Tính chất của ánh xạ giả mở

✣❸■ ❍➴❈ ✣⑨ ◆➂◆●
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼
✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✕

TRÀ THỊ THANH HOA

❚➑◆❍ ❈❍❻❚ ❈Õ❆ ⑩◆❍ ❳❸ ●■❷✲▼Ð
▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

✣➔ ◆➤♥❣ ✲ ✷✵✷✶


✣❸■ ❍➴❈ ✣⑨ ◆➂◆●
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼
✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✕

TRÀ THỊ THANH HOA

❚➑◆❍ ❈❍❻❚ ❈Õ❆ ⑩◆❍ ❳❸ ●■❷✲▼Ð
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚♦→♥ ●✐↔✐ t➼❝❤
▼➣ số



ữớ ữợ ❤å❝✿
❚❙✳ ▲÷ì♥❣ ◗✉è❝ ❚✉②➸♥

✣➔ ◆➤♥❣ ✲ ✷✵✷✶


▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆

❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ✤➙② ❧➔ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ r✐➯♥❣ tæ✐✳ ❈→❝ sè
❧✐➺✉✱ ❦➳t q✉↔ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ tr✉♥❣ t❤ü❝ ✈➔ ❝❤÷❛ tø♥❣ ✤÷đ❝ ❛✐ ❝æ♥❣ ❜è
tr♦♥❣ ❜➜t ❦➻ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥➔♦ ❦❤→❝✳

❚→❝ ❣✐↔

❚❘⑨ ❚❍➚ ❚❍❆◆❍ ❍❖❆


INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS
Name of thesis: Properties of quotient-sequence mapping.
Major: Mathematical analysis.
Full name of Master student: LE THI DIEP.
Supervisors: PhD. LUONG QUOC TUYEN.
Training institution: The University of Danang, University of Eduacation.
Summary
* The main results of the thesis:
The research topic of the master of science thesis " Properties of quotient-sequence
mapping" has achieved the following results:
- Systematically restate and demonstrate in detail some results of topological spaces,
the concepts of closed sets, open sets, compact sets, inner parts and closures along
with their properties.
- Present some axioms of separation, compact space and continuous mapping along
with some of their basic properties.
- Present in a systematic way and demonstrate in detail the results of sequencecontinuous, quotient, presequential, and quotient-sequential mapping.
- Systematically present and demonstrate in detail the results on the features of the
quotient-sequence mapping and the relationship between the quotient-sequential
mapping and the invariant of cs*- lattice, cs'-lattice, wsn -network through quotientsequence mapping.
* The applicability in practice and subsequent research of the thesis:
The thesis is researched based on 08 references in English which are presented

relatively carefully and completely, it is a useful reference for students who are
interested in studying this direction.
* The next research direction of the thesis:
In the coming time, we will continue to study the characteristics of the sequencequotation mapping and the relationship between the sequence quotient mapping with
the disparity of cs*-network, cs'-network, wsn-network through the mapping.
commercial series.
-Keywords: Properties of quotient-sequential mapping, quoting-sequential quotient
mapping, discordance of cs*-network, cs'-network, wsn-network through sequence
quotient mapping.


TRANG THÔNG TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ
Tên đề tài : TÍCH CHẤT CỦA ÁNH XẠ THƯƠNG- DÃY.
Ngành : Tốn Giải Tích. Khóa: K37.
Họ và tên học viên: Lê Thị Diệp.
Người hướng dẫn khoa học: TS. Lương Quốc Tuyển.
Cơ sở đào tạo: Trường Đại Học Sư Phạm - Đại Học Đà Nẵng.
Tóm tắt
*Những kết quả chính của luận văn:
Đề tài nghiên cứu luận văn thạc sĩ khoa học “ Tính chất của ánh xạ thương– dãy”đã
đạt được một số kết quả sau đây:
- Trình bày lại một cách có hệ thống và chứng minh chi tiết một số kết quả của khơng
gian topo, các khái niệm tập đóng, tập mở, tập compact, phần trong và bao đóng cùng
với các tính chất của chúng.
- Trình bày một số tiên đề tách, khơng gian compact và ánh xạ liên tục cùng với một
số tính chất cơ bản của chúng.
- Trình bày một cách có hệ thống và chứng minh chi tiết những kết quả về các ánh xạ
liên tục theo dãy, ánh xạ thương, ánh xạ tiền dãy, ánh xạ thương- dãy.
- Trình bày một cách có hệ thống và chứng minh chi tiết những kết quả về đặc trưng
của ánh xạ thương- dãy và mối quan hệ giữa ánh xạ thương- dãy với sự bất biến của

cs*- mạng, cs’-mạng, wsn-mạng thông qua ánh xạ thương- dãy.
*Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn:
Luận văn được nghiên cứu dựa trên 08 tài liệu tham khảo bằng tiếng Anh được trình
bày tương đối kĩ lưỡng và đầy đủ, nó là tài liệu tham khảo bổ ích cho các học viên,
sinh viên quan tâm nghiên cứu hướng này.
*Hướng nghiên cứu tiếp theo của luận văn:
Trong thời gian tới chúng tôi tiếp tục nghiên cứu về đặc trưng của ánh xạ thương- dãy
và mối quan hệ giữa ánh xạ thương dãy với sự bất biên của cs*-mạng, cs’-mạng, wsnmạng thông qua ánh xạ thương dãy.
-Từ khóa: Tính chất của ánh xạ thương– dãy, ánh xạ thương- dãy, sự bất biên của cs*mạng, cs’-mạng, wsn-mạng thông qua ánh xạ thương dãy.


▲❮■ ❈❷▼ ❒◆
✣➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ✤÷đ❝ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✱ ❧í✐ ✤➛✉ t✐➯♥ t→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠
ì♥ s➙✉ s➢❝ ✤➳♥ t❤➛② ❣✐→♦ ❚❙✳ ▲÷ì♥❣ ◗✉è❝ ❚✉②➸♥ ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ ữợ
t tr sốt q tr tỹ t➔✐✳
❚→❝ ❣✐↔ ❝ơ♥❣ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ t tt qỵ
t ổ t t ❞↕② ❜↔♦ t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣
ự ỗ tớ t ụ ỷ ớ ❝↔♠ ì♥ ✤➳♥ ❝→❝ ❜↕♥ tr♦♥❣ ❧ỵ♣ ❝❛♦
❤å❝ ❚♦→♥ ●✐↔✐ ❚➼❝❤ ❑✸✼ ✲ ✣◆✱ ✤➣ ♥❤✐➺t t➻♥❤ ❣✐ó♣ ✤ï t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ q✉→
tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈ø❛ q✉❛✳

❚❘⑨ ❚❍➚ ❚❍❆◆❍ ❍❖❆


❈ỉ♥❣ tr➻♥❤ ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ t↕✐
❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠

ữớ ữợ ồ ữỡ ố

P ❜✐➺♥ ✶✿ ❚❙✳ ❍♦➔♥❣ ◆❤➟t ◗✉②

P❤↔♥ ❜✐➺♥ ✷✿ ❚❙✳ ▲➯

ữủ trữợ ở ỗ ▲✉➟♥ ✈➠♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ❚❤↕❝
s➽ ❚♦→♥ ●✐↔✐ t➼❝❤ ❤å♣ t↕✐ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ✲ ✣❍✣◆ ✈➔♦ ♥❣➔② ✷✽
t❤→♥❣ ✶✶ ♥➠♠ ✷✵✷✶

❈â t❤➸ t➻♠ ❤✐➸✉ ❧✉➟♥ ✈➠♥ t↕✐✿

✲ ❚r✉♥❣ t➙♠ ❚❤æ♥❣ t✐♥ ✲ ❍å❝ ❧✐➺✉✱ ✣↕✐ ❤å❝ ✣➔ ◆➤♥❣

✲ ❚❤÷ ✈✐➺♥ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ✣➔ ◆➤♥❣


▼Ö❈ ▲Ö❈
▼Ð ✣❺❯ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶
❈❍×❒◆● ✶✳ ❑❍➷◆● ●■❆◆ ❚❖P❖ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹
✶✳✶✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t♦♣♦✱ t➟♣ ❤ñ♣ ♠ð ✈➔ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ ♠ët t➟♣ ❤ñ♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹
✶✳✷✳ ❚➟♣ ❤ñ♣ ✤â♥❣ ✈➔ ❜❛♦ ✤â♥❣ ❝õ❛ ♠ët t➟♣ ❤ñ♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽
✶✳✸✳ P❤➛♥ tr♦♥❣ ❝õ❛ t➟♣ ❤đ♣✱

T1 ✲❦❤ỉ♥❣

❣✐❛♥ ✈➔

T2 ✲❦❤ỉ♥❣

❣✐❛♥ ✳ ✳ ✳ ✶✸

✶✳✹✳ ❚➟♣ ❤đ♣ ❝♦♠♣❛❝t ✈➔ →♥❤ ①↕ ❧✐➯♥ tö❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽

✶✳✺✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ✈➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t➼❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷

❈❍×❒◆● ✷✳ ❚➑◆❍ ❈❍❻❚ ❈Õ❆ ⑩◆❍ ❳❸ ●■❷✲▼Ð ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻
✷✳✶✳ ▼↕♥❣ tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝ s✉② rë♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻
✷✳✷✳ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❣✐↔✲♠ð ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸
✷✳✸✳ ⑩♥❤ ①↕ ❣✐↔✲♠ð ✈➔ ♠↕♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵

❑➌❚ ▲❯❾◆ ❱⑨ ❑■➌◆ ◆●❍➚ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✼
❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✽




é
ỵ ồ t
t÷ì♥❣ tü ♥❤ú♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t tèt ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ♠ð tr♦♥❣
❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ t♦♣♦✱ ❆✳ ❱✳ ❆r❤❛♥❣❡❧✬s❦✐✐ ✤➣ ✤÷❛ r❛ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ →♥❤ ①↕ ❣✐↔✲♠ð✱
♥❤÷ ❧➔ ♠ët ♠ð rë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ♠ð✱ ✈➔ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝ ♠ët sè ❦➳t
q✉↔ ✤➭♣ t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ →♥❤ ①↕ ♠ð ✈➔ →♥❤ ①↕ ✤â♥❣ ✭❬✶❪✮✳ ❙❛✉ ✤â✱ ❙✳ ▲✐♥✱
❈✳ ▲✐✉ ✈➔ ❝→❝ ❝ë♥❣ sü ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠ët sè ❜➜t ❜✐➳♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈ỵ✐
❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ♠↕♥❣ t❤ỉ♥❣ q✉❛ →♥❤ ①↕ ♠ð✱ →♥❤ ①↕ ✤â♥❣✳ ❇ð✐ ✈➻ ♠é✐ →♥❤ ①↕
♠ð ❤♦➦❝ ✤â♥❣ ❧➔ →♥❤ ①↕ ❣✐↔✲♠ð ♥➯♥ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ✤➣ ✤➦t r❛ ❜➔✐ t♦→♥ ♠ð s❛✉
✭①❡♠ ❬✸❪✮✳

❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈ỵ✐
s✲→♥❤ ①↕ ❣✐↔✲♠ð ❤❛② ❦❤ỉ♥❣❄
❇➔✐ t♦→♥ ✶✳

cs∗ ✲♠↕♥❣

✤✐➸♠✲✤➳♠ ✤÷đ❝ ❝â ❜➜t ❜✐➳♥ q✉❛

❇➔✐ t♦→♥ ♥➔② ✤➣ t❤✉ ❤ót ♥❤✐➲✉ ♥❤➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t♦♣♦ tr➯♥ t❤➳ ❣✐ỵ✐ q✉❛♥
t➙♠ tø ✤â ✤➳♥ ♥❛②✳ ❑❤✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❜➔✐ t♦→♥✱ ♥❣÷í✐ t❛ ✤➣ t❤❛② ✤ê✐ ✤✐➲✉
❦✐➺♥ ❜➔✐ t♦→♥ t❤❡♦ ♥❤✐➲✉ ❦❤➼❛ ❝↕♥❤ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✱ ♥❤í ✈➟② ♥❤✐➲✉
ợ tr t ữủ ữ r ✤â✱ ♥❣÷í✐ t❛ ✤➣ t❤✉ ✤÷đ❝ ♥❤✐➲✉
t➼♥❤ ❝❤➜t q✉❛♥ trå♥❣✱ t r ỳ ữợ ự õ
ú ỵ tt t ữỡ
♥❛②✱ ❙✳ ▲✐♥ ✈➔ ❳✳ ▲✐✉ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠ët sè ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕
❣✐↔✲♠ð t❤ỉ♥❣ q✉❛ ❝ì sð✱

sp✲♠↕♥❣✱ cn✲♠↕♥❣

✈➔ ♠↕♥❣ P②t❦❡❡✈✱ ❝ơ♥❣ ♥❤÷

❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠ët sè ❜➜t ❜✐➳♥ ❝õ❛ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ♠↕♥❣ ✤â t❤æ♥❣ q✉❛ →♥❤ ①↕
❣✐↔✲♠ð✳ ❇ð✐ ✈➻ ♠é✐ →♥❤ ①↕ ❣✐↔✲♠ð ❧➔ →♥❤ ①↕ t❤÷ì♥❣ ♥➯♥ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ✤➣ ✤➦t
r❛ ❤❛✐ ❜➔✐ t♦→♥ ♠ð ♥❤÷ s❛✉ ✭①❡♠ ❬✹❪✮✳

●✐↔ sû f : X → Y ❧➔ →♥❤ ①↕ ❧✐➯♥ tö❝ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥
r➡♥❣✿ ◆➳✉ B ❧➔ ❝ì sð ❝õ❛ X ✱ t❤➻ f (B) ❧➔ ♠↕♥❣ P②t❦❡❡✈ ❝õ❛ Y ✳ ❑❤✐ ✤â✱ f
❇➔✐ t♦→♥ ✷✳


✷

❝â ❧➔ →♥❤ ①↕ t❤÷ì♥❣ ❤❛② ❦❤ỉ♥❣❄
❇➔✐ t♦→♥ ✸✳ ❍➣② ✤➦❝ tr÷♥❣ →♥❤ ①↕ ❧✐➯♥ tư❝ f : X → Y t❤ä❛ ♠➣♥ t➼♥❤
❝❤➜t✿ ◆➳✉ B ❧➔ ♠↕♥❣ P②t❤❡❡✈ ❝õ❛ X ✱ t❤➻ f (B) ❧➔ ♠↕♥❣ P②t❦❡❡✈ ❝õ❛ Y ❄
◆❤➡♠ ❤✐➸✉ t❤➜✉ ✤→♦ ❤ì♥ ✈➲ →♥❤ ①↕ ❣✐↔✲♠ð✱ sü ❜➜t ❜✐➳♥ ❝õ❛ ❝→❝ t➼♥❤

❝❤➜t ♠↕♥❣ t❤æ♥❣ q✉❛ →♥❤ ①↕ ữợ sỹ ữợ ừ t
ữỡ ố ❚✉②➸♥✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ q✉②➳t ✤à♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ tr♦♥❣ ❜➔✐
❜→♦ ❬✹❪ ❝õ❛ ❙✳ ▲✐♥ ✈➔ ❳✳ ▲✐✉ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ →♥❤ ①↕ ❣✐↔✲♠ð✳ ❉♦ ✤â✱ ❝❤ó♥❣
tỉ✐ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐ ✏❚➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❣✐↔✲♠ð✑ ❧➔♠ ✤➲ t➔✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥ t❤↕❝ sÿ
❝❤♦ ♠➻♥❤✳

✷✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
❚r♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤➡♠ ♥❤ú♥❣ ♠ư❝ ✤➼❝❤ ♥❤÷ s❛✉✿
❍➺ t❤è♥❣ ❧↕✐ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ t♦♣♦ ✤↕✐ ❝÷ì♥❣✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t
❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❣✐↔✲♠ð✱ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ♠↕♥❣ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ sü ❜➜t ❜✐➳♥ ❝õ❛ ❝→❝ t➼♥❤
❝❤➜t ♠↕♥❣ t❤ỉ♥❣ q✉❛ →♥❤ ①↕ ❣✐↔✲♠ð✳

✸✳ ✣è✐ t÷đ♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
❈→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ♠↕♥❣✱ →♥❤ ①↕ ✤â♥❣✱ →♥❤ ①↕ ♠ð✱ →♥❤ ①↕ ❣✐↔✲♠ð✳

✹✳ P❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❣✐↔✲♠ð✱ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❣✐↔✲
♠ð t❤æ♥❣ q✉❛ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ♠↕♥❣✱ sü ❜↔♦ tỗ t t tổ
q

Pữỡ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
•

❚❤❛♠ ❦❤↔♦ t➔✐ ❧✐➺✉✱ ♥❤í ✤â ❤➺ t❤è♥❣ ❧↕✐ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ t♦♣♦ ✤↕✐
❝÷ì♥❣ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉❀

•

❚❤✉ t❤➟♣ ❝→❝ ❜➔✐ ❜→♦ ❦❤♦❛ ồ ừ t trữợ q
①↕ ❣✐↔✲♠ð ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ♠↕♥❣ ✳ ✳ ✳

ã

tữớ t q ự tr ✤➲ t➔✐❀




ã

P t tờ ủ tr ờ ợ t ữợ t q
ự ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳

✻✳ ❈➜✉ tró❝ ❧✉➟♥ ✈➠♥
◆❣♦➔✐ ♣❤➛♥ ▼ð ✤➛✉✱ ♣❤➛♥ ❑➳t ❧✉➟♥ ✈➔ ❞❛♥❤ ♠ö❝ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✱
♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ❝❤✐❛ t❤➔♥❤ ữỡ

ã

ữỡ tự ổ t ữỡ ♥➔② ❞➔♥❤ ❝❤♦ ✈✐➺❝
tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥
t♦♣♦ ♥❤➡♠ ♣❤ư❝ ✈ư ự ữỡ

ã

ữỡ t ừ →♥❤ ①↕ ❣✐↔✲♠ð✳ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ❝❤ó♥❣
tỉ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲

k ✲❦❤æ♥❣

❣✐❛♥✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❞➣②✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

❋r➨❝❤❡t✲❯r②s♦❤♥ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ♠ët sè ♠↕♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ t♦♣♦✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤✐ t✐➳t ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❣✐↔✲♠ð
✈➔ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ →♥❤ ①↕ ❣✐↔✲♠ð ✈ỵ✐ →♥❤ ①↕ ✤â♥❣✱ →♥❤ ①↕ ♠ð✱ →♥❤
①↕ t❤÷ì♥❣✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ sỹ tữỡ ữỡ ỳ ợ t
t ❝õ❛ ❝ì sð✱

sp✲♠↕♥❣✱ cn✲♠↕♥❣

t❤ỉ♥❣ q✉❛ →♥❤ ①↕ ❣✐↔✲♠ð✳





P
ì

r ữỡ ú tổ tr ởt sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ t♦♣♦ ✤↕✐
❝÷ì♥❣✱ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤÷đ❝ ❝❤ó♥❣ tỉ✐
tr➻♥❤ ❜➔② ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤✐ t✐➳t ♥❤➡♠ ❤✐➸✉ t❤➜✉ ✤→♦ ❤ì♥ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝
✈➲ t♦♣♦✱ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ♥❤➡♠ ♣❤ư❝ ✈ư ❝❤♦ ✈✐➺❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤
❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ s❛✉✳ ❙❛✉ ỳ ỵ ữủ ú tổ sỷ ử tr♦♥❣
t♦➔♥ ❜ë ❧✉➟♥ ✈➠♥✳

N = {1, 2, . . . }✱ ω = N ∪ {0}✳

✶✳✶✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t♦♣♦✱ t➟♣ ❤ñ♣ ♠ð ✈➔ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ ♠ët t➟♣ ❤ñ♣
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛

X

sỷ



ồ õ ỗ t ừ t➟♣ ❤ñ♣

t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✳

✭❛✮

∅✱ X ∈ τ ❀

✭❜✮ ◆➳✉

U✱ V ∈ τ✱

✭❝✮ ◆➳✉

{Uα }α∈Λ ⊂ τ ✱

t❤➻

U ∩ V ∈ τ❀
Uα ∈ τ ✳

t❤➻

α∈Λ

❑❤✐ ✤â✱

t♦♣♦ tr➯♥ X ✳
✷✮ ❈➦♣ (X, τ ) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ t♦♣♦✳
✶✮ τ

✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët


✺

t➟♣ ❤đ♣ ♠ð✳
✹✮ ▼é✐ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ X ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ✤✐➸♠ ❝õ❛ ♥â✳

✸✮

▼é✐ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳✷✳
✶✮ X



ữủ ồ ởt

ố ợ ổ t

X ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉ ❧➔ ✤ó♥❣✳

❧➔ ❝→❝ t➟♣ ❤đ♣ ♠ð❀

✷✮

●✐❛♦ ❤ú✉ ❤↕♥ t➟♣ ❤ñ♣ ♠ð ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤ñ♣ ♠ð❀

✸✮

❍ñ♣ tũ ỵ t ủ ởt t ủ ♠ð✳

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✸✳

●✐↔ sû

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✹✳

●✐↔ sû

X ❧➔ ♠ët t➟♣ ủ 1 ồ ỗ tt t
ừ X ✈➔ τ2 = {∅, X}✳ ❑❤✐ ✤â✱ τ1 ✱ τ2 ❧➔ ❝→❝ t♦♣♦ tr➯♥ X ✳ ▲ó❝ ♥➔②✱ t❛ ♥â✐
r➡♥❣ τ1 ❧➔ t♦♣♦ rí✐ r↕❝ ✈➔ τ2 ❧➔ t♦♣♦ t❤æ tr➯♥ X ✳
(X, d)

❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝ ✈➔

τ = {A ⊂ X : A
❑❤✐ ✤â✱

τ

R✱

(X, d)}✳

X ✈➔ t❛ ♥â✐ r➡♥❣ τ ❧➔ t♦♣♦ ✤÷đ❝ s✐♥❤ ❜ð✐
X = R ✈➔ ♠❡tr✐❝ d ❧➔ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ t❤ỉ♥❣ t❤÷í♥❣

❧➔ ♠ët t♦♣♦ tr➯♥

♠❡tr✐❝ d✳ ✣➦❝ ❜✐➺t✱ ♥➳✉
tr➯♥

❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ♠ð tr♦♥❣

♥❣❤➽❛ ❧➔

d(x, y) = |x − y|
t❤➻ t❛ ♥â✐ r➡♥❣

τ

❧➔

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✺✳

✈ỵ✐ ♠å✐

x, y ∈ R✱

t♦♣♦ t❤ỉ♥❣ t❤÷í♥❣ tr➯♥ R✳

A ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t♦♣♦ (X, τ )✳
❑❤✐ ✤â✱ t➟♣ ❝♦♥ U ❝õ❛ X ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ❧➙♥ ừ A tỗ t V
sỷ

s ❝❤♦

A ⊂ V ⊂ U.

❧➙♥ ❝➟♥ ♠ð
♥➳✉ A = {x}✱ t❤➻ t❛ ♥â✐ r➡♥❣ U ❧➔ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ x✳

◆❣♦➔✐ r❛✱ ♥➳✉

U ∈ τ✱

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳✻✳

t❤➻ t❛ ♥â✐ r➡♥❣

U

❧➔

❝õ❛

A✳

✣➦❝ ❜✐➺t✱

▲➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ ♠ët ✤✐➸♠ ❦❤æ♥❣ ♥❤➜t t❤✐➳t ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤đ♣

♠ð✱ ♥❤÷♥❣ ♠é✐ t➟♣ ❤đ♣ ♠ð ❧➔ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ ♠å✐ ✤✐➸♠ t❤✉ë❝ ♥â✳


✻

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭✶✮ ●✐↔ sû X = {a, b, c} ✈➔
τ = ∅, X, {a}, {b, c} .
❑❤✐ ✤â✱

τ

❧➔ ♠ët t♦♣♦ tr➯♥

✭✷✮ ●✐↔ sû
t❤➻

V ∈τ

U

X

✈➔

{a, b} ❧➔ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ a ♥❤÷♥❣ {a, b} ∈
/ τ✳

❧➔ ♠ët t➟♣ ❤đ♣ ♠ð ✈➔

x ∈ U✳

❑❤✐ ✤â✱ ♥➳✉ t❛ ❧➜②

V = U✱

✈➔

x ∈ V ⊂ U.
◆❤÷ ✈➟②✱

U

❧➔ ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛

❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✼✳

✤÷ì♥❣✳

x

tr♦♥❣

X✳

✣è✐ ✈ỵ✐ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ t♦♣♦ (X, τ )✱ ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉ ❧➔ t÷ì♥❣

✶✮ U

❧➔ t➟♣ ❤đ♣ ♠ð❀
✷✮ U ❧➔ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ ♠å✐ ✤✐➸♠ t❤✉ë❝ ♥â❀
✸✮ ❱ỵ✐ ♠å✐ x ∈ U tỗ t Vx ừ x s ❝❤♦ x ∈ Vx ⊂ U ✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭✶✮ =⇒ ✭✷✮✳ ●✐↔ sû U
V = U ∈ τ✱

t❤➻

✷ =⇒ ✭✸✮✳

✭ ✮

❑❤✐ ✤â✱

U

x ∈ V ⊂ U✳
●✐↔ sû

U

◆❤÷ ✈➟②✱

x

✈➔

✸ =⇒ ✭✶✮✳

✭ ✮

❑❤✐ ✤â✱ ♥➳✉ t❛ ❝❤å♥

❧➔ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛

x✳
x ∈ U✳
Vx = U ✱ t❤➻ Vx ❧➔

x✳

◆❤÷ ✈➟②✱ ♥➳✉ t❛ ❝❤å♥

x ∈ Vx ⊂ U ✳

●✐↔ sû ✈ỵ✐ ♠å✐

x ∈ Vx ⊂ U ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈➻ Vx ❧➔
x ∈ Wx ⊂ Vx ✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ t❛ ❝â

x∈U

U=

Wx ✳
x∈U

x ∈ U✱

x

♥➯♥ tỗ

Wx
xU

Vx ừ x
t Wx

tỗ t

❝➟♥ ❝õ❛

{x} ⊂

U=
❦➨♦ t❤❡♦

U

x ∈ U✳

❧➔ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ ♠å✐ ✤✐➸♠ t❤✉ë❝ ♥â ✈➔

❧➔ ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛

❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛

♠ð ✈➔

Vx ⊂ U ✱
x∈U

❚❤❡♦ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶ t❛ s✉② r❛

U ∈ τ✳

s❛♦ ❝❤♦
s❛♦ ❝❤♦


✼

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✽✳
♥â✐ r➡♥❣

τ

❧➔ ❤đ♣

(X, τ ) ❧➔ ♠ët ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ t♦♣♦ ✈➔ B ⊂ τ ✳ ❚❛
B ❧➔ ❝ì sð ❝õ❛ (X, τ ) ✭❤❛② ❧➔ ❝ì sð ❝õ❛ τ ✮ ♥➳✉ ♠é✐ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛
♥➔♦ ✤â ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ B ✳

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳✾✳

●✐↔ sû

(X, τ )

●✐↔ sû

❧➔ ♠ët ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ t♦♣♦ ♠ët

B ⊂ τ✳

❑❤✐ ✤â✱

✶✮

B ❧➔ ❝ì sð
tr♦♥❣ X ✱ ♥❤÷♥❣
◆➳✉

✷✮ B

❝õ❛

τ✱

t❤➻ ♠é✐ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛

♠é✐ t➟♣ ủ tr

X

ợ ồ

x U

tỗ t

ởt t ❤đ♣ ♠ð

❝â t❤➸ ❦❤ỉ♥❣ t❤✉ë❝

(X, τ ) ❦❤✐
V ∈ B s❛♦ ❝❤♦

❧➔ ❝ì sð ❝õ❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ t♦♣♦

B

✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ✈ỵ✐ ♠å✐

B✳
U ∈τ

x ∈ V ⊂ U.

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭✶✮ ❇ð✐ ✈➻ B

⊂ τ
❇➙② ❣✐í✱ ❣✐↔ sû X = {a, b, c}✱ τ
❝↔ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ X ✈➔ t❛ ✤➦t

♥➯♥ ộ tỷ ừ

B

t ủ



ồ ỗ tt

X

ữ tỗ t

t rớ r

B = {a}, {b}, {c} .
õ
t




tỗ t

(X, ) ởt ❦❤ỉ♥❣
X ♠➔ X ∈
/ B✳

❣✐❛♥ t♦♣♦ ✈➔

B

❧➔ ❝ì sð ❝õ❛

✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥✳ ●✐↔ sû B ❧➔ ❝ì sð ❝õ❛ X ✱ U ∈ τ
{Bα }α∈Λ ⊂ B

✈➔

x ∈ U✳

❑❤✐ ✤â✱

s❛♦ ❝❤♦

U = ∪{Bα : α ∈ Λ}.
x ∈ U ♥➯♥ tỗ
V = B B s


t



s

x B

ữ tỗ t

x V U.

✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ✳ ●✐↔ sû ✈ỵ✐ ♠å✐ U ∈ τ

x U tỗ t V B
s x ∈ V ⊂ U ✈➔ W ∈ τ ✳ ❑❤✐ õ ợ ồ x W tỗ t Vx ∈ B s❛♦
❝❤♦ x ∈ Vx ⊂ W ✳ ❉♦ ✤â✱
✈➔ ✈ỵ✐ ♠å✐


✽

{x} ⊂

W =
x∈W
◆❤÷ ✈➟②✱

W

Vx ⊂ W ✳
x∈W

❧➔ ❤đ♣ ♥➔♦ ✤â ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛

B✳

✶✳✷✳ ❚➟♣ ❤ñ♣ ✤â♥❣ ✈➔ ❜❛♦ ✤â♥❣ ❝õ❛ ♠ët t➟♣ ❤ñ♣
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✶✳

❚➟♣ ❝♦♥

A ❝õ❛ ♠ët

X\A ∈ τ ✳

❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ t♦♣♦

(X, τ )

✤÷đ❝ ❣å✐

t➟♣ ❤đ♣ ✤â♥❣ tr♦♥❣ X ♥➳✉
✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✷✳✷✳ ✣è✐ ✈ỵ✐ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ t♦♣♦ (X, τ )✱ ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉ ❧➔ ✤ó♥❣✳
❧➔

✶✮ ∅✱ X

❧➔ ❝→❝ t➟♣ ❤ñ♣ ✤â♥❣❀
✷✮ ❍ñ♣ ❤ú✉ ❤↕♥ t➟♣ ❤ñ♣ ✤â♥❣ ởt t ủ õ
tũ ỵ t ❤ñ♣ ✤â♥❣ ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤ñ♣ ✤â♥❣✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭✶✮ ❇ð✐ ✈➻ ∅✱ X ∈ τ ♥➯♥
X \ ∅ = X ∈ τ ; X \ X = ∅ ∈ τ.
◆❤÷ ✈➟②✱

∅

✈➔

✷

✭ ✮ ●✐↔ sû

X

❧➔ ❝→❝ t➟♣ ❤ñ♣ ✤â♥❣✳

F1 , F2 , . . . , Fn

❧➔ ❝→❝ t➟♣ ❤ñ♣ ✤â♥❣✳ ❑❤✐ ✤â✱

X \ Fi ∈ τ

✈ỵ✐ ♠å✐

i = 1, 2, . . . , n✳

❍ì♥ ♥ú❛✱ t❤❡♦ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶ t❛ s✉② r❛

n

X\

n

Fi =

(X \ Fi ) ∈ τ.
i=1

i=1
n

Fi

◆❤÷ ✈➟②✱

❧➔ ởt t ủ õ

i=1



sỷ

{F }

ồ ỗ ❝→❝ t➟♣ ❤đ♣ ✤â♥❣✳ ❑❤✐ ✤â✱

X \ Fα ∈ τ

✈ỵ✐ ♠å✐

α ∈ Λ✳


✾
❉♦ ✤â✱ t❤❡♦ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶ t❛ s✉② r❛

X\
α∈Λ

Fα

◆❤÷ ✈➟②✱

(X \ Fα ) ∈ τ.

Fα =
α∈Λ

❧➔ ♠ët t➟♣ ❤ñ♣ ✤â♥❣✳

α∈Λ

◆❤➟♥ t

ủ tũ ỵ t ủ õ tr ổ t õ

t ổ õ õ tũ ỵ ❝→❝ t➟♣ ❤đ♣ ♠ð ❝â t❤➸ ❦❤ỉ♥❣ ♠ð✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû R ❧➔ t➟♣ ❤đ♣ sè t❤ü❝ ✈ỵ✐ t♦♣♦ τ tổ tữớ
An = 0, 1

1
n

ợ ồ

n N.

✤â✱

• [0, 1)

❦❤ỉ♥❣ ❧➔ t➟♣ ❤đ♣ ✤â♥❣ tr♦♥❣

• An

❧➔ t➟♣ ủ õ tr

ã

An = [0, 1)

R

(R, )

ợ ồ

n N

nN
t sỷ

x

An

r tỗ t

nN

s

nN

x An = 0, 1 −
◆❣÷đ❝ ❧↕✐✱ ❣✐↔ sû

x ∈ [0, 1)✱

s❛♦ ❝❤♦

❦➨♦ t❤❡♦

1
⊂ [0, 1).
n
0 ≤ x < 1✳

❉♦ ✤â✱ tỗ t

nN

1
0x1 .
n

s r r

x 0, 1 −

1
= An ⊂
An .
n
n∈N

❚ø ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ tr➯♥ t❛ s✉② r❛ ủ tũ ỵ t ủ õ õ t ổ
õ õ tũ ỵ t ủ õ t❤➸ ❦❤æ♥❣ ♠ð✳


✶✵

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✹✳

●✐↔ sû

❑❤✐ ✤â✱ ❣✐❛♦ ❝õ❛ t➜t ❝↔ ❝→❝

A ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t♦♣♦ (X, τ )✳
t➟♣ ❝♦♥ ✤â♥❣ tr♦♥❣ X ❝❤ù❛ A ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔

õ ừ A ỵ A
●✐↔ sû A✱ B ❧➔ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t♦♣♦ (X, τ )✳
❑❤✐ ✤â✱ ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉ ú
A ổ tỗ t A A
A ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ ✤â♥❣ ♥❤ä ♥❤➜t ❝❤ù❛ A❀
✸✮ A ✤â♥❣ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ A = A❀
✹✮ A = A❀
✺✮

◆➳✉ A ⊂ B ✱ t❤➻ A ⊂ B ❀
✻✮ A ∪ B = A ∪ B ❀
✼✮ A ∩ B ⊂ A ∩ B ✱ ✈➔ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝â t❤➸ ❦❤æ♥❣ ①↔② r❛✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû r➡♥❣
F = {F ⊂ X : F

✤â♥❣ ✈➔

A ⊂ F };

G = {F ⊂ X : F

✤â♥❣ ✈➔

B ⊂ F }.

❑❤✐ ✤â✱

✶

✭ ✮ ❇ð✐ ✈➻
❉♦ ✤â✱

A

X

A ♥➯♥ X ∈ F ✱ ❦➨♦ t❤❡♦ F =
̸ ∅✳
A ⊂ F ✈ỵ✐ ♠å✐ F ∈ F

t ủ õ ự

ổ tỗ t ỡ ỳ

A ⊂ ∩{F : F ∈ F} = A.

✷

✸

✭ ✮ ❚❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✷✳✷✭ ✮ t❛ s✉② r❛ r➡♥❣
❣✐↔ sû

F

❧➔ t➟♣ ✤â♥❣ ❜➜t ❦ý tr♦♥❣

X

❝❤ù❛

A

A✳

❧➔ t➟♣ ❤đ♣ ✤â♥❣✳ ❇➙② ❣✐í✱

❑❤✐ ✤â✱

A = ∩{F : F ∈ F} ⊂ F.

F ∈ F✱

❦➨♦ t❤❡♦


✶✶

✶

A ∈ F✳

◆❣♦➔✐ r❛✱ ♥❤í ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✭ ✮ t❛ s✉② r❛
✤â♥❣ ♥❤ä ♥❤➜t ❝❤ù❛

✸

✭ ✮ ●✐↔ sû

A

◆❤÷ ✈➟②✱

A

❧➔ t➟♣ ❤ñ♣

A✳

✤â♥❣✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈➻

A⊂A

♥➯♥ t❛ s✉② r❛

A ∈ F✱

❦➨♦ t❤❡♦

A = ∩{F : F ∈ F} ⊂ A.

✶

❑➳t ❤ñ♣ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✭ ✮ t❛ s✉② r❛ r➡♥❣
◆❣÷đ❝ ❧↕✐✱ ❣✐↔ sû
✤â♥❣✱ ❦➨♦ t❤❡♦

A

A = A✳

✹

✷ A

✭ ✮ t❛ s✉② r❛ r➡♥❣

✺

✷ A

❑❤✐ ✤â✱ ♥❤í ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✭ ✮✱

❧➔ t➟♣ ❤đ♣ ✤â♥❣ tr♦♥❣

✭ ✮ ❚❤❡♦ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✭ ✮✱

✸

✭ ✮ ❇ð✐ ✈➻

A = A✳
❧➔ t➟♣ ❤đ♣

X✳

❧➔ t➟♣ ❤đ♣ ✤â♥❣✳ ❉♦ ✤â✱ ♥❤í ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤

A = A✳

A⊂B

♥➯♥

G ⊂ F✳

❉♦ ✤â✱

A = ∩{F : F ∈ F} ⊂ ∩{F : F ∈ G} = B.

✻

✶ A ⊂ A; B ⊂ B ✱ ❦➨♦ t❤❡♦

✭ ✮ ❚❤❡♦ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✭ ✮✱

A ∪ B ⊂ A ∪ B.

✷ A✱ B

▼➦t ❦❤→❝✱ t❤❡♦ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✭ ✮✱

✷ A∪B

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✷✳✷✭ ✮✱

❧➔ ❝→❝ t➟♣ ❤ñ♣ ✤â♥❣✳ ❉♦ ✤â✱ ♥❤í

✸

❧➔ t➟♣ ❤đ♣ ✤â♥❣✳ ◆❤÷ ✈➟②✱ sû ❞ư♥❣ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✭ ✮

✺

✈➔ ✭ ✮ t❛ s✉② r❛ r➡♥❣

A ∪ B ⊂ A ∪ B = A ∪ B.
❍ì♥ ♥ú❛✱ ✈➻

A⊂A∪B

✈➔

B ⊂A∪B

✭✶✳✶✮

✺

♥➯♥ t❤❡♦ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✭ ✮ t❛ ❝â

A ⊂ A ∪ B; B ⊂ A ∪ B.
✣✐➲✉ ♥➔② ❦➨♦ t❤❡♦ r➡♥❣

A ∪ B ⊂ A ∪ B.
◆❤÷ ✈➟②✱ tø ✭✶✳✶✮✱ ✭✶✳✷✮ t❛ s✉② r❛

✼

✶

✭ ✮ ❚❤❡♦ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✭ ✮ t❛ ❝â

✭✶✳✷✮

A ∪ B = A ∪ B.
A⊂A

✈➔

B ⊂ B✱

❦➨♦ t❤❡♦


✶✷

A ∩ B ⊂ A ∩ B✳

✷ A

▼➦t ❦❤→❝✱ t❤❡♦ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✭ ✮✱

✸ A∩B

♥❤í ✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✷✳✷✭ ✮✱

✸

✈➔

B

❧➔ ❝→❝ t➟♣ ❤đ♣ ✤â♥❣✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱

❧➔ t➟♣ ❤đ♣ ✤â♥❣✳ ❉♦ ✤â✱ sû ❞ö♥❣ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤

✺

✭ ✮ ✈➔ ✭ ✮ t❛ s✉② r❛ r➡♥❣

A ∩ B ⊂ A ∩ B = A B
X = R ợ t tổ tữớ A = (0, 1)✱ B = (1, 2)✳
A = [0, 1]✱ B = [1, 2] ♥➯♥ t❛ ❝â

❇➙② ❣✐í✱ ❣✐↔ sû
❑❤✐ ✤â✱ ✈➻

A∩B =∅=∅=
̸ {1} = A ∩ B ✳

✼

◆❤÷ ✈➟②✱ ❦❤æ♥❣ ①↔② r❛ ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr♦♥❣ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✭ ✮

✣à♥❤

tữỡ ữỡ

ố ợ ổ t

(X, )

✤à♥❤ s❛✉ ❧➔

✶✮ x ∈ A ❀
✷✮ U ∩ A = ợ ồ U

ừ x

ỗ t ♠ët ❝ì sð Bx ❝õ❛ x s❛♦ ❝❤♦ U ∩ A ̸= ∅ ✈ỵ✐ ♠å✐ U ∈ Bx ✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭✶✮ =⇒ ✭✷✮✳ ●✐↔ sû x ∈ A✳ ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✈ỵ✐ ♠å✐ ❧➙♥
x✱ U ∩ A ̸= ∅✳ t sỷ ữủ r tỗ t ❝➟♥
U ❝õ❛ x s❛♦ ❝❤♦ U ∩ A = ∅✳ U ừ x tỗ t↕✐ V ∈ τ
s❛♦ ❝❤♦ x ∈ V ⊂ U ✳ ❉♦ ✤â✱ V ∩ A = ∅✱ ❦➨♦ t❤❡♦ A ⊂ X \ V ✳ ▼➦t ❦❤→❝✱
✈➻ X \ V ❧➔ ✤â♥❣ ♥➯♥ t❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✷✳✺ t❛ s✉② r❛
❝➟♥

U

❝õ❛

A ⊂ X \ V = X \ V.
❉♦ ✤â✱

A ∩ V = ∅✱

❦➨♦ t❤❡♦

x ∈ V ⊂ X \ A.


✶✸
✣✐➲✉ ♥➔② ❞➝♥ ✤➳♥ ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐

✷ =⇒ ✭✸✮✳

✭ ✮

x A

x X Bx ồ ỗ tt ❝↔ ❝→❝
r➡♥❣ Bx ❧➔ ♠ët ❝ì sð ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ x ✈➔

●✐↔ sû

❑❤✐ ✤â✱ ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥

U ∩ A ̸= ∅

✈ỵ✐ ♠å✐

❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛

x✳

U ∈ Bx ✳

✸ =⇒ ✭✶✮✳ ●✐↔ sû r tỗ t ỡ s Bx t x s❛♦ ❝❤♦ U ∩A ̸= ∅

✭ ✮

U ∈ Bx
❦❤→❝✱ ✈➻ Bx

x
/ A

ợ ồ

ữ

õ

t

ỡ s t

x

X \A

ởt ừ

tỗ t

U Bx

x

s

x ∈ U ⊂ X \ A.
U ∩ A ⊂ U ∩ A = ∅✳
U ∩ A ̸= ∅✳

❙✉② r❛
r➡♥❣

✣✐➲✉ ♥➔② ❞➝♥ ✤➳♥ ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ ❣✐↔ t❤✐➳t

●✐↔ sû X ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t♦♣♦✱ A ⊂ X ✈➔ V ❧➔ ♠ët t➟♣
❤ñ♣ ♠ð tr♦♥❣ X ✳ ❑❤✐ ✤â✱
❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✼✳

A∩V ⊂A∩V.

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû x ∈ A ∩ V
✈➻

U ∩V

❧➔ ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛

x

✈➔
✈➔

U ❧➔ ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥ ❜➜t ❦ý ❝õ❛ x✳ ❑❤✐ ✤â✱
x ∈ A ♥➯♥

A ∩ (U ∩ V ) ̸= ∅.
✣✐➲✉ ♥➔② ❝❤ù♥❣ tä r➡♥❣

(A ∩ V ) ∩ U ̸= ∅.
◆❤÷ ✈➟②✱

x∈A∩V✳

✶✳✸✳ P❤➛♥ tr♦♥❣ ❝õ❛ t➟♣ ❤đ♣✱ T1✲❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➔ T2✲❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✶✳

A ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t♦♣♦ (X, τ )✳
❑❤✐ ✤â✱ ❤ñ♣ ❝õ❛ t➜t ❝↔ ❝→❝ t➟♣ ❤ñ♣ ♠ð ♥➡♠ tr♦♥❣ A ữủ ồ tr
ừ A ỵ ❧➔ ■♥tA✳
●✐↔ sû


✶✹

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✸✳✷✳

●✐↔ sû

A

❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t

(X, )

ỵ

G(A) = {V X : V ∈ τ, V ⊂ A}.
❑❤✐ ✤â✱ t❛ s✉② r❛ r➡♥❣

■♥tA = ∪{V : V ∈ G(A)}.

●✐↔ sû A ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t♦♣♦ (X, τ )✳ ❑❤✐ õ
x tA tỗ t ❝➟♥ U ❝õ❛ x s❛♦ ❝❤♦ x ∈ U ⊂ A✳

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✸✳✸✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥✳ ●✐↔ sû x tA õ tỗ t U G(A)
s
❝➟♥

x ∈ U ✳ ❇ð✐ ✈➻ U ∈ G(A)
U ❝õ❛ x s❛♦ ❝❤♦ U ⊂ A✳

♥➯♥

U

♠ð ✈➔

U ⊂ A✳

✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ừ sỷ r tỗ t U

ữ tỗ t

x s U A
U ừ x tỗ t V s❛♦ ❝❤♦ x ∈ V ⊂ U ✳ ◆❤÷ ✈➟②✱
V ∈ G(A) ✈➔ x ∈ ■♥tA✳
❝õ❛

●✐↔ sû (X, τ ) ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t♦♣♦✱ A ✈➔ B ❧➔ ❝→❝ t➟♣
❝♦♥ ❝õ❛ X ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉ ❧➔ ✤ó♥❣✳

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✸✳✹✳

✶✮ ■♥tA ❧➔ t➟♣ ❤đ♣ ♠ð ❧ỵ♥ ♥❤➜t ♥➡♠ tr♦♥❣ A❀
✷✮

◆➳✉ A ⊂ B ✱ t❤➻ ■♥tA ⊂ ■♥tB ❀
✸✮ A ♠ð ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ■♥tA = A❀
✹✮ ■♥t(A ∩ B) = ■♥tA ∩ ■♥tB ✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭✶✮ ❙✉② trü❝ t✐➳♣ tø ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✶✳
✷

A ⊂ B✳

✸

A

✭ ✮ ●✐↔ sû

✭ ✮ ●✐↔ sû

❑❤✐ ✤â✱

G(A) ⊂ G(B)✳

✶

■♥tA ⊂ ■♥tB ✳

A ⊂ A ♥➯♥ A ∈ G(A)✳
A = ■♥tA✳

♠ð✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈➻

◆❤í ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✭ ✮ t❛ s✉② r❛

❙✉② r❛

❙✉② r❛

A ⊂ ■♥tA✳


✶✺
❇➙② ❣✐í✱ ❣✐↔ sû

A

A = ■♥tA✳

✶

❑❤✐ ✤â✱ t❤❡♦ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✭ ✮ t❛ s✉② r❛ r➡♥❣

❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ ♠ð✳

✹

✶

✭ ✮ ❚❤❡♦ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✭ ✮ t❛ ❝â

■♥tA ⊂ A

✈➔

■♥tB ⊂ B ✱

❦➨♦ t❤❡♦

■♥tA ∩ ■♥tB ⊂ A ∩ B ✳

✶ ■♥t(A ∩ B) ❧➔ t➟♣ ❤đ♣ ♠ð ❧ỵ♥ ♥❤➜t ♥➡♠

▼➦t ❦❤→❝✱ t❤❡♦ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✭ ✮✱
tr♦♥❣

A∩B

♥➯♥

■♥tA ∩ ■♥tB ⊂ ■♥t(A ∩ B).
◆❣÷đ❝ ❧↕✐✱ ✈➻

A ∩ B ⊂ A ✈➔ A ∩ B ⊂ B

✭✶✳✸✮

✷

♥➯♥ t❤❡♦ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✭ ✮ t❛ s✉②

r❛ r➡♥❣

■♥t(A ∩ B) ⊂ ■♥tA

✈➔

■♥t(A ∩ B) ⊂ ■♥tB.

❉♦ ✤â✱

■♥t(A ∩ B) ⊂ ■♥tA ∩ ■♥tB.
❚ø ✭✶✳✸✮ ✈➔ ✭✶✳✹✮ t❛ s✉② r❛

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✸✳✺✳

✤â✱ t❛ ❝â

✭✶✳✹✮

■♥t(A ∩ B) = ■♥tA ∩ ■♥tB ✳

●✐↔ sû A ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t♦♣♦ (X, τ )✳ ❑❤✐
■♥tA = X \ X \ A.

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✷✳✺✭✶✮ t❛ ❝â X \ A ⊂ X \ A✱ ❦➨♦ t❤❡♦
X \ X \ A ⊂ X \ (X \ A) = A.

✷ X \A

◆❤í ✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✷✳✺✭ ✮✱
❤đ♣ ♠ð ♥➡♠ tr♦♥❣

A✳

❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ ✤â♥❣✱ ❦➨♦ t❤❡♦

X \X \A

❧➔ t➟♣

❉♦ ✤â✱

X \ X \ A ∈ G(A),
❦➨♦ t❤❡♦

X \ X \ A ⊂ ■♥tA.

✭✶✳✺✮


✶✻

✶

■♥tA ⊂ A ✈➔ ■♥tA ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤ñ♣ ♠ð✳ ❉♦ ✤â✱

❚❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✸✳✹✭ ✮ t❛ ❝â

X \ A ⊂ X \ ■♥tA.
◆❤í ✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✷✳✺ t❛ s✉② r❛

X \ A ⊂ X \ ■♥tA = X \ ■♥tA.
✣✐➲✉ ♥➔② ❝❤ù♥❣ tä r➡♥❣

■♥tA ⊂ X \ X \ A.
❚ø ✭✶✳✺✮ ✈➔ ✭✶✳✻✮ t❛ s✉② r❛

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✻✳

■♥tA = X \ X \ A✳

●✐↔ sû

(X, τ )

❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t♦♣♦✳ ❑❤✐ ✤â✱

✶✮ (X, τ ) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ T1 ✲❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
t↕✐ ❝→❝ ❧➙♥ ❝➟♥

U

❝õ❛

x

✈➔

V

❝❤♦

x✱ y ∈ X ♠➔ x ̸= y ✱
U ∩ V = ∅✳

x✱ y ∈ X x = y tỗ
x
/ V y
/ U

ợ ồ

ừ

(X, ) ữủ ồ T2 ổ
ồ



y

s



ổ sr

tỗ t

U

ừ

x



V

✈ỵ✐

❝õ❛

y

s❛♦

●✐↔ sû (X, τ ) ❧➔ ♠ët ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ t♦♣♦✳ ❑❤✐ ✤â✱

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✸✳✼✳

✶✮ T2 ✲❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ =⇒ T1 ✲❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥❀
✷✮ T1 ✲❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ̸=⇒ T2 ✲❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭✶✮ ❙✉② trü❝ t✐➳♣ tø ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✻✳
✷

✭ ✮ ●✐↔ sû

X

❧➔ t➟♣ ❤đ♣ ✈ỉ ❤↕♥ ✈➔

τ = A⊂X:A=∅
❑❤✐ ✤â✱

(X, τ )

❧➔

T1 ✲❦❤ỉ♥❣

❤♦➦❝

X \A

❣✐❛♥ ♥❤÷♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❧➔

❤ú✉ ❤↕♥

.

T2 ✲❦❤ỉ♥❣

❣✐❛♥✳ ❚❤➟t ✈➟②✱

✶✼
✭❛✮

τ

❧➔ ♠ët t♦♣♦ tr➯♥

X✳

• ❍✐➸♥ ♥❤✐➯♥ r➡♥❣ ∅ ∈ τ ✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ✈➻ X \ X = ∅ ❧➔ ❤ú✉ ❤↕♥ ♥➯♥ X ∈ τ ✳
•

●✐↔ sû

A✱ B ∈ τ ✳

A=∅

❑❤✐ ✤â✱ ♥➳✉

❤♦➦❝

B = ∅✱

t❤➻

A ∩ B = ∅ ∈ τ.
❇➙② ❣✐í✱ ♥➳✉

A ̸= ∅

✈➔

B ̸= ∅✱

t❤➻

X \A

✈➔

X \B

❧➔ ❝→❝ t➟♣ ❤ú✉ ❤↕♥✳

❉♦ ✤â✱ tø ✤➥♥❣ t❤ù❝

X \ (A ∩ B) = (X \ A) ∪ (X \ B)
t❛ s✉② r❛ r➡♥❣

•

●✐↔ sû

X \ (A ∩ B)

{Aα }α∈Λ ⊂

tỗ t

t ỳ ữ

A B ∈ τ✳

❑❤✐ ✤â✱

s❛♦ ❝❤♦

Aα ̸= ∅✱

t❤➻

X \ Aα

❧➔ t➟♣ ❤ú✉ ❤↕♥✳ ❉♦ ✤â✱

tø ❜❛♦ ❤➔♠ t❤ù❝

X\

Aα ⊂ X \ Aα
α∈Λ

t❛ s✉② r❛

X\

Aα

◆➳✉

Aα = ∅

Aα ∈ τ ✳

❧➔ t➟♣ ❤ú✉ ữ





ợ ồ



A = ✳

t❤➻

α∈Λ
✭❜✮

(X, τ )

❧➔

T1 ✲❦❤æ♥❣

❣✐❛♥✳ ●✐↔ sû

x✱ y ∈ X

♠➔

x ̸= y ✳

❚❛ ✤➦t

U = X \ {y}; V = X \ {x}.
X \ U = {y} ✈➔ X \ V = {x} ❧➔ ❝→❝ t➟♣ ❤ú✉ ❤↕♥✳ ❙✉② r❛ U ✱ V ∈ τ ✳
✈➟②✱ U ❧➔ ❧➙♥ ❝➟♥ ♠ð ❝õ❛ x ✈➔ V ❧➔ ❧➙♥ ❝➟♥ ♠ð ❝õ❛ y t❤ä❛ ♠➣♥ r➡♥❣

❑❤✐ ✤â✱
◆❤÷

y∈
/ U; x ∈
/ V.