Nguyên lí ánh xạ kkm và bài toán cân bằng vectơ trong không gian vectơ tôpô
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.58 MB, 68 trang )
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
---------------------------------
NGUYỄN THỊ HÕA
NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ KKM
VÀ BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ
TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN-2008
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
--------------------------------
NGUYỄN THỊ HÕA
NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ KKM
VÀ BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ
TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ
Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số : 60.46.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Lê Văn Chóng
THÁI NGUYÊN-2008
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
MỤC LỤC
Mở đầu ...................................................................................................1
Chương 1. NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ KKM
1.1. Bổ đề KKM ………………………………………………………..3
1.2. Nguyên lí ánh xạ KKM ……………………………………………7
1.3. Bất đẳng thức Ky Fan ……………………………………………10
Chương 2. BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ CHO HÀM ĐƠN TRỊ
2.1. Nón và quan hệ thứ tự theo nón ………………………………… 13
2.2. Bài toán cân bằng vô hướng …………………………………… 16
2.3. Bài toán cân bằng vectơ không có giả thiết đơn điệu ………….. 23
2.4. Bài toán cân bằng vectơ giả đơn điệu ………………………… 28
2.5. Bài toán cân bằng vectơ tựa đơn điệu …………………………… 34
2.6. Một số mở rộng ………………………………………………… 39
Chương 3. BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ CHO HÀM ĐA TRỊ
3.1.Bài toán cân bằng vectơ đa trị không có giả thiết đơn điệu …… 51
3.2. Bài toán cân bằng vectơ đa trị đơn điệu ………………………… 56
Kết luận …………………………………………………………… 63
Tài liệu tham khảo ……………………….......................................... 64
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
MỞ ĐẦU
Để đưa ra một chứng minh đơn giản hơn chứng minh ban đầu rất phức
tạp của Định lí điểm bất động Brouwer (1912), ba nhà toán học Balan là
Knaster, Kuratowski và Mazurkiewicz đã chứng minh một kết quả quan
trọng về giao khác rỗng của hữu hạn các tập đóng trong không gian hữu
hạn chiều (1929), kết quả này sau gọi là Bổ đề KKM. Năm 1961, Ky Fan
mở rộng bổ đề này ra không gian vô hạn chiều, kết quả này sau gọi là
Nguyên lí ánh xạ KKM. Năm 1972, dùng Nguyên lí ánh xạ KKM Ky Fan
chứng minh một bất đẳng thức quan trọng, sau gọi là Bất đẳng thức Ky
Fan.
Sau khi được công bố, Bất đẳng thức Ky Fan nhanh chóng thu hút sự
quan tâm của nhiều nghiên cứu trong lĩnh vực giải tích hàm phi tuyến.
Phương pháp tiếp cận xây dựng bất đẳng thức này từ Nguyên lí ánh xạ
KKM là ý tưởng khởi nguồn của nhiều nghiên cứu tiếp theo về sự tồn tại
nghiệm của bài toán cân bằng trong các không gian khác nhau (như không
gian vectơ tôpô, không gian
G
-lồi, không gian siêu lồi…). Trong không
gian vectơ tôpô , cách tiếp cận trên được nghiên cứu mở rộng ra bài toán
cân bằng vô hướng với các kết quả cơ bản như Brezis- Nirenberg-
Stampacchia [4](1972), Mosco [13](1976), Blum- Oettli [3](1993)…và mở
rộng ra bài toán cân bằng vectơ (đơn trị, đa trị) với các kết quả quan trọng
như Bianchi- Hadjisavvas- Schaible [2](1997), Oettli [3](1997), Tấn-Tĩnh
[16](1998), Fu [10](2000), Ansari- Konnov- Yao [1](2001), Tấn- Minh
[17](2006)…
Bài toán cân bằng vectơ đơn trị được xét trong luận văn là bài toán sau:
Tìm
xK
sao cho
( , ) 0f x y
với mọi
yK
,
trong đó
K
là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian vectơ tôpô
X
,
:f K K Y
,
Y
là một không gian vectơ tôpô với nón thứ tự
CY
nhọn,
lồi, đóng,
int C
.
Bài toán cân bằng vectơ đa trị được xét là các bài toán sau:
Tìm
xK
sao cho
( , ) intF x y C
với mọi
yC
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
Tìm
xK
sao cho
( , )F x y C
với mọi
yC
,
trong đó hàm đa trị
:2
Y
F K K
(các tập
,KC
và không gian
Y
như trên).
Mục đích của luận văn là trình bày một số kết quả nghiên cứu cơ bản về
sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ trong không gian vectơ tôpô
với cách tiếp cận dùng Nguyên lí ánh xạ KKM.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3
chương. Chương 1 trình bày một số điểm cơ bản về xuất xứ của Nguyên lí
ánh xạ KKM trong sự liên quan với một số thành tựu quan trọng của giải
tích hàm phi tuyến (Định lí điểm bất động Brouwer, Bổ đề KKM, Bất đẳng
thức Ky Fan). Chương 2 trình bày một số kết quả cơ bản về sự tồn tại
nghiệm của bài toán cân bằng vectơ đơn trị ở hai hướng nghiên cứu: sử
dụng và không sử dụng giả thiết đơn điệu. Trước khi trình bày các kết quả
này, chúng tôi đưa ra một số kết quả đặc thù ở bài toán cân bằng vô hướng
để dễ thấy phần chính là kết quả và phương pháp ở bài toán cân bằng vectơ
được mở rộng thế nào từ bài toán vô hướng. Một số kiến thức chuẩn bị về
nón và quan hệ thứ tự theo nón cần cho nghiên cứu bài toán vectơ cũng
được đưa vào chương này. Chương 3 đề cập đến một số kết quả nghiên
cứu về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ đa trị có giả thiết đơn
điệu và không có giả thiết đơn điệu.
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái
Nguyên. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Lê
Văn Chóng- Viện toán học Việt Nam, người thầy đã tận tình hướng dẫn,
giúp đỡ và nghiêm khắc trong khoa học. Xin trân trọng cảm ơn các thầy,
cô giáo thuộc Viện toán học và các thầy, cô giáo của trường Đại học Sư
phạm Thái Nguyên đã trực tiếp giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi
trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu . Xin được cảm ơn cơ quan, gia
đình và bạn bè đã động viên rất nhiều giúp tôi hoàn thành luận văn này.
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2008
Nguyễn Thị Hòa
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
Chương 1
NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ KKM
Như ta biết, Bổ đề KKM (1929) trong không gian hữu hạn chiều của ba
nhà toán học Balan thiết lập được một chứng minh đơn giản hơn chứng
minh ban đầu rất phức tạp của Định lí điểm bất động Brouwer (1912) và
sau đó bổ đề này được mở rộng ra không gian vô hạn chiều thành Nguyên
lí ánh xạ KKM (1961). Bất đẳng thức Ky Fan (1972) được chứng minh
bằng cách sử dụng nguyên lí này.
Ở chương này chúng tôi đề cập tới một số điểm cơ bản của Nguyên lí
ánh xạ KKM trong liên quan với các thành tựu trên của giải tích hàm phi
tuyến (Định lí Brouwer, Bổ đề KKM, Bất đẳng thức Ky Fan).
1.1. BỔ ĐỀ KKM
Trước hết ta nhắc đến một số khái niệm sau:
Cho
X
là một không gian vectơ, tập hợp
S
trong
X
được gọi là một n-
đơn hình nếu
01
, ,...,
n
S co u u u
với
01
, ,...,
n
u u u X
và các vectơ
1 0 0
,...,
n
u u u u
là độc lập tuyến tính (ở đây
()co A
kí hiệu bao lồi của
tập
A
). Các điểm
i
u
được gọi là các đỉnh. Bao lồi của
( 1)k
đỉnh được
gọi là
k
-diện của
S
. Mỗi
xS
được biểu diễn duy nhất dưới dạng:
0
,
n
ii
i
x x u
với
0
0, 1
n
ii
i
xx
.
Ta viết
01
( , ,..., )
n
x x x x
và gọi các
, ( 0,1,..., )
i
x i n
là các tọa độ trọng
tâm của
x
, chúng cũng biến đổi liên tục theo
x
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
Dùng Bổ đề Sperner về phép gán số trong phép tam giác phân một đơn
hình do Sperner đưa ra từ 1928, Knaster, Kuratowski và Mazurkiewicz đã
chứng minh bổ đề quan trọng sau trong không gian
n
R
.
Bổ đề KKM (Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz[11], 1929)
Cho một n-đơn hình
01
, ,...,
n
S co u u u
trong
n
R
và các tập hợp
đóng
01
, ,...,
n
F F F
trong
S
thỏa mãn điều kiện: với mọi tập hợp con
0,1,...,In
ta có
:
ii
iI
co u i I F
. (KKM)
Khi đó
0
n
i
i
F
.
Chứng minh đầy đủ của Bổ đề KKM bằng cách dùng Bổ đề Sperner
được giới thiệu trong Tân-Hà [18], do khuôn khổ của luận văn chúng tôi
không nêu ra ở đây.
Định lí điểm bất động Brouwer (Brouwer [5], 1912)
Mọi ánh xạ liên tục từ hình cầu đơn vị đóng trong
n
R
vào chính nó đều
có điểm bất động.
Để chứng minh định lí này bằng cách dùng Bổ đề KKM ta sử dụng kết
quả sau.
Mệnh đề 1.1
Giả sử
M
là một tập hợp trong không gian tôpô có tính chất: mọi ánh
xạ liên tục
:T M M
đều có điểm bất động. Khi ấy nếu
M
đồng phôi
với
M
thì
M
cũng có tính chất đó.
Chứng minh
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
Cho
là phép đồng phôi từ
M
lên
M
và
:T M M
là ánh xạ liên
tục. Ta cần chứng minh
T
cũng có điểm bất động.
Thật vậy, đặt
1
TT
ta được
:T M M
là ánh xạ liên tục, nên
theo giả thiết tồn tại
0
xM
với
00
Tx x
. Khi đó
0
()x
là điểm bất động
của
T
.
Chứng minh Định lí điểm bất động Brouwer
Cho đơn hình
S
, vì hình cầu đơn vị đóng trong
n
R
đồng phôi với một
n- đơn hình
S
nên ta chỉ cần chứng minh ánh xạ liên tục
:T S S
có
điểm bất động trong
S
.
Với mỗi
xS
ta có
01
( , ,..., ),
n
x x x x
các
i
x
với
0,1,...,in
là các tọa
độ trọng tâm của
x
và
01
( , ,..., )
n
y Tx y y y
. Ta đặt
: , 1,...,
i i i
F x S x y i n
.
Do
T
liên tục nên các
i
F
đều đóng. Ta sẽ chứng minh các
i
F
thỏa mãn
điều kiện (KKM) sau
:
ii
iI
co u i I F
,
trong đó
I
là một tập con bất kỳ của tập
0,1,..., n
.
Lấy
:
i
x co u i I
ta có
01
( , ,..., )
n
x x x x
với
0
i
x
nếu
iI
,
0
i
x
nếu
iI
và
01
( , ,..., )
n
y y y y
với
0
0, 1
n
ii
i
yy
. Để chỉ ra
i
iI
xF
ta cần chỉ ra tồn tại
0
iI
để
0
i
xF
, tức là
00
ii
xy
. Giả sử ngược lại
rằng
ii
xy
với mọi
iI
. Khi đó ta gặp mâu thuẫn:
00
11
nn
i i i i
i i I i I i
x x y y
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
Vậy điều kiện KKM được thỏa mãn. Do đó theo bổ đề KKM tồn tại
0
n
i
i
xF
. Khi đó ta có
ii
xy
với
0,1,...,in
, trong đó
i
y
là tọa độ trọng
tâm của
y Tx
. Vì
00
1
nn
ii
ii
xy
nên các bất đẳng thức trên phải là
đẳng thức. Vậy ta có
, 0,...,
ii
x y i n
hay
x y Tx
và định
lí được chứng minh.
Định lí điểm bất động Brouwer vẫn đúng nếu ta thay hình cầu đơn vị
đóng trong
n
R
bởi một tập lồi đóng bị chặn trong không gian tuyến tính
hữu hạn chiều (điều kiện hữu hạn chiều là bắt buộc). Dùng định lí này ta
cũng nhận được Bổ đề KKM như chứng minh dưới đây.
Chứng minh Bổ đề KKM
Giả sử
01
, ,...,
n
S u u u
là một đơn hình và
01
, ,...,
n
F F F
là các tập đóng
trong
S
thỏa mãn điều kiện (KKM) nhưng
0
n
i
i
F
. Khi đó với mỗi
xS
và mỗi
0,...,in
ta đặt
( ) ( , )
ii
x d x F
là khoảng cách từ
x
đến
i
F
.
Vì
0
n
i
i
F
nên với mỗi
xS
tồn tại
i
sao cho
i
xF
, tức là
( ) 0
i
x
do
i
F
đóng . Vậy ta có thể định nghĩa hàm
0
()
( ) , , 0,1,..., .
()
i
i
n
j
j
x
x x S i n
x
Các hàm
i
có tính chất: liên tục,
0
0 ( ) 1, ( ) 1
n
ii
i
xx
với mọi
xS
. Với mỗi
xS
ta đặt
0
()
n
ii
i
Tx x u
. Do
S
lồi nên ta có
Tx S
, ngoài ra
T
liên tục vì
i
liên tục. Theo Định lí điểm bất
động Brouwer, tồn tại
xS
mà
x Tx
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Đặt
: ( ) 0
i
I i x
. Khi đó ta có
0
( ) ( )
n
i i i i
i i I
Tx x u x u
.
Nhưng vì
( ) 0
i
x
khi và chỉ khi
i
xF
với mọi
iI
, nên
i
iI
xF
.
Điều này mâu thuẫn với
x Tx
( ) :
i i i i
iI
iI
x u co u i I F
,
(do điều kiện KKM). Vậy Bổ đề KKM được chứng minh.
Nhận xét 1.1
Theo các chứng minh trên thì từ Bổ đề KKM ta nhận được Định lí
Brouwer và ngược lại, như vậy Bổ đề KKM tương đương với Định lí
Brouwer.
1.2. NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ KKM
Nguyên lí ánh xạ KKM là một mở rộng của Bổ đề KKM ra không gian
vô hạn chiều và là trung tâm của Lý thuyết KKM, một bộ phận cơ bản và
sâu sắc của giải tích phi tuyến.
Trước khi phát biểu và chứng minh Nguyên lí ánh xạ KKM, chúng ta
định nghĩa ánh xạ KKM.
Cho
C
là một tập hợp trong không gian vectơ tôpô
X
, ánh xạ (đa trị)
F
từ
C
vào
2
X
được gọi là ánh xạ KKM nếu với mọi tập hợp hữu hạn
12
, ,...,
n
x x x
trong
C
ta có :
12
1
, ,..., ( )
n
ni
i
co x x x F x
.
Nguyên lí ánh xạ KKM (Ky Fan [8], 1961)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
Cho
C
là một tập hợp trong không gian vectơ tôpô Hausdorff
X
,
:2
X
FC
là một ánh xạ KKM với giá trị đóng. Khi đó với mọi tập hữu
hạn
A
nằm trong
C
ta có:
()
xA
Fx
.
Chứng minh
Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tồn tại một tập hợp hữu hạn
12
, ,...,
n
x x x
trong
C
thỏa mãn
1
()
n
i
i
Fx
. Gọi
L
là không
gian con tuyến tính của
X
sinh bởi
12
, ,...,
n
x x x
và
d
là một
khoảng cách trên
L
tương thích với tôpô cảm sinh từ
X
. Ký hiệu
1
{ ,..., }
n
co x x
. Đặt
( ) ( ) , 1,...,
ii
G x F x L i n
.
Với mỗi
x
, đặt
( ) ( , ( ))
ii
x d x G x
. Vì
1
()
n
i
i
Fx
nên
1
()
n
i
i
Gx
.
Do đó với mỗi
x
, tồn tại một
i
sao cho
()
i
x G x
, suy ra
( ) 0
i
x
do
()
i
Gx
đóng. Vậy ta có thể đặt
1
()
( ) ,
()
i
i
n
j
j
x
xx
x
.
Các hàm
i
đều liên tục và
1
0 ( ) 1, ( ) 1
n
ii
i
xx
với mọi
x
.
Đặt
1
()
n
ii
i
Tx x u
, do
lồi ta được ánh xạ liên tục
:TL
với
L
hữu hạn chiều. Theo Định lí Brouwer, tồn tại
x
mà
x Tx
.
Đặt
: ( ) 0
i
I i x
, ta được
( ) { : }
i i i i
iI
iI
x Tx x u co u i I F
,
vì
F
là ánh xạ KKM.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
Mặt khác, vì với mọi
iI
ta có
( ) 0
i
x
nên
()
i
x G x
. Vì
xL
nên
()
i
x F x
với mọi
iI
, tức là
()
i
iI
x F x
, ta gặp mâu thuẫn.
Vậy Nguyên lí được chứng minh.
Nhận xét 1.2
Nếu trong Nguyên lí ánh xạ KKM, ánh xạ
F
có một giá trị compắc,
chẳng hạn
0
()Fx
, khi ấy họ tập đóng
0
( ) ( ) :F x F x x C
thuộc tập
compắc
0
()Fx
và có tính chất giao hữu hạn. Vì vậy họ này có giao khác
rỗng. Kết quả này trong tài liệu gọi là Bổ đề Ky Fan dưới đây.
Bổ đề Ky Fan ([8], 1961)
Cho
C
là một tập hợp khác rỗng trong không gian vectơ tôpô Hausdorff
X
và ánh xạ đa trị
:2
X
FC
thỏa mãn :
1)Với mỗi
xC
thì
()Fx
là tập đóng, khác rỗng trong
X
;
2)
F
là ánh xạ KKM;
3)Tồn tại
0
xC
sao cho
0
()Fx
compắc.
Khi ấy ta có:
()
xC
Fx
.
Ở đây cần lưu ý là, trong ứng dụng, Nguyên lí ánh xạ KKM được dùng
chủ yếu ở dạng Bổ đề Ky Fan. Ngoài ra cần lưu ý thêm là không gian
X
trong Nguyên lí ánh xạ KKM của Ky Fan được giả thiết là Hausdorff và
trong các nghiên cứu sử dụng Nguyên lí ánh xạ KKM cho đến gần đây
phần lớn đều dùng Nguyên lí này với giả thiết
X
là Hausdorff. Tuy nhiên
điều kiện Hausdorff là không cần thiết và đã được Ding- Tân [7] chỉ ra từ
1992.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
Nhận xét 1.3
Chúng ta đã chứng minh Nguyên lí ánh xạ KKM từ Định lí điểm bất
động Brouwer. Mặt khác từ Nguyên lí ánh xạ KKM suy ra Bổ đề KKM
(với
0
, ,..., , ( ) , 0,1,...,
n
n i i
X R C u u F u F i n
), còn Bổ đề KKM thì
suy ra Định lí Brouwer. Vậy từ Nguyên lí ánh xạ KKM ta cũng nhận được
Định lí điểm bất động Brouwer, nghĩa là Nguyên lí ánh xạ KKM tương
đương với Định lí Brouwer.
1.3. BẤT ĐẲNG THỨC KY FAN
Bất đẳng thức Ky Fan được chứng minh từ Nguyên lí ánh xạ KKM. Bất
đẳng thức này cùng với cách chứng minh của nó có nhiều ứng dụng, nhất
là trong nghiên cứu tồn tại nghiệm bài toán cân bằng.
Bất đẳng thức Ky Fan (Ky Fan [9], 1972)
Cho
C
là một tập hợp lồi, compắc trong không gian vectơ tôpô
Hausdorff
X
và
:f C C R
là một hàm số thỏa mãn các điều kiện
sau:
1)
( , )f x y
tựa lõm theo
x
với mỗi
y
cố định;
2)
( , )f x y
nửa liên tục dưới theo
y
với mỗi
x
cố định;
3)
( , ) 0f x x
với mọi
xC
.
Khi đó tồn tại
yC
sao cho
( , ) 0f x y
với mọi
xC
.
Chứng minh
Kết luận của Bất đẳng thức Ky Fan được suy ra từ Nguyên lí ánh xạ
KKM như sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Với mỗi
xC
đặt
( ) : ( , ) 0F x y C f x y
. Vì hàm
f
nửa liên tục
dưới theo
y
nên
()Fx
là tập đóng.
Ta kiểm tra điều kiện KKM bằng phản chứng.
Giả sử tồn tại
1
,...,
n
x x C
và
1
,...,
n
x co x x
mà
1
()
n
i
i
x F x
. Khi đó:
11
, 0, 1
nn
i i i i
ii
xx
.
Vì
1
()
n
i
i
x F x
, nên theo định nghĩa của tập hợp
()
i
Fx
ta có:
1
( , ) ( , ) 0, 1,...,
n
i i i i
i
f x x f x x i n
.
Do
( , )f x y
tựa lõm theo biến thứ nhất nên tập hợp
: ( , ) 0z C f z x
là
lồi. Tập hợp này chứa mọi
i
x
nên cũng chứa
1
n
ii
i
xx
, vậy ta có:
11
( , ) ( , ) 0
nn
i i i i
ii
f x x f x x
,
điều này trái với điều kiện 3). Vậy nên
F
là ánh xạ KKM.
Vì
C
compắc nên ta có:
()
xC
Fx
(theo Nguyên lí ánh xạ KKM).
Lấy
()
xC
y F x
ta được
( , ) 0f x y
với mọi
xC
. Định lí được
chứng minh.
Dùng Bất đẳng thức Ky Fan ta chứng minh được kết quả sau là một mở
rộng của Định lí Brouwer .
Mệnh đề 1.2
Mọi ánh xạ liên tục từ một tập hợp lồi, compắc trong một không gian
Hilbert vào chính nó đều có điểm bất động.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
Thật vậy, cho
C
là một tập lồi, compắc trong không gian Hilbert với
tích vô hướng
, , :x y T C C
là một ánh xạ liên tục, với mỗi cặp
,x y C
ta đặt
( , ) ,f x y Ty y x y
.
Với mỗi
y
cố định,
f
là hàm affin theo biến
x
, nên cũng lõm. Với mỗi
x
cố định ,
f
là hàm liên tục theo biến
y
(do
T
liên tục), vậy cũng nửa
liên tục dưới. Hiển nhiên
( , ) 0f x x
với mọi
xC
. Do đó theo Bất đẳng
thức Ky Fan tồn tại
yC
sao cho:
( , ) 0,f x y x C
,
tức là
, 0,Ty y x y x C
.
Đặc biệt nếu
x Ty
ta có
2
0Ty y
do đó
y Ty
. Mệnh đề được
chứng minh.
Nhận xét 1.4
Theo chứng minh trên và các nhận xét 1.1, 1.3 thì Bổ đề KKM, Định lí
điểm bất động Brouwer, Nguyên lí ánh xạ KKM và Bất đẳng thức Ky Fan
là tương đương với nhau.
Chương 2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ CHO HÀM ĐƠN TRỊ
Sau khi được công bố (1972), Bất đẳng thức Ky Fan nhanh chóng thu
hút sự quan tâm của nhiều nghiên cứu trong lĩnh vực giải tích phi tuyến.
Brezis- Nirenberg- Stampacchia [4](1972) chứng minh một kết quả quan
trọng kết nối Bất đẳng thức Ky Fan và bất đẳng thức biến phân đơn điệu cổ
điển. Mosco [13](1976) đưa ra kết quả mở rộng Bất đẳng thức Ky Fan ra
tập không compắc và kết quả mở rộng bất đẳng thức biến phân đơn điệu cổ
điển…Đây là các kết quả khởi đầu cơ bản về tồn tại nghiệm bài toán cân
bằng vô hướng được xây dựng từ Nguyên lí ánh xạ KKM. Cách tiếp cận
dùng Nguyên lí ánh xạ KKM để thiết lập điều kiện tồn tại nghiệm cho bài
toán cân bằng được nhiều nghiên cứu mở rộng hiệu quả cho trường hợp
bài toán cân bằng vectơ cho hàm đơn trị như Ansari- Konnov- Yao [1]
(2001), Bianchi- Hadjisavvas- Schaible [2](1997), Tan- Tinh [16](1998)…
Chương này trình bày một số kết quả cơ bản về sự tồn tại nghiệm của
bài toán cân bằng vectơ cho hàm đơn trị theo cách tiếp cận nêu trên. Trước
đó chúng tôi trình bày ngắn gọn một số kết quả tiêu biểu cho cách tiếp cận
này ở bài toán vô hướng để dễ thấy sự mở rộng cách tiếp cận này ở bài
toán vectơ. Để tiện cho việc trình bày bài toán vectơ, trước hết chúng tôi
đưa vào một số kiến thức chuẩn bị. Các kết quả nghiên cứu được trình bày
trong chương này chủ yếu được tập hợp từ các bài báo [1, 2, 13, 16].
2.1. NÓN VÀ QUAN HỆ THỨ TỰ THEO NÓN
Cho
C
là một tập con trong không gian vectơ tôpô
Y
. Tập
C
được gọi
là một nón nếu
tc C
với mỗi
cC
và
0t
. Như vậy theo định nghĩa,
nón luôn có đỉnh tại gốc
0 Y
. Nón
C
được gọi là lồi (đóng) nếu
C
là tập
lồi (đóng, tương ứng).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
Kí hiệu
()lC
là tập
CC
. Đặc biệt nếu
C
là lồi thì
()l C C C
là
không gian tuyến tính nhỏ nhất trong
C
và được gọi là phần trong tuyến
tính của nón
C
.
Nón lồi
C
trong
Y
được gọi là nhọn nếu
( ) 0lC
.
Rõ ràng tập
0
và cả không gian
Y
đều là nón, hơn nữa còn lồi, đóng,
ta gọi các nón này là nón tầm thường.
Trong không gian tuyến tính tôpô ta kí hiệu
( ), int( ), ( )cl C C co C
lần
lượt là bao đóng, phần trong, bao lồi của nón
C
.
Ví dụ
1) Nón orthant dương:
Cho
1
( ,..., ) : , 1,...,
n
nj
Y R x x x x R j n
. Khi đó
1
( ,..., ) : , 0, 1,...,
n
n j j
C R x x x x R x j n
là một nón lồi, đóng, nhọn.
2) Nếu tập
11
( ,..., ) : 0, , 2,...,
nj
C x x x x x R j n
thì
C
là nón
lồi, đóng, nhưng không nhọn vì ta dễ dàng thấy:
2
( ) (0, ,..., ) 0 .
n
n
l C x x x R
Tập
11
( ,..., ) : , 0, 2,...,
n
ni
x x R x R x i n
cũng là một nón lồi, đóng,
nhưng không nhọn.
3) Tập chứa
0 Y
và các vectơ
1
( ,..., )
n
x x x
với cùng một tọa độ
dương, chẳng hạn
1
0x
là một nón nhọn, lồi, nhưng không đóng. Tập
33
1 2 3 1 2 3 1 2 3
( , , ) : 0, 1, 2, 3 , , : 0, 0
i
C x x x R x i x x x R x x x
cũng là một nón nhọn, lồi, nhưng không đóng.
Ta nói nón
C
được gọi là thỏa mãn điều kiện (
) nếu tồn tại nón lồi,
đóng nhọn
C
với phần trong khác rỗng sao cho:
\ 0 intCC
.
Nón
C
được gọi là sinh bởi tập
BY
, ký hiệu
()C cone B
nếu:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
: , 0C tb b B t
.
Nếu ngoài ra
B
không chứa điểm gốc 0 và với mỗi
,0c C c
đều tồn
tại duy nhất
,0b B t
sao cho
c tb
khi ấy
B
được gọi là cơ sở của
nón
C
.
Người ta chứng minh được rằng nếu nón
C
có cơ sở lồi, compắc thì nó
thỏa mãn điều kiện (
) ([16]). Từ kết quả này và theo định nghĩa ta có các
ví dụ sau về nón thỏa mãn điều kiện (
).
Ví dụ
1) Cho
B
là một tập khác rỗng thuộc phần trong của hình cầu
,
n
BR
0 B
,
( ), ( )C cone B C cone B
. Khi ấy theo định nghĩa
C
là nón thỏa
mãn điều kiện (
) vì
\ 0 int .CC
2) Cho
B
là một tập con lồi compắc trong
,0
n
RB
. Khi ấy nón
()C cone B
có cơ sở
B
lồi compắc nên thỏa mãn điều kiện (
).
Ta nhắc lại khái niệm Quan hệ thứ tự sinh bởi nón:
Cho
C
là một nón nhọn, lồi, đóng trong không gian vectơ tôpô
Y
. Khi
ấy
C
xác định một quan hệ thứ tự trong
Y
: với
,x y C
ta viết
xy
khi và chỉ khi
y x C
.
x y
khi và chỉ khi
y x C
.
Trong trường hợp
int C
, với
,x y C
ta viết
xy
khi và chỉ khi
inty x C
.
xy
khi và chỉ khi
inty x C
.
Định nghĩa hoàn toàn tương tự cho các quan hệ thứ tự
,,,
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
Ví dụ
1) Cho
YR
, nón thứ tự
n
CR
(nhọn, lồi, đóng).
Với
1
,...,
n
x x x
,
1
,...,
n
n
y y y R
ta có
, 1,..., .
ii
x y x y i n
, 1,...,
ii
x y x y i n
.
x
ii
y x y
với ít nhất một
1,..., .in
ii
x y x y
với ít nhất một
1,..., .in
2)
22
1 2 1 2
, ( , ) : .Y R C x x R x x
Với
2
1 2 1 2
( , ), ( , )x x x y y y R
ta có
1 1 2 2
0.x y y x y x
x
2
\.y y x R C
1 1 2 2
2
0.
\ int .
x y y x y x
x y y x R C
Lưu ý là khi
, 0;Y R C
thì với
,x y R
:
.
.
x y y x
x y y x
2.2. BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÔ HƯỚNG
Hai hướng cơ bản trong các nghiên cứu về tồn tại nghiệm của bài toán
cân bằng vô hướng là các nghiên cứu có giả thiết đơn điệu và các nghiên
cứu không có giả thiết đơn điệu của hàm trong bất đẳng thức. Hướng thứ
hai chính là các nghiên cứu mở rộng Bất đẳng thức Ky Fan (xét ở Chương
1) ra tập không compắc mà dưới đây là một kết quả cơ bản.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
Định lí 2.1 (Mosco[13], 1976)
Cho
C
là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian vectơ tôpô
Hausdorff
X
, hàm
:g C C R
với
( , ) 0 .g x x x C
Giả sử các điều
kiện sau thỏa mãn:
1)
( ,.)gx
là lõm với mỗi
xC
;
2)
(., )gy
là nửa liên tục dưới với mỗi
yC
;
3)Điều kiện bức:Tồn tại một tập compắc
BX
và một vectơ
0
y B C
sao cho
0
( , ) 0 \ .g x y x C B
Khi đó tập nghiệm của bài toán cân bằng vô hướng
: ( , ) 0x C g x y y C
(2.1)
là tập compắc, khác rỗng.
Chứng minh:
Đặt
( ) : ( , ) 0 ,G y x C g x y y C
.
Ta có
()Gy
là đóng với mỗi
yC
(do Điều kiện 2)), do đó
0
()Gy
là
tập đóng trong tập compắc
B
nên cũng compắc (Điều kiện 3)). Hơn nữa
:2
C
GC
là ánh xạ KKM.
Thật vậy, giả sử trái lại, nghĩa là có tập hữu hạn
1
,...,
n
y y C
mà
1
1
,..., ( )
n
ni
i
co y y G y
, khi ấy có một
1
n
ii
i
yy
với
0,
i
1
1
n
i
i
và
1,...,
i
y G y i n
, nghĩa là
( , ) 0 1,..., .
i
g y y i n
Do đó
1
( , ) 0.
n
ii
i
g y y
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
Do
( ,.)gy
lõm nên:
11
( , ) , ( , ) 0
nn
i i i i
ii
g y y g y y g y y
, điều này
mâu thuẫn với giả thiết
( , ) 0g y y y C
. Vậy
G
là ánh xạ KKM.
Theo Bổ đề Ky Fan thì
()
yC
Gy
nghĩa là bài toán cân bằng (2.1)
có nghiệm. Do tập nghiệm của (2.1) là đóng (do 2)) và thuộc tập compắc
B
(do 3)) nên compắc. Định lí được chứng minh.
Nhận xét 2.1
Nếu
C
là tập lồi compắc thì Định lí 2.1 chính là Bất đẳng thức Ky Fan.
Dùng chứng minh của Định lí 2.1 kết hợp với chứng minh của Bất đẳng
thức Ky Fan, ta cũng chứng minh được Định lí 2.1 trong trường hợp tính
lõm của hàm
g
được thay bằng tính tựa lõm.
Để đưa ra kết quả trong trường hợp có giả thiết đơn điệu ta cần các khái
niệm sau trong [13].
Cho
C
là một tập lồi trong không gian vectơ tôpô. Hàm
:g C C R
gọi
là hemi-liên tục nếu với
,x y C
, hàm
( ( ), )f x t y x y
là liên tục theo
[0,1]t
tại
0t
.
Hàm
g
gọi là đơn điệu nếu
( , ) ( , ) 0 ,g x y g y x x y C
.
Hàm
g
gọi là đơn điệu chặt nếu
( , ) ( , ) 0 , ,g x y g y x x y C x y
.
Ở một số tài liệu, chẳng hạn Blum-Oettli [3], hàm
g
được gọi là đơn
điệu nếu
g
là đơn điệu theo nghĩa trên. Ở mục này tính đơn điệu của hàm
hai biến
g
được hiểu theo nghĩa trên.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
Về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vô hướng, dưới đây là một
kết quả cơ bản ở hướng nghiên cứu dùng giả thiết đơn điệu.
Định lí 2.2 (Mosco [13], 1976)
Cho
C
là tập lồi, đóng trong không gian vectơ tôpô Hausdorff
X
và
hàm
:g C C R
với
( , ) 0g x x x C
sao cho các điều kiện sau thỏa
mãn:
1)
g
là hàm hemi-liên tục và đơn điệu;
2) Với mỗi
xC
, hàm
( ,.)gx
là lõm và nửa liên tục trên;
3) Điều kiện bức: Tồn tại tập compắc
BC
và
0
yB
sao cho
0
( , ) 0, \ .g x y x C B
Khi ấy tập nghiệm của bài toán cân bằng
: ( , ) 0,x C g x y y C
(2.2)
là tập con khác rỗng, lồi và compắc trong
B
.
Định lí trên chính là Định lí 3.1 trong [13] với
0
(Cho
0
để
tránh các phức tạp không cần thiết trong trình bày và tiện sử dụng ở các
phần sau). Định lí 2.2 được chứng minh bằng cách dùng Bổ đề Ky Fan và
Bổ đề dưới đây (mở rộng một kết quả của Minty [12] về toán tử đơn điệu).
Với mỗi
yC
đặt
( ) : ( , ) 0G y x C g x y
;
( ) : ( , ) 0H y x C g y x
và ký hiệu
()Fy
là bao đóng của
( ).Gy
Bổ đề 2.1
Cho tập
C
, hàm
g
như ở Định lí 2.2 và thỏa mãn điều kiện 1),2) của
định lí này. Cho các tập
( ), ( ), ( )G y F y H y
như ở trên. Khi ấy
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
23
( ) ( ) ( ).
y C y C y C
G y F y H y
Chứng minh
Do
( ) ( )G y F y y C
nên chỉ cần chứng minh
( ) ( ) ( )
y C y C y C
F y H y G y
.
Thật vậy, lấy
()x G y
ta có:
( , ) 0g x y
. Do
g
là đơn điệu nên
( , ) 0 ( , ) ( , ).g x y g x y g y x
Suy ra
( , ) 0g y x
, nghĩa là
()x H y
nên
( ) ( ).G y H y
Ta có với mỗi
, ( )y C H y
là lồi và đóng do
( ,.)gy
là lõm và nửa liên
tục trên. Do
()Fy
là bao đóng của
()Gy
nên
( ) ( ).F y H y
Vậy suy ra
( ) ( ).
y C y C
F y H y
Ta chứng minh:
( ) ( )
y C y C
H y G y
nghĩa là chứng tỏ
( , ) 0g y x y C
, (2.3)
kéo theo
( , ) 0g x y y C
. (2.4)
Giả sử (2.4) không đúng, tức là tồn tại
xC
thỏa mãn (2.3) và một
yC
để cho
( , ) 0g x y
. (2.5)
Xét véc tơ
(1 ) , [0,1]
t
x ty t x t
. Theo điều kiện 1) của Định lí 2.2,
hàm
( , )
t
g x y
của biến thực
0,1t
là liên tục khi
0t
. Do đó với
0t
(đủ nhỏ), từ (2.5) suy ra
( , ) 0, (0, )
t
g x y t t
. (2.6)
Lấy
t
yx
, từ (2.3) suy ra
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
24
( , ) 0, 0,1
t
g x x t
. (2.7)
Do tính lõm của
( ,.)gx
nên từ (2.6) và (2.7) suy ra
( , ) 0 (0, )
tt
g x x t t
,
điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy (2.4) đúng. Do đó
( ) ( )
y C y C
H y G y
.
Bổ đề được chứng minh.
Chứng minh Định lí 2.2
Theo Bổ đề 2.1 và do
()Hy
là lồi, đóng với mỗi
yC
ta có tập
nghiệm của bài toán là lồi và đóng. Tập nghiệm này là compắc vì nó là tập
con đóng của tập compắc
B
( theo điều kiện bức 3)).
Ta chứng minh tập nghiệm này khác rỗng bằng cách sử dụng Bổ đề Ky
Fan với ánh xạ
:2
X
FC
.
Thật vậy, với mỗi
yC
ta có
()Fy
là tập đóng và
0
()Fy
là bao đóng
của tập
0
()Gy
thuộc tập compắc
BC
nên
0
()Fy
cũng compắc.
Cho
1
,...,
n
yy
là một tập hữu hạn trong
C
. Ta chỉ cần chỉ ra
1
1
,..., ( )
n
ni
i
co y y F y
.
Do
()Fy
là bao đóng của
()Gy
nên chỉ cần chỉ ra
1
1
,..., ( )
n
ni
i
co y y G y
.
Giả sử ngược lại có một
1
1
,..., \ ( )
n
ni
i
y co y y G y
. Khi ấy có
0,
i
11
1,..., , 1, , ( , ) 0 1,...,
nn
i i i i
ii
i n y y g y y i n
. Do đó, vì
( ,.)gy
là hàm lõm ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
25
11
( , ) , ( , ) 0
nn
i i i i
ii
g y y g y y g y y
,
điều này mâu thuẫn với giả thiết
( , ) 0g y y
. Vậy
1
1
,..., ( )
n
ni
i
co y y F y
.
Theo Bổ đề Ky Fan ta có
()
yC
Fy
và do đó theo Bổ đề 2.1,
()
yC
Gy
.
Định lí được chứng minh.
Về sự duy nhất nghiệm của Bài toán (2.2) ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề
Nếu
C
là tập lồi và
g
là hàm đơn điệu chặt thì nghiệm của Bài toán cân
bằng (2.2) là duy nhất.
Chứng minh
Giả sử
12
,xx
là nghiệm phân biệt của Bài toán (2.2), nghĩa là
,
i
xC
1, 2i
và
( , ) 0
i
g x y y C
.
Thay
12
2
xx
y
vào hai bất đẳng thức ở trên, do tính chất lõm của
hàm
( ,.)gx
nên khi cộng hai bất đẳng thức đó với nhau ta được
1 1 1 2 2 1 2 2
1
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0
2
g x x g x x g x x g x x
.
Vì
1 1 2 2
( , ) ( , ) 0g x x g x x
nên:
1 2 2 1
1
( , ) ( , ) 0
2
g x x g x x
,
do đó
1 2 2 1
( , ) ( , ) 0g x x g x x
,
điều này mâu thuẫn với tính đơn điệu chặt của
g
.
