tìm hiểu hệ hình thức lagrange và áp dụng giải toán cơ học

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
TÌM HIỂU HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ
TÌM HIỂU HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ
ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC
ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC
GVHD: Ths. Trần Ngọc Bích
SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại
Lớp: ĐHSP Toán – Lý K50
Đồng Hới, tháng 5 năm 2011
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Khoa học ngày càng phát triển đưa con người tới
một tầm cao mới. Trong những bước tiến của công
nghệ, vật lý học nói chung và cơ học nói riêng càng thể
hiện rõ vai trò là những kiến thức nền tảng. Việc nghiên
cứu tìm hiểu quy luật chuyển động của các vật thể và
tìm phương trình biểu diễn chuyển động ấy vốn là vấn
đề được các nhà vật lý đặc biệt quan tâm.
Cơ học Newton với cơ sở là các định luật Newton
mô tả chuyển động của các vật thể bằng phương trình
liên hệ giữa ba đại lượng lực, khối lượng và gia tốc.
Cũng là một phạm vi kiến thức của Cơ học cổ điển – Cơ
học Newton,
2
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại
HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh
Đào Văn Thoại
3

Cơ học lý thuyết giải quyết bài toán mô tả chuyển động
bằng các hình thức khác. Một trong số đó là hệ hình thức
Lagrange với công cụ cơ bản là nguyên lý biến phân
Hamilton. Nguyên lý này cùng với các nguyên lý vật lý
đã cho phép xây dựng một hệ thống khái niệm đầy đủ để
xác định trạng thái của cơ hệ, đồng thời xác định được sự
biến đổi trạng thái theo thời gian. Nói cách khác, hệ hình
thức này thiết lập được phương trình chuyển động của cơ
hệ, gọi là phương trình Lagrange. Từ đó, phương pháp
giải quyết một phạm vi bài toán cơ học khá rộng dựa trên
nguyên lý Hamilton với phương trình chuyển động
Lagrange được ghi nhận.
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại
MỞ ĐẦU
HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC
MỞ ĐẦU
Với mục đích phục vụ cho quá trình học tập và nghiên cứu liên
quan đến chuyên ngành của mình. Và được sự hướng dẫn
nhiệt tình của cô giáo Th.s Trần Ngọc Bích cùng các tài liệu mà
cô cung cấp mục đích là để tìm hiểu rõ hơn về hệ hình thức
Lagrange cũng như việc áp dụng vào giải các bài toán cơ học,
chúng tôi chọn vấn đề “Tìm hiểu hệ hình thức Lagrange và áp
dụng giải toán cơ học” để nghiên cứu trong đề tài này.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu thiết lập phương trình chuyển động Lagrange từ
nguyên lý Hamilton và vận dụng vào việc giải một số bài tập cơ
học.
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại
HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC
MỞ ĐẦU

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Hệ thống lại các khái niệm cơ sở của cơ học giải tích,
thông qua các khái niệm đi đến mối quan hệ giữa
nguyên lý Hamiton và hàm Lagrange.
- Xây dựng phương trình Lagrange cho các cơ hệ vật
lý. Đồng thời ứng dụng vào việc giải các bài toán vật lý
cụ thể.
4. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài sử dụng các phương pháp nghiên cứu lý thuyết:
phân tích, đánh giá, tổng hợp các tài liệu tham khảo
liên quan, sử dụng công cụ toán học cao cấp, áp dụng
phương pháp của hệ hình thức Lagrange để gải quyết
bài toán chuyển động của một số cơ hệ vật lý.
5
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại
HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC
NỘI DUNG
A. HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE
•
I. Khái niệm liên kết và tọa độ suy rộng
•
1. Số bậc tự do
•
Xét một cơ hệ gồm N chất điểm M
1
, M
2
,…, M
N
chuyển

động đối với hệ quy chiếu quán tính. Vị trí chất điểm M
i

trong không gian được xác định bán kính vectơ
Để xác định vị trí của cơ hệ ta cần phải
cho N bán kính vectơ hay3N tọa độ Dexcartes

•
Số thông số độc lập cần thiết để xác định một cách đơn giá
vị trí của cơ hệ gọi là số bậc tự do (s) của nó .
( , , )
i i i i
r x y z
r
i
r
r
, , , 1,2,
i i i
x y z i N=
6
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại
HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC
7
Số bậc tự do của cơ hệ tự do - cơ hệ mà vị trí và vận tốc của
những chất điểm của hệ không bị hạn chế bởi một điều kiện
nào là 3N.
2. Liên kết. Phương trình liên kết
Liên kết là những điều kiện hạn chế về vị trí và vận tốc của
các chất điểm của cơ hệ vật lý trong không gian. Những điều

kiện này không phụ thuộc vào lực tác dụng lên cơ hệ và các
điều kiện đầu của chuyển động.
Phương trình liên kết là phương trình biểu diễn mối quan hệ
giũa các thông số trong cơ hệ. Số phương trình liên kết bằng
số liên kết (k).
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại
HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC
8
HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC
Trong trường hợp tổng quát liên kết trong cơ hệ biểu diễn bởi
k phương trình
Cơ hệ gồm N chất điểm liên hệ với nhau bởi k phương trình
liên kết thì có số bậc tự do là s = 3N – k.
3. Tọa độ suy rộng
Sự có mặt của các liên kết làm cho bài toán chuyển động của
cơ hệ trở nên phức tạp hơn. Vấn đề đặt ra là làm thế nào để
khử được các liên kết. Nếu hạn chế chỉ xét các hệ hôlônôm thì
vấn đề trên được giải quyết bằng khái niệm tọa độ suy rộng.
Giả sử cơ hệ gồm N chất điêm Mi (i = 1, …N ) chịu k liên kết
hôlônôm được biểu diên bằng k phương trình:
1 2 1 2
( , , , , , , ) 0
N
N
f r r r r r r t
α
× × ×
=
ur ur uur
r r r

( 1, )k
α
=
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại
•
Nếu k phương trình liên kết này là độc lập thì số
bậc tự do của cơ hệ là: s = 3N – k.
•
Tiếp theo, giả sử ta tìm được s thông số q1, q2,…,
qs liên hệ với các bán kính vectơ bởi các phương
trình sau:
•
Các thông số độc lập gọi là tọa độ suy rộng của cơ
hệ chịu k liên kết. Số tọa độ suy rộng bằng số bậc
tự do của hệ.
1 2
( , , , , ) , ( 1, , )
i i s
r r q q q t i N= =
r r
i
r
r
9
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại
HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC
•
II. Nguyên lý Hamilton. Hàm Lagrange
•
1. Nguyên lý Hamilton

•
Các nguyên lý đối xứng hình học gồm:
•
- Nguyên lý về tính đồng nhất của không gian
•
- Nguyên lý về tính đồng nhất của thời gian
•
- Nguyên lý về tính đẳng hướng của không gian.
•
- Nguyên lý tương đối
10
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại
HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC
11
:
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại
HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC
( , , ) ( , , )
i i
L L q q t L q q t= ≡
& &
/ , 1,
i i
q dq dt i s≡ =
&
•
Các nguyên lý đối xứng hình học đó chưa đủ để xác định
phương trình chuyển động cơ bản. Người ta thấy rằng cần đề
ra một nguyên lý khác, một phần mang tính chất toán học rõ
nét, một phần dựa vào một số kinh nghiệm của sự phát triển

vật lý, nguyên lý này gọi là nguyên lý Hamilton hay nguyên
lý tác dụng dừng Hamilton hay nguyên lý biến phân
Hamilton, có nội dung như sau:
Mỗi cơ hệ hôlônôm đều có thể được đặc trưng bởi một một
hàm L nào đó có dạng
gọi là hàm Lagrange của cơ hệ, các đối số của hàm là thời
gian t, các tọa độ suy rộng và các đạo hàm bậc nhất của
chúng theo thời gian
.

12
phương trình này gọi là phương trình Eurle – Lagrange
(phương trình Lagrange), dùng để xác định hàm y(x) sao cho
phiếm hàm I có giá trị dừng.
Theo phép tính biến phân đã trình bày ở trên ta sẽ thu được hệ
s phương trình Lagrange sau:
trong đó các giá trị được giả thiết bằng
không.
0
F d F
y dx y
∂ ∂
− =
′
∂ ∂
0 , 1,2, ,
i i
d L L
i s
dt q q

∂ ∂
− = =
∂ ∂
&
1 2
( ), ( )
i i
q t q t
δ δ
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại
HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC
2. Hàm Lagrange
Theo nguyên lý biến phân Haminlton, hàm
Lagrange xác định mọi đặc tính của cơ hệ. Việc tìm
dạng của nó, thông thường dùng các nguyên lý đối
xứng hình học, các tính chất của hàm Lagrange và
các đòi hỏi vật lý khác đối với các cơ hệ vật lý cụ
thể. Trước hết ta trình bày hai tính chất của hàm
Lagrange:
- Hàm Lagrange không được xác định duy
nhất, mà có thể sai khác nhau một đạo hàm toàn
phần theo thời gian của một hàm tùy ý của q và t.
( , )
d
L L f q t
dt
∗
= +
13
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại

HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC
14
- Hàm Lagrange có tính chất cộng được: Hàm
Lagrange của cơ hệ gồm các thành phần không tương tác bằng
tổng tất cả các hàm Lagrange của các thành phần đó.
1 2

N
L L L L= + + +
2.1 Hàm Lagrange của cơ hệ độc lập gồm N chất điểm
không tương tác với nhau.
2.2 Hàm Lagrange của cơ hệ độc lập gồm N chất điểm
tương tác với nhau
Trong đó: là thế năng tương tác giữa các chất
điểm trong hệ.
2
1
1
2
N
i i
i
L m v
=
=
∑
2
1
1
( , , )

2
N
i i i k
i
L m v U r r
=
= − −
∑
r r
( , , )
i k
U r r−
r r
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại
HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC
15
BÀI TẬP
Bài tập 1 Xác định phương trình quỹ đạo của một vật (coi là
chất điểm) có khối lượng m bị ném xiên từ độ cao h so với mặt
đất với vận tốc đầu hợp với phương ngang một góc .
Lời giải Ta chọn gốc O của hệ tọa độ tại mặt đất, Ox hướng
ngang, Oy hướng thẳng đứng lên trên. Hệ có hai bậc tự do,
chọn các tọa độ theo hai phương x, y làm tọa độ suy rộng.
Mốc thế năng tại mặt đất. Khi đó hàm Lagrange:
0
v
r
ϕ
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại
HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC

16
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại
HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC
Các phương trình Lagrange:
( )
( )
2 2
2 2
1
,
2
1
2
T m x y U mgy
L T U m x y mgy
= + =
= − = + −
& &
& &
0 0, 0
d L L d L L
x y g
dt x x dt y y
∂ ∂ ∂ ∂
− = ⇔ = − = ⇔ = −
∂ ∂ ∂ ∂
&& &&
& &
Giải các phương trình vi phân này, sử dụng các điều kiện đầu:
Khi t=0:

ta thu được các phương trình chuyển động theo hai phương:

0 0 ox 0 oy 0
, cos , sinx y h v v v v
ϕ ϕ
= = = =
2
0 0
1
( cos ) , ( sin )
2
x v t y h v t gt
ϕ ϕ
= = + −
17
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại
HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC
Khử t trong các phương trình chuyển động, ta được phương
trình quỹ đạo của chất điểm như sau:
Đây chính là phương trình quỹ đạo cần tìm của chất điểm
2
2 2
0
tan .
2 os
g
y h x x
v c
ϕ

ϕ
= + −
18
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại
HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC
Bài tập 2
Một vật P có khối lượng m
1
nối với một ròng rọc B có khối
lượng m
2
có bán kính r, được đặt lên trên một chiếc nêm có
khối lượng m
3
(như hình vẽ). Vật B chuyển động kéo ròng rọc
lăn trên mặt phẳng nghiêng của nêm. Sử dụng cơ học gải tích,
hãy xác định quãng đường đi của vật P trong hai trường hợp
chiếc nêm đứng yên và chiếc nêm chuyển động. Biết vận tốc
ban đầu bằng 0, vị trí ban đầu của vật là x
0
.

2 2 2
1 1 2
1 2
1 1
2 2
sin
T m x m v J
U m gx m gx

ω
α
= + +
− = +
&
19
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại
HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC
Lời giải
a) Khi chiếc nêm đứng yên
Chiếc nêm đứng yên hệ chỉ có 1 bậc tự do, gọi x là quãng
đường đi của vật P, ở đây tọa độ suy rộng của hệ cũng chính là
q
1
= x. Hàm lagrange của hệ là:
L = T –U với T là động năng, U là thế năng của hệ.
Ta có:
20
Sử dụng phương trình Lgrange và giải ta nhận được:
Với điều kiện ban đầu của bài toán nên ta
có quãng đường vật đi được trong thời gan t là:
b) Khi chiếc nêm chuyển động:
Hệ sẽ có hai bậc tự do, gọi s là quãng đường đi của chiếc nêm,
đồng thời s cũng là tọa độ suy rông thứ hai q
2
= s.
0
0 0 0
,
t

x x v x x= = =
&
( )
2
1 2
0
1 2
sin
1
4
m g m g
x t x
m m
α
−
= +
 
+
 ÷
 
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại
HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC
21
( )
2 2 2 2
3 1 2
1 1 1 1
3 2 2 2
T m s m x s m v J
ω

= + + + +
& & &
Nên ta có:
2
0 0
1
2
x kt x t x= + +
1 2 2
, ,
2
x
v v v v s v= + = =
&
r r r
&
Thay vào phương trình Lagrange và tương tự cách làm như
trên lấy tích phân 2 lần ta được:
Với:
Vậy ta đã tính được quãng đường đi của vật trong hai
trường hợp.
( )
1
2
2
1 2 1 2
1 2 3
3 os
sin
8 4 4

m c
k m g m g m m
gm m m
α
α
−
 
= + + −
 ÷
+ +
 
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại
HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC
•
KẾT LUẬN
•
Sau thời gian thực hiện đề tài, chúng tôi thấy rõ hiệu
quả mà nó đem lại. Trước một bài toán cơ học, phương
pháp giải bằng phương trình Lagrange cho chúng ta cái
nhìn tổng quát, lôgic, biết phân tích hiện tượng vật lý
xảy ra trong cơ hệ và dùng giải tích toán học giải quyết
bài toán, từ đó xác định một cách đơn giản giá trị cần
tìm. Nói cách khác, chúng tôi đã tích lũy được cách tư
duy theo phương pháp Lagrange khi giải toán cơ học.
Điều này đặc biệt cần thiết đối với sinh viên ngành sư
phạm Toán – Lý như chúng tôi.
22
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại
HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC
23

Quá trình nghiên cứu, chúng tôi đã cố gắng tóm tắt đầy đủ, sâu sắc
các khái niệm, kiến thức liên quan để trình bày tổng quan về hệ hình
thức Lagrange, đồng thời áp dụng vào việc giải quyết một số bài
toán tiêu biểu một cách cụ thể, rõ ràng. Chúng tôi nhận thấy,
phương pháp giải toán mà đề tài đề cập tỏ ra hiệu quả đối với nhiều
cơ hệ vật lý, đặc biệt là các cơ hệ phức tạp.
Chúng tôi đã nỗ lực triển khai đề tài và trình bày kết quả, nhưng
thời gian có hạn nên chắc chắn không thể tránh khỏi thiếu sót.
Trong quá trình thực hiện, chúng tôi đã nhận được sự hướng dẫn
tận tình, sâu sắc của giảng viên hướng dẫn cùng những ý kiến đóng
góp chân thành của quý thầy cô giáo và các bạn sinh viên. Chúng tôi
rất mong tiếp tục nhận được sự góp ý để đề tài được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn.
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại
KẾT LUẬN
HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC
24
[ ]
2
[ ]
3
[ ]
4
[ ]
5
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Trần Ngọc Bích, “Bài Giảng Cơ học lý thuyết”, Trường
Đại học Quảng Bình, 2010.
Đào Huy Bích, Phạm Huyễn, Phạm Hữu Vĩnh, Giáo trình
cơ học lý thuyết, Tủ sách Đại học Tổng hợp, 1997.

Nguyễn Hữu Mình, Đỗ Khắc Hướng, Nguyễn Khắc
Nhạp, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tường, Bài tập Vật lý lý
thuyết tập I, Nhà xuất bản Giáo dục 1983.

Nguyễn Hữu Mình, Tạ Duy Lợi, Đỗ Đình Thanh, Lê
Trọng Tường, Bài tập vật lý ly thuyết tập I, Nhà xuất bản
Giáo dục 2009.
Nguyễn Hữu Mình, Cơ học lý thuyết tương đối, Nhà
xuất bản Đại học Sư phạm, 2005.

[ ]
1
HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC
25
Nhóm SVTH: Tạ Minh, Thanh Đào Văn Thoại
HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC