thay vào biểu thức A, ta có:

Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: 
A = 3(x1 + x2 ) + 2 x1x2 - 8
2m
m4
6m  2m  8  8( m  1)
0
3.
 2.
8 

0
m 1
m 1
m 1
A = m 1

m

4

5.

Vậy A = 0 với mọi m  1 và
Do đó biểu thức A khơng phụ thuộc giá trị của m.
3. Bài tập áp dụng:
1. Cho phương trình: x2 - (m + 2)x + (2m - 1) = 0 có 2 nghiệm x 1 và x2. Hãy lập
hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho x1 và x2 độc
lập đối với m.
2. Cho phương trình: x2 + (4m + 1) x + 2(m - 4) = 0 có 2 nghiệm x 1 và x2. Hãy
tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1 và x2 của phương trình sao cho x1 và x2
không phụ thuộc giá trị của m.
Hướng dẫn:
14


1. Tính  ta được:  = (m - 2)2 + 4 > 0 do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm
phân biệt x1 và x2.
2  x1  x2   x1 x2  5  0
- Vận dụng hệ thức Vi-ét, ta biến đổi được:
độc lập đối
với m.
2. Tính  ta được:  = 16m2 + 33 > 0 do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm
phân biệt x1 và x2.
2 x x   x1  x2   17  0
- Vận dụng hệ thức Vi-ét ta biến đổi được: 1 2
không phụ
thuộc giá trị của m.
Dạng 6: Tìm giá trị tham số của phương trình để các nghiệm của phương
trình thỏa mãn điều kiện.
1. Kiến thức cần nhớ:

Yêu cầu thường là: “Tìm điều kiện để các nghiệm của phương trình thỏa
mãn điều kiện K” hoặc “Chứng minh rằng các nghiệm của phương trình thỏa
mãn hệ thức cho trước”
Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x 1 và x2
(thường là a ≠ 0 và  ≥ 0).
Bước 2: Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình
 x1  x2  f (m)

x .x  g ( m )
(có ẩn là tham số), thường là  1 2
Bước 3: Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số ở Bước 1 để xác định giá
trị cần tìm.
Bước 4: Kết luận.
2. Ví dụ:
Ví dụ 1: Cho phương trình: mx2 - 6(m - 1)x + 9(m - 3) = 0. Tìm giá trị của tham

x  x2  x1 x2

số m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 1
Giải
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:

m  0
m  0
a  0


2




2
2
 '  0
 '  9  m  2m  1  9m  27m  0
 '   3  m  1   9  m  3 m  0

m  0
m  0


 '  9  m  1  0
m  1 .

6(m  1)

S

x

x

1
2

m

 P  x .x  9(m  3)
1 2
x  x  x1 x2

m
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 
. Vì 1 2
(giả thiết)

15


6(m  1) 9( m  3)

 6(m  1)  9( m  3)  3m  21  m  7
m
m
Nên
(thỏa mãn)

Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x 1 và x2 thỏa mãn hệ thức:

x1  x2  x1 x2
Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 - (2m + 1) x + m2 + 2 = 0. Tìm giá trị của tham
3x x  5 x  x  7  0
số m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 1 2  1 2 
Giải
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì





  0  [  2m  1 ]2  4 m2  2  0  4m 2  4m  1  4 m2  8  0  4 m  7  0  m 

7
4

 S  x1  x2  2m  1

P  x1.x2  m 2  2


Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
.
3 x x  5  x1  x2   7  0
Vì 1 2
(giả thiết)
m  2
3 m  2  5  2m  1  7  0  
m  4
3

Nên



2



Đối chiếu với điều kiện, ta thấy m = 2 thỏa mãn. Vậy với m = 2 thì phương trình
3 x x  5  x1  x2   7  0
có 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 1 2

3. Bài tập áp dụng:
1. Cho phương trình: mx2 +2 (m - 4)x + m + 7 =0. Tìm m để 2 nghiệm x 1 và x2
thỏa mãn hệ thức: x1  2 x2  0
2. Cho phương trình: x2 + 2mx + 4 = 0.
a. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2.
b. Tìm m sao cho x14 + x24 = 32.
2

2

 x1   x2 
      47
x
x
c. Tìm m sao cho  2   1 

Lưu ý: Trong 3 bài tập trên, các biểu thức nghiệm khơng cho sẵn tổng nghiệm

x1  x2

và tích nghiệm

x1 x2 , do đó cần phải biến đổi biểu thức đã cho về biểu
x1 x2
x1  x2

thức có chứa tổng nghiệm
và tích nghiệm
tự cách làm đã trình bày ở các bài đã làm.
Hướng dẫn:

16
m  0; m 
15 .
1. ĐKXĐ:

rồi từ đó vận dụng tương

16



2  m  4 
 S  x1  x2 
m
 1

m

7
 P  x .x 
1 2
m
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 
Theo đề bài ta có:

x1  2 x2  0  x1  2 x2  x1  x2  3x2  2  x1  x2   6 x2  2  x1  x2   3x1


2
 x1  x2  3x2

 2  x1  x2   9 x1 x2  2 

2  x  x   3x1
Suy ra:  1 2

Thế (1) vào (2) ta được phương trình: m2 + 127m - 128 = 0  m1 = 1; m2 = -128.
'  0  m2  4  0  m  2
2. a.
.

 x1  x2  2m

xx 4
Khi đó, hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn  1 2
.
b. Biến đổi được: x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4m2 - 8 và
x14 + x24 = (x12 + x22)2 - 2x12 x22 = (4m2 - 8)2 - 32
 m  2

Do đó: x14 + x24 = 32  (4m2 – 8)2 - 32 = 32  (4m2 - 8)2 = 64   m  0
Đối chiếu với điều kiện thì m =  2 thỏa mãn đề bài.
2

2

 x1   x2 
(4m 2  8)2  32
 47
      47 
x2   x1 

16

c. Ta có
, giải ra được m =  3

Đối chiếu với điều kiện thì m =  3 thỏa mãn đề bài.
Dạng 7: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.
1. Kiến thức cần nhớ: Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Hãy tìm điều
kiện để phương trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm,…
Ta lập bảng xét dấu sau:
Dấu nghiệm x1 x2 S = x1 + x2
P = x1 x2 r
Điều kiện chung
m

Trái dấu
P<0
r 0
r  0; P < 0
 
Cùng dấu
P>0
r 0
r  0; P > 0
Cùng dương + + S > 0
P>0
r 0
r  0; P > 0; S > 0
Cùng âm
- S<0

P>0
r 0
r  0; P > 0; S < 0
2. Ví dụ:
Xác định tham số m sao cho phương trình: x 2 - (3m + 1)x + m2 - m - 6 = 0 có 2
nghiệm trái dấu.
Giải
Để phương trình trên có hai nghiệm trái dấu thì:

17






  [  3m  1 ]2  4.2. m 2  m  6  0
   m  7  2  0m


0




 2  m  3

m2  m  6
P


m

3
m

2

0
P  0




0
P 


2


Vậy với 2  m  3 thì phương trình trên có hai nghiệm trái dấu.
3. Bài tập áp dụng:
1. Cho phương trình: mx2 - 8x + 1 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm.
Khi đó, tùy theo m hãy chỉ ra dấu của hai nghiệm của phương trình.
2. Cho phương trình x2 - 2(m + 7)x + m2 - 4 = 0. Xác định m để phương trình:
a. Có hai nghiệm trái dấu.
b. Có hai nghiệm cùng dấu.
3. Cho phương trình (m - 1)x2 + 2mx + m + 1 = 0. Xác định m để phương trình:
a. Có hai nghiệm âm phân biệt.
b. Có hai nghiệm đối nhau.

Hướng dẫn giải.
1. Điều kiện: a  0 và  '  0  0  m  16 . Khi đó, hai nghiệm x1 và x2 thỏa
8

x

x

 1 2 m

 x .x  1
1 2
m
mãn: 
+ Nếu m > 0, phương trình có hai nghiệm dương.
+ Nếu m < 0, phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị
tuyệt đối nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm.

2. a. Điều kiện P < 0

 m2  4  m  2

.

 53
14m  53  0
 m  2
 '  0
 2
  14



P  0
m  4
m  2
b. Điều kiện

m  1  0
 2
a  0
m  (m  1)(m  1)  0
 '  0


 m 1  0
 0  m 1

P

0

 m 1
 S  0
 2m
0

m

1


3. a. Điều kiện

18


 m 1
 m  1  0
P  0

m0

S

0
2
m


0

m

1

b. Điều kiện
Dạng 8: Tìm giá lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức
chứa nghiệm.
1. Kiến thức cần nhớ:
Để tìm GTLN, GTNN của biểu thức, ta có thể sử dụng một trong các
phương pháp sau:

- Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng hoặc bình
phương của một hiệu.
- Phương pháp sử dụng bất đẳng thức: Cosi, Buinhiacopxki, bất đẳng thức về giá
trị tuyệt đối.
- Phương pháp đổi biến …
Trong giới hạn của đề tài này, tôi chỉ giới thiệu cho học sinh sử dụng hằng
đẳng thức bình phương của một tổng hoặc bình phương của một hiệu để tìm
GTLN, GTNN, cụ thể như sau:
*
* Nếu có thể hãy biến đổi biểu thức y = f(x) về dạng y = g(x) 2n + a (với n  N và
a là hằng số). Khi đó ta có y  a, suy ra giá trị nhỏ nhất của y = a (GTNN của y
= a hay min y = a)  g(x) = 0.
* Nếu có thể hãy biến đổi biểu thức y = f(x) về dạng y = - [h(x)]2n + b
*
(với n  N và b là hằng số). Khi đó ta có y  b, suy ra giá trị lớn nhất của y = b
(GTLN của y = b hay max y = b)  h(x) = 0.
2. Ví dụ:
Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 + (2m - 1) x - m = 0. Gọi x 1 và x2 là các nghiệm
2
2
của phương trình. Tìm m để A = x1  x2  6 x1 x2 có giá trị nhỏ nhất.
Giải
 S  x1  x2    2m  1

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:  P  x1.x2  m

Theo đề bài ta có:
2
2
2

A = x1  x2  6 x1 x2   x1  x2   8 x1 x2   2m  1  8m  4m  12m  1   2m  3  8  8
3
min A  8  2m  3  0  m 
2
Suy ra:
2

2

2

Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 - mx + m - 1 = 0. Gọi x 1 và x2 là các nghiệm của
phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biều thức sau:

19


B

2 x1 x2
x  x2  2  x1 x2  1
2
1

2

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
B

Giải

 S  x1  x2  m

 P  x1.x2  m  1

2  m  1  3 2m  1
2 x1 x2
2 x1 x2


 2
2
x  x2  2  x1 x2  1  x1  x2   2
m2  2
m 2
2
1

2

Theo đề bài ta có:
Cách 1: Biến đổi B bằng cách thêm, bớt như sau:
B

m 2  2   m 2  2m  1
m2  2

 m  1
 1

2

m 2  2 vì

 m  1

2

 m  1
0

2

m2  2

 0  B 1

Vậy maxB = 1  m = 1.
Với cách thêm, bớt khác ta lại có:
1 2
1
1 2
1
2
m  2m  2  m 2  2
m  4m  4  m 2  2
m  2

1
2
2

2
2
B



2
2
m 2
m 2
2 m2  2 2



 m  2

2

0

 m  2

2

2  m  2
2

 0 B  



1
2





min B  





1
 m  2
2

Vì
. Vậy
Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc hai với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm
điều kiện cho tham số B để phương trình đã cho ln có nghiệm với mọi m.
2m  1
B 2
 Bm2  2m  2 B  1  0
m 2
(với ẩn là m và B là tham số) (*)

  1  B  2 B  1  1  2 B 2  B

Ta có:
Để phương trình trên (*) ln có nghiệm với mọi m thì  ≥ 0
Hay

1  2 B 2  B  0  2 B 2  B  1  0   2 B  1  B  1  0

 2 B  1  0

B 1  0


 2 B  1  0

  B  1  0


1
 B   2


1
B  1
   B 1

2
1


B


2
 B  1


min B  

1
 m  2
2

Vậy: max B  1  m  1 ;
3. Bài tập áp dụng:
1. Cho phương trình: x2 + (2m -1)x - m = 0.

20


a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với mọi m.
b) Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị của m để biểu
thức A = x12 + x22 - x1.x2 có giá trị nhỏ nhất.
2. Cho phương trình bậc hai: x2 - mx + m - 1 = 0 có hai nghiệm x 1, x2. Với giá

2 x1 x2  3
2
trị nào của m, biểu thức R = x  x2  2(1  x1 x2 ) đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị
lớn nhất đó.
3. Cho phương trình bậc hai: x2 - mx + m - 1 = 0 có hai nghiệm x1, x2.
2
1

3x12  3x22  3
2
2
x
x

x
x
1
2
1
2
a. Khơng giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: M =
.
2
2
b. Tìm giá trị của m để P = x1 + x2 đạt GTNN.
Hướng dẫn giải:
1. a. Tính được  = 4m2 + 1 > 0 với mọi m.
 x1  x2  1  2m

x .x   m
b. Theo hệ thức Vi-ét ta có:  1 2
2

1  15 15

2m    

4  16 16

A = x12 + x22 - x1.x2 = (x1 + x2)2 - 3x1x2 = 4m2 - m + 1 = 

1
15
m
8.
16 khi
Vậy GTNN của
2. Theo Vi-ét: x1 + x2 = m và x1.x2 = m - 1.
2 x1 x2  3
2 x1 x2  3
2
2
2
x

x

2(1

x
x
)
(
x

x
)
2
1

2
1
2
1
2
R=
=
A

2m  1 (m 2  2)  (m 2  2m  1)
(m  1) 2

 1 2
2
2
m

2
m

2
m 2
=
Suy ra, GTLN của R = 1 khi m = 1.
3. a. Theo định lý Vi-ét: x1 + x2 = m và x1.x2 = m - 1.
3 x12  3 x22  3 3( x1  x2 )  6 x1 x2  3 3m  6(m  1)  3

2
2
x

x
(
x

x
)
m(m  1)
x
x

x
x
1
2
1
2
1
2
1
2
M=
=
(m  0; 1)
2
2
2
b. P = (x1 + x2) - 2x1x2 = m - 2(m - 1) = (m - 1) + 1. Min P = 1 khi m = 1
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
Sau khi áp dụng sáng kiến vào thực tế giảng dạy các tiết học tự chọn Toán
cho HS khối 9 trường TH&THCS Đông Anh, kết quả khảo sát trước và sau khi

học chuyên đề về Hệ thức Vi-ét đối với 60 học sinh khối 9 như sau:
Câ
Nội dung
Kết quả thống kê
Trước khi dạy
Sau khi dạy
2

2

21


u
hỏi
1
2
3

4

5

Em có muốn học giỏi khơng ?
Em có thích đọc sách tham khảo
mơn Tốn khơng ?
Em có thích học các bài tốn về
phương trình bậc hai có ứng dụng
hệ thức Vi-ét không?
Em hãy nêu những kiến thức cần

ghi nhớ của bài “Hệ thức Vi-ét và
ứng dụng” và nhẩm nghiệm của
các phương trình sau:
a. x2 - x - 12 = 0
b. 2019x2 + 2020x - 4039 = 0
Xác định m để phương trình
mx2 - 2(m + 1)x + m + 1 = 0
Có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn
x12 + x22 = 2.

chuyên đề
Số
Tỉ lệ
lượng
%
60
100%

chuyên đề
Số
Tỉ lệ
lượng
%
60
100%

15

25%

40

67%

15

25%

40

67%

15

25%

30

50%

7

12%

25

42%

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận:

Tư duy có vai trị quan trọng trong đời sống và học tập (Tạp trí Giáo dục
số 421 - 1/2018 trang 26). Tư duy Toán học tạo điều kiện ban đầu, thuận lợi cho
các loại hình tư duy cao hơn, do đó trong q trình giảng dạy mơn Tốn, người
thầy cần xây dựng hệ thống bài tập, phân loại bài tập để phát triển tư duy cho
học sinh theo định hướng rõ ràng, vai trò của người thầy cần được thể hiện rõ
ràng, cụ thể là:
* Các định hướng xây dựng, phân loại bài tập:
- Hệ thống bài tập cần xây dựng sao cho kiểm tra, bồi dưỡng, phát triển được
các kiến thức, kĩ năng cơ bản nhằm đạt mục tiêu dạy học, trong đó có mục tiêu
phát triển tư duy.
- Hệ thống bài tập phải đảm bảo tính hệ thống, kế thừa.
- Hệ thống bài tập cần xây dựng sao cho phù hợp với nhiều đối tượng học sinh
với khả năng học tập khác nhau về mơn Tốn, trong đó có tính đến sự phức tạp
của quá trình tư duy logic của các bài tập.
* Vai trị của người thầy trong q trình giảng dạy:
- Xây dựng hệ thống câu hỏi gợi mở để kích thích tư duy Toán của học sinh.
22


- Nâng cao ý thức của giáo viên trong việc rèn luyện và phát triển tư duy Toán
hoc cho học sinh.
- Khi lên lớp phải chuẩn bị chu đáo, giải kỹ từng bài tập ở nhà, xem kỹ các
trường hợp có thể xảy ra. Để từ đó tìm ra thuật Toán đơn giản nhất, giúp học
sinh từng bước nắm được kiến thức và có hứng thú giải Tốn.
- Dạy từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp dựa trên chuẩn kiến thức, không
cần phải bổ sung, nâng cao đối với học sinh yếu kém; cần giúp học sinh nắm
được kiến thức cơ bản, trọng tâm của từng bài.
- Không được chủ quan đối với những kiến thức đã dạy, không được xem như
học sinh đã biết rồi, mà phải tranh thủ thời gian để ôn tập lại kiến thức cũ khi
giảng bài mới và luyện tập.

Đối với giáo viên, năng lực sư phạm không chỉ đơn thuần là giỏi về giảng
dạy, tổ chức lớp học có kỷ cương nền nếp mà cịn phải làm sao xây dựng được
tình cảm gắn bó giữa thầy và trị, làm sao gây thiện cảm, tạo ra hứng thú, phát
huy tiềm năng của học sinh hơn là áp đặt ý muốn chủ quan của thầy. Khi đã tìm
ra phương pháp giáo dục phù hợp, với trách nhiệm lương tâm thì mọi giáo viên
chúng ta đều có thể tìm ra con đường đi tới niềm vui trong giáo dục học sinh yếu
Toán, nâng cao kỹ năng tư duy Toán học của học sinh khối 9 nói riêng và học
sinh học Tốn nói chung. Là giáo viên chúng ta hãy đến với học sinh với tất cả
tấm lòng, trái tim người thầy chắc chắn chúng ta sẽ thành cơng.
3.2. Kiến nghị:
a. Nhà trường:
- Cần có chương trình dạy mở rộng và nâng cao kiến thức mơn Tốn nói riêng
và các mơn học khác nói chung cho học sinh khá, giỏi các khối lớp 6; 7; 8 ngay
trong các bài dạy chính khóa, các buổi học thêm …. của mỗi giáo viên.
- Mỗi giáo viên dạy trên lớp cần tư vấn, hướng dẫn học sinh chọn mua sách
tham khảo mơn Tốn nói riêng và các mơn học khác nói chung sao cho phù hợp
với năng lực của học sinh nhất.
- Bên cạnh hệ thống tài liệu hiện tại trong thư viện, trường nên mua bổ sung kịp
thời những tài liệu nâng cao mới để giúp giáo viên cập nhật những nội dung mới
mang tính thời sự để đưa vào giảng dạy.
b. Phòng giáo dục và các cấp:
- Tổ chức các buổi sinh hoạt chuyên môn cho GV nhằm nâng cao chất lượng
giảng dạy, tìm ra phương pháp tốt nhất để phát triển tư duy mơn Tốn cho HS,
qua đó GV có cơ hội trao đổi kinh nghiệm trong giảng dạy nhằm nâng cao chất
lượng mơn Tốn nói riêng cũng như tất cả các mơn học khác nói chung.
- Tổ chức giao lưu học tập kinh nghiệm với các trường THCS trong tỉnh có chất
lượng cao như: THCS Nhữ Bá Sỹ của huyện Hoằng Hóa, THCS Nguyên Du của
huyện Quảng Xương hay THCS Lê Đình Kiên của huyện Yên Định….
23

Tốn học được coi là "Mơn thể thao của trí tuệ, giúp chúng ta nhiều trong
việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp học
tập, phương pháp giải quyết các vấn đề, giúp chúng ta rèn luyện trí thơng minh
và sáng tạo" (Phạm Văn Đồng). Tơi mong rằng đề tài “Phát triển tư duy Toán
học cho học sinh lớp 9 ở trường TH&THCS Đông Anh thông qua các bài
tập áp dụng hệ thức Vi-ét” sẽ góp phần giúp các em thêm kiến thức, biết ứng
dụng hệ thức Vi-ét vào giải các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai để
các em thêm tự tin trong các kỳ thi. Chắc hẳn trong đề tài này tôi sẽ cịn những
thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý chân thành của đồng nghiệp./.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 3 năm 2020
XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ

Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung
của người khác.

Trịnh Huy Trọng
PHÁT TRIỂN TƯ DUY TOÁN HỌC CHO HỌC SINH LỚP 9
Ở TRƯỜNG TH&THCS ĐÔNG ANH
THÔNG QUA CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG HỆ THỨC VIÉT
MỤC LỤC
MỤC
1
1.1
1.2
1.3
1.4

2
2.1
2.2
2.3
2.4
3
3.1

NỘI DUNG

TRANG

Mở đầu
Lí do chọn đề tài
Mục đích nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu
Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến
Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Kết luận và kiến nghị
Kết luận
24


3.1

Kiến nghị

CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG BÀI VIẾT

TT
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

CỤM TỪ VIẾT TẮT
HSG
TH
THCS
THPT
HS
PH
PHHS
GV
SGK
SKKN

NỘI DUNG
Học sinh giỏi
Tiểu học
Trung học cơ sở

Trung học phổ thông
Học sinh
Phụ huynh
Phụ huynh học sinh
Giáo viên
Sách giáo khoa
Sáng kiến kinh nghiệm

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Tuyển tập các bài tốn hay và khó Đại số 9 (NXCB Đại học quốc gia TP Hồ
Chí Minh - Tác giả Phan Văn Đức - Nguyễn Hoàng Khanh - Lê Văn Thường).
2. Sách giáo khoa Toán 9 - Tập 2.
3. Sách giáo viên Toán 9 - Tập 2.
4. Sách bài tập Toán 9 - Tập 2.
5. Để học tốt Toán 9 - Tập 2 (NXB Hà Nội - Tác giả Lê Hồng Đức - Đào Thiện
Hải - Lê Thị Bích Ngọc - Lê Hữu Trí)
6. Nâng cao và phát triển Tốn 8, 9 của tác giả Vũ Hữu Bình.
7. Các đề thi học sinh giỏi các cấp và các đề tuyển sinh vào lớp 10 hàng năm của
tỉnh Thanh Hóa.
8. Tài liệu ơn thi tuyển sinh vào 10 của tỉnh Thanh Hóa.
9. Tài liệu ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 mơn tốn của NXB Giáo dục Việt Nam.
10. Tạp trí Giáo dục.

25