Hướng dẫn giải bài tập tích phân từng phần

Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-




Bài 1:
D-2010: Tính tích phân:

∫






−=
e
xdx
x
xI
1
ln
3

2

Giải:


∫ ∫∫
−=






−=
e ee
dx
x
x
xdxxxdx
x
xI
1 11
.
ln
3ln2ln
3
2
• ðặt






==
=
⇒



=
=
∫
2
2
2
ln
xxdxv
x
dx
du
xdxdv
xu

( )
2
1
1
2
1
lnln2

2
1 1
2
22
+
=−=−=⇒
∫ ∫
e
e
x
exdx
e
xxxdxx
e e

•
∫ ∫
===
e e
e
xxxddx
x
x
1
2
1
2
1
1
ln

2
1
)(lnln
ln

Vậy
1
2
2
−=
e
I


Bài 2:
B-2009 : Tính tích phân sau:

∫
+
+
=
3
1
2
)1(
ln3
dx
x
x
I

Giải:
ðặt:







+
−=
=
⇒





+
=
+=
1
1
)1(
ln3
2
x
v

x
dx
du
x
dx
dv
xu

∫
+
+
+
+
−=⇒
3
1
)1(
1
3
1
ln3
xx
dx
x
x
I

∫ ∫
+
−++

+
−=
3
1
3
1
12
3
4
3ln3
x
dx
x
dx







+=+−+
−
=
16
27
ln3
4
1
1

3
1ln
1
3
ln
4
3ln3
xx


Bài 3:
D-2008: Tính tích phân sau:

∫
=
2
1
3
ln
dx
x
x
I


Giải:
BÀI GIẢNG 09.
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
( HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN )

Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-

ðặt:







−=
=
⇒





=
=
2
3

2
1
ln
x
v
x
dx
du
x
dx
dv
xu

Khi ñó:
1
2
4
1
8
2ln
2
1
2
2
ln
2
2
1
32
xx

dx
x
x
I −−=+=
∫

16
2ln23
−
=


Bài 4
:
2
1
3
0
x
I x e dx
=
∫

Giải:

Ta có
2 2
1 1 1
3 2 2
0 0 0

1 1
( ) (1)
2 2
x x t
I x e dx x e d x te dt
= = =
∫ ∫ ∫

ðặt
;
t t
u t du dt dv e dt v e
= ⇒ = = ⇒ =
∫

Vậy
1 1
0 0
1 1
( 1) 1
0 0
t t t t
te dt te e dt e e e e
= − = − = − − =
∫ ∫

Vậy thay vào (1) và ta có
1
2
I

=

Bài 5
:
1
2 2
0
(4 2 1)
x
I x x e dx
= − −
∫

Giải:

Ta có
1 2
2 2 2
0 0
1 1
(2 ) 2 1 (2 ) ( 1) (1)
2 2
x t
I x x e d x t t e dt
 
= − − = − −
 
∫ ∫

ðặt

2
1 (2 1) ;
t t t
u t t du t dt dv e dt v e dt e
= − − ⇒ = − = ⇒ = =
∫

Vậy
2 2 2
2 2 2
0 0 0
2
( 1) ( 1) (2 1) 1 (2 1) (2)
0
t t t t
t t e dt t t e t e dt e t e dt
− − = − − − − = + − −
∫ ∫ ∫

Lại ñặt 2 1 2 ;
t t t
u t du dt dv e dt v e dt e
= − ⇒ = = ⇒ = =
∫

Do ñó
2 2
2 2 2
0 0
2

(2 1) (2 1) 2 3 1 2( 1) 3 (3)
0
t t t
t e dt t e e dt e e e− = − − = + − − = +
∫ ∫

Thay (3) vào (2) và có
2
2
0
( 1) 2 (4)
t
t t e dt− − = −
∫

Thay (4) vào (1) và có I = -1

Bài 6
:
2
3
0
sin 5
x
I e xdx
π
=
∫

Giải:

Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3
-

ðặt
3 3
1
3 ; sin 5 sin 5 os5
5
x x
u e du e dx dv xdx v xdx c x
= ⇒ = = ⇒ = = −
∫

Ta có
2
3 3
0
1 3
os5 os5
2
5 5
0

x x
I e c x e c xdx
π
π
= − +
∫

2
3
0
1 3
os5 (1)
5 5
x
I e c xdx
π
= +
∫

ðặt
3 3
1
3 ; os5 os5 sin 5
5
x x
u e du e dx dv c xdx v c xdx x
= ⇒ = = ⇒ = =
∫

Vậy

3
2 2
3 3 3
2
0 0
1 3 1 3
os5 sin 5 sin 5 (2)
2
5 5 5 5
0
x x x
I e c xdx e x e xdx e I
π π
π
π
= = − = −
∫ ∫

Thay (2) vào (1) ta có
3
2
1 3 1 3
5 5 5 5
I e I
π
 
= + −
 
 

3
3 3
2
2 2
34 1 3 5 3 5 3
25 5 25 34 34 34
e
I e I e
π
π π
+
⇒ = + ⇒ = + =

Bài 7
:
2
1
1
ln
e
x
I xdx
x
+
=
∫

Giải:

Ta có

1 1
ln
ln (1)
e e
xdx
I x xdx
x
= +
∫ ∫

Ta thấy
2
1 1
ln 1 1
ln (ln ) ln (2)
1
2 2
e e
e
xdx
xd x x
x
= = =
∫ ∫

ðặt
2
ln ;
2
dx x

u x du dv xdx v xdx
x
= ⇒ = = ⇒ = =
∫

Do vậy
2 2 2 2 2 2
1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
ln ln
1 1
2 2 2 4 2 4 4 4 4
e e
e e
x xdx x x xdx e x e e e
= − = − = − + = +
∫ ∫

Thay vào (1) ta có
2
3
4
e
I
+
=
Bài 8
:
2 2
1

ln
e
I x xdx
=
∫

Giải:

ðặt
3
2 2 2
2ln
ln ;
3
xdx x
u x du dv x dx v x dx
x
= ⇒ = = ⇒ = =
∫

Vậy
3 2 2 3 2
1 1
1 2 1 2
ln ln . ln (1)
1
3 3 3 3
e e
e
I x x x x dx e x xdx= − = −

∫ ∫

ðặt
3
2 2
ln ;
3
dx x
u x du dv x dx v x dx
x
= ⇒ = = ⇒ = =
∫

Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4
-

Vậy
2 3 2
1 1
1 1
ln ln
1
3 3

e e
e
x xdx x x x dx
= −
∫ ∫

3
3 3 3 3
1 1 1 1 1 2 1
. (2)
1
3 3 3 3 9 9 9 9
e
x
e e e e= − = − + = +

Thay (2), (3) vào (1) ta có:
3 3 3 3 3 3
1 2 2 1 1 4 2 5 2 1
(5 2)
3 3 9 9 3 27 27 27 27 27
I e e e e e e
 
= − + = − − = − = −
 
 


Bài 9
:

2
2
1
ln(1 )
x
I dx
x
+
=
∫

Giải:

ðặt
2 2
1
ln(1 ) ;
1 2
dx dx dx
u x du dv v
x x x
= + ⇒ = = ⇒ = = −
+
∫

Ta có
2 2
1 1
2
ln(1 ) ln3 (1 )

ln 2
1
( 1) 2 ( 1)
x dx x x
I dx
x x x x x
+ + −
= − + = − + +
+ +
∫ ∫

2 2
2
2 2 2 1 8 3
3
3
ln ln ln ln ln ln ln
1
1
1 3 2 9
3 3
2
x
x
= + = + − = =
+

Bài 10
:
2

0
1 sinx
1 cos
x
I e dx
x
π
+
=
+
∫

Giải:

ðặt
2
1 sinx 1 cos sinx
;
1 cos (1 cos )
x x x
x
u du dx dv e dx v e dx e
x x
+ + +
= ⇒ = = ⇒ = =
+ +
∫

Ta có
2

2
0
1 sinx 1 cos sinx
2
1 cos (1 cos )
0
x x
x
I e e dx
x x
π
π
+ + +
= −
+ +
∫

2 2
2
2
0 0
1 sin x
2 (1)
2 1 cos (1 osx)
x x
e dx e dx
e
x c
π π
π

= − − −
+ +
∫ ∫

Với tích phân
2
2
0
inxdx
(1 cos )
x
e s
x
π
+
∫
ðặt
x x
u e du e dx
= ⇒ =

2 2 2
sin x sin x (1 cos ) 1
(1 cos ) (1 cos ) (1 cos ) 1 cos
dx dx d x
dv v
x x x x
+
= ⇒ = = − =
+ + + +

∫ ∫

Vì thế
2 2 2
2
0 0 0
sin x 1
(2)
2
(1 cos ) (1 cos ) (1 cos ) 2 (1 cos )
0
x x x x
e dx e e dx e dx
e
x x x x
π π π
π
= − = − −
+ + + +
∫ ∫ ∫

Thay (2) vào (1), ta có
2 2 2
1 1
2
2 2
I e e e
π π π
= − − + =

Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5
-

Bài 11
:
1
7
4 2
0
(1 )
x dx
I
x
=
+
∫

Giải:

ðặt
3 4
4 3
4 2 4 2 4

1 (1 ) 1
4 ;
(1 ) 4 (1 ) 4(1 )
x dx d x
u x du x dx dv v
x x x
+
= ⇒ = = ⇒ = = −
+ + +
∫

Ta có
3 4
4 4 4
1
1 1 (1 )
0
4(1 ) (1 ) 8 4 (1 )
x x dx d x
I
x x x
+
= − + = − +
+ + +
∫ ∫

4
1
1 1 1 1 2ln 2 1
ln(1 ) ln 2

0
8 4 4 8 8
x
−
= − + + = − =

Bài 12
:
3
2
2
ln( )
I x x dx
= −
∫

Giải:

ðặt
2
2
2 1
ln( ) ;
x
u x x du dx dv dx v x
x x
−
= − ⇒ = = ⇒ =
−

Vậy
3 3
2
2 2
3
(2 1) 2( 1) 1
ln( ) 3ln6 2ln 2
2
( 1) ( 1)
x x x
I x x x dx dx
x x x
− − +
= − − = − −
− −
∫ ∫

3 3
2 2
3
3ln 6 2ln 2 2 3ln 6 2ln 2 2 ln( 1)
2
1
dx
dx x
x
= − − − = − − − −
−
∫ ∫

3ln 6 2ln 2 2 ln 2 3ln6 3ln 2 2 3ln3 2
I
= − − − = − − ⇒ = −


Bài 13
:
1
2
0
( 2)
x
I x e dx
= −
∫


Giải:

ðặt
2 2 2
1
2 ;
2
x x x
u x du dx dv e dx v e dx e
= − ⇒ = = ⇒ = =
∫

Ta có

1
2 2
0
1
1 1
( 2)
0
2 2
x x
I x e e dx
= − −
∫

2 2 2 2 2
1
1 1 1 1 1 5 3
( 2) 1
0
2 4 2 4 4 4 4
x
e e e e I e
= − + − = − + − + ⇒ = −



Giáo viên : Trần Phương
Nguồn :
Hocmai.vn