không gian mêtric - không gian tôpô

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (288.52 KB, 25 trang )

Mục lục
1 KHÔNG GIAN MÊTRIC 4
1.1 Không gian Mêtric. Dãy hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Không gian Mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Dãy hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Tập mở và tập đóng. Vị trí tương đối giữa điểm và tập con. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Tập mở, tập đóng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Phần trong và bao đóng của một tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 Điểm trong, điểm ngoài, điểm biên. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.4 Tập trù mật. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Ánh xạ liên tục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Không gian mêtric đầy đủ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.1 Không gian mêtric đầy đủ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.2 Định lý Baire về phạm trù. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Không gian mêtric compact. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5.1 Tập compact. Tập hoàn toàn bị chặn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5.2 Các điều kiện tương đương với tính compact. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 KHÔNG GIAN TÔPÔ 15
2.1 Tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 Tôpô. Không gian Tôpô. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2 So sánh tôpô. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.3 Cơ sở và tiền cơ sở. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.4 Lân cận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.5 Phần trong và bao đóng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Vị trí tương đối giữa điểm và tập con. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Ánh xạ liên tục. Không gian con. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1 Ánh xạ liên tục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2 Không gian con. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Tổng, tích và thương của các không gian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.1 Tổng và tổng trực tiếp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.2 Tích Descartes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5 Các tiên đề tách. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6 Không gian compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1
Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô
2.6.2 Không gian compact địa phương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6.3 Compact hóa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 2 SVTH: Tạ Minh Thanh
Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô
LỜI MỞ ĐẦU
Tôpô là một trong những ngành cơ bản của Toán học hiện đại. Nó ra đời vào những năm đầu của thế kỷ XX.
Từ đó cho đến nay, Tôpô được nhiều nhà Toán học trên thế giới quan tâm nghiên cứu và phát triển.
Nội dung học phần “Không gian mêtric - Không gian Tôpô” cho phép chúng ta hiểu rõ những vấn đề như:
Tập mở, tập đóng, điểm biên, điểm trong, Ánh xạ liên tục, không gian Compact, liên thông,
Tiểu luận này trên cơ sở tóm tắt những nội dung chính về lý thuyết “Không gian Mêtric - Không gian Tôpô”.
Với hệ thống bài tập nhằm giúp sinh viên đi sâu vào nghiên cứu kỹ hơn phần “Không gian Mêtric” và “Không
gian Tôpô”.
Với sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thành Chung cùng những tài liệu, giáo trình và bài giảng của Thầy giúp
tôi hoàn thành được tập tài liệu này.
Trong quá trình làm tiểu luận này, tôi đã cố gắng để nội dung của nó ngắn gọn mà vẫn đầy đủ, nhưng do
khả năng có hạn nên chắc chắn có những vấn đề còn thiếu sót mong nhận được sự bổ sung và ý kiến đóng góp
của thầy cô và các bạn sinh viên để tiểu luận này hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Sinh viên
Tạ Minh Thanh
GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 3 SVTH: Tạ Minh Thanh
Chương 1
KHÔNG GIAN MÊTRIC
A. LÝ THUYẾT
1.1 Không gian Mêtric. Dãy hội tụ

1.1.1 Không gian Mêtric
Cho X là một tập hợp. Một hàm d : X
2
→ R là một mêtric trên X nếu thỏa mãn các điều kiện:
m
1
) d(x,y) ≥ 0; d(x,y) = 0 ⇔ x = y
m
2
) d(x,y) = d(y, x)
m
3
) d(x,z) ≤ d(x,y)+ d(y,z) với mọi x,y, z ∈ X.
Không gian mêtric (X,d) là một tập X cùng với một mêtric d trên X. Nếu (X,d) là một không gian mêtric
thì mỗi x ∈ X gọi là một điểm và với mọi x,y ∈ X ta gọi d(x,y) là khoảng cách từ x đến y.
Ví du 1.
a) Với mọi x = (x
1
,x
2
, ,x
n
),y = (y
1
,y
2
, ,y
n
) ∈ R
n

.
Đặt d(x, y) = (
n
∑
i=1
|x
i
− y
i
|
2
)
1
2
.
d là một mêtric trên R
k
. Thật vậy, m
1
) và m
2
) là hiển nhiên. Với mọi x = (x
1
,x
2
, ,x
k
),y = (y
1
,y

2
, ,y
k
),
z = (z
1
,z
2
, ,z
k
) ∈ R
n
, sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwartz ta có:
d
2
(x,z) =
k
∑
i=1
|x
i
− z
i
|
2
≤
k
∑
i=1
(|x

i
− y
i
| +|y
i
− z
i
|)
2
=
k
∑
i=1
|x
i
− y
i
|
2
+ 2
k
∑
i=1
|x
i
− y
i
||y
i
− z

i
| +
k
∑
i=1
|y
i
− z
i
|
2
≤
k
∑
i=1
|x
i
− y
i
|
2
+ 2

k
∑
i=1
|x
i
− y
i

|
2

1
2

k
∑
i=1
|y
i
− z
i
|
2

1
2
+
k
∑
i=1
|y
i
− z
i
|
2
=




k
∑
i=1
|x
i
− y
i
|
2

1
2
+

k
∑
i=1
|x
i
− y
i
|
2

1
2



= d(x , y) +d(y,z)
Từ đó d là một mêtric trên C[a,b].
1.1.2 Dãy hội tụ
Cho (X,d) là một không gian mêtric. Dãy {x
n
} trong X gọi là hội tụ đến a ∈ M nếu:
limd(x
n
,a) = 0, kí hiệu: lim
n∞
x
n
= a; lim x
n
= a, hoặc x
n
→ a
Nếu limx
n
= a thì a gọi là giới hạn của dãy x
n
.
Nếu dãy {x
n
} không hội tụ đến a thì ta kí hiệu x
n
 a.
Định lý 1. Giới hạn của một dãy hội tụ trong không gian mêtric là duy nhất.
Chứng minh: Giả sử {x
n

} hội tụ và x
n
→ a,x
n
→ a

. Khi đó:
0 ≤ d(a,a

) ≤ d(a,x
n
) +d(x
n
,a

) → 0
Do đó d(a, a

) = 0 và a = a

.
Định lý 2. Trong một không gian mêtric cho các dãy {x
n
} và {y
n
} hội tụ đến a và b tương ứng. Khi đó
d(x
n
,y
n

) → d(a,b).
Ví dụ 2.
a) Xét dãy {x
n
},x
n
= (x
(n)
1
, ,x
(n)
k
) trong R
k
,x
0
= (x
(0)
1
, ,x
(0)
k
).
Ta có:
limx
n
= x
0
⇔ lim


k
∑
i=1
|x
(n)
i
− x
(0)
i
|

1
2
= 0
⇔ limx
(n)
i
= x
(0)
i
với i = 1, ,n.
Vì vậy sự hội tụ mêtric Euclide trong R
n
chính là sự hội tụ theo tọa độ.
b) Xét dãy {x
n
} và x
0
∈ C[a,b]. theo mêtric hội tụ đều ta có limx
n

= x
0
⇔ ∀ε > 0,∃n
0
,∀n > n
0
đều có d(x
n
,x
0
) < ε.
⇔ max
t∈[a,b]
|x
n
(t) −x
0
(t)| < ε
⇔ |x
n
(t) −x
0
(t)| < ε với mọi t ∈ [a,b]
⇔ dãy hàm {x
n
} hội tụ đều đến x
0
trên [a,b].
GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 5 SVTH: Tạ Minh Thanh
Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô

1.2 Tập mở và tập đóng. Vị trí tương đối giữa điểm và tập con.
1.2.1 Tập mở, tập đóng.
Cho (X,d) là một không gian mêtric. Với mỗi a ∈ và ε > 0, đặt B(a,ε) = {x ∈ X|d(x,a) < ε}.
B(a,ε) gọi là hình cầu mở tâm a, bán kính ε hay ε-lân cận của a. Tập con G của X gọi là tập mở nếu mọi
a ∈ G, tồn tại ε > 0 sao cho B(a,ε) ⊂ G.
Tập con F của X gọi là tập đóng nếu X \ F là tập mở.
Định lý 3. Trong họ các tập con của một không gian mêtric X ta có:
a) φ và X là tập mở.
b) Hợp tùy ý các tập mở là tập mở.
c) Giao hữu hạn các tập mở là tập mở.
Ví dụ 3. Mọi a không thuộc không gian mêtric X và số r > 0, hình cầu mở B(a,r) là tập mở.
Thật vậy, mọi x ∈ B(a,r) ta sẽ chỉ ra có ε > 0 sao cho B(x,ε) ⊂ B(a, r), chọn ε = r − d(x,a). Khi đó ε > 0
và mọi y ∈ B(x,ε) ta có:
d(y,a) ≤ d(y,x) + d (x,a)
≤ (r −d(x,a) + d(x,a) = r
Từ đó y ∈ B(a,r). Vậy B(x,ε) ⊂ B(a,r)
1.2.2 Phần trong và bao đóng của một tập.
Cho A là một tập con của không gian mêtric X. Khi đó ta gọi hợp của tất cả các tập con mở của X được
chứa trong X là phần trong của A, kí hiệu là
0
A
.
Giao của tất cả các tập con đóng của X chứa A là bao đóng của A, kí hiệu là A.
A mở ⇔ A =
0
A
A đóng ⇔ A = A
Mọi tập con A,B của X, nếu A ⊂ B thì
0
A

⊂
0
B
và A ⊂ B.
1.2.3 Điểm trong, điểm ngoài, điểm biên.
Cho không gian mêtric X và tập con của X.
+) Điểm x ∈ X gọi là điểm trong của A nếu tồn tại ε > 0 sao cho B(x,ε) ⊂ A.
+) Điểm x ∈ X gọi là điểm ngoài của A nếu tồn tại ε > 0 sao cho B(x,ε) ⊂ X \ A.
+) Điểm x ∈ X gọi là điểm biên của A nếu tồn tại ε > 0 đều có A ∩B(x,ε) = /0 và (X \A)∩ B(x,ε) = /0.
Tập tất cả các điểm biên của A, kí hiệu ∂ A và gọi là biên của A.
GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 6 SVTH: Tạ Minh Thanh
Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô
1.2.4 Tập trù mật.
+) Tập con A của không gian mêtric X gọi là trù mật trong X nếu A = X.
+) Tập con A của không gian mêtric X gọi là không đâu trù mật nếu (A)
0
= /0
+) Không gian mêtric X gọi là khả li nếu X có một tập con A đếm được và trù mật trong X.
1.3 Ánh xạ liên tục.
Định nghĩa ánh xạ liên tục. Cho hai không gian mêtric (X,d) và (Y, p). Một ánh xạ f : X → Y gọi là liên
tục tại x
0
∈ X nếu mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho d(x,x
0
) < δ thì p( f (x), f (x
0
)) < ε.
Ánh xạ f gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi x ∈ X .
Ánh xạ f gọi là liên tục đều trên X nếu moi ε > 0, tồn tại δ


> 0 sao cho với x
1
,x
2
∈ X, d(x
1
,x
2
) < δ

thì
p( f (x
1
), f (x
2
)) < ε.
Định lý 4. Ánh xạ f : X → Y liên tục tại x
0
∈ X nếu và chỉ nếu mọi dãy {x
n
} ⊂ X,x
n
→ x
0
đều có
f (x
n
) → f (x
0
).

1.4 Không gian mêtric đầy đủ.
1.4.1 Không gian mêtric đầy đủ.
Cho (X,d) là một không gian mêtric. Một dãy {x
n
} trong X gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu mọi
ε > 0, tồn tại n
0
sao cho d(x
n
,x
m
) < ε với mọi m,n ≥ n
0
. Điều này được viết dưới dạng giới hạn là:
d(x
n
,x
m
) → 0 khi n,m → ∞
Không gian mêtric gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ.
1.4.2 Định lý Baire về phạm trù.
Không gian mêtric X gọi là thuộc phạm trù thứ nhất nếu X =
∞

i=1
A
n
, trong đó A
n
là các tập không đâu trù

mật trong X.
Không gian không thuộc phạm trù thứ nhất gọi là thuộc phạm trù thứ hai.
Định lý 5 (Định lý Baire về phạm trù). Mọi không gian mêtric đầy đủ đều thuộc phạm trù thứ hai.
1.5 Không gian mêtric compact.
1.5.1 Tập compact. Tập hoàn toàn bị chặn.
Cho không gian mêtric X, tập con A của X gọi là tập compact nếu mọi dãy {x
n
} trong A đều có một dãy
con {X
n
k
} hội tụ đến một điểm thuộc A.
Tập con A gọi là compact tương đối nếu bao đóng A là tập compact trong X.
GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 7 SVTH: Tạ Minh Thanh
Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô
Ví dụ 4. Với mọi a,b ∈ R,a < b,[a,b] là tập compact, (a,b) là tập compact tương đối; [a, b]∩Q là tập compact
tương đối.
+) Tập con A của X gọi là tập bị chặn nếu đường kính của A:
d(A) = sup{d(x, y)|x, y ∈ A} < ∞
Với mọi hình cầu B(x,r) trong không gian mêtric ta có:
d(B(x, r)) ≤ 2r
+) Tập con A của X gọi là tập hoàn toàn bị chặn nếu mọi ε > 0, tồn tại hữu hạn điểm x
1
,x
2
, ,x
n
∈ X sao
cho:
A ⊂

n

i=1
B(x
i
,ε)
Chú ý:
Mọi tập hoàn toàn bị chặn là bị chặn.
Một tập bị chặn có thể không hoàn toàn bị chặn.
1.5.2 Các điều kiện tương đương với tính compact.
Một họ {

α
}
α∈I
các tập con của không gian mêtric X được gọi là một phủ của tập con A của X nếu
A ⊂

α∈I

α
. Nếu mọi

α
đều là tập mở thì phủ gọi là phủ mở.
Định lý 6. Cho X là một không gian mêtric, khi đó với mọi tập con A của X các điều kiện sau đây tương
đương:
a) A là compact.
b) A đầy đủ và hoàn toàn bị chặn.
c) Mọi phủ mở {


α
}
α∈I
của A đều có một phủ mở con hữu hạn.
Định lý 7. Cho ánh xạ f : X → Y liên tục và K là một tập con compact của X. Khi đó f (K) là tập compact
của Y .
Chứng minh: Lấy tùy ý dãy {y
n
} ⊂ f(K). Chọn x
n
∈ K sao cho f (x
0
) = y
n
ta được dãy {x
n
} ⊂ K. Do K
compact nên có dãy con {x
n
k
},x
n
k
→ x
0
∈ K. Vì f liên tục nên:
y
n
k

= f (x
n
k
) → f (x
0
) ∈ f (K).
Vậy {y
n
k
} là một dãy con hội tụ của {y
n
}.
B. BÀI TẬP
Bài 1. Cho mọi tập con A,B của một không gian mêtric, chứng minh:
a) (A ∪ B)
0
⊃ A
0
∪ B
0
; (A ∩B)
0
= A
0
∩ B
0
.
b)
A ∪B = A ∪ B ; A ∩ B ⊂ A ∩ B.
GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 8 SVTH: Tạ Minh Thanh

Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô
Giải:
a) • Ta có: A,B ⊂ A ∪B ⇒

A
0
⊂ (A ∪B)
0
B
0
⊂ (A ∪B)
0
⇒ A
0
∪ B
0
⊂ (A ∪B)
0
• Ta có:

A ∩B ⊂ A
A ∩B ⊂ B
⇒

(A ∩B)
0
⊂ A
0
(A ∩B)
0

⊂ B
0
⇒ (A ∩B)
0
⊂ A
0
∩ B
0
;
Mặt khác ta có: A
0
∩ B
0
⊂ A∩ B và A
0
∩ B
0
là tập mở nên A
0
∩ B
0
= (A ∩B)
0
.
Vậy (A ∩B)
0
= A
0
∩ B
0

.
b) • Ta có A ∪B ⊂ A ∪ B ⇒ A ∪ B ⊂ A ∪ B;
Mặt khác: A,B ⊂ A ∪B ⇒ A,B ⊂ A ∪B ⇒ A ∪B ⊂ A ∪B.
Vậy A ∪B = A ∪B.
• Ta có: A ∩ B ⊂ A ∩ B ⇒ A ∩ B ⊂ A ∩ B.
Bài 2. Cho U,V là các tập mở không giao nhau của không gian mêtric X. Chứng minh U ∩V = U ∩V = /0
Giải: Theo giả thiết ta có: U ∩V = /0 ⇒ U ⊂ X \V , vì V mở ⇒ X \V đóng ⇒ V ⊂ X \U ⇒ V ∩U = /0.
Vậy U ∩V = V ∩U = /0. (đpcm)
Bài 3. Cho không gian mêtric X và tập con A của X. Với mọi x ∈ X, đặt d(x,A) = inf{d(x, y)|y ∈ A}. Chứng
minh rằng:
a) d(x,A) là hàm liên tục trên X.
b) d(x,A) = d(x,A).
c) d(x,A) = 0 ⇔ x ∈ A.
Giải:
a) ∀x,y ∈ X,a ∈ A
Theo tính chất mêtric ta có:
d(a, A) ≤ d(x,y) +d(y,a) ⇔ inf
a∈A
d(x, a) ≤ d(x, y) + inf
a∈A
d(y,a) ⇔ d(x,A) ≤ d(x,y) +d(y,a)
⇒ d(x,A) − d(y,a) ≤ d(x, y).
Đổi vai trò của x và y ta được:
d(y,A) − d(x,A) ≤ d(x,y).
Vậy |d(x, A) −d(y,A)| ≤ d(x,y) với mọi x,y ∈ X .
Ta có d(x,A) là ánh xạ liên tục đều.
b) • Ta có d(x, A) = inf
a∈A
d(x, A) ≤ inf
x∈A

d(x, a) = d(x, A).
⇒ d(x,A) ≤ d(x,A) (1)
• ∀ε > 0, ∀a ∈ A : d(a, b) < ε. (Lấy ε = 1/n, n ∈ N)
Theo tính chất mêtric ta có: d(x,b) ≤ d(x,a) + d(a,b)
⇒ inf
b∈A
d(x, b) ≤ inf
a∈A
(x,a) + inf
x∈A
b∈A
d(a, b)
⇔ d(x,A) ≤ d(x,A) + ε (∀ε > 0)
⇒ d(x,A) ≤ d(x,A (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra: d(x,A) = d(x,A) (đpcm).
c) Lấy x ∈ A ⇔ ∃{x
n
} ⊂ A,x
n
→ x ⇔ d(x
n
,x) → 0 ⇔ d(x,A) = 0. (đpcm)
GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 9 SVTH: Tạ Minh Thanh
Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô
Bài 4. Với mọi a thuộc không gian mêtric X và r > 0 ta gọi tập B

(a,r) = {x ∈ X|d(x, a) ≤ r} là hình cầu
đóng tâm a, bán kính r.
a) Chứng minh hình cầu đóng là tập đóng, B(a,r) ⊂ B


(a,r).
b) Cho một ví dụ B(a,r) = B

(a,r).
Giải:
a) Ta chứng minh X \ B

(a,r) mở. Lấy tùy ý x ∈ X \ B

(a,r). Khi đó ε = d(x, a) − r > 0. Mọi y ∈ b(x, ε),
theo tính chất mêtric ta có:
d(x, y) +d(y,a) ≥ d(x,a) ⇒ d(y,a) ≥ d(x, a) −d(x, y) > d(x, a) −ε = r)
⇒ y ∈ X \B

(a,r).
Vậy B(x,ε) ⊂ X \B

(a,r) hay X \B

(a,r) mở.
b) Xét X là không gian mêtric rời rạc có nhiều hơn một điểm.
Với mọi x ∈ X ta có B(x,1) = B(x,1) = {x}, B

(0,1) = X.
Bài 5. Cho A và B là hai tập con khác rỗng của không gian mêtric X thỏa mãn: A ∩ B = A ∩ B = /0. Chứng
minh rằng tồn tại hai tập mở U và V sao cho A ⊂ U,B ⊂ V và V ∩U = /0.
Giải: Xét hàm số liên tục f (x) = d(x,A) − d(x,B) trên X. Đặt U = f
−1
(∞,0),V = f
−1

(0,∞). Khi đó U,V là
mở và U ∩V = /0.
+) Nếu x ∈ A thì x ∈ B (vì A∩ B = /0) nên f (x) < 0, tức là x ∈ U.
Vậy A ⊂ U.
+) Tương tự nếu x ∈ B thì x ∈ A (vì B ∩A = /0) nên f (x) > 0, tức là x ∈ V. Vậy B ⊂ V .
Bài 6. Kí hiệu l
1
là tập các dãy số x = {x
k
} có
∞
∑
k=1
|x
k
| < ∞. Với x = {x
k
},y = {y
k
} thuộc l
1
, đặt
d(x, y) =
∞
∑
k=1
|x
k
− y
k

| có
∞
∑
k=1
|x
k
| < ∞. Với x = {x
k
}. Chứng minh:
a) d là một mêtric trên l
1
.
b) (l
1
,d) là không gian mêtric đầy đủ và khả li.
Giải:
a) Chứng minh d là một mêtric trên l
1
, tức là ta cần kiểm tra ba tiên đề sau:
Với x = (x
1
,x
2
, ,x
k
);y = (y
1
,y
2
, ,y

∞
∑
k=1
(|x
k
− z
k
| +|z
k
− y
k
|)
=
∞
∑
k=1
|x
k
− z
k
| +
∞
∑
k=1
|z
k
− y
k
|
= d(x , z) +d(z,y)

⇒ d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y).
Vậy d là một mêtric trên l
1
.
b) Giả sử {x
(n)
},x
(n)
= {x
(n)
k
} là dãy Cauchy, tức là d(x
(n)
,x
(m)
) =
∞
∑
n=1
|x
(n)
k
− x
(m)
k
| → khi m,n → ∞. Suy ra
với mỗi k,{x
(n)
k
} là dãy số Cauchy. Vì vậy x

(n)
k
→ x
(0)
k
.
Đặt x
(0)
= x
(0)
k
, ta có x
(0)
∈ l
1
. Vậy l
1
đầy đủ. Kí hiệu D
n
là tập các dãy {x
k
} các số hữu tỉ và x
k
= 0 với
mọi k > n. Khi đó D
n
là tập các dãy {x
k
} các số hữu tỉ và x
k

= 0 với mọi k > n. Khi đó D
n
⊂ l
1
và D
n
đếm được. Đặt D =
∞
∑
n=1
D
n
, ta có D đếm được, trù mật trong l
1
. Thật vậy với mọi x = {x
k
} ∈ l
1
và ε > 0,
chọn n
0
sao cho
∞
∑
k=n
0
+1
|x
k
| <

ε
2
. Với mọi k ≤ n
0
chọn các số hữu tỉ r
k
sao cho |x
k
− r
k
| <
ε
2n
0
. Kí hiệu:
x
(0)
= {x
1
, ,r
n
o
,0,0, }
Ta có x
(0)
∈ D và d(x,x
0
) < ε.
Bài 7. Kí hiệu l
∞

là tập các dãy số {x
k
} có sup
k
|x
k
| < ∞. Với x = {x
k
};y = {y
k
} thuộc l
∞
, đặt
d(x, y) = sup|x
k
− y
k
|. Chứng minh:
a) d là một mêtric trên l
∞
.
b) (l
∞
,d) là không gian mêtric đầy đủ, không khả li.
Giải:
a) Chứng minh d là một mêtric trên l
∞
, tức là ta cần kiểm tra ba tiên đề sau:
Với x = {x
1

,x
2
, ,x
k
};y = {y
1
,y
2
, ,y
k
} (k ∈ N).
+) ∀x,y ∈ X, ta có d(x,y) = sup
k
|x
k
− y
k
| ≥ 0
d(x, y) = 0 ⇔ sup
k
|x
k
− y
k
) = 0 ⇔ |x
k
− y
k
| = 0 ⇔ x
k

+ z
k
|) ≤ sup
k
|x
k
− z
k
| +sup
k
|z
k
− y
k
| = d(x,z) +d(z,y).
⇒ d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y)
Vậy d là một mêtric trên l
∞
.
GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 11 SVTH: Tạ Minh Thanh
Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô
b) Ta chứng minh (l
∞
,d) là không gian mêtric đầy đủ:
Giả sử {x
(n)
},x
(m)
= {x
(m)

k
} là dãy Cauchy, tức là d(x
(n)
,x
(m)
) = sup
k
|x
(n)
k
− x
(m)
k
| → 0 khi m,n → ∞.
Suy ra với mỗi k,{x
(n)
k
} là dãy Cauchy. Vì vậy x
(n)
k
→ x
(0)
k
. Đặt x
(0)
= {x
(0)
k
}, ta có x
(0)

∈ l
∞
và x
(n)
→ x
(0)
.
Vậy l
∞
đầy đủ.
Ta chứng minh l
∞
không khả li. Gọi A là tập các dãy nhận hai giá trị 0 và 1. Khi đó A không đếm được và
A ⊂ l
∞
. Gọi D là một tập bất kì trù mật trong l
∞
. Với mọi a ∈ A, lấy cố định d
a
∈ D sao cho d(a,d
a
) <
1
2
.
Nếu a,b ∈ A, a = b thì tồn tại n sao cho a
n
= b
n
. Ta giả sử a

n
= 0,b
n
= 1, khi đó d
a
n
<
1
2
,d
a
n
>
1
2
, tức là
d
a
= d
b
. Vậy ánh xạ a → d
a
từ A vào D là đơn ánh. Vì A không đếm được nên D không đếm được.
Bài 8. Cho (X
1
,P
1
) và (X
2
,P

2
) là hai không gian mêtric. Với mọi x = (x
1
,x
2
),y = (y
1
,y
2
) thuộc X
1
× X
2
, đặt:
d(x, y) = (P
2
1
(x
1
,y
1
) +P
2
2
(x
2
,y
2
))
1

2
d
1
(x,y) = P
1
(x
1
,y
1
) +P
2
(x
2
,y
2
)
d
∞
(x,y) = max{P
1
(x
1
,y
1
) +P
2
(x
2
,y
2

)}
a) Chứng minh d,d
1
,d
∞
là các metric tương đương đều trên X = X
1
× X
2
. Không gian X với một trong ba
mêtric trên gọi là tích của không gian mêtric X
1
và X
2
.
b) Chứng minh X
1
× X
2
đầy đủ (compact) nếu và chỉ nếu X
1
và X
2
đầy đủ (compact).
Giải:
a) Với mọi x, y ∈ X ta có:
d(x, y) =

P
2

1
(x
1
,y
1
) +P
2
2
(x
2
,y
2
)
≥ max{P
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
)} = d
∞
(x,y)
d(x, y) =


(P
1
(x
1
,y
1
)) + P
2
(x
2
,y
2
))
2
=

P
2
1
(x
1
,y
1
) +P
2
2
(x
2
,y
2

) +2P
1
(x
1
,y
1
).P
2
(x
2
,y
2
)
≥

P
2
1
(x
1
,y
1
) +P
2
+ 2(x
2
,y
2
) = d(x,y)
d

1
(x,y) = P
1
(x
1
,y
1
) +P
2
(X
2
,y
2
)
≥ 2max{P − 1(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
)} = 2.d
∞
(x,y)
⇒ d
∞
(x,y) ≥ d(x,y) ≥ d

1
(x,y) ≥ 2d
∞
(x,y)
Do đó các mêtric đó tương đương đều.
b) Giả sử {x
(
n),c
(n)
− (x
(n)
1
,x
(m)
2
)} là dãy Cauchy (dãy hội tụ trong X) ⇔ {x
(n)
1
} là dãy Cauchy (dãy hội tụ)
trong X
1
, {x
(n)
2
} là dãy Cauchy (dãy hội tụ) trong X
2
.
Bài 9. Cho X là một không gian mêtric đầy đủ. {G
n
} là một dãy các tập con mở của X, mỗi G

n
trù mật trong
X. Chứng minh
∞

n=1
G
n
trù mật trong X .
Giải. Ta chứng minh mọi tập mở W = /0 của X đều có W ∩ (
∞

n=1
G
∞
) = /0. Do W ∩G
1
là mở và khác rỗng nên
tồn tại B(x
1
,r
1
):
B(x
1
,r
n
) ⊂ W ∩G
1
, 0 < r

1
< 1.
GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 12 SVTH: Tạ Minh Thanh
Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô
Bằng quy nạp với mọi n có B(x
n
,r
n
) sao cho:
B(x
1
,r
1
) ⊂ B(x
n−1
,r
n−1
) ∩G
n
, 0 < r
n
<
1
n
Vì {x
n
} là dãy Cauchy nên x
n
→ x
0

.
Do mọi n ≥ N thì x
n
∈ B(x
N
,r
N
) nên x
0
∈ B(x
N
,r
N
) ⊂ W ∩G
N
với mọi N.
Vậy x
0
∈ W ∩ (
∞

n=1
)G
n
.
Bài 10. Cho X là không gian mêtric compact và ánh xạ f : X → X thảo mãn d( f (x), f (y) ≥ (x, y) với mọi
x,y ∈ X. Chứng minh f là phép đẳng cự.
Giải. Xét a,b ∈ X. Đặt a
n
= f

n
(a),b
n
= f
n
(b). Vì X compact nên ta có dãy tăng {n
k
} ⊂ N sao cho
{a
n
k
} và {b
n
k
} hội tụ. Vì các dãy hội tụ là dãy Cauchy nên mọi ε > 0 tồn tại các chỉ số n
k
,n
1
sao cho
d(a
n
k
,a
n
1
) < ε,d(b
n
k
,b
n

1
) < ε và m = n
1
− n
k
≥ 2. Theo giả thiết về f ta có d(a,a
m
) < ε và tương tự ta
có d(b, b
m
) ≤ d(a
1
,a
m+1
) ≤ ≤ d(a
n
k
,a
n
1
). Vậy d(a, a
m
) < ε và tương tự ta có d(a
m
,b
m
< ε.
Vì d( f (a), f (b)) ≤ d( f
m
(a), f

m
(b)) = d(a
m
,b
m
)
≤ d(a
m
,a) + d(a,b) + d(b,n
m
) < d(a,b) +2ε.
Nên suy ra d( f (a), f (b)) = d(a,b). Từ đó f là phép đẳng cự X lên f (X ). Ta còn phải chứng minh f (X) = X.
Vì X compact nên f (X) compact và do đó là đóng. Với mội a ∈ X và mọi ε > 0 ta có a
m
∈ f (X) để
d(a, a
m
) < ε nên f (x) trù mật trong X. f (x) đóng và trù mật trong X nên f (X) = X.
Bài 11. Cho X là không gian mêtric compact và f : X → X là ánh xạ thỏa mãn d( f (x), f (y)) < d(x,y) với mọi
x,y ∈ X. Chứng minh f có một điểm bất động duy nhất. Cho ví dụ chứng tỏ X đầy đủ nhưng không compact
thì kết quả không còn đúng.
Giải. Dễ thấy hàm f liên tục đều. Đặt ϕ(x) = d(x, f (x)) ta được một hàm liên tục trên X. Giả sử trái lại f
không có điểm bất động, khi đó ϕ(x) > 0 với mọi x nên tồn tại x
0
sao cho ϕ(x
0
) = inf
x∈X
d(x, f (x)) = r > 0. Đặt
x

1
= f (x
0
) ta có:
r ≤ d(x
1
, f (x
1
)) < d(x
0
, f (x
0
)) = r
là mẫu thuẫn. Vậy f có điểm bất động.
Xét ánh xạ f : R → R, f (x) =
π
2
− arctan x +x. Vì phương trình f (x) = x ⇔ arctan x =
π
2
vô nghiệm nên f
không có điểm bất động theo định lý Lagrange.
| f (x) − f (y)| = |arctany − arctanx + x− y|
=




x −y −
1

1 +φ
2
(x −y)




=




φ
2
1 +φ
2
(x −y)




=
φ
2
1 +φ
2
|x −y| < |x −y| với mọi x ≥ y
Vậy | f (x) − f (y)| < |x −y| với mọi x,y ∈ R,x = y nhưng f không có điểm bất động.
Cũng có thể lấy ví dụ khác là: X = [2,∞), f (x) = x +
1

x
.
Bài 12. Chứng minh hợp một số hữu hạn tập compact là một tập compact.
GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 13 SVTH: Tạ Minh Thanh
Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô
Giải. Giả sử (A
i
)
n
i=1
là các tập compact. Đặt A =
n

i=1
A
i
. Ta chứng minh A compact.
Thật vậy, giả sử (G
α
)
α∈I
là một phủ mở tùy ý của A, tức là: A ⊂

α∈I
G
α
.
Từ đó, với mỗi i cố định:
A
i

⊂

α∈I
G
α
.
Vì A
i
là compact, tồn tại phủ con của A
i
hữu hạn, kí hiệu: (G
α
ik
)
n
k=1
⊂ {G
α
}
α∈I
. Do đó:
n

i=1
A
i
⊂
n

i=1

(
m
i

k=1
G
α
ik
) =

i=1,n
k=1,m
i
G
α
ik
Vậy A compact.
Bài 13. Với các taapjcon A,B của không gian mêtric X, đặt d(A, B) = inf{d(x, y)|x ∈ A,y ∈ B}. d(A,B) gọi là
khoảng cách giữa hai tập A và B. Chứng minh rằng nếu F đóng, K compact và F ∩K = /0 thì d(F,K) > 0
Giải. Giả sử tồn tại dãy {x
n
} ⊂ K và {y
n
} ⊂ F sao cho:
d(x
n
,y
n
) → d(K,F), khi n → ∞.
Vì K compact nên có một dãy con {x

K
n
} ⊂ {x
n
} hội tụ về x
0
∈ K. Nếu d(K, F) = 0 thì d(x
n
,y
n
) → 0, khi
n → ∞.
Suy ra d(x
K
n
,y
K
n
) → 0 khi n → ∞.
Ta lại có:
d(y
K
n
,x
0
) ≤ d(y
K
n
,x
K

n
) +d(x
K
n
,x0) → 0, n → ∞
⇒ d(y
K
n
,x
0
) → 0, n → ∞
⇒ y
K
n
→ x
0
∈ K, n → ∞
Mặt khác F đóng, {y
K
n
} ⊂ F nên x
0
∈ F. Mâu thuẫn vì K ∩F = /0. Vậy d(F,K) > 0 (đpcm)
GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 14 SVTH: Tạ Minh Thanh
Chương 2
KHÔNG GIAN TÔPÔ
A. LÝ THUYẾT.
2.1 Tôpô
2.1.1 Tôpô. Không gian Tôpô.
Cho một tập X, một họ τ các tập con của X gọi là một tôpô trên X nếu thảo mãn các điều kiện:

(τ
1
) X và /0 thuộc τ;
(τ
2
) Hợp của tùy ý các tập thuộc τ là thuộc τ;
(τ
3
) Giao của hữu hạn các tập thuộc τ là thuộc τ.
+) Một tập X cùng một tôpô trên X gọi là một không gian tôpô. Để chỉ rõ τ là tôpô của không gian X ta viết
là (X,τ).
+) Cho (X, τ) là một không gian tôpô. Tập G ∈ τ được gọi là tập mở của X. Tập con F của X gọi là tập đóng
nếu X \F là tập mở.
Ví du 1.
a) Với mọi X,P(X) là tập tất cả các tập con của X, P(X) là một tôpô trên X, ta gọi là tôpô rời rạc. Tập X
cùng với tôpô rời rạc là không gian tôpô rời rạc.
b) Với mọi tập X, họ { /0,X} là một tôpô trên X, gọi là tôpô tầm thường. Tập X với tôpô tầm thường gọi là
không gian tôpô tầm thường.
2.1.2 So sánh tôpô.
Cho hai tôpô τ
1
và τ
2
trên X. Nếu τ
1
⊂ τ
2
thì ta nói τ
1
yếu hơn τ

2
hoặc τ
2
mạnh hơn τ
1
.
2.1.3 Cơ sở và tiền cơ sở.
- Cho τ là một tôpô trên X. Một họ con β của τ gọi là một cơ sở của τ nếu một tập thuộc τ đều bằng hợp
của một họ các tập thuộc β . Nói cách khác, họ con β của τ là cơ sở của τ nếu mọi G ∈ τ mọi x ∈ G tồn
tại V ∈ β sao cho x ∈ V ⊂ G.
15
Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô
- Một họ con τ
1
của τ gọi là tiền cơ sở của τ nếu họ tất cả các giao hữu hạn các tập thuộc τ
1
là một cơ sở
của τ.
2.1.4 Lân cận.
Cho X là một không gian tôpô và x ∈ X . Tập con V của X được gọi là một lân cận V của x là tập mở thì V
gọi là lân cận của x.
Ví dụ 2.
a) Họ tất cả các tập mở chứa x là một cơ sở lân cận của x.
b) Trong không gian rời rạc, tập một điểm {x} là cơ sở lân cận của x.
2.1.5 Phần trong và bao đóng.
Cho X là một không gian tôpô và tập con A của X. Ta gọi phần trong của A hợp của tất cả các tập mở được
chứa trong A, kí hiệu là A
0
. A
0

là tập mở lớn nhất chứa trong A; A ⊂ B thì A
0
⊂ B
0
và A mở nếu và chỉ nếu
A = A
0
.
- Bao đóng của A là giao của tất cả các tập đóng chứa A, kí hiệu là A. A là tập đóng nhỏ nhất chứa A; A ⊂ B
thì A ⊂ B và A đóng nếu và chỉ nếu A = A.
- Tập con D gọi là trù mật trong X nếu D = X. Không gian X gọi là khả li nếu nó có một con đếm được
trù mật.
- Tập con A của X gọi là không đâu trù mật nếu (A)
0
= /0.
2.2 Vị trí tương đối giữa điểm và tập con.
Cho không gian tôpô X, tập con A của X và điểm x thuộc X.
- Điểm x được gọi là điểm trong của A nếu x có một lân cận V sao cho V ∩A.
- Điểm x gọi là điểm ngoài của A nếu x có một lân cận V sao cho V ∩A = /0.
- Điểm x gọi là điểm biên của A nếu mọi lân cận V của x đều có V ∩A = /0 và V ∩(X \A) = /0.
Tập tất cả các điểm biên của A gọi là biên của A, kí hiệu ∂ A.
2.3 Ánh xạ liên tục. Không gian con.
2.3.1 Ánh xạ liên tục.
Cho X và Y là các không gian tôpô và ánh xạ f : X → Y. Ánh xạ f gọi là liên tục tại x ∈ X nếu mọi lân cận
V của f (x) trong Y đều tồn tại lân cận U của x trong X sao cho f (U) ⊂ V , hay f
−1
(V) là lân cận của x.
Ánh xạ gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi x ∈ X.
GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 16 SVTH: Tạ Minh Thanh
Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô

2.3.2 Không gian con.
Cho (X, τ) là hai không gian tôpô và A là một tập con của X. Khi đó họ τ
A
= {G ∩A|A ∈ τ} là một tôpô
trên A, gọi là không gian con của không gian X.
Kí hiệu i : A → X,i(x) = x là phép nhúng chính tắc. Hiển nhiên phép nhúng chính tắc là phép nhúng đồng
phôi.
Định lý 1. Cho A là một tập con của không gian tôpô X. Khi đó:
a) A mở ⇔ i : A → X là ánh xạ mở.
b) A đóng ⇔ i : A → X là ánh xạ đóng.
2.4 Tổng, tích và thương của các không gian.
2.4.1 Tổng và tổng trực tiếp.
Cho {(x
α
,τ
α
)}
α∈I
là một họ các không gian tôpô. Đặt X =

α∈I
X
α
. Xét họ τ các tập con G của X thỏa mãn
G ∩ X
α
∈ τ
α
với mọi α ∈ I. Khi đó τ là một tôpô trên X. Không gian X với tôpô τ gọi là tổng của họ các không
gian đã cho, kí hiệu X =

∑
α∈I
X
α
rời nhau. Nếu họ {X
α
}
α∈I
rời nhau thì tổng gọi là tổng trực tiếp, kí hiệu là
X = ⊕
α∈I
X
α
.
Kí hiệu i
α
: X
α
→ X là phép nhúng chính tắc.
2.4.2 Tích Descartes.
Cho {(X
α
,τ)}α
∈I
là một họ các không gian tôpô. Đặt X =
∏
α∈I
X
α
và π

α
: X → X
α
là phép chiếu hay ánh xạ
tọa độ thứ α. Các không gian X
α
gọi là không gian tọa độ.
Ta gọi tôpô tích trên X là tôpô yếu nhất để tất cả các phép chiếu π
α
liên tục.
Định lý 3. Với mọi α, phép chiếu
∏
α
:
∏
α∈I
X
α
→ X
α
là ánh xạ mở.
2.5 Các tiên đề tách.
Các định nghĩa và tính chất:
- Không gian tôpô (X, τ) được gọi là không gian thỏa mãn tiên đề tách T
1
(hay T
1
- không gian) nếu với
hai điểm khác nhau trong X thì sẽ tồn tại một lân cận của điểm này mà không chứa điểm kia.
- Không gian tôpô X được gọi là T

2
-không gian hay không gian Hausdorff nếu với hai điểm x,y ∈ X, x = y
thì sẽ tồn tại các lân cận U của x, lân cận V của y sao cho U ∩V = /0.
- Không gian tôpô X được gọi là một T
3
-không gian hay là không gian chính quy nếu X là T
1
-không gian
và với mọi x ∈ X và mọi tập đóng F ⊂ X sao cho x /∈ F thì tồn tại các tập mở U  x và V ⊃ F sao cho
U ∩V = /0.
- Không gian tôpô X được gọi là một T
4
-không gian và với hai taaph đóng A,B không giao nhau, sẽ tồn tại
hai tập mở U ⊃ A,V ⊃ B sao cho U ∩V = /0.
GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 17 SVTH: Tạ Minh Thanh
Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô
2.6 Không gian compact
2.6.1 Định nghĩa.
Tập K ⊂ X của không gian tôpô X được gọi là một tập compact nếu mỗi phủ mở của nó đều có chứa
một phủ con hữu hạn. Nói cách khác, giả sử (G
α
)
α∈I
là họ các tập mở thỏa mãn K ⊂

α∈I
G
α
thì tồn tại các
G

α
1
,G
α
n
, ,G
α
2
sao cho K ⊂
n

i=1
G
α
i
. Không gian tôpô X được gọi là compact nếu bản thân tập hợp X là
compact trong không gian tôpô X.
Định lý 4. Giả sử X là không gian compact. Khi ấy mọi tập con đóng của X đều là tập compact.
Chứng minh: Cho A là tập con đóng của X. Giả sử (G
α
)
α∈I
là một phủ mở của A.
Khi ấy (G
α
)
α∈I
∪ {(x \ A)} là một phủ mở của X. Do X compact nên tồn tại phủ con hữu hạn G
α
1

, ,G
α
n
sao cho:
X = (X \A)∪ (
n

i=1
G
α
i
).
Lúc ấy A ⊂
n

i=1
G
α
i
nên A là tập compact.
Điều ngược lại của định lý chỉ đúng nếu như X là một T
2
-không gian.
Đính lý 5. Nếu X là một T
2
-không gian thì mọi tập con compact của X đều là tập đóng.
Định lý 6. Cho X là một T
2
-không gian và A,B là hai tập compact của X và A ∩B = /0. Lúc đó tồn tại hai tập
mở U,V trong X sao cho A ⊂ U, B ⊂ V và U ∩V = /0.

2.6.2 Không gian compact địa phương.
Định nghĩa: Không gian tôpô X được gọi là compact địa phương nếu mọi x ∈ X đều tồn tại một lân cận đóng
và compact.
Định lý.
a) Không gian con đóng của một không gian compact địa phương là một không gian compact địa phương.
b) Không gian con mở của một không gian Hausdorff compact địa phương là compact địa phương.
2.6.3 Compact hóa.
Định nghĩa: Cho X là một không gian tôpô không compact và cho cặp (Y,ϕ) trong đó Y là một không gian
compact, ϕ : X → ϕ(X) ⊂ Y là một phép đồng phôi sao cho ϕ(X) = Y. Khi đó ta gọi cặp (Y,ϕ) là một compact
hóa của không gian tôpô X.
GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 18 SVTH: Tạ Minh Thanh
Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô
B. BÀI TẬP
Bài 1. Cho {τ
α
}
α∈I
là một họ các tôpô trên tập X. Chứng minh τ =

α∈I
τ
α
là một tôpô trên X.
Giải. Ta chứng minh τ là một tôpô trên X , tức là ta cần kiểm tra có tiên đề sau:
i) /0,X ∈ τ
α
với mọi α ∈ I, do đó /0,X ∈ τ.
ii) Với mọi A,B ∈ τ ⇒ A,B ∈ τ
α
⇒ A∩ B ∈ τ

α
với mọi α ∈ I ⇒ A∩B ∈ τ.
iii Với mọi G ⊂ τ ⇒ G ⊂ τ
α
với mọi α ⇒

A∈G
A ∈ τ
α
với mọi α ∈ I ⇒

A∈G
A ∈ τ.
Từ i), ii), iii), τ là tôpô trên X .
Bài 2. Cho A,B là các tập con của một không gian X. Chứng minh:
a) A ∩ B ⊂ A ∩ B
b) A\B ⊂ A\B
Tìm ví dụ về A,B có các bao hàm thức trên là thực sự.
Giải.
a) Ta có:
A ∩B ⊂ A
A ∩B ⊂ B

⇒
A ∩B ⊂ A
A ∩B ⊂ B

⇒ A∩ B ⊂ A∩ B.
b) lấy x ∈ A \B, V là lân cận tùy ý cuat x. Ta có W = V ∩(X \B) là lân cận của x. Vì x ∈ A nên:
W ∩ A = /0 ⇒ W ∩ (A \B) = /0 ⇒ V ∩(A \B) = /0.

Vậy x ∈ A \B ⇒ A \B ⊂ A \B.
Ví dụ: Trong R xét A = {0},B = (0,1], ta có:
A ∩B = /0 = {0} = A ∩ B
A \B = /0 = {0} = A \ B
Bài 3. Cho E là một tập con của không gian X, chứng minh:
a) (X \E)
0
= X \ E.
b) X \E = X \ E
0
.
Giải.
a) Dễ thấy X \E ⊂ (X \ E)
0
. Nếu x /∈ X \ E thì x ∈ E, do đó mọi lân cận V của x : V ∩E = /0
⇒ V ⊂ X \ E ⇒ x /∈ (X \E)
0
⇒ V ⊂ X \ E ⇒ x /∈ (X \E)
0
.
Vậy cũng có (X \E)
0
⊂ X \ E.
b) Dễ thấy X \E ⊂ X \ E
0
. Nếu k ∈ X \ E thì tồn tại lân cận V của x sao cho V ∩(X \E) = /0
⇒ V ⊂ E ⇒ x ∈ E
0
⇒ x ∈ X \E
0

.
Vậy cũng có X \ E
0
⊂ X \ E.
GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 19 SVTH: Tạ Minh Thanh
Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô
Bài 4. Cho G là tập mở và A là tập tùy ý trong không gian X. Chứng minh:
a) G ∩ A = /0 thì G∩ A = /0.
b) G ∩ A = G ∩ A.
Giải.
a) Nếu x ∈ G ∩A ⇒ x ∈ A và G là lân cận của x nên G ∩A = /0. Ta gặp mâu thuẫn.
b) Giả sử x ∈ G ∩ A và V là một lân cận mở của x sao cho V ∩(G ∩A) = /0
⇒ (V ∩ G) ∩ A = /0 ⇒ (V ∩ G) ∩ A = /0 (theo câu a)) ⇒ V ∩ (G ∩ A = /0 ⇒ x ∈ G ∩A. Vậy ta cũng có
G ∩A ⊂ G ∩ A.
Bài 5. Cho A,B,C là ba không gian con của X và C ⊂ A ∩B. Chứng minh C mở (đóng) trong A và trong B thì
C mở (đóng) trong A ∪B.
Giải.
• Nếu C mở trong A và B thì tồn tại U và V mở trong X sao cho C = A ∩U,C = B ∩V. Bởi vì U ∩V mở
trong X và (A ∪ B) ∩(U ∩V ) = (A ∩U ∩V ) ∪ (B ∩U ∩V ) = (C ∩V )∪(C ∩U) = C ∩(U ∪V ) = C nên C
mở trong A ∪B.
• Trường hợp C đóng hoàn toàn tương tự.
Bài 6. Chứng minh rằng phép chiếu π : R
2
→ R,π(x,y) = x không phải là ánh xạ đóng.
Giải. Xét tập F =

x,
1
x


∈ R
2
|x > 0

. Mọi dãy {(x
n
,y
n
)} ⊂ F, (x
n
,y
n
) → (x
0
,y
0
) ∈ R
2
, do y
n
=
1
x
n
nên
x
0
> 0 và y
0
=

1
x
0
. Vì vậy (x
0
,y
0
) ∈ F và F đóng.
✲
✻
O x
y
F
Do π(F) = (0, /0) không là tập đóng trong R nên π không phải là ánh xạ đóng.
Bài 7. Chứng minh ánh xạ f : R → R xác định bởi:
f (x) =





0 nếu x < 0
x nếu 0 ≤ x ≤ 1
1 nếu x > 1
Là ánh xạ đóng nhưng không phải là ánh xạ mở.
GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 20 SVTH: Tạ Minh Thanh
Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô
Giải. Giả sử F là tập đóng tùy ý của R. Đặt A = F ∩[0,1] thì tập A là tập đóng trong R. Nếu tồn tại x ∈ F,x < 0
thì bổ sung thêm vào A điểm O, nếu tồn tại x ∈ F,x > 1 thì bổ sung thêm vào A điểm 1, ta được A
∗

là tập đóng
trong R. Rõ ràng f (F) = A
∗
là tập đóng. Vậy f là ánh xạ đóng.
Tập (−1,2) là mở nhưng f ((−1,2)) = [0, 1] không mở trong R nên f không phải là ánh xạ mở.
Bài 8. Với mọi a,b chứng minh khoảng (a,b) đồng phôi với R.
Giải. Kí hiệu c =
a +b
2
. Ánh xạ f : (a,b) → R xác định bởi.
F(t) =









t −c
t −a
nếu a < t < c
t −c
b −t
nếu c ≤ t < b
Là phép đồng phôi.
Bài 9. Cho A là tập con của không gian X. Điểm x ∈ X gọi là điểm tụ của A nếu x ∈ A \ {x}. Tập A gồm tất cả
các điểm tụ của A gọi là tập dẫn xuất của A. Các điểm thuộc A \A


gọi là các điểm cô lập của A. Chứng minh:
a) x là điểm cô lập của X ⇔ {x} là tập mở.
b) A = A ∪ A

.
c) (A ∪ B)

= A

∪ B

Giải.
a) Giả sử x là điểm cô lập của X ⇔ x /∈ X \{x} ⇔ X \ {x} = X \ {x}.
⇔ X \{x} đóng ⇔ {x} là tập mở.
b) Dễ thấy ∂A \ A = A

\ A, do đó:
A = A ∪∂A = A ∪(∂ A \A) = A ∪(A

\ A) = A ∪A

.
c) x ∈ (A ∪ B)

⇔ x ∈ (A ∪ B) \{x}.
⇔ x ∈ A \ {x} ∪B \ {x}
⇔ x ∈ A \ {x} hoặc x ∈ B\{x}
⇔ x ∈ A

hoặc x ∈ B


⇔ x ∈ A

∪ B

.
Bài 10. Cho A là một tập trù mật khắp nơi trong không gian tôpô X. Giả sử U là một tập mở trong X. Chứng
minh rằng:
U = U ∩A.
GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 21 SVTH: Tạ Minh Thanh
Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô
Giải.
• Ta có: ∀x ∈ A ∩U ⇒ x ∈ U ⇒ A ∩U ⊂ U ⇒ A∩U ⊂ U (1).
• Lấy x ∈ U, cần chứng minh: x ∈ U ∩A. Lấy một lân cận V tùy ý của x. Khi đó W = U ∩V cũng là một
lân cận của x. Do đó: W ∩A = /0 ⇒ V ∩(A ∩U) = (V ∩U ) ∩ A = W ∩A = /0
⇒ x ∈ A ∩U
⇒ U ⊂ A∩U (2).
Từ (1) và (2), ta được: U = A ∩U. (đpcm)
Bài 11. Cho X,Y là hai không gian tôpô, f : X → Y là một ánh xạ. Chứng minh rằng ba mệnh đề sau đây
tương đương:
a) f liên tục.
b) Với mọi B ⊂ X ta có f
−1
(B
0
) ⊂ int f
−1
(B).
c) f
−1

(B) là một tập mở với mọi B thuộc một cở sở của tôpô trong Y .
Giải.
• a) ⇒ b): Lấy x ∈ f
−1
(intB) ⇒ f (x) ∈ intB. Cần chứng minh x ∈ intf
−1
(B). Tức là ∃u lân cận của x sao
cho x ∈ u ⊂ f
−1
(B) ⇔ f (u) ⊂ B.
Thật vậy, vì f (x) ∈ intB ⇒ ∃V của f (x) sao cho f (x ) ∈ V ⊂ B. Lại có f liên tục ⇒ f
−1
(V) là một tập
mở trong X.
Đặt: U = f
−1
(V) ⇒ x ∈ U và U là một lân cận của X.
f (U) = f ( f
−1
(intB)) ⊂ V ⊂ B ⇒ f (x) ⊂ B. (đpcm)
• b) ⇒ c): Giả sử B ∈ β-cơ sở của (Y, C
Y
). Chứng minh f
−1
(B) là tập mở.
Ta có: intB = B, theo b) ta có:
f
−1
(B) = f
−1

(intB) ⊂ int f
−1
(B).
Mặt khác: int f
−1
(B) ⊂ f
−1
(B) ⇒ f
−1
(B) = intg f
−1
(B). (đpcm)
• c) ⇒ a): Lấy G mở trong Y ⇒ G =
n

i=1
B
i
;B
i
∈ B
Y
cơ sở của không gian tôpô (Y, C
Y
).
⇒ f
−1
(G) = f
−1
(

n

i=1
B
i
) =
n

i=1
f
−1
(B
i
)
⇒ f
−1
(G) mở (vì f
−1
(B) mở ⇒
n

i=1
f
−1
(B
i
)m).
⇒ f liên tục (đpcm).
Bài 12. Kí hiệu X = {(x,y) ∈ R
2

|y ≥ 0},X
0
= {(x,0)|x ∈ R},X
1
= X \X
0
. Trên X xét tôpô có cơ sở là các tập
mở của X
1
theo tôpô Euclide trong R
2
và các tập dạng B(a,a
2
) ∪ {(a
1
,0)} , Ở đây B(a,a
2
) là hình tròn mở tâm
a; bán kính a
2
, với mọi a = (a
1
,a
2
) ∈ X
1
.
Chứng minh rằng X là không gian hoàn toàn chính quy nhưng không là không gian chuẩn tắc.
GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 22 SVTH: Tạ Minh Thanh
Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô

Giải. Với mọi x,0) ∈ X
0
,(B((X,1),1) ∪{(x,))}) ∩X
0
= {(x,0)} nên X
0
không có điểm giới hạn. Từ đó mọi
tập con của X
0
đều đóng. Ta sẽ chứng minh X không chuẩn tắc. Thật vậy, nếu X chuẩn tắc thì với mọi A ⊂ X
0
tồn tại các tập mở rời nhau U
A
và V
A
sao cho A ⊂ U
A
và X
0
\ A ⊂ V
a
.
Gọi D là tập các điểm có tọa độ hữu tỉ của X
1
. Khi đó D trù mật trong X .
Đặt D
A
= D∩U
A
. Ta sẽ chứng minh với A = B là các tập con của X

0
thì D
A
= D
B
.
Thật vậy, ta có thể giả thiết a \B = /0. Ta có A \B ⊂ U
A
∩V
B
và hiển nhiên.
U
B
∩V
B
= /0 do đó U
A
= U
B
⇒ D
A
= D
B
⇒ D
A
= D
B
. Từ đó ánh xạ A → D
A
từ P(x

0
) vào P(D), suy ra
2
c
= card(P(x
0
) ≤ card(P(D)) = c là một điều mâu thuẫn.
Giờ ta chứng minh X hoàn toàn chính quy. Giả sử X ≡ (x,O) ∈ X
0
và là lân cận của x dạng B(a,r) ∪ {x},
tròg đó a = (x, r),r > 0.
Với mọi t ∈ B(a,r) gọi t là giao điểm thứ hai của đường thẳng di qua x,t với đường tròn tâm a, bán kính r.
Ta có hàm số f : X → [0,1],
f (t) =







0 nếu t ≡ x
1 nếu t ∈ X \(B(a,r) ∪{x})
d(x,t)
d(x,t
nếu t ∈ B(a,r)
✲
✻
❭
❭

❭
O x
y
t
t
.
. a
x ≡ (x, 0)
✫✪
✬✩
Nếu x ∈ X
1
và V là một lân cận của k dạng B(a, r),r > 0 thì ta có hàm: f : X → [0,1],
f (t) =



1 nếu t /∈ V
d(x,t)
r
nếu t ∈ V
Rõ ràng f là hàm liên tục có f (x) = 0 và f = 1 trên X \V (kí hiệu d(x,r) là khoảng cách Euclide trong R
2
).
Bài 13. Chứng minh không gian tích thỏa mãn tiên đề đếm thứ nhất nếu và chỉ nếu mỗi không gian tọa độ
thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất và tất cả, trừ ra một số đếm được, là không gian tầm thường.
Giải. Giả sử I
0
là tập con đếm được của I sao cho mọi α ∈ I
0

,X
α
thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất và mọi
α ∈ I \I
0
,X
2
là không gian tầm thường. Mọi x ∈
∏
α∈I
X
α
và α
0
∈ I
0
, ta cọi B
α
0
(x) là cơ sở lan cận đếm được của
∏
α
0
(x). Khi đó họ các giao hữu hạn {
n

i=1
∏
α
i

(V
i
)} với V
1
∈ β
α
1
(x), ,V
n
∈ β
α
n
(x),{α
1
, ,α
n
} ⊂ I
0
là một
cơ sở lân cận đếm được của x. Vậy
∏
α∈I
X
α
thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất.
Bây giờ giả sử
∏
α∈I
X
α

thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất, khi đó dễ thấy mọi X
α
thỏa mãn tiên đề đếm
được thứ nhất. Giả sử trái lại có tập con I
0
của I không đếm được mà mọi α ∈ I
0
,X
α
là không gian không tầm
GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 23 SVTH: Tạ Minh Thanh
Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô
thường. Với mỗi α ∈ I
0
chọn tập mở V
α
sao cho V
α
= /0,V
α
= X
α
và chọn x ∈
∏
α∈I
X
α
sao cho
∏
α

(x) ∈ V
α
với
mọi α ∈ I
0
. Gọi B
x
là cơ sở lân cận đếm được của x. Mọi U ∈ B
x
,
∏
α
(U) = X
α
chỉ nhiều lắm là hữu hạn α. Đặt
I
u
= {α ∈ I|
∏
α
(u) = X
α
} và I
1
=
∏
u∈β
x
I
u

ta có I
1
là tập đếm được, do đó tồn tại α
0
∈ I
0
\ I
1
. Vì
∏
α
0
(u) = X
α
0
với mọi U ∈ B
x
nên nếu V
α
0
là một lân cận của
∏
α
0
(x) khác X
α
0
thì lân cận
∏
−1

α
0
(V
α
0
) của x không chứa phần
tử nào của B
x
. Ta gặp mâu thuẫn.
Bài 14. Cho f ,g : X →Y là các ánh xạ liên tục vàY là không gian Hausdorff. Chứng minh {x ∈ X| f (x) = g(x)}
là tập con đóng của X.
Giải. Kí hiệu A = {x ∈ X| f (x) = g(x)} và x
0
/∈ A. Khi đó f (x
0
) = g(x
0
). Do Y là Hausdorff nên tồn tại các
lân cận U và V của f (x
0
) và g(x
0
) tương ứng sao cho U ∩V = /0. Đặt W = f
−1
(U) ∩ g
−1
(V) thì W là một lân
cận của x
0
. Mọi k ∈ W thì f (x) ∈ U và g(x) ∈ V nên f (x) = g(x), do đó W ⊂ X \ A. Vậy X \A mở và A đóng.

Bài toán này cũng có thể giải cách khác:
Giả sử x
α

α
D
là một lưới trong A, x
α
→ x
0
. Do f và g liên tục nên f (x
α
→ f (x
0
),g(x
α
) → g(x
0
).
Vì f (x
α
) = g(x
α
) với mọi α ∈ D và giới hạn của một lưới trong không gian Hausdorff là duy nhất nên
f (x
o
) = g(x
0
). Vậy x
0

∈ A và A đóng.
GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 24 SVTH: Tạ Minh Thanh
Tài liệu tham khảo
[1] Hoàng Xuân Sính - Đoàn Quỳnh, Tôpô là gì?, NXB Khoa học và kỹ thuật, Hà Nội, 1987.
[2] J.L. Kelley, Tôpô đại cương, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp, 1978.
[3] J. Dieudonné, Cơ sở giải tích hiện đại, NXB Đại học và trung học chuyên nghiệp, 1978.
[4] Nguyễn Xuân Liêm, Tôpô đai cương - Độ đo và tích phân, NXB Giáo Dục, 1994.
[5] Đỗ Đức Thái, Bài tập tôpô đại cương - Độ đo và tích phân, NXB Đại học sư phạm, 2002.
[6] Đậu Thế Cấp, Giải tích hàm, NXB Giáo Dục, 2003.
25

không gian mêtric - không gian tôpô

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về