Đáp án đề kiểm tra định kỳ lần 7 - 2013

Khóa h
ọ
c
LTĐH đảm bảo môn Toán - thầy Phan Huy Khải

Đề kiểm tra định kỳ số 0
7

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-


HƯỚNG DẪN GIẢI
ĐỀ KIỂM TRA ĐỊNH KỲ SỐ 07


PHẦN I (Chung cho tất cả các thí sinh)
Câu I. Cho hàm số
(
)
3 2
2 3 1 2
y x mx m x
= + + − +
(1) (m là tham số thực)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0.
2. Cho điểm M(3; 1) và đường thẳng ∆:
2

y x
= − +
. Tìm các giá trị của m để đường thẳng
∆ cắt đồ thị
hàm số (1) tại 3 điểm A(0; 2); B, C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng
2 6
.
Hướng dẫn giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng ∆ là:
( )
( )
2 2
2
0 2
2 3 1 2 3
2 3 2 0
x y
x mx m x x
g x x mx m
= ⇒ =

+ + − + = − + ⇔

= + + − =


Đường thẳng ∆ cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm A(0; 2), B, C
⇔ Phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x ≠ 0
( )

2
2
0
3 2 0
2
1;
0
3 2 0
3
m
m m
m m
g x
m
>

′
∆ >


− + >

⇔ ⇔ ⇔
  
< ≠
≠
− ≠






Chiều cao ∆MBC: h = d(M; (∆)) =
3 1 2
2
2
+ −
=
.
Vậy
2
4 3
MBC
S
BC
h
= = .
Vì x
B
, x
C
là hai nghiệm phương trình g(x) = 0 và B, C ∈ ∆ nên:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
2
2 2 2
2 2 4
2 4 12 8 8 3 2 48 3 4 0
B C B C B C B C B C

BC x x y y x x x x x x
m m m m m m
= − + + = − = − −
= − + = − + = ⇔ − − =

1
m
⇔ = −
(loại) hoặc m = 4 (thỏa mãn).
Câu II. 1.
Giải phương trình
(
)
2 2
sin sin 2 cos sin 2 1 2cos
4
x x x x x
π
− + = −

Hướng dẫn giải:

Phương trình đã cho tương đương với
(
)
( )
2
sin sin 2 cos sin 2 1 1 cos 2 1 sin 2
2
sin 2 sin cos sin 2 1 0

x x x x x x
x x x x
π
− + = + − = +
⇔ − − =

*
( )
sin 2 0
2
k
x x k
π
= ⇔ = ∈
ℤ

*
( ) ( ) ( )
(
)
2 2
sin cos sin 2 1 0 sin 1 2cos sin 0 sin 1 1 2sin 2sin 0
x x x x x x x x x
− − = ⇔ − − = ⇔ − + + =

(
)
2
1 2sin 2sin 0
x x

⇔ + + =
(vô nghiệm) hoặc sinx = 1
( )
2
2
x k k
π
π
⇔ = + ∈
ℤ




Khóa h
ọ
c
LTĐH đảm bảo môn Toán - thầy Phan Huy Khải

Đề kiểm tra định kỳ số 0
7

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-


2.
Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực duy nhất.

( )
( )
2 2
1 1
x y x y
x y m

+ + = +


+ =



Hướng dẫn giải:

Do hệ đối xứng nên nếu (x; y) là một nghiệm của hệ thì (y; x) cũng là một nghiệm của hệ. Do đó để hệ
phương trình có nghiệm duy nhất thì x = y.
Thay x = y = 1 vào phương trình (2) ⇒ m = 2.
Khi m = 2 thì hệ trở thành
( )
( )
2 2
1 1
2
x y x y
x y

+ + = +



+ =



( ) ( )
( )
2
2
0
0
1
1
2 2
x y
x y
x y xy x y
xy
x y xy
+ ≥


+ =


⇔ + + + = + ⇔


=



+ − =


hoặc
2
1
x y
xy
+ =


=


Dễ thấy hệ có ba nghiệm (1; -1); (-1; 1) và (1; 1).
Vậy không tồn tại giá trị m thỏa mãn.
Câu III.
1.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a (a > 0). Góc ABC bằng 120
o
, cạnh SA vuông
góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Gọi C′ là trung điểm của cạnh SC. Mặt phẳng (α) đi qua AC′ và
song song với BD cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại B′, D′. Tính thể tích khối của chóp S.AB′C′D′.
Hướng dẫn giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD;
I là giao điểm của SO và AC′.
Trong mặt phẳng (SBD), qua I kẻ đường thẳng
song song BD cắt SB, SD lần lượt tại B′ và D′.

Từ BD ⊥ (SAC) ⇒ B′D′ ⊥ (SAC) ⇒ B′D′ ⊥ AC′.
Ta có:
1
3 2
2
AC a SC a AC SC a
′
= ⇒ = ⇒ = =
.
Do I là trọng tâm của ∆SAC
2
2
3 3
a
B D BD
′ ′
⇒ = =
. Vậy
2
1
.
2 3
AB C D
a
S AC N D
′ ′ ′
′ ′ ′
= =
Từ B′D′ ⊥ (SAC) ⇒ (AB′C′D′) ⊥ (SAC′). Vậy đường cao h của hình chóp S.AB′C′D′ chính alf đường
cao của tam giác đều SAC′ ⇒

3
2
a
h = .
Vậy
3
.
3
1
.
3 18
S AB C D AB C D
a
V h S
′ ′ ′ ′ ′ ′
= = (đvtt).
2.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A(-1; 0; 2), mặt phẳng (P):
2 3 0
x y z
− − + =
và
đường thẳng (d):
2
3 6
2 4 1
y
x z
−
− −

= = . Viết phương trình đường thẳng (d′) đi qua điểm A, cắt (d) tại B và
cắt (P) tại C sao cho
2 0
AC AB
+ =
  
.

S
A
a
D
′

D
I
B′
C
′

C
B
a
O
2a

Khóa h
ọ
c
LTĐH đảm bảo môn Toán - thầy Phan Huy Khải

Đề kiểm tra định kỳ số 0
7

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3
-


Hướng dẫn giải:
Gọi M là giao điểm của (d) và (P).
Phương trình tham số của (d) là:
3
2 4
6
x m
y m
z m
= +


= +


= +

.
Thay vào (P) ta có:
6 4 2 4 6 3 0 1

m m m m
− − − − − + = ⇔ =

Vậy M(5; 6; 7).
Kẻ đường thẳng (d
1
) đi qua A và // (D). Gọi N là giao điểm của (d
1
) và (P) ta có:
1
1 2
: 4
2
x t
d y t
z t
= − +


=


= +

. Thay vào (P) ta được
2 4 4 2 3 0 1
t t t t
− + − − − + = ⇔ = −

Vậy N(-3, -4, 1).

Gọi C là điểm trên (P) sao cho
(
)
2 0 19; 24; 11
NC NM C+ = ⇒ − − −
  

Đường CA cắt (d) tại B thỏa mãn yêu cầu. Vậy (d′) là đường thẳng qua A và C có phương trình:
1
2
18 24 13
y
x
z
+
−
= = .
Câu IV.
1.
Cho số phức
; ,z x yi x y
= + ∈
ℤ
thỏa mãn
3
18 26
z i
= +
. Tính
( ) ( )

2009 2009
2 4T z z= − + −

Hướng dẫn giải:
Ta có
( ) ( )
3 2
3 3 2 2 3
2 3
3 18
3 3 18 26
3 26
x xy
z x xy x y y i i
x y y

− =

= − + − = + ⇒

− =



Do x = y = 0 không là nghiệm hệ, đặt y = tx
(
)
( )
( )
( )

3 2
2
3 3
1 3 18
3 1 3 12 13 0
3 26
x t
t t t
x t t

− =

⇒ ⇒ − − − =

− =



Khi
1
3
t
=
thì x = 3 và y = 1, thỏa mãn x, y ∈ Z.
Khi
2
3 12 13 0
t t
− − =
thì x, y

∉
ℤ
. Vậy số phức cần tìm là: z = 3 + i
Vậy
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2009 2009 2009 2009
1004 1004 1005
2 4 1 1 2 1 2 1 2
T z z i i i i= − + − = + + − = + + − =
2.
Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn
3
z y z
+ + =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( )
( )
( )
1 1 1
4 2ln 1 4 2ln 1
4 2ln 1
P
x y z x
y z
= + +
+ + − + + −
+ + −

Hướng dẫn giải:

Từ giả thiết
0 , , 3
x y z
≤ ≤
suy ra
(
)
(
)
4 2ln 1 0; 4 2ln 1 0
x y y z
+ + − > + + − >
và
(
)
4 2ln 1 0
z x
+ + − >
. Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:
( )
( )
( )
9
4 2ln 1 4 2ln 1 4 2ln 1
P
x y y z z x
≥
+ + − + + + − − + + −

Xét hàm số
(
)
(
)
[
]
2ln 1 , 0;3
f t t t t= + − ∈ , có
( )
1
1
t
f t
t
−
′
=
+
.
M
N
C
A
d
1
d

d
′

B

P


Khóa h
ọ
c
LTĐH đảm bảo môn Toán - thầy Phan Huy Khải

Đề kiểm tra định kỳ số 0
7

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4
-


Lập bảng biến thiên hàm f(t), với
[
]
0; 3
t ∈ suy ra
(
)
0 2ln 2 1
f t
≤ ≤ −

.
Do đó
( )
( )
( )
9 3
3 2ln 2
12
P
f x f y f z
≥ ≥
+
+ + +
.
Vậy
3
min
3 2ln 2
P =
+
, khi x = y = z = 1.
PHẦN 2 (thí sinh làm một trong hai câu)
Câu Va.
1.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
3
x y
+ =
,

1 0
x y
+ − =
.
Hướng dẫn giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường
2
3
x y
= −
và 1
x y
= −
là:
2 2
3 1 2 0 1
y y y y y
− = − ⇔ − − = ⇔ = −
hoặc y = 2.
Vậy
( ) ( )
( )
2
2 2
3 2
2
2
1
1 1
9

3 1 2 2
3 2 2
y y
S y y dy y y dy y
−
− −
 
= − − − = − + + = − + + =
 
 
∫ ∫
(đvdt).

2.
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC cố định A nằm trên đường thẳng (∆):
2 3 14 0
x y
− + =
, cạnh BC song song với ∆, đường cao CH có phương trình:
2 1 0
x y
− − =
. Biết trung
điểm của cạnh AB là M(-3; 0). Xác định tọa độ các đỉnh A, B, C.
Hướng dẫn giải:

Vì AB ⊥ CH nên AB có phương trình:
2 0
x y c
+ + =

.
Do M(-3; 0) ∈ AB nên c = 6. Vậy phương trình AB là:
2 6 0
x y
+ + =
.
Do A ∈ ∆ nên tọa độ A là nghiệm của hệ:
( )
2 3 14 0
4;2
2 6 0
x y
A
x y
− + =

⇒ −

+ + =


Vì M(-3; 0) là trung điểm AB nên B(-2; -2)
Cạnh BC // ∆ và đi qua B nên BC có phương trình:
(
)
(
)
2 2 3 2 0 2 3 2 0
x y x y
+ − + = ⇔ − − =

. Vậy tọa độ
C là nghiệm của hệ
( )
2 3 2 0
1;0
2 1 0
x y
C
x y
− − =

⇒

− − =


Câu Vb.
1.
Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường
2
y x
=
;
2
2
y x
= −
. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo
thành khi quay hình H quanh trục Ox.
Hướng dẫn giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là:
2 2 4 2
2 2 0 1
x x x x x
= − ⇔ + − = ⇔ = −
hoặc x = 1.
Khi
[
]
1; 1
x∈ −
thì
2 2
2
x x
− ≥
và đồ thị các hàm
2
y x
=
và
2
2
y x
= −
cùng nằm phía trên trục Ox.
Vậy
( )
(
)

1
1
3 5
2 4
1
1
44
2 2
3 5 5
x x
V x x dx x
π π π
−
−
= − − = − − =
∫
(đvtt).
2.
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho điểm I(-1; 3). Viết phương trình đường tròn có tâm I và cắt
đường thẳng
3 4 10 0
x y
− + =
tại hai điểm A, B sao cho AIB bằng 120
o
.

Khóa h
ọ
c

LTĐH đảm bảo môn Toán - thầy Phan Huy Khải

Đề kiểm tra định kỳ số 0
7

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5
-


Hướng dẫn giải:
Gọi H là hình chiếu của I trên đường thẳng (d):
3 4 10 0
x y
− + =
, khi đó:
( )
( )
3 12 10
, 1
5
IH d I d
− − +
= = =

Suy ra R = AI =
o
2
cos60

IH
=
.
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là:
( )
( )
22
1 3 4
x y
+ + − =

Nguồn:
Hocmai.vn